Природа говорит языком математики:
буквы этого языка—круги, треуголь¬
ники и иные математические фигуры.
Галилей
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта
ным
написана
книга
сколько
тики,
образом,
и
матике,
не
ее
для
не тех,
тех
не
столько
у
кого есть
уже
также, кто вовсе
друзей
для
недругов. Она
имеет
в
матема¬
виду,
глав¬
склонность к мате¬
еще
не
приступал
к ее
более для
изучению. Автор предназначае+ книгу
той обширной категории читателей, которые знакомились
в школе (или сейчас еще знакомятся) с этой наукой без
всего
особого
интереса
лишь
случае
рию для
тать
одушевления,
к
питая
ней
к
в
лучшем
Сделать геометпривлекательной, внушить охоту и воспи¬
ее
прямая задача настоящей
изучению
холодную
них
вкус
и
почтительность.
—
книги.
Лучшее
средство
для этого
—
показать
предмет,
до
новой, незна¬
комой, порою неожиданной стороны, способной возбудить
интерес и привлечь внимание. С этой целью автор прежде
некоторой
всего
наука
теля,
степени
отделяет
известный
геометрию
от
читателю,
с
классной доски,
с
которой
прочно срослась в представлении такого чита¬
выводит ее из стен школьной комнаты на вольный
эта
лес, в поле, к реке, на дорогу, чтобы под
небом
отдаться непринужденным геометриче¬
открытым
ским занятиям, без
учебника и таблиц, без циркуля и ли¬
воздух,
в
нейки. Таково
X*
содержание
первой
части
книги.
Вторая
3
предлагает
читателю
любопытных
по
школа.
занимается
пестрый подбор упражнений
и
сюжету
Здесь
похожих
мало
также
в сторону, и единственный
учебник
книжный
пусть судят
те
в
превратить
и
в
Ему
Л. Н. Толстого...
виде,
самим
назначению
части
в
книги,
о
том,
что
учебных
числом
приносит
вдумчиво
свою
в
книге
им
книгах.
исполненных
книгу боль¬
иллюстраций,
автор
признательность.
промахах
прежде сделанные
дентам
в том или
использованных
К сведущим читателям—просьба сообщить
ных
об¬
излагалось другими.
Художнику Ю. Д. Скалдину, снабдившему
шим
весьма
составитель старался, по возмож¬
писать
некоторых сюжетов, уже
его
желает
общеизвестна. Стремясь
удалось, однако, избежать повторения,
не
ином
кото¬
друзей.
отвечающая
значительной
дать свежий материал,
ности,
к
недруги геометрии, которых автор
ее
меньше
откладывается
подобными средствами достигнуть цели,—
Область,
ширна
задач,
какими
страницы Жюля
—
Верна, Майн-Рида, Марка Твэна, Свифта,
ли
и
те,
материал,
рому привлекается внимание читателя,
Удалось
на
и
желательных
замечания
выражаю
глубокую благодарность,
о замечен¬
изменениях.
моим
За
корреспон¬
Я.
Я.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
НА
ВОЛЬНОМ
Первые
основы
ВОЗДУХЕ
геометрии
должны
быть заложены не в школьной комнате,
а
на
вольном воздухе.
как
Покажите
маль¬
луга,
обратите его внимание на высоту коло¬
кольни, на длину тени, отбрасываемой
чику,
измеряется
площадь
положение
на соответствующее
солнца,—и он гораздо быстрее, пра¬
ею,
вильнее и при том с большим интере¬
сом усвоит математические соотноше¬
ния, чем когда понятия измерения угла,
а то и какой-либо тригонометрической
функции внедряются в его голову по*
мощью слов и чертежа на доске
Альберт Эйнштейн
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ГЕОМЕТРИЯ В
ЛЕСУ
ПО ДЛИНЕ ТЕНИ
сейчас
Еще
памятно
мне
то
с
изумление,
каким
смо¬
лесничего, который,
первый раз
огромной сосны,, измерял ее высоту маленьким
карманным прибором. Когда он нацелился своей квадрат¬
ной дощечкой в вершину дерева, я ожидал, что старик
сейчас начнет взбираться туда с мерной цепью. Вместо
этого он спрятал прибор обратно в карман и объявил,
я
трел
в
на седого
стоя
возле
что
измерение
когда
человек
и
взбираясь
не
чем-то
вроде
посвятили
в
очень
я
молод,
думал, еще не начиналось*..
и такой способ измерения*
определяет высоту дерева,
на
верхушку,
начатки
являлся
геометрии,
я
рода чудеса.
способов
производить
помощью весьма незамысловатых
всяких приспособлений.
Самый
ния,
тот,
веков
до
миды.
Он
легкий
и
которым
нашей эры
срубая
не
в
моих
понял,
до
чего
множество
подобные
измерения
даже без
приборбй
и
древний способ, без
греческий мудрец Фалес за
определил
воспользовался
для
меня
просто
Существует
самый
в
его
глазах
чуда. Лишь позднее, когда
маленького
выполняются такого
различных
А
окончено.
Я был тогда
сомне*
шесть
Египте высоту пира
этого
ее
тенью.
Жрецы
фараон, собравшиеся у подножия высочайшей пира¬
миды, озадаченно смотрели на северного пришельца,
и
отгадывавшего
по
тени
высоту огромного
сооружения.
7
Фалес,
—
—
говорит предание,
избрал
день
и
час, когда
длина собственной его тени равнялась его росту; в этот
момент высота пирамиды должна также равняться длине
отбрасываемой
ею
1
тени.
Вот, пожалуй, единственный
когда человек может из своей тени извлечь пользу.
случай,
Задача греческого мудреца представляется
детски-простой,
на нее
но
с высоты
будем забывать,
не
что
нам
мы
теперь
смотрим
геометрического здания, воздвигнутого
уже после Фалеса. Он жил задолго до Евклида, автора
замечательной книги, по которой обучались геометрии
в
течение
двух
тысячелетий
ченные в ней истины,
были открыты
нику, еще
воспользоваться тенью для
не
пирамиды, надо было
CBofictea
ские
(из
1)
углы при
против
равных
—
сам
чтобы
высоте
о
некоторые геометриче¬
следующие
два
открыл):
равнобедренного
тре¬
именно,
основании
и,
угольника равны
теперь
решения задачи
треугольника,
школь¬
каждому
эпоху Фалеса. А
знать
уже
которых первое Фалес
что
в
смерти. Заклю¬
его
после
известные
обратно,
углов
—
стороны,
треугольника,
лежащие
равны
между
собою;
2)
по
что
сумма
крайней
мым
мере,
углов
всякого
треугольника
прямоугольного)
(или>
равна двум пря¬
углам.
Только
вооруженный
этим
знанием,
Фалес
в
праве
был заключить, что,
когда
eiro росту,
лучи встречают ровную почву под
углом
в
солнечные
половину прямого и,
йирамиды, середина
Конечно,
собственная тень равна
следовательно, вершина
конец ее тени должны
ее основания и
образовать равнобедренный
1
его
треугольник.
длину тени надо было считать от средней точки ква¬
дратного основания пирамиды; ширину этого
измерить непосредственно*
а
основания
Фалес
мог
Этим простым способом
ясный
в
пользоваться
одиноко стоящих деревьев,
с
тенью
в
наших
так
солнце
стоит
для
измерения
не
сливается
не
этого
мо¬
Египте:
в
нас
низко
горизонтом,
бывают равны
над
тени
высоте
их
у
день
которых
бы,
подстеречь
для
как
мент,
тень
казалось
Но
широтах
легко
нужный
и
соседних.
удобно,
очень
солнечный
отбрасывающих
предметов
лишь
околополуденные
летних
месяцев.
в
Поэтому
1.
Черт.
часы
способ
Фалеса
в
указанном
виде применим не всегда
Не трудно, однако, изменить этот способ так, чтобы
можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины
она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень
какого-нибудь
шеста,
вычисляют искомую вы¬
соту из пропорции (см.
черт. 1):
АВ: аЪ
т.
е.
=
ВС Ъс,
•
дерева во
раз больше
высота
столько
же
вашей собственной
соты
ста),
Черт.
вашей тени
(или
геометрического
двум
2.
тени
тень
шеста). Это
(йли
90
вы¬
высоты
ше¬
сколько
раз
длиннее
дерева
вытекает, конечно, из
подобия треугольников ABC
и
аЪс
(по
углам).
9
Иные
читатели
пожалуй,
возразят,
тарный прием
нуждается
новании: неужели и без геометрии
не
во
раз дерево выше,
Дело, однако, не
это
применить
что
не ясно,
что во сколько
раз и тень
так просто, как кажется.
столько
к
правило
элемен*
столь
геометрическом обос¬
вовсе в
его
длиннее.
Попробуйте
отбрасываемым
теням,
при
оно не
уличного фонаря или комнатной лампы,
оправдается. На черт.. 2 вы видите, что столбик АВ
свете
выше
тени
ABC
—
тумбы аЪ} примерно, втрое, а тень столбика больше
тумбы (ВС:Ьс) раз в восемь. Здесь треугольники
аЪс
и
лучей.
подобны,
в
меним,
было
случае солнечных,
случае способ при¬
другом нет,—невозможно без геометрии.
не
Объяснить,
как
в
почему
№1
Задача
Рассмотрим поближе,
в
в
одном
чем
тут разница.
сводится к тому, что солнечные лучи
раллельны, лучи же фонаря
очевидно;
но
почему
параллельными,
в
том
месте,
мы
все
хотя
между
Суть
дела
собою па¬
непараллельны. Последнее
—
считать
вправе
безусловно
они
солнца
лучи
пересекаются
откуда исходят?
Решение
Лучи Солнца,
тать
падающие
параллельными потому,
вычайно
мал,
метрический
дающие
метра друг
из
Землю
от
в
расстоянии,
Значит,
друга.
окружность
на
в
расстоянии
10
Полная
счи¬
этом.
точки
скажем,
бы
если
Вообразим
Солнца и
одного
мы
гео¬
два
па¬
кило¬
поставили
Солнца, а другою опи¬
Земли, то между нашими
эту точку
двумя лучами-радиусами
метр длиною.
можем
угол между
Несложный
убедит вас в
какой-нибудь
расчет
одну ножку циркуля
сали
мы
ними чрез¬
что
практически равен нулю.
луча, исходящие
на
Землю,
на
Сказалась бы дуга
длина
этой
в один
исполинской
кило¬
окруж-
была бы равна 2^ X 150 000 ООО = 940 ООО 000 км.1
Один градус ее, конечно, в 360 раз меньше, т. е. около
в 60
2600 000 км; одна дуговая минута
раз меньше
ности
—
т.
градуса,
е.
равна
43 000 км,
720
меньше:
кунда— еще в 60 раз
имеет в длину всего только 1 км;
неуловим
V720
в
углу
ствует
а
наша
она
дуга
соответ¬
ничтожный
Такой
секунды.
Но
значит,
се¬
дуговая
одна
км.
угол
для точнейших астрономических инстру¬
даже
ментов, и, следовательно, на практике мы можем считать
Солнца,
Землю, за
падающие
лучи
на
параллель¬
ные
прямые.
Если бы эти геометри¬
ческие
соображения были
нам
не
известны,
мы
не
бы обосновать рас¬
сматриваемый способ опремогли
деления
высоты
Пробуя
соб
теней на
сразу
же
по
тени.
применять
спо¬
практике,
убедитесь,
Черт. 3.
вы
однако,
мощью
его вполне надежного
ничены
так
отчетливо,
было выполнить
ваемая
при
свете
а
нельзя получить по*
результата. Тени не отгра¬
чтобы измерение
вполне
Солнца,
кайму полутени, которая
деленность. Происходит
точка,
что
точно.
Каждая
имеет неясно
и
их длины можно
тень,
придает границе
это
оттого,
отбрасы¬
очерченную серую
что
тени
неопре¬
Солнце
—
большое светящееся тело, испускающее лучи
не
из
На черт. 3 показано, почему вследствие
этого тень ВС
дерева имеет еще придаток в виде полу*
тени CD, постепенно
сходящей на нет. Угол CAD между
многих
точек.
крайними границами полутени равен тому углу,
1
Расстояние от
Земли
до
Солнца—150 000 000
под
ко¬
км.
И
мы
торым
градуса.
всегда
Ошибка,
происходящая
Солнца
стоянии
прибавляется
ности
солнечный
т.
диск,
е.
