Задания профильного уровня с ответами
• Краткие теоретические сведения
I /вС Е TEMblY*
• Решение типовых заданий
УД
ЕГЭ
/§
900
ЗАДАНИЙ
С ОТВЕТАМИ
2024
В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина
МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
УДК 373.5:51
ББК 22.1я721
К75
Об а в т о р а х :
В. В. Кочагин — кандидат педагогических наук,
учитель математики ГБОУ
♦Школа № 1568 им. Пабло Неруды» г. Москвы
М. Я. Кочагина — кандидат педагогических наук,
доцент департамента математики и физики
Института цифрового образования ГАОУ ВО МГПУ
К75
Кочагин, Вадим Витальевич.
ЕГЭ 2024. Математика. Сборник заданий: 900 заданий с отве
тами / В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина. — Москва : Эксмо,
2023. — 288 с .— (ЕГЭ. Сборник заданий).
ISBN 978-5-04-185050-0
Книга предназначена для подготовки учащихся к ЕГЭ по математике.
Издание содержит:
• задания профильного уровня;
• краткие теоретические сведения по всем темам;
• решение типовых заданий;
• ответы ко всем заданиям.
Пособие будет полезно учителям математики, так как даёт возможность
эффективно организовать учебный процесс и подготовку к экзамену.
УДК 373.5:51
ББК 22.1я721
ВВЕДЕНИЕ
Эта книга адресована учащимся 10—11 классов для
подготовки к единому государственному экзамену. Ма
териал данного пособия представлен в виде разделов,
соответствующих основным темам школьного курса ма
тематики, присутствующим в ЕГЭ. Для каждой темы
предложены задания части 1 и части 2 профильного
уровня, а также обобщающие контрольные работы. Ко
всем заданиям приведены ответы.
Тренировочные задания позволят учащимся систе
матически, при прохождении каждой темы, готовиться
к этому экзамену. Достаточно будет в 10—11-х классах
решать задания из этого пособия параллельно с темой
по математике, изучаемой на школьных уроках, а в
конце 11-го класса, в качестве повторения, — варианты
ЕГЭ по математике.
Данное пособие может использоваться совместно с
любым учебником алгебры и начал анализа и геометрии
для 10—11-х классов.
Книга также будет полезна учителям м атем ати к и ,
так как дает возможность эффективно организовать под
готовку учащихся к единому государственному экзамену
непосредственно на уроках, в процессе изучения всех
тем. Можно предложить несколько вариантов работы:
— включение заданий тестового характера в систему
заданий для 10—11-х классов вместе со стандартными
упражнениями учебника;
— использование заданий и контрольных работ на
этапе обобщающего повторения по каждой теме или на
3
ВВЕДЕНИЕ
этапе итогового повторения и подготовки к ЕГЭ в кон
це 11-го класса;
— контроль и коррекция знаний учащихся.
В структуре экзаменационной работы выделены две
части, которые различаются по содержанию, форме
записи ответа, степени сложности и числу заданий.
В данном учебном пособии также представлены две
группы заданий. Формы записи ответов для разных за
даний соответствуют формулировкам заданий в ЕГЭ.
Для каждого из заданий части 1 ответом может яв
ляться целое число или число, записанное в виде деся
тичной дроби. Единицы измерений не пишут.
В этом разделе содержатся задания базового уровня по
материалу курса «Алгебра и начала анализа», а также
задания из различных разделов математики с 5-го по
11-й класс.
Задания части 2 требуют развернутого ответа. При
оформлении решений обращают внимание на правиль
ную запись хода решения, наличие обоснований и вер
ный ответ. В эту группу включаются самые сложные
задания по геометрии и алгебре 7—11-х классов повы
шенного и высокого уровней сложности.
Надеемся, что данное пособие поможет учителям ма
тематики эффективно организовать подготовку к ЕГЭ
на своих уроках, а старшеклассникам — систематизи
ровать знания по математике, самостоятельно подгото
виться к экзамену и успешно его сдать.
Теоретические сведения
Ф орм ул ы одного а р гум ен т а
s in 2 а + co s2 а = 1
(1)
sin а
cos а
( 2)
cos а
ctg a = —
s in a
(3 )
tg a =
(4)
1 + tg2a = — \
(5)
1 + ctg2a =
(6)
5
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
Ф орм улы сложения
cos(a - P) = cos a cos p + sin a sin P
(7)
cos(a + P) = cos a cos p - sin a sin p
(8)
sin(a - P) = sin a cos p - cos a sin p
(9)
sin(a + P) = sin a cos P + cos a sin P
(10)
Ф орм ул ы двойного угла
cos 2 a = cos2 a - sin 2 a
(И )
sin 2a = 2 sin a cos a
(12)
* о
2tSa
tg2a = , „ 2
1 - tg2a
(13)
Знаки т р и го н о м етр и ч е ск и х функций
Решение типовых заданий
Каждый год в ЕГЭ встречаются задания на приме
нение формул приведения. Их применяют для преоб
разования выражений вида
cos
6
sin(7i+a); tg(270°+ a ); ctg(360°- a) и т.д.
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Преобразовывать подобные выражения помогает сле
дующее правило: 1) находим четверть, в которой рас
положен угол, и определяем знак функции в этой чет
верти (угол а считаем углом I четверти); 2) меняем
функцию на кофункцию, если аргументом служат углы
(—± a l f — ±al**> или не изменяем функцию, если
U
) 12
J
аргументом служат углы (л ± а), (2л
±
а)...
Задание 1. Упростите выражение c o s ^ ^ - a j.
Решение.
1) Угол ^ - а
лежит в III четверти, где cos а от
рицателен.
Зл
2) Угол — находится на вертикальной
А
оси, поэтому «киваем головой сверху
вниз», отвечая на вопрос: «Меняется
название функции?» — «Да». Поэтому
(Ъ п
Л
получаем cosl —— a I = - sin a.
Ответ: - sin a.
Задание 2. Упростите выражение sin (л - a).
Решение.
1) Угол л - а лежит во II четверти, где sin а по
ложителен.
2) Угол л находится на горизонтальной оси л = 180 ,
поэтому «киваем головой справа налево», отвечая на
вопрос: «Меняется название функции?» — «Нет». По
этому получаем зт (л - a) = sin а.
7
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10 -11 классы)
Задание 3. Упростите выражение tg(90° + a).
Ответ: - c tg a .
Задание 4. Упростите выражение ctg(360°- a).
Ответ: - c tg a .
Рассмотрим более сложные случаи, когда сначала
используется свойство четности тригонометрических
функций (cos a — четная функция, sin a, tg a, ctg a —
нечетные функции), а затем формулы приведения.
Задание 5. Упростите выражение sin (а - л).
Р е ш е н и е . Сравним выражения из заданий 2 и 5.
Чтобы применить формулы приведения, используем не
четность sin t.
sin(a - л) = -sin(7t - a) = - sin a.
Ответ: -sin a .
Задание 6. Упростите выражение cosj^a - —
Решение.
Ответ: -sin a .
Задание 7. Упростите выражение tg(a - 270°).
Решение.
tg(a - 270°) = -tg(270°- a) = -ctg a.
Ответ: - c tg a .
8
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Задание 8. Упростите выражение ctg (а - 360°).
Решение.
ctg(a - 360°) = -ctg(360°- a) = ctg a.
Ответ: ctg a.
Рассмотрим следующую ситуацию, когда, прежде
чем применить формулы приведения, необходимо
уменьшить аргумент, используя свойство периодичнсти
тригонометрических функций (наименьший положи
тельный период sin a, cos а равен 2л, поэтому умень
шать аргумент можно, вычитая из него числа, кратные
2л; наименьший положительный период ctg a, tg a
равен л, поэтому уменьшать аргумент можно, вычитая
из него числа, кратные л).
Задание 9. Упростите выражение
sin(H - a) - 1
Решение.
Когда надо преобразовывать выражения в числителе
и знаменателе, удобно преобразовывать отдельно числи
тель, отдельно знаменатель.
В числителе:
sin
- ctg a =
В знаменателе: sin (л- a ) - 1 = s i n a - 1.
9
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1
классы)
Разделим числитель на знаменатель, получим:
cos а - ctg а
--- :----- :— • Выражения в числителе и знаменателе co
sin a - 1
держат один и тот же аргумент а, поэтому используем
/
,
cosct
формулы одного аргумента (а именно: ctg a = ----- ).
sin a
cos a
cos a - ctg a _ cos a ~~ sin a _ cos a (sin a - l) _
sin a - 1
sin a - 1
sin a (sin a - l)
Ответ: ctg a.
Если сумма (разность) аргументов тригонометриче
ских функций равна
тс;
и т.д., то помогают фор
мулы приведения.
Задание 10. Вычислите: cos2 15° + cos2 75°.
Решение.
Так как 15° + 75° = 90°, то
cos2 15° + cos2 75° = cos2 (90°-75°) + cos2 75° =
= sin2 75° + cos2 75° = 1.
Ответ: 1.
Разобраться в обилии формул тригонометрии часто
помогает сравнение аргументов тригонометрических
функций, входящих в выражение.
Задание 11. Упростите выражение ——
cos 2Р
Решение.
Аргументы числителя и знаменателя отличаются
в 2 раза, значит, применим формулы двойного угла
в числителе.
10
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ
sin4B
----- т:
cos 2p
=
2sin2Bcos2B _ . _0
------ т — ~ = 2 sin 2B.
cos 2P
Ответ: 2sin2J3.
В заданиях на преобразования выражений, содержа
щих степени с натуральными показателями, сначала
применяют формулы сокращенного умножения.
Задание 12. Упростите выражение
sin4a - c o s 4а , 2
^ 2
----=----- ------ tg 2 а • ctg а.
cos а -sin а
Решение.
cos2а - sin2а
-tg2 а • ctg2 а =
^sin2а - cos2а) (sin2а +cos2а)
cos2а - sin2а
- ( t g a c t g a ) 2 = -1 -1 =-2.
Ответ: -2.
Задания для самостоятельного решения
Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом
может являться целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби.
1.
Найдите значение выражения
3sin2 р + 10 + 3cos2 р.
2.
Найдите значение выражения
16 - 6sin2 р - 6cos2 р.
3.
Вычислите: cos2 15° + cos2 75°.
11
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1
4.
Вычислите: cos2 15° - sin2 75°.
5.
Упростите выражение
6.
Вычислите:
5л
( s .i n ----х c o s 2—х )-V3 при х = —
.
классы)
sin4p
-2sin 2p + 0,29.
cos2p
9
l
7.
2
2
6
Зл
Дано: cos р = 0,8 и — < Р < 2л. Найдите: sin р.
2
8. Дано: tgP = — и 180° < Р < 270°. Найдите: cos р.
9. Дано: ctgP = - l —. Найдите: cos2 р.
3
10. Дано: cos а = -0,6, —< а < л; sin р = -0,6, — < р < 2л.
2
2
Найдите: sin(a - Р).
11. Дано: cos a = - 0 ,6 , —< а < л ; sin р = - 0 ,6 , —
arctg2
x
Наименьшая длина n + arctg2 - arctg2 = n.
Ответ: n .
23
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1
классы)
Задание 10. Решите уравнение
l-sin (- x ) •
cosjc-
3 cos2( - * ) = 0.
Р е ш е н и е . Упростим аргумент, используя свойства
четности c o s* и нечетности sin *. Получим:
1 + sinх • cosх - 3 cos2* = 0.
sin2x + cos2x + sinx • cosx - 3 cos2x = 0.
sin2x + sin x • cosx - 2 cos2x = 0.
Получим однородное уравнение 2-й степени, которое
решается делением, например на cos2* .
tg2* + t g * - 2 = 0.
Введем новую переменную a = t g * . Получим, что
t g * = l , t g * = -2.
Ответ:
^7 + л т , т е Z; - arctg 2 + лп, n е Z.
4
Замечание. Уравнения c o s* = -2, sin * = -2 не имеют
решений, а уравнения t g * = -2, c tg * = -2 имеют беско
нечное число решений.
Уравнения
sin2 * + sin * cos *- 2 c o s 2 x = 0
(1)
sin2 * + sin * • cos * = 0
(2)
и
являются однородными, но если уравнение (1) решает
ся с помощью деления (на cos2 *=*()), то уравнение (2)
решается с помощью разложения на множители (иначе
можно потерять корни л т , т е Z), а только затем де
лением (например, на sin *^ 0 ) .
24
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Задания для самостоятельного решения
Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом
может являться целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби.
1.
2.
3.
4.
5.
Укажите наибольший отрицательный корень урав
нения 2sin х + 1 = 0. Ответ запишите в градусах.
Укажите
наименьший
положительный
корень
уравнения V 3 c tg * + 3 = 0. Ответ запишите в градусах.
Найдите наибольший отрицательный корень урав
нения 2>/3t g x - б = 0. Ответ запишите в градусах.
Найдите наименьший положительный корень урав
нения cos(2x) = 0,5. Ответ запишите в градусах.
Укажите наименьший положительный корень урав-
V3
нения эт(4л;) = — . Ответ запишите в градусах.
6.
7.
2
Найдите наибольший отрицательный корень урав
нения cos(2x)cos х - sin(2;c)sin х = 1. Ответ запи
шите в градусах.
Укажите число корней уравнения
sin 200 х cos 199л; - cos 200л; sin 199л; = 0, принад
лежащих промежутку [0; 4л].
8.
Укажите число корней уравнения
tg х • ctg х + cos х = 0, принадлежащих промежут
ку [0; 2л].
9.
Укажите ближайший к 0 корень уравнения
2sin х + 1 = 0. Ответ запишите в градусах.
10. Укажите
ближайший к
^
корень
уравнения
2 со8 л; + >/3 = 0 . Ответ запишите в градусах.
11. Укажите
ближайший к
л
корень
уравнения
sin;t: = — . Ответ запишите в градусах.
2
12. Укажите
ближайший
к
л
корень
уравнения
—3
этл ; = ^-у=. Ответ запишите в градусах.
25
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
13. Укажите число корней уравнения cosx = -
2
ко-
торые лежат в промежутке [0; Зл].
14. Укажите количество корней уравнения tgJC = ->/3,
которые лежат в промежутке [-л; 2л].
15. Укажите число корней уравнения sinx = — на про3
межутке [0; я].
Укажите число
число корней уравнения sinx = — на про16. Укажите
3
межутке [л; 2л].
17. Укажите число корней уравнения tgx = 2 на про
межутке
*
18. Укажите
1
.
ближайший
к
— корень
6
уравнения
cos(4x) = 1. Ответ запишите в градусах.
19. Найдите сумму корней уравнения
сов(л: 4- 2000л) = 0, принадлежащих промежутку
[0; 2л]. Ответ запишите в градусах.
20. Укажите наименьший положительный корень урав
нения tg(2x-10°) = -j=. Ответ запишите в градусах.
21. Решите уравнение cos ( k x ) = 1. В ответе укажите
произведение корней уравнения, принадлежащих
промежутку (1; 6).
22. Решите уравнение вт(лл:) = 1. В ответе укажите
сумму корней уравнения, принадлежащих проме
жутку (1; 6).
26
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ
23. Укажите наименьший положительный корень урав
нения sin(7C -je)-cos^ + jej = - l . Ответ запишите в
градусах.
24. Укажите наименьший положительный корень урав1
COS X —
-2_ = i
V3
sin х - -
= 0. Ответ запишите в градусах.
V2
sm *-_2_ =_ 0
25. Определите число корней уравнения
V2
COSJC + -
из промежутка [0; 2л].
26. Определите число корней уравнения
промежутка [0; 2л].
sinx
= 0 из
tg x
27. Сколько корней имеет уравнение tg x =
к
на промежутке Г * 2.
V 3-2
+2
28. Сколько корней имеет уравнение
cos {^-к- x j - 3 c o s 2 j c = 2 на отрезке
~ К ;
принадлежащий промежутку (0; л). Ответ запиши
те в градусах.
27
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
32. Найдите наибольший отрицательный корень урав
нения c o s* + cos (2х) = 2. Ответ запишите в граду
сах.
33. Укажите наименьший положительный корень урав
нения 2 cos2(ji - х) + 5sin х - 4 = 0. Ответ запиши
те в градусах.
34. Найдите наибольший отрицательный корень урав
нения cos(2*) + 5 cos( - jc) + 3 = 0. Ответ запишите
в градусах.
35. Найдите сумму корней уравнения
sin;e-V3cos;t = 0,
принадлежащих промежутку [-л ; я]. Ответ запи
шите в градусах.
36. Укажите число корней уравнения
принадлежащих промежутку [-я ; 2л].
37. Укажите наименьший положительный корень урав
нения 3cos х + sin(-2jc) = 0. Ответ запишите в гра
дусах.
38. С помощью графиков укажите число корней урав
нения sin(2:c) = х.
39. С помощью графиков укажите число корней урав
нения cos х = 10jc.
sinx
—
1
______т=
2 = 0,
-------
40. Укажите число корней уравнения
7з
CO SJC------------
2
принадлежащих промежутку [-2л; 0].
28
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ
41. Укажите число корней уравнения
6sin2 х + 5sin х cos х + 3cos2 х = 2, принадлежащих
промежутку [-л; 0].
42. Укажите число корней уравнения tg(3:t) = tg х из
5л'
промежутка 0;
43. Решите уравнение 4cos х = х 2 + 4.
.. _
. ( 37л
^ о 2 -.
44. Решите уравнение sin I —— + х \ = Зх +1.
45. Найти наибольший отрицательный корень уравнения:
(2cosх - 1)• yfsinx = 0. Ответ запишите в градусах.
46. Найдите сумму различных корней уравнения
cos х cos(5x) = cos( 6 jc), принадлежащих промежут
ку [0; л]. Ответ запишите в градусах.
47. Укажите число корней уравнения
^>/2
COSJC + —
2
,
=0,
принадлежащих промежутку [0; 2л].
48. Найдите сумму корней уравнения sin(2x)(tg х - 1) = О,
принадлежащих промежутку [0; 2л]. Ответ запи
шите в градусах.
49. Найдите сумму корней уравнения
8т(2лд;) + 6соз(лл:) = 3 + sinfa#), принадлежащих
промежутку [-20; 20].
50. Найдите сумму корней уравнения
соз(2лд:) - Звш(лл:) + 1 = 0, принадлежащих проме
жутку [0; 20].
29
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
51. Решите уравнение х 2 + у2 + cos2 х = 2ху.
52. Решите уравнение
53. Решите уравнение
4 2 х * + 7IX -712 _ Q
yjsinx +1
Vsin х - 1
~
2пх-п2 ~
54. Решите уравнение cos jc-sin х
4х-п
55. Решите уравнение
56. Решите уравнение
57. Решите уравнение
3cos x+cos2 х -1 _ n
tg*^/3
tgx-V3
3cos
jc + cos
_Q
2 x -l
1 2 c tg x -5 _ q
13sinjc-12
13sinjc-12
58. Решите уравнение 12ctg jc-5 _ '
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант
1
Ответом в заданиях этой группы может быть целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби.
