Введение
Математика — предмет обширный, и никому не под силу знать ее всю. Но ее можно изучать,
искать в ней собственный путь, и нам откроются вопросы, не первое столетие волнующие
математиков разных культур и времен.
И на древнюю, и на современную математику влияли и массовая культура, и политика.
Современная система чисел, обросшая ракушками древности, происходит из Индии и Аравии.
Шестидесятеричная система счисления Древнего Вавилона II–III тысячелетий до нашей эры
по-прежнему жива: в минуте у нас 60 секунд, а в часе 60 минут; прямой угол по-прежнему равен
90°, а не ста, как в свое время решила для себя Франция, после Революции устремившись к десятичной системе во всем.
Победы техники наших дней зиждутся на математике; никакой доблести в плохой успеваемости
по этому предмету не осталось вовсе — прошли те времена. Школьная математика — отдельное
занятие, нацеленное, в основном, на сдачу экзаменов. Плотное расписание тоже не способствует погружению в предмет, а математика не терпит поспешности. Для впитывания математических идей требуется время. Некоторые величайшие математики бывали до крайности непроворны в своих попытках постичь глубинные принципы этой дисциплины.
Вы тоже не спешите поскорее прочесть эту книгу. Неторопливо изучите предложенные в тексте идеи — вам, вероятно, они уже знакомы, но теперь, быть может, вы поймете их подлинный
смысл. Начните с «Нуля» — или с любой другой главы и странствуйте меж островов математического знания. Например, вы узнаете много нового о теории игр или о волшебных квадратах. А можете двинуться от золотого сечения к знаменитой последней теореме Ферма — или
любым иным путем.
В математике сейчас наступило интереснейшее время. Кое-какие ключевые задачи этого
предмета были решены буквально недавно. Современные компьютерные технологии помогли
с некоторыми загадками, а в отношении других они по-прежнему бессильны: проблему четырех красок решили компьютеры, а гипотеза Римана, о которой мы говорим в последней главе,
ни нам, ни нашим компьютерам так и не поддалась.
В математике, как и в искусстве или музыке, были и есть свои гении, однако они — еще не вся
история предмета. Подлинный прогресс этой науки — накопленная за века работа многих.
Выбор 50 тем для разговора — вполне субъективный, но я постарался соблюсти равновесие. В книгу включены как повседневные, так и более сложные представления, теоретическая и прикладная математика, абстрактная и предельно конкретная, древняя и новая.
Математика — единый предмет, и главная трудность при составлении этой книги заключалась
даже не в том, что именно в нее включить, а что оставить за скобками. Можно было бы запросто собрать и 500 идей, но и 50 — вполне славное начало вашей математической карьеры.
4
01 Нуль
Еще детьми мы делаем первые неуклюжие шаги в стране
чисел. Мы узнаем, что 1 — начало «численного алфавита», что
с единицы начинается последовательность натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ... Натуральные числа возникают при счете чего
угодно — яблок, апельсинов, бананов, груш. И лишь позднее мы
учимся считать яблоки в том ящике, где их нет.
Даже древние греки, квантовыми скачками развивавшие науку вообще
и математику в частности, и древние римляне, знаменитые своими
инженерными свершениями, никак не могли сладить с подсчетом
яблок в пустом ящике. «Ничто» никак не могло быть поименовано.
Римляне разобрались с тем, как записывать I, V, X, L, C, D и M, но где же
у них был 0? «Ничто» они считать не умели.
Утверждение нуля Применять символ, обозначающий
«ничто», начали, как принято считать, тысячи лет назад. Нуль
разнообразно использовала майянская цивилизация, существовавшая
на территории современной Мексики. Чуть погодя астроном Клавдий
Птолемей, находясь под влиянием вавилонян, использовал нуль в своей
системе счисления в качестве заполнителя, заглушки. Нуль в таком
случае применялся для отделения одного числа от другого при
написании в ряд — 75 и 705, допустим, — чтобы не полагаться
на контекст, как делали древние вавилоняне. Подобную функцию
в языке выполняет запятая — она помогает прочитывать написанное
правильно, и так же, как есть свои правила расстановки запятых, нуль
должен ставиться по определенным правилам.
Индийский математик VII века Брахмагупта считал нуль «числом», т. е.
не просто заполнителем пустого места, и ввел некоторые правила его
700
. .