половине
обе
что
оттого,
тени
не вполне точно, может
измеряются
ком
видим
почвы
к
и
при не слишком низ¬
достигать 5% и более. Эта ошибка
другим неизбежным ощибкам—от неров¬
д.—и делает окончательный результат
т.
мало ‘надежным.
В
местности
гористой, например,
способ
этот -совершенно неприменим.
ЕЩЕ ДВА СПОСОБА
Однако
высоты и
нем
с
вполне возможно
обойтись при измерений
без помощи теней. Таких способов много; нач¬
равнобедренного прямоугольного треугольника
и в этих
точках втыкают торчком по булавке (черт. 4).
У вас нет под рукой чертежного треугольника для
построения
равных
прямого
угла
сторон? Перегните
и
циркуля
тогда любой
один раз, а затем поперек первого сгиба
чтобы обе части
первого
сгиба
отложения
для
совпали,
лоскут
еще
—
и
бумаги
раз
так,
получите
угол. Та же бумажка пригодится и вместо цир¬
куля, чтобы отмерить равные расстояния* Как видите,
прямой
I?
прибор
быть
может
наготовлен
целиком
бивуачной
в
обстановке.
Обращение
немного
от
Отойдя
прибор так,
ним не сложнее изготовления.
с
измеряемого дерева, вы держите
чтобы один из катетов
треугольника
был
на¬
для
отвесно,
правлен
чего можете воспользо¬
ваться ниточкой с гру¬
привязанной
зиком,
к
верхней булавке. При¬
ближаясь
к
удаляясь
от
него,
йайдете
всегда
место
дереву
А
крывают
вы
такое
(черт. 5),
которого, глядя
или
на
Чеот. 5.
из
булавки
верхушку С дерева:
гипотенузы
ас
Ъ
и
это
с, увидите,
значит,
что
СВ9
так
как
угол
вательно,
аВ
яние
они
продолжение
измерив рассто¬
(или,
на
месте, одинаковое
расстояние AD)
BD,
т. е.
землей,
и
высоту
ровном
с
ним
прибавив
глаза над
—
получите
иско¬
мую высоту дерева.
По другому способу
обходитесь
Черт.
отвесно
придется воткнуть
пающая
1
часть
как
вы
даже и без
бу¬
прибора. Зато
нужен шест, который
лавочного
6*
здесь
вам
по¬
Тогда, очевидно,
а ==45°.
Следо¬
проходит через точку С.
расстояние аВ равно
что
раз
Точнее—расстоянию
в
землю так,
равнялась вашему
от
подошв
до
глаз.
чтоб высту¬
росту.1 Место
так, чтобы лежа, как
выбрать
для шеста надо
показано
одной прямой
6,
верхушку дерева
верхней точкой шеста. Так как треугольник ЛЪс—
45°, и,
равнобедренный и прямоугольный, то угол А
на
вы видели
черт.
линии с
=
следовательно, АВ
=
ВС,
т.
е.
искомой
высоте
дерева.
ПО СПОСОБУ ЖЮЛЯ ВЕРНА
Следующий,
ния
высоких
Верна
в
предметов
известном
Сегодня
—
„
весьма
тоже
Далекого Вида,
—
способ
описан
измере¬
у Жюля
измерить высоту площадки
надо
сказал инженер.
Вам понадобится
—
„
наглядно
„Таинственный остров".
романе
нам
несложный
очень
для этого
инструмент?—спро¬
понадобится. Мы
будем действовать
Герберт.
сил
Нет,
—
„
несколько
не
иначе,
но
прибегнем
способу.
„Юноша, стараясь
к
не
менее
простому
и
точному
последовал за инженером,
стены
который спустился
прямой
точнее,
сравнивая
который был ему хорошо
ним
отвес,
врученный ему
к
привязанный
укрепив
и,
14
он
же
просто
за
нес
камень,
гранитной
воткнул
его,
стены,
шест
поставил
фута
подни¬
на
2
вертикально
отвеса.
он
чтобы, лежа
видеть
до
прочно
песок
помощью
нии
500
инженер
с
„Затем
инженером:
отвесно,
в
своим ростом,
концу веревки.
доходя футов
мавшейся
со
Герберт
известен.
точку
большему,
гранитной
шест, футов 12 Длиною, инженер изме¬
рил его возможно
„Не
с
окраины берега.
до
„Взяв
возможно
научиться
отошел
на
и
песке,
конец
от
шеста
на
можно было
шеста
и
тщательно пометил
на
такое
расстояние,
одной прямой
ли¬
край гребня (черт. 7). Эту
колышком.
Тебе
—
„
Герберта,
знакомы
геометрии?—спросил
начатки
он
поднимаясь с зе)лли.
Да.
v
Помнишь свойства подобных
Их сходственные стороны
Прарильно. Так вот: сейчас
—
„
—
„
—
„
треугольников?
пропорциональны.
построю два
я
добных прямоугольных треугольника. У
будет отвесный
катетом
—
щест, другим
яние
от
рассто¬
колышка
основания
шеста;
же
тенуза
по¬
меньшего одним
—
до
гипо¬
мой
луч
зрения. У другого трех¬
угольника
дут:
соту
катетами
бу¬
отвесная стена, вы¬
которой
определить,
хотим
мы
и
расстоя¬
Черт. 7.
ние от колышка, до осно¬
этой
вания
совпадающий
стены;
с
гипотенуза
направлением
же
—
мой
гипотенузы
луч
зрения,
первого тре¬
угольника.
—
„
Понял!—воскликнул юноша.—Расстояние
лышка до
лышка
этой
до
шеста
так
основания
относится
стены,
как
к
расстоянию
высота
шеста
к
от
от
ко¬
ко¬
высоте
стены.
Да. И, следовательно,
измерим два пер¬
расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычис¬
лить четвертый, неизвестный член этой пропорции, т. е.
ЭысЪту стены. Мы обойдемся, таким образом, без непо¬
—
„
если мы
вых
средственного измерения этой высоту.
„Оба
меньшее
горизонтальные расстояния были измерены:
равнялось 15 футам, большее—500 футам.
„По окончании измерений
инженер
составил
следующую
пропорцию:
15
15:500
10: ^
=====
500X10-= 5000
5000 : 15 = 333,3
„Значит,
гранитной
высота
Этот способ,
как
и
стены
равнялась 333
предыдущий, неудобен
футам"*
что
тем,
при пользовании им приходится ложиться на землю.
вот
свободное
видоизменение,
от
такого
пасшись
^щВ
Но
неудобства. Зашестом
человеческого
выше
вты¬
роста,
кают его отвесно на неко¬
тором расстоянии
от
меряемого дерева (черт.
Отойдя
по
от
шеста
продолжению
из¬
8).
назад,
прямой
Dd, находят такую точку
А, из которой, глядя на
вершину дерева, видят на
Черт. 8.
одной
нюю
точку Ь
шеста.
услуги помощника)
окончено.
Теперь
в
С,
я,
через
этих
в
и
и
верх¬
нужны
которых горизонтальная
шест и ствол;
местах
аВС,
ней
(здесь
встречает
—
пометки,
остается только,
треугольников abc
линии с
замечают
этом
точки с и
прямая, проходящая
помощник делает
При
и
измерение
на основании
вычислить
ВС
из
подобия
пропорции:
ВС: Ьс = аС: ас,
откуда:
ВС= Ьс
аС
ас
Расстояния Ьс9 аС и ас легко измерить непосред¬
ственно.
К полученной величине ВС нужно прибавить
расстояние CD (которое также измеряется непосред¬
ственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.
16
ПОМОЩЬЮ ЗАПИСНОЙ
В
прибора
качестве
доступной
вы
высоты
вам
поможет
из
Книжку
она
свою
и
кар¬
снабжена каранда¬
книжке.
петельку при
пространстве
Она
подобных
те два
которых
искомая
получается
использовать
если
или
в
построить
треугольника,
сота.
в чехлик
оценки не¬
приблизительной
можете
книжку,
манную записную
шом, всунутым
для
книжки
надо
вы¬
дер¬
жать возле глаза так, как
показано
диться в
а
сти,
гается
на
упрощенном
Она должна
черт. 9.
выдви¬
карандаш
над
обре¬
верхним
книжки
зом
нахо¬
отвесной плоско¬
Черт.
настолько,
9.
чтобы, глядя из точки а, видеть вершину В дерева
покрытой кончиком Ъ карандаша. Тогда, вследствие подо¬
бия треугольников аЪс и aBCh высота ВС определится
из
пропорции:
ВС
Расстояния Ьсу
К полученной
CD,
т.
е.—на
Так
будете
нии
как
ас
будет
карандаша.
высота
нести
ас.
измеряются непосредственно.
ВС надо прибавить еще длину
ас
книжки
неизменна,
то
если
вы
становиться на одном и том же расстоя¬
дерева
зависеть
Поэтому
числа
вы можете
на
превратится тогда
в
сможете
помощью
вычислений.
2—Занимательная геометрия.
(например,
от
только
в
10
м),
выдвинутой
высота
части
заранее вычислить,
Ъс
какая
иному выдвижению, и на¬
карандаш. Ваша записная книжка
соответствует тому
эти
:
ровном месте—высоту глаза над почвой.
от измеряемого
дерева
аС
и
величине
ширина
всегда
Ъс=аС
:
или
упрощенный
ее
высотомер,
определять
высоты
так
как
сразу,
вы
без
17
НЕ ПРИБЛИЖАЯСЬ К ДЕРЕВУ
Случается,
что
основанию
почему-либо неудобно подойти
измеряемого дерева. Можно
ную
к
ком
случае определить
его
вплот¬
и в та¬
высоту?
Вполне
возможно.
придуман даже
очень
прибор, который,
дущие,
Две
ли
легко
и
преды¬
изготовить
самому.
ab
планки
Для этого
остроумный
как
и
Ы
(черт. 10)
скрепляются под прямым углом
так, чтобы аЪ равнялось Ъс9 а Ъй
составляло
весь
ab.
половину
прибор. Чтобы
Вот
измерить
и
им
высоту, держат его в руках, на¬
правив планку cd вертикально (для
чего при ней имеется отвес—‘шну¬
рок
Черт. 10.
с
грузиком),
сначала
(черт. 11)
концом с вверх,
а
в
точке
затем
в
А,
и
становятся
двух
местах:
где располагают
прибор
последовательно
точке
А\
в
подальше, где при¬
бор
держат вверх кон¬
цом й. Точка А изби¬
рается так,
чтобы,
глядя
из я на конец с, видеть
одной прямой
его на
с
верхушкой дерева.Точку
же
А1
чтобы,
глядя
из
а'
на
видеть ее сов¬
точку
с
В. В
нахо¬
ждении этих
двух
точек
падающей
А
и
а'
отыскивают так,
А1
1
заключается
Черт. 11.
все
измерение,
ванием
18
дерева.
что
иско¬
прямой
с осно¬
потому
1 Точки эти
непременно должндо лежать на одной
высота
мая
как легко
это вытекает,
а* С—2
а
расстоянию А А1. Равенство
дерева-ВО равна
ВС;
сообразить,
и& того, что
аС»=2?С,
значит,
а1 С—аС=ВС.
Вы видите, что, пользуясь
мы
не
измеряем дерево,
его
этим
простым
Само собою разумеется,
высоты.
прибором,
подходя к его основанию
что
если
ближе
подойти
стволу возможно, то достаточно найти только одну из
точек—4 или А', чтобы узнать его высоту.
к
Вместо двух планок, которые предлагает французский
изобретатель этого прибора, можно воспользоваться че¬
тырьмя булавками, разместив их на дощечке надлежащим
образом: в таком йиде „прибор" еще проще и пор¬
тативнее.
ВЫСОТОМЕР ЛЕСОВОДОВ
объяснить
Пора
теперь,
как
Опишу
леса.
один
изменив
чтобы
легко
товить
его
12.
черт.
его
не¬
так,
было
изго¬
самому.
Сущ¬
устройства
ность
видна из
Картонный
деревянный
на
из по¬
добных высотомеров,
сколько
„настоящие"
практике работники
устроены
высотомеры, которыми пользуются
или
прямоуголь¬
abed держат в руках
так, чтобы, глядя вдоль
ник
края
«6,
видеть ,на
Черт. 12.
одной
вершину В дерева. В точке Ь привешен на
Замечают точку п, в которой нить пере¬
#.
грузик
секает линию dc. Треугольники ЪВС + Ж?,
х.
теореме
=
то есть:
*2=(*+т-)2-22’
откуда
-1
о
х—3
Искомая
64
глубина—3% фута.