1.
Дано: cos а = -0 ,8 и —< а < я. Найдите sin а.
2.
Какое число из промежутка (0; 1,4) не входит в об
ласть определения функции у = tg(ttjc)?
3.
Найдите наименьшее значение функции у = sin х
~к 5я~
на промежутке
2
2
30
6
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ
4.
Укажите наибольшее целое число, не превосходя
щее cos 61°.
5.
Укажите наибольший отрицательный корень урав
нения 2 cos ( tc- ; c) - >/3 = 0. Ответ запишите в гра
дусах.
6.
Найдите
значение
выражения
ctg x = 15, ctgy = -1 3 .
sin (х + у)
sinjcsinz/’
если
15
s in x - 4
7.
Найдите наименьшее значение функции у =
8.
Укажите число корней уравнения —F=
9.
Укажите наибольшее целое значение а, при кото
ром уравнение (а - 2) sin х = а12 - 4 имеет хотя бы
одно решение.
Вариант 2
Ответом в заданиях этой группы может быть целое число
или число, записанное в виде десятичной дроби.
1.
Дано: sin (3 = 0,8 и — 0, а * 1, Ъ > 0).
Свойства логарифмов (а > 0, а * 1, Ъ > 0, с > 0):
1) log a а = 1
2) loga 1 = 0
3) loga (b • с) = loga b + loga c
4) loga - = l o g a b —loga c
c
5) loga bp = p • loga b
6) loga 0Уa ^ l ) . Область определения (ООУ)
этого уравнения х = аь > 0.
loga f(x) = Ъ (а > 0, а * 1). Область определения
этого уравнения f (х) > 0. На этой области уравнение
может иметь любое количество корней, в зависимости
от функции f (х).
loga f (*) = loga g (х) (а > 0, а * 1). Область опре„
{ / ( * ) > О,
деления этого уравнения задается системой <
[g (x )> 0 .
На этой области уравнение имеет корни, которые мож
но найти, решая уравнение f (х) = g (#).
При решении логарифмических уравнений исполь
зуются тождественные преобразования логарифмиче
ских выражений (см. Раздел 1.1). Кроме тождеств, при
43
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
решении уравнений надо помнить следующие формулы
для любых х, у, таких, что ху > 0:
loga(*l/) = lo g J x |+ lo g J t / |,
(1)
1 1_ l°g 0 1У1
(2)
l°ga ~ = l°ga
Х
[а Х 2п = 2n\oga \ х \ у
>
х ^ О у
neN.
(3)
Для решения логарифмических уравнений и нера
венств используются свойства логарифмической функ
ции у = loga Ху а > 0, а ^ 1.
— Область определения: D (у) = (0; +).
— Область значений: Е (у) =
-И»),
— Монотонность: при а > 1 функция у возрастает
на D (у)у при 0 < а < 1 функция у убывает на D (у).
При решении логарифмических уравнений и нера
венств можно использовать любой из следующих спосо
бов рассуждений.
1- й способ. Решать уравнение, используя любые пре
образования (кроме сужающих его область определе
ния). Затем обязательно выполнять проверку, для того
чтобы отбросить посторонние корни. Причем проверку
проводить непосредственной подстановкой в уравнение.
При этом находить область определения уравнения (ее
еще называют областью допустимых значений х) необя
зательно. Это полезно только в том случае, когда надо
отбросить часть корней, тем самым упростив непосред
ственную подстановку в уравнение.
К преобразованиям, сужающим область определения
логарифмических уравнений, относятся логарифмиро
вание обеих частей уравнения, деление на выражение
с переменной, извлечение корня четной степени и фор
мальное применение некоторых логарифмических фор
мул (без модулей).
2- й способ. Для решения логарифмических уравне
ний (неравенств) использовать только равносильные
44
2. АЛГЕБРА
преобразования. Это можно сделать двумя способами:
находить ОДЗ (область определения) уравнения (нера
венства) и выполнять только равносильные преобразо
вания на данной области определения или сразу ис
пользовать схемы равносильных преобразований.
Схемы равносильных преобразований
при решении уравнений
Если неравенство f (х) > 0 решить сложно, а проще
решить неравенство g (л:) > 0, то используем следую
щую схему:
Схемы равносильных преобразований
при решении неравенств
Знаки в исходных неравенствах могут быть следую
щими: ^ (меньше или равно), ^ (больше или равно),
< (меньше) или > (больше). Приведем пример схемы
решения логарифмического неравенства для одного зна
ка (^). Схемы для остальных типов неравенств строят
ся аналогично с учетом изменения знака неравенства.
Если 0 < а < 1, то
Если а > 1, то
45
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1 классы)
Если в основании логарифма находится функция
£(*)> то используем следующую схему:
Решение типовых заданий
Простейшие уравнения и неравенства
Задание 1. Решите уравнение log05 (х - 1) = 2.
Р е ш е н и е . Используя определение логарифма, по
лучаем х - 1 = (0,5)2, jc = 1 + 0,25, х = 1,25.
Ответ: 1,25.
Замечание. При решении логарифмических уравне
ний только с помощью определения логарифма (как в
задании 1) не требуется проверка. В остальных случа
ях, если решение происходит без применения равно
сильных преобразований, проверка должна быть обяза
тельным этапом решения уравнения. Например, при
решении уравнения log3 (х + 1) = log3 (~х - 1) без
равносильных преобразований получаем х = - 1. Про
верка показывает, что х = -1 — посторонний корень.
Задание 2. Решите неравенство log0 5 ( jc —1) < 2.
Р е ш е н и е . 1-й способ. Представим 2 в виде лога
рифма по основанию 0,5. log05(;e - 1) < log05 0,25. Область определения неравенства х > 1. Поскольку лога
рифмическая функция log0 5 t с основанием 0 < 0,5 < 1
убывает, имеем х - 1 > 0,25, х > 1,25. С учетом об
ласти определения получаем х > 1,25.
46
2. АЛГЕБРА
2-й способ. С помощью равносильных преобразова
ний решение неравенства можно записать следующим
образом:
х-1 > О,
1°go.50 i:- 1) < 2 ' » *- 1 > ( 0 ,5 ) 2 °
X > 1,
*> 1 ,2 5 .
Решением системы является промежуток (1,25; -И»),
Ответ: (1,25; +°°).
Задание 3. Решите неравенство log3(х + 7) < log3 (5 - *).
Р е ш е н и е . Учитывая возрастание и область опре
деления логарифмической функции у = log3 t, получим
что исходное неравенство равносильно системе нера
венств:
х + 7 >0,
-7 < * < 5,
5 - * > 0,
2х < -2
х+7 < 5- х
-7 < х < 5,
* < - 1.
Решением системы неравенств является промежуток
(-7; -1).
Ответ: (-7; -1).
Задание 4. Решите уравнение log5 log2 log7 х = 0.
Р е ш е н и е . Преобразуем уравнение, начиная с внеш
него логарифма. По определению логарифма:
log2 log7 * = 5°, log7 * = 21, * = 72, * = 49.
Ответ: 49.
Решение уравнений (неравенств)
с использованием свойств логарифма
Задание 5. Решите уравнение
1g х2 + lg (х + 4)2 = - 1g ^ .
Р е ш е н и е . 1-й способ. Преобразуя уравнение с уче
том свойств логарифма и формул (3) и (2), получим
уравнение, равносильное данному:
47
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАД АНИЯ ПО КУРСУ М АТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1
классы)
2 lg |х) + 2 lg \х + 4| = 2 lg 3 lg \х(х + 4)| = lg 3
Решая каждое из уравнений совокупности, получим
четыре корня: *, = -2 + V7, * 2 = -2 - л/7, Jt3 = -1, * 4 = -3.
Проверку делать не нужно, так как все преобразования
были равносильными.
2-й способ. Применим свойство «логарифма произве
дения», т.е. lg х 2 + lg (х 4- 4)2 — 1g(x(x + 4))2, и решим
уравнение (х(х + 4))2 = 9.
Ответ: -2 + >/7, —2 —>/т, -1, -3.
Задание 6. Решите неравенство
log3(jc+ 7 )< lo g 3( 5 - x ) -lo g j ( 3 - д:).
3
Р е ш е н и е . Сначала преобразуем неравенство с по
мощью свойств логарифма. Затем применим свойство
логарифма произведения: log3 х + log3 у = log3 (х-у)
(для л: > 0, г/ > 0) — и 4-ю схему равносильных преоб
разований.
log3 (х + 7) < log3 (5 - х) + log3 (3 - х ) «
log з (х + 7) < log з ((5 - х) (3 - х)),
х+
х+
х<
х<
7 < х2 - 8 х + 15,
7 > 0,
5,
3
Ответ: (-7; 1).
48
х > 8,
2. АЛГЕБРА
Метод введения новой переменной
1
1
Задание 7. Решите неравенство ----- , огг ч > т ч.
log9(-27x) log, (-ж)
Р е ш е н и е . Преобразуем неравенство с помощью
свойств логарифма.
_______ 2_______
1
log3 27 + logj ( -ж) log3 ( -х) ’
2
1
3 + log3 ( -х) log, (-ж)'
Введем новую переменную t = log3 (~х). Неравенство
2 1 t-3 л „
примет вид: ---- >—, —;------ г>0. Решая неравенство с
F
3 +f t t(3 +^)
помощью метода интервалов, получим —3 < t < 0, или
t > 3.
Остается решить неравенства: -3 < log3 (-я;) < О,
log3 (-*) > 3. Область определения первоначального не
равенства: х * -1, х * (-3)"3, х < 0.
Так как основание логарифма больше единицы, то,
решая первое неравенство, получим —1 < х < (—3) 3. Ре
шая второе неравенство, получим х < -27. Объединяя
решения, получим ответ.
Ответ: ( - 00; -27) U ^-1;
Метод разложения на множители
Задание 8. Решите уравнение
log, *+31og,
В ответе запишите число корней уравнения.
Р е ш е н и е . Преобразуем уравнение с помощью
свойств логарифма (ООУ: х * 1, х > 0).
log5* + 31og** = - l o g ^ ж ,'
lo g ,* + 3 log5х = - 2 log5 х .
49
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
Перенесем все члены уравнеттия в левую часть и раз
ложим на множители: (log;? jt +31og5je +2)-log5:x: = 0.
Полученное уравнение на ООУ равносильно совокуп
ности
log5х =0,
logj JC+31og5jc+ 2 = 0.
Решая каждое уравнение совокупности отдельно, по
лучим х = 1, х = 0,2 и х = 0,04. С учетом области
определения получаем, что корнями уравнения являют
ся числа 0,2 и 0,04.
Ответ: 2.
Замечание. При решении уравнения произошло рас
ширение области определения уравнения. Действитель
но, ООУ начального уравнения задавалась условиями
х * 1, х > 0. После преобразований с помощью свойств
логарифма (переход к новому основанию) ООУ уравне
ния стала х > 0. Обращайте внимание на изменение
области определения уравнения при применении этого
свойства логарифмов.
Задание 9. Решите неравенство
l o g ^ + 31оg \x > ------ ^ —=.
log, л/б
Р е ш е н и е . Преобразуем неравенство с помощью
свойств логарифма (ООУ: х * 1, х > 0), как это сдела
но в предыдущем задании. Получим
(logs * +31og6x+2)log5х > 0,
(log5x+2)(log5+l)log6
Введем новую переменную t = log5 x и решим не
равенство (t + 2) (t + 1) t ^ 0 с помощью метода ин
тервалов, учитывая, что t * 0.
Получим, что решением неравенства относительно t
является объединение двух промежутков:
50
2. АЛГЕБРА
[-2; -1] U (0; 4- ).
Переходя к прежней переменной х, получим:
-2
log5 х ^ - 1, или log5 х > 0.
Так как основание логарифма больше единицы, то,
решая первое неравенство, получим 0,04 ^ х ^ 0,2. Ре
шим второе неравенство: х > 1. Объединим решения.
Ответ: [0,04; 0,2] U (1; + °°).
Задания для самостоятельного решения
Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом
может являться целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби.
уравнение имеет более одного корня, то в бланке
ответов запишите сумму всех его корней.)
16. Решите уравнение
log3(х + 2) = (log5(л:+ 7» • log3(x + 2).
(Если уравнение имеет более одного корня, то в
бланке ответов запишите сумму всех его корней.)
17. Решите уравнение
logs (JC- 4) = (log3( х +2)) • l ° g 5( * - 4>-
(Если уравнение имеет более одного корня, то в
бланке ответов запишите произведение всех его
корней.)
18. Решите уравнение log5x2 = 2. (Если уравнение име
ет более одного корня, то в бланке ответов запиши
те произведение всех его корней.)
19. Решите уравнение log2x 2 = 5. (Если уравнение име
ет более одного корня, то в бланке ответов запиши
те произведение всех его корней.)
20. Решите уравнение logx16 = 2. (Если уравнение име
ет более одного корня, то в бланке ответов запиши
те произведение всех его корней.)
52
2. АЛГЕБРА
21. Решите уравнение log_x16 = 2. (Если уравнение
имеет более одного корня, то в бланке ответов за
пишите сумму всех его корней.)
22. Решите уравнение log^216 = 2.
(Если уравнение
имеет более одного корня, то в бланке ответов за
пишите произведение всех его корней.)
23. Решите уравнение log^281 = 2. (Если уравнение
имеет более одного корня, то в бланке ответов за
пишите сумму всех его корней.)
24. Найдите наименьшее целое решение неравенства
log2(2*) —2.
30. Найдите сумму всех целых чисел, являющихся ре
шением неравенства log3;c < 2.
31. Найдите произведение всех целых чисел, являю
щихся решением неравенства logxX ^-l.
з
53
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
32. Найдите наибольшее целое решение неравенства
logi (д;2 + Зд; + 1 2 )< log! (9-д:),
з
з
33. Найдите сумму целых решений неравенства
log2- > l .
д:
34. Сколько целых чисел, принадлежащих отрезку
[7; 17], являются решением неравенства
1о&0,5 (7*_1)>1?
35. Найдите наименьшее натуральное решение нера1
| 4 х+1- 1 7 * 2 х + 4 > 0
55. |l o g 4 (л;2 -2 л :) < 1,5
]3-4х- 7 -2 х + 2> 0
56. |l o g 9 (л:2 -6 л ;) < 1,5
57. Р еш и те н еравенство
log5_x (81 - 18л;+л;2) < 21og5_x ( - 9 - л;2 + Юл;).
58. Р еш и те н еравенство
21og6_x(9 - л:) < log5_x(- 9 - л:2 +Юл:)2.
55
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1
классы)
59. Решите неравенство
l o g ^ (9 - * ) < 2 lo g ^ (- 9 - * 2+10*).
log3(9 x )lo g £3
60. Решите неравенство -----^ —д—— < 3 .
27
1. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1 классы)
2.
Вычислите: 128logo5>^ .
3.
Решите уравнение log5Je = -2.
4.
Укажите произведение всех целочисленных реше
ний неравенства lo gi^o O .
з
5.
Найдите сумму всех целых чисел, входящих в об
ласть определения функции у = log02(б я - х 2).
6.
7
Найдите значение выражения
.
Укажите наименьшее целое решение неравенства
8.
Найдите ординату точки пересечения графиков
функций у = log 2x и у = 5 - log 2(x + 4).
Запишите решение с полным его обоснованием.
9.
Вычислите: 21og4(в(>/7-V5)) + log4(12 + 2V35).
.
10
58
Для каждого значения параметра а решите уравне
ние log2(x2 - 3 :c - a ) = log2(5 x -a).
2. АЛГЕБРА
2.3. Показательные уравнения
и неравенства
Теоретические сведения
Свойства степени положительного числа
Если а > О, Ь > О, г, s — действительные числа, то:
a r а 8 = a r+s
(i)
a r :as = a r~s
(2 )
(a r У = a rs
(3 )
(ab)r = a r br
(4 )
(U-f
a0 = 1
(5)
(6 )
(7 )
a~r = — .
ar
Свойства показательной функции у = ах, а > 0, а * 1.
1) Область определения: D(y) = R.
2) Область значения: Е(у) = (0; -И»),
3) Монотонность: при а > 1 функция возрастает на R ,
при 0 < а < 1 функция убывает на R.
Простейшее показательное уравнение — это уравне
ние вида ах = Ь> где а > 0, а * 1. При b > 0 это урав
нение имеет единственный корень х = log а Ъ. При b < 0
оно не имеет корней.
На области определения показательного уравнения
(неравенства) справедливы следующие теоремы.
Т е о р е м а 1. Уравнение af(x) = а^х) (а > 0, а * 1)
равносильно уравнению f(x) = g(x).
Т е о р е м а 2. При а > 1 неравенство а/(х) > а^х) рав
носильно неравенству f(x) > g(x).
Т е о р е м а 3. При 0 < а < 1 неравенство af{x) > а^х)
равносильно неравенству f(x) < g(x).
59
1. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
Решение типовых заданий
Простейшие уравнения и неравенства
Задание 1. Решите уравнение 3х = 81.
Р е ш е н и е . 1-й способ. Представим правую и левую
части уравнения в виде степени с основанием 3 и от ра
венства степеней с одинаковым основанием перейдем к
равенству показателей степеней: 3х = 81, 3х = З4, х = 4.
2-й способ. Это простейшее показательное уравнение,
значит, х = log3 81, х = 4.
Ответ: 4.
1
Задание 2. Решите неравенство 2Х+2 >
Р е ш е н и е . Представим правую часть неравенства в
2
виде степени с основанием 2: 2Х+2 >2 х .
По теореме 2 данное неравенство равносильно нерап
2
венству х + 2 > — .
%
х^ + 2х + 2
Решая его, получим ------------- > 0. Замечаем, что
х
х 2 + 2х + 2 > 0 для любых действительных х. Полу
чаем неравенство, равносильное данному: i > 0 . Его ре
ле
шением является промежуток (0; +°°).
Ответ: (0; -И»).
При обосновании решения неравенства мы могли
ссылаться на свойство монотонной (возрастающей) на
своей области определения функции у = 2х.
Выбирайте удобную для себя схему обоснований при
решении уравнений и неравенств. Главное, чтобы был
получен верный ответ.
60
2. АЛГЕБРА
При решении показательных уравнений (неравенств)
полезно сначала произвести преобразования, получив в
обеих частях уравнения степени с одинаковыми основа
ниями.
ч Зх-7
/ г» \ 7 x - 3
Ч!)
Задание 3. Решите уравнение
Р е ш е н и е . Представим правую часть уравнения в ви5
( b \ 3x~7 (5 '~ 7х+3
де степени с основанием —. Получим 1— 1
= I—
Применяя теорему 1, получим уравнение, равносильное
данному: 3* - 7 = - 1 х + 3, 10* = 10, х = 1.