Вавилоняне
применяют нуль как
символ-заполнитель
628
Брахмагупта применяет
нуль как число
и формулирует правила
его использования
5
применения. Например, «сумма положительного числа и нуля — положительна»,
«сумма двух нулей равна нулю». Представления Брахмагупты о нуле как о числе, а не
о заглушке были для его времени крайне прогрессивны. На Западе индо-арабскую
систему чисел, включавшую нуль как число, распространил Леонардо Пизанский —
Фибоначчи; ей он посвятил свой труд 1202 года «Liber Abaci» («Книга
абака»*). Фибоначчи вырос в Северной Африке, был обучен индо-арабской * «Абаком»
Фибоначчи называл
арифметике и осознал великую пользу символа «0», написанного вместе
арифметические
с индийскими цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
вычисления.
С введением нуля в систему чисел встал вопрос, которого Брахмагупта коснулся лишь
слегка: как же обращаться с этим «чужаком»? Зачин был индийским математиком
положен, однако его рекомендации остались довольно смутными. Как же поточнее
ввести нуль в существовавшую уже тогда арифметическую систему? Некоторые
правила были вполне очевидны: при сложении и умножении с нулем проблем
не возникало, а вот вычитание и деление с участием этого «иностранца» оказывались
затруднительны. Для того чтобы нуль не конфликтовал с остальной общепринятой
арифметикой, необходимо было дополнить понятийный аппарат.
Как обходиться с нулем? Сложение и умножение на нуль просты
и незатейливы: можете прибавить 0 к 10 и получить сто, но в данном случае мы имеем
в виду именно «прибавить» в самом не умозрительном смысле слова. Сложение нуля
с любым числом ничего в этом числе не меняет, а умножение на нуль любого числа всегда
дает нуль в ответе. Например, 7 + 0 = 7, а 7 × 0 = 0. Вычитание — простая операция, хотя
в результате могут возникнуть отрицательные числа: 7 – 0 = 7, но 0 – 7 = – 7, а вот
с делением на нуль все непросто.
Вообразим, что нам надо измерить некоторую длину при помощи мерной рейки.
Положим, у рейки этой 7 единиц-делений. Нам надо выяснить, сколько таких реек
уложится по заданной длине. Если эта длина — 28 единиц, то ответом будет результат
деления 28 на 7, т. е. 28 ÷ 7 = 4. Еще лучше записать это действие так:
28
= 4,
7
и тогда мы можем перекрестно умножить 7 на 4 и записать то же самое в виде
умножения: 28 = 7 × 4. Какой же смысл мы можем извлечь из деления нуля на семь?
Обозначим результат такого деления буквой а и получим следующее выражение:
0
=a
7
830
1100
1202
Махавира излагает
соображения о том, как
нуль взаимодействует
с другими числами
Бхаскара применяет нуль
как алгебраический символ
и пытается показать,
как с ним обращаться
Фибоначчи применяет нуль, дописывая
его после индо-арабских цифр
от 1 до 9, но не как отдельное число,
а как дополнение к ним
6
Перекрестно умножив, получим 0 = 7 × а. Таким образом, у а может быть лишь одно
значение — нуль, потому что, если при умножении одного числа на другое получается
нуль, одно из этих чисел обязано быть нулем. Очевидно, 7 не равно нулю, значит, нулю
равно а.
Но не это главная загвоздка с нулем. Опасность заключается в делении на нуль. Если
мы попытаемся обращаться с выражением 7/0 так же, как и с 0/7, то получим вот такое
уравнение:
7
= b.
0
Умножаем перекрестно и получаем 0 × b = 7 — и в итоге упираемся в нонсенс: 0 = 7.
Допуская возможность существования численного результата 7/0, мы рискуем устроить
целое светопреставление в мире чисел. Выход один — считать результат выражения 7/0
неопределимым. Небезопасно пытаться извлечь какой бы то ни было смысл из
операции деления семи (или любого другого числа, не равного нулю) на нуль, поэтому
мы попросту не допускаем этой операции. По сходной причине недопустимо ставить
запятую в сере,дине слова, не плодя при этом бессмыслицу.
Индийский математик XII века Бхаскара II, последователь Брахмагупты, считал
результатом деления на нуль бесконечность. В этом есть здравое зерно: если делить
число на другое число, но очень маленькое, в ответе получим очень большое число.
Например, 7, деленное на одну десятую, дает нам 70, на одну сотую — 700. Чем меньше
знаменатель дроби, тем больше будет результат деления. В предельном случае — т. е.
при равенстве знаменателя нулю — ответом будет бесконечность. Однако попытка
впихнуть в эту задачу бесконечность не очень плодотворна: бесконечность
(стандартное обозначение — ∞) не подчиняется обычным правилам арифметики и не
является числом в обычном смысле слова.