3
.
^
4f
Близ берега реки
или
неглубокого
пруда
вы
можете
водяное растение, которое доставит
реаль¬
ный материал для подобной задачиг без всяких приспосо¬
вам
отыскать
блений,
ема в
не
замочив
даже
рук, определить глубину водо¬
этом месте.
ЗВЕЗДНОЕ НЕБО В РЕКЕ
Река
ночное
в
и
Помните у Гоголя
и
светят
Всех
держит
темном
от
все
в
ни
него,
небе".
в
погаснет
разве
В
убежит
не
одна
и
Днепр
своем:
лоне
геометру задачи.
Днепра: „Звезды горят
разом отдаются в Днепре.
описании
миром
над
их
время предлагает
в
самом деле, когда стоишь
на
берегу широкой
что
кажется,
в
I
реки,
водном
зеркале отражается цели¬
ком
Но
весь
так
звездный купол.
в действитель¬
Все ли звезды
ли
ности?
отдаются
в
Сделаем
стоящего
ность
тель
реке?
чертеж
(черт. 57)!
берегу
реки, у края
из
из
жим
его
обрыва, MN
—
поверх¬
Какие звезды может видеть в воде наблюда¬
Чтобы ответить на этот вопрос, опу¬
точки А?
А перпендикуляр АЛ
на
ту
находился
часть звездного
три угла ВА* С. Таково
вне
этого
точки
А!,
в
он
А\
мог
и
продол¬
Если
бы
бы видеть
неба, которая помещается вну¬
же
и
наблюдателя, смотрящего
находящиеся
прямую MN
на
равное расстояние, до
наблюдателя
только
ного
А— глаз наблюдателя,
воды.
стим
глаз
на
Черт. 57*
поле
из
зрения действитель¬
точки
А. Все звезды,
угла, наблюдателю
отраженные лучи проходят
мимо
его
не
видны; их
глаз.
65
Как убедиться
S,
звезда
дателю
лежащая
в
этом? Как доказать,
в
вне
угла
зеркале
водном
что, например
ВА'С,
нашему наблю¬
реки? Проследим за ее лучом,
не видна
падающим близко к берегу, в точку Ж; он отразится, по
законам физики, под таким углом к перпендикуляру ЖР,
который равен углу падения SMP и, следовательно,
угла РМА (это легко доказать из равенства тре¬
угольников ADM и A 'DM); значит, отраженный луч дол¬
меньше
жен
пройти
мимо
А.
Тем более пройдут мимо
глаз'наблюдателя лучи
звезды
в
S, отразившиеся
расположен¬
точках,
ных
дальше
Значит,
описание
все
во
а
звезды,
Днепре
случае,
не
меньше половины звезд¬
неба.
ного
Всего любопытнее,
неба
В
в
отражаются далеко
всяком
М.
содержит пре¬
увеличение:
Черт. 58.
точки
гоголевское
не
вовсе
узенькой
почти
речке
полнеба (т.
наклонитесь
что
доказывает,
перед
вами
части
широкая река.
берегами вы можете видеть
больше, чем в широкой реке), если
с низкими
е.
близко
сделав для такого
обширность отраженной
что
к воде.
Легко удостовериться
случая построение
поля
зрения
в этом,
(черт. 58)
ПУТЬ ЧЕРЕЗ РЕКУ
Задача № 20
Между
мыми
точками
66
и
В
течет
река
(или канал)
с
пря¬
берегами (черт. 59). Нужно по¬
мост
под прямым углом к его бере¬
параллельными
строить через реку
Где следует выбрать место
А до В был кратчайший?
гам.
от
А
для
моста, чтобы путь
Решение
Проведя
через точку А
(черт. 60)
к
и
направлению реки,
кулярную
зок А С, равный ширине
реки, соединяем С с В.
В
точке
строить
путь
иг
D
и
А
в
от
А отре¬
по¬
надо
мост,
прямую, перпенди¬
отложив
чтобы
В
был
кратчайшим.
Действительно:
по¬
строив moctDE (черт.61)
и соединив Е с А,
по¬
лучим
путь
котором
AEDB,
часть
раллельна CD
АЕ
в
Черт. 59.
па¬
(AEDC—
параллелограмм, потому
роны АС и ED равны и
что
его
сто
противоположные
параллельны). Поэтому
путь
AEDB по длине равенпути АСВ. Легко пока¬
чтр
зать,
всякий иной
путь
длиннее
Пусть
мы
этого.
заподозрели,
некоторый путь
AMNB (черт. 62) ко¬
что
роче
AEDB,
т.
е.
ко*
роче АСВ. Соединив С
что
CN
равно AM.
Значит,
путь
AMNB
ACNB.
Но
с
Черт. 60.
CNB, очевидно, больше СВ;
N,
видим,
=
значит, и ACNB больше АСВ
а, следовательно, больше и AEDB.
Это рассуждение применимо
моста, не совпадающему с
ED;
ко
всякому положению
другими словами,
AEDB действительно кратчайший.
путь
ЧЕРЕЗ ДВЕ РЕКИ
Задача № 21
Может
представиться более сложный случай
именно,
когда надо найти кратчайший путь через две реки, кото¬
—
рые необходимо пересечь
тоже
под
прямым углом
к
их
Черт* 61.
берегам
(черт. 63).
В
каких
местах
рек надо тогда
по¬
строить мосты?
Черт. 62.
Решение
Нужно из точки А (черт. 64) провести
равный ширине реки I и перпендикулярный
68
АС,
бере¬
отрезок
к
ее
гам.
Из
реки II
и
точки
В провести отрезок BD,
перпендикулярный
и также
D соединить прямой. В
точке
к ее
равный ширине
берегам. Точки С
Е строят
мост
EF через
Черт. 63.
реку
I,
есть
искомый
GH через реку II. Путь AFEGHB
кратчайший путь от А до В.
а в точке
G
мост
Как доказать это, читатель, конечно, сообразит сам,
если
будет
суждали
мы
в
в
этом
случае рассуждать
предыдущей
так
же,
как
рас*
задаче.
69
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПОХОДНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ БЕЗ ФОРМУЛ
И
ТАБЛИЦ
ВЫЧИСЛЕНИЕ СИНУСА
В этой
будет
главе
можно вычислять
как
показано,
2°/о
стороны треугольника с точностью до
до 1°,
прибегая
ностью
и
не
одним
пользуясь
ни
к
таблицам,
упрощенная тригонометрия
лишь
ни
может
к
и
синуса
формулам.
Такая
нередко
во
с точ¬
углы
понятием
пригодиться
загородной
таблиц
время
прогулки,
когда
рукой нет, а фор¬
полузабыты. Ро¬
бинзон на своем острове
под
мулы
мог бы
успешно поль¬
зоваться такой тригоно¬
метрией.
Итак,
вы
что
вообразите,
еще
не
прохо¬
дили тригонометрии
без остатка,
же
забыли
из
читателей, вероятно,
Начнем
острого
к
знакомиться
угла?
гипотенузе
кается от
Например,
70
ее
Это
в
—
не
ней
с
состояние, которое
трудно себе представить.
сызнова.
отношение
том
Что
треугольнике,
а
такое
противолежащего
угла перпендикуляром
синус угла
или
многим
к
(черт. 65)
одной
есть
синус
катета
отсе¬
который
из
его
сторон.
или
D'Ef
ВС
или
или
-д^-,
бия
,
Легко видеть,
-д^у.
что
вследствие
подо*
здесь треугольников все эти отноше¬
образовавшихся
ния равны одно другому.
Чему
же
Как узнать
сто:
сейчас
это, не имея под
таблицу
составить
надо
до
90°?
рукой таблиц? Весьма
про¬
равны синусы различных углов
от
1°
Этим
синусов самому.
Начнем
тех
с
углов, синусы которых
Это, прежде всего, угол
очевидно, равен 1. Затем угол в
геометрии.
в
90°,
нам известны из
синус которого,
45°, синус
Пифагоровой
легко вычислить по
0,707. Далее,
известен
так
как
щий
синус
теореме;
он
равен -у-,
нам
30°:
катет, лежа¬
такого
против
угла, равен
половине
гипотенузы,
30°
которого
j/Y
__
т*е.
мы
займемся.
и
то
синус
Черт. 66.
=
у.
Итак,
чать,
мы
sin)
Этого,
знаем
синусы
как
принято
обозна¬
трех углов:
sin 30®
=
0,5
sin 45°
=
0,707,
sin 90°
=
1.
конечно, мало; необходимо знать синусы и всех
промежуточных углов,
градус.
(или,
Для
очень
синуса, вместо
по
малых
отношения
шой погрешности брать
крайней
углов
катета
к
отношение
через каждый
при вычислении
мере,
можно
гипотенузе без боль¬
дуги
к
радиусу;
из
ВО
черт. 66 видно,
что
отношение
мало
отличается
от
^
11
отношения^.
Например,
Последнее же
для угла в
отношение легко вычислить.
?~^ и, следовательно,
1° дуга BD =
sin 1° можно принять равным
_
Таким
же
образом
JL
=
180
360 R
0 0175
находим:
sin
2°
0,0349,
0,0524,
=
sin 3°=
sin 4°
sin 5°
Но надо убедиться,
эту табличку, не делая
0,0698,
=0,0873.
=
как
можно
далеко
продолжать
Если бы
большой погрешности.
мы
вычислили
способу
30°,
sin
по
то
такому
получили
0,500: раз¬
ница была бы уже во второй
значащей цифре, и погрешбы 0,524
вместо
24
*
ность составляла бы
Черт. 67.
около
5°/о.
грубо
даже
емся
по
походной
метрии,
Чтобы
ницу,
тригоно¬
найти гра¬
которой
до
вести
зуемся таким, несколько сложным,
но не
позволи¬
вычисление
приближенному способу,
приемом sin 15°, Для этого
указанному
найти точным
чересчур
нетребова¬
для
тельной
тельно
синусов
Это
т. е.
постара¬
восполь¬
особенно
замыс¬
ле
ловатым
ВС
построением
(черт. 67). Sin
15°
=
Продолжим
равное расстояние до точки D; соединим А с D;
опустим перпендикуляр BE и, продолжив его на равное
на
расстояние до
72
F,
соединим F с А. Так как угол
ВАнравен
4 X
lS°,
BAF
а
БЯ
по
то-есть
все
теореме
Далее
из
ВТ?
и,
АЕ
вычисляем
ЕВ
АВ*
=
АЕ
Теперь
60°,
треугольнике
следовательно,
из
BF—AB,
треугольника АВЕ
Пифагора:
JP
Значит,
равнобедренном
то в
углы равны
4р
=
60°,
=
AD
—
=
VЦ
~~
АЕ
—
(4^)2 \~АВ2)
—
=
=
АВ
треугольника BED
=
Ш? + Ш2
0,268 'ABi;
=
Половина BD,
т.
е.
—
0,866 АВ
вычисляем
=
0Д34Ж
BD:
(^)2 4- (0,134 АВУ
=
BD
=
0,Ш~ЛВ.
=
]/0,268 2JT2
=
—
0,518
1?(7, равна 0,259 АВ,
следова¬
тельно, искомый синус
•
Это
вляя
15
оба
по
прежнему
15°,
же
л осп
=0,259.
если
ограничиться тремя
значение
способу,
его,
равно
которое
мы
0,262. Сопоста¬
значения:
0,259
видим,
-
—дд
sin
Приближенное
бы
0,259 АВ
=
=32
точное значение
знаками.
нашли
ВС
1 со
»п
что,
и
ограничиваясь
0,262,
двумя значащими цифрами,
мы получаем
0,26
т.
е.
более
тождественные
2I9,
т,
е.
зволительная
для
синусы углов
от
нашему
при
замене
со¬
0,4°/о. Это погрешность,
по¬
походных
до
Ошибка
(0,259) приближенным (0,26)
около
1°
0,26,
результаты.
точного значения
ставляет
и
15°
расчетов, и, следовательно,
мы
в праве вычислять по
приближенному способу.
73
Для
15°
от
промежутка
до
30°
мы
пропорций. Будем
синусы помощью
ница между sin 30°
вычислять
так.
Раз¬
0,50—0,26=0,24. Зна¬
sin 15° равна
и
можем
рассуждать
чит,—можем мы допустить,— при увеличении угла на какдый градус синус его возрастает примерно на
этой разницы, т.
не
нечно,
но
так,
на
е.
