Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика: Учеб.
пособ.: Д ля вузов. В 10 т. Т. X. / Л и ф ш и ц Е. М., П и т а е в с к и й Л. П.
Физическая кинетика. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. —
536 с .- I S B N 5-9221-0125-0 (Т. X).
Заключительный том «Теоретической физики» посвящен макро
скопической теории процессов в статистически неравновесных систе
мах. Большое внимание в книге уделено кинетической теории газов,
теории плазмы; многие задачи кинетики плазмы дают интересную ил
люстрацию общих методов кинетической теории.
1-е изд. — 1979 г.
Д ля студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников соответствующих специ
альностей.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. П и т а е в с к и й
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................................................................
Некоторые о б о з н а ч е н и я ............................................................................
9
11
Г л а в а I. К ин ети ческая теория газов
1. Функция р а с п р е д е л е н и я ...................................................................
13
2. Принцип детального р а в н о в е с и я ....................................................
17
3. Кинетическое уравнение Б о л ьц м ан а..............................................
21
4. i^ -т е о р е м а ..............................................................................................
26
28
5. Переход к макроскопическим у р ав н ен и я м .................................
6. Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа . . . .
32
7. Теплопроводность г а з а ......................................................................
37
8. Вязкость г а з а ........................................................................................
39
9. Симметрия кинетических коэф ф и ц и ен тов.................................
43
10. Приближенное решение кинетического у р ав н ен и я ..................
47
11. Д иф ф узия легкого газа в т я ж е л о м ..............................................
53
12. Д иф ф узия тяжелого газа в л е г к о м ..............................................
58
13. Кинетические явления в газе во внешнем п о л е ........................
60
14. Явления в слабо разреженных г а з а х ...........................................
66
15. Явления в сильно разреженных газах ........................................
76
16. Динамический вывод кинетического у р а в н е н и я .....................
88
17. Кинетическое уравнение с учетом тройных столкновений . . 95
18. Вириальное разложение кинетических коэффициентов . . . . 102
19. Флуктуации функции распределения в равновесном газе . . 105
20. Флуктуации функции распределения в неравновесном газе . 110
Г л а в а II. Д и ф ф у зи о н н ое приближ ение
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Уравнение Ф оккера-П лан ка.............................................................116
Слабо ионизированный газ в электрическом п о л е .................. 120
Флуктуации в слабо ионизованном неравновесном газе . . . . 126
Рекомбинация и и о н и з а ц и я .............................................................131
Амбиполярная д и ф ф у з и я ................................................................135
Подвижность ионов в растворах сильных электролитов . . . 138
Г л а в а III. Б есстолкн овительн ая п лазм а
27. Самосогласованное п о л е ................................................................... 146
28. Пространственная дисперсия в п л а з м е ........................................150
29. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы 153
6
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Затухание Л а н д а у ............................................................................... 157
Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы . . 161
Продольные плазменные волны ....................................................166
Ионно-звуковые в о л н ы ...................................................................... 170
Релаксация начального возм ущ ения..............................................171
Плазменное э х о ..................................................................................... 176
Адиабатический захват э л е к т р о н о в ..............................................182
Квазинейтральная п л а з м а ................................................................ 185
Гидродинамика двухтемпературной плазмы ........................... 187
Солитоны в слабо диспергирующей с р е д е ................................. 191
Диэлектрическая проницаемость вырожденной бесстолкновительной п л а з м ы .................................................................................. 200
Г л а в а IV. С толкновения в п лазм е
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
Интеграл столкновений Л а н д а у ....................................................207
Передача энергии между электронами и и о н а м и ..................... 213
Д лина пробега частиц в плазме ....................................................215
Лоренцева п л а з м а ............................................................................... 217
Убегающие э л е к т р о н ы ...................................................................... 222
Сходящийся интеграл столкновений ...........................................225
Взаимодействие через плазменные в о л н ы ................................. 236
Поглощение в плазме в высокочастотном п р е д е л е .................. 240
Квазилинейная теория затухания Л а н д а у ................................. 244
Кинетическое уравнение для релятивистской плазмы . . . . 251
Флуктуации в п л а з м е ......................................................................... 256
Г л а в а V. П л азм а в магнитном поле
52. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной холод
ной п л а з м ы ........................................................................................... 265
53. Функция распределения в магнитном п о л е .............................. 269
54. Диэлектрическая проницаемость магнитоактивной максвел
ловской плазмы .................................................................................. 273
55. Затухание Ландау в магнитоактивной плазме ........................ 276
56. Электромагнитные волны в магнитоактивной холодной плазме 282
57. Влияние теплового движения на распространение электро
магнитных волн в магнитоактивной п л а з м е .............................. 289
58. Уравнения гидродинамики магнитоактивной п л а з м ы ............ 292
59. Кинетические коэффициенты плазмы в сильном магнитном
п о л е ...........................................................................................................297
60. Дрейфовое п риближ ение................................................................... 310
Г л а в а VI. Т еория неустойчивостей
61. Пучковая н еу сто й ч и в о сть ................................................................ 321
62. Абсолютная и конвективная н еу сто й ч и в о сть ........................... 325
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
63. Усиление и непропускание................................................................ 331
64. Неустойчивость при слабой связи двух ветвей спектра коле
баний ........................................................................................................336
65. Неустойчивость конечных с и с т е м .................................................340
Г л а в а VII. Д иэлектрики
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
Взаимодействие ф он онов................................................................... 343
Кинетическое уравнение для фононов в д и эл ек тр и к е............ 348
Теплопроводность диэлектриков. Высокие температуры . . . 352
Теплопроводность диэлектриков. Низкие температуры . . . . 358
Рассеяние фононов на п р и м е с я х ....................................................362
Гидродинамика фононного газа в д и э л е к т р и к е ........................ 364
Поглощение звука в диэлектрике. Длинные волны ............... 368
Поглощение звука в диэлектрике. Короткие в о л н ы ............... 373
Г л а в а VIII. К вантовы е ж идк ости
74.
75.
76.
77.
Кинетическое уравнение для квазичастиц в ферми-жидкости 376
Теплопроводность и вязкость ф ерм и-ж идкости........................ 383
Поглощение звука в ф ерм и-ж идкости...........................................385
Кинетическое уравнение для квазичастиц в бозе-жидкости . 389
Остаточное сопротивление................................................................ 396
Электрон-фононное взаимодействие..............................................401
Кинетические коэффициенты металла. Высокие температуры 407
Процессы переброса в м е т а л л е .......................................................411
Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры 415
Д иф ф узия электронов по ф ер м и -п о в ер х н о сти ........................ 424
Гальваномагнитные явления в сильных полях. Общая теория . 429
Гальваномагнитные явления в сильных полях. Частные случаи 435
Аномальный ск и н -э ф ф е к т................................................................ 441
С кин-эффект в инфракрасной о б л а с т и ........................................451
Геликоидальные волны в м е т а л л е .................................................454
Магнитоплазменные волны в м етал л е...........................................454
Квантовые осцилляции проводимости металла в магнитном
п о л е ...........................................................................................................459
Г л а в а X. Д иаграм м ная техника дл я неравновесны х систем
91.
92.
93.
94.
95.
М ацубаровская восприимчивость .................................................469
Гриновские функции неравновесной с и сте м ы ........................... 473
Д иаграммная техника для неравновесных с и с т е м .................. 480
Собственно-энергетические ф у н к ц и и ...........................................485
Кинетическое уравнение в диаграммной технике .................. 489
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а XI. С верхпроводники
96. Высокочастотные свойства сверхпроводников. Общая форму
ла ..............................................................................................................495
97. Высокочастотные свойства сверхпроводников. Предельные
с л у ч а и .....................................................................................................502
98. Теплопроводность сверхпроводника..............................................507
Г л а в а XII. К инетика ф азовы х переходов
99. Кинетика фазовых переходов первого рода. Образование за
родышей ..................................................................................................510
100. Кинетика фазовых переходов первого рода. Стадия коалесц е н ц и и .....................................................................................................516
101. Релаксация параметра порядка вблизи точки фазового пере
хода второго р о д а ............................................................................... 523
102. Динамическая масштабная и н в ар и ан тн о сть .............................. 526
103. Релаксация в жидком гелии вблизи А-точки ........................... 529
Предметный у к а з а т е л ь ............................................................................... 534
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий, заключительный том «Теоретической физики»
посвящен физической кинетике, понимаемой в широком смысле
как микроскопическая теория процессов в статистически нерав
новесных системах.
В отличие от свойств статистически равновесных систем, ки
нетические свойства значительно более тесно связаны с характе
ром микроскопических взаимодействий в тех или иных физиче
ских объектах. Отсюда - огромное разнообразие этих свойств и
значительно большая сложность их теории. В связи с этим стано
вится менее однозначным и вопрос об отборе материала, который
должен быть включен в общий курс теоретической физики.
Содержание книги ясно из ее оглавления. Сделаем в этой свя
зи лишь несколько замечаний.
Значительное внимание в книге уделено теории газов как наи
более простому в принципе объекту кинетической теории. Ряд
глав посвящен теории плазмы — не только ввиду физической
важности этого раздела кинетики самого по себе, но и потому,
что многие задачи кинетики плазмы могут быть решены до кон
ца и дают поучительную иллюстрацию общих методов кинети
ческой теории.
Кинетические свойства твердых тел в особенности многооб
разны. При отборе материала для соответствующих глав мы дол
жны были, естественно, ограничиться лишь наиболее общими
вопросами, демонстрирующими основные кинетические физиче
ские явления и методы их рассмотрения. Лишний раз подчерк
нем в этой связи, что эта книга — часть курса теоретической
физики и никоим образом не претендует на роль курса теории
твердого тела.
В содержании этой книги есть два очевидных дефекта: отсут
ствуют вопросы кинетики магнитных процессов и теория кине
тических явлений, связанных с прохождением быстрых частиц
через вещество. Эти дефекты связаны с недостатком времени, и
мы решились допустить их в этом издании, с тем чтобы не задер
живать еще больше выход книги. Мы позволим себе высказать
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
надежду на то, что хотя, таким образом, в этой книге содержит
ся не все, что требовалось бы, но в то же время все то, что в ней
содержится, представит интерес и будет полезным читателям.
Эта книга завершает программу, намеченную Львом Давы
довичем Ландау более сорока лет тому назад. Весь курс состоит
из следующих томов:
Том I. Механика.
Том II. Теория поля.
Том III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
Том IV. Квантовая электродинамика.
Том V. Статистическая физика, часть 1.
Том VI. Гидродинамика.
Том VII. Теория упругости.
Том VIII. Электродинамика сплошных сред.
Том IX. Статистическая физика, часть 2.
Том X. Физическая кинетика.
Напомним, что положение тома IX в этом ряду связано с тем, что
в нем существенно используются сведения из гидродинамики и
макроскопической электродинамики.
В новой серии изданий, начатой в 1973 г., до настоящего вре
мени вышли тома I, II, III, V, IX, X. Том VII сможет быть переиз
дан без больших изменений. Из тома IV, изданного раньше под
названием «Релятивистская квантовая теория», будут исключе
ны главы о слабых и сильных взаимодействиях, и он вскоре бу
дет переиздан как «Квантовая электродинамика». Тома же VI и
VIII, не переиздававшиеся уже в течение многих лет, требуют бо
лее значительной переработки и дополнения; мы рассчитываем
заняться этим делом в ближайшее время.
Мы хотели бы выразить искреннюю благодарность А.Ф. Ан
дрееву, Р.Н. Гуржи, В.Л. Гуревичу, Ю.М. Кагану, М.И. Каганову
и И.М. Лифшицу, с которыми мы обсуждали рассмотренные в
этой книге вопросы.
Мы благодарны Л.П. Горькову и А.А. Рухадзе, прочитавшим
книгу в рукописи и сделавшим ряд замечаний.
Ноябрь 1978 г.
Е.М. Л иф ш иц , Л. П. П ит аевский
Н Е К О Т О Р Ы Е О Б О ЗН А Ч Е Н И Я
Функция распределения частиц / (главы I-V I); по импульсам
везде отнесена к d 3p.
Функции распределения — числа заполнения квантовых со
стояний электронов и фононов п(р) и N ( к) (главы VII, IX-XI);
по импульсам везде отнесены к с13р / ( 2 тгН)3.
Интеграл столкновений St, линеаризованный интеграл столк
новений I.
Термодинамические величины: температура Т, давление Р ,
химический потенциал /i, плотность числа частиц 7V, полное чис
ло частиц Л/", полный объем V.
Напряженность электрического поля Е, магнитная индукция
В. Элементарный электрический заряд е (заряд электрона —е).
В оценках используются обозначения: характерные длины за
дачи L ; атомные размеры, постоянная решетки d\ длина свобод
ного пробега /; скорость звука и.
Усреднение обозначается угловыми скобками ( .. .) или чер
той над буквой.
Трехмерные векторные индексы обозначаются греческими
буквами а, /3, ...
В главах III—VI:
Массы электрона и иона тп и М .
Заряды электрона и иона —е и ze.
Тепловые скорости электронов и ионов
Плазменная частота
12
НЕКО ТО РЫ Е ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ларморова частота
еВ
zeB
^Ве = --- , UBi = ——.
тс
Мс
Ссылки на номера параграфов и формул других томов это
го курса снабжены римскими цифрами: I — «Механика», 1988;
II — «Теория поля», 1989; III — «Квантовая механика», 1989;
IV — «Квантовая электродинамика», 1989; V — «Статистиче
ская физика, часть 1 », 1995; VI — «Гидродинамика», 1988; VII
— «Теория упругости», 1987; VIII — «Электродинамика сплош
ных сред», 1982; IX — «Статистическая физика, часть 2», 2000.
ГЛАВА
I
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГА ЗО В
§ 1. Ф ункция р аспр едел ен и я
Эта глава посвящена изложению кинетической теории обыч
ных газов из электрически нейтральных атомов или молекул.
Предметом изучения этой теории являются неравновесные состо
яния и процессы в идеальном газе. Напомним, что под идеаль
ным подразумевается газ настолько разреженный, что каж дая
молекула в нем почти все время движется как свободная, взаи
модействуя с другими молекулами лишь при непосредственных
столкновениях с ними. Это значит, другими словами, что среднее
расстояние между молекулами г ~ TV- 1 / 3 ( N — число молекул
в единице объема) предполагается большим по сравнению с их
собственными размерами, точнее, по сравнению с радиусом дей
ствия межмолекулярных сил d\ малую величину N d 3
(.d / r f
иногда называют «параметром газовости».
Статистическое описание газа осуществляется функцией рас
пределения f ( t ,q , p ) молекул газа в их фазовом пространстве.
Она является, вообще говоря, функцией выбранных какимлибо образом обобщенных координат молекулы (совокупность
которых обозначена через q) и соответствующих им обобщен
ных импульсов (совокупность которых обозначена через р), а в
нестационарном состоянии — еще и от времени t. Обозначим че
рез dr = dqdp элемент объема фазового пространства молекулы;
dq и dp условно обозначают соответственно произведения диф ф е
ренциалов всех координат и всех импульсов. Произведение / dr
есть среднее число молекул, находящихся в заданном элементе
d r , т. е. обладающих значениями q и р в заданных интервалах
dq и dp. К смыслу понятия среднего в этом определении мы вер
немся ниже.
Хотя функция / будет везде подразумеваться определенной
как плотность распределения именно в фазовом пространстве,
в кинетической теории целесообразно выражать ее через опре
деленным образом выбранные переменные, которые могут и не
являться канонически сопряженными обобщенными координата
ми и импульсами. Условимся, прежде всего, об этом выборе.
Поступательное движение молекулы всегда классично. Оно
описывается координатами г = ( x, y, z ) ее центра инерции и им
14
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
пульсом р (или скоростью v = р /га) ее движения как целого.
В одноатомном газе поступательным движением исчерпывается
все движение частиц (атомов). В многоатомных же газах моле
кулы обладают еще и вращательными и колебательными степе
нями свободы.
Вращательное движение молекулы в газе практически всег
да тоже классично 1). Оно описывается, прежде всего, заданием
вектора вращательного момента молекулы М . Д ля двухатомной
молекулы этого достаточно. Такая молекула представляет собой
ротатор, вращающийся в плоскости, перпендикулярной вектору
М . Что же касается угла (р поворота оси молекулы в этой плоско
сти, то в реальных физических задачах функцию распределения
можно считать независящей от него, т. е. все ориентации молеку
лы в указанной плоскости — равновероятными. Это обстоятель
ство связано с быстротой изменения угла (р при вращении моле
кулы, и его происхождение можно пояснить следующим образом.
Скорость изменения ср (угловая скорость вращения молеку
лы) есть ф = О = М / I . Среднее значение этой скорости О ~ v / d ,
где d — молекулярные размеры, a v — среднее значение линей
ных скоростей. Но различные молекулы имеют различные зна
чения О, распределенные по некоторому закону вокруг О. По
этому молекулы, имевшие в начальный момент одинаковые
очень быстро расходятся по значениям ip; происходит, как го
ворят, быстрое «размешивание» по углам. Пусть в начальный
момент t = О распределение молекул по углам ср = сро (в ин
тервале от 0 до 2 тг) и по О дается некоторой функцией /(
Если же газ находится, например, во внешнем поле С/(г), дей
ствующем на координаты центра инерции молекулы (скажем, в
поле тяжести), то
(3.3)
где F = —V U — сила, действующая на молекулу со стороны
поля.
Учет столкновений нарушает равенство (3.1); функция рас
пределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекто
рий. Вместо (3.1) надо писать
(3.4)
— = St / ,
dt
где символ St / означает скорость изменения функции распреде
ления благодаря столкновениям: dV dY • St / есть отнесенное к
единице времени изменение за счет столкновений числа молекул
в фазовом объеме dV dY. Написанное в виде
f
= - w / + s t/
уравнение (3.4) (с df /dt из (3.2)) определяет полное изменение
функции распределения в заданной точке фазового простран
ства; член dV rfr(v V /) есть убыль (в 1 с) числа молекул в задан
ном элементе фазового пространства, связанная с их свободным
движением.
Величину St / называют интегралом столкновений, а урав
нения вида (3.4) называют вообще кинетическими уравнения
ми. Разумеется, кинетическое уравнение приобретает реальный
смысл лишь после установления вида интеграла столкновений.
К этому вопросу мы сейчас и перейдем.
При столкновении двух молекул значения их величин Г ме
няются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой,
выводит ее из заданного интервала dY] о таких столкновениях
говорят как об актах «ухода». Полное число столкновений с пе
реходами Г, Ti —>►Г 7,
со всеми возможными значениями Г i , Г 7,
Y[ при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме
КИ НЕТИ ЧЕСКО Е УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМ АНА
23
d V , равно интегралу
dV dT f w(Г', r i ; Г, T i ) / / i dT± dTf dTfv
Происходят, однако, и такие столкновения («приход»), в резуль
тате которых молекулы, обладавшие первоначально значениями
величин Г, лежащими вне заданного интервала о!Г, попадают в
этот интервал. Это — столкновения с переходами Г7,
—>►Г,Гх
снова со всеми возможными Г i , Г7,
при заданном Г. Пол
ное число таких столкновений (в единицу времени в объеме dV)
равно
dV dT f w (T , Г х; Г', r i ) / 7 { rfTi dT' dT[.
Вычтя число актов ухода из числа актов прихода, найдем таким
образом, что в результате всех столкновений рассматриваемое
число молекул увеличивается в 1 с на
d V d T f i w ' f ' f i - w f f J d r r d r ' dT[,
где для краткости обозначено
w = гу(Г/,Г ,1 ;Г ,Г 1),
w' = w(T, Г 15 Г', Г^).
(3.5)
Таким образом, находим следующее выражение для интегра
ла столкновений:
St / = / к / ' л - w f h ) d T x dT' d Y \ .
(3.6)
Во втором члене в подынтегральном выражении интегрирование
по dTf dT^ относится только к функции w ; множители / , Д от
этих переменных не зависят. Поэтому эту часть интеграла мож
но преобразовать с помощью соотношения унитарности (2.9). В
результате интеграл столкновений примет вид
St / =
- / / O d T i d T 'd T ',
(3.7)
в котором оба члена входят с одинаковым коэффициентом w' 1).
Установив вид интеграла столкновений, мы тем самым полу
чили возможность написать кинетическое уравнение
§ +W / = /
- f h ) dTi dr' dr;.
(3.8)
Это интегро-дифференциальное уравнение называют также
уравнением Больцмана. Оно было впервые установлено основа
телем кинетической теории Людвигом Больцманом в 1872 г.
Равновесное статистическое распределение должно удовле
творять кинетическому уравнению тождественным образом. Это
х) Возможность преобразования интеграла столкновений с помощью (2.9)
указана Штюккелъбергом (E.C.G. Stiickelberg, 1952).
24
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
условие действительно выполняется. Равновесное распределение
стационарно и (в отсутствие внешнего поля) однородно; поэтому
левая часть уравнения (3.8) тождественно обращается в нуль.
Равен нулю также и интеграл столкновений: в силу равенства
(2.5) обращается в нуль подынтегральное выражение. Удовле
творяет кинетическому уравнению, конечно, и равновесное рас
пределение для газа во внешнем поле. Достаточно вспомнить,
что левая часть кинетического уравнения есть полная произ
водная df /dt, тождественно обращающаяся в нуль для всякой
функции / , зависящей только от интегралов движения; равно
весное же распределение выражается только через интеграл дви
жения — полную энергию молекулы 6 (Г).
В изложенном выводе кинетического уравнения столкнове
ния молекул рассматривались по существу как мгновенные ак
ты, происходящие в одной точке пространства. Ясно поэтому,
что кинетическое уравнение позволяет в принципе следить за из
менением функции распределения лишь за промежутки време
ни, большие по сравнению с длительностью столкновений, и на
расстояниях, больших по сравнению с размерами области столк
новения. Последние порядка величины радиуса действия моле
кулярных сил d (для нейтральных молекул совпадающего с их
размерами); время же столкновения порядка величины d/v. Эти
значения и устанавливают нижний предел расстояний и длитель
ностей, рассмотрение которых допускается кинетическим урав
нением (к происхождению этих ограничений мы вернемся еще
в § 16). Но фактически обычно нет необходимости (да и воз
можности) в столь детальном описании поведения системы; для
этого понадобилось бы, в частности, и задание начальных усло
вий (пространственного распределения молекул газа) с такой же
точностью, что фактически неосуществимо. В реальных физи
ческих вопросах существуют характерные параметры длины L и
времени Т, навязываемые системе условиями задачи (характер
ные длины градиентов макроскопических величин газа, длины
и периоды распространяющихся в нем звуковых волн и т. п.).
В таких задачах достаточно следить за поведением системы на
расстояниях и за времена, малые лишь по сравнению с этими
L и Т. Другими словами, малыми лишь по сравнению с L и Т
должны быть физически бесконечно малые элементы объема и
времени. Усредненными по таким элементам задаются и началь
ные условия задачи.
Д ля одноатомного газа величины Г сводятся к трем ком
понентам импульса атома р, а согласно (2 .8 ) функция wf в
интеграле столкновений может быть заменена функцией w =
= w ( p f, р[; р, pi). Выразив затем эту функцию через дифферен
циальное сечение столкновений da согласно w d 3pf d 3p[ = v0TU da
25
КИ НЕТИ ЧЕСКО Е УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМ АНА
(где v,'отн
(3.9)
Функция w, а с нею и сечение о!а, определенное согласно (2.2),
содержат в себе (5-функцпонные множители, выражающие зако
ны сохранения импульса и энергии, в силу которых переменные
P i 5 Р7> Pi (при заданном р) в действительности не независимы.
Но после того, как интеграл столкновений выражен в виде (3.9),
можно считать, что эти ^-функции уже устранены соответствую
щим интегрированием; тогда da будет обычным сечением рассе
яния, зависящим (при заданном г>0 Тн) только от угла рассеяния.
Д ля качественного рассмотрения кинетических явлений в
газе используется грубая оценка интеграла столкновений с по
мощью понятия длины свободного пробега I — некоторого сред
него расстояния, проходимого молекулой между двумя после
довательными столкновениями 1). Эта величина имеет, конечно,
лишь качественный характер; самое ее определение зависит от
того, какое именно кинетическое явление в газе рассматривает
ся.
Длина свободного пробега может быть выражена через сече
ние столкновений а и плотность числа молекул в газе N. Пусть
молекула в своем движении прошла 1 см; на этом пути она столк
нулась с молекулами, находящимися в объеме а (объем цилиндра
с площадью сечения а и длиной 1 см); в этом объеме имеется a N
молекул. Ясно поэтому, что
Сечение столкновений а I d \ где d — молекулярные размеры.
Написав также N ~ г - 3 , где г — среднее расстояние между мо
лекулами, найдем, что
(3.11)
Поскольку в газе г
d, то длина пробега I
г.
Отношение т ~ l/v называют временем свободного пробега.
Д ля грубой оценки интеграла столкновений можно положить
S t / ~ —- — — ~ —у ( / —/о)Т
(3.12)
I
Написав в числителе разность / —/о, мы тем самым учли, что ин
теграл столкновений обращается в нуль для равновесной функ
ции распределения. Знак минус в (3.12) выражает тот факт, что
х) Это понятие было впервые введено Клаузиусом (R . Clausius, 1858).
26
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
столкновения являются механизмом установления статистиче
ского равновесия, т. е. стремятся уменьшить отклонение функ
ции распределения от равновесной. В этом смысле величина т
играет роль времени релаксации для установления равновесия в
каждом элементе объема газа.
§ 4. Д -т еор ем а
Предоставленный самому себе газ, как и всякая замкнутая
макроскопическая система, стремится перейти в равновесное со
стояние. Соответственно эволюция неравновесной функции рас
пределения согласно кинетическому уравнению должна сопро
вождаться возрастанием энтропии газа. Покажем, что это дей
ствительно так.
Как известно, энтропия идеального газа, находящегося в
неравновесном макроскопическом состоянии, описывающемся
функцией распределения / , равна
S =
J
/In j d V dr
(4.1)
(см. V, § 40). Дифференцируя это выражение по времени, пишем
=
J
dVdY = - J l n f ^ d V d T .
(4.2)
Поскольку установление статистического равновесия в газе
осуществляется столкновениями молекул, то возрастание энтро
пии должно быть связано именно со столкновительной частью
изменения функции распределения. Изменение же этой функ
ции, связанное со свободным движением молекул, не может изме
нить энтропии газа. Действительно, эта часть изменения функ
ции распределения дается (для газа во внешнем поле U(г)) пер
выми двумя членами в правой части уравнения
% = - v V / - F ^ + St/.
dt
ар
Их вклад в производную dS/d t равен
- [ in f Г—V— —F —^-1 d V d V = [ [v — + F — 1 ( / I n Д dVdV.
J
J
dr
Op
J
dr
dp
V
e)
Но интеграл no dV от члена с производной д / д г преобразуется
согласно теореме Гаусса в интеграл по поверхности; при интегри
ровании по всему объему газа он обращается в нуль, поскольку
за пределами занимаемого газом объема / = 0. Аналогичным
образом, член с производной д / д р при интегрировании по d3p
§4
27
Я -ТЕ О РЕМ А
преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности
в импульсном пространстве и тоже обращается в нуль.
Таким образом, для изменения энтропии остается
^ = -/ln /-S t/d I W .
