Сборник задач к курсу «100 уроков математики» [Алексей Владимирович Савватеев] (pdf) читать постранично

СБОРНИК ЗАДАЧ
К КУРСУ
«100 уроков математики» Алексея Савватеева

Москва, 2021

2

|

АННОТАЦИЯ К СБОРНИКУ

Данный сборник задач может использоваться как приложение к конспекту «Введение в математику» Алексея Савватеева, а также как самостоятельный практикум для
изучения основ математики. Нумерация глав-уроков в сборнике соответствует урокам
онлайн-курса, подготовленного проектом «Дети и наука», а также записям уроков в Филипповской школе.
В каждом уроке даны ссылки на соответствующие видеоуроки и главы и разделы конспекта. Перед блоком задач даны краткие сведения из курса, содержащие необходимые
определения и обозначения.
При составлении задачника было использовано несколько источников, в частности,
задачи видеокурса по «100 урокам математики» проекта «Дети и наука», листки задач
кружка Вечерней математической школы в 179 школе г. Москвы, листки задач для матшкольников из подборки Григория Мерзона.
Сайт проекта: savvateev.xyz
20 июля 2021 г.

4

|

Аннотация к сборнику

5

|

Урок 1. Числа, символы и фигуры

УРОК

1

Числа, символы и фигуры
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 1. Числа, символы, фигуры.
Конспект: Глава 1, разделы 1.1 Запись действий с отрезками, 1.2 Понятие натурального числа,
1.3 Визуальные доказательства. Глава 7, раздел 7.1 Построение рациональных чисел.

Справочные сведения
Операции сложения и умножения мы визуально ассоциируем со смещением по прямой
вправо или влево. Вправо — со знаком +, влево — со знаком −. Смещение на несколько
единиц вправо или влево — это смещение на одноименное число шагов в данном направлении. В итоге операцию сложения или вычитания можно представить как путь по
прямой дороге, который складывается из шагов, равных +1 или −1 в зависимости от
направления.
Умножение задается с помощью прямоугольной сетки на плоскости. Имеем две координатные оси, на которых отложены, как и в одномерном случае, шаги-числа в обе
стороны от точки 𝑂 с соответствующими знаками. Откладываем перемножаемые числа
по обеим осям, получаем прямоугольник, состоящий из единичных квадратов. Число этих
квадратов, т.е. площадь прямоугольника, и есть значение произведения (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1: Произведение 5 · 3.
В том случае, когда умножаются числа, оснащенные знаками, применяется правило
ориентированной площади, т.е. знак выбирается в зависимости от направления оси наблюдателя, для которого порядок множителей всегда соответствует повороту против часовой стрелки (см. рис. 1.2).

Задачи
1. Нанести на прямой метки, соответствующие шагам вправо и влево, считая начальной
точкой 𝑂, а все шаги равновеликими (т.е. каждый шаг равен выбранной единице длины).
Дойти до точки 5, а затем от точки 5 до точки -5. Записать последовательность шагов с
помощью ±1, предполагая, что шаг вправо записывается как +1, шаг влево — как -1.
2. Описать в терминах одномерного путешественника операции сложения: 5 + 3, 8 − 4, 3 − 5,
−2−6. Сколько шагов и в какую сторону он прошел и в каком порядке? Записать в каждом
случае путь с помощью ±1 и расставить скобки, объединяя в них указанные слагаемые.

6

|

Урок 1. Числа, символы и фигуры

Рис. 1.2: произведение 𝑎 · 𝑏.
3. Путь — это последовательность единичных шагов, обозначаемых +1 (шаг вправо) и −1
(шаг влево). Путь может начинаться в любой точке прямой. Записать пути, соответствующие операциям −2 + 7, 10 − 5, 11 − 2 − 4, −8 + 3 + 10.
4. Выберем точку 𝑂 в качестве начала отсчета, затем нанесем на прямую точки, которые
получаются в результате отсчета шагов влево и вправо, т.е. точки ±1, ±2, ±3 и т.д. Назовем
эти точки целыми.
a) В какой точке окажется путешественник, если он стартует в точке −3 и проходит
путь 4 − 1? Изобразить графически.
b) В какой точке окажется путешественник, если он стартует в точке 1 и проходит путь
11 − 4 + 7? Изобразить графически.
5. Два пути назовем эквивалентными, если, стартуя в одной и той же точке, они и закончатся в одной и той же точке. Эквивалентны ли пути −2 + 7, 10 − 5, 11 − 2 − 4, −8 + 3 + 10?
6. Путь 𝑎 назовем обратным к пути 𝑏, если, стартовав там, где путь 𝑏 заканчивается, он
повторяет все шаги пути 𝑏 в обратном порядке и с противоположным знаком (например,
путь 1+1+1−1−1−1 обратен к пути −1−1−1+1+1+1). Построить пути, соответствующие
операциям 5 + 3, 8 − 4, 3 − 5, −2 − 6, построить обратные к ним пути, выразить обратные
пути в виде суммы или разности двух чисел (использовать те же цифры, что у исходного
пути).
7. Изобразить ориентированные площади, соответствующие произведениям 3·5 и 5·3, (−2)·6
и 6 · (−2), (−3) · (−4) и (−4) · (−3)

7

|

Урок 2. Соизмеримость отрезков

УРОК

2

Соизмеримость отрезков
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 2. Соизмеримость и несоизмеримость отрезков.
Конспект: Глава 1, разделы 1.2 Понятие натурального числа, 1.4 Соизмеримость отрезков, алгоритм Евклида.

Справочные сведения
На этот раз у нас