Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VII. Теория упругости. —5-е
изд., стереот. —М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003.-264 с .-IS B N 5-9221-0122-6
(Т. VII).
Теория упругости излагается как часть теоретической физики. На
ряду с традиционными вопросами рассматриваются макроскопическая
теория теплопроводности и вязкости твердых тел, ряд вопросов теории
упругих колебаний и волн, теория дислокаций. В четвертом издании
добавлена специальная глава о механике жидких кристаллов, объеди
няющая в себе черты, свойственные как жидкостям, так и упругим
средам.
Для студентов университетов, студентов физических специально
стей вузов, а также для аспирантов соответствующих специальностей.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук JI. П. П и т а ев с к и й
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию.................................................
Из предисловия к «Механике сплошных ср ед » ..............................
Некоторые обозначения.....................................................................
Г л а в а I. Основные уравнения теории упругости
1. Тензор деформации.....................................................................
2. Тензор напряж ения.....................................................................
3. Термодинамика деформирования ............................................
4. Закон Гука ...................................................................................
5. Однородные деформации ..........................................................
6 . Деформации с изменением температуры.................................
7. Уравнения равновесия изотропных т е л ....................................
8 . Равновесие упругой среды, ограниченной плоскостью
....
9. Соприкосновение твердых тел ..................................................
10. Упругие свойства кристаллов..................................................
7
7
8
9
13
18
21
25
28
31
40
46
53
Г л а в а II. Равновесие стержней и пластинок
11. Энергия изогнутой пластинки..................................................
63
12. Уравнение равновесия пластинки............................................
65
13. Продольные деформации пластинок.......................................
73
14. Сильный изгиб пластинок.......................................................
78
15. Деформация оболочек...............................................................
84
16. Кручение стержней ..................................................................
91
17. Изгиб стержней..........................................................................
98
18. Энергия деформированного с т е р ж н я .................................... 1 0 2
19. Уравнение равновесия стерж н ей............................................ 107
20. Слабый изгиб стержней.............................................................115
21. Устойчивость упругих систем ..................................................125
Г л а в а III. Упругие волны
22. Упругие волны в изотропной среде......................................... 130
23. Упругие волны в кристаллах ..................................................137
24. Поверхностные волны ............................................................... 140
25. Колебания стержней и пластинок ......................................... 145
26. Ангармонические колебания.................................................... 152
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а IV. Дислокации
27.
28.
29.
30.
Упругие деформации при наличии дислокации................... 157
Действие поля напряжений на дислокацию .........................168
Непрерывное распределение дислокаций.............................. 173
Распределение взаимодействующих дислокаций ................ 178
Г л а в а V. Теплопроводность и вязкость твердых тел
31.
32.
33.
34.
35.
Уравнение теплопроводности в твердых телах ................... 183
Теплопроводность кристаллов................................................. 185
Вязкость твердых т е л ............................................................... 186
Поглощение звука в твердых телах ...................................... 189
Очень вязкие жидкости.............................................................197
Г л а в а VI. Механика ж идких кристаллов
36. Статические деформации нематиков.......................................200
37. Прямолинейные дисклинации в нематиках........................... 205
38. Несингулярное осесимметричное решение уравнений равно
весия нематиков.......................................................................... 2 1 1
39. Топологические свойства дисклинаций................................. 215
40. Уравнения движения нем атиков............................................ 219
41. Диссипативные коэффициенты нематиков........................... 226
42. Распространение малых колебаний в нематиках ................ 230
43. Механика холестериков.............................................................236
44. Упругие свойства смектиков.................................................... 240
45. Дислокации в см ектиках..........................................................247
46. Уравнения движения в см ектиках......................................... 250
47. Звук в смектиках........................................................................254
Предметный указатель........................................................................258
П РЕ Д И С Л О В И Е К Ч Е Т В Е РТ О М У И ЗД А Н И Ю
Основное содержание этой книги (главы 1-III, V) мало изме
нилось по сравнению с тем, каким оно было написано для пер
вых двух изданий (1944, 1953 гг.), в которых теория упругости
была, по случайным причинам, объединена с гидродинамикой
в виде «Механики сплошных сред». Такое постоянство — есте
ственное следствие того, что основные уравнения и результаты
теории упругости уже давно «устоялись».
В третьем издании (1965 г.) была добавлена глава о теории
дислокаций в кристаллах (написанная совместно с А.М. Косевичем); эта глава подверглась теперь лишь сравнительно неболь
шим изменениям.
В настоящем издании добавлена новая глава, посвященная
механике жидких кристаллов; она написана совместно с Л.П. Питаевским. Эта новая область механики сплошных сред несет в
себе одновременно черты, свойственные механикам жидких и
упругих сред. Поэтому представляется целесообразным в дан
ном курсе расположить ее после изложения как гидродинамики,
так и теории упругости твердых тел.
