Математический анализ [В. А. Зорич] (pdf) читать постранично

В. А. Зорич

Математический анализ
Часть II
Издание девятое,
исправленное

Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
01.05.01 Фундаментальные математика и механика
и направлениям
01.03.01 Математика,
01.03.03 Механика и математическое моделирование,
02.03.01 Математика и компьютерные науки

Издательство МЦНМО
Москва, 2019

УДК 517
ББК 22.16
З86
Рецензенты:
Отдел теории функций комплексного переменного
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
Заведующий отделом академик А. А. Гончар
Академик В. И. Арнольд

З86

Зорич В. А.
Математический анализ. Часть II. — Изд. 9-е, испр. — М.: МЦНМО,
2019. — xii+676 с. Библ.: 57 назв. Илл.: 41.
ISBN 978-5-4439-1303-2, 978-5-4439-1305-6 (часть II).
Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей.
Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической
подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.

ББК 22.16
«Учебник В. А. Зорича представляется мне наиболее удачным из имеющихся подробных учебников анализа для математиков и физиков. Основные его отличия от
традиционных изложений состоят, с одной стороны, в большей близости к естественно-научным приложениям (и прежде всего к физике и механике), а с другой — в
большем, чем это обычно принято, использовании идей и методов современной математики: алгебры, геометрии, топологии.
Курс необычно богат идеями и ясно показывает могущество идей и методов современной математики при исследовании конкретных вопросов. Особенно нестандартен
второй том, включающий векторный анализ, теорию дифференциальных форм на
многообразиях, введение в теорию обобщенных функций и в теорию потенциала, ряды
и преобразования Фурье, а также начала теории асимптотических разложений.
...В наше время такое построение курса следует считать новаторским. Оно было
обычным во времена Гурса, но наблюдающаяся последние полстолетия тенденция к
специализации курсов выхолостила курс анализа, оставив ему почти одни лишь обоснования. Необходимость вернуться к более содержательным курсам анализа представляется сейчас очевидной, особенно в связи с прикладным характером будущей
деятельности большинства студентов.
...По моему мнению, курс является лучшим из существующих современных курсов
анализа».
— Из отзыва академика В. И. Арнольда.
ISBN 978-5-4439-1305-6

+
9 785443 913056 >
ISBN 978-5-4439-1303-2
ISBN 978-5-4439-1305-6 (часть II)

ffi В. А. Зорич, 2001— 2019.
ffi Издательство МЦНМО, 2019.

Оглавление

Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие к седьмому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii
xiii
xiii

* Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)
§ 1. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1

1. Определение и примеры (1). 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства (4). 3. Подпространство метрического пространства (6). 4. Прямое произведение метрических
пространств (7). Задачи и упражнения (8)

§ 2. Топологическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1. Основные определения (9). 2. Подпространство топологического
пространства (13). 3. Прямое произведение топологических пространств (13). Задачи и упражнения (13)

§ 3. Компакты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1. Определение и общие свойства компакта (14). 2. Метрические компакты (16). Задачи и упражнения (18)

§ 4. Связные топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Задачи и упражнения (19)

§ 5. Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1. Основные определения и примеры (20). 2. Пополнение метрического пространства (23). Задачи и упражнения (27)

§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств . . . . . . . .

27

1. Предел отображения (27). 2. Непрерывные отображения (29). Задачи и упражнения (32)

§ 7. Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Задачи и упражнения (38)

* Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей точки
зрения (общая теория)
§ 1. Линейное нормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа (40). 2. Норма
в линейном пространстве (41). 3. Скалярное произведение в векторном пространстве (43). Задачи и упражнения (46)

40
40

iv

îãëàâëåíèå

§ 2. Линейные и полилинейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1. Определения и примеры (47). 2. Норма оператора (49). 3. Пространство непрерывных операторов (53). Задачи и упражнения (57)

§ 3. Дифференциал отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

1. Отображение, дифференцируемое в точке