Ответ: 1.
Задание 4. Решите неравенство | —
Р е ш е н и е . Представим правую часть неравенства в
V
виде степени с основанием
. Приме-
8\8j
48,
няя теорему 3, получаем неравенство, равносильное дан
ному: Зх - 7 > - 7 х + 3, 10* > 10, * > 1.
Без использования теорем о равносильных преобразо
ваниях это неравенство решаем следующим образом:
учитывая монотонность функции,
V
— убывающая
функция, так как 0 < — < 1 , можно перейти к неравен-
8
ству: 3* - 7 > - 7 х + 3,10* > 10, * > 1.
Ответ: [1; +~).
Задание 5. Решите уравнение 0,04 • (0,2)* 4 = 5*.
Р е ш е н и е . Преобразуем уравнение к виду
( 0 , 2)2 • (0 , 2)*"4 = ( 0 , 2 Г *.
61
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
Применяя свойства (1) и (7) степени с одинаковым
основанием, получаем (0,2)х_2 = (0,2)~х. Из равенства сте
пеней с одинаковыми основаниями следует равенство по
казателей степеней: х - 2 = -х , 2х = 2, х = 1.
Ответ: 1.
Если в показательном уравнении несколько показа
тельных выражений с одинаковым основанием, то вы
ражения можно преобразовать с помощью свойств степе
ни (1) и (2): аь+с = аь • ас и аь' с = аь : ас (а > 0). После
таких преобразований уравнение обычно решается мето
дом введения новой переменной или разложением на
множители.
Метод введения новой переменной
Задание 6. Решите уравнение 52* ' 1 + 5Х+1 = 250.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть уравнения с
помощью свойств степени (1) и (2):
5 '1 • 52х + 5 • 5х = 250,
i • 521 + 5 • 51 = 250,
5
52х + 25 5х - 1250 = 0.
Введем замену 5х = а, а > 0. Уравнение принимает
вид а 2 + 25а - 1250 = 0. Решая уравнение, находим его
корни: а = 25 или а = -50.
Учитывая условие а > 0, отбросим а = —50. Перехо
дя к прежней переменной я, остается решить уравнение
Ьх = 25. Оно имеет корень х = 2.
Ответ: 2.
Метод разложения на множители
Задание 7. Решите уравнение 4Х+1 - 2 • 4х-2 = 124.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть уравнения с
помощью свойств (1), (2) и вынесем за скобки степень
с наименьшим показателем (4х-2):
62
2. АЛГЕБРА
4 *-2 ( 4
з
_ 2)
= 124,
4*'2 -62 = 124,
4 л"2 = 2,
4 * -2
=
4
.5>
о
* - 2 = 0,5,
х = 2,5.
Ответ: 2,5.
Метод решения однородных уравнений
Задание 8. Решите уравнение 2 •4* - 3 • 10* = 5 •25*.
Р е ш е н и е . Данное уравнение является однородным
(почему?). Разделим обе части уравнения на выражение
25*, большее нуля для любых х.
Получили квадратное уравнение относительно —
fay
„
Введем новую переменную t = I —I , t > 0.
U
Уравнение 2t2 — 3^ — 5 = 0 имеет два корня t = -1
5
и i = " . С учетом условия t > 0 отбрасываем t = —1.
1
f2V
5
Остается решить уравнение 1—1 = —, х = -1 .
Ответ: - 1 .
Задание 9. Решите неравенство 2 •4* - 3 • 10* < 5 •25*.
Решение. 2 •I — 1 - 3 •f— 1 < 5, 2
V25 J
12 5 ;
15
Введем новую переменную t =
\ 2х
- 3
< 5.
| , t > 0.
f 2t2 - 3i - 5 < 0,
-l о
2
63
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
Возвращаясь к прежней переменной х , получим, что не
равенство f —1 > 0 верно для любых х. Остается решить
-1
5 (2
неравенство | - I < —, I —| <
Получаем х > -1.
Ответ: (-1; + °°).
Рассмотрим более сложные задания.
Задание 10. Решите уравнение ( з * 2 - 8 l) • Vl - х = 0.
Р е ш е н и е . 1-й способ. В основе решения уравнения
лежит условие равенства произведения двух выраже
ний нулю: произведение двух выражений равно нулю,
если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй
при этом не теряет смысл.
1) 3х2 - 81 = 0, 3х2 = 34? х2 = 4, х = 2 или х = -2.
При х = 2 подкоренное выражение отрицательно, зна
чит, число 2 не является корнем уравнения.
2) V1 - х =0 при х = 1. Это число является корнем
данного уравнения, так как выражение 3х — 81 имеет
смысл при любом х.
Ответ: 1, -2 .
2-й способ. Если решать уравнение с помощью равно
сильности, то решение основано на применении следу
ющего
f(x) = О или g(x) = 0,
f(x) g(x) = О «
х g ОДЗ.
Уравнение равносильно системе:
V
-2
1 2
Lvr^ =
1
Ответ: 1, -2.
64
- 81 = 0,
> о
o,
г
ч
~ [ х = _а
2. АЛГЕБРА
Задания для самостоятельного решения
Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом
может являться целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби.
1.
Укажите наибольшее решение неравенства
2
2.
^
> - 6.
Укажите наименьшее решение неравенства
2^
> -
1.
3.
Решите уравнение 2х = 0 ,5 .
4.
Решите уравнение б2* '1 = 62 5 .
5.
Решите уравнение 3*+5= - .
9
6.
Сколько корней имеет уравнение Зх+5 = - —?
7.
Решите уравнение (Ч У з)*=27.
8.
Решите уравнение 3 5х+2 = 8 1 .
9.
Найдите наибольшее натуральное решение неравен
5х-1
ства 3х-5 < 8 1 .
10.
Укажите наибольшее целое решение неравенства
5х' 1
11.
Укажите наибольшее целое число, не удовлетво
ряющее неравенству
65
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
12. Сколько
целочисленных
решений
неравенства
о \х+1
Z] [ —
И
15. Решите уравнение 0,04(0,2)х~4 = 5х.
16. Сколько целочисленных решений неравенства
9х - 3 * - 7 2 > 0 принадлежит отрезку [-4; 4]?
17. Решите неравенство у5х - 2 5 < 0 .
18. Укажите наименьшее целое решение неравенства
7 *-6 -(л /7 )*-7 > 0 .
19. Решите уравнение 3х =27-^9.
20. Решите уравнение 2х =16 \/8.
21. Сколько целочисленных решений неравенства 2х >16
содержится в отрезке [-3; 3]?
22. Сколько целых чисел входит в область определе7+2
2
23. Решите уравнение 3-4Х- 6 х -2 *9 Х = 0.
24. Укажите количество целых решений неравенства
(2 *- l)(2 5 - 5 x)> 0 .
66
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИ ЗА
3.1. Производная функции
Теоретические сведения
Нахождение производной данной функции называют
дифференцированием.
Для нахождения производной используют формулы
дифференцирования и правила дифференцирования.
Формулы дифференцирования
Функция f
Производная
функция f
kx
+С,
x a
C e R
k
a
/'1
(''(*))
sin
x
cos
X
COS
X
- s in *
tgx
Ctg
*
ex
In*
1
1
1
cos 2 *
sin 2 x
*
*£
ax
x a x lna
Правила дифференцирования
Значения производных функций / и g в точке х0 обо
значим так: f'(x0) = f , g'(x0) = g .
П р а в и л о 1. (Дифференцирование суммы.) Если
функции / и g дифференцируемы в точке xQ, то их сум
ма дифференцируема в этой точке и (/ + g)' = f + g'.
П р а в и л о 2. (Дифференцирование произведения.)
Если функции f и g дифференцируемы в точке х0, то
их произведение дифференцируемо в этой точке и
( / • * ) ' = r-g + / • * ' .
П р а в и л о 3. (Дифференцирование частного.) Если
функции f u g дифференцируемы в точке х0 и функ
ция g не равна нулю в этой точке, то частное — также
g
дифференцируемо в этой точке и
L]=Lizl^_
g)
g2
П р а в и л о 4. (Производная сложной функции.)
Если функция f дифференцируема в точке х0, а функ72
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ция g имеет производную в точке у0 = f(xQ), то сложная
функция h(x) = g(f(x)) также дифференцируема в точ
ке * 0 и h'(xQ) = g'(f(x0)) • f'(xQ).
Геометрический смысл производной.
Касательная к графику функции
Существование производной функции f в точке х 0
эквивалентно существованию (невертикальной) каса
тельной в точке (*0; f(x0)) графика функции /,
при этом угловой коэффициент касательной равен
f'(x0). В этом и состоит геометрический смысл произ-
Уравнение касательной к графику функции f в точ
ке А(х0; f(x0)) имеет вид: у = f'(xQ)(x - х0) + f(xQ).
Замечание. Число k в уравнении прямой у = kx + b
(k * 0) называют угловым коэффициентом прямой, k ра
вен тангенсу угла, который образует прямая у = kx + Ъ
(k * 0) с положительным направлением оси Ох
{k = tg а). В уравнении касательной k = f'(x0), значит,
значение производной в точке х0, т.е. f'(x0), равно тан
генсу угла наклона касательной графика функции f(x)
в точке с абсциссой х0 к положительному направлению
оси Ох.
Применение производной
к исследованию функции
Признак возрастания (убывания) функции
Достаточный признак возрастания функции. Если
f'(x) > 0 в каждой точке интервала J, то функция f
возрастает на интервале I.
73
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
Достаточный признак убывания функции. Если
f'(x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f
убывает на интервале I.
Промежутки возрастания и убывания функции на
зывают промежутками монотонности функции.
Критические точки функции,
максимумы и минимумы
О п р е д е л е н и е . Внутренние точки области опреде
ления функции, в которых ее производная равна нулю
или не существует, называются критическими точ
ками.
Признак максимума функции. Если функция f не
прерывна в точке xQ, a f'(x) > 0 на интервале (a; #0) и
/'(х) < 0 на интервале (я0; Ь), то точка х0 является точ
кой максимума функции. Короче: если в точке х0 про
изводная функции f меняет знак с плюса на минус, то
х0 есть точка максимума функции f.
Признак минимума функции. Если функция f не
прерывна в точке х0, a f'(x) < 0 на интервале (а; х0) и
f'(x) > 0 на интервале (х0; Ъ)> то точка xQявляется точ
кой минимума функции. Короче: если в точке х0 про
изводная функции f меняет знак с минуса на плюс, то
х0 есть точка минимума функции f.
Точки максимума и минимума называют точками
экстремума. Значения функции в этих точках называ
ют соответственно максимумами и минимумами функ
ции (общее название — экстремум функции).
Наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке
Г
f
-------•------ Г--- >
a s r x° ^ k b
х
* 0
= *,
г
7
-
а
t
+
ь
*
Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а . Непрерывная на от
резке [а; Ь] функция f принимает на этом отрезке наи
большее и наименьшее значения.
74
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Правило нахождения наибольшего (наименьшего)
значения непрерывной функции f на отрезке.
1. Находим критические точки функции /.
2. Выбираем те из них, которые принадлежат дан
ному отрезку.
3. Вычисляем значения функции в выбранных кри
тических точках и на концах отрезка.
4. Из полученных чисел выбираем наибольшее
(наименьшее).
Решение типовых заданий
Прежде чем находить производную функции, полез
но выполнить преобразования, упрощающие вид фор
мулы, задающей функцию. Это существенно облегчает
дальнейшие вычисления.
Задание 1. Найдите производную функции
f(x) = (* + 1)(* + 2) - (х - 1)(х - 3).
Р е ш е н и е . Сначала упростим формулу, задающую
функцию. Для этого раскроем скобки и приведем по
добные слагаемые.
f(x) = (х + 1)(ЛГ + 2) - (х - 1)(х - 3) = 7х - 1.
Функция fix) определена и дифференцируема на
множестве всех действительных чисел.
Используя формулу для нахождения производной
линейной функции, получим f'(x) = 7.
Ответ: f i x ) = 7.
Задание
2.
Найдите
значение
если
f ( x ) = In esin*.
Р е ш е н и е . Сначала упростим формулу, задающую
функцию. Для этого применим свойство логарифмов
75
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
(см. раздел «Тождественные преобразования логариф
мических выражений»). f ( x ) = In esnxx = s i n * . Данная
функция определена и дифференцируема на множестве
всех действительных чисел. Используем формулу для
нахождения производной синуса. f '( x ) = cos х, значит,
7Е
cos — =
2
Ответ:
0
%
0-
Задание 3. Напишите уравнение касательной к грах +3
фику функции у =
в точке с абсциссой х 0 = -3.
Р е ш е н и е . Вспомним, что уравнение касательной
имеет вид у = у '(х 0) • (х - х 0) + у ( * 0).
Найдем последовательно у(х0), у '(х 0), т.е. у ( - 3), у'(~3).
Имеем: г/(—3) = 0. Чтобы определить у '(-З ), найдем
у'(х 0), используя правило 3 о дифференцировании част
ного.
/ / л _ ( * + 3) ( * + 4) - (х + 3 )(* + 4)'
1
VW "
(х + 4) 2
“ (х + 4)2 •
Получим, что у '(-3 ) = 1 и уравнение касательной име
ет вид:
у = х + 3.
Ответ: у = х + 3.
Задание 4. Найдите угол наклона касательной к по
ложительному направлению оси О х, проведенной к гра
фику функции у = - I n * в его точке А (1; 0).
Р е ш е н и е . Тангенс угла наклона касательной равен
значению производной функции у(х) в точке x Q= 1.
у '(х ) = - —, г/' (1) = —1 <
0
,
т.е. касательная образует ту
пой * угол а с положительным направлением оси абсцисс и тангенс этого угла равен - 1 . tga = - l , о с = —
4
Ответ: 135°.
76
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Замечание. Угол наклона касательной в задании 3
равен 45°.
Задание 5. На рисунке изображены график функции
у = f (*) и касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной в точке xQ.
Р е ш е н и е . Касательная АВ образует ZABO с поло
жительным направлением оси Ох. Из ААВО имеем
АО 4
te ZABO = ----= —, значит, исходя из геометрического
ВО
у = - 32*4-7.
Р е ш е н и е . Так как угловой коэффициент касатель
ной к графику функции у = f (х) равен f ( * 0), то абсцис
су точки касания найдем из уравнения f ( * 0) = -32.
Чтобы найти производную функции /(*), сначала
упростим формулу, задающую функцию. Применим
формулу разности квадратов.
Нх)
= V-T
=*4_1 и f'fc)=4*oX + 1
Остается решить уравнение 4x1 = - 32 , х 0 = - 2 . Урав
нение касательной имеет вид у = -32 (х + 2) + / (-2 ).
77
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1
классы)
Так как f (-2 ) = 15, то у = -3 2 (х + 2) + 15,
у = -32л; - 49.
Ответ: у = - 3 2 х - 49.
Замечание. Чтобы написать уравнение касательной
к графику функции у = f(x), параллельной оси абсцисс,
необходимо учесть, что f ' (xQ) = 0. В задании 6 4лг;}=0,
х о = 0 и уравнение касательной, параллельной оси Ох,
имеет вид: у = -1 .
Задание 7. Напишите уравнение касательной к гра
фику функции f (я) = д/l - x f проходящей через точку
Р(2; 0). В ответе укажите площадь треугольника, об
разованного этой касательной и осями координат.
Р е ш е н и е. Если найдем абсциссу точки каса
ния (*0), то напишем уравнение касательной. Но точка
Р(2; 0) не лежит на графике функции f ( x ) = -Jl - х,
и абсцисса х 0 не задана. Поэтому напишем уравне
ние касательной к графику данной функции в общем
виде.
Имеем: у = Точка Р(2; 0) лежит на касательной, поэтому под
ставим ее координаты в уравнение касательной (*)
% о »х
о — 9.
Тогда уравнение (.*) имеет вид: у = - 0,5л: + 1.
Найдем площадь треугольника, образованного этой
касательной и осями координат.
ua
SM}P= ^ A O - P O = ± - 1 - 2= 1.
Ответ: 1.
78
Р(2;0)
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Задание 8. Исследуйте функцию f(x) = - х 3 + х2 + х + 1
на возрастание и убывание. В ответе укажите длину
промежутка возрастания.
Р е ш е н и е . Вспомните достаточный признак возрас
тания функции. Чтобы найти промежутки возрастания
функции, определим, на каких промежутках производ
ная функции положительна. Данная функция опреде
лена и дифференцируема на множестве всех действи
тельных чисел.
f'(x) = - З х 2 + 2х + 1. Исследуем знак производной,
для этого решим уравнение f ( jc) = 0 и отметим его
корни на координатной прямой (корни
о
и 1).
Г
Функция убывает на промежутке |
межутке [1; + °°).
Функция возрастает на промежутке
и на про
Длина
промежутка возрастания равна —.
о
4
Ответ: —.
Замечание. Если функция f (х) непрерывна в точках 1,
- —, то эти точки включаются в промежутки монотон3
ности.
Задание 9. Функция у = f(x) определена на промежут
ке (-4; 2). График ее производной изображен на рисунке.
Укажите число промежутков убывания функции.
уА
79
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
Р е ш е н и е . Определим промежутки, на которых
производная функции отрицательна, т.е. график произ
водной лежит ниже оси абсцисс. Так как f'(x) < 0 на
промежутках (-4; -3 ), (-2; -1 ), (1; 2), то число про
межутков убывания равно 3.
Ответ: функция у = f(x) имеет три промежутка убы
вания.
Замечание. Функция у = f(x), заданная условиями
задания 9, имеет два промежутка возрастания.
Задание 10. Найдите точки экстремума функции
g (х) = х 5 - 15 х 3.
Р е ш е н и е . Вспомните, что точки экстремума функ
ции — это точки минимума и максимума функции.
В этих точках производная функции g'(x) меняет знак.
Найдем g'(x) и исследуем ее знак. Функция g(x) опре
делена и дифференцируема на R .
Имеем: g'(x) = 5 х 4 - 45 х 2 = 5х2 (х - 3)(х + 3).
Функция имеет две точки экстремума: х тах = -3 ,
g
8 S ?~3 ^
0
^
3 Sf
■>
X
Ответ: xm
mn
n v = - 3 ,* х m i.n = 3.
Замечание. Функция #(х) = х 5 - 1 5 х 3 имеет три
критические точки - 3 , 0 и 3 (см. определение крити
ческих точек в теоретической части).
Задание 11. На рисунке изображен график производ
ной некоторой функции у = f(x), заданной на проме
жутке (а; Ь). Сколько точек минимума имеет функция
f (х) на этом промежутке?
80
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Р е ш е н и е . В точках минимума производная функ
ции меняет знак с минуса на плюс. Таких точек три:
X V Х 4>
Ответ: функция у = f (#) имеет три
мума.