Как всегда, я извлек много пользы из обсуждения ряда затро
нутых в этой книге вопросов со своими друзьями и товарищами
по работе. В этой связи я хотел бы с благодарностью упомя
нуть Г.Е. Воловика, B.J1. Гинзбурга, B.J1. Инденбома, Е.И. Каца,
Ю.А. Косевича, В.В. Лебедева и В.П. Минеева, сделавших ряд
полезных замечаний, учтенных в работе над книгой.
Институт физических проблем АН СССР
Январь 1985 г.
Е.М. Лифшиц
И З П Р Е Д И С Л О В И Я К «М Е Х А Н И К Е С П Л О Ш Н Ы Х
СРЕД»
... В книге, написанной физиками и в первую очередь для
физиков, нас, естественно, интересовали вопросы, которые обыч
но не излагаются в курсах теории упругости; таковы, например,
вопросы теплопроводности и вязкости твердых тел, ряд вопросов
теории упругих колебаний и волн. В то же время мы лишь очень
кратко касаемся ряда специальных проблем (например, слож
ных математических методов теории упругости, теории оболо
чек и т. п.), в которых к тому же авторы ни в какой степени не
являются специалистами.
1953 г.
Л. Ландау, Е. Лифшиц
Н Е К О Т О Р Ы Е О Б О ЗН А Ч Е Н И Я
Плотность вещества р
Вектор смещения и
Тензор деформации щ к = i
Z \ О X fe
О X %/
Тензор напряжений
Модуль всестороннего сжатия К
Модуль сдвига р
Модуль растяжения (модуль Юнга) Е
Коэффициент Пуассона а
Продольная и поперечная скорости звука q и q (выражения
для них через К , ц или Е, а — см. с. 131)
Величины К , ц и Е , а связаны формулами
_ 3К — 2/1
ц _ 9К ц
~ ЗК + р ’
~ 2(3К + ^У
Е
Е
К = -----------, 11 = ----------.
3(1-2(7)
2(1 +сг)
По всей книге принято обычное правило суммирования по
векторным и тензорным индексам: по всем дважды повторяю
щимся в данном выражении («немым») индексам подразумева
ется суммирование по значениям 1 , 2 , 3.
В главе VI используется обозначение д{ = d /d x i для опера
тора дифференцирования по координатам.
Ссылки на номера параграфов и формул в других томах это
го курса снабжены римскими цифрами: II — том II, «Теория по
ля», 1989; V — том V, «Статистическая физика, часть 1», 1995;
VI — том VI, «Гидродинамика», 1988; VIII — том VIII, «Элек
тродинамика сплошных сред», 1982.
ГЛАВА
I
ОСНОВНЫ Е У РА ВН ЕН И Я ТЕОРИИ УПРУГО СТИ
§ 1. Тензор деф ор м ац и и
Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные сре
ды, составляет содержание теории упругости1).
Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной
степени деформируются, т. е. меняют свою форму и объем. Д ля
математического описания деформации тела поступают следую
щим образом. Положение каждой точки тела определяется ее
радиус-вектором г (с компонентами х\ = х, Х2 = у , х% = z)
в некоторой системе координат. При деформировании тела все
его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь
определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформиро
вания был г, то в деформированном теле он будет иметь неко
торое другое значение г 7 (с компонентами х[). Смещение точки
тела при деформировании изобразится тогда вектором г 7 —г, ко
торый мы обозначим буквой и:
(i . i )
Вектор и называют вектором деформации ( и л и вектором сме
щения). Координаты х\ смещенной точки являются, конечно,
функциями от координат Х{ той же точки до ее смещения. По
этому и вектор деформации является функцией координат Х{.
Задание вектора и как функции от Х{ полностью определяет де
формацию тела.
При деформировании тела меняются расстояния между его
точками. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точ
ки. Если радиус-вектор между ними до деформирования был d xi ,
то в деформированном теле радиус-вектор между теми же двумя
точками будет dx\ = dxi + du{. Само расстояние между точками
до деформирования было равно
а после деформирования
1) Основные уравнения теории упругости были установлены Коши и Пуас
соном в 20-х годах XIX века.
10
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛ . I
Согласно общему правилу написания сумм имеем
dl2 = dx2, dl'2 = dx12 = (dxi + dui)2.
Так как du{ = ^ - d x k , то перепишем d l r2 в виде
дхк
dl'2 = dl2 + 2 ^ dxi dxk + ^ ^ d x k dxi.
dxk
d x k dxi
Поскольку во втором члене оба индекса г и к являются немыми,
их можно переставить и соответственно записать этот член в
явно симметричном виде
/9 ^
диЛ d dx
\дхк
OxiJ
К
В третьем же члене поменяем местами индексы г и I. Тогда окон
чательно получаем
d l 12 — d l 2 + 2 Щк dx{ d x k ,
(1.2)
где
2 \дхк
дхг дхг дхк)
V '
Этими выражениями определяется изменение элемента длины
при деформировании тела. Тензор Щк называют тензором де
формации; по своему определению он симметричен:
u ik = u ki-
(l* ^)
Как и всякий симметричный тензор, можно привести тен
зор Щк в каждой данной точке к главным осям. Это значит,
что в каждой данной точке можно выбрать такую систему ко
ординат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент
Щк отличны от нуля только диагональные компоненты и ц , ^ 2 2 ,
г^зз. Эти компоненты — главные значения тензора деформации —
обозначим через и ^ \ и^2\ и ^ . Надо, конечно, помнить, что если
тензор Щк приведен к главным осям в некоторой точке тела, то
он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках.