=
15
*/15
долю
0,016. Строго говоря,это,
отступление
от
ко¬
указанного правила
третьей значащей цифре, кото¬
все
мы
рую
равно отбрасываем. Итак, прибавляя после¬
довательно по 0,016 к sin 15°,
получим синусы 16°, 17°,
обнаруживается
18°
и
т*
Все
ках,
они
т.
только в
д.
эти
=
=
0,26 + 0,032
=
sin 18°
=
0,26+ 0,048
=
sin 25°
=
=
sin 17°
0,26 + 0,16
синусы верны
достаточною
с
е.
0,26+ 0,016
sin 16°
отличаются от
в
=
0,28,
0,29,
0,31,
0,42
—
для
истинных
промежутках между 30° и
sin 30°=0,707—0,5=0,207.
0,014. Эту
к синусу
величину
30°;
целей
наших
Остается
74
45°.
зна¬
точностью:
синусов менее,
чем
на
вычислении
по¬
углов
Разность sin 45°
Разделив
будем прибавлять
31°
=
sin 32°
=*
sin 40°
этом
п.
ее
на
25,
—
имеем
последовательно
тогда получим
sin
В
т.
первых двух десятичных
ловину единицы последней цифры.
Таким же способом поступают при
в
и
=
0,5+ 0,014
0,5 + 0,028
=
=
0,51,
0,53,
0,5+0,14 =0,64
и
т.
п.
найти синусы острых углов больше 45°.
поможет
нам
Пифагорова
теорема.
Пу^ть,
напри¬
мер,
мы
желаем
Так
ние
вычислить
как
по
найти sin 53й,
угол В
—
37°,
предыдущему;
0,5 + 7 X 0,014
0,6.
С другой стороны, мызнаем,
он
=
равен
•
что
АС
~г%
В
sin
АС
*»
=
-jg. Итак,
ЛС=
0,6 АВ.
откуда
0,6,
АС, легко
=
вычислить
=
Зная
ВС. Этот
отрезок равен
VTb% АС2
VZb2— (0,6аб?
ЛВ]/1 0,36
=
—
=
=
Расчет,
лять
=
—
=
в
—
Черт. 63.
0,8 АВ.
общем,
квадратные
не
труден; надо
только уметь вычис¬
корни.
УПРОЩЕННОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
Указываемый
в
квадратных корней
курсах алгебры способ извлечения
забывается. Но можно обойтись
легко
и
без него.
В
и
4 и, следовательно, равен 3
учебных книгах моих по геометрии при¬
веден древний упрощенный способ вычисления квадрат¬
ных корней по
способу деления. Здесь сообщу другой
старинный способ, также более простой, нежели рас¬
сматриваемый в курсах алгебры.
Пусть
значим
надо вычислить
\/13.
Он
с
заключается
дробью,
между 3
обо¬
которую
через х.
Итак,
j/13=~3 +
#, откуда 13
—
9
-j- бх -J— х*.
75
Квадрат
дроби х есть малая дробь, которою
приближении можно пренебречь; тогда имеем:
13
=
9
\/13
=
откуда 6х
значение
32/з *-{- у,
первом
2
-J- 6я,
4
—
|/13
Значит, приближенно
определить
в
=
ж
■—
Отсюда 13
мы
напишем
дробь,
121
0,67.
=
Если
3*67.
небольшая
—
=
корня еще точнее,
где у
или отрицательная.
и
положительная
22
•
Отбро-
-J-
=
хотим
уравнение
2
сив
у*}
находим, что д/
приближенно
—
равен
^ ——0,06.
Следовательно, во втором приближении Vl3
—0*06=3,61. Третье приближение находим тем
=
3,67—
же прие¬
мом и т. д.
Обычным,
мы
указываемым
V13
бы
нашли
с
Итак,
ность
до
УГОЛ ПО СИНУСУ
мы имеем возможность вычислить
0°
от
алгебры способом
0,01—также 3,61.)
курсах
точностью
НАЙТИ
угла
в
до
90°
в готовой
числений
мы
двумя десятичными
с
таблице
отпадает; для
можем
всегда
сами
синус любого
Надоб¬
знаками.
приближенных
составить
ее,
если
вы¬
по¬
желаем.
Но
уметь
Это
для
и
тоже
решения
обратно
не
—
тригонометрических
вычислять
сложно.
углы
по
Пусть требуется
которого=0,38. Так
данному синусу.
найти угол, синус
данный синус меньше 0,5, то
30°. Но он больше 15°, так как
0,26. Чтобы
найти
заключающийся
промежутке между 15°
как
объяснено на стр. 74:
паем,
в
0,38—0,26
0,12
=
0,12
рщ
—
0,016
76
нужно
как
искомый угол меньше
sin 15°, мы знаем, равен
15°
задач
+ 7,5°
/,э
=
22,5®.
и
этот
30°,
угол,
посту¬
Итак,
искомый угол
Другой
=
22,5°.
около
пример: найти угол, синус которого 0,62.
0,62—0,50=0,12
0Д2
0,014
30°
Искомый
8,6
+ 8,6°
Наконец, третий
угол
и
0,71
между
лежит
в
1,
и
то
А,
если
38,6е.
равен
заклю¬
искомый
промежутке между 45°
90°. На черт. 69 ВС
угла
38,6°
найти
пример:
угол, синус которого 0,91.
Так как данный синус
чается
=
приближенно
угол
*
есть
синус
ЛВ=\. Зная ВС,
легко
найти синус угла В.
AC^1—~BC^=1—09V=^
=1—0,83=0,17,
АС—
Теперь
уЧЦ7~ =0,42.
найдем
величину
0,42;
синус которого
легко будет найти
угол
заключается
В,
Черт. 69.
этого
А, равный 90°—В. Так как 0,42
и 0,5, то угол В лежит в про¬
0,26
между
межутке между 15°
угла
после
и
30°. Он определяется
так:
0,42—0,26=0,16
0,16
0>014
в
И, значит, угол А
Мы
вполне
ближенно
умеем
с
лО
-J
AU
—15°+ 10°
—
90°
—
В
=
=
90°
25°.
—
25°
вооружены теперь для
решать
находить
точностью,
_
“
=
65°.
того, чтобы при¬
тригонометрические задачи,
синусы
достаточной
по
углам
и
углы
для походных
по
так
как
синусам
целей.
7/
Но достаточно ли
Разве не понадобятся
—
что
ряде примеров,
можно
трии
для
и
тригонометрические
д.? Сейчас
упрощенной
т.
нашей
обойтись одним
вполне
синуса?
только
одного
нам остальные
тангенс
косинус,
функции
этого
для
только
покажем
на
тригономе-»
синусом.
ВЫСОТА СОЛНЦА
Задача № 22
Тень ВС
4,2
м,
(черт. 70)
имеет
6,5
м
от
длины.
отвесного
шеста
Какова
этот
в
солнца
т. е.
как
АВ,
момент высота
над
горизонтом,
велик
ре
высотою
угол
с?
ш е н и е
Легко сообразить,
что
синус угла О равен
IЛоЛС^УаВ2 +всг
]/4,2?-р6,52 7,74. По-
=
=
=
этому искомый синус равен
Черт. 70.
=
способу
ранее
Высота солнца
находим
—
33°
^с
0,55. По
соответствующий
точностью
РАССТОЯНИЕ
указанному
угол:
33°.
до
ДО ОСТРОВА
Задача № 23
Бродя
тили
его
на
(буссолью) возле озера, вы заме¬
(черт. 71) островок А и желаете определить
компасом
расстояние
деляете
нием
78
с
нем
по
север
от точки
компасу,
—
юг
В
на
берегу. Для
какой угол
(NS)
этого вы опре¬
составляет с направле¬
прямая ВА. Затем измеряете пря-
мую
ВС
линию
и
определяете угол между
N8.
и
нею
С для прямой А С
Наконец,
что
вы
Допустим,
получили следующие данные:
направление ВА отклоняется от NS к востоку на 52°
то
же
„
самое
в точке
делаете
ВС
„
„
„
СА
„
„
„
Длина ВС— 187 м.
Как по этим данным
„
„
110°
27°
„
западу
„
вычислить
расстояние ВА?
Решение
В треугольнике ABC нам из¬
сторона ВС Угол ABC—
вестна
-=110°
—
52°
=
58°;
—180°—110°—27=43°.
в
этом
АСВ
угол
треугольнике
высоту ВВ. Sin C=sin
=
Опустим
(черт. 72)
43°=^.
Найдя sin 43°, получаем 0,68,
127.
Значит, ВТ) —187 X 0,68
Черт. 71
=
Теперь
в
треугольнике ABD
угол Л==180о-Ч58о+43оН79°,
—11°. Синус 11°
мы
можем
AJ)
и
нам
известен
угол АВВ
вычислить:
=
он
С другой стороны,
Следовательно,-jg —0,19.
72.
и
катет
В В;
90°-79°=
равен
по
0,19,
теореме
Пифагора:
АВ2
Подставляя
вместо
Шг
т
АВ\
АВ—0,19 АВ,
а
вместо
BI)—127,
имеем:
АВ2
—
1272~f- (0,19 АВ2)2.
откуда АВ —128.
Итак,
искомое
Читатель
рону А С,
расстояние
не
если
до
острова
затруднится, думаю,
бы это понадобилось*
около
128
вычислить
м.
и
сто»
79
ШИРИНА ОЗЕРА
Задача № 24
Чтобы определить ширину АВ озера (черт. 73),
по
нашли
на
21°,
а
АС— 35
вы
компасу, что прямая АС уклоняется к западу
ВС
к
востоку на 22°. Длина ВС— 68 м
—
м.
Вычислить
по
этим
ширину озера
данным
Чррт. 73.
Черт> 74.
'ешение
В треугольнике ABC
его
заключающих
нам
сторон—68
известны
м и
35
м.
угол 43°
и
длины
Опускаем (черт. 74)
AD
высоту
имеем:
sin
43°,
0,68 X 35
этого,
—
AD;
—
и
sin
43°=^. Вычислим, независимо от
24. Затем
(Ш* = АС*
=
вычисляем
AD*
CD
BD
Теперь
из
ВС
АВ*
=
—
CD
80
352
—
242
Тт -f ВБ*
искомая
=
649;
25,5;
=
АВ
Итак,
=
=
CD:
68
25,5
ABD
имеем:
треугольника
=
^=0,68, AD—
0,68. Значит,
получаем
—
=242
=
—
+ 42,52
42,5.
=2 380;
49.
ширина озера около 49 м.
в треугольнике ЛВС нужно было вычислить
50, поступаем далее
два
угла, то, найдя АВ
другие
Если бы
и
—
так:
sin В
=
=
~
=
0,49;
Третий угол С найдем,
29°
и
43°;
из
29°.
180° сумму углов
что в
рассматриваемом случае реше¬
(по двум сторонам и углу между ними)
острый, а тупой. Если, например, в тре¬
треугольника
данный угол
не
ABC
угольнике
известны
стороны,
элементов
AD
ходят
из
АВ
(черт. 75)
угол А
тупой
и две
75.
Черт.
и
вычитая
=
равен 108°.
он
Может случиться,
ния
отсюда В
Черт.
76.
АС, то ход вычисления остальных
Опустив высоту BD, определяют
треугольника BDA; затем, зная DA-\~ АС,
ВС
и
таков.
и
sin
его
BD
на-
jSD
С,
вычислив
отношение-^-.
ТРЕУГОЛЬНЫЙ
УЧАСТОК
Задача № 25
Во время экскурсии
треугольного
и
54
шагам.
участка
вы
и
Каковы углы
6—Занимательная геометрия.
измерили шагамп стороны
нашли, что они равны 43, 60
этого
треугольника?
81
Решение
Это—наиболее сложный
случай
решения треугольника:
трем сторонам. Однако и с ним можно справиться, не
обращаясь к другим функциям, кроме синуса.
Опустив (черт. 76) высоту BD на длиннейшую сто¬
по
рону А С,
имеем:
BD2
=
432 —3G)2
BD2
=
542
—
J9C2,
откуда:
432
DC2
НоШ* —AD*
_
jjf
3^2
—
542
—
542
=
_
_
Зн*
432
=
Ю70.
(DC-\-AD) (DC—AD)
=
=
60
(DC—AD).
Следовательно;
60
Из
(DC
—
ЛD)
уравнений
DC AD
двух
—
=
=
1070
17,8
и
и
DC—AD
DC + AD
—
=
17,8.