Если 7/0 представляет арифметическую проблему, что же нам делать с еще более
странным выражением — 0/0? Если 0/0 = с, перекрестным умножением мы получим
уравнение 0 = 0 × с, из которого следует, что 0 = 0, а это не слишком познавательный
результат, хотя и не бессмысленный. Таким образом, приходим к выводу, что 0/0 дает
в результате что угодно: выражаясь вежливым математическим языком, результат
такого деления — «неопределенный».
В итоге получаем вывод: лучше исключить деление на нуль из наших вычислительных
операций. Арифметика прекрасно себя чувствует без такого деления.
Что нам проку от нуля? Нам без него — как без рук. От нуля зависит прогресс
науки. Мы оперируем понятиями «нулевой меридиан», «нуль градусов»
по температурной шкале, «нулевая энергия», «нулевая гравитация». Нуль вошел
и в обиходный язык: мы говорим «час ноль» и «нулевая терпимость».
Есть у нуля применения и пограндиознее. Будете
на 5-й авеню в Нью-Йорке — зайдите в Эмпайрстейт-билдинг, и вы окажетесь в величественном
фойе на этаже № 1. Все этажи пронумерованы
числами — 1 (первый), 2 (второй) и так далее вплоть
до 102 (сто второго). В Европе в домах есть нулевой
этаж, но его так называют неохотно.
Математики без нуля не смогли бы ничего поделать.
Он в самом сердце математических понятий,
благодаря которым вообще существуют система
счисления, алгебра и геометрия. В линии чисел
нуль отделяет положительные числа от отрицательных, и поэтому у него привилегированное
положение. В десятичной системе нуль служит
символом-заполнителем и позволяет нам
оперировать и огромными числами, и ничтожно
малыми.
Сумма нуля и положительного
числа — положительное число.
Сумма нуля и отрицательного
числа — отрицательное число.
Сумма положительного числа
и отрицательного числа —
разность между ними.
Если они равны друг другу,
результат — нуль.
Деление нуля на отрицательное
или положительное число дает
в результате нуль или может
быть записано в виде дроби
с нулем в числителе и конечным
числом в знаменателе.
, 628 . . .
За сотни лет нуль прижился и получил широкое
распространение, стал одним из величайших
изобретений человечества. Американский
математик XIX века Дж. Б. Хэлстед воспел нуль как двигатель прогресса в духе
Шекспирова «Сна в летнюю ночь»: «Воздушному ничто — ни места, ни прозванья, —
виденью, символу, но дружественной силе — как и самим индусам, что его создали».
Когда нуль только появился, он, должно быть, производил странное впечатление,
но математики привыкли вцепляться в диковинные понятия, а это, как показывает
время, — полезная привычка. Современный эквивалент понятия нуля можно
наблюдать в теории множеств (множество — некоторое собрание отдельных элементов).
В рамках этой теории символом обозначают множество, в котором нет никаких
элементов; его называют «пустым множеством». Вот уж странная идея, но, как и нуль,
она незаменима.
В сухом остатке:
Ничто — это что-то
7
8
!
02 Системы
чисел
Система чисел — способ обходиться с концепцией количеств.
Разные культуры в разные времена придумали много методов
в диапазоне от простого «один, два, три, куча» до сложных
десятичных обозначений, которыми пользуемся мы.
Шумеры и вавилоняне, обитавшие на территории современных Сирии,
Иордании и Ирака около 4000 лет назад, применяли в быту позиционную
систему счисления. Мы называем ее так, потому что она позволяла
определять «число» по расположению символов. Единицей счисления
они полагали 60, и ныне мы называем эту систему шестидесятеричной.
Следы шестидесятеричной системы по-прежнему в ходу: 60 секунд
в минуте, 60 минут в часе. Измеряя углы, мы все так же оперируем
полным углом в 360°, несмотря на попытку метрической системы считать
его равным 400° (прямой угол при этом оказывается равен 100°).
Хотя наши далекие предки склонны были подходить к числам сугубо
практически, есть и некоторые свидетельства того, что в ранних
культурах существовал интерес к математике как таковой и древние
люди урывали время от повседневных забот, чтобы повозиться
с математическим знанием. Эти первые исследования включают то, что
мы ныне зовем «алгеброй», а также свойства геометрических фигур.
Египетская система XIII века до н. э. была десятичной и оперировала
иероглифическими значками. Любопытно отметить, что египтяне
даже развили систему обращения с дробями, но современный
позиционный десятичный метод обозначения пришел к нам из
Вавилона, а потом его усовершенствовали индийцы. Преимущество
этого метода — возможность обозначать как очень маленькие, так
и громадные числа. Применение индо-арабских цифр от 1 до 9 делает
30 000
. .