(4.3)
Этот интеграл можно преобразовать с помощью приема, ко
торый мы сформулируем (имея в виду также и дальнейшие при
менения) в общем виде для интеграла
/ < р ( Г ) St / d r ,
где (f(T) — любая функция величин Г. Представив интеграл
столкновений в виде (3.6), пишем
/ р(г) s t f d r = f ipw(r, г 15 Г', r ;)/'/{ d 4r -
- / р Ц Г /,Г/1;Г,Г1) / / 1►Гт и учтем, что
L a{YT ) = ± L a{T)
(9.12)
(верхний знак относится к случаю вязкости, нижний — теплопро
водности). Воспользуемся теперь соотношениями (9.5) и (9.10).
При этом в (9.10) можно производить интегрирование по Гт
вместо Г, значение интеграла от этого, очевидно, не изменится.
Имеем
/ fog bL a dT = ± f f 0g l l ( g a) d T T =
= ± f /оg T
a I { g b) dVT = ± J f 0g l L b(T) dVT .
Теперь достаточно переобозначить в правой части равенства
Гт—>Г, и с учетом (9.12) мы получим требуемый результат (9.7).
Кинетические коэффициенты должны удовлетворять также
и условиям, следующим из закона возрастания энтропии; в част
ности, должны быть положительны «диагональные» коэффици
енты 7 аа. Поскольку кинетическое уравнение обеспечивает воз
растание энтропии, то естественно, что при вычислении с его
помощью кинетических коэффициентов эти условия удовлетво
ряются автоматически.
Возрастание энтропии выражается неравенством
—/ In / • St / с!Г > 0
(см. § 4). Подставив сюда
1 = 10(1
+ 5;).
St / = | / ( х ) ,
имеем
-J l n / o S t / d r —i J /
0
ln(l + ^ ) / ( x ) d r > 0 .
ПРИ БЛИ Ж ЕНН О Е РЕШ ЕНИЕ
47
Первый интеграл обращается в нуль тождественно, а во втором
пишем, ввиду малости %, 1п(1 + %/Т) ~ х / ^ и находим
- f f o x l ( x ) dT > 0.
(9.13)
Этим неравенством и обеспечиваются необходимые свойства ки
нетических коэффициентов. В частности, при Х ~ ё а оно ВЬ1Ра_
жает собой положительность j aa.
§ 10. П р и бл и ж ен н ое реш ение кинетического уравнения
Ввиду сложности закона взаимодействия молекул (в особен
ности многоатомных), определяющего функцию w в интегра
ле столкновений, уравнение Больцмана по существу не может
быть даже записано для конкретных газов в точном виде. Но и
при простых предположениях о характере молекулярного взаи
модействия сложность математической структуры кинетическо
го уравнения делает, вообще говоря, невозможным нахождение
его решения в точном аналитическом виде; это относится даже
к линеаризованному уравнению. В связи с этим в кинетической
теории газов приобретают особое значение достаточно эф ф ек
тивные методы приближенного решения уравнения Больцмана.
Изложим здесь идею такого метода в применении к одноатомно
му газу (S . Chapman, 1916).
Рассмотрим сначала задачу о теплопроводности. Д ля одно
атомного газа теплоемкость ср = 5/2 и линеаризованное уравне
ние (7.3) принимает вид
~ v ( l ~ f 3v2) = / (g )
(10Л)
(где /3 = т / ( 2 Т)); линейный интегральный оператор /(g ) опре
деляется формулой
-f(g) = // ^ o TH/o i(g ' + gi - g - gi) d3pi da
(10.2)
(соответствующей интегралу столкновений (3.9)), а равновесная
функция распределения 1)
/о И = ^
т 6П
тг6/^2 е_/^
(Ю.З)
Эффективный метод приближенного решения уравнения
( 1 0 . 1 ) основан на разложении искомых функций по полной си
стеме взаимно ортогональных функций, в качестве которых осо
бым удобством обладают так называемые полиномы Сонина
х) Функция распределения везде предполагается определенной по отно
шению к импульсному пространству. Это не мешает, однако, тому, что она
может быть выражена, по соображениям удобства, через скорость v = p /m .
48
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
(.D . Burnett, 1935). Эти функции определяются форм улой1)
S sJ x ) = - exx ~ r — e~xx r+s,
rV ’
s\
dx°
’
(10.4)
v
’
причем г — произвольное, a s — целое положительное число или
нуль. В частности,
Sj? = l, S lr { x ) = r + 1 - х .
(10.5)
Свойство ортогональности этих полиномов при заданном индек
се г и различных индексах s:
J e - xx rS*(x)S?(x) dx = Г(г + а + 1) 6aa>.
о
s]
Ищем решение уравнения (10.1) в виде разложения
(10.6)
ОО
g (v ) =
A s S 3/2(Pv2)-
v
(10-7)
S= 1
Опустив в разложении член с s = 0, мы тем самым автоматиче
ски удовлетворяем условию (7.4) (интеграл обращается в нуль в
силу ортогональности полиномов с 5 = 0 и 5 / 0). Выражение
в скобках в левой части ( 1 0 . 1 ) есть полином
/2 (/Зг>2), так что
уравнение принимает вид
ОО
- ^ з / г О 3” 2) = j j Y l ^ 7 (v S 3/2)-
(10-8)
S= 1
Умножив его с обеих сторон на v f o ( v ) S l3/ 2 (f3v2) и проинтегриро
вав по d 3p, получим систему алгебраических уравнений
ОО
=
1= 1,2,...,
(10.9)
s= 1
причем
а1* = -
I f ^ S 3l / 2 I ( v S 3s/ 2 ) d 3p = J L - { v S 3l / 2 , v S s3/2},
(10.10)
где введены обозначения
{F,G} = f f 0 (v)f 0(v i )\v - v 1 \ A ( F ) A ( G ) d 3p d 3p 1 da,
A (F) = F(v') + F(v[) - F(v) - F(vi ).
1) Они отличаются лишь нормировкой и индексированием от обобщенных
полиномов Лагерра:
З Д = 1 Ж - Ь г+Я(х).
(г + s)\
49
ПРИ БЛИ Ж ЕНН О Е РЕШ ЕНИЕ
Уравнение с I = 0 (10.9) отсутствует, поскольку clqs = 0 в си
лу сохранения импульса: A (v S ^ 2) = A (v) = 0. Коэффициент
теплопроводности вычисляется подстановкой (10.7) в интеграл
(7.7). Ввиду условия (7.4) этот интеграл (с е = m v 2 / 2) можно
представить в виде
к = - 1 / f 0S l / 2 {/3v2 ) v g d 3p
и в результате находим
х=-А\.
(10.12)
В простоте правой части уравнений (10.9) и выражения (10.12)
проявляется преимущество разложения по полиномам Сонина.
Ход вычислений для задачи о вязкости вполне аналогичен.
Ищем решение уравнения (8 .6 ) в виде
2
°°
Sap = - j p (vaV/3 - ±v 2 Sa/s) J 2 B sS 5sj 2 (Pv2).
(10.13)
s=0
Подстановка в (8 .6 ) с последующим умножением этого уравнения
на
fo(v)Sl5/ 2 (/3v2) (v avp - % 2 N\) и заменяем N 2 ~ N = Р / Т . С
учетом постоянства давления получим в результате
*=
[— / — \1
3 дх I Т \ о* / J
3\at/dx
3 д Т I T \ a t / J dx
( 1 1 .8 )
V
'
Эту формулу надо сравнить с феноменологическим выраже
нием диффузионного потока
i = - N D (v c + ^ V r ) ,
(11.9)
заключающим в себе определения коэффициента диффузии D
и термодиффузионного отношения кт (коэффициентом же
57
Д И Ф Ф У З И Я Л Е Г К О Г О ГАЗА В Т Я Ж Е Л О М
термодиффузии называют произведение D t = Dkr] см. VI,
§ 58) 1). Таким образом, находим
кТ = с Т — In
дТ
(11-11)
Т
у
J
При диффузионном равновесии в неравномерно нагретом
газе устанавливается такое распределение концентраций, при ко
тором диффузионный поток i = 0. Приравняв постоянной выра
жение, стоящее в фигурных скобках в ( 1 1 .8 ), получим
с = const • ———.
(v/at)
(1 1 .1 2 )
Предполагая сечение at не зависящим от скорости и заметив,
что (v) ~ (Т/ m i ) 1/ 2, найдем, что при диффузионном равновесии
в смеси с малой концентрацией легкого газа последняя пропор
циональна у/Т; другими словами, легкий газ концентрируется в
местах с большей температурой.
По порядку величины коэффициент диффузии
D~vl,
(11.13)
где v — средняя тепловая скорость молекул легкого газа, а
Z~ 1 /( Na) — длина свободного пробега. Напомним известный
элементарный вывод этой формулы. Число молекул газа i, про
ходящих слева направо в 1 с через единичную площадку, перпен
дикулярную оси ж, равно по порядку величины произведению
NiVj причем плотность N\ должна быть взята на расстоянии I
влево от площадки, т. е. в тех местах, откуда молекулы дости
гают эту площадку уже без столкновений. Аналогичным обра
зом определяется число молекул, пересекающих ту же площад
ку справа налево, а разность обоих чисел дает диффузионный
поток:
г ~ N i ( x — l)v — N i ( x + l)v ~ —RJ—
dx
откуда и следует (11.13) 2).
Явление термодиффузии было предсказано Энскогом (1911) именно для
рассматриваемой здесь модели газовой смеси.
2) Д иффузия, теплопроводность и вязкость осуществляются одним и тем
же механизмом — непосредственным молекулярным переносом. Теплопро
водность можно рассматривать как «диффузию энергии», а вязкость — как
«диффузию импульса». Поэтому можно утверждать, что коэффициент диф
фузии D, температуропроводность % = >c/(Ncp) и кинематическая вязкость
v = rj/(Nm) имеют один и тот же порядок величины, откуда и получаются
формулы ( 7 . 1 0 ) для теплопроводности и ( 8 . 1 1 ) для вязкости.
58
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
§ 12. Д и ф ф у з и я тяж ел ого газа в легком
Рассмотрим теперь обратный предельный случай, когда мала
концентрация тяжелого газа в смеси. В этом случае коэффици
ент диффузии можно вычислить косвенным способом, не прибе
гая к помощи кинетического уравнения. Именно, определим так
называемую подвижность частиц тяжелого газа, предполагая
его находящимся во внешнем поле. Подвижность же b связана
с коэффициентом диффузии этих же частиц известным соотно
шением Эйнштейна
D = ЬТ
(1 2 .1 )
(см. VI, § 59).
Подвижность есть, по определению, коэффициент пропорци
ональности между средней скоростью V , приобретаемой части
цей газа во внешнем поле, и действующей на частицу со стороны
поля силой f:
V = М.
(12.2)
Скорость же V определяется в данном случае из условия взаим
ной компенсации силы f и силы сопротивления fr, испытываемой
движущейся тяжелой частицей со стороны легких (столкнове
ниями тяжелых частиц друг с другом можно пренебречь ввиду
их относительной редкости). Функция распределения легких ча
стиц является при этом максвелловской:
/о = ----- —-— г exp f —miV \
J
(2тгш1Т ) 3/ 2
F V
2Т /
где m i — масса легкой частицы.
Рассмотрим какую-нибудь одну определенную тяжелую ча
стицу; пусть ее скорость есть V. Перейдем теперь к системе коор
динат, движущейся вместе с этой частицей, и пусть v обозначает
скорости легких частиц в этой новой системе. Функция распре
деления легких частиц в этой системе координат есть /ofv + V)
(ср. с (6.9)). Предполагая скорость V малой, можем написать
/o(v + V ) « / o ( « ) ( l - ^ ) .
(12.3)
Искомую силу сопротивления fr можно вычислить как пол
ный импульс, передаваемый тяжелой частице легкими, которые
сталкиваются с нею в единицу времени. Тяжелая частица оста
ется при столкновении неподвижной. Легкая же частица при
носит с собой импульс m iv ; после столкновения, при котором
ее импульс поворачивается на угол а, она уносит с собой им
пульс, равный в среднем m iv c o s a . Поэтому импульс, передава
емый при таком столкновении тяжелой частице, равен в среднем
m iv (l —cos а). Умножая его на плотность потока легких частиц
Д И Ф Ф У З И Я Т Я Ж Е Л О Г О ГАЗА В Л Е Г К О М
59
со скоростью v и на сечение da такого столкновения и интегри
руя, получим полный передаваемый тяжелой частице импульс:
fr = m i f /o (v + V)vvcrt d3p,
где опять введено обозначение (11.4). При подстановке сюда
/o(v + V) в виде (12.3) первый член обращается в нуль (интегри
рованием по направлениям скорости v), так что остается
J f o ( v ) ( V v ) v v a t d 3p,
или, усредняя по направлениям v,
fr =
fr = - ^ V / / o ( u ) a ^
3
d 3p = - N ^ Y i a t v 3),
где угловые скобки снова обозначают усреднение по обычному
максвелловскому распределению. Наконец, имея в виду, что в
рассматриваемом случае N\ 3>
пишем N\ ~ N = Р /Т , так
что
f , = ~ ^ { a t v 3) V .
Приравняв нулю сумму силы сопротивления fr и внешней си
лы f, получим согласно ( 1 2 .2 ) подвижность 6 , а затем и искомый
коэффициент диффузии
D = ЬТ =
---- .
m \P { a tv 2,)
(12.4)
Что касается термодиффузии, то для ее вычисления в рас
сматриваемом случае необходимо было бы знать функцию рас
пределения частиц легкого газа при наличии в нем градиента
температуры. Поэтому коэффициент термодиффузии не может
быть вычислен здесь в общем виде.
По порядку величины D
v / N a , где v
л/ T / m i — снова
(как и в (11.13)) средняя тепловая скорость молекул легкого газа.
Таким образом, порядок величины коэффициента диффузии в
обоих случаях одинаков:
грЗ/ 2
d
~ 7 ¥ ^ -
(12'5)
Задача
Определить коэффициент диффузии в смеси двух газов (легкого и тя
желого), рассматривая их частицы как твердые упругие шарики диаметров
di и С?2 Р е ш е н и е . Сечение столкновений dcr = 7r(c?i + с/2 ) 2 с?о/(1 б7г), отку
да транспортное сечение at = 7r(di + с/2 )2/4 (в данном случае совпадает с
полным сечением а). Коэффициент диффузии имеет вид
ЛгпЗ/2
D = -------------------— ,
(di + d2)2P m 1
60
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
где m i — масса легкой частицы, а А — численный коэффициент. В случае
малой концентрации легкого газа вычисление по (11.10) дает
При малой же концентрации тяжелого газа (12.4) дает
Обратим внимание на близость значений А в обоих предельных случаях.
§ 13. К инетические явления в газе во внеш нем поле
Вращательные степени свободы молекул создают тот меха
низм, через который внешнее магнитное или электрическое по
ле может оказывать влияние на кинетические явления в газе1).
Характер этого влияния одинаков в магнитном и электрическом
случаях; будем говорить сначала о газе в магнитном поле.
Вращающаяся молекула обладает, вообще говоря, магнитным
моментом, среднее (в квантовомеханическом смысле) значение
которого обозначим через /л. Магнитное поле будем предпола
гать ограниченным по величине настолько, что произведение ц В
мало по сравнению с интервалами тонкой структуры молекуляр
ных уровней2). Тогда можно пренебречь влиянием поля на со
стояние молекулы, так что магнитный момент вычисляется по
ее невозмущенному состоянию. При не слишком низких темпе
ратурах (которые мы и рассматриваем) величина fiB будет мала
также и посравнению с Т; это позволяет пренебречь влиянием
поля на равновесную функцию распределения молекул газа.
Магнитный момент направлен вдоль вращательного момента
молекулы М; напишем его в виде
/1
=
7
М.
(13.1)
Классическому вращению молекулы отвечают большие враща
тельные квантовые числа; при этом можно пренебречь в М раз
личием между полным (включающим спин) и вращательным мо
ментами. Значение постоянного коэффициента 7 зависит от рода
молекулы и природы ее магнитного момента. Так, для двухатом
х) Этот механизм был указан Ю.М. Каганом и Л.А. Максимовым (1961);
им же принадлежат излагаемые в этом параграфе результаты.
2) Напомним, что в макроскопической электродинамике среднее (по фи
зически бесконечно малым объемам) значение напряженности магнитного
поля называется магнитной индукцией и обозначается как В. При малой
плотности среды — в газе — ее намагниченностью можно пренебречь, и
тогда вектор В совпадает с вектором макроскопической напряженности Н.
Я В Л Е Н И Я В ГАЗЕ ВО В Н Е Ш Н Е М П О Л Е
61
ной молекулы с отличным от нуля спином S имеем
(13.2)
7
где ц в — магнетон Бора, а число а = J — К — разность между
квантовыми числами полного момента J и вращательного момен
та К (эта разность пробегает значения S, S —1 , . . . , —S); в знаме
нателе же различие между J и К несущественно: М « HJ ~ НК.
В формуле (13.2) предполагается, что взаимодействие спин-ось
в молекуле мало по сравнению с интервалами вращательной
структуры уровней (случай b по Гунду) 1).
В магнитном поле В на молекулу действует момент сил, рав
ный \рВ]. Под его влиянием вектор М перестает быть посто
янным в течение «свободного» движения молекулы и меняется
согласно уравнению
^
= \рВ} = -
7
[ВМ]
(13.3)
— вектор М прецессирует вокруг направления поля с угловой
скоростью —7 В. В связи с этим в левую часть кинетического
уравнения должен быть добавлен член (с\ + 2x2
Возникающее благодаря тепловому скольжению ламинарное движение
газа определяется всего одним вектором А. Поэтому соответствующее реше
ние уравнения Навье-Стокса можно искать в таком же виде, как и в задаче
об обтекании жидкостью движущегося в ней шара (см. V, § 20):
А + п(Ап)
. Зп(Ап) —А
v = ~а-------------+ Ь-------- ~з,------- ’
где п = г / г (аддитивной постоянной в v не пишем, так как должно быть
v = 0 при т —У о о ) . Постоянные а и Ъ определяются из условий
vr = 0,
ve = —
при г = R
R дв
и равны
а=
Ъ _
R?
3> 1, то гидродинамические
уравнения становятся вовсе неприменимыми, даже с исправлен
ными граничными условиями.
В общем случае произвольного 1/L требуется в принципе
решать кинетическое уравнение с определенными граничны
ми условиями на соприкасающихся с газом твердых поверхно
стях. Эти условия определяются взаимодействием молекул газа
с поверхностью и связывают функцию распределения частиц,
падающих на поверхность, с функцией распределения частиц,
покидающих ее. Если это взаимодействие сводится к рассея
нию молекул (без их химического превращения, ионизации или
поглощения поверхностью), то оно описывается вероятностью
w ( r ' , Г) о?Г7, т. е. вероятностью того, что молекула с заданными
значениями Г, столкнувшись с поверхностью, отразится от нее в
заданный интервал dTf; функция w нормирована условием
/ Ц Г ', Г ) ^ Г ' = 1.
(15.1)
С помощью w граничное условие для функции распределения
/(Г ) записывается в виде
f
w(r', T ) n v f ( r ) d r = —n v '/ ( r ') при nv' > 0.
(15.2)
nv 0. Далее, действующие на тело силы Fni
F £, обусловленные движением газа относительно тела, должны
быть направлены в ту же сторону, куда направлены Vn ж V^;
поэтому должно быть 6 > 0, в > 0. Что касается коэффициен
тов /3 и 7 , то их знак не следует из общих термодинамических
соображений (хотя, по-видимому, фактически они, как прави
ло, положительны). Между ними имеется простое соотношение,
являющееся следствием принципа симметрии кинетических ко
эффициентов.
Д ля вывода этого соотношения вычислим производную по
времени от полной энтропии всей системы, состоящей из газа
вместе с находящимся в нем телом. В единицу времени тело по
лучает от газа через каждый элемент поверхности df количество
тепла qdf. При этом энтропия тела S i испытывает приращение:
где интегрирование производится по всей поверхности тела.
Д ля вычисления увеличения энтропии газа выбираем такую
систему координат, в которой газ (в месте нахождения тела) по
коится; в этой системе скорость каждой точки поверхности тела
есть —V. Д ля целей доказательства искомого соотношения бу
дем считать, что форма тела может меняться при его движении;
тогда скорости V различных точек его поверхности будут яв
ляться произвольными независимыми переменными величина
ми. Согласно термодинамическому соотношению dE = Т dS —
— Р dV изменение энтропии газа в единицу времени равно
= ^ { Ё 2 + P 2V2 )
12
(величины с индексом 2 относятся к газу). Производная Е 2 рав
на, в силу сохранения полной энергии системы, взятому с обрат
ным знаком изменению энергии тела. Последнее складывается
из количества тепла § q d f и произведенной над телом работы,
равной интегралу f (—V )(F —Р n) d f . Отсюда находим для изме
нения энергии газа:
Ё 2 = § { - q + FnVn + F tV t - P 2 Vn) df.
Что касается изменения объема газа, то оно равно взятому с
обратным знаком изменению объема тела:
V2 = §Vn df.
Я В Л Е Н И Я В С И Л Ь Н О Р А З Р Е Ж Е Н Н Ы Х ГАЗАХ
79
Таким образом, имеем для изменения энтропии газа:
^2 = ± § { - q + FnVn + F t V t ) df.
12
Складывая производные от S\ и
и полагая затем (при ма
лых т) Т\ « Т2 = Т, получаем окончательно для скорости изме
нения полной энтропии системы:
(15.5)
Выберем в качестве величин х\, &2 , х$, х± в общей формули
ровке принципа Онсагера (§ 9) соответственно g, Fn и две компо
ненты вектора
(в каждой заданной точке поверхности тела).
Д ля выяснения смысла соответствующих величин Х а сравним
формулу (15.5) с общим выражением скорости изменения энтро
пии (9.3). Мы увидим тогда, что величинами X i , Х 2 , Х 3 , Х 4
будут соответственно —т / Т 2, —Vn/ T и две компоненты векто
ра —W t / T в той же точке. Кинетические же коэффициенты (ко
эффициенты в соотношениях (9.1)):
7 п = о/Т2,
712
Из симметрии
шение
712
=
721
722
= ST,
= /ЗТ,
721
7
=
зз =
7
744
= вТ,
Т 2.
следует, таким образом, искомое соотно-
(15.6)
/5 = 7 Т.
Отметим также, что из условия положительности квадратичной формы (9.3) (S > 0) следуют уже упомянутые неравенства
а, /3, в > 0 и дополнительно еще неравенство
Т а5 > /З2.
Вычисление коэффициентов в (15.4) требует знания конкрет
ного закона рассеяния молекул газа от поверхности тела, выра
жаемого введенной выше функцией г^(Г7,Г). Д ля примера полу
чим формулу, позволяющую в принципе вычислить величину а.
Плотность потока энергии от газа к телу выражается инте
гралом
q = f ( £ - £ ' ) \ v x \w(T',Г) f (Г) dT dT'
(15.7)
(взятым по области vx < 0 , vfx > 0 ), — при каждом столкновении
молекулы со стенкой последней передается энергия е — е'.
Преобразуем это выражение с помощью принципа детально
го равновесия, согласно которому в состоянии равновесия число
80
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
переходов Г —>►Г 7 при рассеянии молекул от стенки равно числу
переходов Г'т -)• Гт . Это означает, что
м (Г',Г)|г;ж|ехр
- ) = ад(Гт ,Г 'т ) |< |е х р
(15.8)
(в равновесии температура газа совпадает с температурой
стенки).
Произведем в (15.7) переобозначение переменных интегриро
вания Г —>►Г/Т, Г 7 —>►Гт . Взяв полусумму обоих получающихся
выражений, напишем
Я = \ f ( с - е')е ^ 1Т2 х
х [ад(Г',Г)|г;я |е_е/:Г!! - ад(Гт , Г,т ) | ^ | е “ £'/т2] d r d r '.
Наконец, подставив сюда w(TT ,Г /Т) из (15.8) и разложив затем
подынтегральное выражение по степеням малой разности т =
= Т2 —Ti, найдем, что q = а т , где
« = ^
| ( £ - £ , )2 К к ( Г , , Г ) е х р ( ^ И )
d r dr'
(15.9)
(г>ж < 0, v'x > 0; индекс у температуры Т\ ~ Т2 опущен).
Функция распределения молекул, рассеянных от стенки, за
висит от конкретного характера их взаимодействия со стенкой.
Говорят, что имеет место полная аккомодация, если молекулы,
отраженные от каждого элемента поверхности тела, имеют (неза
висимо от величины и направления их скорости до столкнове
ния) такое же распределение, какое имели бы молекулы в пучке,
выходящем из маленького отверстия в сосуде с газом с темпера
турой, равной температуре тела. Другими словами, при полной
аккомодации рассеиваемый от стенки газ приходит в тепловое
равновесие с нею. Величину коэффициентов в (15.4) имеет смысл
сравнивать именно с их значениями при полной аккомодации.
В частности, обмен энергией между молекулами газа и твер
дой стенкой обычно характеризуют коэффициентом аккомода
ции, определяемым как отношение а/ао (где ао отвечает полной
аккомодации). В реальных случаях полная аккомодация, вооб
ще говоря, не достигается и коэффициент аккомодации меньше
единицы.
В том, что значение ао действительно является наибольшим
возможным, легко убедиться с помощью следующих соображе
ний. Рассмотрим энтропию S в (15.5) с несколько иной точки
зрения: не как полную энтропию тела и газа в целом, а как эн
тропию тела и лишь той совокупности молекул газа, которые за
время A t падают на поверхность тела. Д ля этой системы отра
81
Я В Л Е Н И Я В С И Л Ь Н О Р А З Р Е Ж Е Н Н Ы Х ГАЗАХ
жение молекул с полной аккомодацией означает переход в состо
яние полного равновесия, так что ее энтропия принимает макси
мально возможное значение. Соответственно будет максимально
возможным и изменение энтропии, A S = S A t , сопровождаю
щее этот переход1). Другими словами, при полной аккомодации
квадратичная форма (9.3) должна быть максимальна при лю
бых заданных значениях величин Х а (т. е. т, Vni V^). Отмечая
соответствующие значения коэффициентов 7 ^ индексом нуль,
запишем это условие в виде
« о ^ а т 2 + 2(/30 -13)ту
rj~l2
rj~l2
kjzly2+
v
>
0
.
Отсюда следуют неравенства
ao > a, Jq > J, во > в
,
Т ( а 0 - а ) ( 60 - ё ) > ( P o - P ) 2-
(15.10)
Рассмотрим вытекание сильно разреженного газа из малень
кого отверстия (с линейными размерами L). В предельном слу
чае l / L
1 этот процесс приобретает весьма простой харак
тер. Молекулы будут покидать сосуд независимо одна от дру
гой, образуя молекулярный пучок, в котором каж дая молеку
ла движется с той скоростью, с которой она подошла к отвер
стию. Число молекул, выходящих в 1 с из отверстия, совпадает с
числом столкновений, которые испытали бы за это время моле
кулы газа с площадью поверхности, равной площади отверстия
s. Число столкновений, отнесенное к единице площади стенки,
есть Р(27гшТ)-1 / 2, где Р — давление газа, m — масса молекулы
(см. V, § 39). Таким образом, для количества (массы) вытекаю
щего в 1 с газа находим
о = , Р
^ .
(15.11)
Если два сосуда с газом соединены друг с другом отверсти
ем, то в случае I Т\)
V=
г ,- Г .) .
4. Вычислить значение ао коэффициента а при полной аккомодации.
