Сборник задач к курсу «100 уроков математики» [Алексей Владимирович Савватеев] (pdf) читать постранично, страница - 4

прямой, т.е.
оно переводит разные точки в разные, и какова бы ни была точка прямой, найдется точка,
переходящая в нее под действием движения.
Обратное движение для движения 𝐺 — это такое движение 𝐺−1 , что 𝐺 ∘ 𝐺−1 = 𝐺−1 ∘ 𝐺 =
id.
Обращение композиции: (𝐺 ∘ 𝑄)−1 = 𝑄−1 ∘ 𝐺−1 .

Задачи
Введем координату на прямой, отметим там точки с целыми координатами:
. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . . Через 𝑆𝑛 обозначим отражение относительно точки 𝑛, через 𝑇𝑛 —
сдвиг на число 𝑛.
1. Известно, что при некотором преобразовании 𝐺 точка 0 переходит в 2, а 2 — в 3. Может
ли оно быть движением? Каким?
2. Известно, что при некотором преобразовании 𝐺 точка 0 переходит в 3, а 2 — в 1. Может
ли оно быть движением? Каким?
3. Известно, что при некотором преобразовании 𝐺 точка 0 переходит в 2, а при обратном
преобразовании 𝐺−1 точка 3 переходит в −1. Может ли 𝐺 быть движением? Каким?
4. Дано движение 𝐺. Известно, что 𝐺−1 (0) = 1 и при этом у 𝐺−1 нет неподвижных точек.
Чему равно 𝐺?
5. Назовем четностью движения прямой четность количества отражений, с помощью которых это движение может быть выражено. Какова четность следующих движений: 𝑆0 , 𝑇𝑥 ,
𝑇𝑥 ∘ 𝑇𝑦 , 𝑆0 ∘ 𝑇𝑥 , 𝑆0 ∘ 𝑆1 ∘ 𝑇𝑥 ∘ 𝑇𝑦 , 𝑇𝑥−1 , 𝑆9−1 , 𝑆0 ∘ 𝑆1 ∘ · · · ∘ 𝑆𝑛 ?
6. Доказать, что
a) Четность обратного движения 𝐺−1 совпадает с четностью исходного движения 𝐺.
b) Четность композиции движений равна сумме четностей (по модулю 2) компонентов.
c) Четность движения не зависит от его представления в виде композиций каких-либо
движений.

16

|

Урок 6. Движения прямой: классификация

17

|

Урок 7. Движения прямой: таблица композиций

УРОК

7

Движения прямой:
таблица композиций
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 7. Таблица композиций движений прямой.
Конспект: Глава 2, раздел 2.3 Таблица композиций движений прямой.

Справочные сведения
Таблица композиций отражений и сдвигов:
𝑇𝑏
𝑆𝐶

𝑇𝑎
𝑇𝑎+𝑏
𝑆𝐶−𝑎/2

𝑆𝑂
𝑆𝑂+𝑏/2
𝑇2𝑂𝐶

Таблицу композиций следует читать слева наверх, т.е. если в левом столбце стоит
движение 𝐹 , а в верхней строке — движение 𝐺, то в соответствующей ячейке стоит
композиция 𝐹 ∘ 𝐺.

Задачи
Введем координату на прямой, отметим там точки с целыми координатами:
. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . . Через 𝑆𝑛 обозначим отражение относительно точки 𝑛, через 𝑇𝑛 —
сдвиг на число 𝑛.
1. Какое движение получится при композиции
a) 𝑆0 ∘ 𝑆1 ?
b) 𝑆0 ∘ 𝑆1 ∘ 𝑆2 ?
c) 𝑆0 ∘ 𝑆2 ∘ 𝑆1 ?
2. Построить сдвиг на 7 единиц вправо с помощью композиции двух отражений.
3. Каким движением является следующая композиция?
𝑆𝑛 ∘ 𝑆𝑛−1 ∘ · · · ∘ 𝑆1 ∘ 𝑆0 .
Ответ получить в зависимости от четности 𝑛.
4. При каких 𝑛 сдвиг 𝑇𝑛 выражается в виде композиций 𝑆0 и 𝑆1 ?
5. При каких 𝑛 сдвиг 𝑆𝑛 выражается в виде композиций 𝑆0 и 𝑆1 ?
6. Пусть 𝐺 и 𝑄 — два движения прямой, причем 𝐺 ∘ 𝑄 = 𝑄 ∘ 𝐺 и 𝐺 ̸= 𝑄. Какими могут быть
𝐺 и 𝑄?
7. Пусть 𝐺 и 𝑄 — два движения прямой, причем 𝐺 ∘ 𝑄 = id и 𝐺 ̸= 𝑄. Какими могут быть 𝐺 и
𝑄?

18

|

Урок 7. Движения прямой: таблица композиций

8. Вывести равенства 𝑆𝐶 ∘ 𝑇𝑎 = 𝑆𝐶−𝑎/2 и 𝑇𝑏 ∘ 𝑆𝑂 = 𝑆𝑂+𝑏/2 из соотношения 𝑆𝐶 ∘ 𝑆𝑂 = 𝑇2𝑂𝐶
алгебраическим путем.
9. Доказать, что никакая композиция движений 𝑆𝑛 и 𝑇𝑚 с целыми индексами 𝑛, 𝑚 не может
быть равна сдвигу 𝑇𝑥 с нецелым 𝑥 и отражению 𝑆𝑦 с неполуцелым 𝑦.

19

|

Урок 8. Движения окружности: классификация

УРОК

8

Движения окружности:
классификация
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 8. Движения окружжности.
Конспект: Глава 3, раздел 3.1 Движения окружности, раздел 3.2 Группа движений окружности,
теорема Шаля.

Справочные сведения
Чтобы корректно говорить о движениях в криволинейном пространстве, нужно сначала
договориться о метрике на нем. Расстояние (метрика) между двумя точка окружности —
это длина меньшей из дуг данной окружности, соединяющих эти точки. Таким образом,
движение окружности по определению должно сохранять длину дуги, переводя точки
окружности в точки этой же окружности.
В отличие от прямой, на окружности расстояния имеют максимально допустимое значение, а именно, половину длины этой окружности. На максимальном расстоянии находятся диаметрально противоположные точки.
Движения на окружности являются:
• Отражение относительно диаметра (произвольного). Отражение обозначается 𝑆𝑙 ,
где 𝑙 — диаметр. Если на окружности зафиксировано нулевое положение диаметра,
то любой диаметр можно определить через угол наклона относительно нулевого
диаметра (угол откладывается против часовой стрелки). Если диаметр 𝑙 имеет наклон
𝜙 относительно нулевого диаметра (0 6 𝜙 < 𝜋), то отражение относительно данного
диаметра мы также записываем как 𝑆𝜙 .
• Поворот окружности относительно ее центра. Поворот обозначается 𝑅𝜙 , где 𝜙 —
угол поворота относительно центра