Группы и их графы [И. Гроссман] (pdf) читать постранично

GROUPS
and

THEIR GRAPHS
by
I. GROSSMAN
Albert Leonard Junior High School

and
W. MAGNUS
New York University

RAN DO M H OUSE

The L. W. Singer Company
i

1964

« СОВР ЕМЕННАЯ

МАТЕМАТИКА»

Популярная серия

И. ГРОССМАН, В. МАГНУС

Группы и их графы

Перевод с английского
Г. М. Цукерман
Под редакцией
В. Е, Тараканова

ИЗДАТЕЛЬСТВО

Москва 1971

«МИР»

6

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

брасывая лишь сжатый его план или даже ограничи­
ваясь примерами. Более прочному закреплению ос­
новных понятий способствуют упражнения, немного­
численные, но тщательно подобранные; решение их
принесет читателю большую пользу.
Книга не требует от читателей никаких специаль­
ных знаний, выходящих за пределы программы стар­
ших классов средней школы. Она может быть с инте­
ресом прочитана студентами младших курсов универ­
ситетов, педагогических и технических вузов, а также
использована в работе школьных математических
кружков. Для тех, кто заинтересуется теорией групп
и пожелает подробнее познакомиться с этой прекрас­
ной областью математики, в конце книги приведен
список литературы.
В. Тараканов

ПРЕДИСЛОВИЕ

У школьников обычно складывается впечатление,
что математика занимается исключительно числами
и измерениями. Однако на самом деле математика —
это нечто гораздо большее, чем просто наука для сче­
товодов и кассиров; скорее, она имеет дело с логикой
и качественными связями между понятиями.
Теория групп — один из важных разделов «неко­
личественной» (если можно так сказать) математики.
Хотя понятие группы появилось в математике срав­
нительно недавно, оно оказалось на редкость плодо­
творным. Например, теория групп дала мощные сред­
ства для исследования алгебраических уравнений, гео­
метрических преобразований, а также для решения
ряда задач топологии и теории чисел.
Две особенности теории групп привели к тому, что
создалась традиция откладывать ее изучение на бо­
лее поздние этапы. Первая из них — это высокая сте­
пень абстракции, свойственная теоретико-групповым
понятиям, а умение обращаться с абстрактными по­
нятиями приходит с математической зрелостью. Вто­
рая особенность состоит в том, что теория групп
имеет глубокие связи с другими областями науки,
проследить которые можно лишь тогда, когда уча­
щийся уже знаком с основами этих наук.
В этой книге мы старались изложить теорию
групп в форме, доступной для начинающих читате­
лей. Чтобы обойти трудности, связанные с абстракт­
ным характером понятий, мы прибегли к наглядным
образам — графам групп. При этом абстрактная
группа обрела конкретное представление, отражаю­
щее ее групповую структуру. Конечно, не приходится
рассчитывать, что это обращение к наглядности по­
зволит избежать серьезного изучения теории, без ко­
торого нельзя овладеть основными понятиями в лю­
бой области математики. Мы лишь попытались ма-

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

ксимально использовать наглядность, чтобы лучше
разъяснить смысл некоторых теорем и понятий.
Мы сознаем, что нам далеко не всегда удалось
показать, как понятия теории групп связаны с прак­
тикой. В конечном счете нам пришлось положиться на
внутреннюю привлекательность самой теории. И, разу­
меется, самое главное — это заинтересованность, ко­
торую должен проявить сам читатель.

ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ

Теория групп начала оформляться в качестве са­
мостоятельного раздела математики в конце восем­
надцатого века. В течение первых десятилетий девят­
надцатого века она развивалась медленно и практи­
чески не привлекала к себе внимания. Но затем, около
1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разре­
шимости алгебраических уравнений всего за несколь­
ко лет она совершила гигантский скачок, который
оказал глубокое влияние на развитие всей матема­
тики.
С тех пор основные понятия теории групп стали
детально исследоваться. Постепенно они проникли во
многие разделы математики и нашли применение в
таких различных областях знания, как, например,
квантовая механика, кристаллография и теория уз­
лов.
Эта книга посвящена группам и их графическому
представлению. Наша первая задача — выяснить, что
же такое «группа».
Основная идея дальнейших рассмотрений, прони­
кающая в самую сущность понятия группы, связана
с концепцией структуры. Перед читателем развернет­
ся ряд примеров и пояснений, определений и теорем,
варьирующих одну основную тему — как группы и их
графы представляют и иллюстрируют одну из разно­
видностей математической структуры.
До сих пор мы употребляли слово «группа», не
давая читателю ни малейшего намека на то, что же
оно может означать. Если дать сразу полное фор­
мальное определение, то читатель, вероятно, останет­
ся в таком же недоумении, как и прежде. Поэтому мы

ГЛАВА 1

10

будем развивать понятие группы постепенно и