Р е ш е н и е . Количество энергии, приносимой в единицу времени
молекулами, сталкивающимися с единицей площади поверхности тела, есть
/ f 2 Vx£cir, где / 2 — больцмановская функция распределения с температу
рой Т2 газа (е — энергия молекулы, а ось х направлена перпендикулярно
к поверхности тела). Количество уносимой этими же молекулами энергии
получится отсюда (при полной аккомодации) просто заменой Т 2 на темпе
ратуру тела Т\. Поток тепла
q=
/(/2
- fi)evx dV
(интегрирование по vx — в пределах от 0 до оо). Энергию молекулы пишем
в виде £ — £вн + тг>2/2, где s BH — внутренняя энергия. Вычисление дает для
каждого из интегралов значение
J f s v x dT = ^ (sBH + 2Т) = г/
^ = г/Т ^cv + —^ ,
где е = cvT — средняя энергия молекулы, а г/ = Р/л/2тгшТ — число молекул,
сталкивающихся в 1 с с 1 см2 поверхности. Тепло q равно разности энергии
приходящих и уходящих молекул при одинаковом числе тех и других, т. е.
одинаковом т/. В результате находим для коэффициента в q = а(Т 2 — Ti)
значение
Р
(
1\
— !
—I Cv + —I
л/27гшТ V
2/
(разность Т 2 —Ti предполагается малой, так что полагаем Т\ ~ Т2 = Т).
5. То же для коэффициентов /3 и 7 .
Р е ш е н и е . Нормальная составляющая импульса, приносимого молекулами, сталкивающимися в 11 с с 11 см 2 поверхности тела, равна половине
давления газа. Выражая давление через
имеем
Р
1птТ
~2 ~ V 2
Взяв разность значений этой величины при температурах Т\ и Т2 и оди
наковых г/, получим дополнительную силу Fn , обусловленную разностью
температур. Считая Т2 —Т\ малой, найдем
7о = Р/АТ.
Д ля коэффициента /3 имеем согласно (15.6) /Зо = Р /4 .
6. То же для коэффициентов 6 и в.
Р е ш е н и е . Выбираем систему координат, в которой тело покоится, а
газ движется со скоростью V ; ось х направлена по нормали к поверхности, а
плоскость ху выбрана так, чтобы V лежало на ней. Функция распределения
в этой системе есть
f = co n st • exp j - ^ г - ^
- ^ ) 2+ К
- Vv ) 2 +
} •
Что касается отраженных молекул, то при полной аккомодации они имеют
функцию распределения с V = 0; т считаем равным нулю.
Я В Л Е Н И Я в С И Л Ь Н О Р А З Р Е Ж Е Н Н Ы Х ГАЗАХ
85
При вычислении касательной силы Fy полагаем Vx = 0 . Приносимая
падающими на поверхность тела молекулами полная ^/-компонента импульса
есть
f mVyVxf dF = mVy f vxf dF = mVyv
(no vx интегрирование производится везде в пределах от 0 до оо). Уносимая
же ими ^/-компонента импульса исчезает. Таким образом, Fy = m vVy, так
что
во = urn =
V 2тгТ
Пусть теперь Vx / 0, Vy = 0 . С точностью до членов первого порядка
по Vx имеем
/ = /о +
V x-^-fo,
где /о — функция распределения с V = 0. Число молекул, сталкивающихся
в 1 с с 1 см2 поверхности, есть
РУх
2Т
л/27гтпТ
Приносимая этими молекулами ж-компонента импульса есть
/
2 р 1-гл Р
/2 m
m v xf d T = — + P V X\
2
V 7Г1
Отраженные от стенки молекулы имеют функцию распределения с Vx = 0 ,
нормированную таким образом, чтобы интеграл f f v x dV был равен числу v
падающих молекул, определенному выше. Уносимая этими молекулами хкомпонента импульса равна
2
2
2
V 2Т
Дополнительная к давлению нормальная сила есть Fx = 5о14, где
60 = p j J ! L
( 2 + 5 ) = ^ ( 4 + тг).
V 2тгТ V
2/
2
7.
В предположении полной аккомодации определить температуру пла
стинки, движущейся со скоростью V в разреженном газе параллельно самой
себе.
Р е ш е н и е . Поступая как в задаче 4, имеем для приносимой энергии:
( ^
Т2 m V 2
v ( cvT 2 Н------- Ь
2
а для уносимой:
vT\ ( cv Н—
V
2
Приравнивая эти потоки, находим
mV2
Tl " Тз = .2cv + 1
8.
Определить количество газа, протекающего в единицу времени через
поперечное сечение цилиндрической трубы (радиуса R) под влиянием гра
диентов давления и температуры. Газ настолько разрежен, что длина сво-
2
86
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
бодного пробега I
R 1). При столкновениях молекул с ее стенками имеет
место полная аккомодация.
Р е ш е н и е . Распределение молекул по скоростям при отражении их от
стенки при полной аккомодации имеет вид vxf dsp, где / — максвелловская
функция распределения, а ось х перпендикулярна к поверхности. Обозначая
через $ угол между скоростью молекулы и осью ж, найдем, что распреде
ление отраженных молекул по направлениям их движения (независимо от
абсолютной величины скорости) имеет вид
—cos $ do
7Г
(эта функция нормирована так, что ее интеграл по всем телесным углам по
одну сторону плоскости равен v).
Выбираем ось z по оси трубки, а начало координат — в рассматриваемом
ее сечении. Через это сечение проходят молекулы, испытавшие последнее
отражение от различных участков поверхности трубы. Из числа молекул,
рассеянных от некоторого элемента df поверхности стенки на расстояние z,
пройдут через заданное сечение те, которые отражены по направлениям,
лежащим внутри телесного угла, под которым видно это сечение из рас
сматриваемой точки на поверхности трубы, т. е. df • v f cos $ do/тг молекул
(интегрирование производится по указанному интервалу углов).
Этот интеграл, очевидно, одинаков для всех точек, лежащих на одина
ковом расстоянии z от заданного сечения. Поэтому полное число молекул,
проходящих (в 1 с) через это сечение, получится заменой df на кольцевой
элемент поверхности 2irRdz и интегрированием по всей длине трубы; умно
жая еще на массу ш молекулы, получим расход массы газа через сечение
трубы:
Q = 2m R f v ( f cos i9 do) dz.
Число
будучи функцией давления и температуры, меняется вдоль длины
трубы. Если градиенты давления и температуры вдоль длины не слишком
велики, то можно написать
/ \
/ \
/
\
/ \
/ \
/ л' \
А
О
Т/Ттттрт^пя it с
i / ( Ph
r \ f \п а т т т я р т г а
птт0
1
2
Если Ti = Т 2 = Т, то
F 2 = —Fi = V P \ I
2тгТ
в соответствии с (15.15), (15.16).
10.
В предположении полной аккомодации определить коэффициент
теплопередачи >с между двумя пластинками с близкими температурами Т\
и Т2 .
88
К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГАЗОВ
ГЛ. I
Р е ш е н и е . При полной аккомодации падающие на пластинку 1
молекулы имеют равновесное распределение с температурой Т 2 . Поэтому
поток энергии от пластинки 1 к пластинке 2: q = ао (Т2 —Ti). Взяв ао из
задачи 4 и определив >с согласно (15.13), получим
ус =
г
аоЬ =
PL
(
. 1
л/27гшТ V
2
в соответствии с оценкой (15.14).
11.
Определить плотность газа на оси позади кругового диска радиуса
R = 7V0
= exp < -------------------- > ,
I
2T
J
^/W T z2
I
2T R 2 + z 2 )
где No — плотность газа вдали от диска. Интегрирование по dp выполнено
в предположении cos$o
v t / V (можно показать, что это же неравенство
является также и условием допустимости пренебрежения отраженными от
задней стенки частицами).
§ 16. Д и нам ический вы вод кинетического уравнения
Хотя изложенный в § 3 вывод кинетического уравнения удов
летворителен с физической точки зрения, представляет значи
тельный интерес проследить за тем, каким образом это уравне
ние можно аналитически получить из математического аппарата
теории, т. е. из уравнений движения частиц газа; такой вывод
дан Н.Н. Боголюбовым (1946). Значение этого метода состоит
89
ДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД
также и в том, что он дает регулярную процедуру, позволяю
щую в принципе получить не только уравнение Больцмана, но
и поправки к нему, т. е. члены следующих порядков по мало
му «параметру газовости» — отношению (rf/r)3, где d — моле
кулярные размеры (радиус действия молекулярных сил), а г —
среднее расстояние между молекулами. Излагаемый ниже вывод
относится к одноатомному газу в чисто классических рамках,
т. е. в предположении, что не только свободное движение, но и
процессы столкновения частиц газа описываются классической
механикой.
Исходным пунктом метода является теорема Лиувилля для
функции распределения газа в целом как системы М частиц.
Обозначим такую функцию (в 6 Л/"-мерном фазовом простран
стве) через
(£, т\ , 7 2 , . . . , тд/*), где символы та обозначают
совокупности координат и компонент импульса а-й частицы:
та = (га?Ра); эта функция будет предполагаться нормированной
на единицу:
, П , ... , ТД/-) d n . .. dTM =
1,
dTa = dzx a dzp a.
Фигурирующая в уравнении Больцмана «одночастичная» функ
ция распределения получается интегрированием функции
по всем о!та, кроме одного:
/ (1) ( t,r i) =
J
f (M)dT2 ...dTM\
(16.1)
функция /W тоже нормирована на 1 ; обозначение же / (без ин
декса) сохраним для функции распределения, нормированной на
полное число частиц: / = М
.
Напомним (см. V, § 3), что теорема Лиувилля возникает как
следствие уравнения непрерывности в фазовом пространстве, ко
торому должна удовлетворять функция распределения замкну
той системы:
s,im
dt + Е ( £ < / (ГЬ Г2) + Щ р - 8 (Г 1 - Г2)
(20.14)
F i - ^ - + F 2 - ^ - - ( 7 1 + / 2) р (Г ь Г2) = S t 1 2 p ( r b r 2).
api
ор 2
(20.15)
удовлетворяет уравнению
Если газ находится в замкнутом сосуде, то это уравнение долж
но решаться при дополнительном условии, выражающем собой
Ф Л У К Т У А Ц И И В Н ЕРА В Н О В Е С Н О М ГАЗЕ
115
заданность (т. е. отсутствие флуктуаций) полного числа частиц
в газе:
/( 5 /( 0 , Г !)5/(0, Г2)> с?Г! = f ( S f ( 0, ГОат — относи
тельная скорость возбужденного и невозбужденного атомов. Скорости г>ат
распределены по Максвеллу с приведенной массой (М /2, где М — масса
атома) в качестве массы частицы; поэтому (v 2T) = 6Т/ М . Далее, р в (1) есть
импульс электрона в поле иона; усреднение atp3 производится по области
фазового пространства электрона туе), отвечающей заданному значению |е|.
При at = const находим
-2
- 2Ч з з
32л/2
/
3\
a t [ з^ (\ | , Р2
ze2\
32д/2
, |3/ 2
(vtp ) = —— / Р Q - E(t,xo)
Sw = ——
—
m
ik(wo — uj/k) + 8
=
2 "
.
е рел
UJ
ск.
2 ,2
+ Ск .
ск, и потому затухание отсутствует.
§ 33. И онно-звуковы е волны
Наряду с плазменными волнами, связанными с колебаниями
электронов, в плазме могут распространяться также и волны,
в которых испытывают существенные колебания как электрон
ная, так и ионная плотности. Эта ветвь спектра колебаний имеет
слабое затухание (и потому можно говорить об их волновом рас
пространении) в случае, когда температура газа ионов в плазме
мала по сравнению с температурой электронов:
Ti « Те.
(33.1)
Как будет подтверждено результатом вычисления, фазовая
скорость этих волн удовлетворяет неравенствам
v n ►—оо.
(35.21)
Таким образом, амплитуда эха перед достижением его мак
симума возрастает с инкрементом к ^ ( к \ ) / к \ , а за максимумом
убывает с декрементом 7 (^ 3 ).
Рис. 10 иллюстрирует рас
смотренное явление: первые
две кривые изображают ход
изменения потенциала в двух
импульсах, приложенных в
моменты £ = 0 и £ = т, а
третья кривая — форму эха.
uyyvvvv4A
t
Около кривых указаны соот
ветствующий декремент или
инкремент.
Y ( f c i) fc 3 /k i.i.
Изложенные расчеты про
ллллллЛМЛЛЛШ! I I I y¥V
*VvWWVX^
изведены в пренебрежении
столкновениями. Поэтому ус
т ' И’
ловие применимости коли
чественной формулы (35.20)
Рис. 10
требует, чтобы к заданному
моменту t осцилляции функции распределения не успели еще за
тухнуть под влиянием столкновений. Забегая вперед и восполь
зовавшись результатами задачи к § 41, можно сформулировать
это условие в виде
u(vT )(kvT )2t 3 0 будет больцмановским во
всем пространстве. Но помимо ча
стиц с £ > 0 , в этом случае суще
ствуют также и частицы с энер
гией е < 0 ; эти частицы совер
шают финитное движение внутри
потенциальной ямы — они «захва
чены». На бесконечности частиц
с е < 0 нет; поэтому изложен
ные выше соображения, в кото
рых энергия рассматривалась как
Рис. 11
строго сохраняющаяся величина,
недостаточны для нахождения распределения захваченных ча
стиц. Необходимо учесть также и изменение энергии в не стро
го стационарном поле, в результате чего это распределение ока
зывается, вообще говоря, зависящим от предыстории — от хода
включения поля (А.В. Гуревич, 1967).
В силу условия (36.1) поле мало меняется за время перио
да финитного движения захваченных частиц. Как известно, в
таком случае сохраняется так называемый адиабатический ин
вариант — интеграл
1
Ж2
I{t,e) = — - 2 /[ 2 т ( б —U ( t , x ))]1/ 2 dx,
(36.6)
27Г X!
взятый между двумя границами движения (при заданных £ и t ) .
Эта величина и будет играть теперь роль интеграла движения,
через который должна выражаться функция распределения за
хваченных частиц:
/захв = /захв
(36.7)
(причем энергия е в свою очередь предполагается выраженной
здесь через х и р х согласно (36.2)). Вид же функции (36.7) опре-
184
БЕС С Т О Л К Н О В И ТЕЛ ЬН А Я ПЛАЗМА
Г Л . III
деляется тем, что при медленном включении поля функция рас
пределения будет непрерывной функцией е. Поэтому при гра
ничном значении энергии захваченных частиц функция / заХв ( I )
должна совпадать с функцией распределения частиц, соверша
ющих над ямой инфинитное движение.
Случай потенциальной ямы вида рис. 10 б, однако, в особен
ности прост в виду того, что граничная энергия остается (при по
степенном включении поля) постоянной, равной нулю. Тогда из
указанного граничного условия следует, что / захв сводится прос
то к постоянной:
/захв = / ( 0 ) ,
(3 6 .8 )
где f(e) — функция распределения частиц над ямой. Найдем
пространственное распределение электронов в этом случае, если
f(e) — больцмановская функция (36.4).
Суммируя числа электронов с £ > 0 и с £ < 0 , имеем
ОО
= 2 f f( e ) dpx +
Р1
2 f /(0 ) dpx ,
Pi
Pi =
(2m\U \)1/ 2
0
(множители 2 учитывают частицы с рх > 0 и рх < 0). Подставив
сюда f(e) из (36.4), получим
N e(t,x) = N 0 \ еМ /Те
1
+ 2 ,/ Ж
,
V I } -
- Ф \хГ—
(36.9)
где
Ф(£) = 4 = I
л/ТГ Q
е_ “2
du-
(36.10)
При ( < 1, разложив подынтегральное выражение в (36.10)
по степеням и , имеем
*«>и £ ( < - ? ) ■
Поэтому распределение электронов, захваченных в неглубокой
яме (\U\
(37.3)
SNe
SNe
Если поле слабо {ар о, ci, С2 целесообразно ввести другие
постоянные — три корня кубического трехчлена, стоящего в пра
вой части (39.9). Обозначив эти корни через ai, a 2 , аз, напишем
/За2 = —- ( а — а\)(а — а 2 )(а — аз).
(39.10)
3
Постоянная vq связана с новыми постоянными равенством
— ~ (a i +
О
а 2
+ аз).
(39.11)
х) Оно было получено Кортевегом и де Вризом (D.J. Korteweg, G. de
Vries, 1895) для волн на поверхности мелкой воды.
7 JI. Д . Л андау, Е.М . Л и ф ш и ц , том X
194
БЕС С Т О Л К Н О В И ТЕЛ ЬН А Я ПЛАЗМА
Г Л . III
Нас будут интересовать лишь такие решения уравнения
(39.10), в которых величина |а(£)| ограничена; неограниченный
рост \а\ противоречил бы предположению о слабой нелинейно
сти. Легко видеть, что это условие не выполняется, если среди
корней ai, a 2, аз имеются комплексные; пусть это будут а\ и а 2
(причем а 2 = а*). Действительно, в таком случае правая часть
(39.10) принимает вид |а — a i | 2 (a 3 — а) / 3 и ничто не мешает а
стремиться к —оо.
Таким образом, постоянные ai, a 2, аз должны быть веще
ственными; расположим их в порядке а\ > а 2 > аз. Поскольку
выражение в правой части уравнения (39.10) должно быть поло
жительным, то функция а(£) может меняться лишь в интервале
а\ ^ а ^ а 2. Без ограничения общности можно положить аз = 0;
этого всегда можно достичь преобразованием вида (39.8). Усло
вившись о таком выборе, перепишем уравнение (39.10) в виде
(39.12)
Решение этого уравнения имеет различный характер при
а 2 = 0 и при а 2
0. В первом случае (а 2 = 0, а\ > 0) инте
грирование уравнения дает
(39.13)
начало отсчета £ выбрано в точке максимума функции (здесь и
ниже мы пишем, для упрощения обозначений, профиль волны
как функцию от £ = х в некоторый заданный момент времени
t = 0). Это решение описывает уединенную волну (солитон): при
£ —>►=Ьоо функция а(£) вместе со своими производными обраща
ется в нуль. Постоянная а\ дает амплитуду солитона, а его ши_Y/2
рина убывает с ростом амплитуды как а 1
. Согласно (39.11)
имеем г>о = a i /З, так что скорость солитона
и = щ + a i/3 .
(39.14)
Эта скорость и > щ жрастет с увеличением амплитуды.
Снова напомним, что нелинейность процессов, описываемых
уравнением КдВ, предполагается слабой. Условие этой малости
имеет естественный смысл; так, если роль величины а играет из
менение плотности среды, то это изменение должно быть малым
по сравнению с невозмущенной плотностью. В то же время «сте
пень нелинейности» этих процессов характеризуется еще и дру
гим безразмерным параметром: L [ a \ j /З)1/ 2, где L — характерная
длина, а ai — амплитуда возмущения. Этот параметр определяет
СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮ Щ ЕЙ СРЕДЕ
195
относительную роль эффектов нелинейности и дисперсии и мо
жет быть как малым (преобладание эффекта дисперсии), так и
большим (преобладание эффекта нелинейности). Д ля солитона,
ширина которого L ~
этот параметр порядка 1 .
Перейдем к случаю а 2 ф 0; в этом случае решение уравне
ния (39.12) описывает периодическую в пространстве, бесконеч
но протяженную волну. Интегрирование уравнения дает
ai
=
а
где F { s 1ip) — эллиптический интеграл первого рода:
ч>
F(1(s,V>)
= Lpyi1
[ п-----(39-16)
— s2 sin
J
0
причем 1)
sin 0. Случай, когда по
стоянная /3 < 0 не требует особого рассмотрения: изменение зна
ка /3 в уравнении (39.4) эквивалентно замене £ —>►—£, а —>►—а.
Поскольку при такой замене аргумент £ —v$t в (39.5) превраща
ется в —£ —vot, то скорость распространения волны будет теперь
и = щ — vq. Так, для солитона полученные выше результаты
изменятся лишь в том отношении, что функция а(£) станет от
рицательной, а его скорость и < щ .
СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮ Щ ЕЙ СРЕДЕ
197
Уравнение КдВ обладает некоторыми специфическими свой
ствами, позволяющими установить для него ряд общих тео
рем. Они основаны на формальной связи, существующей меж
ду уравнением КдВ и задачей о собственных значениях урав
нения типа уравнения Ш редингера ( C.S. Gardner, J.M. Greene,
M.D. Kruskal, R.M. Miura, 1967).
Рассмотрим уравнение
(39.23)
и будем снова для определенности считать, что /3 > 0. Уравнение
(39.23) имеет вид уравнения Шредингера, в котором функция
—а(£, £) играет роль потенциальной энергии, зависящей от t как
от параметра. Пусть функция а(£, £) в некоторой области £ по
ложительна и стремится к нулю при £ —>►=Ьоо. Тогда уравнение
(39.23) будет обладать собственными значениями £, отвечающи
ми «финитному движению в потенциальной яме —a(t, £)»; в силу
зависимости функции а от £, эти собственные значения, вообще
говоря, тоже зависят от t.
Покажем, что собственные значения £ не будут зависеть от £,
если функция а(£, £) удовлетворяет уравнению КдВ (39.4).
Выразив из (39.23) а в виде
и подставив в (39.4), после прямого вычисления получим
Ф2^: = (‘ф ' А - ф А ' У ,
at
(39.24)
где
(39.25)
существенно, что правая часть (39.24) оказывается выраженной
в виде производной по £ от выражения, обращающегося в нуль
при £ —)►=Ьоо (напомним, что собственные функции дискретного
спектра уравнения (39.23) исчезают на бесконечности). Поэтому
интегрирование равенства (39.24) по всем £ от —оо до оо дает
и, ввиду конечности стоящего здесь нормировочного интеграла
функции ф, отсюда следует, что de/dt = 0 .
198
БЕС С Т О Л К Н О В И ТЕЛ ЬН А Я ПЛАЗМА
Г Л . III
Покажем теперь, что уравнение (39.23) имеет всего одно дис
кретное собственное значение в случае стационарного «потенциа
ла» а(£) вида (39.13), отвечающего одиночному солптону. С этим
«потенциалом» уравнение (39.23) имеет вид
(39.26)
причем
(39.27)
Дискретные собственные значения уравнения (39.26) даются
формулой
п = 0, 1, 2, . . . ,
причем должно быть п < s (см. III, § 23, задача 4). Со значе
ниями параметров из (39.27) s = 1, так что имеется всего одно
собственное значение
£= —
(39. 28)
12 /3
v
'
Если же «потенциал» a(t,£) представляет собой совокуп
ность солитонов, находящихся на больших расстояниях друг от
друга (так что «взаимодействие» между ними отсутствует), то
спектр собственных значений уравнения (39.23) будет склады
ваться из «уровней» (39.28) в каждой из потенциальных ям, при
чем каждый из них определяется амплитудой а\ соответствую
щего солитона.
Поскольку скорость распространения солитона растет с уве
личением его амплитуды, то солитон большей амплитуды в конце
концов всегда догонит солитон меньшей амплитуды. Произволь
ная начальная совокупность удаленных друг от друга солитонов
после процессов взаимных «столкновений» в конце концов пре
вратится в совокупность солитонов, расположенных в порядке
возрастания их амплитуд (напомним, что все возмущения, опи
сываемые уравнением КдВ, распространяются в одну сторону!).
Полученные выше результаты позволяют сразу же сделать ин
тересное заключение: начальная и конечная совокупности соли
тонов одинаковы по общему числу и по амплитудам солитонов,
отличаясь лишь порядком их расположения. Это следует непо
средственно из того, что каждый из изолированных солитонов
соответствует одному из собственных значений £, а эти значения
от времени не зависят.
Вообще, всякое положительное (а > 0) начальное возмуще
ние, занимающее конечную область пространства, в ходе своей
СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮ Щ ЕЙ СРЕДЕ
199
эволюции, согласно уравнению КдВ, в конце концов распадается
в совокупность изолированных солитонов, амплитуды которых
уже не зависят от времени. Эти амплитуды и число солитонов
можно в принципе найти путем определения спектра дискрет
ных собственных значений уравнения (39.23) с начальным рас
пределением а(0,£) в качестве «потенциала». Если же начальное
возмущение содержит в себе также и участки с а < 0 , то в ходе
его эволюции возникает еще и волновой пакет, постепенно рас
плывающийся, не распадаясь на солитоны.
Во избежание недоразумений надо, однако, уточнить, что
именно подразумевается под начальным возмущением в уравне
нии КдВ. Реальное возмущение, возникающее в среде в некото
рый момент времени, в ходе своей эволюции (описываемой пол
ным волновым уравнением второго порядка по времени) распа
дается, вообще говоря, на два возмущения, распространяющиеся
в обе стороны оси х. Под «начальным» возмущением для урав
нения КдВ надо понимать одно из этих двух возмущений сразу
после распада.
Задача
Определить коэффициенты а и /3 в уравнении (39.2) для ионно-звуковых
волн в плазме с Ti рр. Заменив в двух членах в (40.15) переменную инте
грирования р =Ь fik / 2 —)►р, получим
1
£1 - 1 =
4тге2
hk2
[
f
1
1
[1 J( _ ! _____________ ! _ )
J
у[
uj + —
uj-\-
k v + г*0
uj -
—k v
—
I
2
d 3p
+ г*0 J (2тгЛ) 3
P кур,
I
1 ^ 7
при
М < kvp.
(40.17)
Особый интерес представляет статический случай. При ио = 0
выражение (40.16) как функция к имеет особенность в точке, где
Нк совпадает с диаметром ферми-сферы:
= 2 pF (40.18)
в этой точке аргумент одного из логарифмов обращается в нуль.
Вблизи нее
2(kvF )3
Пк
si(0,k)-l =
27tHef
_ hk — 2pf
£=
2P F
1
- Cln —
l£l
(40.19)
1^1 < < L
Покажем, что наличие этой особенности (ее называют коновской)
приводит к изменению характера экранировки поля зарядов в
плазме, которая становится не экспоненциальной2).
Запишем выражение (40.19) в виде
£/(0, k) = f5 —
In
,
(40.20)
е2
где а = ------- , а постоянная /3 может включать в себя также и
27tHvf
не имеющий особенности вклад от невырожденной ионной ком
поненты плазмы.
1) При Т = 0 достаточно этих условий. Дело в том, что предельное значе
ние £i при hkvF/£F
0 и Т —»>0 не зависит от порядка перехода к пределу.
Поэтому соотношение между hkvF и Т несущественно.
2) Физические следствия особенности, возникающей при условии (40.18),
были указаны Коном (W. Kohn, 1959).
205
П РО Н ИЦ А ЕМ ОСТЬ В Ы РО Ж Д Е Н Н О Й ПЛАЗМ Ы
Фурье-компонента поля, создаваемого покоящимся в плазме
малым точечным зарядом ei, выражается через диэлектриче
скую проницаемость формулой
47Гв1
= p fiu
(40-21)
(см. задачу 1 § 31). Д ля потенциала же (р(г) как функции рас
стояния от заряда е\ имеем
ОС
►0 функция (р(к) стремится к постоянному преде
лу и не имеет особенности. Поэтому асимптотическое поведение
интеграла в (40.22) при г
оо определяется особенностью этой
функции при Нк = 2рр. Вблизи нее
=
епгН
1
рГ
+ ^
р
1П —
|£|.
Вклад этой области в асимптотическое значение интеграла:
ОО
J =
/32Г
7Г
,2ipFr£/ h
J q
Ifl
di-
ввиду быстрой сходимости (см. ниже) интегрирование по £ мож
но распространить от —оо до оо.