Замечание. Данная функция имеет две
мума (производная в этих точках меняет
на минус): х2 и х5. И шесть критических
точки мини
точки макси
знак с плюса
точек: x v х2,
Х 3 У Х 4* Х 5 ’ Х 6'
Задание 12. Найдите максимум функции
g(x) = х 2е~х + 7.
Р е ш е н и е . Вспомните, что максимумом функции
называется значение функции в точке максимума. Най
дем точку максимума функции, для этого определим
производную функции и исследуем ее знак. Функция
g(x) определена и дифференцируема на множестве всех
действительных чисел.
При нахождении производной данной функции сле
дует обратить внимание на то, что функция у = е~х яв
ляется сложной функцией.
g ’ (x) = ( * 2) • е~х + х 2 - (е~х У = е~х (2х - х 2)
— —
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
Замечание. Для данной функции: точка минимума
= ° ; минимум равен g(xmin) = g(0) = 7.
*m in
Задание 13. Укажите точку минимума функции
g lo g 5( 2- r )
fix )
5
lo g r, ( x + 4 )
+ 6x.
Р е ш е н и е . Найдем область определения функции /:
(2 —х > 0 ,
i
.
-4 < х < 2.
[х + 4 > 0
Упростим формулу, задающую функцию
: lo gs ( 2- x )
f{x) = 57ogsu +4) + 6х =
2 -х
+ 6 х , х е (-4; 2).
Чтобы найти точку минимума функции, найдем про
изводную функции и исследуем ее знак.
(х + 4)2 + 6
Решим уравнение f'(x) = 0 при х Е (-4; 2).
------Т + 6 =0;
(х + 4)
х = - 3 (х = -5 0, а2 >1. Получим ае(-оо; - l) u ( l ; +оо).
2. Так как уравнение имеет два корня, не обязательно
различных, то D = 16а2-16 > 0, а2 > 1
и а е (-о о ; - l] u [ l ; +оо).
3. Так как уравнение не имеет корней,
то П = 16а2-16 0,
362+166-44 0,
| d 0,
[О < а 0). В каком случае оба корня
положительны? Например, если и сумма корней поло
жительна (jc1+ jc2 >0), и произведение корней положи
тельно (хг х2 >0).
Пусть х 1 и х 2 корни уравнения, тогда, по теореме
Виета: x1+xz =2b и х1-х2=Ь+6. И имеем систему не
равенств:
114
2-й способ. Рассмотрим функцию f(x) = х2-2Ъх + Ъ+ 6.
Ее графиком является парабола. Изобразим параболу,
удовлетворяющую условиям задачи.
Запишем условия, соответствующие этому располо
жению параболы.
7(0)>0, (1)
0, (2)
Решим каждое из этих неравенств.
•^вершины > 0 . ( 3 )
(1) /(0) = &+6>0,Ь>-6.
(2) D = 4Ь2- 4(Ь +6) > 0, Ъе ( - о о ; -2)и(3; +оо).
(3)
ЕхC вершины
v '
j
2
=Ь>0.
115
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
Отметим решения каждого неравенства на коорди
натной прямой и найдем пересечение решений.
_4
___
-6
4
4
ь /////
-2
0
3
,
*
Решением системы неравенств будет промежуток
(3 ;+ о о ).
Ответ: при Ье(3 ; + о о ) уравнение имеет различные
положительные корни.
Задание 7. Найдите все значения параметра р , при ко
торых разность корней уравнения х 2 +рх +12 = 0 равна 1.
Р е ш е н и е . Пусть х 1 и х 2 корни уравнения
(D = р2 - 4 8 , р2-48>0), тогда, по теореме Виета, имеем
•^1
систему
— р>
Х\'Х2 -
12,
х1—х2 =1 •
Выразим корни уравнения из первого и третьего
уравнений через параметр р и подставим во второе
уравнение.
1-р
хх•х2 =12 ,
-V
1-Р*
- 1 - р
2
-1-р
—________£_ ■
*9 =
= 12 ,
-1 -р
Решим квадратное уравнение относительно пара
метра р.
116
4. ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
(i - p )( i +p )_
4
-
1 2 '
1 - р 2 = -48,
р2 = 49.
Рассмотрим дискриминант исходного квадратного
уравнения: D = р 2 - 4 8 . Так как р 2= 4 9 , то Z) > О, и
уравнение имеет два корня 7 и (-7 ).
Ответ: при р = ±7 разность корней уравнения равна 1.
4.1.5. Располож ение корней квадратного ур а вн ен и я
относительно заданны х точек
З ада н и е 8. П ри к аки х зн ачен и ях параметра а оба
корня уравнения х 2 - а х +7 = 0 меньш е 7?
Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию f(x) = х 2 - а х + 7.
Графиком данной функции является парабола. Изобра
зим параболу с указанными свойствами.
Запишем условия, соответствующие этому располо
жению параболы.
7 ( 7)
X
>
0,
0
,
вершины < 7 .
Решим каждое из этих неравенств.
/(7) = 4 9 - 7 а + 7 > 0 ,а 0, а 2 > 28, а е
оо; -2>/7ju^2V 7; +оо^.
117
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
X вершины
Ь
-а
а
2а
2
2*
—< 7, а < 14.
2
Отметим решения каждого неравенства на коорди
натной прямой и найдем пересечение решений.
-2^7
2%/7
8
14
Х
Решением системы неравенств будет объединение
промежутков (-оо; -2л/7^и^2>/7; в).
Ответ: при а е (-оо; -2л/7^и|^2л/7; 8^ оба корня урав
нения меньше 7.
Задание 9. При каких значениях параметра а число 7
находится меж ду корнями уравнения х 2 - ах + 7 = 0?
Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию f(x) = х2 - ах + 7.
Изобразим параболу, удовлетворяющую условиям зада
чи, и опишем соответствующие условия.
Чтобы число 7 разделяло корни уравнения, доста
точно, чтобы f(l) < 0.
Решим неравенство /(7) = 4 9 - 7 а + 7 8.
Ответ: при а > 8 число 7 находится м еж ду корнями
уравнения х 2 - ах + 7 = 0.
118
4, ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
4.1.6. Уравнения с модулем
Уравнения и неравенства с модулем можно решать
графически. Для этого выражения, содержащие пара
метр, переносят в одну часть уравнения (неравенства)
и строят графики функций левой и правых частей
уравнения (неравенства).
Задание 10. Решите уравнение \х + 3| - а\х - 1| = 4 при
а > 0.
Решение.
1- й шаг. Выделим (перенесем из одной части уравне
ния в другую) в одной части уравнения все выражения,
не содержащие параметр.
\х + 3| - а\х - 1| = 4,
\х + 3| - 4 = а\х - 1|.
2- й шаг. Построим в одной системе координат гра
фики функций из левой и правой частей уравнения.
Будем строить в одной системе координат графики
функций у = \х + 3| - 4, у = а\х - 1|.
Графиком функции у = \х -I- 3| - 4 является прямой
угол с вершиной (-3; -4).
Чтобы построить график функции у = а\х - 1|, рас
смотрим четыре случая:
1) а > 1; 2) а = 1; 3) 0 < а < 1; 4) а = 0.
1) При а > 1 графики выглядят следующим образом:
119
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10- 11 классы)
Графики пересекаются в одной точке: (1; 0), т.е. при
а > 1 х = 1.
2) При а = 1 графики выглядят следующим образом.
При х > 1 графики совпадают, т.е. система имеет
бесконечно много решений. При а = 1 решением урав
нения будет промежуток [1; +«>).
3) При 0 < а < 1 графики выглядят следующим об
разом.
Графики пересекаются в двух точках. Одна точка
имеет координаты (1; 0).
Чтобы найти координаты второй точки, надо решить
систему.
120
4. ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
|х + 3|-4 = а |*-1 |,
х < -3.
Так как х < -3 , то модули выражений раскрывают
ся следующим образом:
|*+3| = - (*+ 3 ) = - * - 3 ; |* - l | = - ( * - l ) = - * + l .
Осталось решить уравнение:
- jc- 3 - 4 = а(-х +1),
а х - х = а + 7,
jc(a-l) = а + 7.
Л
,
Так как 0 < а < 1 (и поэтому а
чч
а +7
1), то х = -----.
а-1
а +7
Итак, при 0 < о < 1 ^ = 1 и х - -----.
а-1
ф
4) При а = 0 график у = а\х-1\ совпадает с осью абс
цисс, и уравнение имеет два решения. Решения можно
найти из уравнения |jc+3| —4 = 0|* + 3| = 4,
х + 3 = 4 или х + 3 = -4,
х = 1 или х = -7.
При а = 0 уравнение имеет два корня: 1 и -7.
Ответ: при а > 1
jc
= 1; при а = 1
* > 1; при
0 < a < 1 х = 1 и х = — ; при a = 0 х = 1 и х = -7.
а-1
4. 7. 7. Координатная плоскость хОа
Наряду с аналитическими методами при решении
заданий с параметрами используют и координатный ме
тод. Об этом уже говорилось при решении уравнений с
модулем. Одной из разновидностей этого метода явля
ется использование координатной плоскости хОа. По
строив на координатной плоскости множество всех то
чек (х; а), для которых выполняется условия задания,
можно найти его решение.
121
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
Задание 11. При каких значениях параметра все реше
ния уравнения |д:-2|-а+Зл: = 0 лежат в отрезке [-1; 4]?
Решение.
1-й шаг. Традиционное решение уравнения с модулем.
\х-2\-а + Зх = 0 \х-2\ = а -З х
а +2
Если х>2> то х - 2 = а - Зх. Имеем: х = -----.
(1)
Если х < 2 , то 2 - х = а - Зх. Имеем:
а-2
( 2)
2-й шаг. Построение в плоскости хОа решений урав
нения.
Мы привыкли строить графики функции вида у = f(x)y
поэтому выразим параметр через переменную х.
(I) х = ^ ^ - о а = 4х-2,
4
(II) х = —
2
о а = 2х+2.
Построим графики функций.
а = 4 х -2 и а = 2х + 2.
3- й шаг. Дополнительный вопрос. Так как все реше
ния исходного уравнения лежат в отрезке [-1; 4], то по
строим еще прямые х = - l t x = 4. Найдем точки пересе
чения этих прямых с графиками функций.
4- й шаг. Найдем точки пересечения и соотнесем их
с вопросом в задании.
122
4. ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Чтобы все решения исходного уравнения лежали в
отрезке [-1; 4], достаточно, чтобы параметр а принимал
значения от 0 до 14.
Ответ: при а е [0; 14].
4.1.8. Рациональные неравенства
Задание 12. При каких значениях параметра а нера
венство ————- < 0 справедливо для любых х е [-1 ; 2]?
X + CL
Сведем решение рационального неравенства к решению
квадратного. Имеем: Х
- * < 0 (х - 2а - 1)(х + а) < 0 (*) •
х +а
Сравним 2а + 1 и (-а ).
Возможны 3 случая взаимного расположения точек
2а + 1 и (-а ).
1) 2а + 1 > - а ; 2) 2 а + 1 = - а ; 3) 2а + 1 < - а .
1-й случай. 2а + 1 > - а , а>~ —. Отрезок [-1; 2] должен
3
лежать внутри интервала (-а; 2 а + 1), т.е.
-а
2а + 1
. о.
-
А / / Л / О-------------------1
- а 2,
1
2-й случай. 2а + 1 = -а , а =
получим
х
2
а >1
1 I—
а >—
а > 1П
-----
2
1
3
. Подставим а =
3
в (*),
0
~ l x
-
a ^
Уравнение в системе равносильно квадратному урав
нению х 2-9 х = 0. Его корни: 0 и 9. При найденных
значениях х рассмотрим неравенство 7д;-а>0.
При х = 0 имеем 7 • 0 - a > 0 , т.е. a < 0. При х = 9 име
ем 7 - 9 - а > 0 , т.е. а < 63. Остается обобщить получен
ный результат.
Ответ: при a < 0 уравнение имеет два корня: 0 и 9;
при 0 < a < 63 уравнение имеет один корень 9; при
a > 63 уравнение корней не имеет.
4.2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Задание 18. При каких значениях b прямая у = Ьх
является касательной к параболе f(x) = х2- 2 х + 4?
Р е ш е н и е . Для того чтобы прямая у = Ъх была ка
сательной к параболе f(x) = х 2-2 х + 4 в точке с абсцис
сой xQ9 необходимо и достаточно, чтобы:
1) значения обеих функций при х = х0 совпадали;
2) угловой коэффициент прямой у = Ъх (Ъ) был равен
значению производной функции f(x) = х 2 -2 х + 4 в точ
ке х0.
129
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1 классы)
Ьх0 = *0 -2*„+ 4 . Подставив выра
Ъ= 2х0 - 2
жение для Ь в первое уравнение системы, получим
Решим систему:
(2*0 - 2)х0 = x l~ 2х0 + 4,
*о = -2.
х0 =2,
Ь = 2*0- 2
Ъ= 2*о-2.
И искомые значения b равны - 6 и 2.
Ответ: при b = - 6 и Ъ = 2.
Задание 19. При каких значениях а прямая у = а
х3
пересекает график функции у = — + х 2 более чем в двух
различных точках?
л;3
Рассмотрим функцию f(x) = — + л:2. Построим схема3
тично ее график. Функция определена и дифференци
руема на множестве всех действительных чисел.
f \ x ) = х 2 +2х = х( х +2)
f(x)
-2
+
-
0
+
f(0) = 0, / ( - 2 ) = —. Тогда прямая у = а пересекает
о
JC3
график функции у = — +х 2 более чем в двух различных
3
точках (т.е. в данном случае в трех точках), если
0 4
система <
имеет единственное решение,
[х-а < 0
5. При каких значениях а уравнение (х +2)\1х-а =0
имеет единственное решение?
6. При каких значениях а уравнение ( х - а ) у / х - 2 =0
имеет ровно два решения?
7. При каких значениях а уравнение
(x-a)yjx^~-4лГ+3=0 имеет более двух решений?
8. При каких значениях а уравнение
( х2 +4х +3)у/х-а = 0 имеет ровно два решения?
9. Укажите наименьшее целое значение а, при котором
а2
уравнение sin х = — - 4 имеет хотя бы одно решение.
10. Укажите наименьшее натуральное значение а , при
а2
котором уравнение co sa : = — не имеет решении.
7
11. При каких значениях а уравнение (sin * -a )-c o s * = 0
имеет единственное решение при х е [0; тс] ?
131
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
12. При каких значениях а уравнение (cos л:-a) sin л: = 0
имеет единственное решение при дге[тг; 1,5л]?
13. При каких значениях а уравнение (у[х - а ) ( х 2 - а ) = 0
имеет ровно три решения?
14. При каких значениях параметра а уравнение
имеет хотя бы два различных решения:
1) х 2- 2 х - а = 0; 2 ) х А- 2 х 2 - а = 0 ; 3 ) х ~ 2 у[ х - а = 0;
4) tg2x -2 tg jc -a = 0; 5) 4A- 2 r4l- a = 0;
6) log!; * - 2 1og2x - a = 0?
15. При каких значениях параметра а система уравне
ний не имеет решений:
1) р У * 1?; 2)
у= х-а\
4> г
,
| !6 > p
\у = 2-\х-а\
7)
; з) \у=~ ^
У = -\х-а\
'
i
2
[х +У = а
у = \х-а\
х\ + \у\ = 2 а
х 2 + у2 = а 2
И+2М=2,
х 2 +у2 = а 2
16. При каких значениях параметра а неравенство не
имеет решений:
1) у/^-х2 > а ; 2) >/4-x2 > а - х ?
17. При каких значениях параметра все решения урав
нения \х - 2а\ = а - Зх лежат в отрезке [-1; 4]?
18. При каких значениях параметра все решения урав
нения \х-2\-а + 2х = 0 лежат в отрезке [-2; 3]?
19. Найдите все значения параметра а, при которых
Пх+а|/2 см и 1 см и углом 45°.
14. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 х 1 см
изображен треугольник. Найдите площадь тре
угольника (в квадратных сантиметрах).
144
5. ГЕОМЕТРИЯ
15. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 x 1 см изо
бражен треугольник. Найдите высоту, проведенную
к большей стороне треугольника (в сантиметрах).
16. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 x 1 см
изображен треугольник. Найдите медиану тре
угольника, проведенную к большей стороне (в сан
тиметрах).
17. В треугольнике КВС угол К равен 90°, К В — 12,
КС = 16. Найдите синус меньшего угла треуголь
ника.
18. В треугольнике КВС угол К равен 90°, К В = 12,
КС = 1 6 . Найдите косинус меньшего угла треуголь
ника.
19. В треугольнике К М В угол М равен 90°, К В = 10,
В М = 8. Найдите тангенс меньшего угла треуголь
ника.
145
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10- 11 классы)
20. В треугольнике КМ В угол М равен 90°, КВ = 26,
ВМ = 1 0 . Найдите тангенс меньшего угла треуголь
ника.
21. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 7,
ВС = 8л/3, L.DCB = № °.
А
С
D
22. Найдите площадь треугольника РАМ, если РА = 8,
AM = 4, LPAB = 30°.
Р
В
А
М
23. В треугольнике АЕС угол Е равен 90°, АС = 10,
СЕ = 8. Найдите синус внешнего угла при вершине С.
24. В треугольнике АЕС угол Е равен 90°, АС = 10,
СЕ = 6. Найдите косинус внешнего угла при вер
шине С.
25. В треугольнике М РК угол Р равен 90°, М К = 25,
РМ = 24. Найдите тангенс внешнего угла при вер
шине К.
26. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 х 1 см
изображен ромб. Найдите радиус вписанной в него
окружности (в сантиметрах).
146
5. ГЕОМЕТРИЯ
27. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 x 1 см
изображен ромб. Найдите высоту ромба (в сантиме
трах).
.... ............... ........... .... ..........-.....
28. В треугольнике M N P М М г, РР г — медианы,
М М 1= 9^3, РР г = 6, LMOP = 150°. Найдите М Р .
N
М
29. В треугольнике ABC A A V В В 1 — медианы, А А г = 9,
В В Х = 15, L A M B = 120°. Найдите АВ.
147
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
30. В треугольнике МОА угол А равен 90°, МО = 9,
sin AM = 0,4. Найдите ОА.
31. В треугольнике КОЕ угол Е равен 90°, ЕО = 10,
ctgzLO = 1,(6). Найдите КЕ.
32. В треугольнике со сторонами 7 см, 9 см, 14 см най
дите длину медианы, проведенной к большей сто
роне.
33. В треугольнике со сторонами 7 см, 11 см, 12 см най
дите медиану, проведенную к большей стороне.
34. Найдите диаметр окружности, вписанной в тре
угольник со сторонами 20, 20, 24.
35. Найдите диаметр окружности, вписанной в тре
угольник со сторонами 15, 15, 24.
36. В равнобедренном треугольнике боковые стороны
равны 20, а косинус угла при основании треуголь
ника равен 0,8. Найдите периметр треугольника.