60
получаем
2DC
Теперь
легко
=
77,8,
вычислить
DD
=
т.
e.
DC = 38,9.
высоту:
V 54*
—38,9*
=
37,4,
откуда находим
sin
yl==|J==^== 0,87;
sin С
=
Третий угол В
Если бы мы в
таблиц,
то
82
по
всем
получили бы
=
=.
180
—
данном
правилам
углы,
-4
0,69; О
(4 -f~ С)
случае
= около
60°.
=
44°.
==
около
76°.
вычисляли
„настоящей"
выраженные
в
помощью
тригонометрии,
градусах
и
мину¬
Но
тах.
как
эти
минуты были бы заведомо ошибочны,
измеренные шагами,
2—3%. Значит, чтобы
стороны,
ность
не
самого
менее
себя,
к
нас
которому
мам.
здесь
не
погреш¬
обманывать
следовало бы полученные точные величины
углов округлить,
И тогда у
так
заключают
мы
по
крайней мере,
получился
пришли,
бы
тот
прибегнув
до целых
же
к
самый
градусов.
результат,
упрощенным прие¬
Польза нашей „походной" тригонометрии выступает
очень
наглядно.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ГЕОМЕТРИЯ В ОТКРЫТОМ ПОЛЕ
ВИДИМЫЕ РАЗМЕРЫ ЛУНЫ
Какой
величины
ответы
от
на
этот
Не
Хотя
в
людей, не
Луна
ское
Не здешний
о
чающие
„с
т.
тарелку",
п.
—
Луны
крестьянина.
яблоко",
„с человече¬
неопреде¬
оценки, свидетельствующие
не отдают себе отчета в
существе вопроса.
может
о
ответ
на
столь,
бы, обыденный
„кажущейся",
величине
кто
двумя
нашему глазу
от
триваемого предмета; угол
ния", или ^угловой величиной
щуюся величину
Луны
тарелки,
либо вовсе лишены
что
речь
именно
того
прямыми
крайних
предмета".
линиями,
точек
называется
соб¬
„видимой"
подозревает,
некоторого угла,
составляется
к
или
—
этот
размерами
казалось
дать лишь тот, кто ясно понимает, что,
который
проведенными
84
то,
лишь о том, что отве¬
идет здесь
с
я
большинство
крайне смутные,
это
ственно, надо разуметь под
величиной предмета. Мало
угла,
„с
однако
здешние,
этого наивного ответа
лучше
и
Правильный
вопрос
небе?
издалеча.
я,
мы
кажущихся размерах
многим
лицо"
ведь
все
мире
подлунном
величиною
ленные
на
различные
вопрос. Самый неожиданный услышал
знаю.
сообщает
что
слышать весьма
крестьянина:
одного
—
полный месяц
вам
кажется
От разных людей приходится
рассма¬
„углом зре¬
И когда кажу*
небе оценивают, сравнивая ее
яблока и т. п., то такие ответы
на
смысла,
либо же должны
означать
Луна
что
видна на небе под тем же углом
Ht> такое указание
тарелка или яблоко.
недостаточно:
или
тарелку
яблоко
мы
видим
самыми
различными углами, в зависимости
вблизи
под большими углами, вдали
—
ления:
шими. Чтобы
какого
с
указать,
внести
сматриваются
Расстояние
это
обычно думают.
им
слоняете
Луну,
но
ходите
от
него
под мень¬
необходимо еще
или
яблоко рас¬
чем
гораздо большим,
в
вытянутой
руке,
вы
за¬
и
от¬
посте¬
покроет как раз
не
лунный
диск:
положении
в этом
вас
для
яб¬
Черт. 77. Углы зрения.
будут
Луна
и
яблока, вы убедитесь, что
Вот как далеко надо ото¬
глаза до
от
оно
примерно 10 м.
себя яблоко, чтобы
равно
от
двинуть
Измерив
одинаковую видимую величину.
расстояние
лось
отда¬
дальше, пока
все
полный
иметь
их
Подвесьте
нитке
локо
—
под
ведь
обширную
и
на
оно
яблоко
от
себе еще
только
яблоко
пенно
оказывается
Держа
не
неба.
часть
определенность,
расстояния тарелка
как
зрения,
само по
вашего
одинаковой
величины
пришлось бы удалить
с
оно
Луною
метров
действительно каза¬
на небе! А тарелку
30,
на
т.
е.
на
полсотни
шагов.
Сказанное
шит
об
этом
текает из
зрения
в
кажется
впервые,
того,
всего
обиходной
что
лишь
жизни
это
между тем,
почти
никогда
не
имеют очень
вление
1°,
величине
слы¬
неоспоримо
и вы¬
Луна усматривается нами
в полградуса.
Оценивать
тому большинство людей
о
кто
невероятным каждому,
—
угла
в
в
2°,
в
5°
углом
углы нам
под
приходится,
и
по*
смутное предста¬
небольшое
и т. п.
85
число
и
{не
градусов
землемерах,
на
других специалистах, привыкших
углы). Только
большие
их
сравнить
со
знакомы
часов; всем, конечно,
в
120°,
150°,
в.
что
или
догадываемся
углами между стрелками
90°,
в
углы
настолько
60°,
в
видеть
привыкли
часа, в 2 ч,, в 1
30°,
в
ч.),
ч,, в 4 ч., в 5
различая цифр, угадываем время по вели¬
между стрелками. Но мелкие и отдаленные
угла
предметы
более
мы
не
даже,
чине
мы
которые
циферблате (в 3
на
нам
знакомыми
чертежниках
практике измерять
углы оцениваем
особенно
если
правдоподобно,
менее
и
о
говорю
обычно под гораздо
мы видим
потому
совершенно
не
даже
умеем
меньшим
углом,
приблизительно
оценивать углы зрения.
УГОЛ ЗРЕНИЯ
Желая привести наглядный пример угла в
дус, рассчитаем, как далеко должен отойти от
век
(1,7 м),
среднего роста
чтобы
казаться
нужно
радиус круга,
в
рого
Черт.
1,7
78.
м
дуга,
лых
и
центральных
углов
разница
ничтожна). Рассуждаем
хорды
равна 1,7
м,
то
полная
1°
а
хорда,
между
так:
вычислить
кото¬
дуга
имеет
(строго
окружность,
задачу
геометрии, скажем,
нам
что
чело¬
таким
под
Переводя
углом.
на язык
гра¬
один
нас
длину
говоря,
не
но для
ма¬
длиною
если
дуга
дуги
в
1°
содержащая 360°,
2
будет
иметь
меньше,
т.
длину
е.
1,7X360
610 м, радиус
равен:
610:
86
=
—
у
98
м.
же в
6-у-
раза
Итак,
отойдет
в
углом
кажется
Человек
от
дится
—
вдвое дальше
1°
если
-у;
подойдет
Не трудно
360
:
=
57
усматриваем
стояния в 57
стояния,
запомним
чтобы
жить
ного
мы
км
все
1
надо
и
т. д.
—
9X57
—
в
50 м,
то
что
палка
углом
1°
в
в
на
1
м
угол
чем
его
таким же
поперечник.
расчеты, относящиеся
если
желаем
яблоко
9
в
углом
с
рас¬
с
рас¬
Если
быстро и просто
к
угловой вели¬
сможем
то
длины
расстоянии
—
57,
он
виден под
—
отодвинуть
видеть
будет
он
нахо¬
Если
расстояния 57 см, 1 км
вообще, всякий предмет
с
см
если
м.
п.
также,
Например,
предмета.
далеко
—
небольшим метров. Под
с
этот число
производить
чине
т.
57 раз большего,
в
м
расстояния
нам под
представляться
-у-
200
до
и
вычислить
1°,
в
углом
расстоянии 100
на
зрения возрастет до 2°
должна
под
в
примерно,
нас,
определить,
см
как
поперечником,
углом 1°, то достаточно умно¬
получим 510 см, или около 5 м; с двой¬
его
расстояния
под
усматривается под вдвое
оно
меньшим
1°
углом—2~,
Таким
т.
же
е.
кажется
образом
для
вычислить то расстояние,
наковых размеров с
величиною
любого
с
предмета
на котором
лунный
Луну.
он
можем мы
кажется оди¬
диском.
ТАРЕЛКА И ЛУНА
Задача № 26
На
в
Луна
расстояние надо удалить тарелку диаметром
чтобы она казалась такой же величины, как
какое
25 см,
на
небе?
Решение
25X57X2
=
28
м.
87
ЛУНА И МЕДНЫЕ МОНЕТЫ
Задача № 27
Сделайте
32
мм)
и
же
расчет для 5-копеечной
2-копеечной монеты (24 мм).
для
Рё
ш е н и е
0,032X57X2
0,024X57X2
Если
вам
кажется
вляется
С
глазу
расстояния 4
стояния 80 см,
протйв
И, как
ни
3,6
2,7
м,
м.
Луна
что
невероятным,
предста¬
крупнее, чем 2 копеечная монета
шагов или обыкновенный карандаш с рас¬
—
-
карандаш в вытянутой руке
Луны: он с избытком закроет ее.
держите
наиболее
странно,
Луны
для
не
является
=
=
не
диска полной
сравнения
(диаметр
тот
в
яблоко,
не
тарелка,
подходящим
смысле
предметом
кажущихся
размеров
даже не вишня, а горо¬
шина или, еще лучше, головка спички, которую мы рас*
руках! Сравнение
сматриваем в
предполагает удаление
стояние;
яблоко
обеденном
крупнее,
в
столе
чем
их
наших:
мы
лунный
на
с
руках
видим
тарелкой
необычайно
или
в
десять
-
(„расстояние
1°
лунный
что
большинства
пытнейших
ляется
пают
88
на
от
темном
среди
двадцать
раз
зрения"),
диск
обманчиво
25
мы
видим
см
от
глаза
действительно
Луною
размеров.
вырастает в глазах
любо¬
людей в 10—20 раз, есть один
обманов зрения. Он зависит, надо думать,
больше
всего
нашем
диск. И только спичечную головку,
т. е. одинаковых с
под углом в
-тр
То,
яблоком
на
тарелку
которую мы разглядываем на расстоянии
ясного
или
большое рас¬
яркости
Луны:
полный
месяц выде¬
фоне неба гораздо резче,
окружающей
обстановки
чем
тарелки,
высту¬
яблоки,
и
монеты
вается
иные
нам с
Иллюзия
предметы сравнения.
такой
навязы¬
неотразимой принудительностью,
что
подда¬
отличающиеся верном глазом,
художники,
ются ей на ряду с прочими людьми и изображают на
своих картинах полный месяц гораздо крупнее, чем сле¬
довало бы. Достаточно сравнить ландшафт, написанный
даже
с
художником,
Сказанное
фотографическим, чтобы убедиться
относится
и
Солнцу,
к
и
его
удаление
от
нас
видим
1°
с Земли под тем же углом в
речник солнечного шара
которое
в этом.
мы
-j-:
хотя
попе¬
истинный
400 раз больше лунного,
больше в 400 раз.
в
но
также
СЕНСАЦИОННЫЕ ФОТОГРАФИИ
Чтобы
пояснить
важное
понятие
угла зрения,
откло¬
нимся немного от нашей прямой темы
геометрия в от¬
и приведем несколько примеров из обла¬
крытом поле
сти кинематографии и
—
—
фотографии.
На экране
тографа
видели
фы,
кинема¬
вы,
конечно,
такие катастро¬
как
столкновение
или такие
поездов,
как
сцены,
вероятные
автомобиль, едущий
морскому
не
думает,
фотографии
получены?
Секрет
циями.
в
На
Черт. 79.
подобные
сняты
посредственно
по
Никто
дну.
что
не¬
с
не¬
натуры.
Но
каким
же
способом
они
раскрывается приложенными здесь иллюстра¬
черт. 79 вы видите игрушечные поезда
игрушечной обстановке;
на
черт.
80—игрушечный
авто89
мобидь, который везут
и
есть
„натура",
та
на
нитке
которой
с
фическая лента. Но почему
снимки
нами
на
экране,
подлинные
мы
в
и
таком
случае, видя
будто
иллюзии,
автомобиль?
Ведь
эти
перед
вот
здесь,
заметили бы их
мы
на
же
поддаемся
поезда
аквариума. Это
была кинематогра¬
позади
снята
миниатюрные
сразу
иллюстрациях
размеры, даже если бы и не могли сравнить их с вели¬
чиной других предметов. Причина проста: игрушечные
поезда и автомобиль сняты для экрана с очень близкого
расстояния; поэтому они представляются зрителю, при¬
мерно, под тем же углом зрения, под каким мы видим
обычно настоящие ва¬
В
автомобили.