Д ля вычисления интеграла J разделим его на две части —
от —оо до 0 и от 0 до оо — и в каждой из них повернем путь
интегрирования в плоскости комплексной переменной £ до его
совпадения с верхней мнимой полуосью. Положив затем £ = гу,
получим
J = /
е - 2 p Fr y / h
In -
In ■
гу
ydy.
Разность в квадратных скобках сводится к т, так что J =
=
) • Окончательно находим
ср(г)
е\ah 2
cos(2p f t / K )
2/32рр
г3
(40.23)
Таким образом, потенциал экранированного поля вдали от
заряда осциллирует с амплитудой, спадающей по степенному
206
БЕС С Т О Л К Н О В И ТЕЛ ЬН А Я ПЛАЗМА
Г Л . III
закону. Этот результат, полученный для вырожденной плазмы
при Т = 0, остается в силе для малых, но конечных температур
на расстояниях г 0 при и —>оо, из которого определяется постоянная С 2):
~
-i
с =
Ne
'
(2тгшГе)3/ 2 /
'
e x p { “ s ( f ~ “2) }
и du
'
(45.13)
Lo
Интеграл вычисляется методом перевала путем разложения
показателя экспоненты вблизи точки его максимума, и = 1. Та
ким образом, получается следующий закон зависимости числа
убегающих электронов от напряженности поля Е\
пуб ~ N evee(vTe) ехр ( - Ц ) •
(45.14)
Предэкспоненциальный множитель написан здесь лишь по раз
мерности; более точное вычисление лежит вне рассмотренного
приближения и требует решения кинетического уравнения с са
мого начала с большей точностью.
§ 46. С ходящ ийся интеграл столкновений
Кинетическое уравнение с интегралом столкновений Ландау
позволяет решать задачи физики плазмы лишь с логарифмиВ частности, анализ угловой части кинетического уравнения показыва
ет, что направления движения убегающих электронов лежат в области углов
в ~ Ъ1/А.
2) Формулировка граничных условий здесь аналогична формулировке в
§ 24.
8 Л . Д . Л андау, Е.М . Л и ф ш и ц , том X
226
СТО Л КН О ВЕН ИЯ В ПЛАЗМ Е
Г Л . IV
ческой точностью: большой аргумент кулоновского логарифма
не вполне определен. Эта неопределенность связана с расходи
мостью интегралов на больших и малых углах рассеяния. Как
уже указывалось, расходимость на больших углах не имеет прин
ципиального характера: она появляется лишь в результате про
изведенного при выводе разложения по степеням передаваемо
го импульса q; в самом интеграле столкновений Больцмана эта
расходимость отсутствует. Расходимость же на малых углах воз
никает в результате неучета экранирующего действия плазмы
на взаимное рассеяние частиц в ней. Д ля вычисления интеграла
столкновений с более высокой, чем логарифмическая, точностью
необходимо последовательно учитывать экранирование с самого
начала (а не только при определении области интегрирования в
кулоновском логарифме).
В § 41 было уже указано, что условия применимости инте
грала столкновений с экранированным взаимодействием между
заряженными частицами требуют, чтобы функции распределе
ния мало менялись за времена ~ ft/^отн и на расстояниях ~ а.
Эти же условия позволяют рассматривать экранировку зарядов
макроскопическим образом как результат диэлектрической по
ляризации плазмы.
Мы рассмотрим поставленную задачу в двух предельных слу
чаях: 1 ) когда к столкновениям частиц применимо квантовоме
ханическое борновское приближение и 2 ) когда процесс столкно
вения квазиклассичен.
Б орновский случай. Начнем с первого случая, имеющего
место при условии
(46.1)
от н
Влияние, оказываемое диэлектрической средой на рассеяние
частиц, наиболее ясным образом формулируется на языке диа
граммной техники. В борновском приближении рассеяние двух
частиц описывается (в нерелятивистском случае) диаграммой 1)
p+q
p-q
(46.2)
Р
Р
где штриховой линии отвечает функция
47 r /q 2
— компонента Фу
1) Как и в § 41, буквы без штриха и со штрихом относятся к двум сталкивающимся частицам (одного и того же или разных сортов).
СХОДЯЩ ИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ
227
рье кулоновского потенциала единичного заряда (q — передавае
мый при рассеянии импульс). Наличие среды сказывается лишь в
„ 1
4тг
замене этой функции на компоненту потенциала в с р е д е --------- ,
Qa Q(3^a(3
где £ар(и), ц/Н) — тензор диэлектрической проницаемости среды,
причем Ни) совпадает с передаваемой энергией (ср. IX, § 85). Со
ответственно и в амплитуде рассеяния появится дополнительный
2
множитель — ----- , а в сечении — квадрат его модуля. Таким обQa Q/З^а/З
разом,
da = dape3-----^----- .
(46.3)
|Eapqaqpr
Д ля простоты мы будем предполагать далее плазму изотроп
ной. Д ля такой плазмы тензор Еар сводится к двум скалярам [et
и ei), причем в произведение
tapqaqp = т
2
входит только один из них; мы будем опускать индекс /, подра
зумевая под е продольную проницаемость.
Таким образом, сечение рассеяния принимает вид
da =
dape3
\£(u,q/h)\2
,
(46.4)
где dape3 — обычное резерфордовское сечение для рассеяния в
пустоте1). Отметим также, что передаваемая при столкновении
энергия связана с передачей импульса равенством
Ни) = qV ,
(46.5)
где V — скорость центра инерции сталкивающихся частиц 2). Ве
личина же вектора q связана с углом рассеяния х в системе цен
тра инерции обычной формулой
q = 2/i|v —v '| sin
(46.6)
mm '
m H- m
где ii = — — .
x) Д ля рассеяния тождественных частиц (на не
следует понимать сечение кулоновского рассеяния
фектов (см. III, § 137).
2)
В этом легко убедиться, выразив скорости
скорость относительного движения v — v f и учтя,
|v —v f \ не меняются.
малые углы) под dape3
с учетом обменных эф
частиц v и v f через V и
что при рассеянии V и
228
СТО Л КН О ВЕН ИЯ В ПЛАЗМ Е
Г Л . IV
Интеграл столкновений, автоматически правильно учиты
вающий большие и малые углы рассеяния и свободный от рас
ходимости, получается подстановкой (46.4) в обычный больцмановский интеграл:
S t/ = E / ( / ( р + q ) / V - q ) - / ( p ) / V ) l '
'
;
суммирование производится по всем родам частиц, к которым
относятся штрихованные величины.
Кинетическое уравнение с интегралом столкновений (46.7)
очень сложно — не только в силу невозможности разложения
подынтегрального выражения по степеням q, но и ввиду того,
что диэлектрическая проницаемость плазмы сама определяет
ся через искомые функции распределения. Существенное упро
щение достигается лишь в случае слабого отклонения от рав
новесия, когда допустима линеаризация кинетического уравне
ния. Тогда проницаемость должна вычисляться с равновесными
функциями распределения и, таким образом, не зависит от ис
комых поправочных функций.
К вазиклассический случай. Перейдем к обратному пре
дельному случаю, когда
hvQ
>1
(46.8)
и для рассеяния частиц применимо квазиклассическое прибли
жение. В этом случае нельзя учесть влияние среды на рассеяние
единым образом при малых и больших углах рассеяния (как это
быловозможным в борновском случае); поэтому придется рас
смотреть эти две области отдельно и затем «сшить» результаты
при промежуточных углах.
Поле заряда е, движущегося со скоростью v в диэлектриче
ской среде, определяется уравнением
d ivD =
4 7 ге£(г
—vt).
В компонентах Фурье находим отсюда для потенциала поля 1):
а, от которых как раз
и происходит расходимость интеграла, для устранения которой мы имеем
в виду воспользоваться формулой (46.9). Этим расстояниям отвечают зна
чения к < 1/а, для которых диэлектрическая проницаемость существенно
отличается от 1.
229
СХОДЯЩ ИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ
При малых углах рассеяния изменение импульса частицы да
ется (см. I, § 2 0 ) классической формулой
q
=- J
^
dt,
(46.10)
где U — энергия взаимодействия двух частиц, а интегрирование
производится вдоль прямолинейной траектории г = р + v 't (р —
вектор прицельного расстояния) 1). Выразив энергию U = е'(р в
виде интеграла Фурье
, Г p*(kr-a;t) j37
U = Ажее / ------------ —
(46.11)
J
k 2e(uj, к) (27г) 3
(причем ио = kv) и подставив в (46.10), получим
Ч=
- 4
ж
Л
А
( ^
J (2-к)3 J k2e(ui, k) J
K
Внутренний интеграл дает
27П^ н )
|v —v '|
1 e -^ -^ d t).
J
—oo
? Где и. — проекция вектора к
11
на направление v —v 7. Устранив затем ^-функцию интегрирова
нием до dfc||, найдем
4тnee'
гiee f к ± е г1с±р d2k±
(Л(\ЛО\
v
'
|
J
к
±
2
е
(
и
,
к
±
)
(2тт)2
’
q = ” k
где к ^ (как и р) — двумерный вектор в плоскости, перпендику
лярной v —v 7. При этом и частота
ио = k ^ v = k ^ V .
(46.13)
Ниже в этом параграфе мы будем опускать индекс _L, подразу
мевая везде под к указанный двумерный вектор.
Вычислим теперь с помощью (46.12) величины
B aj3 = \ f QaQp |v - v'l d2p ,
(46.14)
входящие в интеграл столкновений, разложенный по степеням
малого q (сечение da в (41.4) написано здесь в виде прицельной
площади d2p). Написав произведение двух интегралов (46.12) в
виде двойного интеграла (по d2k d 2k f), выполняем интегрирова
ние по d2p согласно
/ e ^ k+k') d2p = (2тт)26(к + к').
х) Безразлично, как вычислять величину q: как изменение импульса каж
дой из сталкивающихся частиц, или как изменение импульса их относитель
ного движения.
230
СТО Л КН О ВЕН ИЯ В ПЛАЗМ Е
Г Л . IV
После этого интегрирование по d2kr просто устраняет ^-функцию
и остается
г
В
= 2е_е_ Г Ккр d к
(46.15)
|v — v '| У
A;4 |s ( k V , А;)|2
(здесь использовано также, что согласно (28.9) е(—ио,к) =
= £*(cj, к)). Эти интегралы уже сходятся при малых к (поскольку
|б | - 2 —>►0 при и), к
0 ) *).
В (46.15) входит проницаемость при отличной от нуля часто
те UJ = kV ; имея в виду это обстоятельство, иногда говорят, что
эта формула учитывает эф фект динамического экранирования.
Обратим внимание на зависимость подынтегрального выра
жения в (46.15) от направления V через аргумент k V функции е.
Эта зависимость исчезает при вычислении интеграла в логариф
мическом приближении, когда интегрирование ограничивается
областью от к ~ 1 / а до к ~ p v 2/ |ее'|. Основную роль в интеграле
играют значения А;, далекие от обоих этих пределов; в этой обла
сти значений имеем \е\2 = 1 и интеграл сводится к f какр d2к / А;4.
Усредняя подынтегральное выражение по всем направлениям к
в плоскости, перпендикулярной v —v 7, мы вернемся к прежнему
выражению (41.8) с L — f d k j к.
Д ля устранения расходимости при больших передачах им
пульса надо, как уже указывалось, произвести «сшивку» разло
женного по степеням q интеграла столкновений с неразложенным интегралом (J. Hubbard, 1961; О. Аопо, 1962).
Рассмотрим разность
S W - S t B/,
(46.16)
где StKJI есть искомый сходящийся интеграл столкновений, а
Stg дается выражением (46.7), которое в борновском случае
представляет собой правильный интеграл столкновений, но здесь
играет лишь вспомогательную роль.
Разделим весь интервал изменения угла рассеяния на две
области:
ЧХХъ
причем x i выбрано так, что
ее
fJiCLV отн
При классическом рассеянии на малые углы в кулоновском
поле, угол х связан с прицельным расстоянием р соотношением
2 1ее' |
Р=
M v - v ') 2X
1) Устранение расходимости в интеграле столкновений Ландау, связан
ной с экранировкой кулоновского поля, принадлежит Балеску и Ленарду
(R . Balescu, 1960; A. Lenard, 1960). Полностью сходящееся выражение (46.7)
было написано А.А. Рухадзе и В.П. Силиным (1961).
231
СХОДЯЩ ИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ
Поэтому значению X = Xi отвечает (при условии (46.17)) зна
чение р = р\ Xi)• Сечение рассеяния в этой области будет, следова
тельно, резерфордовским, и соответствующий вклад в интеграл
столкновений есть
Но точно таков же вклад области х > Xi в интеграл (46.7): в
этой области q > qi, причем в силу условия (46.8)
qi
/mJotuXi ^ |ее'| ^ 1
—~
п
п
hVoTuCL
а
и потому в (46.7) можно положить \е\2 = 1. Таким образом, вклад
в разность (46.16) возникает только от области х < Xi (р > Pi),
которую и остается рассмотреть.
Во всей этой области передача импульса мала, так что интег
рал столкновений можно разлагать по степеням q. Входящие в
разложенный StKJI величины В ар вычисляются как интегралы
(46.14) с q из (46.12). Вклад в эти интегралы от области р > р\
равен
~Fa{3
,
... ...
•
1;
(46.20)
f%
^отн
поэтому надо сохранить только члены, остающиеся конечными
при qip i/ h
оо. В этом пределе третий и четвертый члены в
(46.19) обращаются в нуль. Таким образом, остается лишь
(Ва/з)кл — (Вар)в =
Pi
-
yQi/ti
qi/n
I
5
ik^
v
\
* ^ 9 1
1.
TiLLi
(47.12)
V
'
§ 48. П оглощ ение в п лазм е в вы сокочастотном п р едел е
Область частот, в которой справедлива формула (44.9) для
мнимой части диэлектрической проницаемости плазмы, ограни
чена неравенствами
ио
vei\ левое неравенство есть общее
условие применимости интеграла столкновений с экранирован
ным кулоновским взаимодействием. Рассмотрим теперь обрат
ный по отношению к последнему условию предельный случай,
когда
uj
fie.
(48.1)
Сразу же отметим, что в этом случае вещественная часть про
ницаемости,
заведомо близка к 1 , а мнимая часть, £/;, мала.
х) В существенной для интеграла области £ ~ 1 /L i, т. е.
При этом
ае
( Те \ 1/ 2
кае ~ ----—
~ ----г1/2
^TiLi'
diL-^
J1
>
1
в соответствии со сделанным выше предположением.
1 / (aiL1^ 2).
ПОГЛОЩ ЕНИЕ В ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ПРЕДЕЛЕ
241
К диссипации энергии внешнего переменного поля при
водят ег-столкновенпя, длительность которых порядка или
меньше периода поля. Это значит, что при ио
бу
дут существенны столкновения, происходящие на расстояниях
~ VTe/u ^ VTe/^e = &е. На таких расстояниях кулоновское поле
ионов уже не экранировано и, таким образом, столкновения при
обретают чисто двухчастичный характер (а не многочастичный,
каковыми по существу являются столкновения с экранирован
ным взаимодействием). В этих условиях микроскопические ак
ты поглощения энергии поля становятся процессами, обратными
к тормозному излучению при парных столкновениях заряжен
ных частиц. Это обстоятельство позволяет с помощью принципа
детального равновесия выразить еп через сечение тормозного из
лучения [В.Л. Гинзбург, 1949).
Диссипация Q энергии электромагнитного поля в единице
объема среды за единицу времени выражается через еп форму
лой (30.5). Чтобы связать эту величину с сечением тормозного
излучения, примем, что поле создается монохроматической плос
кой волной, в которой плотность энергии равна
Е 2 + Н 2 _ |Е |2
87Г
87Г
(в последнем выражении предполагается, что Е выражено в ком
плексном виде — ср. примеч. на с. 159); ввиду близости диэлек
трической проницаемости к единице полагаем здесь 6 = 1. После
этого формулу (30.5) можно записать в виде
(48.2)
Q = ше"£.
С другой стороны, диссипация равна разности между энерги
ей (Зпогл^ поглощаемой при столкновениях электронов с ионами,
и энергией, излучаемой в этих столкновениях. При этом подра
зумевается именно энергия (Звын вынужденного (а не спонтанно
го) излучения, приводящего к появлению фотонов, когерентных
с исходным полем и в этом смысле неотличимых от него.
Запишем сечение спонтанного испускания фотона, т. е. обыч
ного тормозного излучения, в виде
(48.3)
Здесь к — волновой вектор фотона, р и р7 — начальный и ко
нечный импульсы электрона. Произведение Niv dacu (где Ni —
плотность числа ионов) есть вероятность излучения фотона элек
троном за единицу времени; функция ги(р7,р) зависит также и
от поляризации испускаемого фотона. Проинтегрировав по на
правлениям р7 и к и просуммировав по поляризациям фотона,
получим дифференциальное (по частотам) сечение тормозного
242
СТО Л КН О ВЕН ИЯ В ПЛАЗМ Е
Г Л . IV
излучения с1сгш; ^-функция в (48.3) устраняется интегрировани
ем по s' = рп /( 2 т ) . Таким образом,
,
асг^ =
4 т 2?/—
---------- w u j
2
7TVC3
л
аио,
где Ш (р,р') — значение функции ги(р, р 7), усредненной по на
правлениям р и р'; это значение не зависит уже от поляризации
фотона, и потому суммирование по последним сводится к умно
жению на 2. Введя «эффективное излучение»
по определению
Ни) d a u =
du
выразим отсюда w в виде
w=
W
(48.4)
Am^v'huj2,
Сечение вынужденного излучения отличается от (48.3) лишь
множителем N ^e — числом фотонов в квантовом состоянии с
волновым вектором к и направлением поляризации е вдоль Е
(см. IV, § 44). Поэтому полная энергия вынужденного излучения
равна
а в остальных множителях р = р' . Подставив это в (48.6) и выра
зив w через
согласно (48.4), находим окончательно следующее
выражение для мнимой части проницаемости:
е"{и>) = N tN e^ ( v K u ),
(48.8)
Тио6
где угловые скобки означают усреднение по максвелловскому
распределению электронов.
Применим эту формулу к двум предельным случаям — квазиклассическому и борновскому. В первом случае, т. е. при
4nv- »
(48'9)
ограничим еще область частот ио
mv%e
более узким интервалом
»со ^П е
(48.10)
(слева стоит величина, обратная ко времени пролета электрона
на таком расстоянии от иона, на котором угол рассеяния стано
вится ~ 1 ); легко видеть, что из условий (48.9), (48.10) автома
тически следует (48.7). В квазиклассическом случае эффектив
ное излучение на частотах (48.10) при столкновении электрона
с неподвижным ионом дается формулой
^
=
16 z 2 e 6 ,
0 2 3 2 Ь
6 v zc6m z
2m
v 3
-----2’
^ fujzez
/ a q h \
(48.11)
где 7 = ес = 1, 7 8 ... , С — постоянная Эйлера (см. II, (70.21)).
Подставив в (48.8) и произведя усреднение, получим1)
„ = 4л/27г z e4N e П2е ^
3 Т ^^ т 1/ 2 cj3
25/ 2Г3/ 2
7 5/ 2cjze2 m 1/ 2
х) При этом используется значение интеграла
оо
f е~х In x d x = —С.
о
(4
,
244
С Т О Л К Н О ВЕН И Я В П Л АЗМ Е
ГЛ . IV
В борновском случае, т. е. при — о vpe и в котором содержится лишь
относительно малая доля всех электронов, то ситуация аналогич
на той, с которой мы имели дело в задаче об убегающих элек
тронах. Процесс представляет собой диффузию в импульсном
пространстве с коэффициентом диффузии
= m 2vee(v)v2Te = Ane4LNeTe и ™2^ ( У т е К е
mv3
v3
(49>23)
(коэффициент при d f /д р в плотности потока в импульсном про
странстве (45.5)).
Искомое время столкновительной релаксации в интервале A v
отличается от (49.20) заменой D
на £>(ст):
^
L X CT)
V ^e V e e (v T e)
(* > -)\
(49.24)
V VT e /
х) При A v ~ (е|(^о | / т ) 1/ 2, когда изложенная теория уже, строго го
воря, неприменима (знак ~ вместо знака ^ в (49.5)), эта оценка дает
Тн ~ kQ1(m /el^ol)1^2- Именно этот результат и следовало ожидать, когда
разброс резонансных скоростей A v совпадает с амплитудой скорости элек
тронов при их колебаниях в поле волны: по порядку величина тн совпадает
с периодом этих колебаний.
УРАВНЕНИЕ Д Л Я РЕЛ Я Т И В И С ТС К О Й ПЛАЗМ Ы
251
При
тн > тст
(49.25)
(т. е. D w < £)(ст)) нелинейные эффекты не играют роли: столк
новения успевают поддерживать максвелловское распределение
вблизи vo, несмотря на возмущение от волнового поля; соответ
ственно коэффициент затухания Ландау будет даваться обыч
ным выражением, отвечающим максвелловскому значению про
изводной d fo /d p в окрестности vq. Таким образом, неравенство
(49.25) есть условие применимости строго линейной теории зату
хания Ландау. Напомним в то же время, что излагаемая квази
линейная теория справедлива при гораздо более слабом условии
(49.2). Условие (49.25) можно представить в виде
j - « N eTe
V VO
47Г
e2N1^/Т
J
Vo
где г/ =
— параметр газовости. Малость множителя, за
ключенного в квадратные скобки, демонстрирует слабость усло
вия (49.2) по сравнению с (49.25).
В обратном предельном случае, при тн
тст, нелинейные эф
фекты приводят к сильному уменьшению производной
в
указанной области, грубо говоря, в отношении £)(ст)/£)(н). Соот
ветственно уменьшается коэффициент затухания Ландау.
dfo/dp
§ 50. К инетическое уравнение
дл я релятивистской плазмы
Если скорости частиц (электронов) в плазме не малы по
сравнению со скоростью света, кинетическое уравнение должно
быть записано с учетом релятивистских эффектов ( С. Т. Беляев,
Г.И. Будкер, 1956).
Покажем предварительно, что функция распределения в ф а
зовом пространстве, /(£, г, р), является релятивистски инвари
антной величиной. Д ля этого заметим, что пространственная
плотность частиц и плотность их потока, т. е. интегралы
N=/ / d p,
3
i = / v/
d3p,
должны составлять 4-вектор ik = (cN. i) (ср. II, § 28) 1j . Имея
в виду, что в релятивистской механике скорость частицы с им
пульсом р и энергией
есть v = рс 2 /б, можно записать этот
£
х) В этом параграфе латинскими буквами к , I обозначаются четырехмер
ные векторные индексы. Скалярное произведение двух 4-векторов а и Ъ обо
значается как (аЪ) = акЪк.
252
СТО Л КН О ВЕН ИЯ В ПЛАЗМ Е
Г Л . IV
4-вектор в виде
ik = с2 J p kf
(50.1)
где рк = {е/с, р ) — 4-имиульс. Но выражение сРр/е является
4-скаляром (см. II, § 10). Ясно поэтому, что из 4-векторности
интеграла (50.1) следует, что функция / — 4-скаляр1).
Переходя к выводу кинетического уравнения, замечаем, что
произведенные в § 41 вычисления остаются в силе и в реляти
вистском случае вплоть до выражения (41.3), (41.4) для плот
ности потока в импульсном пространстве. Необходимо лишь вы
числить заново величины
Е>а(3 = ~ f
отн da.
(50.2)
Величина v 0TH здесь — по-прежнему относительная скорость
двух частиц. Напомним, однако, что в релятивистской механике
она определяется как скорость одной частицы в системе покоя
другой и, вообще говоря, не сводится к разности v —v 7 (см. II,
§ 12).
Выясним, прежде всего, трансформационный характер этих
величин. Произведение
г>отн da • / f ' d3p d3p' d3x dt
есть число актов рассеяния, происходящих в объеме d3x в тече
ние времени dt между двумя частицами с импульсами в задан
ных интервалах d3p и d3pf; по своему определению это число есть
инвариант. Переписав его в виде
бб'^отн da • / • f ' • — •
£
• d3x dt
£
и заметив, что последние пять множителей (отделенных точ
ками) инвариантны, заключаем, что и первый множитель,
бб'^отн da, есть инвариант. Отсюда в свою очередь следует, что
интегралы
w kl = ±ее' f qkqlvотн da
(50.3)
образуют симметричный 4-тензор. Величины же (50.2) связаны
с пространственными компонентами этого 4-тензора согласно
тжга/З
В аР = ^ .
££'
(50.4
х) Функция же распределения по одним лишь импульсам, т. е. интеграл
f ( t , p ) = / / ( * , г, p )d 3ж, уже не является 4-скаляром (именно такая функция
рассматривается в II, § 10).
253
УРАВНЕНИЕ Д Л Я РЕЛ Я Т И В И С ТС К О Й ПЛАЗМ Ы
Вычислим сначала 4-тензор (50.3) в системе отсчета, в кото
рой одна из частиц (скажем, частица е) покоится. Релятивист
ское сечение резерфордовского рассеяния частиц е' на покоящих
ся (до столкновения) частицах е при малых углах рассеяния х
имеет вид 1)
d a = 4:{ee)£ . 2 n x dX.
(50.5)
Р 4Х 4
Такое же вычисление, как при выводе (41.8), приводит к сле
дующему выражению для пространственных компонент тензора
(50.3):
W a/S = 2ж(ее')2L{v'2SaP - v'av'p)mc2^ .
Остальные же компоненты надо считать равными нулю:
^ 0 0 = W 0a = Q
(50.6)
(50>7)
Действительно, изменение энергии частиц при столкновении (д°)
в рассматриваемой системе отсчета есть величина второго поряд
ка по малому углу рассеяния; поэтому W Qa и
оказались бы
величинами третьего или четвертого порядка малости, между
тем как весь вывод интеграла столкновений производится лишь
с точностью до величин второго порядка.
Из (50.6), (50.7) имеем
W l = - W £ = -4 т i{ee')2L m c2^ .
Этот 4-скаляр можно записать в инвариантном виде, заметив,
что в системе покоя частицы е имеем
(ии') = ^
т 'с2
К™;>2 - Ч 172 = ^
(ии')
с
где и к = рк/(т с), и,к = р,к/(т 'с) — 4-скорости обеих частиц.
Поэтому
W k = -4 тT(ee')2L m m 'c 4— ^
—
с[(ии')2 — 1J1/ 2
.
(50.8)
Из (50.6), (50.7) находим также, что
W klut = W klu\ = 0,
(50.9)
а ввиду релятивистски инвариантного вида этих равенств они
справедливы и в любой системе отсчета.
Это выражение относится к рассеянию электронов как на электронах,
так и на ионах. В первом случае оно получается из IV, (81.7), а во втором —
из сечения рассеяния на неподвижном кулоновском центре IV, (80.7).
254
СТО Л КН О ВЕН ИЯ В ПЛАЗМ Е
Г Л . IV
Выражение 4-тензора W k\ справедливое в произвольной си
стеме отсчета, должно, очевидно, быть симметричным по отно
шению к обеим частицам. Общий вид такого 4-тензора, завися
щего только от 4-векторов ик и и,к, есть
W kl = a g kl + f3(uku l + и,киа) + 8(икип + и,ки 1),
где а, (3, 8 — скаляры. Определив последние из условий (50.8),
(50.9), получим
'\2 т rnmfc4( u u ) 2
Wrkl
kL = 2тт(ее'уь-
с[(ии')2 — I]3/ 2
х {- [ ( и и ') 2 -
1 }gkl
- (ики1 + и'киа) + (ии'){икил + и'ки1)}.