Если тензор деформации приведен в данной точке к главным
осям, то в окружающем ее элементе объема элемент длины ( 1 .2 )
приобретает вид
dl12 = ( Sik +
2 щк) dxi
dxk =
= (1 + 2и(1)) dx\ + (1 + 2и(2)) dxi + (1 + 2« (3)) dx
Мы видим, что это выражение распадается на три независимых
члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформа
цию можно рассматривать как совокупность трех независимых
ТЕНЗО Р ДЕФОРМ АЦИИ
11
деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлени
ям — главным осям тензора деформации. К аж дая из этих де
формаций представляет собой простое растяжение (или сжатие)
вдоль соответствующего направления: длина dx\ вдоль первой
из главных осей превращается в длину
dx[ = л/ 1 Ч- 2 u ^ d x i
и аналогично для двух других осей. Величины
\ / l + 2«W - 1
представляют собой, следовательно, относительные удлинения
(dx't — dxi)/dxi вдоль этих осей.
Практически почти во всех случаях деформирования тел де
формации оказываются малыми. Это значит, что изменение лю
бого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим
расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы
по сравнению с единицей. Ниже мы будем рассматривать все де
формации как малые.
Если тело подвергается малой деформации, то все компонен
ты тензора деформации, определяющего, как мы видели, относи
тельные изменения длин в теле, являются малыми. Что же каса
ется вектора деформации, то он может быть в некоторых случаях
большим даже при малых деформациях. Рассмотрим, например,
длинный тонкий стержень. Даже при сильном изгибе, когда его
концы значительно переместятся в пространстве, растяжения и
сжатия внутри самого стержня будут незначительными.
За исключением таких особых случаев 1), при малых дефор
мациях является малым также и вектор деформации. Действи
тельно, никакое «трехмерное» тело (т. е. тело, размеры которого
не специально малы ни в каком направлении) не может быть,
очевидно, деформировано так, чтобы отдельные его части силь
но переместились в пространстве, без возникновения в теле силь
ных растяжений и сжатий.
Тонкие стержни будут нами рассмотрены отдельно в гл. II.
В остальных же случаях, следовательно, при малых деформаци
ях смещения щ , а с ними и их производные по координатам,
малы. Поэтому в общем выражении (1.3) можно пренебречь по
следним членом как малой величиной второго порядка. Таким
образом, в случае малых деформаций тензор деформации опре
деляется выражением
(1.5)
х) Кроме деформаций тонких стержней сюда относятся изгибы тонких
пластинок в цилиндрическую поверхность. Следует исключить также слу
чай, когда «трехмерное» тело наряду с деформацией поворачивается как
целое вокруг некоторой оси на конечный угол.
12
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛ . I
Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений
главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь
с точностью до величин высших порядков
у/\ + 2 u( 0 -
1
и u (i),
т. е. непосредственно главным значениям тензора
Рассмотрим какой-нибудь бесконечно малый элемент объ
ема dV и определим его величину d V f после деформирования
тела. Д ля этого выберем в качестве осей координат главные оси
тензора деформации в рассматриваемой точке. Тогда элементы
длины dx 1 , dx 2 , dx 3 вдоль этих осей после деформирования пе
рейдут в dx[ = (1 + u ^ ) d x \ и т. д. Объем dV есть произведе
ние d x \ d x 2 dx%, объем же dV' равен dx^dx^dx^. Таким образом,
dV' = dV{ 1 + м(1))(1 + u(2))(l + u(3)).
Пренебрегая величинами высших порядков малости, находим от
сюда
dV' = dV{ 1 + u(1) + и (2) + м(3)).
Но сумма it! - 1 -1 + и ^ + и/ 3 -1 главных значений тензора есть, как известно, его инвариант и равна в любой системе координат сумме
диагональных компонент иц = г^ц + U22 + ^ззТаким образом,
d V ' = dV(l + ua).
(1.6)
Мы видим, что сумма диагональных компонент тензора дефор
мации дает относительное изменение объема (dV' — d V ) / d V .
Часто бывает удобным пользоваться компонентами тензора
деформации не в декартовых, а в сферических или цилиндри
ческих координатах. Приведем здесь для справок соответствую
щие формулы, выражающие эти компоненты через производные
от компонент вектора смещения в тех же координатах. В сфери
ческих координатах г, #, ср имеем
Последние комментарии
1 день 10 часов назад
1 день 14 часов назад
1 день 16 часов назад
1 день 18 часов назад
2 дней 27 минут назад
2 дней 33 минут назад