и
гоны
и
этом
весь
секрет
иллюзии.
Рис. 81 представляет
собою
другой образчик
основанный
иллюзии,
на том же принципе. Вы
на
видите
ный
Черт. 80.
плане
—
ство
это
чудовище,
необычный
что
иное,
срисованный
как
гигантскими
с
а на
переднем
имеющее, однако, сход¬
безобидными
нашими
столь
сходные
древ¬
геологических
огромные водяные капли,
исполинское
с
не
них
на
мхами,
на
деревья,
причудливые
—
стран¬
напоми¬
нающий природу
нейших
эпох:
нем
ландшафт,
мокрицами.
Несмотря
вид, рисунок исполнен с натуры:
небольшой уголок леса, только
под необычным углом зрения.
Мы никогда
не видим стеблей мха, капель воды, мокрицы и т. п. под
столь большим углом зрения,
нам
мы
90
таким
чуждым,
—
и
незнакомым.
оттого
Это
—
рисунок
кажется
ландшафт, какой
видели бы, если бы уменьшились до размеров муравья.
Черт. 81. Загадочный ландшафт, воспроизведенный
с
натуры,
Так
для
поступают иногда
же
сенсационных
однажды заметка
щена была
изготовления
фотографий. В ньюиоркской
с
упреками
мнимых
газете
поме¬
nQ адресу
го¬
родского самоуправления, допускающего, чтобы на ули¬
цах
мировой
столицы
скоплялись
В подтверждение прилагался
огромные горы
снимок
одной
впечатление
производящий внушительное
поверку оказалось, что натурой
снега.
из таких
гор,
(черт. 82). На
для фотографии послужил
небольшой снежный бугорок, снятый шутником-фотографом с весьма близкого расстояния, т. е. под необычно
большим углом зрения
Черт.
(черт. 83).
82.
В другой раз
рокой расселины
Черт.
та
в
же
83.
газета
скале
воспроизвела снимок ши¬
близ города; она служила, по
обширное подземелье, где пропала
без эести группа неосторожных туристов, отважившихся
словам газеты,- входом в
проникнуть
в
снаряженный
Отряд добровольцев,
заблудившихся, обнаружил, что
грот для исследования.
на
розыски
расселина сфотографирована
в
92
с... едва
обледенелой стене, трещины
в
заметной трещины
сантиметр
шириною!
ЖИВОЙ УГЛОМЕР
Изготовить
самому
угломерный
особенно трудно. Но
устройства
мер не всегда бывает под рукою
не
прогулки. В
того
таких
„живого
случаях
во
время загородной
можно пользоваться
угломера", который
услугами
всегда при нас.
собственные пальцы. Чтобы
наши
прибор простого
самодельный угло¬
и
пользоваться
приблизительной
Это
—
ими для
лишь
оценки углов зрения, нужно
про¬
извести предварительно несколько измерений и расчетов.
Прежде
всего, надо установить, иод
каким
углом зре¬
своей
ноготьуказательного пальца
вытянутой
1 см, а расстояние
руки. Обычная ширина ногтя
глаза в таком положении
около 60 см; поэтому
ния видим мы
вперёд
его
от
мы
—
—
видим
потому
в
его,
что
примерно, под углом
угол
в
57 см). У подростков
так
что
ные
от
1°;
если
убедиться,
для
при
но и
менее,
расстоянии
рука короче,
тот
примерно,
же
—
1°.
не полагаясь на книж¬
если,
сделает,
данные, выполнит
чет, чтобы
ноготь меньше,
для них,
угол зрения
Читатель хорошо
1° (немного
в
1° получился бы
себя
это
не слишком ли
уклонение велико, надо
измерение
и
рас¬
отступает результат
другой
испытать
палец,
Зная это, вы располагаете сдособом оценивать малые
буквально голыми руками. Каждый отдален¬
который как раз покрывается ногтем ука¬
пальца вытянутой руки, виден вами под углом
углы зрения
ный предмет,
зательного
в
1°
и, следовательно,
поперечника.
значит
—
Если
угловая
отодвинут в
ноготь
114
под
своих
углом
в
Уа°
и,
поперечников;
измерение, выполненное
дальше своего
покрывает половину предмета,
величина
28 поперечникам.
Полная Луна покрывает
видна
57 раз
его
2°,
только
значит,
вот
а
половину ногтя,
отстоит
ценное
буквально
расстояние равно
от
нас
т. е.
на
астрономическое
голыми
руками!
93
углов побольше воспользуйтесь ногтевым суста¬
большого пальца, держа его согнутым на
вытянутой руке. У взрослого человека длина (заметьте:
Для
вом
вашего
ширина)
длина, а не
стояние
Легко
от
положении
—
З1/2
около
—
а
около
55
рас¬
см.
что
угловая величина его в таком
равняться 4°. Это дает средство оце¬
должна
4°,
в
углы зрения
Сюда
сустава
вытянутой руке,
при
глаза,
рассчитать,
нивать
этого
а значит
—
и
в
8°.
надо присоединить еще два угла, которые мо¬
гут быть измерены пальцами,—именно те, под которыми
нам
1)
ными возможно
также
первый
что
второй 15—16°.
Заодно укажем
прямые
наибольшей
в
раздвинутыми
вычислить,
вытянутой
руке
промежутки:
и
указательным пальцами, расставлен¬
шире; 2) между большим и указательным,
между средним
сти
на
представляются
угол
степени.
равен,
Не трудно
примерно,
7—8°,
т&кже
углы,
способ проводить на местно¬
пользуясь лишь своим собственным
телом.
Если
вам
пендикуляр
чивая
в
ту
данному направлению,
пока
сторону,
куда
(т.
е.
руки, поверните
если
когда
правым,
94
на него
протягиваете руку
к
провести перпендикуляр.
большой палец своей вытя¬
нему голову
и
заметьте,
какой
п.—покрывается большим
смотреть соответствующим глазом
и т.
когда вытянута правая рука,
остается
и
левым
—
лишь
вы
отметить
на
земле прямую линию
к
стояли,
замеченному предмету,— это
искомый перпендикуляр. Способ, как будто не
места,
где
будет
обещающий
и
эту точку,
повора¬
левая).
Вам
от
це
желаете
предмет—камешек, кустик
пальцем,
вы,
свободно
головы,
Сделав это, приподнимите
нутой
то став на
направлении данной линии,
в
лицом
нужно провести черёз некоторую точку пер¬
к
хороших
результатов,
но
после
недолгих
упражнений
1
эккера"
Случаев
гулок
по
вы
вы
легко
какое
от
вытянутой
как
руки,
длина
вагон,
большого
сустава
е.
виден
товарного
который
под
углом
вагона вам
(около 6 м),
известна
то
полобиною
т.
мно¬
представиться
товарный
виден
примерно,
Так
2°.
местности может
вдалеке
вашей
около
настоящего, крестообразного.
ваш живой
угломер во время про¬
открытой
покрывается,
пальца
„живого
применить
Пусть
жество.
этого
ценить услуги
научитесь
ниже
не
находите,
расстояние
него
вас
отделяет:
6X28=170м., или около
того.
Измерение, ко¬
нечно, грубо приближен¬
ное, но все же более на¬
чем
дежное,
ванная
необосно¬
оценка
Черт. 84.
просто
на-глаз.
Далее,
помощью „живого
отсутствии
высоту
всяких
светил
над
угломера"
приспособлений,
горизонтом,
вы
при
можете,
измерять
угловую
удаление звезд
взаимное
градусной мере, видимые размеры огненного пути ме¬
теора и т. п. Наконец, умея без приборов проводить
в
прямые углы на местности, вы
большого участка—по способу,
из
чертежа 84:
прямоугольник
из
опущенных
их оснований
ложении
1
например,
ABCD,
а
также
от
снять
сущность
съемке
длины
выдающихся то^ек
называется
план
которого
озера
не¬
ясна
измеряют
перпендикуляров,
берега,
вершин прямоугольника.
Робинзона уменье
Эккером
при
можете
пользоваться
землемерный прибор
и
расстояния
Словом,
в
по¬
собственными
для проведения на
местности линий под прямым углом.
95
для измерения углов (и ногами
расстояний) могло бы пригодиться для
руками
для
измерения-
самых
разно¬
образных надобностей.
ПОСОХ ЯКОВА
При
углов,
располагать более точным измерителем
сейчас описанный нами природный „живой
желании
нежели
угломер*1, вы можете изготовить себе простой и удобный
прибор, некогда служивший нашим предкам. Это так на¬
зываемый „посох Якова"
прибор, бывший в широком
—
Черт. 85. Посох Якова.
употреблении
у
Черт, 86.
мореплавателей до XVIII
века
до того как его постепенно вытеснили еще
(черт. 85),—
более
удоб¬
угломеры (секстанты).
Он состоит из длинной линейки, в 70—100 см
(черт. 86, АВ), по которой может скользить перпенди¬
кулярный к ней брусок СВ; обе части СО и 0D сколь¬
зящего
бруска равны между собою. Если вы желаете
ные
и
точные
прибора определить угловое расстояние
между звездами 8 и /S', то приставляете к глазу конец А
линейки (где для удобства наблюдения может быть при¬
помощью
96
этого
пластинка)
делана просверленная
и
направляете линейку
конца ее В: затем
так, чтобы звезда 81 была видна у
поперечину CD вдоль линейки до
двигаете
S
звезда
остается
с
лишь
СО,
длину
будет
не
видна
измерить
вычислить
как
раз
конца
у
АО,
расстояние
величину
тригонометрией сообразят,
пор,
С.
зная
Знакомые
искомого
тангенс
пока
Теперь
чтобы,
SAS'.
угла
что
тех
угла
СО
равен
наша
отношению-jg-;
изложенная
этого
в
вы
расчета;
АС,
длину
III,
главе
,
также достаточна для выполнения
по
вычисляете,
затем
тригонометрия
„походная
находите
теореме
Пифагора»
которого
угол, синус
ра-
СО
вен
-jq.
Наконец,
вы можете
узнать искомый угол
графическим путем;
строив треугольник
на
бумаге
ном
в
и
по¬
А СО
о
-В
произволь¬
масштабе,
изме¬
ряете угол А транспор¬
тиром.
Для
чего
же
половина
другая
речины?
На
тот
велик,
так
путем.
Тогда
а
прямую
что
случай,
когда
измеряемый
подвигая поперечину так, чтобы ее конец С
величину угла SAS'
не
(черт. 87).
вычислением
еще при
или
Найти
построением,
ко¬
составит
труда.
Чтобы при каждом измерении
расчета
угол слишком
удается измерить сейчас указанным
звезду S' направляют не линейку АВ,
пришелся в то же время у звезды S
нечно,
37.
попе¬
его не
на
AD,
Черт.
нужна
или
построения,
изготовлении
7*^-*Занимательная
геометрия.
прибора,
не
приходилось делать
выполнить
можно
и
их
заранее,
обозначить результаты
97
на
линейке
АВ\
прочитываете
это
и
есть
тогда,
лишь
на
записываете
показание,
величина
прибор
направив
звезды,
точки
у
вы
О,—
измеряемого угла.
ГРАБЕЛЬНЫЙ УГЛОМЕР
другой прибор для йзмерения
„грабельный угломер"
угловой
действительно, напоминающий по виду грабли. Главная
изготовить
легче
Еще
величины—так называемый
часть
его—дощечка любой формы, у одного
рой укреплена
к
кото¬
ее
отверстие
У противоположного
пластинка;
просверленная
наблюдатель приставляет
края
глазу.
края
дощечки
кают
вты¬
тонких
ряд
бу¬
(употребля е-
лавок
мых
для
коллекций
насекомых,), проме¬
жутки между которы¬
составляют
ми
долю их
от
отверстия
сверленной
Черт. 88. Грабельный
угломер.
57-ю
расстояния
про
пластин¬
ки.
Мы
уже
знаем,
что
при
этом
каждый
промежуток усматри¬
вается
под
в
углом
градус.
один
булавки также следующим
точный результат: на стене
линии
в
отойдя
рассматривают
пластинки:
каждая пара
на
98
стене
одного
расстоянии
от стены
по
эти
булавки
две параллельные
в
булавок
к
отверстие
в
другой
от
метра одну
втыкают
смежных
линии,
чертят
перпендикуляру
линии
Можно разместить
дающим более
приемом,
ней
на
57
и,
м,
просверленной
дощечку
покрывала
так,
чтобы
начерченные
Когда булавки
чтобы
снять,
употребления
и
поставлены, можно некоторые
зрения
с
углы
получить
2°,
в
угломера, конечно,
этого
без объяснений.