(50.10)
Наконец, взяв пространственную часть этого 4-тензора в про
извольной системе отсчета, получим окончательно следующее
выражение для величин В ар, входящих в интеграл столкнове
ний:
2
>(\ _ vv У
/\2
| [ 7y ( l - ^ )
' h ”
“
1
- 1 За/3
- тг г ) - 1]
~ ^ VaVP + ^
i1~ ^г)
(50.11)
где
.2 4 -1/2
.
,
,
„/2 4-1/2
7 = —
=
(
1
~
—
)
>
7
/
=
—
=
(
1
~
—
m e2
V
с2 )
т 'с2
V
с2 ))
— лоренцевы множители для обеих частиц. Отметим, что, несмо
тря на свой более сложный (чем в нерелятивистском случае) вид,
трехмерный тензор (50.11) по-прежнему удовлетворяет соотно
шениям
B apvp = B apv’p.
(50.12)
Д ля оценки кулоновского логарифма заметим, что в
релятивистском случае имеет место борновская ситуация;
ze2/(Hv) ~ ze2/(Hc) ►0 (в отличие не только от
магнитоактивной нерелятивистской плазмы, но и от релятивист
ской плазмы в отсутствие магнитного поля). Оно осуществляется
за счет частиц, находящихся в простом циклотронном резонан
се с однородным переменным полем (условие (55.12) с п = 1) и
существует, следовательно, при частотах со < сов (см. задачу 2 ).
Задачи
1.
Найти тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной
плазмы при и < \kz \Уте; предполагаются выполненными также условия (55.4).
Р е ш е н и е . В нулевом приближении по малому параметру к_\_Уте/шве
функция распределения для этого случая (член s = 0 ряда Фурье (53.14),
(53.15)):
где
2-7Г
о
С этой функцией S f вектор поляризации Р имеет только ^-компоненту, и из
всех компонент тензора еар —8ар отлична от нуля лишь одна:
1) В пределе Во — 0, разумеется, затухание появляется вновь — за счет
электронов, удовлетворяющих условию ш = kv = k ^ v ^ .
281
ЗАТУХАНИЕ В М АГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМ Е
После тождественной замены
_ 1 (kzvz
п
\ +, ш vz
vz2 —
LO)vz
kz
kz
интеграл от первого члена обращается в нуль (при интегрировании по <
второй же член приводит к результату
^
k2v^e
_
1+1
л/2| kz |Vt е
Мнимая часть этого выражения:
„
TT^CjQ2
£zz = „1/olf ,Q - ехр
21/*\kz \*v*e
V 2k \ v \ e .
2.
Найти антиэрмитову часть тензора диэлектрической проницаемо
сти ультрарелятивистской магнитоактивной электронной плазмы в пределе
к —у 0 .
Р е ш е н и е . В релятивистском случае кинетическое уравнение (53.5)
остается тем же, но при его преобразовании к виду (53.6) релятивистское
соотношение р = s v /c 2 (е — энергия электрона) вместо р = m v приводит
к замене иове на советпс2/е; с этой заменой остаются справедливыми и все
последующие формулы в § 53.
При к = 0 затухание происходит только от простого циклотронного резо
нанса; поэтому для вычисления антиэрмитовой части еар достаточно учесть
лишь член s = 1 в (53.14), (53.15). Аналогично (55.5), (55.6) найдем
S f = -------- ie p x c V " /o----- (Ех - iE y).
2Т е(и — иовегпс2/е )
Ультрарелятивистская (Т
т с2) функция /о 1):
N ecs _£/ Т
То = -------е ' .
8тгТ 3
Вектор поляризации вычисляется как
2
Р= ± [^ S f* P ,
гио
ио Jг £
причем d3p надо записать в виде р 2 dp do = p e de do /c 2. После выполнения
интегрирования по do и замены ср = (г2 — m 2с4)1^2 получается
&хх
-I- — £ у у
.
_
-I- — Ъ£ху —
Q?em c2
12с02Т 4
[ (г2 —m 2c4)3/ 2e-£/ T de
J/
/ + Z*0
£ — иОВеТПС2 UO
тс2
Интеграл имеет мнимую часть, если полюс е = сове'шс2/ио лежит в области
интегрирования, т. е. если ио < иове- В этом случае окончательно находим
sx/ x/ -_e /v/v _- e/ x v _- TT^e^le
i2^ 5 Л
^1
А3/2 еХр(^( ТПС2LOВе
х) В этом выражении с ультрарелятивистской точностью написан нор
мировочный коэффициент; полагать £ и ср еще нельзя ввиду дальнейшего
интегрирования по р от 0 до оо.
282
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
§ 56. Электром агнитны е волны
в магнитоактивной холодной плазм е
Выведем общее уравнение, определяющее зависимость часто
ты от волнового вектора (или, как говорят, закон дисперсии) для
свободных монохроматических волн, распространяющихся в сре
де с произвольным диэлектрическим тензором £ар(и),Ъс.).
Д ля электромагнитного поля, зависящего от времени и ко
ординат по закону exp (—iuot + гкг), уравнения Максвелла (28.2)
принимают в и д 1)
[кЕ] = - В ,
[кВ] = ——D ,
с
с
кВ = 0,
k D = 0.
(56.1)
(56.2)
Подставив первую из формул (56.1) во вторую, получим
с2
D = —[k[kE]] = ЕА;2 - k (k E ),
или, в компонентах
Е ак 2 - какрЕр = ^ D a = ^ е арЕр.
С
(56.3)
С2
Условие совместности этой системы линейных однородных
уравнений выражается равенством нулю определителя:
k 2Sa/S - какр - ^ £ ар = 0.
(56.4)
Это и есть искомое дисперсионное уравнение2). При заданном
(вещественном) к оно определяет частоты с^(к) (вообще говоря,
комплексные), или, как говорят, спектр собственных колебаний
среды. В общем случае наличия частотной и пространственной
дисперсий уравнение (56.4) определяет бесконечное множество
ветвей функции и;(к).
Рассмотрим электромагнитные волны в холодной магнитоак
тивной плазме с тензором диэлектрической проницаемости, да
ваемым формулами (52.7) и (52.11) 3). Ввиду эрмитовости этого
тензора заранее ясно, что определяемые уравнением (56.4) зна
чения к2с2/ио2 вещественны.
1) Не смешивать переменное магнитное поле волны В с постоянным полем
В 0!
2) В кристаллооптике его называют уравнением Френеля.
3) Электромагнитные волны в холодной магнитоактивной плазме бы
ли впервые исследованы, в пренебрежении ролью ионов, Эпплтоном
(E.V. Appleton, 1928) и Лассеном (Н. Lassen, 1927).
Э Л ЕК ТРО М А ГН И ТН Ы Е ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМ Е
283
Поскольку в отсутствие пространственной дисперсии еар за
висят только от и;, то по отношению к к дисперсионное уравнение
(56.4) — алгебраическое. Раскрыв определитель, получим после
простого вычисления1)
А ( ^ у + в (^ У + С =
0
,
(56.5)
где
А = ^ еаркакр = е± sin 2 в + £ц cos2 в = еь
(56.6)
В = —е_1_£||(1 + cos2 в) — (£± — g 2) sin 2 в ,
(56.7)
С = ф 1 - ё 2)
(56.8)
(в — угол между к и Bq). При заданных значениях оо и в урав
нение (56.5) дает два значения А;2, т. е. в плазме могут распро
страняться, вообще говоря, два типа волн2).
Рассмотрим сначала случаи распространения волн строго
вдоль (в = 0) и строго поперек (в = 7 г / 2 ) магнитного поля, пред
ставляющие специфические особенности.
При в = 0 корни дисперсионного уравнения дают
= e±±g = l f
(56.9)
V СО/
и0(и0±Ц0Ве) 00(00 =F иов г)
Из уравнений (56.3) легко видеть, что эти волны поперечны
(Ez = 0 ) и поляризованы по кругу (Е у/ Е х = =рг). Обращение
выражений (56.9) в бесконечность при ио = иове и л и ПР И оо =
= иоBi отвечает резонансу — совпадению частоты и направления
вращения вектора Е с частотой и направлением ларморовского
вращения электронов или ионов. На рис. 17 показан, для иллю
страции, примерный ход величины п 2 = (ск/ио) 2 как функции ио.
При ио —>►0 значения п 2 стремятся к предельному значению
(^ )2
О2
1
+ ^f =
“ Bi
с2
1
+ ^
UA
(пренебрежено oobi по сравнению с оове] и а определено ниже фор
мулой (56.18)). Распространению незатухающих волн отвечают,
конечно, лишь те части кривых (показанные на рисунке сплош
ными линиями), на которых п 2 > 0 .
1) При вычислении целесообразно выбрать одну из координатных плоско
стей (скажем, плоскость xz) проходящей через Во и к.
2) Соответствующие им волны принято различать названиями обыкновен
ной и необыкновенной. Эти термины, однако, не имеют здесь того смысла,
как в оптике одноосных кристаллов, — ни одна из этих волн не ведет себя
как волна в изотропной среде.
284
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
При в = 0 уравнение (56.5) удовлетворяется также и при £ц =
= 0 , что соответствует обычным продольным плазменным вол
нам с независящей от к частотой оо « Ое.
При в = 7г/ 2 два корня дис
персионного уравнения:
(\ UJ
- )/
-S l.
(56.10)
Первому отвечает волна с неза
висящим от B q законом диспер
сии
ио2 « с2 А;2 + О2.
Эта волна поперечна (Е _Lк) и
линейно поляризована, причем
Е || Во- Второму корню (56.10)
отвечает волна с полем E_LBq,
имеющим составляющие как
Рис. 17
продольную, так и поперечную
по отношению к к. Если частота настолько велика, что вкла
дом ионов в еа/з можно пренебречь (оо
(сOBe^Bi)1^2 — условие
(52.15)), то в этой волне1)
2
=£Ц.
11
P
O W
V UJ J
= 1 _ _ П е2(и2 - П е2)
(56.11)
ш2(ш2 - и В
2е - Щ)
В общем случае произвольных углов в (отличных от 0 или
7г/ 2 ) замечаем прежде всего, что для каждого значения суще
ствуют частоты, при которых коэффициент А в уравнении (56.5)
обращается в нуль:
^
£l =
S in 2
2
в + £\\ COS2 в =
П2
Р
-Г + ,
2
sin 2 в = 0. (56.12)
°Ве и UBi \
Если для определяемых этим уравнением частот (так называе
мые частоты плазменных резонансов) выполняется также усло
вие «медленности» оо ►0 эти корни равны —С / В и —В /А .
=
1
-
cos в —
х) Колебания плазмы, в которых ионы не играют роли, принято вообще
называть высокочастотными; колебания же, в которых влияние ионов су
щественно, называют низкочастотными.
Э Л ЕК ТРО М А ГН И ТН Ы Е ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМ Е
285
Уравнение (56.12) — кубическое относительно оо2 и имеет три
вещественных корня. Их легко определить, использовав малость
отношений fi^/fie и uoBi/coBe- Два корня получаются при прене
брежении в (56.12) вкладом ионов и равны
+ шВе) ± \ [ { ^ е2 +
ш 1,2 ~
B e f ~ 4 ^ е ш1 е co s2 в }1/2-
(56.13)
Учет ионов, однако, необходим в области ио « uoBi, в которой ле
жит третий корень; для этого корня легко получить выражение
(i
(56.14)
(здесь предположено f i e
oobi)- Формулы (56.13) и (56.14) для
002(0 ) и иоз( 0 ) неприменимы при углах О, настолько близких к
7г/ 2 , ч то c o s # 2
со2г
(56.16)
сoBi -----------
ю3
и оо2г • Частоты оо\ти 002Г назы
0
д=к/ 2
вают соответственно верхней
и нижней гибридными часто
тами. При fi 2
оо2
Ве (а потоРис' 18
му и заведомо fi?
oo2
B i) вторая из них: оо2Т = (шве^въ)1^2•
Положение частот оо\, 002, ио% в значительной степени задает
расположение различных ветвей спектра, определяемого диспер
сионным уравнением (56.5). Как квадратное по (ск/оо)2 уравне
ние оно имеет при заданных оо и 0 два корня. Проследив (при
заданном 0) за изменением и обращением в бесконечность этих
корней как функций ио, легко прийти к рис. 19, на котором схема
тически показан ход этих функций. Точки пересечения кривых
х) Сразу же отметим, что колебания с частотой с^з фактически существу
ют лишь именно в узком интервале углов вблизи 7г/2. В остальной же обла
сти углов эти колебания сильно затухают из-за циклотронного поглощения
на простом ионном резонансе.
286
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ ПОЛЕ
Рис. 19
ний; предельные (при ио
ветвях равны
с осью абсцисс определяются
уравнением С = 0 , т. е. е\\ = 0 или
~2 _
J. Положение этих точек не
зависит от угла в ; одна из них (ко
рень уравнения £ц = 0 ) есть все
гда ио « Ое.
Спектр собственных колеба
ний холодной магнитоактивной
плазмы содержит, таким образом,
всего пять ветвей. Две из них (вет
ви I и II на рис. 19) достигают
области низкочастотных колеба0 ) значения фазовой скорости в этих
Ua \ COS в\
(1
ГЛ. V
+м 2 /с 2 )1/ 2 ’
UA
Vfe/ii
(1
+ Мд/с2) 1/ 2 ’
(56.17)
где
UBi
(56.18)
UА = С---- =
О;
(4тгЛГгМ)1/ 2 ’
эту величину называют альвеновской скоростью. Выражения
(56.17) легко найти из уравнения (56.5), воспользовавшись пре
дельными выражениями
£ ± « 1
+ ^1,
С
£|| ~
g ~
0
(w).
II
При и а "С с фазовые скорости (56.17) равны соответственно
ua \ cos#| и и а- Эти предельные значения соответствуют волнам,
которые существуют в холодной плазме согласно обычным урав
нениям магнитной гидродинамики (см. VIII, § 52). Действитель
но, спектр магнитогидродинамических волн содержит три ветви.
Во всех трех ветвях функция cj(k) линейна, но, вообще говоря,
зависит от направления к:
(uo/k)\ = и \ cos2
{ u /k )l = i {u2
s + и \ + [(и2 + и \ ) 2 - 4и2и2А cos2 6»]1/ 2},
(56.19)
(и /к )1 = ^{м 2 + и \ - [(и 2 + и \ ) 2 - 4u2su \ cos2 в}1!2}
('us — скорость звука, формально вычисленная по адиабатиче
ской сжимаемости среды). Фазовая скорость первой из этих вет
вей (их называют алъвеновскими волнами) прямо совпадает с
предельным значением скорости первой из ветвей (56.17). Д ля
того чтобы перейти к холодной плазме во второй формуле, сле
дует положить в ней u s = 0 (поскольку в газе u s
Ст / м у / 2).
287
Э Л ЕК ТРО М А ГН И ТН Ы Е ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМ Е
При этом (и)/к)б (соответствующие волны называют быстрыми
магнитозвуковыми) совпадает с предельным значением (оо/к)ц.
Что касается третьей ветви, (оо/К)м (она называется медленной
магнитозвуковой волной), то ее скорость обращается в нуль при
u s —>►0 и потому она в холодной плазме отсутствует. Отметим,
что предположение о холодности плазмы позволяет пренебрегать
тепловым разбросом скоростей ионов и описывать их гидродина
мически даже в отсутствие столкновений. Условие и а "С с оправ
дывает пренебрежение токами смещения в уравнениях магнит
ной гидродинамики.
В обратном случае больших частот фазовые скорости двух
ветвей (IV и V) стремятся к значениям оо/к = с, отвечающим
поперечным высокочастотным волнам в изотропной плазме, —
как и должно было быть, поскольку при оо ^ оов е магнитное
поле не играет роли.
Наконец, остановимся на интересном случае волн, которые
могут иметь место при Ое
оове] ПРИ этом резонансная частота
002 ~ cj£e cos#. Рассмотрим в этом случае область частот, про
межуточных (на ветви II) между 002 и оо% ~ ooBi, определяемую
неравенствами
о2
OOBi ^ оо ^ OOBeCos 0,
оо ^
.
(56.20)
ШВе
Условие оо
ооBi позволяет пренебречь в g вкладом ионов, а в
силу условия оо g > е±.
Искомое решение дисперсионного уравнения получается бо
лее прямым образом, если записать последнее в виде
«ак7~еe7/3l ~
- -^ -о5 а/з
к2е Л - kak
п = 0,
(56.22)
перейдя в (56.4) от тензора еар к его обратному (т. е. выразив в
уравнениях (57.3) Е через D ). Компоненты обратного тензора:
Г
-1
— f
-1
^yy
УУ
— е±
P i --------—
g
о 5
2
f
- 1
=
1
—
S ||
5
f
- 1
XV
У
=
—f
- 1
Vх
У
^
г
—
g
5
и наибольшей из них будет е~у. Пренебрегая остальными ком
понентами (и выбрав плоскость x z проходящей через B q и к),
получим дисперсионное уравнение
288
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
откуда
и = к2с2^
1cos 6>| = cB°\cose\k 2.
Щ '
1
4тгeN e
(56.23)
v
’
Эти волны называют геликоидальными 1 ); они имеют чисто элек
тронное происхождение.
Название этих волн связано с характером их поляризации. Из
равенства kD = 0 (56.2) при сделанном выборе координатных
осей имеем
D x sin 0 + D z cos 0 = 0.
(56.24)
Из уравнений же (56.3), написанных в виде
[k2e~l - K k ^ - ^ D p = ^ D a ,
(56.25)
находим D x = —i | cos 0\Dy. В том же приближении (т. е. при со
хранении из всех
лишь е~у ) электрическое поле волны лежит
целиком в плоскости ху, перпендикулярной Bq: E z = e~^Dp — 0 .
Компоненты же
= еху-^у> Е у = syxD x = —sxyD x ,
и из (56.24) следует
Е у = г\ cos в\Ех .
(56.26)
Таким образом, волна эллиптически поляризована в плоскости,
перпендикулярной Bq; при в = тт/2 поляризация становится ли
нейной. В системе же координат £у £, с осью £ вдоль к, имеем
Е
il^ E y ,
COS в
E c = E z tg 0 .
(56.27)
Вектор Е вращается вокруг направления к, описывая круговой
конус.
Отметим, что выражение (56.21) для еху имеет простой фи
зический смысл. При оов е
^ (вместе с подразумевающимся
везде условием (52.17) к_\_Уте/^Ве — к±гве ^ 1) можно считать,
что поперечное (по отношению к Bq ) движение электронов про
исходит в постоянном и однородном поле Е. Но при движении
заряда в постоянных и однородных скрещенных полях Е и В о его
средняя поперечная скорость (скорость электрического дрейфа)
есть
vl = с ®
(56.28)
(см. II, § 22). Именно этой скорости и отвечает выражение
(56.21). Таким образом, геликоидальные волны связаны с элек
трическим дрейфом электронов в плазме.
х) В геофизике их называют свистящими атмосфериками.
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО ДВИ Ж ЕН И Я
289
§ 57. В лияние теплового дв и ж ен и я на распространение
электром агнитны х волн в магнитоактивной плазм е
При учете теплового движения частиц дисперсионное уравне
ние становится, вообще говоря, трансцендентным и приводит к
бесчисленному множеству ветвей функции и;(к). Подавляющее
большинство этих колебаний, однако, сильно затухает. Лишь в
исключительных случаях затухание оказывается слабым и коле
бания могут распространяться в виде волн. К этим случаям от
носятся, прежде всего, рассмотренные в предыдущем параграфе
волны, для которых тепловое движение приводит (при соблюде
нии условий (52.17) и (53.17)) лишь к малым поправкам в законе
дисперсии и к малому коэффициенту затухания Ландау.
Мы видели, однако, что для волн в холодной плазме суще
ствуют области частот, в которых отношение кс/ио становится
сколь угодно большим (окрестности плазменных резонансов).
Но при к —)►оо условия (52.17) заведомо нарушаются, так что
учет теплового движения становится необходимым. Покажем те
перь, что учет теплового движения уже как малой поправки в
диэлектрической проницаемости устраняет расходимость корней
дисперсионного уравнения и приводит к некоторым качествен
но новым свойствам спектра колебаний плазмы (Б.Н. Гершман,
1956). При этом, как мы увидим, все еще могут быть выполнены
условия, обеспечивающие экспоненциальную малость затухания
Ландау, так что антиэрмитовой частью £ар можно по-прежнему
пренебречь. Будем для определенности говорить об окрестности
высокочастотных плазменных резонансов, где достаточно учесть
тепловое движение лишь электронов.
Поправочные члены в еар пропорциональны (kvTe ) 2 1)« Такие
же поправки возникнут и в коэффициентах А, В, С дисперсион
ного уравнения (56.5). Имея в виду исследовать лишь расходя
щийся корень этого уравнения, достаточно учесть поправочные
члены только в коэффициенте А , обращающемся (без поправок)
в точке резонанса в нуль.
Представим этот коэффициент в окрестности резонансной
частоты (пусть это будет uo\) в виде
(57.1)
Второй член представляет собой поправку от теплового движе
ния. Коэффициенты аг и А \ г берутся в точке ио = ио\, так что от
переменной ио уже не зависят (но зависят, конечно, от направле
ния к, т. е. от угла в). Положив ио = ио\ также и в коэффициентах
х) Они получаются из членов первого порядка в разложении подынте
грального выражения в (54.5) по степеням к 2.
10 Л . Д . Л андау, Е.М . Л и ф ш и ц , том X
290
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ П ОЛ Е
ГЛ. V
В и С ( и обозначив эти их значения через В г и Сг ), получим дис
персионное уравнение в окрестности резонансной частоты в виде
« ..(w -a ,
vre
)
^
y
+ B r ( ^ f + C r = 0.
(5 7 .2 )
Нас интересует тот корень этого уравнения, который при
0 переходит в
'fccV
KLJiJ
Br
аг(и —cji) ’
т. е.
B ruj\
UJ
U)\
(57.3)
arc2k 2
Поскольку в этом решении (kc/uoi)2 велико, то для его отыскания
следует опустить в (57.2) не содержащий этой большой величины
член Сг . Тогда получим следующий закон дисперсии:
Ш-Ш 1 = —
сЛу* \
'w iV
J
{
сь>р \чкс )
(57.4)
Здесь надо различать два случая в зависимости от знака А \ т
(величины же аг и В г всегда положительны) х).
На рис. 20 сплошной линией изображен закон дисперсии
(57.4) при А \ г > 0. Кривая пересекает ось аб(0—
(О^
2\
сцисс в точке‘
(57.5)
При Уте
0 эта точка уходит вправо на бес
конечность и мы возвращаемся к кривой, отве
чающей закону дисперсии (57.3) для холодной
плазмы (штриховая линия на рис. 2 0 ).
Обратим внимание на то, что учет теплово
Рис. 20
го движения приводит, таким образом, к про
длению ветви спектра колебаний в область ио > ио\. В пределе
равного нулю внешнего поля именно эта часть ветви отвечает
обычным продольным плазменным колебаниям: в отсутствие по
ля коэффициент В г = 0 , частота ио\ совпадает с fie и вся кривая
1) В положительности В г легко убедиться из выражений (56.6), (56.7):
исключив £ц с помощью условия А = 0, находим В г = е \ tg 2 в + g 2 sin2 в >
> 0. Из выражения (56.6) для А и выражений (52.11) для г± и ец следует,
что дА/дио > 0; поэтому положительно и аг = (дА/дш)ш=Ш1.
2) Отметим, что для этого значения к отношение kvTe/ui содержит
К / с ) 1/ 2 и потому мало. Это и есть упомянутое выше условие малости
затухания Ландау.
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО Д ВИ Ж ЕН И Я
291
зависимости со — 0 е от к 2 сводится к выходящей из начала коор
динат прямой, уравнение которой совпадает с (32.5) 1).
В пренебрежении тепловым движением колебания в плаз
менных резонансах продольны. Подчеркнем, что при учете про
странственной дисперсии это свойство, строго говоря, исчезает:
величина А = £а(зкак(з/к 2 = £/ становится зависящей от fc, и
равенство £/ = 0 (условие продольности колебаний) делается
несовместимым со связью между теми же пе
ременными со, к , #, даваемой дисперсионным W~W1
уравнением. Как в самих точках плазменных
резонансов (вообще теряющих свою выделенность), так и в их окрестностях волны остают
ся, однако, почти продольными: ввиду малости
А и медленности волны (малости ио/кс), попе
речная компонента Е W мала (согласно (32.10))
по сравнению с Е® .
Обратимся к случаю А \ г < 0. Характер зависимости ио —ио\ от к для этого случая изобис'
ражен на рис. 21. Кривая не выходит в область ио > ио\, загибаясь
обратно в точке максимума с координатами
2
к2 = —
cvT e
/
\ V2
(\ \тAтl ^
)
r \J
’
= —
arc
( \ A i r \ B r ) 1/2.
(57.6)
При Уте
0 эта точка уходит вправо на бесконечность, одновре
менно приближаясь к оси абсцисс, и мы снова возвращаемся к
кривой закона (57.3).
В качестве еще одного примера рассмотрим поперечные вол
ны вблизи электронного циклотронного резонанса, распростра
няющиеся вдоль магнитного поля. В пренебрежении тепловым
движением закон дисперсии этих волн дается формулой (56.9)
(с нижними знаками), причем в окрестности точки оо = оове 2)
(при этом кс >> Ое), весь этот спектр лежит при со < оове1) В связи с этим волны, отвечающие (в магнитоактивной плазме) верхней
части сплошной линии на рис. 20, принято называть плазменными, в отли
чие от обыкновенных или необыкновенных волн, отвечающих нижней части
этой кривой. Подчеркнем, однако, условность этой терминологии: в действи
тельности мы имеем здесь дело с единой ветвью спектра колебаний, точка
пересечения которой с осью абсцисс (точка ио = иоi) ничем не замечательна.
2) Д ля большей определенности считаем, что не только оове — и
оове,
но и что Qe > оове-, так что единицей в правой части (56.9) можно заведомо
пренебречь.
10*
292
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
Д ля исследования этих волн с учетом теплового движения
электронов надо составить дисперсионное уравнение с тензором
диэлектрических проницаемостей (55.7), как раз относящимся
к области циклотронного резонанса1). Раскрыв определитель
(56.4) (с вектором к, направленным вдоль оси z), получим
fcV =
г +
------- 0 | ------- р
Uj(u—UJBe)
iJ
f Ш - шве А
\ V 2 kVTe )
_
^5 7 _gj
Вне линии резонансного поглощения, т. е. при \иове ~
кют
U)BU
>
и Be
(втрое условие следует из первого). Эти условия часто оказыва
ются слишком жесткими, в связи с чем возникает необходимость
в составлении гидродинамических уравнений, свободных от указанного ограничения1).
Уравнение непрерывности для массовой плотности р сохра
няет, конечно, свой обычный вид
(58.2)
g + d ivpV = 0,
at
где V — макроскопическая скорость. Остается прежним также и
общий вид уравнения Навье-Стокса
(58.3)
и уравнение сохранения энергии
div p V (
()‘м У
'
4
Ь {М Т )'Г -ЫБ
* .
щ = Ж .
2
(59.38)
2w B i
Отметим в заключение, что все полученные в этом парагра
фе выражения для «поперечных» кинетических коэффициентов
имеют смысл и при условиях, более мягких, чем общее условие
(58.1). Легко убедиться в том, что поправка к функции распреде
ления оказывается малой, уже если характерные размеры задачи
велики лишь по сравнению с ларморовским радиусом г в соответ
ствующих частиц, чем и обеспечивается применимость указан
ных выражений. Это условие достаточно и для применимости
самих гидродинамических уравнений, если градиенты давления
и температуры везде поперечны по отношению к направлению
магнитного поля.