37. В равнобедренном треугольнике боковые стороны
равны 34, а котангенс угла при основании треуголь15
гг ~
ника равен — . Найдите площадь треугольника.
8
38. Найдите радиус окружности, описанной около тре
угольника АВС, если АВ = 18, АС = 5, АН = 3 и
АН — высота треугольника АВС.
39. Найдите радиус окружности, описанной около тре
угольника MNP, если MN = 5, NP = 16,
NA = 4 и NA — высота треугольника MNP.
40. Найдите радиус окружности, описанной около тре
угольника со сторонами 9, 10, 17.
148
5. ГЕОМЕТРИЯ
41. Найдите радиус окружности, описанной около тре
угольника со сторонами 4, 13, 15.
42. Три окружности, радиусы которых 6 см, 2 см и
4 см, касаются друг друга внешним образом. Най
дите радиус окружности, проходящей через центры
данных окружностей.
43. Три окружности, радиусы которых 10 м, 2 м и
3 м, касаются друг друга внешним образом. Най
дите диаметр окружности, проходящей через цен
тры данных окружностей.
44. Окружность вписана в равнобедренную трапецию,
площадь которой равна 64 см2. Найдите боковую
сторону трапеции (а), если острый угол при осно
вании трапеции равен 30°. В ответе запишите д>/2.
45. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диаго
наль которой равна 3V2 и составляет с основанием
угол 45°.
46. В треугольнике АВС сторона АВ = 12 см, ВС = 16 см,
медианы треугольника ААХ и ССг пересекаются под
углом 90°. Найдите длину стороны АС. В ответе за
пишите ACV5.
47. Средние линии прямоугольного треугольника, па
раллельные катетам, равны 5 см и 12 см. Найдите
высоту треугольника (/г), опущенную из вершины
прямого угла. В ответе запишите 13h.
48. В прямоугольнике MNPQ сторона M N в 6 раз мень
ше диагонали NQ. Диагонали прямоугольника пе
ресекаются в точке Е. Периметр треугольника
NEM равен 35 см. Найдите диагональ М Р.
149
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1 классы)
49. В трапеции A B N D (B N || AD) проведена средняя ли
ния ОЕ. Найдите длину наименьшего из отрезков,
на которые ОЕ разбивается диагоналями BD и A N ,
если B N = 12 и AD = 20.
50. В равнобедренной трапеции FOND ON || FD прове
дена средняя линия А В . Из вершины тупого угла
трапеции проведена высота NC. Найдите длину FC,
если ON = 8 и FD = 18.
51. Найдите площадь параллелограмма, если его мень
шая диагональ перпендикулярна боковой стороне и
высота, проведенная из вершины тупого угла па
раллелограмма, делит большую сторону на отрезки
9 см и 25 см.
52. Найдите площадь прямоугольного треугольника,
если длина гипотенузы равна 2>/13 см, а длина ме
дианы меньшего острого угла равна 5 см.
53. В параллелограмме ABCD сторона AD = 4>/2,
L ADB = 30°, L BDC = 45°. Найдите длину стороны АВ.
54. Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 120°. Боковая сторона равна 4. Найдите квад
рат длины медианы, проведенной к боковой стороне.
55. Найдите площадь параллелограмма M P K N , если
L P K M = 45°, P K = b j2 , P N = 26.
56. Найдите площадь прямоугольного треугольника,
если радиусы его вписанной и описанной окружно
стей равны соответственно 2 см и 5 см.
57. В треугольнике М ВО построена высота В Н . Длина
ВО = 5, ОН = 4, радиус окружности, описанной
около треугольника МВО, равен 10. Найдите длину
стороны М В .
150
5. ГЕОМЕТРИЯ
58. Около окружности диаметром 15 описана равнобе
дренная трапеция с боковой стороной, равной 17.
Найдите длину большего основания трапеции.
59. На диагонали BD прямоугольника ABCD взята точ
ка N так, что B N : ND = 3 : 2 . Диагонали прямо
угольника пересекаются в точке О. Найдите пло
щадь четырехугольника A B C N , если АС = 10 и
LA O B = 30°.
60. В параллелограмме M NPQ биссектриса угла М пе
ресекает сторону N P в точке А так, что A N : АР =
= 3 : 2 . Найдите длину меньшей стороны паралле
лограмма, если его периметр равен 48 см.
61. Катеты прямоугольного треугольника имеют длину
12 и 5. Найдите длину медианы, проведенной к ги
потенузе.
62. Известны длины сторон треугольника АВС : А В = 6,
СА = 7, ВС = 5. На луче ВС выбрана такая точ
ка F , что угол BAF равен углу АСВ. Найдите мень
шую сторону треугольника ACF.
63. Трапеция M NPQ вписана в окружность. Найдите
среднюю линию трапеции, если ее меньшее основание
M N равно 24, sin L M Q N = 0,2, cosLPM Q = 0,6.
64. Две окружности касаются внешним образом в точ
ке С. К ним проведена общая касательная, имею
щая общие точки с окружностями А и В соответ
ственно. Прямая АС пересекает большую окружно
стью в точке D.
а)
б)
в)
г)
Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный.
Докажите, что треугольник CBD — прямоугольный.
Докажите, что треугольник ABD — прямоугольный.
Докажите, что треугольники АСВ и AD B подобны.
151
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
д) Докажите, что треугольники АС В и CDB подобны.
е) Найдите площадь треугольника A D B , если радиу
сы окружностей 3 см и 5 см.
ж) Найдите AD, если радиусы окружностей 3 см
и 5 см.
з) Найдите коэффициент пропорциональности тре
угольников АС В и A D B , если радиусы окружностей 3
см и 5 см.
и) Найдите площадь треугольника АС В, если радиу
сы окружностей 3 см и 5 см.
к) Найдите площадь треугольника CBD, если радиу
сы окружностей 3 см и 5 см.
л) Найдите площадь четырехугольника, образован
ного центрами окружностей радиусами 3 см и 5 см и
точками А и В.
м) Найдите СВ, если радиусы окружностей 3 см и
5 см.
65. Две окружности касаются внешним образом в точ
ке F. К ним проведена общая касательная, имею
щая общие точки с окружностями М и Р соответ
ственно. Прямая M F пересекает большую окруж
ность в точке К.
а) Докажите, что треугольник MFP — прямоугольный.
б) Докажите, что треугольник PFK — прямоугольный.
в) Докажите, что треугольник М Р К — прямоугольный.
г) Докажите, что треугольники М Р К и M P F подобны.
д) Докажите, что треугольники M FP и FPK подобны.
е) Докажите, что отрезок общей касательной окруж
ностей есть среднее геометрическое между диаметрами
окружностей.
ж) Найдите М Р , если радиусы окружностей 2 см и
8 см.
з) Найдите М К , если радиусы окружностей 2 см и
8 см.
и) Найдите площадь треугольника М Р К , если радиу
сы окружностей 2 см и 8 см.
152
5. ГЕОМЕТРИЯ
к) Найдите коэффициент пропорциональности треу
гольников M FP и P FK , если радиусы окружностей
2 см и 8 см.
л) Найдите площадь треугольника M FP, если радиу
сы окружностей 2 см и 8 см.
м) Найдите площадь треугольника P F K , если радиу
сы окружностей 2 см и 8 см.
н) Найдите площадь четырехугольника, образован
ного центрами окружностей радиусами 2 см и 8 см
и точками М и Р.
о) Найдите FP, если радиусы окружностей 2 см и 8 см.
66. К каждой из двух непересекающихся окружно
стей проведены две общие внутренние касатель
ные, пересекающиеся в точке О. Точки касания
одной окружности А и В, другой окружности —
С и D.
а) Докажите, что два треугольника, образованных
центром окружности, точками А и В и точкой пересе
чения касательных, равны.
б) Докажите, что два треугольника, образованных
точкой О, центрами окружностей и точками А и С со
ответственно, подобны.
в) Докажите, что прямые АВ и CD параллельны.
г) Найдите угол между касательными, если угол
между радиусами большей окружности, проведенными
в точки касания, равен 120°, а радиусы окружностей
равны 1 см и 6 см соответственно.
д) Найдите расстояния от точки пересечения каса
тельных до центров каждой окружности, если угол
между радиусами большей окружности, проведенными
в точки касания, равен 120°, а радиусы окружностей
равны 1 см и 6 см соответственно.
е) Найдите длины АВ и CD, если угол между радиу
сами большей окружности, проведенными в точки ка
сания, равен 120°, а радиусы окружностей равны 1 см
и 6 см соответственно.
153
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1 классы)
ж) Найдите расстояние между А В и CD, если угол
между радиусами большей окружности, проведенными
в точки касания, равен 120°, а радиусы окружностей
равны 1 см и 6 см соответственно.
з) Найдите площадь четырехугольника, образованно
го точками А , В, D и С, если угол между радиусами
большей окружности, проведенными в точки касания,
равен 120°, а радиусы окружностей равны 1 см и 6 см
соответственно.
67. Четыре окружности попарно касаются друг друга.
а) Докажите, что четырехугольник, образован
ный четырьмя центрами окружностей, является ква
дратом.
б) Докажите, что четырехугольник, образованный
четырьмя точками касания окружностей, является ква
дратом.
в) Найдите площадь четырехугольника, образован
ного четырьмя точками касания окружностей, если ра
диусы четырех окружностей равны 4.
г) Найдите радиус окружности, касающейся вну
тренним образом данных окружностей, если радиусы
четырех окружностей равны 4.
68. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С — пря
мой) построили окружность радиуса АС с центром
в вершине А , которая пересекла А В в точке М. Ка
сательная к окружности в точке М пересекла ВС в
точке Р.
а) Докажите, что треугольники АВС и М В Р по
добны.
б) Докажите, что треугольник М СР — равнобедрен
ный.
в) Найдите угол С М Р, если угол ВАС = 36°.
г) Найдите ВР, если М В = 2, а угол между АС и МР
равен 45°.
154
5. ГЕОМЕТРИЯ
69. Окружности касаются внутренним образом в точ
ке Н так, что центр большей окружности лежит
на окружности меньшего радиуса. Прямая, соеди
няющая центры окружностей, пересекает большую
окружность в точке А . Из этой точки к окруж
ности меньшего радиуса проведены две касатель
ные, пересекающие большую окружность в точ
ках Б и С.
а) Докажите подобие треугольников A B L и А К О , где
О — центр окружности меньшего радиуса, К — точка
касания прямой А В и окружности с центром О, L —
точка пересечения ВС с линией, соединяющей центры
окружностей.
б) Докажите равенство углов АКО и А В Н .
в) Докажите подобие треугольников АКО и А В Н , где
О — центр окружности меньшего радиуса, К — точка
касания прямой А В и окружности с центром О.
г) Докажите равенство углов A B L и АНС.
д) Найдите длину В Н , если радиус большей окруж
ности равен 6 см.
е) Найдите площадь треугольника А В Н , если радиус
большей окружности равен 6 см.
ж) Найдите длину ВС, если радиус большей окруж
ности равен 6 см.
з) Найдите длину L H , если радиус большей окруж
ности равен 6 см.
и) Найдите высоту треугольника А В С , опущенную
из вершины А .
70. Шесть одинаковых окружностей касаются внешним
образом и касаются внутренним образом большой
окружности, радиусом 9 см.
а) Докажите, что центры двух внутренних касаю
щихся окружностей и центр большой окружности об
разуют равносторонний треугольник.
б) Докажите, что центр большой окружности и точ
ки касания двух внутренних касающихся окружностей
155
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
с большой окружностью образуют равносторонний тре
угольник.
в) Докажите, что фигура, образованная четырьмя
центрами последовательно касающихся внутренних
окружностей, является равнобедренной трапецией.
г) Найдите радиус вписанных окружностей.
д) Найдите площадь фигуры, образованной четырь
мя центрами последовательно касающихся внутренних
окружностей.
е) Найдите длину дуги окружности, соединяющей
центры вписанных окружностей, между центрами двух
соседних вписанных окружностей.
71. Хорда окружности, радиус которой 10 см, отсекает
треть окружности. В каждый из полученных сег
ментов вписано по окружности наибольшего из воз
можных радиусов.
а) Докажите, что центры вписанных окружностей
лежат на диаметре окружности, радиус которой 10 см.
б) Найти длину хорды окружности.
в) Найдите радиусы вписанных окружностей.
72. К окружности в точке В проведена касательная.
Параллельно касательной проведена секущая, кото
рая пересекает окружность в точках А и С.
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедрен
ный.
б) Докажите, что треугольник АВС является прямо
угольным, если внутренняя часть секущей в два раза
больше расстояния между касательной и секущей.
в) Найдите угол между АВ и касательной, если вну
тренняя часть секущей в два раза больше расстояния
между касательной и секущей.
г) Найдите радиус окружности, если внутренняя
часть секущей равна 10 см, а расстояние между каса
тельной и секущей равно 5 см.
д) Найдите периметр треугольника АВС, если АВ = 5,
а расстояние между касательной и секущей равно 3 см.
156
5. ГЕОМЕТРИЯ
5.2. Стереометрия
Теоретические сведения
П рямые и плоскости
Признак параллельности прямых. Если две прямые
параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Признак параллельности прямой и плоскости. Если
прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна
какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то
она параллельна данной плоскости.
Признак параллельности плоскостей. Если две пере
секающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикуляр
на к этой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, прове
денная в плоскости через основание наклонной перпен
дикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпенди
кулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоско
сти через основание наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна
из двух плоскостей проходит через прямую, перпенди
кулярную к другой плоскости, то такие плоскости пер
пендикулярны.
Т е о р е м а 1. Если двугранные углы при основании
пирамиды равны, то центр вписанного шара принадле
жит ее высоте.
Т е о р е м а 2. Если боковые ребра пирамиды равны,
то центр описанного шара лежит на высоте или ее про
должении.
О п р е д е л е н и е . Прямая называется перпендику
лярной к плоскости, если она перпендикулярна к лю
бой прямой, лежащей в этой плоскости.
157
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
О п р е д е л е н и е . Углом между прямой и плоско
стью, пересекающей эту прямую и не перпендикуляр
ной к ней, называется угол между прямой и ее проек
цией на плоскость.
О п р е д е л е н и е . Двугранным углом называется фи
гура в пространстве, образованная двумя полуплоско
стями, исходящими из одной прямой. Полуплоскости
называются гранями двугранного угла, а их общая пря
мая — ребром двугранного угла.
Двугранный угол измеряется линейным углом, т.е.
углом между двумя перпендикулярами к ребру, вы
ходящими из одной точки и лежащими в разных
гранях.
Определение.
Общим перпендикуляром двух
скрещивающихся прямых называется отрезок, концы
которого лежат на данных прямых,перпендикулярный
к ним.
Определение.
Расстояние между скрещиваю
щимися прямыми равно длине их общего перпенди
куляра.
Пирамида
О п р е д е л е н и е . Пирамида называется правильной,
если ее основание — правильный многоугольник, а от
резок, соединяющий вершину пирамиды с центром ос
нования, является ее высотой.
О п р е д е л е н и е . Апофемой правильной пирамиды
называется высота ее боковой грани, проведенная из
вершины пирамиды.
Призма
О п р е д е л е н и е . Прямая призма называется пра
вильной, если ее основания — правильные многоуголь
ники.
О п р е д е л е н и е . Перпендикулярным сечением на
клонной призмы называется ее сечение плоскостью,
пересекающей все боковые ребра призмы и перпенди
кулярной к ним.
158
5. ГЕОМЕТРИЯ
Площади и объемы
ПИРАМИДА
1) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
-2р ..
h,
ОСИ
где Р осн — периметр основания, h — длина апофемы.
2) Площадь полной поверхности произвольной пирамиды
S°п о л н = s* о о к +' °Sо с н '
где Sa
3) Объем произвольной пирамиды
*5
осн
где SoCH — площадь основания, Н — высота пирамиды.
ПРИЗМА
4) Площадь боковой поверхности прямой призмы
^бок = ^осн
где Росн — периметр основания, Н — высота призмы.
5) Площадь боковой поверхности наклонной призмы
S*^бок = гР пер.
сеч
I
где Р перп сеч — периметр перпендикулярного сечения,
I — боковое ребро призмы.
6) Площадь полной поверхности произвольной призмы
^
=
S
6 0
K +
2
S OCH>
где S0CH — площадь основания.
7) Объем произвольной призмы
v = s ocж
-.н,
где S
— площадь основания, Н — высота призмы.
159
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 -1 1 классы)
8) Объем наклонной призмы
V = S пер.
сеч
• I,’
где Snep сеч — площадь перпендикулярного сечения,
I — боковое ребро призмы.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
9) Площ адь боковой поверхности конуса
S 60K =
К
' Г
' 1’
где г — радиус основания конуса, I — образующая ко
нуса.
10) Объем конуса
V =- n
r2 h,
3
где г — радиус основания конуса, h — высота конуса.
11) Площ адь боковой поверхности цилиндра
S
6 0
K =
2
*
-
r
ft’
где г — радиус основания цилиндра, h — высота ци
линдра.
12) Объем цилиндра
V =
k
- t* - K
где г — радиус основания цилиндра, h — высота ци
линдра.
13) Площ адь сферы
S = 4 к • Д2,
где R — радиус сферы.
14) Объем шара
где R — радиус сферы.
160
5. ГЕОМЕТРИЯ
Решение типовых заданий
Стереометрические задания в ЕГЭ включены в
часть 1 и часть 2: одно задание в части 1 и одно за
дание в части 2. Основное отличие стереометрических
заданий, включаемых в разные группы, — это разный
уровень необходимых для решения обоснований и ко
личество шагов в их решении. Так, задания из части 1
в своем решении содержат обычно 2—3 вычислитель
ных действия и 1—2 обоснования, без которых невоз
можно решить их. Эти обоснования связаны чаще всего
с переводом условия задания на «язык чертежа» и по
строениями, о которых прямо или косвенно говорится
в задании. Например, построение и введение в рассмо
трение элементов, заданных в условии, таких как рас
стояние от точки до плоскости, расстояние между скре
щивающимися прямыми, линейный угол.
Стереометрические задания из части 2 сложнее. Они
требуют большего количества развернутых обоснований
и обычно несложных вычислений. При решении этих
заданий часто требуется построение вспомогательных
элементов и сечений, сопровождаемых необходимыми
доказательствами.
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Задание 1. В правильной четырехугольной пирамиде
известны длина стороны основания 2 V2 и длина высо
ты 2. Найдите: а) объем пирамиды; б) площадь боковой
поверхности; в) угол наклона бокового ребра к плоско
сти основания; г) угол наклона боковой грани к плоско
сти основания; д) радиус вписанного шара; е) радиус
описанного шара; ж) расстояние от вершины пирамиды
до плоскости основания; з) расстояние от вершины пи
рамиды до ребра основания; и) расстояние от ребра ос
нования до противоположной грани; к) расстояние меж
ду боковым ребром и скрещивающейся с ним диагона
лью основания; л) объем вписанного конуса; м) площадь
боковой поверхности описанного конуса.