в
Помощью
его
большою
довольно
3°,
в
5°.
из них
Способ
понятен читателю
можно
измерять
точностью,
не
углы
меньшей,
1/4°.
чем
ОСТРОТА ВАШЕГО ЗРЕНИЯ
Освоившись
вы
можете
ния,
и
сами
на
как
заполняли
рошо
дите
не
него
до
что
заметите,
в
мил¬
они
на
чертеж
освещенной
от
тех
пока
пор,
линии
хо¬
отхо¬
стене,
уже
не
различаются раздельно, а ели*
ваются в сплошной серый фон.
Измерьте
это
числите—вы
зре¬
измерение.
(черт. 89).
квадрат
этот
рода
дли¬
спичку (5 см)
лиметр толщины, так, чтобы
и
Прикрепив
такого
предмета,
рстрота
бумаги
линий
в
величины
измеряется
выполнить
листе
равных черных
ною
угловой
понятием
теперь понять,
даже
Начертите
20
с
расстояние
Черт. 89.
и вы¬
знаете
как
угол зрения, под которым
перестаете различать полоски в 1 мм толщины. Если
этот угол равен 1
(одной минуте), то острота вашего
зрения нормальная; если трем минутам—острота соста¬
уже
вы
вляет
*/з нормального,
и
т.
д.
Задача № 28
Линии
стоянии
7#
2
черт. 89 сливаются для
мж
Нормальна
ли
у
вас
вашего
острота
глаза
на
рас¬
зрения?
99
Решение
57 мм
Мы знаем, что с расстояния
виднц
ширины
с
под
расстояния 2000
определяется
из
Iе,
углом
мм
она
видна
полоска
60'.
е.
т.
в 1 мм
Следовательно,
углом х, который
под
пропорции
X :
60=57
:
2 000,
*=1,7.
Острота
зрения
нормальной
1,7=около 0,6.
и
ниже
1
;
ПРЕДЕЛЬНАЯ
составляет
МИНУТА
Сейчас мы сказали, что полоски, рассматриваемые под
углом зрения менее одной минуты, перестают разли¬
чаться раздельно нормальным глазом.
всякого
предмета: каковы бы
для
наблюдаемого
ния
чаться
нормальным
объекта,
они
глазом,
если
Это справедливо
ни
видны
1'.
в
едва
различимую
и
формы. Таково свойство нормального
глаза:
одна
очерта¬
перестают
меньше
Каждый
были
под
углом
этом
предмет превращается при
точку,
в
без
пылинку
его
угловая минута—предел
размеров
человеческого
остроты. Чем
обусловлено—вопрос особый, касающийся физики
зиологии
разли¬
зрения. Мы
говорим здесь
же
лишь
о
и
это
фи¬
геоме¬
трической стороне явления.
Это в равной степени относится и к предметам круп¬
ным, но
чересчур далеким, и к близким, но слишком
мелким.
нок,
Мы
не
реющих
в
представляются
хотя
в
не
секомого опять
100
озаряемые
воздухе:
нам
одинаковыми
действительности
форму. Мы
глазом
различаем простым
различаем
потому,
имеют
мелких
формы
пыли¬
лучами солнца,
они
крошечными точками,
разнообразную
подробностей тела на¬
весьма
что видим их под
углом меньше 1ч
По той
на
же
они
лежат
не
причине
поверхности
ниже
Луны,
видим
планет
мы
и
без
других небесных светил;
предела остроты
триваются под углом
меньше
деталей
телескопа
нашего
зрения,
усма¬
1'.
Мир представлялся бы нам совершенно иным, если бы
этой границы естественного зрения не существовало, или
если бы она
была отодвинута далее.
Человек, предел
остроты зрения которого был бы
видел бы
окружающий мир глубже
Очень картинно
у Чехова
глаза
„Зрение у
видел
него
так
описано
в
1',
и
а, например,
дальше,
чем
зо
преимущество
р
*/Л
мы.
к о г о
„Степь".
(Васи) было поразительно острое. Он
что
бурая пустынная степь была для
него
полна
жизни
только вглядеться
или
это
повести
хорошо,
всегда
дрохву
не
в
даль,
Стоило ему
и
содержания.
чтобы увидеть лисицу, зайца,
какое-нибудь
другое
животное, держащее себя
Немудрено увидеть убегающего зайца
летящую дрохву,-—это видел всякий, проезжавший
степью,—но не всякому доступно видеть диких животных
подальше от людей.
или
в
их
домашней жизни, когда
и
не
глядят
встревоженно
по
они
не
бегут,
сторонам.
играющих лисиц, зайцев, умывающихся
А
не
прячутся
Вася
видел
лапками, дрохв,
крылья, стрепетов, выбивающих свои
„точки". Благодаря такой остроте зрения, кроме мира,
Который видели все, у Васи был еще другой мир, свой
расправляющих
собственный, никому недоступный и, вероятно, очень хо¬
роший, потому что, когда он глядел и восхищался, трудно
было не завидовать*, ему".
Странно подумать, что для такой поразительной пере¬
мены
достаточно
с 1' до
72'
или
лишь
около
понизить
предел
Волшебное действие микроскопов
влено тою же
обусло¬
приборов—
и телескопов
самой причиной. Назначение
так изменять ход
различимости
того.,.
этих
лучей рассматриваемого предмета,
чтобы
101
они
в
вступали
более круто расходящимся пучком;
представляется под большим
глаз
благодаря этому, объект
углом зрения. Когда говорят,
увеличивает
мы
100 раз,
в
от
видим
значит,
—3 500 км,
нашему
350°
.
ного глаза
е.
в
30';
в
углом
в
а
что
около
едва
100 раз большим,
пределом остроты зрения,
зрению. Полный месяц
так
как
поперечник
в
.Луны
попереч-
оп
120 км, сливается для невооружен¬
различимую точку. В
трубу же, увели¬
будут уже гораздо
120
*
более мелкие участки с поперечником в
1000-кратным
с
чем
скрыва¬
подробности,
чивающую в 100 раз, неразличимыми
лескоп
их
помощью
каждый участок Луны, имеющий
то
т.
за
или телескоп
микроскоп
тогда
глаза
доступны
под
нике
И
глазом.
простого
становятся
мы
что
это
предметы под углом
видим
невооруженным
ющиеся
то
-
0
^===1,2
км,
увеличением—участок
в
а в те¬
120
м
шириною.
Отсюда
Луне
например, сооружения, как наши крупные
пароходы, мы могли бы их видеть в современ¬
для
обычных
наших
этой особенности
ленный
стает
в
будь
телескопы.1
Правило предельной
и
прочим,
на
такие,
океанские
ные
следует, между
что
на
3 400
повседневных
нашего
(т.
е.
точку.
простым
Поэтому,
глазом
километра,
не
в
своих
своих
узнал лицо
значение
наблюдений. В силу
предмет, уда¬
поперечников, пере¬
очертаниях
кто-нибудь
станет
и
сливается
уверять вас,
что
человека с расстояния четверти
—
верьте ему,
большое
каждый
зрения
57X60)
различаться нами
если
имеет
минуты
разве только
он
обладает
1
При условии полной прозрачности и однородности нашей атмо¬
сферы. В действительности воздух не однороден и не вполне прозра¬
чен; поэтому при больших увеличениях видимая картина
и
искажается.
чениями
и
Это
побуждает
астрономов воздвигать телескопы в ясном воз¬
духе высоких горных вершин,
102
туманится
ставит предел пользованию весьма сильными увели¬
феноменальным зрением. Ведь расстояние между глазами
3 см; значит оба глаза сливаются в точку
уже на расстоянии 3X3400 см, т. е. 100 м. Артиллеристы
человека—всего
(см,
следующую главу, стр. 113)
глазомерной
в
для
если
правилам,
человека
ками,
в
их
кажутся издали двумя раздельными точ¬
то
расстояние до него не превышает 100 шагов
60 —70 м). У нас получилось большее расстояние—
глаза
(т.
оценки расстояния.
этим
пользуются
По
е.
100
м:
это
показывает,
несколько
виду
что
военных
примета
(на 30°/о)
пониженную
имеет
остроту зрения.
Задача № 29
Может
всадника
ли
на
личивающим
человек
с
нормальным зрением различить
расстоянии 10 км, пользуясь биноклем, уве*
в
3
раза?
Решение
2,2м* Фигура его превращается в точку
для простого глаза на расстоянии 2,2X3400=7 км)
на
в
бинокль же, увеличивающий втрое,
расстоянии
21 км. Следовательно, в 10 км его различить в такой
бинокль возможно (если воздух достаточно прозрачен)»
Высота всадника
—
ЛУНА И ЗВЕЗДЫ У ГОРИЗОНТА
Самый невнимательный наблюдатель знает, что
ный месяц,
большую
Разница
верно
так
высоко
облака
велика,
и для
при заходе
для
стоящий
величину,
в
низко
чем
что
у горизонта,
когда
по
небе,—например,
(смотреть
прямо
он
трудно
солнца; известно,
или восходе
на
имеет
как
высоко
висит
ее
не
заметить.
велик
сравнению
с
пол¬
заметно
в
небе.
То
же
солнечный диск
его
размерами
когда он просвечивает сквозь
незатуманенное солнце вредно
глаз).
103
Для
звезд эта особенность
расстояние между ними
проявляется
увеличивается,
в
что
том,
они
когда
при¬
ближаются к горизонту. Кто видел зимою красивое
звездие
низко
и
ной
Ориона (или летом—Лебедя)
близ горизонта,
разницей
светила
к
нам,
это
размеров созвездия
тем
загадочнее,
при восходе
но,
радиуса),
или
легко
понять
поразиться огром¬
обоих положениях.
в
90»
что,
заходе,
напротив, дальше
как
со¬
небе
на
тот не мог не
Черт*
Все
высоко
когда
от нас
из
мы
(на
черт.
величину
90:
на
смотрим
они не только не
в
ближе
земного
зените
мы
из
рассматриваем светило из точки Л, а у горизонта
точек В или С. Почему же луна, солнце и созвездия уве¬
—
личиваются у
горизонта?
Черт. 91- Правая
кажется
заштрихованая
длиннее
половина
левой.
верно",—можно бы ответить.
Это обман зрения. Помощью грабельного или иного
угломера не трудно убедиться, что лунный диск виден
в обоих случаях под одним и тем же углом зрения в */2°.
Пользуясь тем же прибором или посохом Якова, можно
„Потому
илй
не
что
у горизонта.
Значит, увеличение—оптический обман,
которому поддаются
104
и
угловые расстояния между звез¬
меняются, где бы созвездие ни стояло: у зенита
удостовериться,
дами
не
это
что
все
люди
без исключения.
Чем объясняется
столь
зрения? Бесспорного
не
на
всеобщий
и
сильный
ответа
этот
вопрос
стремится разрешить его
времени Птолемея. Иллюзия находится в
что весь небесный свод представляется нам
в
геометрическом смысле слова,
высота
в
которого
Это потому,
правлении
2—3 раза
все
что
по
мы
направлению
к
перед
нами
видим
нам
пустой,
светила
чем
ничем
больше пустых
0°),
относит
Луна
в
стояние,
этот
диск
зените
показано, как
ставляется
второму—
промежуток;
не
ли
всегда на
у горизонта,
лунный
Луна у
90°).
влиять
на
потому
диск всегда
горизонта
Но
одно и то же
нами
и
должна
свода на величину светил
*/2°,—будет
отодвигается
нежели
первому
пространства всегда кажутся
у зенита (на высоте
или
основания.
по
по
заполненный
в разных его частях. На своде неба
высоте
радиуса
в
(черт. 91).
наглядно
виден под углом в
тем,
сегментом,
шаровым
предметы,
форма небесного
приплюснутая
с
полушаром
близ горизонта кажутся
близ зенита.