В нашем рассмотрении мы везде имели в виду плазму с оди
наковыми температурами электронов и ионов. Но ввиду большой
разницы масс электронов и ионов нередко осуществляются усло
вия «двухтемпературности». В таком случае также можно сфор
мулировать систему уравнений типа гидродинамических и вы
числить фигурирующие в них кинетические коэффициенты2).
Задачи
1.
Определить тензор диэлектрической проницаемости магнитоактив
ной электронной плазмы в однородном (к = 0) переменном электрическом
поле с учетом электрон-ионных столкновений (лоренцевский случай; см.
§ 44).
Р е ш е н и е . Как было отмечено в начале параграфа, еслиоднородное
поле Е параллельно полю В (ось z ), то последнее вообще выпадает из ки
нетического уравнения. Поэтому компоненты exz, eyz, ezz не зависят от В
(при этом exz = £yz = 0 , &£zz дается формулой (44.7)). Для нахождения же
остальных компонент можно считать, что Е _L В.
Ищем поправку к функции распределения электронов в виде
Sfe = (vE)g J (v) + (v[Eb])g2(v).
(1)
Для функции этого типа (ср. примеч. на стр. 301) интеграл столкновений
Stei /е = - vei(v)dfe,
: ) Целесообразность определения коэффициента вязкости щ для магни
тоактивной плазмы согласно (58.15) связана с тем, что все остальные коэф
фициенты г] оказываются тогда стремящимися к нулю при В —»>оо.
2) Этот вопрос изложен в статье С.И. Брагинского «Явления переноса в
плазме» в сб. «Вопросы теории плазмы» — М.: Атомиздат, вып. 1, 1963.
309
КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
так что кинетическое уравнение
( yei{y) - iuj)5fe - - [ v B ] ^ £ - =
с
о
р
= -^ v E /o e-
др
Т
(2)
Оно отличается от бесстолкновительного уравнения лишь заменой uj на uj +
+ iiyei(v). Подстановка (1) в (2) приводит к двум алгебраическим уравнениям
для
и g 2, решая которые, находим
- i e ( u , + iuei( v ) ) f 0е
T[(i J
Г_
+ l Vei ( v ) ) 2 ~ LO%e ] \
г^ве[bv] 1 Е = gE
UJ
+
(3)
J
Диэлектрический тензор
47re г
_
то
+ - — J Vagf l а р.
IUJ
Выпишем окончательный результат для частот
IUJ ± UJBe I > Vei,
когда столкновения можно рассматривать как малое возмущение. В таком
случае можно положить
g = go + i v e i ( v ) — - ,
OUJ
где go — функция g при vei(v) = 0. Тогда
_
-
(о) , Ал/2тг ze4L eN e d u (0)
6 «13 +
*
m
. л
i / 2 T 3 /2 w
( .
(4 )
где
— тензор диэлектрической проницаемости без учета столкновений.
Эта формула (по той же причине, что и для (44.9)) справедлива не только
в лоренцевском случае, но и для плазмы с любым z.
2.
Неоднородная в направлении оси х плазма удерживается магнитным
полем, направленным по оси z. При условии UJBe
Vei определить рас
пределение плотности и магнитного поля в плазме, считая распределение
температуры заданным (И. Е . Тамм , 1951).
Р е ш е н и е . По условию, градиенты температуры Т и давления Р
направлены вдоль оси х. Вдоль той же оси направлено и возникающее изза неоднородности плазмы электрическое поле Е, потенциальное в стацио
нарном случае. Удержание же плазмы означает, что отсутствуют движение
плазмы и электрический ток в направлении х: Vx = 0, j x = 0.
Проецируя с учетом сказанного уравнения (58.13) на ось у и используя
уравнение Максвелла rot В = 47rj/с, получим
с dB
.
4w~dx ~ ~h ~
.
dT
а± l b '
Подставив в эту формулу выражение (59.17) для
ЛГсг±_, имеем
d_B1 = _ 3 NedT
2 dx
Магнитное поле «выталкивается» из более горячих областей плазмы. Про
ецируя же на ось х уравнение (58.3) и пренебрегая вязкими членами, дающи
ми вклад более высокого порядка малости по 1/ 5 , находим второе уравнение
dx Stv
А (Ре + Pi) = i j yB,
dx
с
310
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
которое с помощью того же уравнения Максвелла приводится к виду (при
г = 1)
В
8тг
2NeT Н----- = const.
(2)
Уравнению (1) можно придать более удобную форму, исключив из (1) и (2)
магнитное поле. После интегрирования находим
NeT 1/4 = const.
Формулы (2) и (3) решают поставленную задачу. Распределение же темпе
ратуры определяется уравнением теплопроводности.
§ 60. Д рейф овое приближение
Исследуя в предыдущем параграфе кинетические коэффи
циенты плазмы в сильном магнитном поле, мы пользовались ин
тегралом столкновений Ландау, что подразумевало выполнение
а (59.10). Покажем теперь, как можно освобо
неравенства гве
диться от этого ограничения, т. е. получить формулы, пригодные
и в случае полей, настолько сильных, что для электронов выпол
няется обратное неравенство:
ГВе < «•
(60.1)
При этом удобно воспользоваться специальным, так называ
емым дрейфовым приближением, которое производится уже в
самом кинетическом уравнении, а не только при его решении.
Это приближение справедливо, если магнитные и электрические
поля достаточно медленно меняются в пространстве и во време
ни. Именно, частота поля оо и эффективная частота соударений v
должны быть малы по сравнению с ларморовской частотой, а ха
рактерное расстояние, на котором меняются поля (обозначим его
через 1 /к), должно быть велико по сравнению с ларморовским
радиусом. Эти условия должны выполняться для каждого сорта
частиц, к которым применяется дрейфовое приближение. Ниже
в этом параграфе мы будем писать все формулы (для опреде
ленности) для электронов (аналогичные формулы для ионов по
лучаются, как всегда, заменами е —>►—ze, иове
~^Bi^ m
М).
Таким образом, будут предполагаться выполненными условия
W, Vei < иве,
\ > ГВе•
(60.2)
ГЬ
Основой рассматриваемого метода является приближенное
решение уравнений движения заряженных частиц в заданных
полях Е(£, г) и В(£, г), учитывающее медленность изменения по
следних как функций t и г . Движение частиц в таких полях пред
ставляет собой совокупность быстро переменного вращения (с
частотой оове) п0 «ларморовским окружностям» вместе с мед
ленно меняющимся перемещением центров этих окружностей
ДРЕЙФОВОЕ П РИ БЛИ Ж ЕНИ Е
311
(или, как говорят, ведущих центров орбит). Метод решения со
стоит в выделении быстропеременной, осциллирующей состав
ляющей движения и усреднении по нему.
Представим радиус-вектор и скорость электрона в виде
r = R ( i) + C ( i) , v = V + C, V = R ,
(60.3)
где R — радиус-вектор ведущего центра орбиты, а £ — ос
циллирующий радиус-вектор электрона относительно ведуще
го центра1). В нулевом приближении, в полном пренебрежении
пространственной и временной зависимостями поля и столкнове
ниями, мы имеем дело просто с движением в скрещенных одно
родных и постоянных полях Е и В. Как известно (см. II, § 22), в
этом случае вектор £ лежит строго в плоскости, перпендикуляр
ной полю В, и вращается в этой плоскости с постоянной угловой
скоростью иове — еВ / (тс), оставаясь неизменным по величине.
Радиус окружности |£| связан с постоянной скоростью |£| = v_\_
согласно |£| = v ^ /иове] в векторном виде связь между £ и £ за
писывается в виде
С = - — [К],
ШВе
где b = В / В . Центр же орбиты движется со скоростью
(60.4)
R = V 0 = г>0цЬ + w 0,
где г>оц — скорость равномерно-ускоренного движения вдоль маг
нитного поля, удовлетворяющая уравнению
m v оц = —еЬЕ,
(60.5)
а
w 0 = R ± = -[E b ]
(60.6)
В
есть скорость перемещения в плоскости, перпендикулярной В
(скорость электрического дрейфа)2).
В дальнейшем мы ограничимся этим приближением и пре
небрежем членами, связанными с непостоянством полей Е и В,
т. е. фактически будем считать их постоянными. В соответствии
с этим мы будем опускать индексы 0 у всех величин.
Сущность дрейфового приближения состоит в переходе в ки
нетическом уравнении к медленно меняющимся переменным R,
v \\i v±. — |С|• Эти величины вместе составляют пять независимых
переменных, от которых зависит функция распределения.
х) Не смешивать обозначение V в этом параграфе с макроскопической
скоростью, обозначенной через V в § 59!
2) При этом предполагается, конечно, что Е / В
Здесь введены очевидные обозначения для проекций векторов
и использованы равенства (60.5), (60.6). Член же с v±_ в этом
приближении отсутствует, поскольку v±_ при дрейфе не меняется.
Перейдем к записи интеграла столкновений в дрейфовых пе
ременных 1). Отметим прежде всего, что акт столкновения в этих
переменных состоит в «мгновенном» изменении скоростей г>ц
и v_\_ и перпендикулярных к магнитному полю компонент радиусвектора центра кружка
(что же касается параллельной ком
поненты, Дц, то она практически совпадает с соответствующей
координатой самой частицы и при столкновении не меняется).
Столкновения происходят лишь между частицами, проходя
щими друг мимо друга на прицельных расстояниях р, не пре
вышающих радиуса экранирования а: р < а. Если р мало по
сравнению с ларморовскими радиусами сталкивающихся частиц,
то магнитное поле вообще не сказывается на процессе рассея
ния, поскольку на таких расстояниях поле не искривляет замет
ным образом траекторий частиц. Описание таких столкновений в
терминах дрейфовых переменных вообще не является естествен
ным. Поэтому использование интеграла столкновений в этих пе
ременных целесообразно лишь в условиях, когда по крайней мере
для одной из сталкивающихся частиц г в
а.
При кулоновском взаимодействии частиц в присутствии маг
нитного поля, как и в его отсутствие, существенны далекие
столкновения и соответственно малые изменения всех перемен
ных. Поэтому произведенный в § 41 вывод интеграла столкнове
ний в р-пространстве остается в силе и для интеграла столкно
вений в пространстве переменных R ^ = (X, У), г>ц, J (ось 2 —
вдоль магнитного поля), если теперь вместо компонент импульса
х) Интеграл столкновений в дрейфовых переменных был получен
Е.М. Лифшицем (1937) для электронного газа и обобщен для плазмы
С. Т. Беляевым (1955).
314
ПЛАЗМ А В М АГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
ввести четыре переменные g k{X,Y,v\\, J} и понимать под A g 1,
A g 2, • • • изменения этих величин при столкновениях.
Интеграл столкновений по-прежнему приводится к виду
St / = - V —
^
dgk
=
_dsj_
awM
dJ
(60.12)
V
7
(поток s_\_ по определению имеет компоненты только в плоскости,
перпендикулярной В); здесь существенно, что элемент объема в
пространстве переменных g k сводится просто к произведению
их дифференциалов; поэтому интеграл столкновений имеет вид
обычной дивергенции. Вывод в § 41 требует лишь небольших из
менений. Прежде всего, при записи (41.2) было уже учтено, что
в силу сохранения импульса А р = q = —А р 7. Д ля рассматрива
емых дрейфовых переменных такого соотношения, разумеется,
нет. Повторив вывод без этого предположения, найдем (скажем,
для столкновений электронов с ионами)
4^ = Е
\ j {^ёеЛёейП^ +
+ (А ёекА ё и ) 1 е-^ ~ \ d 3Pi,
dgu
(60.13)
где d3pi = 27гМ3 dJ{ d v ^ A g к — изменение величин g к при столк
новении, а угловые скобки означают усреднение по столкнове
ниям.
При выводе (60.13) существенно использована также возмож
ность переставить в интеграле столкновений начальное и конеч
ное состояния, после чего становится очевидным сокращение ли
нейных по A g k членов; кроме того, это позволяет производить
интегрирование по всему g -пространству. В § 41 такое преобра
зование было сделано в силу симметрии по отношению к обра
щению времени, связывающей вероятности прямого и обратного
столкновений. При наличии магнитного поля такая симметрия
имеет место только при условии изменения направления поля В
на обратное, так что она связывает вероятности столкновения
по существу в различных полях. Однако мы увидим ниже, что в
данном случае симметрия относительно обращения времени вос
станавливается интегрированием по прицельным параметрам.
Наконец, в (60.13) использовано, что взаимное рассеяние
«кружков» имеет место лишь при их прохождении на рас
стояниях друг от друга, не превосходящих радиуса экрани
рования а. Предполагая, что функция распределения мало
меняется на таких расстояниях, мы положили приближенно
/г(Г^г^г|Ь Ji) ~ /г(^в5 vm , J i) и произвели интегрирование по
315
ДРЕЙФОВОЕ П РИ БЛИ Ж ЕНИ Е
d 3Ri. В результате в (60.13) осталось лишь интегрирование по
d3pi , а усреднение по столкновениям включает в себя интегри
рование по положениям R^. Ниже в конкретных случаях это
усреднение будет выражено с помощью соответствующего се
чения рассеяния. Сейчас укажем лишь, что средние значения
(A R ^ A J ), (AR_lA^||) равны нулю. Это видно из того, что произ
ведения A X A J , A Y A J (и такие же с Дг>ц вместо A J) образуют
вектор в плоскости ху. Поскольку для ларморовских кружков
не существует в этой плоскости каких-либо выделенных направ
лений, указанный вектор должен обратиться в нуль при усред
нении.
Важное свойство интеграла столкновений в дрейфовых пе
ременных состоит в том, что его добавление к кинетическому
уравнению изменяет выражение для потока частиц (в обычном
пространстве!) через функцию распределения. Чтобы убедиться
в этом, запишем кинетическое уравнение в виде
dfe + d ( V f e)
dt
dR x
_а_(
ц|
\2nTj
Vmin
—ОО
4
'
где Vmin определяется одним из указанных в конце параграфа механизмов.
Положив, например, г>т т ~
получим в результате
Dn = ( 2 , m ) ^ W N i l n M ln^
Т^!2В 2
m
R Be
Аналогичным образом, взяв ((ARj_)2) из (60.27), получим вклад в коэффи
циент диффузии от области I:
Di _
х
4(27rm)1/2g2e2c2JVj ^
3TV2B2
ту%е
П г е 2ш в е ’
Если считать, что выполняется неравенство (59.10), обратное к (60.1),
то область II отсутствует, а логарифм в (3) заменяется его обычным куло
новским значением (41.10). В таком случае подстановка (3) в (1) приводит
к формуле (59.15) для а±.
2.
Определить коэффициент поперечной диффузии D ± для столкнове
ний электронов с нейтральными атомами.
Р е ш е н и е . Ввиду короткодействующего характера взаимодействия
электрона с атомами имеется только область I, где под а следует понимать
размер атома1). Остается справедливой и формула (60.26). В нее, однако,
нужно теперь подставить сечение рассеяния электрона на нейтральном ато
ме. После интегрирования по углам D ± выражается через транспортное се
чение этого рассеяния сг*:
D± = ^ W R i r ) = ^
-
t
(Na — плотность числа атомов). Для независящего от скорости электрона
сечения at получаем после усреднения по максвелловскому распределению:
D± = —
( 2 T ) S/2 Na 0 ), в которой мнимая часть диэлектри
ческой проницаемости отрицательна: s'/(си, к) < 0. Подчеркнем,
однако, что наличие таких областей само по себе еще не означает
обязательно неустойчивости плазмы (во всяком случае, в линей
ном приближении); необходимо еще, чтобы в эту область фактиче
ски попадала какая-либо из ветвей спектра плазменных колебаний.
1) Напомним, что в случае анизотропной плазмы это дисперсионное урав
нение относится к квазипродольным «медленным» волнам — см. § 32.
11 Л .Д . Л а н д а у , Е .М . Л и ф ш и ц , т о м X
322
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Г Л . VI
Характерный пример неустойчивости представляет направ
ленный пучок электронов, проходящих через неподвижную плаз
му (А.И. Ахиезер, Я.Б. Файнберг, 1949; D. Bohn, Е.Р. Gross,
1949). Пучок предполагается электрически компенсированным:
сумма электронных плотностей зарядов в плазме и пучке равна
ионной плотности зарядов плазмы. Система однородна и неограничена, т. е. пучок (как и неподвижная плазма) заполняет все
пространство, причем его направленная скорость V везде оди
накова. Скорость V будем считать нерелятивистской.
Предположим сначала, что как пучок, так и плазма — хо
лодные, т. е. можно пренебречь тепловым движением их частиц;
необходимое для этого условие выяснится ниже.
В области частот электронных колебаний продольная диэлек
трическая проницаемость системы плазмы-пучок имеет вид
в,(с, k ) - l = - 4 uj 2
Ql
( uj
(61.3)
— k v ) ^
Первый член справа отвечает неподвижной плазме, Ое =
= (47ve2 N e/ m ) 1^2 есть соответствующая электронная плазменная
частота. Второй член обязан электронам пучка. В системе отсче
та К \ движущейся вместе с пучком, вклад его электронов в si —1
равен —(Og/ct/)2, где со' — частота колебаний в этой системе, а
0'е = (4тге27У'/ш )1/ 2 (N'e — плотность электронов в пучке). При
переходе к исходной системе отсчета К частота ио' заменяется на
и' = и - k V
(61.4)
и мы приходим к выражению (61.3) 1).
Будем считать плотность пучка малой в том смысле, что
N'e « N e,
(61.5)
так что и
- к У ) ехр ( (u>-kV)s
V 2k2v^e J
(kv'Te)s
\
2k2v^e
Область неустойчивости определяется условием 7 (к) > 0. Для этого во
всяком случае должно быть kV > ш. Наибольший инкремент будет при
8 = k V —uj < kv'Te. В этой области первый член в (1) экспоненциально мал
(в силу Qe
kvTe) и им можно пренебречь (если только N ’e не слишком
мало). Тогда инкремент 7 будет даваться лишь вторым членом; отметим,
что он пропорционален плотности пучка N ’e.
3.
Исследовать устойчивость ионно-звуковых волн в двухтемпературной
плазме (Те ^ Ti), в которой электронная компонента движется относитель
но ионной с макроскопической скоростью V , причем V ио; для этого во всяком случае должно быть
V > ш / к. Вблизи границы неустойчивости множитель kV —uj в (2) мал, и то
гда может оказаться необходимым учет в 7 также и ионной части затухания,
которая в обычных условиях мала.
§ 62. А бсолю тная и конвективная неустойчивость
Наличие у дисперсионного уравнения корней в верхней
и;-полуплоскости означает, что малое начальное возмущение в
виде плоской волны возрастает, т. е. система неустойчива по от
ношению к такому возмущению. Реально, однако, всякое началь
ное возмущение представляет собой «волновой пакет» конечных
размеров в пространстве, и плоские волны представляют собой
лишь его отдельные фурье-компоненты. С течением времени па
кет «расплывается», а его амплитуда (в неустойчивой системе)
возрастает. В то же время, однако, как и всякий волновой пакет,
он будет перемещаться в пространстве. Здесь могут иметь место
два случая.
В одном случае, несмотря на перемещение пакета, возмуще
ние неограниченно возрастает в любой точке пространства; та
кую неустойчивость называют абсолютной. В другом случае па
кет сносится так быстро, что в каждой фиксированной точке
пространства возмущение стремится при t
оо к нулю; такую
неустойчивость называют конвективной.
Сразу же подчеркнем, что это различие относительно в том
смысле, что характер неустойчивости всегда определяется по от
ношению к той или иной системе отсчета и переход от одной
системы к другой может изменить этот характер: конвективная
в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в си
стеме, движущейся «вместе с пакетом», а абсолютная неустой
чивость становится конвективной в системе, достаточно быстро
«уходящей» от пакета.
Это обстоятельство, однако, отнюдь не лишает физического
смысла различие между двумя типами неустойчивости. В реаль
ных постановках задачи всегда существует выделенная с экспе
риментальной точки зрения система отсчета, относительно ко
торой и следует рассматривать неустойчивость. Допустимость
рассмотрения физической системы, как бесконечно протяжен
ной, не исключает того факта, что реально она имеет границы
(например, стенки), которые и служат «лабораторной системой
отсчета». Более того, фактическая ограниченность системы мо
жет приводить к тому, что при конвективной неустойчивости
326
ТЕО РИ Я НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
ГЛ . VI
возмущение может вообще не успеть развиться, прежде чем па
кет будет «вынесен» за границы системы (например, при течении
жидкости по трубе).
Излагаемая ниже теория, позволяющая установить критерий
различения обоих типов неустойчивости, имеет очень общий ха
рактер 1). Речь может идти о любой вообще однородной и беско
нечной (хотя бы в одном направлении — ось х) системе. Поэтому
мы не будем конкретизировать здесь природу среды и возмуще
ния в ней, обозначая последнее как некоторое
г). При этом
мы ограничимся случаем одномерного пакета. Если речь идет о
трехмерной системе, то это значит, что рассматриваются возму
щения вида
ф ( Ъ г ) = ‘ф ( Ь , х ) е * к*У+к**)
с заданными значениями ку, kz .
Представим ф(Ь^х) в виде одностороннего разложения Фурье
по времени — от t = 0 (момент возникновения возмущения) до
t = ос. Компоненту такого разложения обозначим через (р(оо,х):
оо
0, один из множителей в подынтегральном
1) Для этого во всяком случае необходимо, чтобы начальный волновой
пакет достаточно быстро (быстрее чем ехр (—а|ж|)) убывал в пространстве.
328
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Г Л . VI
выражении при t
оо неограниченно растет, а другой стано
вится бесконечно быстро осциллирующей функцией; эти проти
воположные тенденции затрудняют оценку интеграла.
Вместо этого вернемся к выражению ?/>(£, ж) в виде (62.2), до
выполнения интегрирования по со. Сместим и;-контур вниз до его
«зацепления» за первую (наиболее высокую, т. е. с наибольшим
иоп) особую точку функции ф{ио,х); пусть эта точка лежит при
со = сос (как будет ясно из дальнейшего, сос не зависит от х).
Очевидно, что асимптотическое значение интеграла определяет
ся окрестностью именно этой точки, так что
(62.7)
?/>(£,ж) со е luJct = ехр (—ico'ct + co"t).
Если со, > О, то возмущение растет в каждой фиксирован
ной точке ж, т. е. неустойчивость абсолютна. Если же ио" < О,
то в фиксированных точках возмущение стремится к нулю —
неустойчивость конвективна. Искомый критерий сводится, та
ким образом, к определению сос.
Функция (р(со,х) дается интегралом (62.3) с
из (62.4):
LXJ
0;
поэтому elujt —>• 0 при t
оо.
УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ
333
Это выражение автоматически обеспечивает равенство ?/>(£, х) = О
при t < 0 в соответствии с условиями задачи: возмущение воз
никает только от включаемого в момент t = 0 источника.
Задача состоит теперь в том, чтобы найти асимптотическое
выражение ?/>(£, ж) вдали от источника (|ж| —>►оо) в установив
шемся режиме, т. е. по истечении большого времени после вклю
чения источника (t —>►оо). Если в таком режиме возмущение
стремится к нулю при х —>►=Ьоо, то мы имеем дело с непропусканием. Если же возмущение оказывается возрастающим хо
тя бы по одну сторону от источника — имеет место усиление.
Очевидно, что в обоих этих случаях может идти речь лишь о
конвективно-неустойчивой (или об устойчивой) системе. При аб
солютной неустойчивости возмущение неограниченно растет со
временем во всех точках пространства, так что выход на устано
вившийся режим вообще невозможен.
Переходя к отысканию требуемой асимптотики, прежде всего
отметим, что асимптотический переход t
оо надо произвести
до перехода |ж|
оо: поскольку за конечное время возмущение
не может распространиться до бесконечности, то переход |гг| —^ оо
при конечном t обратит ф в нуль.
Как и в § 62, для получения асимптотического выражения
при t
оо смещаем путь интегрирования по ш в (63.4) вниз.
Аналитические свойства функции Ф(оо,х) такие же, как и у
функции (р(оо,х) в § 62. Поскольку система предполагается лишь
конвективно-неустойчивой, то Ф(оо,х) не имеет особенностей в
верхней полуплоскости оо и наиболее высокой особой точкой
подынтегрального выражения в (63.4) является полюс ио = ooq
на вещественной оси. Поэтому асимптотика при t
оо
ф ^ , х ) с с е ~ Шо1;Ф(ооо,х).
(63.6)
Д ля нахождения асимптотики функции Ф(ооо,х) при |ж|
оо
надо теперь смещать путь интегрирования по к вверх (при х > 0)
или вниз (при х < 0) до тех пор, пока он не зацепится за по
люс подынтегрального выражения в (63.5) (корень уравнения
А (и)0 ,к) = 0).
Обозначим через к+(оо) и к-(оо) те полюсы, которые при
Im ио
оо находятся соответственно в верхней и нижней полу
плоскостях к. По мере уменьшения Ima; полюсы перемещаются
и при вещественном оо = ooq могут остаться в «своей» полуплос
кости или же попасть в другую полуплоскость. В первом случае
путь интегрирования в Ф{оои,х) остается на вещественной оси
(как на рис. 22 а), а во втором — деформируется, как показано
на рис. 22 5, огибая «убежавшие» в чужую полуплоскость полю
сы к+(ооо) и к-(ооо) (точки А и С). В обоих случаях при смещении
контура вверх или вниз он зацепляется соответственно за полю
334
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Г Л . VI
сы к+ или к - . Асимптотическое выражение функции ?/>(£, ж) при
х —У-|-оо определяется вкладом от наиболее низкого из полюсов
А;_|_(сс?о) 5 а ПРИ ж ^ —оо — от наиболее высокого из полюсов к —(с^о); другими словами, это — наиболее близкий к вещественной
оси полюс (если все полюсы данной категории остались в «сво
ей» полуплоскости) или же наиболее далекий от вещественной
оси полюс из числа тех, которые перешли в «чужую» полуплос
кость. С этими значениями к+ и к - будем иметь
Ip(t,x) со ехр {гк+(ш0)х - i u 0t}
t/)(t,x) оо ехр {ik-(ujo)x — iivot}
при
при
х > О,
х < 0.
В случае устойчивой системы все полюсы остаются при со = со$
в «своих» полуплоскостях; действительно, ввиду отсутствия вет
вей колебаний с 1т со(к) > 0 (при вещественных к) пересечение
полюсом к (со) вещественной оси могло бы иметь место лишь при
Ima; < 0. Поэтому в (63.7) будет
I m f c + ^ o ) > 0,
1 т £ ;_ (и ;о ) < 0,
так что волны затухают в обе стороны от источника.
В случае же конвективной неустойчивости полюсы к (со) вы
ходят на вещественную ось уже при 1т со > 0. Поэтому заведомо
существуют полюсы к+ или fc_, попавшие при со = coq в «чужую»
полуплоскость, т. е. для которых Im к+(соо) < 0 или Im к - (с^о) > 0.
Наличие такого полюса к+(соо) приводит к усилению волны спра
ва от источника, а наличие такого полюса к-(соо) — к усилению
слева от источника.
Резюмируя изложенные рассуждения, приходим к следую
щему критерию различения случаев непропускания и усиления
волн, испускаемых источником с частотой c oq в конвективно
неустойчивой системе.