16 1
1. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
а) КО — высота пирамиды (О — центр квадрата
ABCDj точка пересечения диагоналей). По формуле (3)
V = -S ascd-1С° = - ( 2 Щ ■2 = — .
б) Проведем апофему КТ и найдем ее длину из АКОТ:
КТ = ^ 2 2 + ( V 2)2 = л / б .
По формуле (1)
= \ равсок т Л ^ - 4 & = ^
в) Так как в правильной пирамиде g
углы наклона всех боковых ребер к
плоскости основания равны, то най
дем, например, угол наклона ребра КС
к плоскости основания (см. определе
ние угла между прямой и плоскостью).
Это угол КСО. Рассмотрим АКСО.
КО = 2, ОС=0,5АС, а АС является диа
гональю квадрата ABCD , значит,
АС=(2>/2)л/2 = 4. Поэтому zKCO = 45°.
г) Так как в правильной пирамиде
углы наклона всех боковых граней к
плоскости основания равны, то найдем,
например, угол наклона боковой грани
KCD к плоскости АВС. Так как KT1DC,
то и OT1DC (по теореме, обратной тео
реме о трех перпендикулярах), поэтому
162
=^ .
5. ГЕОМЕТРИЯ
zKTO — линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим АКТО.
КО = 2, ОТ = - AD = 42, КТ = 4б.
2
^2
Имеем: zKTO =a.rctg\/2, или /K TO = arcctg—— , или
[Г
.
2
zK TO = arccosj—, или zK TO = arcsin-r=.
V3
>/б
д) Так как двугранные углы при ос
новании правильной пирамиды равны,
то центр вписанного шара (точка Ог)
принадлежит высоте КО. Обозначим ра
диус вписанного шара буквой г. Рассмо
трим АКОТ. 0 1Р = 0 10 = г.
Используя подобие АКО^Р и АКТО,
имеем:
О
KOL = q i P
кт
от
2 - г = Г (2 _ yj2
42
’
rVe,
г = 4з-1.
е) Так как боковые ребра правиль- к
ной пирамиды равны, то центр описан
ного шара (точка 0 2) лежит на прямой
КО. Обозначим радиус описанного
шара через R. Рассмотрим АКСО. По
теореме Пифагора из Д02ОС:
0 2С2= о с 2+ о 2о 2,
Д2= (■&)*+ (2 - R )2, R = 2.
Получаем, что центр описанного шара совпадает с
точкой О.
ж) Расстояние от точки К до плоскости АВС равно
длине отрезка КО и равно 2.
^
з) Так как в правильной пирами
де расстояния от вершины до ребер
основания равны, то найдем, напри
мер, расстояние от точки К до ребра
CD. Это расстояние равно длине апо
фемы К Т и равно Тб.
163
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
и) Так как прямая DC параллельна плоскости А В К
(по признаку параллельности прямой и плоскости), то
расстояние от прямой DC до плоскости А В К равно рас
стоянию от любой точки прямой DC до этой плоскости.
Рассмотрим на прямой DC точку Т. И из А Е К Т (точ
ка Е — середина АВ) найдем искомое расстояние. Это
расстояние равно длине высоты ТН . Найдем длину ТН,
выразив двумя способами площадь А Е К Т .
К Т = КЕ = л/б, Е Т = 2^2.
S FKT = - КО ■Е Т = - Е К ■ТН,
ЕКТ
2
2 ■2л/2 =
2
-У б
• ТН,
k) Найдем, например, расстояние от ребра КС до
диагонали BD. Проведем высоту OF в АКОС и дока
жем, что OF — общий перпендикуляр к прямым КС и
BD (смотрите определение общего перпендикуляра двух
скрещивающихся прямых).
l) OF1KC по построению.
2) Так как BD±(KCO) (по признаку перпендикуляр
ности прямой и плоскости), a OFC(KCO), то B D 1 0 F (по
определению прямой, перпендикулярной к плоскости).
3) Найдем длину OF, используя площадь АКОС.
На примере пункта к) предыдущей задачи покажем
применение векторно-координатного метода для нахож
дения расстояния между скрещивающимися прямыми.
Этот метод используется, когда непосредственно опре
делить общий перпендикуляр двух скрещивающихся
прямых сложно.
164
5. ГЕОМЕТРИЯ
1) Введем прямоугольную систему координат так,
как показано на рисунке. Пусть SN — общий перпен
дикуляр прямых КС и BD. Найдем длину вектора SN:
SN = SD + W + C N .
__
2) Так как SD коллинеарен BD,
то существует число х, такое что
SB = xBD, аналогично: CN = уСК.
Имеем:
lW = xBD + DC + yCK.
3) Найдем координаты векто
ров: BD (4; 0; 0), DC ^ 2 ; 2; 0),
СК(0; -2 ; 2), поэтому SN (4л:—2;
2-2у; 2у).
__4) Учитывая, что SN1BD (SN • BD = 0) и SN1CK
( S N C K = 0), получим систему линейных уравнений
| (4х - 2)4 = 0,
| х = 0,5,
[(2 - 2i/)(-2) + 2у -2 = о \ у = 0,5.
5) Получаем SN (0; 1; 1), поэтому его длина
|siv| = л/о2 + i 2 + i 2 = V2.
л) Высота вписанного конуса равна высоте пирами
ды, а радиус основания конуса равен радиусу окруж
ности, вписанной в квадрат ABCD, поэтому
1 / г~\2
4
Ивпис. конуса=
7t ( V 2 I '2=
71.
3
v
/
3
м) Образующая описанного конуса равна боковому
ребру пирамиды, а радиус основания конуса равен ра
диусу окружности, описанной около квадрата ABCD,
поэтому
^опис. конуса= Я*2 • 2v 2 =4>/2л.
НЕПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Задание 2. В треугольной пирамиде АВСК ребро ВК
перпендикулярно основанию АВС. Длины ребер АК = 3,
С К =5, (СК>АС), а грань АКС является прямоуголь165
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
ным треугольником. Найдите объем пирамиды, если
угол между гранями АВС и АКС равен 15°.
К
Ре ш е н и е . 1) Так как ААКС — прямоугольный и
СК — большая сторона, то СК — гипотенуза, сторона
АС = 4, zKAC = 90°.
2) По теореме, обратной к теореме о трех перпенди
кулярах, АВ1АС. Получаем, что двугранный угол КАСВ
измеряется линейным углом К А В , значит, zK A B = 15°.
3) Можем считать основанием пирамиды треуголь
ник АКБ, а ее высотой — отрезок АС.
S AAkb =0,5-3-АВ sinl5° = 0,5-3 (3 c o sl5 °)sin l5 ° = - .
8
4) Тогда объем пирамиды можно найти по формуле
1
1
Q
3
3 8
v = ~ S aakb АС = ------ 4 = 1,5.
Ответ: 1,5.
Задание 3. В основании пирамиды лежит треуголь
ник со сторонами Зл/З; 11 и углом в 30° между ними.
Все боковые ребра пирамиды равны 8. Найдите объем
пирамиды (Р)- В ответе запишите V • л/б.
Р е ш е н и е . 1) Рассмотрим пирамиду DABC. Пусть
DO — ее высота и АВ = 11, АС = 3^3, zBAC = 30°.
166
5. ГЕОМЕТРИЯ
По формуле объема пирамиды: V = —
3
S АAB
C = -2 ■11 • Зт/3 sin 30° =
ВС
DO.
4
2) Остается найти высоту пирамиды, т.е. DO. Выяс
ним положение точки О. Так как AAOD =ABOD =Д COD
(по гипотенузе и катету), то АО = ВО = СО и точка О
равноудалена от вершин, следовательно, точка О —
центр описанной окружности.
3) Обозначим около треугольника АВС радиус опи
санной окружности через R.
ВС
По теореме синусов из ААВС: 2R = -------- (*).
sin 30° V
4) По теореме косинусов из ААВС: ВС2=АВ2+АС2-2АВ •АС • coszA = 112-Ь(З^/З)2- 2 • 11 • 37з • cos30° = 49,
ВС = 7.
5) Подставим ВС в (*). Получим R = 7.
6) По теореме Пифагора из AAOD:
DO = т/82 - 72 = т/15.
1 ЗЗт/3
ЗЗт/5
7) Окончательно получаем F = - — — •т/15 =
4
В ответе V- 75=41,25.
Ответ: 41,25.
Задание 4. Найдите площадь полной поверхности
четырехугольной пирамиды, если в основании пирами
ды лежит ромб с диагоналями 30 и 40 и все боковые
грани пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом 30°.
Р е ш е н и е . 1) Рассмотрим пирамиду KABCD , КО —
высота, АС = 40, BD = 30.
167
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
2) По формуле площади полной поверхности пира
миды:
^полн — ^ б о к
»
S*Bco = ^ 30 40 = 600.
3) Найдем длину высоты пирамиды,
для этого выясним положение точки О.
Опустим из точки О перпендикуляры
к DC и AD, соответственно ОВх и ОСг
По теореме о трех перпендикулярах:
K B ^ D C , K C l± AD , поэтому z K C f t ,
z K B f i — линейные углы двугран
ных углов KADB и К DC В, значит,
z K C f i = z K B lO = 30°. Аналогично: z K A f i = z K D f i =30°.
4) Так как A K C f i = A K B f t = A K A f i = A K D f i (по
чему?), то A f t = В f t = C f t = D f t и точка О равноуда
лена от сторон, следовательно, точка О — центр впи
санной в ромб окружности.
5) Обозначим радиус вписанной окружности буквой г.
Найдем его из ACOD.
CD = л/202 +152 = V625 = 25.
Из подобия AO B f t и ACOD получим пропорцию
20 15
CD
СО
20
25
г = 12 .
25 ’
г
OD ’
ОБ,
15’
Из A K Bft: cosA K B ft =
ОВ,
КВ
= — ^
= 8V3.
1 cos 30°
6) S6oK= 4SA.CZ), a SACO = I KB, ■DC = | • 8V§ •25 = ЮОл/З.
КВ,
s 60K= 400V3.
7) Окончательно имеем S nom = 600 + 400л/з.
Ответ: 600 + 400V3.
168
5. ГЕОМЕТРИЯ
ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА
Задание 5. В правильной призме АВСА1В 1С1 сторона
основания равна 6. Прямая А В 1 образует с основанием
угол 30°. Найдите:
I. Площади и объемы
а) площадь боковой поверхности призмы; б) пло
щадь полной поверхности призмы; в) объем призмы;
г) на сколько процентов объем вписанного цилиндра
меньше объема описанного цилиндра? д) сколько про
центов от площади боковой поверхности вписанного ци
линдра составляет площадь боковой поверхности опи
санного цилиндра? е) площадь описанного шара;
ж) площадь сечения АВ^С; з) отношение объемов при
змы АВСА1В 1С1 и пирамиды В 1АВС;
II. Углы
и) между прямыми А В г и ССг; к) между плоскостя
ми А В гС и АВС; л) угол между прямой В ХМ и плоско
стью АВС, если В М — медиана треугольника АВС;
III. Расстояния
м) от точки В х до плоскости АССг; н) от точки В х до
прямой АС; о) от прямой В В г до плоскости АССг;
п) между прямыми АС и B B V
А
I. Площади
.бъемы
а) 1. S 6oK=POCH • Н . В основании лежит правильный
треугольник АВС, значит, Росн= -РАБС= 3 * 6 = 18*
2. Найдем высоту призмы. Прямая АВ: образует с
основанием угол 30° (см. определение угла между пря169
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
мой и плоскостью). Проекцией диагонали А В Х является
сторона основания АВ (так как в правильной призме бо
ковые грани перпендикулярны к плоскости основания),
поэтому углом между прямой А В Х и плоскостью основа
ния АВС является угол В гАВ. Итак, z B xAB = 30°. Вы
соту призмы В В Х можно найти двумя способами.
1-й способ
Из треугольника АВВ\ имеем
ВВХ _ ВВ,
t gZB.AB
АВ ~ 6 ’
/о
ВВХ= 6 • tg30° = 6 •—
= 2л/3.
3
2-й способ
По свойству катета, лежащего против угла в 30°,
имеем АВ1= 2ВВ1, и если В В х= х:, тогда А В Х= 2х. По те
ореме Пифагора jc2+ 62= (2x)2, откуда х = 2у[3.
3 .S
Ответ: 54.
г) Сначала рассмотрим цилиндр, описанный около
призмы. Высота описанного цилиндра равна высоте
призмы, т.е. ВВХ, а радиус основания равен радиу
су окружности (R ), описанной около треугольника
АВС,
В = § ■ВМ = | •л/б2 - з 2 = - •зТз = 2-Л.
А
С
170
М
3
3
3
Иопис. цилиндра = к В 2 - ВВ1 = 24гЛк.
Теперь рассмотрим цилиндр, впиА ^санный в призму. Высота вписанного
5. ГЕОМЕТРИЯ
цилиндра равна высоте призмы, т.е. B B V а радиус ос
нования равен радиусу окружности, вписанной в тре
угольник АВС (г).
г = - ■ВМ = - •Зл/з = л/з.
3
3
К п н с. цилиндр.
Прежде чем записать ответ, вспомним, на какой во
прос необходимо ответить в пункте г).
Ответ: на 75% объем вписанного цилиндра меньше
объема описанного цилиндра.
д) Сначала рассмотрим цилиндр, описанный около
призмы. Образующая описанного цилиндра равна высоте
призмы, т.е. B B V а радиус основания равен радиусу
окружности (К), описанной около треугольника АВС, по
этому
^бок.опис.цилиидра31 2 71 • R ‘ В В ^
—
7 2 К.
Теперь рассмотрим цилиндр, вписанный в призму.
Образующая вписанного цилиндра равна высоте при
змы, т.е. B B V а радиус основания равен радиусу окруж
ности (г), вписанной в треугольник АВС, поэтому
Вбок,впис. цилиндра = 2 К • Г • В В j — 367Г.
Решим пропорцию:
36я — 100% —
36я = ----100%
- , у = 200%.
72к — у
’ 72л
Ответ: 200% составляет площадь
боковой поверхности описанного ци
линдра от площади боковой поверх
ности вписанного цилиндра.
е) 1. Центр описанной сферы (точ
ка О) является серединой отрезка
N N V где точки N и N x — центры
треугольников АВС и А 1В 1С1 соответ171
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
ственно. Эта точка равноудалена от всех вершин при
змы. Радиус сферы (ОС) найдем из треугольника ONC.
2. ON=0,5NNl = 3j33. NC равен радиусу окружно
сти, описанной около треугольника
ABC, N C = 2л/3.
4. ОС2 = 2 7 + 12 = 39.
5. S = 4 к ■ОС2= 60 я.
Ответ: 60 л.
ж) Искомое сечение — треуголь
ник ABjC, причем ABj = CBY (поче
му?). Найдем площадь треуголь
ника.
Высота треугольника, опущенная из вершины B v
равна
> /48-9 = л/39, тогда S = |-6 > /3 9 = 3 > /3 9 .
Ответ: 3л/39.
з) Найдем отношение объемов
пирамиды BjABC.
Vу А В С Л ^ С ,
^АВС
*
^ ^ 1
1/
к J3)ABC
А
II. Углы
и) Прямые А Вг и ССг являются скрещивающимися.
Заменим угол между скрещивающимися прямыми
углом между пересекающимися прямыми. Так как пря
мая СС1 параллельна прямой A A V то z(А В ССг) =
= z (A £ 1; А А Х) = 60°.
Ответ: 60°.
172
5 ГЕОМЕТРИЯ
к) 1. Чтобы найти угол между
плоскостями ABjC и АВС, построим
соответствующий линейный угол
(см. определение линейного угла).
Плоскости А В ХС и АВС пересекаются
по прямой АС. В плоскости АВС к
прямой АС уже проведен перпенди
куляр — это высота ВМ . Так как
АС1ВМ (проекции), то А С±М ВХ (наА
клонной) по теореме о трех перпендикулярах. Поэто
му угол В ХМ В является соответствующим линейным
углом.
2. Определим его из треугольника В гМ В.
3.
2
м м в2\/з^ ъ,
zB ,M B = a r c tg |.
м
2
Ответ: arctg—.
л) Угол между прямой В ХМ и плоскостью АВС равен
углу В ХМ В, так как проекцией В ХМ на плоскость АВС
является ВМ.
Ответ: arctgIII. Расстояния
м) Так как точка В х лежит в
плоскости А 1В 1С1, перпендикуляр
ной к плоскости АССХ то перпенди
куляр из точки В х к линии пере
сечения плоскостей А1В 1С1 и АССХ
будет перпендикуляром и к пло
скости АССГ Итак, искомым рас
стоянием от точки вхдо плоскости
АССХявляется высота В ХМ Х треу
гольника A lB 1Cv В 1М 1= зТз.
Ответ: 3у[3.
173
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 -1 1 классы)
н) Расстоянием от точки В х до прямой АС является
высота В ХМ треугольника А В ХС, проведенная к сторо
не АС.
А
Ответ: >/39 .
о) Так как прямая В В у параллельна плоскости ACCV
то расстояние от прямой В В г до плоскости АССг равно
расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости,
например от точки B v А это расстояние мы уже на
ходили в пункте м).
Ответ: SyfS.
п) Так как В М 1А С , B M 1 B B V то расстояние между
прямыми АС и В В Х равно длине отрезка В М — общего
перпендикуляра к этим прямым.
А
Ответ: 3^/3.
НЕПРАВИЛЬНЫЕ ПРИЗМЫ
Задание 6.
В
наклонном
параллелепипеде
ABCDA1B 1C1D1 боковое ребро равно 5. Расстояние меж
ду ребром А А г и ребрами В В Х и DDX соответственно
равно 6 и 8, а расстояние между А А г и ССг равно 10.
174
5. ГЕОМЕТРИЯ
Найдите: а) объем параллелепипеда; б) площадь боко
вой поверхности параллелепипеда.
Из точки М на ребре А А Х проведем в грани А В В ХА Х
перпендикуляр MQ к ребру A A V Плоскость MNQ пер
пендикулярна боковым ребрам параллелепипеда и сече
ние этой плоскостью параллелепипеда — есть паралле
лограмм MNPQ (перпендикулярное сечение) (см. Теоре
тические сведения в начале раздела).
а) Итак, расстояние между ребрами А А г и В В 1 рав
но MQ, расстояние между ребрами А А 1 и DDl равно
M N , расстояние между ребрами А А г и СС1 равно МР.
S ^ ^ P mspq-AA, = 2 ( 6 + 8 ) 5 = 140.
Ответ: 140.
б) Так как в треугольнике M NP M P1
2=
43 M N 2 + PAT2,
то по теореме, обратной теореме Пифагора, z M N P = 90° и
перпендикулярное сечение является прямоугольником.