не
что заполненные
На черт. 92
не
вертикальными:
земные
крупнее,
а известно,
с
сравнению
Черт. 92. Почему
связи
со
горизонтальном на¬
нему оцениваются нами как более
расстояния
близком
и
значительные,
а
меньше
еще
наука
2000 лет,
и
хотя
дала,
обман
глаз
(на
наш
расстояние:
более близкое рас¬
величина его
неодинаковой—внутри одного
пред¬
и того же угла
105
ближе
вершине помещается меньший кружок, чем по¬
нее. На левой
стороне того же чертежа 92-го
показано, как, благодаря этой причине, расстояния между
к
дальше
от
звездами словно растягиваются
с
приближением
их к го¬
ризонту: одинаковые
угловые расстояния между ними
кажутся тогда неодинаковыми.
Здесь есть и другая поучительная сторона. Любуясь
огромным лунным диском близ горизонта, заметили ли
вы
на
лось
нем
вам
Нет. Но
не
не
одну новую черточку,
на
увеличенный
которой не уда¬
стоящей Луны?
диск,—отчего
подробностей? Оттого,
новых
увеличения,
какое
угол
нам
представляется
предмет.
угла помогает нам различать
„увеличение"
например,
дает,
увеличивается
иное
высоко
диске
ведь перед вами
видно
того
хоть
различить
есть
здесь
же
нет
бинокль: здесь
зрения, под которым
Только увеличение этого
новые
просто
совершенно бесполезный.
что
подробности;
обман
всякое
зрения, для
нас
1
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ БЕССМЫСЛИЦА
О видимой
нередко
чем
совершенно
люди,
ворят
о
вестного
их
предметов приходится слышать
бессмысленные утверждения, при
величине
высказывающие, твердо уверены,
чем-то
вполне
советского
ясном, бесспорном. У
беллетриста находим,
что
го¬
одного из¬
например,
такую фразу:
„Была невероятная луна диаметром в аршин".
Коротко и просто.
Видный сельскохозяйственный писатель рассказывает:
„Дело было к вечеру; солнце стояло на горизонте
(над горизонтом?) каких-нибудь 3—4 аршина".
кн.
106
3
Подробнее
2-я, гл. IX.
см.
в книге
того же автора
„Занимательная фивика",
Печальнее
попали
астрономии
Еще
то,
в
удивительнее
что
то,
всего
помещено
носящей
заглавие,
геометрией". Там
в
что
школьные
по
полному
одной
весьма
отсутствию
общепонятной
сходное
приведена
пени
смысла
брошюре,
„Занимательной
с
таблица
следующая
высоте с
по
уменьшения предметов
стояний":
Расстояние
в
образчики аршинной
учебники.
эти
„сте¬
различных рас¬
Степень
метрах
уменьшения
100
2/3
200
1/2
300
1/з
400
1/4
500
1/5
и Т. д.
Пояснительное примечание завершает
„Таким образом,
500
170
человек
170
м
покажется
Таблица,
лидный
смысла,
ростом
расчет—все
в
=
-у-
это
см
„Мартобря
в
знаменитой
имеет
и
дате
86 числа, между днем
с
расстояния
34 см".
вид. А между тем, в том
чем
бессмыслицу:
роста
и
внушительный,
другом
гоголевского
ночью",
со¬
не больше
героя:
ГЛАВА
ПЯТАЯ
ГЕОМЕТРИЯ У
ДОРОГИ
ИСКУССТВО МЕРИТЬ ШАГАМИ
Очутившись
дорожного
во время
загородной прогулки у
полотна или на
железно¬
вы можете выполнить
шоссе,
длину своего
упражнений.
воспользуйтесь шоссе, чтобы измерить
шага и скорость ходьбы, Это даст вам
возможность
измерять
ряд интересных геометрических
Прежде
которое
всего,
расстояние
приобретается
шагами,—искусство,
довольно легко
после
упражнения. Главное здесь—приучить себя
т. е.
усвоить
Затем необходимо научиться
вести
всегда
одинаковой
„мерную*
Считать
вы
не
на этом
шаги
как
одной
Кроме
того,
применением
только
до
если
счета
и
в
считают
счете,
считать
поэтому
числа
произносимые
ставлением
той
руки
на
шагов.
орехи
и
т.
п.,
либо невольно замедлять
шаги
будут
же
ноги,
пальцах.
палец;
и
т.
парами,
что мы¬
—
например
можно
правой.
числа,
досчитав
Когда
этом
загибают
на
до
10,
вторично
все
себе
помочь
Счет пар ведут при
этого
д.
так
совпадать всегда с вы¬
свободны,
10. Досчитав до
руке первый
загибают второй палец,
108
счет
подробнее.
просто,
либо сбиваться
Лучше
сленно
левой
определенную
неудобно: добравшись до длинных наименований*
будете успевать мысленно произносить числа и
начнете
шаги.
делать шаги
походку.
Остановимся
очень
длины,
недолгого
пальцы
этой
будут
руки
т.
загнуты,
е.
левой руки
после
50 пар
шагов,
разгибают
загибают первый палец правойПосле следующего десятка загибают снова первый палец
все
пальцы
и
левой руки, продолжая держать загнутым палец правой,
как отметку об отсчитанных 50 парах.
Загнув последо¬
вательно при дальнейшем счете все цальцы левой руки,
загибают второй палец правой и, освободив пальцы левой,
начинают
можно,
пользоваться
использовав
50X5=250 пар,
Тогда
что
500
счете,
шагов уже
можно
собою
мы
шаге
е.
до
ими
500
Таким образом,
сызнова.
пальцы
начинают счет
отвлекаясь от
сам
т.
все
обеих рук, досчитать до
шагов.
опять,
как
запомнив,
прежде,
пройдено. Напрактиковавшись
научиться
считать
шаги
автоматически,
наблюдения окружающего.
записывается
произносим
гнутыми два пальца
на
пальцах:
в таком
не
Результат словно
если при последнем
„семь"
обнаруживаем у
правой руки и три левой,
и
себя
то
за¬
нами
сделано:
2X504"3Xl0-f- 7—137
т.
274
е.
что
(если
отдельных шага
было раньше
Сосчитать
только нами не
один или несколько
запомнить
не
пар шагов,
раз
по
пройдено
500 шагов,—
трудно).
число
шагов—еще
не
пройденное расстояние. Необходимо
значит
определить
длину одного
100
каждые
через
метров установлен бе¬
такой
лый камень; пройдя
100-метровый промежуток своим
обычным „мерным" шагом и сосчитав число шагов, вы
шага.
На
легко
найдете среднюю
знать
шоссе
длину
своего
шага.
Подобное
измерение следует повторять ежегодно,—например, каждую
весну, потому что длина шага, особенно у молодых людей,
не
остается
Отметим
неизменной.
любопытное
соотношение, обнаруженное
многократными измерениями: средняя длина шагавзрос109
лого
человека
считая
до
равна,
Если,
уровня глаз.
1 м 40 см, то
до
глаз
половине
примерно,
длина
рость
своей
своего шага,
роста
человека
например, рост
его
70
шага—около
при случае проверить это
Интересно
Кроме длины
его
правило.
ско¬
полезно знать также
ходьбы—число километров, проходимых
Иногда пользуются
см.
в час.
для этого следующим правилом: мы
проходим в час столько километров, сколько делаем ша¬
гов в три секунды; например, если
в
мы
секунды
три
Однако
делаем 4 шага, то в час проходим 4 км.
правило
при известной длине шага. Не трудно
определить, при какой именно: обозначив длину шага
это
в
применимо
метрах
лишь
через х, а
число
шагов
в
3
сек. через
п9
имеем
уравнение
=«.1000,
откуда 1200 я=1000, и х—5/б м, т. е. около 80—85 см.
Это сравнительно большой шаг; такие шаги делают люди
высокого роста. Если ваш шаг отличается от 80—85 см,
то
вам
ходьбы
придется произвести измерение
иным
способом, определив
времени проходите
столбами.
вы
по
скорости
часам,
во
(вместо 200).
135
БАШНЯ ГОГОЛЯ
Задача № 36
Интересно
или
поднятия
с
узнать,
возвышением
обычайно
что
наблюдателя
быстро. Так
писавший
в
увеличивается быстрее:
горизонта?
дальность
горизонт
не¬
Гоголь,
времени"
и
нашего
архитектуре
что
возрастает
прочим,
между
думал,
„Об
статье
высота
Многие думают,
следующее:
„Башни огромные, колоссальные, необходимы в горо¬
де... У нас обыкновенно ограничиваются высотой, даю¬
щей
как
на
возможность оглядеть один только
для
необходимо
столицы
полтораста верст
быть, один только
во
или
все
два
стороны,
этажа
по
няется
необыкновенною
прогрессией".
Так
ли
в
мере,
этого, может
все
лишних,—и
Объем кругозора
тем
крайней
и для
няется.
мере
город, между
по
видеть,
возвышения
изме¬
распростра¬
действительности?
Решение
Достаточно взглянуть
дальность
чтобы сразу
стала
на
формулу
горизонта
ясна
=
V2Bh,
неправильность
утверждения,
горизонта" с возвышением наблюдателя
очень
возрастает
быстро. Напротив, дальность горизонта
будто
„объем
растет медленнее, чем высота поднятия: она пропорцио¬
из
нальна квадратному корню
высоты.
Когда
возвыше¬
100 раз, горизонт ото*
10
в
всего
только
двигается
раз дальше; когда высота
в
1000 раз больше, горизонт отодвигается
становится
всего в 31 раз дальше.
Поэтому ошибочно утверждать,
ние
наблюдателя увеличивается
что
„один
только
няется". Если
этажа,
136
к
или
два
этажа
8-этажному
дальность
в
горизонта
дому
лишних,—и
все
изме¬
пристроить еще
возрастет
в
V 10/в»
два
т.
е.
в
1,1 раза
—
всего
10%. Такая прибавка
на
ствуется.
Что же
касается
рой
было бы видеть, „по
можно
раста
проекта сооружения башни,
с
чув¬
кото¬
крайней мере, на полто¬
совершенно несбыточен. Гоголь, ко¬
подозревал, что такая башня должна иметь
верст",
не
нечно,
почти не
то
он
огромную высоту.
Действительно,
из
уравнения
150—
V2M
получаем:
22 500
1502
и
_
<
_
0
~
2R
Самая
сооруженных до недавнего
Эйфелева в б раз ниже этих проекти¬
вышек.
А во времена Гоголя даже и
высокая
времени башен
руемых Гоголем
—
из
всех
—
башни еще
Эйфелевой
9
12 800
не
существовало!
ХОЛМ ПУШКИНА
Задача № 37
Сходную ошибку
рыцаре"
о далеком
делает и
Пушкин,
говоря
горизонте, открывающемся
„гордого холма":
И царь мог
с
высоты
с
весельем
в
с
„Скупом
вершины
озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли...
Мы уже видели
этого
по
„гордого"
этому
способу
Теперь
мы
сколько
холм
можем
местившегося
вышался
скромна была высота
полчища Атиллы не могли бы
(стр. 120),
холма: даже
как
воздвигнуть
выше
холма
завершить расчеты,
4 У2
определив,
м.
на*
расширял горизонт наблюдателя, по¬
его вершине* Глаз такого зрителя воз¬
этот
на
бы над почвой
на
4
-у
-|~
1
-у,
т.
е.
на
6 м,
137
и,
дальность
следовательно,
2 X б 400 X
\/
что
того,
0,006
можно
—
8,8
Это
км.
всего
ровной
на
стоя
видеть
равна была бы
горизонта
4
на
больше
км
земле.
ГДЕ РЕЛЬСЫ СХОДЯТСЯ
Задача № 38
Конечно,
щая
ту
в даль
точку,
рельсовая
где оба рельса,
и
как
наконец,
возможно ли видеть
теперь достаточно знаний,
суживается уходя¬
Но случалось
колея.
другом? Да
с
раз замечали,
вы не
ли вам видеть
встречаются
такую
точку?
друг
У
вас
чтобы решить эту задачу.
Решение
Вспомним,
что
глаза
мального
каждый предмет превращается
в точку
когда виден
тогда,
для нор¬
под углом
1', т. е. когда он удален на 3400 своих поперечников
(см. стр. 100). Ширина рельсовой колеи—1,52 м. Зна¬
в
чит, промежуток между рельсами
на
расстоянии
мы
могли
1,52X3400
проследить
за
=
должен слиться в точку
5,2
Итак,
км:
на
рельсами
если
5,2
протяжении
бы
км,
мы увидели бы, как оба они сходятся в одной точке.
Но на ровной местности горизонт лежит ближе 5,2 км,
Последние комментарии
3 часов 39 минут назад
7 часов 54 минут назад
10 часов 12 минут назад
12 часов 2 минут назад
17 часов 47 минут назад
17 часов 53 минут назад