Волна с комплексным значением к(соо) при вещественном coq
усиливается, если функция 1т к (со) меняет знак при изменении
Im со от +оо до 0 (при заданном Rea; = с^о); если же 1т к (со) не
меняет знака, то имеет место непропускание.
Отметим, что происхождение этого критерия связано с тре
бованиями причинности. Действительно, при сколь угодно бы
стром включении источника возмущение во всяком случае дол
жно убывать при х —>►=Ьоо просто потому, что за конечное время
оно не может распространиться на бесконечное расстояние. С
другой стороны, «сколь угодно быстрое» включение можно осу
ществить по закону e~lujt с Ima; —>►+оо. Поэтому ясно, что вол
ны, усиливаемые (при вещественном со) в ту или иную сторону
от источника, должны затухать в эту же сторону при Imu; —>►оо,
откуда и возникает сформулированный выше критерий.
УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ
335
Полученные результаты имеют еще и другой аспект, позво
ляя определить направление распространения волны в среде с
поглощением или усилением. В прозрачной среде (т. е. когда со и
к вещественны) вопрос о физическом направлении распростране
ния решается направлением вектора групповой скорости. В част
ности, в одномерном случае волна с положительным значением
производной duo/dk движется в положительном направлении оси
ж, а с отрицательным — в обратном направлении. В среде же
с поглощением или усилением можно утверждать, что в поло
жительном направлении распространяются волны группы
а
в отрицательном — группы к - . В случае вещественных оо п к
эта общая формулировка совпадает с прежней. Действительно,
малые изменения со п к связаны друг с другом соотношением
бк =
duj/dk
Отсюда видно, что если у оо появляется мнимая часть Ima; > О,
то к смещается в верхнюю полуплоскость при doo/dk > 0 и в
нижнюю в обратном случае.
В качестве простого примера применения критериев, полу
ченных в этом и предыдущем параграфах, рассмотрим неустой
чивость холодного пучка электронов в холодной плазме, о кото
рой шла речь в § 61. Дисперсионное уравнение этой системы:
о2
о /2
%
+ (и
, — ‘k V ) z = 1
(63.8)
ио2
(см. (61.6); для волн, распространяющихся в направлении пучка,
kV = kV). Корни к (со) этого уравнения при |а;| —^ оо имеют вид 1)
к =
При Ima; —>►оо оба корня лежат в одной и той же (верхней) по
луплоскости, т. е. оба корня относятся к категории к+(оо). Они не
могут, следовательно, при своем перемещении (при уменьшении
Ima;) зажать fc-контур, так что неустойчивость — конвективная.
Асимптотическое поведение созданного в начальный момент воз
мущения определяется частотой со = Ое, вблизи которой корни
уравнения (63.8) стремятся к оо по закону
к2 = — ЗД 2—
(63.10)
2V2{ w - Q e)
Таким образом, при t
оо от возмущения остаются лишь неза
тухающие плазменные волны.
х) Отметим, что (63.9) совпадает с дисперсионным уравнением пучка са
мого по себе, как если бы неподвижной плазмы вообще не было.
336
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Г Л . VI
При вещественных значениях оо < 0 е уравнение (63.8) имеет
два комплексно-сопряженных корня к (со). Тот из них, у кото
рого 1тк(со) < 0, попал в нижнюю полуплоскость из верхней.
Таким образом, при распространении волн от источника с ча
стотой ооо <
происходит их усиление в направлении х > О,
т. е. «вниз по течению» пучка.
§ 64. Н еустойчивость при слабой связи
д в у х ветвей спектра колебаний
Применим развитый в § 62, 63 общий метод к исследованию
неустойчивости, возникающей благодаря «взаимодействию» ко
лебаний с близкими значениями оо и /с, относящихся к двум вет
вям колебательного спектра бездиссипативной системы; под бездиссипативностью подразумевается здесь отсутствие как истин
ной диссипации, так и затухания Ландау.
Если бы две ветви оо = оо\(к) и оо = оо2 (к) были полностью
независимы, то это значило бы, что дисперсионное уравнение
распадается на два множителя:
[оо — оо\(к)][оо — u)2 (к)] = 0.
(64.1)
Вблизи точки пересечения таких ветвей функции оо\(к) и оо2 (к)
имели бы в общем случае вид
(к) = и>0 + vi (к - к0),
ш2 (к) = и>о + v2(k - к0),
(64.2)
где г>1 , V2 — некоторые постоянные, a ooq и ко значения (веще
ственные!) оо п к в точке пересечения.
Такой случай, однако, вообще говоря, нереален. Связь между
двумя ветвями могла бы строго отсутствовать, в лучшем слу
чае, при каких-то специфических значениях параметров систе
мы, но появилась бы уже при малейшем их изменении 1). Д ля от
ражения реальной ситуации надо поэтому учесть наличие слабой
связи между ветвями. Она проявляется в замене нуля в правой
части уравнения (64.1) на некоторую малую величину е. Тогда
дисперсионное уравнение вблизи этой точки примет вид
[оо — ооо — vi (к — ко)][оо — ooq — V2 (k — ко)] = е.
(64.3)
1) Исключение составляют случаи, когда взаимодействие отсутствует в
силу требований симметрии, например, если одна ветвь относится к про
дольным, а другая — к поперечным волнам в изотропной среде. Поскольку
в изотропной среде продольный ток не может индуцировать поперечное по
ле и наоборот, то такие волны не взаимодействуют друг с другом. Ситуация
здесь аналогична той, которая имеет место в квантовой механике для пере
сечения термов различной симметрии (см. III, § 79).
Н ЕУ С ТО Й Ч И В О С ТЬ ПРИ СЛА БО Й СВЯЗИ
337
Его решение относительно со:
ш (к ) -ш 0 = ^ { ( v i + V 2 ) ( k - k o ) ± [ ( k - k o ) 2 ( v i - v 2 ) 2 +4£]1/ 2}, (64.4)
а относительно к:
к (со) — ко =
1
2 v i V2
X {(г >1 + и2)(ш — ш0) ± [(ш —0J q ) 2 ( v 1 -
v 2 ) 2 + 4£V1V2]1//2}.
(64.5)
Наличие связи между ветвями сдвигает точку их пересечения
в комплексную область. Зависимости же со(к) для вещественных
со и к имеют различный характер в зависимости от знака посто
янной е и относительного знака постоянных v\ и V2 - Эти зависи
мости изображены на рис. 23 для следующих случаев:
а) £ > О, V\V2 > 0 , б) £ > 0, V\V2 < 0,
(64.6)
в) £ < 0, V\V2 > 0 , г) £ < 0, V\V2 < 0.
Рассмотрим эти случаи поочередно.
а) Здесь функции со(к) вещественны при всех (веществен
ных) к, так что система устойчива. Вещественны также функции
к (со) при всех со, так что
СО-СОо
при всех со волны распро
страняются не усиливаясь.
б) Функции со(к) ве
щественны при всех к,
так что система устойчи
ва. Функции же к (со) ком
плексны в области частот
(ш -и ,„ )2 <
со-со0
(гл - v 2) 2
(64.7)
Ввиду устойчивости систе
мы, в этой области имеет
место непропускание.
в) При
(к - к 0) 2 <
/ и
к—
ко
Ф1
(гл - V2 ) 2
Р и с. 23
(64.8)
функции со(к) комплексны, причем для одной из них Im со(к) > 0,
т. е. имеет место неустойчивость. Эта неустойчивость — конвек
тивная; действительно, при |и;| —>►оо корни к (со) имеют вид
к я» —,
Vi
к« —
(64.9)
V2
и при 1тсо —>►оо оба лежат в одной и той же полуплоскости к.
Пусть vi, V2 > 0; тогда эта полуплоскость — верхняя и корни
338
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Г Л . VI
относятся к категории к+(оо). При вещественных же оо в области
(64.7) корни к (со) составляют пару комплексно-сопряженных ве
личин. Тот из них, для которого 1тк(оо) < 0, перешел из верхней
полуплоскости в нижнюю. Следовательно, в полосе частот (64.7)
имеет место усиление волн, распространяющихся в направлении
х > 0.
Легко также найти для этого случая определенную, согласно
(62.14), «групповую скорость» волн — скорость системы отсчета,
в которой имеет место абсолютная неустойчивость с максималь
ным инкрементом. Продифференцировав уравнение (64.3) по к
и подставив, согласно (62.13), (62.14), doo/dk = V, получим
V - vi _ и - up - vi (к - кр)
V —V2
и —ujq —V2{k —ко)
^
^
Поскольку левая часть этого равенства вещественна, то должна
быть вещественной (при комплексном оо) также и правая часть.
Из этого условия находим, что к = ко, после чего из (64.10) на
ходим скорость
v = ^i±a_2?
(64.li)
а из (64.3) — соответствующий максимальный инкремент
(Imu;)max = |е|1/2.
(64.12)
г)
Функции к(оо) вещественны при всех (вещественных) оо,
но функции оо(к) комплексны в области (64.8), так что система
неустойчива. Д ля выяснения характера этой неустойчивости за
мечаем, что согласно (64.9) (при различных знаках v\ и v%) при
Ima; —>►оо корни к(оо) лежат в различных полуплоскостях. Эти
два корня имеют точку слияния в верхней полуплоскости оо при
W = Шс = ш0 + 2 i Vviv2£ .
\vi ~ V2\
(64.13)
Это значит, что неустойчивость — абсолютная, с инкрементом
Imu;c. При vi = —^ 2 , что соответствует картине возмущения в
системе отсчета, движущейся со скоростью (64.11), инкремент
достигает максимального значения (64.12).
Задача
Выяснить характер неустойчивости низкочастотных (ио ~ иов i) «медлен
ных» (со/к < с) поперечных электромагнитных волн, распространяющихся
в направлении постоянного магнитного поля в холодной магнитоактивной
плазме; вдоль того же направления через плазму движется холодный пучок
электронов малой плотности.
Р е ш е н и е . Для составления дисперсионного уравнения пишем его
сначала с учетом лишь электронов пучка в системе отсчета, где пучок по
коится. Согласно (56.9) имеем в этой системе:
339
Н ЕУ С ТО Й Ч И В О С ТЬ ПРИ СЛА БО Й СВЯЗИ
где Qg — плазменная частота, отвечающая плотности пучка. При возвраще
нии к лабораторной системе отсчета, в которой пучок движется со скоро
стью V (вдоль которой направляем ось ж), в правой части равенства надо
заменить u j —ь u j —k V; разность же к2с2 —u j 2 инвариантна по отношению к
изменению системы отсчета. Добавив теперь в лабораторной системе члены,
связанные с электронами и ионами плазмы, получим
72 2
к
ujQz
П'е2( и - к У ) _________
■UJ
с
UJ —
kv
d=
UJB e
OJ
d=
UJ ~F OJBi
UJBe
Пренебрегая здесь (в соответствии с условиями задачи)
uj
по сравнению с с к
и с ujBe и заметив также, ч т о ---- = ---- , приведем дисперсионное уравнение
ШВе
UBi
к виду
7 2
к
С
2
t t 2UJ2
—
UJBii^JBi Т ^) .
( U J - W ± UJB e
)
=
- f i'e
(W
-
kV ).
( 1)
Первый множитель в левой части уравнения отвечает «основной», а вто
рой — пучковой ветви спектра колебаний; правая часть описывает «взаимо
действие» этих ветвей.
Рис. 24
Рис. 25
При верхних знаках в (1) законы дисперсии двух независимых ветвей
показаны на рис. 24 сплошными линиями (как всегда, достаточно рассматри
вать лишь ветви с uj > 0). Вблизи точки cjo, ко их пересечения разложение
уравнения (1) имеет вид
UJ — UJ0
2к о с 2
к
— ко
[uj — UJO
—V (к —&о)]
■ ' Lе UJBe
VI
с положительным (как это ясно из наклона кривых на рис. 24) коэффи
циентом vi. Сравнение с (64.3) показывает, что имеет место случай б —
конвективная неустойчивость (на рис. 24 штриховыми линиями показан ход
ветвей спектра с учетом их взаимодействия).
Аналогичные графики при нижних знаках в (1) показаны на рис. 25.
Вблизи точки пересечения дисперсионное уравнение имеет вид
2кос
к
-
ко
+
UJ — UJ0
[uj — UJO
—V ( к
— ко )]
=
— £ l ' 2UJBe
VI
где снова v\ > 0 . Теперь имеет место случай г — абсолютная неустойчи
вость (имеющееся в этом случае второе пересечение происходит, как видно
из рисунка, при u j > cj^e, что противоречит условиям задачи).
340
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Г Л . VI
§ 65. Н еустойчивость конечны х систем
Вся изложенная в § 61-63 теория относилась к однородным
средам, бесконечно протяженным по крайней мере в одном на
правлении (ось х ). При применении к реальным ограниченным
системам это значит, что пренебрегается эффектами, связанны
ми с отражением волн от границ; другими словами, такая теория
ограничена временами порядка величины времени распростране
ния возмущения по длине системы.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости в обратной ситуа
ции, когда конечность системы существенна и спектр ее собствен
ных колебаний определяется граничными условиями на концах
(при этом мы по-прежнему ограничиваемся одномерным случа
ем; длину системы вдоль оси х обозначим через L). Спектр ча
стот конечной системы дискретен, и, если хотя бы одна из соб
ственных частот имеет положительную мнимую часть, система
неустойчива. Различие между случаями абсолютной и конвек
тивной неустойчивости теряет здесь смысл.
Таким образом, вопрос о выяснении устойчивости или
неустойчивости конечной системы эквивалентен вопросу о на
хождении спектра ее (комплексных) собственных частот. Дис
персионное уравнение, определяющее эти частоты, может быть
установлено в общем виде для системы хотя и конечных, но до
статочно больших размеров L : Im|fc| - L > 1 (А.Г. Куликовский,
1966).
Пусть к (со) — решения дисперсионного уравнения неограни
ченной среды; ветви этой многозначной функции снова разобьем
на две категории, к+(ио) и к-(оо), определенные в § 63. Собствен
ные колебания конечной системы можно рассматривать как ре
зультат наложения бегущих волн, отраженных от двух ее границ
(в среде без поглощения и усиления это
были бы обычные стоячие волны). Отра
к+
жение сопровождается, вообще говоря,
^
взаимным превращением волн, относя7 у х щихся к различным ветвям спектра. По
этому бегущая волна заданной частоты
представляет собой суперпозицию всех
х_0
X~L
ветвей. Но вдали от границ основной
вклад в каждую волну дает лишь один
Рис> 26
из членов суперпозиции. Так, для вол
ны, распространяющейся от левой границы, х = 0 (рис. 26), в
положительном направлении оси х асимптотическое выражение
вдали от этой границы имеет вид
ф = а ехр {i[k+(ui)x — out]},
(65.1)
причем в качестве к+(ио) должна быть выбрана та из ветвей
Н ЕУ СТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНЫ Х СИСТЕМ
341
этой категории, для которой 1тк+(оо) имеет (при заданном ве
щественном со) алгебраически наименьшее значение1).
После отражения от правой границы (х = L) волна распро
страняется влево и на достаточно больших расстояниях от этой
границы имеет асимптотический вид
ф = i? 2 ^exp {ik+(co)L} exp {i[k-(co)(x — L) — сot]},
(65.2)
где к-(со) — та из ветвей этой категории, для которой 1тк-(со)
имеет алгебраически наибольшее значение. Коэффициент же i ?2
зависит от закона трансформации волн на данной конкретной
границе.
Наконец, после второго отражения — на этот раз от левой
границы — снова получим волну, распространяющуюся вправо:
ф = R l R 2aei(-k+ -k-^Lei(-k+x- ujt\
(65.3)
Ввиду однозначности ^>(t,x) выражение (65.3) должно совпадать
с (65.1). Отсюда находим равенство
i?ii?2 exp {i[k+(co) — k-(oo)]L} = 1.
(65.4)
Оно определяет спектр частот со конечной системы, т. е. является
ее дисперсионным уравнением.
Взяв модуль от обеих частей этого уравнения, имеем
|i?ii? 2 1exp {—Im (fc+ —k - ) L } = 1.
(65.5)
При L —>►
oo экспоненциальный множитель стремится к 0 или к оо
(в зависимости от знака разности Im(A;+ — к-)). Поэтому для
достаточно длинных систем равенство (65.5) возможно только,
если
Im [А;_|_(се?) —к-(со)] = 0.
(65.6)
Таким образом, в этом случае дисперсионное уравнение сводится
к виду, зависящему только от свойств среды самой по себе и не
зависящему от конкретного характера условий на ее границах.
Уравнение (65.6) определяет некоторую кривую на плоскости со;
на этой кривой лежат очень близкие друг к другу (при боль
ших L) дискретные собственные частоты. Если эта кривая хотя
бы частично лежит в верхней полуплоскости — система неустой
чива. В связи с тем, что эта неустойчивость обуславливается
свойствами системы в целом, ее называют глобальной.
х) То есть это —наименьшее положительное значение, если все Im к+(и) >
> 0, или же наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение,
если существуют ветви, для которых Im k+(cj) < 0. В первом случае (65.1) —
наименее быстро затухающая (с расстоянием х) волна, а во втором — наи
более быстро усиливающаяся.
342
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Г Л . VI
Сделаем еще несколько замечаний о связи глобальной
неустойчивости конечной системы с неустойчивостью бесконеч
ной среды. Прежде всего, легко видеть, что при наличии гло
бальной неустойчивости бесконечная система заведомо неустой
чива: существуют такие вещественные значения /с, для которых
lmuj(k) > 0. Действительно, по определению функций k+(oj) и
k-(uj) их значения при Im uj —>►оо лежат в различных полуплос
костях к . Условие же (65.6) означает, что по мере уменьшения
Im uj точки k+(oj) и к - (ио) могут попасть в одну и ту же полуплос
кость, причем (в случае глобальной неустойчивости) это проис
ходит еще при Imu; > 0. Следовательно, еще раньше (т. е. заве
домо при Im ио > 0) по крайней мере одна из этих точек пересечет
вещественную ось, что и требовалось.
Обратное утверждение справедливо, однако, лишь для абсо
лютной (но не конвективной) неустойчивости бесконечной сре
ды: наличие абсолютной неустойчивости достаточно для суще
ствования также и глобальной неустойчивости конечной систе
мы. Действительно, условие абсолютной неустойчивости состоит
в существовании точки ветвления функции k(uj) при Imuj > 0,
причем сливающиеся ветви относятся к категориям
и L; в
такой точке заведомо выполняется также и условие (65.6).
Конвективно же неустойчивая среда при наличии границ мо
жет оказаться как неустойчивой, так и устойчивой.
ГЛА ВА
VII
ДИ ЭЛЕКТРИ КИ
§
6 6
. В заи м одей стви е ф он он ов
Физическая природа кинетических явлений (теплопровод
ность, электропроводность) в газах состоит в процессах переноса,
осуществляемого тепловым движением частиц газа; в кинетиче
ских явлениях в твердыхтелах роль частиц переходит к ква
зичастицам. Приступая к изучению этих явлений, мы начнем
с теплопроводности немагнитных диэлектриков. Сравнительная
простота физической картины этого явления, по сравнению с ки
нетическими процессами в других типах твердых тел, связана с
тем, что здесь фигурируют квазичастицы лишь одного сорта —
фононы.
Напомним (см. V, § 72), что представление о свободных фононах возникает в результате квантования колебательного движе
ния атомов в кристаллической решетке в гармоническом при
ближении, т. е. с учетом лишь квадратичных (по смещениям
атомов) членов в гамильтониане. Газличные же процессы вза
имодействия фононов возникают при учете членов следующих
порядков малости — ангармонических членов третьего и т. д.
порядков по смещениям 1).
Первые ангармонические члены — кубические — в классиче
ской энергии решетки имеют вид
Я(3) = ^ Ш Ла/зТ3(П1 “ ПЗ,П2 “ n 3)USla(ni)US2i3(n2 )US3l (n3).
(n s)
( 66 . 1 )
Здесь U s(n) - векторы смещения атомов в решетке; а, /3, 7 —
векторные индексы, пробегающие значения x 1 y 1 z ] S i 1 S2 1 s^ — но
мера атомов в элементарной ячейке; пх, П2 , П3 — целочисленные
«векторы», определяющие положение ячейки в решетке; символ
(n s) под знаком суммы означает, что суммирование производит
ся по всем п и по всем s; ввиду однородности кристалла функ
ции Л зависят только от взаимных расстояний пх —П3 , П2 —П3
между ячейками, но не от их абсолютных положений в решетке.
1) Необходимость учета ангармоничности колебаний атомов в решетке при
рассмотрении теплопроводности кристалла была впервые указана Дебаем
(P. Debye, 1914) и Борном (М. Вот, 1914).
344
ДИЭЛЕКТРИКИ
Г Л . V II
Вторично-квантованный гамильтониан получается подста
новкой в (66.1) вместо векторов смещений операторов U s(n),
выраженных через операторы рождения
и уничтожения c\^g
фононов сорта (т. е. ветви фононного спектра) g и с квазиим
пульсом к формулой
х {ckge ^ (k )e * kr" + с + е р ( к ) е - гкг"},
(66.2)
где N — число ячеек в решетке, М — суммарная масса атомов в
ячейке, е ^ ( к ) — векторы поляризации фононов, c^g(k) — энер
гия фонона сорта g *). При подстановке возникают члены, содер
жащие операторы с и
в различных комбинациях по три. Эти
члены описывают процессы с участием трех фононов: произведе
ния вида с ^ с ^ с — распад одного фонона на два, а произведения
вида с^сс — слияние двух сталкивающихся фононов в один (чле
ны же ссс и c Jr'crc Jr отвечают процессам, запрещенным законом
сохранения энергии).
Напишем, например, члены, отвечающие распаду фонона
(kigi) на два фонона (k 2 g 2 ) и (k 3 g 3 ). Перейдя в (66.1) от сум
мирования по n i, П-2 , пз к суммированию по V\ = n i —Пз, V2 =
= П2 —пз, пз напишем эти члены в виде
^васп = О
С1°2 Сз---- —У ехр (i(k i —k 2 —к з)гпЛ ,
JV ^ w io w a)1/2 ^
U
} sS
Пз
(66.3)
V }
где
п = (2М )“ 3/ 2 х
Х E A«/?T3^ 1,I/2^ei\ — ш3)(хз —XI —х ) } ^ ^ -
(67.17)
Обратим внимание на то, что функция х (к) входит в подынте
гральные выражения в виде простых сумм ее значений для раз
личных к (подобно тому, как это было в классическом интеграле
столкновений в газах (6.4), (6.5)).
Уравнение (67.13) имеет очевидное решение
X = const • ио,
(67.18)
тождественно обращающее в нуль интеграл (67.17) в силу со
хранения энергии при столкновениях. К ак уже было объясне
но в § 6, это «паразитное» решение отвечает просто изменению
температуры на малую постоянную величину; оно исключается
наложением дополнительного условия (67.14).
Другое же «паразитное» решение
X = k5V
ТЕП Л О П РО ВО ДН О СТЬ ПРИ ВЫ СОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
353
В интеграле столкновений (67.17) температура выносится в виде
множителя Т 2; функция w , взятая для частот ио ~ @, не влия
ет на температурную зависимость интеграла. В левой же части
уравнения (67.13) производная д Щ / д Т « 1/ио не содержит тем
пературы. Отсюда заключаем, что
VT
Т2
Х ~ — ,
А
х дГ
dNo
duj
o N = —---- у ~
VT
,
Т
а потому и тепловой поток 1)
wu5JV—
(2тг)3
~ — .
Т
Таким образом, коэффициент теплопроводности обратно
пропорционален температуре:
Т » 0
(68.2)
(в классической теории этот результат был получен Дебаем
(P. Debye)). В анизотропном кристалле направления q и VT,
вообще говоря, не совпадают, так что коэффициент теплопро
водности не скаляр, а тензор второго ранга; говоря о его темпе
ратурной зависимости, мы отвлекаемся от этого обстоятельства.
Оценим длину свободного пробега фононов в рассматрива
емой области температур. Согласно элементарному газокинети
ческому соотношению (7.10), к ~ C v l , где С — теплоемкость
(отнесенная к единице объема), v — средняя скорость носителей
энергии, I — длина их пробега. Теплоемкость кристалла при вы
соких температурах постоянна; постоянна и скорость фононов,
которую можно оценить как скорость звука и. Тогда мы видим,
что длина пробега I ~ 1/Т. Длина I должна была бы стать поряд
ка постоянной решетки d при температурах настолько высоких,
что амплитуда колебаний атомов тоже стала бы ~ d. Согласно
оценке (67.5), такая температура ~ М и 2, и для длины пробега и
эффективной частоты столкновений v ~ и /l находим оценки
j
Отсюда видно, что I
ниже точки плавления.
Mu2d
,
Т ’
Т
Mud
v ^ ----- .
,ао
V
(68.3)
)
d фактически при всех температурах
х) Заранее очевидное обращение q в нуль в равновесии формально следует
из обращения в нуль интеграла по d3k ввиду нечетности подынтегрального
выражения как функции к: частота о;(к), а с нею и No(oj) — четные функции
к, а скорость и = дио/дк — нечетная функция. Напомним (см. V, § 69), что
четность функции cj(k) связана с симметрией по отношению к обращению
времени и имеет место при любой симметрии кристаллической решетки.
12 JI. Д . Л а н д а у , Е .М . Л и ф ш и ц , т о м X
354
ДИЭЛЕКТРИКИ
Г Л . V II
В изложенных рассуждениях по существу подразумевалось,
что рассмотренный трехфононный механизм теплового сопро
тивления кристаллической решетки эффективен для всех фоно
нов. Потоки энергии, переносимой различными группами фоно
нов, аддитивны, так что аддитивны и их вклады в коэффициент
теплопроводности. Если данный механизм был бы недостаточен
хотя бы для какой-нибудь группы фононов, то тем самым он
был бы вообще недостаточен для обеспечения конечной тепло
проводности. В этом отношении требуют особого рассмотрения
длинноволновые акустические фононы.
Рассмотрим прежде всего процессы, в которых участвуют
только длинноволновые акустические фононы с малыми квази
импульсами сравнимой величины (будем обозначать эти квази
импульсы буквами f с соответствующими индексами). Оценим
для таких процессов интеграл столкновений (67.17) в смысле
его зависимости от / . Согласно (66.14), в этом случае функция
woo / / i / 2
/ 3. Множители Щ ~ Т/ш c o l / f . Интегрирование
производится в ^-пространстве по объему ~ / 3, но ^-функция
выделяет внутри этого объема лишь поверхность с площадью
~ / 2. Таким образом, найдем, что интеграл столкновений
/( x ) c v ) /2x c v ) /4^
(в последнем выражении учтено, что согласно определению
(67.15) 6 N c o x / / 2); этот результат можно сформулировать в тер
минах эффективной частоты столкновений:
K /W
4.
(68.4)
В левой же части кинетического уравнения (67.13) множитель и
не зависит (для акустических фононов) от / , а д Щ / д Т c o l / / .
Поэтому
SN с о — .
fv
Вклад длинноволновых фононов в поток энергии q дается
интегралом (67.4), взятым по объему ~ / 3. Но этот интеграл
(68-5»
расходится при малых / как 1 // . Таким образом, трехфононные процессы между одними только длинноволновыми акусти
ческими фононами привели бы к бесконечной теплопроводности;
для обеспечения конечного теплового сопротивления необходи
мы столкновения этих фононов с коротковолновыми (И.Я. По
меранцу к, 1941).