Ответ: 240.
Задания для самостоятельного решения
Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом
может являться целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби.
1.
2.
Ребро куба равно 3^2. Найдите диагональ грани
куба.
Ребро куба равно 4>/3. Найдите диагональ куба.
3.
Ребро куба равно 2$/2. Найдите объем куба.
4.
Ребро куба равно 2>/2. Найдите площадь полной
поверхности куба.
175
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
5.
6.
Диагональ грани куба равна 2>/2. Найдите объем
куба.
Диагональ куба равна 6>/3. Найдите объем куба.
10. В прямой треугольной призме А В С А 1В 1С1 диаго
наль А В 1 равна V5, а высота равна 1. Найдите объ
ем призмы, если в ее основании лежит равнобед
ренный прямоугольный треугольник с прямым
углом АВС.
11. В прямой треугольной призме АВСА1В 1С1 диагональ
A BL равна V5, а высота равна 1. Найдите площадь
боковой поверхности призмы, если в ее основании
лежит равносторонний треугольник А В С .
12. Сторона основания правильной четырехугольной
призмы равна 5, а ее объем равен 75. Найдите вы
соту призмы.
13. ABCDA1B 1C1D1 — правильная призма. А В = 6, А А г = 8.
Найдите площадь диагонального сечения AZX^Bj.
14. ABC D A1B lClD 1 — правильная призма. Найдите
угол между прямыми ССг и А В . Ответ запишите в
градусах.
177
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
15. ABCDAlB 1C1Dl — правильная призма, АВ = 4. Най
дите расстояние между прямыми ССг и АВ.
16. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра
равны 2л/2. Найдите угол наклона бокового ребра к
плоскости основания. Ответ запишите в градусах.
17. В правильной четырехугольной пирамиде сторона
основания равна апофеме. Найдите угол наклона
боковой грани к плоскости основания. Ответ запи
шите в градусах.
18. В правильной четырехугольной пирамиде известны
длина стороны основания 12 и длина высоты 8.
Найдите расстояние от вершины пирамиды до реб
ра основания.
19. В правильной четырехугольной пирамиде со сторо
ной основания 12 найдите расстояние от высоты
пирамиды до стороны основания.
20. Найдите площадь сечения правильной четырех
угольной пирамиды, проходящего через высоту и
боковое ребро, если сторона основания пирамиды
равна 2%/2, а высота равна 2.
21. Найдите площадь полной поверхности правильного
тетраэдра (S), если его ребро равно 6. В ответе за
пишите S-V3.
22. Найдите площадь полной поверхности правильного
октаэдра, если площадь его одной грани равна 15.
23. Объем правильной треугольной пирамиды равен 12.
Найдите расстояние от вершины пирамиды до пло
скости основания, если площадь основания пира
миды равна 4.
24. Дана правильная треугольная призма со стороной
основания 4>/3 и высотой —. Найдите объем впип
санного в призму цилиндра.
178
5, ГЕОМЕТРИЯ
25. Дана правильная треугольная призма со стороной
основания 4>/3 и высотой —. Найдите объем опи%
санного около призмы цилиндра.
26. Дана правильная четырехугольная призма со сто-
„4
роной основания 4 и высотой —. Найдите объем
к
вписанного в призму цилиндра.
27. Дана правильная четырехугольная призма со сто„ 4
роной основания 4 и высотой —. Найдите объем
71
описанного около призмы цилиндра.
28. Дана правильная шестиугольная призма со сторо4
ной основания 4 и высотой —. Найдите объем
к
вписанного в призму цилиндра.
29. Дана правильная шестиугольная призма со сторо4
ной основания 4>/3 и высотой —. Найдите объем
к
описанного около призмы цилиндра.
30. Найдите образующую конуса, если его высота рав
на 8, а диаметр основания равен 12.
31. Найдите высоту конуса, если его образующая, рав
ная 12, наклонена к плоскости основания под углом
30°.
32. Из квадрата, со стороной 2л, свернута боковая по
верхность цилиндра. Найдите радиус основания ци
линдра.
179
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0-11 классы)
33. Найдите площадь основания цилиндра (S), который
получен вращением прямоугольника со сторонами
4 и 3 вокруг меньшей стороны. В ответе
S
запишите —.
71
34. Вычислите длину окружности основания конуса (С),
если разверткой его боковой поверхности является
сектор, радиус которого равен 6, а централ ьС
ный угол 120°. В ответе запишите —.
к
35. Высота конуса равна половине образующей. Опреде
лите градусную меру угла, который составляет об
разующая с плоскостью основания.
36. Найдите объем и площадь полной поверхности мно
гогранника, изображенного на рисунке. Все дву
гранные углы многогранника — прямые.
37. Найдите объем и площадь полной поверхности мно
гогранника, изображенного на рисунке. Все дву
гранные углы многогранника — прямые.
180
5 ГЕОМЕТРИЯ
38. Найдите объем и площадь полной поверхности мно
гогранника, изображенного на рисунке. Все дву
гранные углы многогранника — прямые.
9
39. Шар радиуса 13 пересечен плоскостью, находящей
ся на расстоянии 5 от его центра. Найдите радиус
получившегося сечения.
40. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна
64л.
41. Найдите радиус шара, если его объем равен 288л.
42. Вершины квадрата лежат на сфере радиуса 10.
Найдите расстояние от центра сферы до плоскости
квадрата, если сторона квадрата равна 6V2.
43. Две параллельные плоскости касаются сферы радиу
са 5. Найдите расстояние между плоскостями.
44. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны
6>/2. Расстояние между секущими плоскостями
равно 12>/2. Найдите радиус сферы.
45. В куб с ребром 2 вписана сфера, найдите ее радиус.
46. Около куба с ребром 2>/3 описана сфера. Найдите
ее радиус.
47. Дана правильная треугольная пирамида со сторо2
ной основания 6 и высотой —. Найдите объем
л
вписанного в пирамиду конуса.
181
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
48. Дана правильная треугольная пирамида со сторо2
ной основания 6 и высотой —. Найдите объем
к
описанного около пирамиды конуса.
49. Дана правильная четырехугольная пирамида со сто2
роной основания б и высотой —. Найдите объем
к
вписанного в пирамиду конуса.
50. Дана правильная четырехугольная пирамида со сто2
роной основания 6 и высотой —. Найдите объем
к
описанного около пирамиды конуса.
51. Дана правильная шестиугольная пирамида со сто
роной основания 6 и высотой —. Найдите объем
к
вписанного в пирамиду конуса.
52. Дана правильная шестиугольная пирамида со сто2
роной основания 6 и высотой —. Найдите объем
к
описанного около пирамиды конуса.
Запишите решение с полным его обоснованием.
53. ABCDA1B 1C1D 1 — правильная призма. АВ = 4,
ААг = 6. Найдите угол между B XD и плоскостью
АВС.
54. АВСА1В 1С1 — правильная призма. АВ = 4, ААг = 6.
Найдите угол между В гМ и плоскостью АВС, где
т. М — середина АС.
55. ABCDEFA1B 1C1D 1E 1F1 — правильная
призма.
АВ = 4, ААХ = 6. Найдите угол между B XD и пло
скостью АВС.
182
5. ГЕОМЕТРИЯ
56. ABCDA1B 1C1D l — правильная призма. АВ = 4,
AAj = 6. Найдите угол между B XD и плоскостью
DCCV
57. ABCAlB 1Cl — правильная призма. АВ = 4, АА1 = 6.
Найдите угол между В ХА и плоскостью ВССу
58. ABCDAlB 1C1D 1 — правильная призма. АВ = 4,
ААХ = 6. Найдите угол между плоскостью ADC1 и
плоскостью АВС.
59. АВСА1В 1С1 — правильная призма. АВ = 4, ААХ = 6.
Найдите угол между плоскостью АВСХ и плоско
стью АВС.
60. ABCDEFA1B 1C1D1E 1F l — правильная призма. АВ = 4,
ААХ = 6. Найдите угол между плоскостью А 1ВС1 и
плоскостью АВС.
61. ABCDA1B lC1D1 — правильная призма. АВ = 4, АА1 = 6.
Найдите расстояние от точки Сх до прямой AD.
62. АВСА1В 1С1 — правильная призма. АВ = 4, ААг = 6.
Найдите расстояние от точки Сх до прямой АВ.
63. ABCDEFA1B lC1D1E 1F 1 — правильная призма. АВ = 4,
ААХ = 6. Найдите расстояние от точки Сх до реб
ра АВ.
64. ABCDEFA1B 1C1D1E 1F 1 — правильная призма. АВ = 4,
AAj = 6. Найдите расстояние от точки
до прямой
АВ.
65. АВСА1В 1С1 — правильная призма. АВ = 4. Найдите
расстояние между прямыми ССг и АВ.
66. ABCDA1B 1C1D 1 — правильная призма. АВ = 4. Най
дите расстояние между прямыми СС1 и D B .
67. ABCDEFA1B 1C1D1E lF 1 — правильная призма. АВ = 4.
Найдите расстояние между прямыми ССХ и AF.
183
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
68. Основанием прямой призмы АВСАХВ ХСХ является
равнобедренный треугольник АВС с основанием
АВ, причем АС = 4, zC = 120°, боковое ребро ААХ
равно 8. Найдите площадь сечения А ХВ ХС.
69. Основанием прямой призмы АВСА1В 1С1 является
равнобедренный треугольник АВС с основанием
АВ, причем АС = 4, zC = 120°, боковое ребро ААХ
равно 8. Найдите угол между плоскостями АВВХ
и AXCBV
70. Основанием прямой призмы АВСА1В 1С1 является
равнобедренный треугольник АВС с основанием
АВ, причем АС = 4, zC = 120°. Найдите расстояние
между прямыми АС и B B V
71. В основании прямого параллелепипеда ABCDAlB 1C1Dl —
ромб ABCD с углом А, равным 60°, и стороной
АВ = 4. Известно, что высота ААХ равна 2>/3. Опре
делите угол между плоскостью АВС и плоскостью
сечения, проходящего через прямые АВ и CXDV
72. В наклонном параллелепипеде ABCDAlB lClD l боко
вое ребро равно 5. Расстояние между ребром ААХ и
ребрами В В Х и DDX соответственно равно 6 и 8, а
расстояние между ААХ и ССХ равно 10. Найти пло
щадь боковой поверхности параллелепипеда.
73. В наклонном параллелепипеде ABCZ)A1B 1C1D1 боко
вое ребро равно 5. Расстояние между ребром ААХ и
ребрами В В Х и DDX соответственно равно 6 и 8, а
расстояние между ААХ и ССХ равно 10. Найдите
объем параллелепипеда.
74. В правильной треугольной пирамиде сторона осно
вания равна 2-J%, а высота равна 2. Найдите угол
наклона бокового ребра к плоскости основания.
75. В правильной треугольной пирамиде сторона осно
вания равна 2V3, а высота равна 2. Найдите угол
наклона боковой грани к плоскости основания.
184
5. ГЕОМЕТРИЯ
76. В правильной четырехугольной пирамиде сторона ос
нования равна 2-Д, а высота равна 2. Найдите угол
наклона бокового ребра к плоскости основания.
77. В правильной четырехугольной пирамиде сторона
основания равна 2 и равна высоте пирамиды. Най
дите угол наклона боковой грани к плоскости осно
вания.
78. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ос
нования равна 2 и равна высоте пирамиды. Найдите
угол наклона боковой грани к плоскости основания.
79. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ос
нования равна 2 и равна высоте пирамиды. Найди
те угол наклона бокового ребра к плоскости осно
вания. Ответ записать в радианах.
80. Дана правильная треугольная пирамида со сторо
ной основания 4V3. Боковое ребро пирамиды на
клонено к плоскости основания под углом 30°.
Найдите объем пирамиды.
81. Основанием треугольной пирамиды является пря
моугольный треугольник с катетами 12 и 16. Каж
дое боковое ребро пирамиды равно 26. Найдите
объем пирамиды.
82. В основании пирамиды лежит треугольник со сто
ронами Зл/З; 11 и углом в 30° между ними. Все
боковые ребра пирамиды равны 8. Найдите объем
пирамиды.
83. В треугольной пирамиде все боковые ребра равны
15,5. Основанием пирамиды является треугольник
со сторонами 7, 15, 20. Найдите объем пирамиды.
84. В основании пирамиды лежит треугольник со сто
ронами л/2; 8 и углом в 45° между ними. Все бо
ковые ребра пирамиды равны 7. Найдите объем
пирамиды.
185
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 -1 1 классы)
85. Найдите площадь боковой поверхности четыреху
гольной пирамиды, если в основании пирамиды ле
жит ромб с диагоналями 30 и 40 и все боковые
грани пирамиды наклонены к плоскости основания
под углом 30°.
86. Основанием четырехугольной пирамиды является
ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Все боковые
грани наклонены к плоскости основания под одним
углом. Найдите боковую поверхность пирамиды,
если ее высота равна 16 см.
87. В четырехугольной пирамиде SABC D , основанием
которой является прямоугольник, длины ребер
SC = 8, CD = 6, а ребро SB 1A B C . Угол между пло
скостями SCD и АВС равен 30°. Во сколько раз
площадь основания больше площади грани SB C ?
88. Основанием пирамиды служит прямоугольник,
площадь которого равна ЗбТЗ. Две боковые грани
перпендикулярны к основанию, а две другие обра
зуют с плоскостью основания углы 45°, 30°. Най
дите объем пирамиды.
89. В основании четырехугольной пирамиды ABCDF
лежит квадрат со стороной, равной 4. Боковые гра
ни FAD и FCD перпендикулярны плоскости основа
ния пирамиды, а высота пирамиды равна диагона
ли ее основания. Найдите площадь сечения пира
миды плоскостью, проходящей через прямую АС
параллельно прямой FB.
90. Дана правильная треугольная пирамида со сторо
ной основания 12. Боковое ребро пирамиды накло
нено к плоскости основания под углом 30°. Найди
те объем вписанного в пирамиду конуса.
91. Дана правильная треугольная пирамида со сторо
ной основания 12. Боковое ребро пирамиды накло186
5. ГЕОМЕТРИЯ
нено к плоскости основания под углом 30°. Найди
те объем описанного около пирамиды конуса.
92. Дана правильная четырехугольная пирамида со
стороной основания 2>/б. Боковое ребро пирамиды
наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.
93. Дана правильная четырехугольная пирамида со сто
роной основания 2>/б. Боковое ребро пирамиды на
клонено к плоскости основания под углом 60°. Най
дите объем описанного около пирамиды конуса.
94. Дана правильная четырехугольная пирамида со
стороной основания 2>/б. Боковая грань пирамиды
наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Найдите площадь боковой поверхности вписанного
в пирамиду конуса.
95. Дана правильная треугольная пирамида со сторо
ной основания 4V3. Боковое ребро пирамиды на
клонено к плоскости основания под углом 60°.
Найдите площадь боковой поверхности описанного
около пирамиды конуса.
96. В кубе ABCDA1B 1C1D1 точки Е , О, F — середины
ребер DC, CCV ВС.
Докажите:
а) ЕО ||АВр б)
|| (А,В,С,); в) (BC,Z)) || (EFO);
г) АС, 1 BD; д) A lC11 (В В ,В ,); е) (AD,C) 1 (ВВ,!>,).
97. Дан куб M N P Q M ^ y P ^ y
Докажите:
a)
в)
е)
и)
NPl || (MQQ); б) (MQQ,) || (ЛГРР,);
PN1±M N ; г) Q^PIPN; д) MPIQjJV;
N
P
ж) M PH Q N N J; з) РАГ,±(М2\ГР,);
(M N J M Q N N J ; к) (MP,N)±(QPW,).
187
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
98. Дан куб ABCDAlB lClDv L — середина ребра AD,
N — середина ребра DC, ребро куба равно 2.
Определите взаимное расположение прямых:
a) A XL и DDX; б) A^L и ВВ Г
Докажите:
в) LN || AjC,; г) C1D1 || (A ^ L ); д) А ]С1 С (C.NL).
Найдите углы между прямыми:
е) DC и BjAp ж) CDXи DAX; з) CDXи АВ^,
и) BjL и DjA^; к) CjL и DjN.
Постройте сечение куба соответствующей плоско
стью и найдите его площадь:
л) (DjLN); м) (AjZJV); н) (.DXLB)\ о) (СХВЬ ).
99. Дан прямоугольный треугольник MNQ (zQ = 90°).
Через точку N проведена прямая NA, перпендику
лярная к плоскости треугольника. Известно, что
M N = 13, NQ = 12, NA = 6.
Докажите:
а) прямая MQ перпендикулярна плоскости (QiVA);
б) прямая MQ перпендикулярна прямой AQ;
в) найдите угол между прямой M N и плоскостью
(QNA);
г) найдите угол между плоскостями (AMQ ) и (QNM ).
100. Дан квадрат ABCD. Сторона квадрата равна 6.
Диагонали квадрата пересекаются в точке О.
Через точку О проведена прямая OS , перпенди
кулярная плоскости квадрата. Известно, что
OS = 6 (L — середина AD, Н — середина CD).
Докажите:
а) прямая DH перпендикулярна плоскости SO H ;
б) прямая S H перпендикулярна прямой ВА ;
в) прямая HL параллельна плоскости SAC.
Найдите угол между прямыми:
г) ВС, LD; д) ВС, AS.
188
5. ГЕОМЕТРИЯ
Найдите угол между прямой и плоскостью:
е) S H и (АВС); ж) SD и (АБС); з) BD и (SOL).
Найдите расстояние:
и) от точки S до прямой СВ; к) от точки В до пло
скости (ASC);
л) между прямыми SO и CD;
м) между прямыми SD и ОС.
101. Точка О - точка пересечения диагоналей грани
A 1B lClD 1 куба ABCDAlB lClD v точка Т — середина
ребра CD.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей
через точку Т параллельно прямым АО и CXD. Опреде
лите вид многоугольника, полученного в сечении.
б) Найдите площадь сечения, если ребро куба рав
но 2а.
102. Точки К и Р — соответственно середины ребер ААг
и A lD l куба ABCDAlB lClD 1.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей
через точку К , перпендикулярно к прямой СР. Опреде
лите вид многоугольника, полученного в сечении.
б) Найдите площадь сечения, если АА1= 2а.
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0 - 1 1 классы)
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Теоретические сведения
Решением уравнения х2 = 5 являются иррациональ
ные числа ± дПГ.
Решением уравнения х2 = -5 являются комплексные
числа ± уПП.
Для записи решения любого квадратного уравнения
в математике используют комплексные числа.
Основные определения.
Операции над комплексными числами
Комплексным числом называется выражение вида
z = а + Ы9 где а — действительная часть комплексного
числа 2 , Ъ — мнимая часть числа г.
Обозначение: Re(z) = а , Im(z) = b.
