Математический анализ [В. А. Зорич] (pdf) читать постранично

В. А. Зорич

Математический анализ
Часть I
Издание деcятое,
исправленное

Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
01.05.01 Фундаментальные математика и механика
и направлениям
01.03.01 Математика,
01.03.03 Механика и математическое моделирование,
02.03.01 Математика и компьютерные науки

Издательство МЦНМО
Москва, 2019

УДК 517
ББК 22.16
З86
Рецензенты:
Отдел теории функций комплексного переменного
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
Заведующий отделом академик А. А. Гончар
Академик В. И. Арнольд

З86

Зорич В. А.
Математический анализ. Часть I. — Изд. 10-е, испр. — М.: МЦНМО,
2019. — xii+564 с. Библ.: 54 назв. Илл.: 65.
ISBN 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).
Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей.
Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической
подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.

ББК 22.16

«Полная строгость изложения соединена с доступностью и полнотой, а также
воспитанием привычки иметь дело с реальными задачами естествознания».
— Из отзыва академика А. Н. Колмогорова о первом издании учебника.

Учебное издание для вузов

ISBN 978-5-4439-1304-9

Владимир Антонович Зорич
ìàòåìàòè÷åñêèé àíà ëèç. ÷àñòü 

9 785443 913049 >
Подписано в печать 25.09.2019 г. Формат 70 × 100/16.
Печ. л. 36. Тираж 1500 экз. Заказ № ????
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-08-04
Отпечатано в ОАО «Первая образцовая типография», филиал «Дом печати — Вятка»
610033, г. Киров, ул. Московская, 122. www.gipp.kirov.ru; e-mail: order@gipp.kirov.ru
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio@mccme.ru

ISBN ----
ISBN ---- (часть I)

© В. А. Зорич, 2001— 2019.
© Издательство МЦНМО, 2019.

Оглавление

Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Из предисловия ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие к седьмому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii
xi
xi

Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения
§ 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1

1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (2). 3. Некоторые специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (3).
Упражнения (4)

§ 2. Множества и элементарные операции над множествами . . . . . . . . .

4

1. Понятие множества (4). 2. Отношение включения (6). 3. Простейшие операции над множествами (7). Упражнения (10)

§ 3. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1. Понятие функции (отображения) (10). 2. Простейшая классификация отображений (14). 3. Композиция функций и взаимно обратные
отображения (16). 4. Функция как отношение. График функции (18).
Упражнения (21)

§ 4. Некоторые дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1. Мощность множества (кардинальные числа) (23). 2. Об аксиоматике теории множеств (25). 3. Замечания о структуре математических
высказываний и записи их на языке теории множеств (27). Упражнения (29)

Глава II. Действительные (вещественные) числа
§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


32

1. Определение множества действительных чисел (32). 2. Некоторые
общие алгебраические свойства действительных чисел (36). 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (39)

§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Натуральные числа и принцип математической индукции (41). 2. Рациональные и иррациональные числа (44). 3. Принцип Архимеда (48).

41

iv

îãëàâëåíèå
4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и
вычислительные аспекты операций с действительными числами (49).
Задачи и упражнения (61)

§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши— Кантора) (65).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля— Лебега) (66). 3.
Лемма о предельной точке (принцип Больцано— Вейерштрасса) (66).
Задачи и упражнения (67)

§ 4. Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

1. Счетные множества (68). 2. Мощность континуума (70). Задачи и
упражнения (71)

Глава III. Предел
§ 1. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


72

1. Определения и примеры (72). 2. Свойства предела