Т Е П Л О П РО В О Д Н О С Т Ь ПРИ ВЫ СОКИ Х ТЕМ ПЕРАТУРАХ
355
Пусть коротковолновый фонон с квазиимпульсом к распада
ется на длинноволновый акустический фонон f и коротковол
новый фонон k — f — Ь, относящийся к той же ветви спектра
и;(к), что и фонон к (для дальнейших рассуждений существен
на не столько абсолютная величина к , с к о л ь к о т о т факт, что
к
/ ) . Поскольку функция u;(k) периодична в обратной решет
ке, то u;(k —f —b) = uj ( k - f ) и закон сохранения энергии дает
a;(k) = a;(k —f) + u( n) f .
(68.6)
Второй член справа — частота акустического фонона — линейная
функция / (и(п) = a;(f) / / ) — фазовая скорость звука, зависящая
от направления n = f / / . Разложив u;(k—f) по степеням малого f,
переписываем это равенство в виде
= f u{ n).
(68.7)
dk
Оно может быть выполнено, лишь если скорость коротковолно
вого фонона превышает скорость звука:
^
> u(n).
(68.8)
В этом смысле наиболее «опасна» акустическая ветвь с наиболь
шей скоростью звука; эту ветвь мы и будем иметь в виду, говоря
об акустических ф ононах1).
Другие возможности для трехфононных процессов появля
ются при наличии точек вырождения в ^-пространстве, в кото
рых энергии двух или более ветвей фононного спектра совпада
ют (С. Herring, 1954); наличие таких точек (изолированных или
заполняющих линию или плоскость) во многих случаях явля
ется обязательным следствием симметрии кристаллической ре
шетки. Возникающие в результате возможности иллюстрируют
ся графическим построением, которое мы сначала проведем для
уже рассмотренного случая испускания «сверхзвуковым» корот
коволновым фононом.
При заданном направлении f выберем это направление в ка
честве оси х ; на рис. 27а сплошная кривая изображает зависи
мость ио(кх) (при заданных ку, kz) для коротковолновых фоно
нов. Написав условие (68.7) в виде
ди)
vx = —
икх
/
\
= Ц п ж),
х) В изотропном твердом теле одна ветвь акустического спектра отве
чает продольным, а две другие — поперечным колебаниям; скорость про
дольных звуковых волн больше скорости поперечных волн. В анизотропном
кристалле разделение волн на продольные и поперечные теряет, вообще го
воря, смысл. Но в литературе часто называют условно «продольной» ветвь
с наибольшей скоростью звука.
12*
356
ДИЭЛЕКТРИКИ
Г Л . V II
мы видим, что испускание акустиче
ского фонона возможно, если в неко
торой точке кривой ее наклон совпа
дает со скоростью звука. Тогда вбли
зи этой точки частоты cj(k) и w ( k - f )
коротковолновых фононов даются точ
ками пересечения кривой со штриховой
прямой, проведенной с наклоном и(п ж);
разность ординат этих точек дает ча
стоту u f .
Если же в некоторой точке кх = кхо
кривые двух ветвей ио(кх) пересекают
ся, то вблизи такой точки трехфононный процесс возможен всегда, при лю
бых наклонах кривых ио(кх), независи
мо от того, имеет ли место в точке кхо
простое пересечение (рис. 276") или ка
сание (рис. 27в). При этом оба коротко
волновых фонона относятся к различ
ным ветвям спектра.
Оценим эффективное число столк
новений длинноволнового акустическо
го фонона при наличии точек выро
ждения. Речь при этом должна идти
о процессах поглощения и испускания
этого фонона — процессы (67.8) (при
в
распаде такого фонона — процессы
(67.7)
— два образу
Рис. 27
дут также длинноволновыми и мы воз
вратились бы к прежней ситуации). Поэтому мы должны оце
нить второй член в (67.17), считая, что
При этом учтем, что 'шсо/, TVqCoI//, а остальные множители под
интегралом можно заменить на независящие от / средние значе
ния, поскольку интегрирование производится лишь в окрестно
сти точек вырождения. Снова введя S N с о х / / 2>получим оценку
зависимости интеграла столкновений от / в виде 1 (х) ~
где
i ' ( f ) c o f 2 f 5 [ u J i ( k - f ) + u ( n ) f - u j 3 (k)]d 3 k.
(68.9)
Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по поверхно
сти в k -пространстве, определяемой уравнением
uji(k —f) + u ( n ) f — с^з(к) = 0,
(68.10)
Т Е П Л О П РО В О Д Н О С Т Ь ПРИ ВЫ СОКИ Х ТЕМ ПЕРАТУРАХ
357
согласно ф орм уле1)
J 8(F)►0 поверхность
(68.10) стягивается в линию, на которой лежат точки вырожде
ния, а при малых / она представляет собой тонкую трубку, охва
тывающую эту линию; зависимость площади A S от / совпадает
поэтому с зависимостью от / диаметра трубки.
Если изоэнергетические поверхности пересекаются на линии
вырождения без касания (см. рис. 276), то расстояние точки к
от точки вырождения зависит от / линейно, так что и A S o o f .
Поскольку разность производных в этом случае конечна в точке
пересечения, то
(68.13)
Интеграл (68.5) расходится теперь уже лишь логарифмическим
образом. Эта расходимость должна устраняться так же, как и в
отсутствие вырождения (см. ниже). Ввиду слабости расходимо
сти она обычно не приводит к существенному изменению закона
( 68 .2 ).
Пусть теперь изоэнергетические поверхности имеют в точке
вырождения квадратичное касание. Тогда, как ясно из рис. 27в,
/ пропорционально квадрату расстояния до точки касания. Пло
щадь же A S , будучи пропорциональной этому расстоянию, ока
зывается с о / 1/ 2. Но такова же в этом случае зависимость от / и
разности производных в (68.12), поскольку кривые производных
пересекаются уже без касания. Поэтому в этом случае
v(f)cvf2
и расходимость в теплопроводности не возникает.
х) Эту формулу можно сразу получить, если учесть, что
!sk = dSdl = dS-
rfzp
|Vk*V
где I — расстояние по нормали к поверхности.
(68.14)
358
ДИЭЛЕКТРИКИ
Г Л . V II
Аналогичным образом можно рассмотреть и другие типы вы
рождения 1).
Если точки вырождения в фононном спектре отсутствуют, то
для обеспечения конечной теплопроводности за счет трехфононных процессов условие (68.6) должно выполняться (хотя бы для
одной ветви спектра cj(k)) при всех направлениях п. В против
ном случае конечная теплопроводность устанавливается лишь за
счет процессов более высокого порядка (четырехфононных) и за
кон (68.2) не имеет места. Заметим, что при низких температу
рах, когда длина пробега настолько возрастает, что может срав
ниться с размерами образца L, расходимость интеграла (68.5)
может обрезаться на / ~ 1/L , что привело бы к зависимости
коэффициента теплопроводности от размеров L.
§ 69. Т еплопроводность диэлектриков.
Н изкие тем пературы
При низких температурах (Т
0 ) характер переноса тепла
в диэлектриках радикально меняется. Дело в том, что в таких
условиях число процессов переброса становится экспоненциально
малым, как это ясно из следующих рассуждений.
Сохранение квазиимпульса в трехфононном процессе с пере
бросом, выражаемое равенством k = k i + к 2 + Ь, требует, чтобы
по крайней мере один из трех квазиимпульсов был велик; пусть
это будет к\ ~ Ь. Тогда и энергия ио\ ~ 0 , а вследствие этого
сохранение энергии (со = ио\ -\- иоъ) требует, чтобы была велика
и энергия ио ~ 0 . Но при Т < 0 большинство фононов имеет
энергию ~ Т, а число фононов с энергиями ~ 0 экспоненци
ально мало. Таким образом, как для процесса распада фонона,
так и для обратного процесса слияния двух фононов числа на
чальных фононов, а с ними и числа процессов, экспоненциально
малы. Легко заметить, что в этих рассуждениях несущественна
трехфононность процесса. То же самое относится и к процессам
с участием большего числа фононов.
В этой ситуации физическая картина теплопередачи выгля
дит следующим образом. Многочисленные нормальные столкно
вения фононов, сохраняющие суммарный квазиимпульс, приво
дят к установлению лишь «внутреннего» равновесия в фононном
газе, который может при этом двигаться относительно решетки
с произвольной скоростью V. Малочисленные же столкновения
с перебросом лишь слабо меняют функцию распределения, но
ими устанавливается определенное (пропорциональное градиенх) Их исследование см. в оригинальной статье: Herrinq С. / / Phys. Rev.
1954. V. 95. P. 954.
ТЕ П Л О П РО В О Д Н О С Т Ь ПРИ НИЗКИ Х ТЕМ ПЕРАТУРАХ
359
ту температуры) значение V; этим значением в свою очередь
определяется тепловой поток. Покажем теперь, каким образом
эта картина выражается в математическом решении задачи 1).
Запишем кинетическое уравнение в виде
Ц и VT =
IN(x) + Iu(x),
(69.1)
разделив в интеграле столкновений части, связанные с нормаль
ными (индекс N ) и перебросными (индекс U) столкновениями.
Равновесная функция распределения, отвечающая движению га
за как целого со скоростью V, получается из функции Щ(оо)
заменой ее аргумента ио на ио — k V ; при малом V имеем
N 0( w - H V ) и i V o M - k V — .
duo
(69.2)
В соответствии с описанной выше картиной ищем решение урав
нения (69.1) в виде
X = Xn + X u ,
X n = kV ;
(69.3)
Хи — часть изменения функции распределения, связанная с про
цессами переброса. Эта последняя часть мала по сравнению с x n Если обозначить через vjj и
порядки величины эффективных
частот столкновений с перебросами и без них (ь>и "С v n ), т0
^
X
~ *L.
n
(69.4)
vn
Подстановка в (69.1) приводит к уравнению
^ ^ u V T = I n (x u ) + I u (x n ),
(69.5)
где действующие на функции х линейные операторы определя
ются выражением (67.17). В (69.5) учтено, что I n (x n ) = 0, а
член I j j ( x u ) опущен как малый; оба же оставленных в правой
части члена одинакового порядка величины при соотношении
(69.4).
Подчеркнем прежде всего, что в пренебрежении процессами
переброса, при отличном от нуля градиенте температуры, кине
тическое уравнение вообще не имело бы решения. Действитель
но, умножим уравнение (69.5) на к, проинтегрируем по d 3k / ( 2тг) 3
и просуммируем по всем ветвям спектра фононов. Поскольку
х) Обратим внимание на то, что однозначное выделение процессов пере
броса как малого эффекта достигается именно при обусловленном в § 66 вы
боре основной ячейки в обратной решетке, в результате которого все столк
новения между одними лишь длинноволновыми фононами малых энергий
являются нормальными.
360
ДИЭЛЕКТРИКИ
Г Л . V II
нормальные столкновения сохраняют полный квазиимпульс, то
член I n {x u ) обратится в результате в нуль, так что остается
В пренебрежении процессами переброса, в правой части этого
уравнения стоял бы нуль, между тем как левая часть заведо
мо отлична от нуля (подынтегральная функция — четная функ
ция к, поскольку cj(k) — четная, а и = дио/дк — нечетная функ
ции); это противоречие и означает отсутствие решения у кине
тического уравнения.
С учетом же процессов переброса равенство (69.6) определя
ет неизвестную величину V, входящую в решение (69.3). Д ля
упрощения записи формул будем считать, что кристалл имеет
кубическую симметрию; тогда в интегралах в (69.6) анизотропия
кристалла не проявляется 1) и равенство (69.6) после подстанов
ки x n из (69.3) принимает вид
Pi' VT
= -vu faT V ,
(69.7)
где введены обозначения
(69.8)
(множитель /З2 выделен для упрощения записи формул ниже).
Равенство (69.7) определяет V , после чего поток энергии вы
числяется как интеграл (67.4), в котором в качестве N надо под
ставить функцию
8N n = - k V ^ = k V ^
duo
uo d T
Тогда получим q = Т/ЗiV ; вместе с (69.7) это дает q = —x V T с
коэффициентом теплопроводности
(69.9)
Интересно, что в рассматриваемом случае вычисление ус не тре
бует решения кинетического уравнения (69.5), а сводится к вы
числению интегралов (69.8).
1) При кубической симметрии всякий тензор второго ранга сводится к
скаляру: аа/3 = (1 /3 )а6ар), а = аа а .
ТЕ П Л О П РО В О Д Н О С Т Ь ПРИ НИЗКИ Х ТЕМ ПЕРАТУРАХ
361
Интегралы
и /32 определяются областью частот ио ~ Т, в
которой находится большинство фононов. Эти интегралы зави
сят от Т лишь степенным образом. Поскольку малой энергией
могут обладать лишь акустические фононы, то в Д и /32 ф акти
чески достаточно суммировать лишь по трем акустическим вет
вям спектра. Легко видеть, что при этом
/?1,/32 с\оТ3.
(69.10)
Экспоненциальная же зависимость заключена в интеграле
iуц. Его конкретное выражение можно получить с помощью
(67.17). Д ля процессов переброса имеем
XN1 + XN2 ~ X N = V (k i + k 2 - k) = V b.
Д ля большинства фононов ио ^ Т и функция распределения
Nq ~ 1; для фононов же с w > Т функция Nq L (это условие будет уточнено ниже), но в то же время еще
lN < Ц последнее условие позволяет пользоваться уравнения
ми фононной гидродинамики (J.A. Sussmann, A. Thellung, 1963;
Р.Н. Гурсиси, 1964).
Благодаря микроскопическим неоднородностям поверхности
кристалла, отражение фононов от нее происходит обычно беспо
рядочным образом (как говорят, диффузно); это значит, что ма
кроскопическая скорость фононного газа V обращается на гра
нице в нуль. Но уравнения (71.2), (71.5) не допускают такого
граничного условия; их решениями можно удовлетворить лишь
условию обращения в нуль нормальной к поверхности компонен
ты скорости. Как и в гидродинамике обычных жидкостей, гра
ничное условие исчезновения тангенциальной компоненты ско
рости требует учета вязкости жидкости.
В стационарном случае из уравнения (71.2) имеем div V = 0.
Учет вязкости приводит к появлению в правой части уравнения
(71.5) члена с A V , подобного аналогичному члену в уравнении
Навье-Стокса гидродинамики обычной вязкой жидкости.
В стационарном случае это уравнение принимает вид
A ; V r = /iA V -i^ V .
(71.8)
Величина // имеет размерность см2/с и играет роль кинематиче
1) В изотропной жидкости с фононным энергетическим спектром (сверх
текучий гелий при низких температурах) имеется всего одна акустическая
ветвь, в которой u j = и к . При этом /З1 //З2 = и 2, /З1 //З3 = 1/3 и скорость
второго звука U2 = u/y/b.
Г И Д Р О Д И Н А М И К А Ф О Н О Н Н О Г О ГАЗА
367
ской вязкости фононного г а з а 1). Ее вычисление требует в прин
ципе решения соответствующего кинетического уравнения. Д ля
оценки же по порядку величины можно воспользоваться обыч
ной газокинетической формулой, согласно которой
/1 ~ IjsfV ~
.
(71.9)
VN
Размерные эффекты играют преобладающую роль, когда в
уравнении (71.8) можно пренебречь членом у ц \ по сравнению с
f i A V . Пусть, например, речь идет о теплопередаче вдоль цилин
дрического стержня с толщиной R. Последняя определяет харак
терную длину для изменения скорости V , так что A V ~ V /i? 2.
Мы видим, что членом у ц \ можно пренебречь, если f i / R 2
vjj.
С оценкой (71.9) это условие записывается как 1ц >> /эф, где
/эф ~
In
(71.10)
играет роль эффективной длины пробега фононов в ограничен
ном теле. Напротив, при /эф
1ц размеры тела несущественны
и справедлив закон (69.14).
Процесс теплопередачи вдоль стержня при 1ц
/эф при
нимает характер пуазейлевского течения вязкого фононного
газа. Его можно характеризовать эффективным коэффициен
том теплопроводности, определяющим плотность потока энер
гии как —х эфVT, где VT — градиент температуры вдоль стерж
ня. Этот поток можно оценить, подставив (71.10) в выражение
^эф ~ Си1эф. При низких температурах теплоемкость решетки
С ~ Т 3. Длина же In ~ u / v n ~ Т ~ ъ (согласно (69.15)). Поэтому
эффективная теплопроводность
х эф ~ R 2T s при
< lN < R-,
(71-11)
lu
она убывает с понижением температуры.
Наконец, при еще более низких температурах, когда уже и
длина lN > Д, столкновения фононов друг с другом становят
ся вообще несущественными (подобно кнудсеновской ситуации в
сильно разреженных обычных газах). Роль длины пробега пере
ходит тогда к размерам тела R и эффективная теплопроводность
х эф ~ C u R ~ T 3R
(71.12)
(H.B.G. Casimir, 1938).
1) И м ея в в и д у ли ш ь кач ествен н ое и ссл ед ов ан и е воп р оса, мы п ол н ость ю
пренебрегаем здесь анизотропией кристалла. Следует иметь в виду, что да
же при кубической симметрии вязкость описывается не скалярным коэф
фициентом вязкости, а тензором четвертого ранга, имеющим более одной
независимой компоненты.
368
ДИЭЛЕКТРИКИ
Г Л . V II
§ 72. Поглощение звука в диэлектрике. Длинные волны
Характер поглощения звука в диэлектрическом кристалле су
щественно зависит от соотношения между длиной волны и дли
ной свободного пробега I тепловых фононов. Если длина волны
велика по сравнению с I ( //
дТ
’
v
'
где St N — интеграл фонон-фононных столкновений (67.6), а
Т — скорость изменения температуры в данной точке кристалла,
неизбежно связанная с деформацией. Обычным образом, линеа
ризуя это уравнение и введя функцию
согласно определению
(67.15), сведем его к виду
= /(х )’
(72-4)
где 1(х) — линеаризованный интеграл столкновений (67.17). В
левой части производная Со выражена с помощью (72.2); индекс
(0 ) у невозмущенной частоты здесь и ниже опускаем.
Производную Т можно в принципе выразить с помощью того
же тензора \ ар. После умножения обеих частей уравнения (72.4)
на ио, интегрирования по k -пространству и суммирования по всем
ветвям спектра фононов правая часть уравнения обращается в
нуль — в силу сохранения энергии при столкновениях. Левая же
часть уравнения дает
| = Aa/3 f7a/3,
(72.5)
где \ ар — усредненный по и 2дЩ /дио тензор \ ар. В обоих пре
дельных случаях — высоких и низких температур — \ ар не за
висит от температуры. Действительно, при Т > 0 в усреднении
существенны фононы с независящим от температуры квазиим
пульсом к ~ fcmax ~ 1/d. При Т
где n, n i, п', п[ — функции импульсов р, p i, р', р[ сталкиваю
щихся квазичастиц. Закон сохранения импульса при столкнове
ниях предполагается уже учтенным, так что р + Pi = р' + p i;
интегрирование в (74.5) производится поэтому всего по двум (а
не по трем) импульсам. Сохранение же энергии обеспечивается
^-функцией, выписанной в явном виде. Наконец, w — функция
импульсов, определяющая вероятность столкновения. Первый и
второй члены в фигурных скобках определяют соответственно
числа квазичастиц, приходящих в заданное квантовое состояние
и уходящих из него в результате столкновений. Эти члены отли
чаются от аналогичных членов в интеграле столкновений больцмановского газа множителями (1 —п), ... Появление этих мно
жителей связано со статистикой Ферми, в силу которой столк
новения могут привести квазичастицы лишь в еще не занятые
состояния.
К столкновениям квазичастиц в ферми-жидкости борновское
приближение, вообще говоря, неприменимо. Тем не менее вероят
ности прямого и обратного процессов рассеяния можно считать
одинаковыми. Мы рассматриваем величины, уже усредненные
по направлениям спинов квазичастиц. В этих условиях вероят
ность рассеяния оказывается зависящей только от начальных и
конечных импульсов сталкивающихся квазичастиц. Это обстоя
тельство позволяет применить здесь те же соображения, кото
рые были использованы в § 2 при выводе принципа детального
равновесия в форме (2.8). При этом существенно, что в фермижидкости по-прежнему имеет место инвариантность относитель
но пространственной инверсии. Таким образом, приходим к ра
венству
w (p
' , p 'i ; p , p i ) =
w (p
, p i ; p ' , p 'i ),
уже использованному в интеграле столкновений (74.5). Функция
w зависит, вообще говоря, от чисел заполнения состояний и тем
самым — от температуры. Но ввиду малости температуры (су
щественной для всей теории ферми-жидкости) под w в интегра-
378
КВАНТОВЫЕ Ж ИДКОСТИ
Г Л . V II I
ле столкновений следует понимать функцию, вычисленную для
Т = 0.
Как и следовало, интеграл (74.5) тождественно обращается
в нуль при подстановке в качестве п равновесной функции рас
пределения Ферми
по(е) =
ехр -— - +
1
.
(74.6)
Действительно, заметив, что
По
1 —no
(
£~ Ц
V
Т
= ехр ' —
сразу видим, что в силу закона сохранения энергии имеет место
равенство
____ ПоПр!____ _ ____ ЩПр!____
Л rj\
(1 - п0)(1 - noi)
(1 - n'0)(l - п'01)
Выясним с помощью кинетического уравнения, каким обра
зом выражаются, в терминах функции распределения, законы
сохранения массы, энергии и импульса ферми-жидкости. Зави
симость энергии квазичастиц от их распределения придает этому
вопросу определенную специфику.
Проинтегрируем обе части уравнения (74.4) по 2d3p / (2тгН)3
(множитель 2 учитывает два возможных направления спина).
В силу сохранения числа квазичастиц при столкновениях, ин
теграл от St п обращается в нуль. В левой же части уравнения
интеграл от члена —(дп/ др)(д е/дг) преобразуем по частям, в
результате чего уравнение принимает вид
d N = cliv
а - •
—
1 = пО,
dt
где N — плотность числа квазичастиц,
i = (v),
(74.8)
a v = де / д р — скорость квазичастиц 1). Это — уравнение непре
рывности для квазичастиц, так что i — плотность их потока. В
силу совпадения числа квазичастиц в ферми-жидкости с числом
истинных частиц, i есть в то же время плотность потока истин
ных частиц, так что i = (p /m ).
Произведем теперь с уравнением (74.4) те же операции, пред
варительно умножив обе его части на р. Интеграл от р St п обраЗдесь и ниже в этом параграфе символ (. . . ) означает интегрирование
по распределению п:
2 d6p
п -------(27тН)3
К И Н ЕТИ Ч ЕС К О Е УРАВНЕНИЕ Д Л Я Ф ЕРМ И -Ж И Д К О С ТИ
379
щается в нуль в силу сохранения суммарного импульса квазича
стиц при столкновениях. Левая же часть, написанная в вектор
ных компонентах, дает
д(Ра)
dt
_|_
f
J
f дп де _ дп де \ 2d3p
удж/з дрр
дрр дхр ) (2лтП)3
Подынтегральное выражение во втором члене переписываем в
виде
д (
де \
де
д (
де
Р а ----- п
+ п ------ — ----- Р а ----- п
дхр Х а дрр )
дха
дрр \ а дхр
-----
Интегрирование обращает третий член в нуль, а второй дает про
изводную д Е / д х а от плотности энергии жидкости Е ; напомним,
что энергия квазичастиц в ферми-жидкости определяется имен
но по вариации внутренней энергии:
SE
= / апШ
-
(749)
Таким образом, получаем уравнение сохранения импульса в виде
| ы
dt
+ ^
= о,
дхр
где тензор плотности потока импульса
П а(3 — (PaV/з) + Sap({e) — Е ).
(74.10)
Наконец, умножив обе части уравнения (74.4) на £ и проинте
грировав, аналогичным образом получим уравнение сохранения
энергии,
дЕ
п
— + dlvq = 0,
где плотность потока энергии
q = (ev).
(74.11)
В равновесии все потоки i, q, Иар обращаются в нуль. По
лучим для них выражения, линейные по малой поправке 6п в
возмущенном распределении (74.1).
Равновесная функция щ зависит только от энергии квазича
стицы, причем сама эта энергия отвечает именно равновесному
распределению. Отметив это обстоятельство индексом нуль у £,
запишем определение (74.1) в более точном виде:
п( г, р) = n 0 (e0) + Sn(r, р).
(74.12)
380
КВАНТОВЫЕ Ж ИДКОСТИ
Г Л . V II I
Если же выразить щ в функции реальной энергии квазичасти
цы £, то надо написать
п 0 (£о) = щ(е) - 8 е ^ де
и тогда возмущенная функция распределения представится в ви
де
п (г,р ) = п 0(е) + Sn(r,p),
(74.13)
м
=
Sn -
= *> - ^
IЯ
p ,p > „ ( r ,p ') ^ .
Поскольку в интегралах (74.8)-(74.11) £ и v = д е / д р — уже
реальные энергия и скорость квазичастицы, то достаточно под
ставить в них п в виде (74.13) и мы сразу же получим
2 d3p
(2т
i тН)3
(74.14)
(в последнем выражении использовано также (74.9)). Теперь, ко
гда выделены члены первого порядка по Sn , в интегралах (74.14)
уже можно, конечно, понимать е как £о(р)«
Подобно тому, как мы это уже неоднократно делали, пред
ставим 6п в виде
Sn =
(74.15)
i = [ w8n
J
р , q = [ ew8n
(2тг1г)3
4
J
p , Uae = [ p aveSn-
(2тгй)3
^
J
P
В данном случае выделение множителя д щ / д е имеет особый
смысл. Возмущение 6п сконцентрировано в зоне размытости рас
пределения Ферми. В той же зоне заметно отлична от нуля и
производная д щ / д е ; после выделения этого множителя остаю
щаяся функция ф будет уже медленно меняющейся. Наряду с
(74.15) будем писать
Sn = -
Д р, р О ^ Й ^ г , р ') ( ^
5
-
(74.17)
В нулевом приближении по малому отношению Т / е р функ
цию щ(е) можно заменить ступенчатой функцией, обрывающей
ся на граничной энергии ер. Тогда
^
де
= - 8 ( е - eF)
(74.18)
и интегрирование по d3p сводится к интегрированию по фермиповерхности е = ер. Элемент объема между двумя бесконечно
381
К И Н ЕТИ Ч ЕС К О Е УРАВНЕНИЕ Д Л Я Ф ЕРМ И -Ж И Д К О С ТИ
близкими изоэнергетическими поверхностями в импульсном про
странстве равен
dSde ,
(74.19)
\де/д^
V
7
где dS — элемент площади изоэнергетической поверхности. По
этому интегрирование по d3p преобразуется в интегрирование по
ферми-поверхности формулой
J
. . . 6 ( г - s F) d 3p = у . . . ^ ,
(74.20)
где vp — значение скорости на ферми-поверхности. В (74.20) еще
не использована сферичность поверхности; на сфере dSp = p F
2 do
с постоянным pp.
После такого преобразования определение (74.17) принимает
вид
►0) законы, то химический по
тенциал /i(T) можно положить равным его значению при Т = 0
(совпадающему с граничной энергией £р). Тогда
П о ( 1 — По)
£ —
дг
дТ У
}
Т
и кинетическое уравнение принимает вид
0 — дпр /
уч
_
Т
n o (l-n o )^ v V T = 7M
(75.3)
с 1(ф) из (74.24). На решение этого уравнения должно быть на
ложено дополнительное условие, выражающее отсутствие макро
скопического переноса массы:
Последние комментарии
5 часов 30 минут назад
6 часов 11 минут назад
6 часов 12 минут назад
8 часов 12 минут назад
14 часов 18 минут назад
14 часов 29 минут назад