Например, для z = -2 + 3i
Re(z) = -2, Im(z) = 3.
Равенство комплексных чисел. Два комплексных
числа равны тогда и только тогда, когда равны их дей
ствительные и мнимые части,
а + Ы = с + di тогда и только тогда, когда а = с и
Ь = d.
Правило сложения комплексных чисел:
(а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d ) i
Правило вычитания комплексных чисел:
(а + Ы) - (с + di) = (а - с) + (Ъ - d )i
Правило умножения комплексных чисел:
( а + Ы) • (с + di) = ( a c - b d } + (ad + bc)i
190
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Правило деления комплексных чисел:
Рассмотрим комплексное число z = а + Ы. Сопряжен
ным числу z называют число J = a -b i.
z • z = (я + Ы) • ( a - b i ) = a 2- { b i f = a 2+ b2.
Деление комплексных чисел выполняют с помощью
умножения делимого и делителя на число, сопряжен
ное делителю.
a+f oi _ ( a + b i) ( c - d i) _ ( a c - b ( - d ) ) + (bc + a ( - d ) ) i _
Геометрическая интерпретация
комплексных чисел
Рассмотрим комплексное число z = х + yi и прямоу
гольную систему координат хОу. Комплексное число
z = x +yi задается парой действительных чисел (х,у). Эта
же пара чисел может рассматриваться в качестве коор
динат точки Р(х,у) на координатной плоскости.
192
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Например, числу z, = 2 - 3 i соответствует точка А(2;-3);
числу z2 = 4/ соответствует точка Б(0;4); числу z3 = 4 со
ответствует точка С(4;0).
Ось Ох называют действительной осью, а ось Оу —
мнимой осью.
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = х + yi называется
расстояние от начала системы координат до точки с ко
ординатами (х,у).
Можно доказать, что модуль числа z = x +yi равен
И
=
\]х2 + у 2.
193
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ( 1 0- 11 классы)
Решение типовых заданий
Задание 5.
Найдите модуль комплексного числа z = 2 - 3/.
Решение.
|г| = 722+(-3)2 =71з.
Ответ::
Vl3.
Задание 6.
Изобразите на комплексной плоскости решение сле
дующих уравнений:
1) N = 2;
2) |z-3| = 2;
3) |z - ( 2 - 3 i)|= 2 .
Решение.
1) Пусть число z = x+yz, тогда |z| = ^ х 2 + у 2. Подставив
значения, получим yjx2 + у 2=2.
Уравнение х 2 + у 2 = 4 задает окружность с центром
в точке (0; 0) и радиусом 2.
194
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Ответ: окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 2.
К*
2) Пусть число z - x - v y i . Так как |z -3 | = 2, то
+ yi) - 3| = 2. После сложения получим |(х - 3 ) + у/| = 2.
По определению модуля комплексного числа
^ ( jc- З ) 2 + у 2 = 2 . Избавимся от корня: (х - З ) 2 + у 2 = 4 .
Это уравнение задает окружность с центром в точ
ке (3;0) и радиусом 2.
Ответ: окружность с центром в точке (3; 0) и радиусом 2.
195
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
3) Пусть число z = х +y i . Так как |z - (2 - 3 /)| = 2 ,
то |.г + у / - ( 2 - 3 / ) | = 2. | ( х - 2 ) + (у + 3 )/| = 2 ,
У1(х - 2 ) 2 +(у + 3)2 = 2 , ( х - 2 ) 2 + (^ + 3 )2 = 4 .
Решением исходного уравнения |z - ( 2 - 3 / ) | = 2 явля
ется окружность с центром в точке (2; -3 ) и радиусом 2.
Ответ: окружность с центром в точке (2; -3 ) и ра
диусом 2.
196
б. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Задние 7.
Изобразите на комплексной плоскости решение
уравнения |z - ( - 2 + 8/)| = |z - 4 |.
Решение.
1 способ. Пусть z = x +yi, подставим г в исходное
уравнение:
|( jc + у / ) - (-2 + 8/ )| = |(х +yi) - 4 |. После выполнения опе
раций получим уравнение \(х + 2) + (у - 8);| = |(* - 4) +yi |.
По определению модуля комплексного числа получим
^( х + 2 )' + ( y - S ) =yj(x- 4) +у2
х 2 +4х +4+у2-16у +64 =х 2-8х +16 +у2
12jc- 16jy = -52
у= -х+ 34
4
,
3 х + 5 —.
1
Ответ: прямая у - —
2 способ. Если использовать определение модуля
комплексного числа (как расстояние до начала коорди
нат до точки с координатами (х ; у)), то решить уравнение |(x+2) + (.y-8)i| = |(;c-4)+.y/| — означает найти
точки, равноудаленные от точек А(—2; 8) и J3(4; 0), т.е.
все точки, лежащие на серединном перпендикуляре
3
1
к отрезку АВ. Таким образом, прямая у - —Jt + 3 —
4
4
является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
197
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10 -1 1 классы)
Р еш ение.
Если использовать определение модуля комплексно
го числа (как расстояние до начета координат до точки
с координатами (х ; у )), то решить уравнение
| z - ( - 2 + 8z)| = |z - 4 | = |z + 2| — значит, найти точку, рав
ноудаленную от точек А ( - 2; 8), В(4; 0), С(-2; 0).
Эта точка является центром окружности, описанной око
ло треугольника АВС. Так как треугольник является пря
моугольным, то искомая точка — середина гипотенузы АВ.
198
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Ответ: точка Е( 1; 4).
Задание 9.
Про комплексное число г известно, что |z - 3| = 2. Най
дите наименьшее и наибольшее значения |z|.
Решение.
Решением исходного уравнения | z-3| = 2 является
окружность ( х - 3 ) 2 + у 2 = 4 с центром в точке (3; 0)
и радиусом 2. Надо найти наименьшее и наибольшее
значения |z |, т.е. наименьшее и наибольшее расстояние
от начала координат до точек окружности.
Если число z является решением исходного уравне
ния, то его модуль может принимать значения от 1
включительно до 5 включительно, 1 < |z| < 5. Получим,
что |z| принимает наименьшее значение, равное 1, при
z = 1+ 0 /.
|z| принимает наибольшее значение, равное 5, при
z = 5 + 0 z.
199
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
Ответ: наименьшее значение |z равно 1, наибольшее
значение |z| равно 5.
Задание 10.
Про комплексное число z известно, что |z-5| = |z -2 |.
Найдите наименьшее значение |z|.
Р еш ени е.
1 способ (аналитический). Пусть z = x + y i , подста
вим в исходное уравнение |(х + y i) - 5| = |(х + yi) - 2|. По
определению модуля получим \1(х ~ 5) 2 + / = \1(х ~ 2 )2 + у 2 .
Решив это уравнение, получим х = 3,5.
Наименьшее
значение
|z| = yjx2 + у2
принимается
при х = 3,5 и у = 0 и равно 3,5.
Ответ: 3,5.
2 способ ( графический)
Так как модулем комплексного числа z - x \ y i назы
вается расстояние от начала координат до точки с коор
динатами ( х ;у ) и известно, что |(*-5 )+ .у г | = |( х - 2 ) + у / |,
200
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
то в задании требуется найти точки, равноудаленные от
точек с координатами В (5; 0) и А (2; 0).
Все такие точки лежат на серединном перпендику
ляре к отрезку АВ.
У* к
3 2 1------г~----- _
-2
-1
0
1
1
1
А
ж
V
2
3,5
1 , 1
1 ’9 \
3
4
В
ж
V
W
1
“
6 х
1
5
-1-2-
Ответ: наименьшее значение z равно 3,5.
Задание 11.
Про комплексное число z известно, что |z - (-2 + 8/)| = |z - 4 |.
Найдите наименьшее значение |z|.
Решение.
Рассмотрим точки А (-2; 8) и В(4; 0).
В решении Задания 7 получено, что множеством то
чек, удовлетворяющих исходному уравнению, является
серединный перпендикуляр к отрезку АВ:
Так как модулем комплексного числа z = х + yi на
зывается расстояние от начала координат до точки
201
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
с координатами (х;у), то в задаче требуется найти рас
стояние от начала координат до серединного перпенди
куляра к отрезку АВ.
Серединный перпендикуляр пересекает оси Оу и Ох,
1
13
соответственно в точках С(0; 3—) и D (---- ; О)Искомое расстояние равно высоте ОН треугольника
СDO.
Рассмотрим треугольник DOH : ОН = OD : sinLHDO.
Прямая у = —х + 3 — образует с положительным на4
4
3
правлением оси Ох угол HDO, значит, XgLHDO = —, по3
этому smLHDO = —.
5
13 3 13
ОН = OD : sin LHDO = -------= — = 2,6.
3 5 5
Ответ: наименьшее значение Ы равно 2,6.
М - з - 0 |= М 3+70 |5. Изобразите на комплексной плоскости решение
уравнения:
|z - (-3 - 0|= lz - (3+ 70|= lz - (3 - 0|6. Изобразите на комплексной плоскости решение
уравнения:
|z - (-3 - 01=Iz- (з+70| = Iz- (3- 01=k - (-3+70|7. Про комплексное число z известно, что |z —3/| = 4.
Найдите наименьшее и наибольшее значения |z|.
8. Про комплексное число г известно,
|z-6z| = |z-2zj. Найдите наименьшее значения \z\.
что
9. Про комплексное
число
z известно,
что
|z - (-3 - /)| = |z - (3 + 7z)|. Найдите наименьшее значение \z\.
203
II. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ
ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ
(7—11 классы)
1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.1. Задания на проценты
Процентом числа называется его сотая часть, например,
1% — это одна сотая числа,
1% от числа 500 - это число 5,
3% — это три сотых числа,
3% от числа 500 - это число 15.
Отсюда легко получаются соотношения, которые по
лезно помнить:
50% числа х — это его половина (0,5л:), или одна вторая,
25% числа х — это его четверть (0,25л:, или ^ ),
20% числа х — это его пятая часть (0,2л:, или —),
5
3
75% числа х — это его три четверти (0,75л:, или —),
4
100% числа х — это все число (л:).
Решение любых задач на проценты сводится к ос
новным трем действиям с процентами:
— нахождение процентов от числа:
Пример. Найти 15% от числа 60.
0,15-60 = 9.
Ответ: 9.
— нахождение числа по его процентам:
Пример. Найти число, 12% которого равны 30.
12% искомого числа нам известны — это 30. Какое
же это число? Это число (л:) принимаем за 100% и на
ходим его:
12% — 30
100% — л:
204
1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
12
100
30
,
х
—
х
-
30-100
------------------ =
12
Ответ: 250.
— нахождение процентного отношения чисел:
Пример. Сколько процентов составляет 120 от 600?
1 90
—
600
100 % = 20 % .
Ответ: 20%.
Задание 1. Цену товара повысили на 25%, затем но
вую цену повысили еще на 10% и, наконец, после пере
расчета произвели повышение цены еще на 12%. На
сколько процентов повысили первоначальную цену то
вара?
Решение.
Обозначим первоначальную цену товара за х (руб.),
тогда после первого повышения цена товара стала —
1,25 л;. Второе повышение цены было на 0,1*1,25л:. После
него цена товара стала — 1,25л; 4- 0,1*1,25л; = 1,375л:. Тре
тье повышение цены на 12% производилось от цены,
полученной после второго повышения, и составило
0,12* 1,375л; = 0,165л:. После последнего повышения
цена товара составила 1,375 л: + 0,165 л:= 1,54л;.
Схема рассуждений была следующей:
* 0,25*
Осталось выяснить процент повышения первона
чальной цены. Цена была повышена на 1,54л; - х = 0,54л;
рублей, что составляет 54% от первоначальной цены.
Ответ: 54%.
205
II. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ (7-1 1 классы)
ВКЛАДЫ
Задание 2. Сберегательный банк в конце года начис
ляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько
рублей увеличится первоначальный вклад в 100 тыс. руб
лей через 2 года?
Реш ение.
Эта задача на так называемые «сложные проценты».
Так говорят, когда в задаче идет речь о поэтапном из
менении некоторой величины. В данном случае рассмо
трим два этапа: на первом начисляется процент на сум
му, находившуюся на счету первый год, а на втором
этапе производится начисление процентов на сумму,
получившуюся после первого этапа, т.е. на сумму с уже
начисленными процентами после первого года.
100 тыс. рублей — первоначальная сумма вклада.
Начисленные проценты после первого года составят
0,03-100000. По окончании первого года на счету ока
жется 100 000 + 0,03-100 000 =103 000. По окончании
второго года проценты составят 0,03 • 103 000 = 3090.
Таким образом, после двух лет сумма вклада составит
103 000 + 3090 =106 090. Первоначальный вклад был
увеличен на 6090 рублей.
Ответ: 6090 рублей.
Задание 3. После истечения двух лет сумма банков
ского вклада, положенного под 3% годовых, выросла
на 3045 рубля. Найдите первоначальную сумму вклада.
Р еш ени е.
Пусть А рублей — первоначальная сумма вклада.
Тогда через год сумма вклада составила А + 0,03 х
хА =А -(1 + 0,03) = 1,03 -А руб. За второй год проценты
составили 0,03-(1,03-А). Через два года сумма вклада
станет равной 1,03-А + 0,03-(1,03-А) = 1,03-1,03-А. По
лучаем уравнение:
1,03-1,03-А=А + 3045,
0,0609-А =3045,
А =50000.
Ответ: 50 000 рублей.
206
1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 4. В январе 2014 года ставка по депозиту в
банке составила х% годовых, тогда как в январе 2015 года —
i/% годовых, причем х + у = 20%. В январе 2014 года
клиент открыл счет в банке, положив на него некоторую
сумму. В январе 2015 года, по прошествии года с того мо
мента, клиент снял со счета десятую часть этой суммы.
Найдите значение х, при котором сумма на счету клиента
в январе 2016 года станет максимально возможной.
Решение.
Пусть в январе 2014 года клиент положил на счет
S руб. Составим таблицу.
О ставш аяся сумма, руб.
Время
S + 0,01xS
S + 0,01xS - 0,1S = 0,9S +
+ 0,01xS
0 ,9 S + 0,01xS + 0,01i/ x
x (0 ,9 S + 0,01xS)
Январь 2015 года
Снял десятую часть
Январь 2016 года
Преобразуем
выражение
0 ,9 5 + 0 ,0 1 x 5 + 0,01г/ х
х ( 0 , 9 5 + 0 , 0 1 x 5 ) = ( 0 , 9 5 + 0 , 0 1 х 5 ) ( 1 + 0,01г/),
где у = 20 - х . Имеем: (0,9 5 + 0,01х5)(1 + 0,01(20 - х)).
Раскроем скобки и получим квадратичную функцию
от х: f(x ) = -O.OOOlSx2 + 0,0 0 3 Sx + 1,08S.
Данная функция принимает наибольшее значение в
вершине параболы х верш = - — , т.е.
0,0035 ^ 35
*веРш- _2 . o,0 0 0 1 S ~ 0 ,2 S
Ответ: 15.
КРЕДИТЫ
В экономических задачах на ЕГЭ, связанных с кре
дитами, обычно нужно установить связи между следу
ющими условиями:
1) суммой (5), взятой в кредит;
2) погашением процентов по кредиту (выплата банку
за пользование его деньгами);
207
II. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ (7-11 классы)
3) погашением долга по кредиту (погашение суммы S);
4) регулярные периодические (в конце каждого пе
риода) выплаты, состоящие из погашения процентов и
погашения долга по кредиту;
5) срок кредита.
В таких задачах может потребоваться найти:
— сумму выплат по процентам банку;
— сумму периодических выплат банку;
— срок, в течение которого при данных условиях
кредита и платежа клиент сможет полностью распла
титься с банком, и т.д.
При решении задач важно понимать условия креди
тования: каждый период требуется выполнять одинако
вые выплаты (аннуитетные платежи) или выплаты бу
дут уменьшаться от периода к периоду (дифференциро
ванные платежи).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ПЛАТЕЖИ
Задание 5. Клиент в банке взял в кредит 400 тыс.
рублей на 4 месяца. Причем каждый платежный пери
од долг сначала возрастает на 10% по сравнению с кон
цом предыдущего платежного периода, а затем вносится
оплата так, что долг становится на одну и ту же вели
чину меньше долга на конец предыдущего платежного
периода. Сколько составит переплата клиента банку?
Решение.
За 4 месяца нужно погасить весь кредит, т.е. отда
вать каждый месяц по 100 тыс. рублей. Кроме того,
нужно каждый месяц выплачивать проценты за поль
зование кредитом. Занесем данные в таблицу.
Месяц
Долг в
начале
периода,
тыс. руб.
Начислен
ные процен
ты, тыс.
руб.
Выплата
по долгу,
тыс. руб.
Регулярная
выплата, тыс.
руб.
1
400
0,1-400 = 40
м
100+40 = 140
2
300
0,1-300 = 30
208
=100
4
100
100+30 = 130
1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Месяц
Долг в
начале
периода,
ты с. руб.
Начислен
ные процен
ты, тыс.
руб.
Вы плата
по долгу,
тыс. руб.
Регулярная
вы пл ата, тыс.
руб.
3
200
0 ,1 -2 0 0 = 20
100
1 0 0 + 2 0 = 120
4
100
0 ,1 -1 0 0 = 10
10 0
1 0 0 + 1 0 = 110
Все выплаты банку составят 140 + 130 4- 120 + 110 =
= 500 тыс. рублей. Переплата составит 100 тыс. рублей.
Ответ: 100 тыс. руб.
Задание 6. В июле планируется взять кредит в бан
ке на сумму 1 млн рублей на некоторый срок (целое
число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по срав
нению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо вы
платить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и
ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что
общая сумма выплат после его погашения равнялась
1,5 млн рублей?
Решение.
По условию задачи в июле каждого года долг дол
жен быть на одну и ту же величину меньше долга на
июль предыдущего года, т.е. выплата в счет погашения
долга в каждый период одна и та же, равная 1 (диф
ференцированные платежи), где п — количество перио
дов (лет) выплаты кредита. Заполним таблицу с первой
строки слева направо.
Год
Долг в
начале
периода,
млн руб.
Начисленные
проценты, млн
руб.
1
1
0 ,1
Вы плата Регулярная вы п л а
по долгу,
та, млн руб.
млн руб.
1
п
0 ,1 + -
Т1
209
II. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ (7 - 1 1 классы)
1
=
п
. 0,1- М
о д -М +1 =
1
п
п
п
п
=од+М
п
п
...
II
п
одН ) =
1-2
3
0,1 - —
п
и
п
О
i- I
2
В ы п л ата
Р егулярн ая вы п л а
по долгу,
та, млн руб.
млн руб.
Последние комментарии
2 часов 29 минут назад
4 часов 47 минут назад
6 часов 37 минут назад
12 часов 22 минут назад
12 часов 28 минут назад
12 часов 32 минут назад