Люди палеолита в Европе
наносят цифры
на кости животных
2000
. .
Вавилоняне применяют
символьную систему
для обозначения чисел
!
9
счисление достаточно простым. В этом можно наглядно убедиться, сравнив эту
систему с римской. Римлян она вполне устраивала, но лишь знатоки могли применять
ее для вычислений.
Римская система
Основные символы, применявшиеся римлянами, —
«десятки» (I, X, C и M) и их «половины» (V, L и D). Эти символы ставили один
за другим в разных комбинациях, и получались разные числа. Есть предположение,
что написание I, II, III и IIII возникло из сходства с нашими четырьмя пальцами,
V — из сходства с кистью руки; если приложить одну руку к другой тыльной стороной,
получится X, а это как раз десять пальцев. С происходит от centum, а M — от mille, что
на латыни означает «сто» и «тысяча» соответственно. Римляне применяли для
обозначения половины символ S, а система дробных чисел у них была
двенадцатеричная.
Числа в римской системе составлялись по принципу
«перед и после», но единых правил так и не
сложилось. Древние римляне писали IIII, а IV
придумали позже. Комбинация IX, похоже,
применялась, но SIX при этом означала 8 1/2. Справа
приведены основные числа римской системы —
с некоторыми средневековыми дополнениями:
"
Римская
империя
S половина
I один
V пять
X десять
L пятьдесят
C сто
D пятьсот
M тысяча
Средневековые
дополнения
V$ пять тысяч
X$ десять тысяч
L$ пятьдесят тысяч
C$ сто тысяч
D$ пятьсот тысяч
M$ миллион
Читать римские цифры непросто. Например,
значение MMMCDXLIIII становится понятно только
после мысленной расстановки скобок: (MMM)(CD)
(XL)(IIII), и тогда можно прочесть это число как
3000 + 400 + 40 + 4 = 3444. А теперь попробуйте
сложить MMMCDXLIIII и CCCXCIIII. Римлянин,
обученный премудростям арифметики, владел
всякими уловками и хитростями, но нам трудно
обрести правильный ответ, не прибегая к переводу этих чисел в десятичную систему
и лишь потом переведя ее обратно в римские обозначения:
Сложение
3444
+ 394
= 3838
MMMCDXLIIII
CCCXCIIII
МММDCCCXXXVIII
600
1200
1600
В Индии возникает
система записи чисел —
предтеча современной
Распространяется индо-арабская
система записи цифр от 1 до 9,
с включением нуля
Символы десятичной
системы счисления
принимают современный вид
10
!
А умножение двух чисел — еще сложнее и в некоторых случаях невозможно, если
пользоваться исходной системой, даже для самих римлян. Чтобы умножить 3444
на 394, нам потребуются средневековые элементы написания.
Умножение
3444
MMMCDXLIIII
× 394
CCCXCIIII
1
356
936
MCCCLVMCMXXXVI
=
У римлян нуль никак особо не обозначался. Если бы вы попросили римлянинавегетарианца запечатлеть, сколько бутылок вина он выпил за день, он мог бы
написать «III», но спроси вы, сколько он съел цыплят, «0» он бы вам
не изобразил. Остатки римского написания чисел сохранились в номерах
страниц некоторых книг (не этой) и на камнях в основании зданий.
Некоторые численные конструкции никогда римлянами не употреблялись — например, MCM (1900), — а были введены стиля ради в позднейшие
времена. Римляне написали бы MDCCCC. Король Франции Людовик XIV
предпочитал написание XIIII и ввел правило, по которому на всех часах
Часы Людовика XIIII четыре часа должны были обозначаться символом IIII.
Десятичные целые числа Под «числами» вообще мы привыкли подразумевать
именно десятичные числа. Десятичная система имеет в качестве основания десять и оперирует цифрами от 0 до 9. На самом деле система эта зиждется на «десятках» и «единицах», но единицы включены в десятку (100 = 1). Записывая число 394, например, мы можем
описать его десятичное значение так: оно состоит из 3 сотен, 9 десятков и 4 единиц:
394 = 3 × 100 + 9 × 10 + 4 × 1.
Можно записать это число и в виде степеней 10 (или умножением чисел на самих себя):
394 = 3 × 102 + 9 × 101 + 4 × 10 0,
где 102 = 10 × 10, 101 = 10 и — отдельно договоримся — 10 0 = 1. В этом выражении мы еще
отчетливее видим то самое десятичное основание нашей привычной системы, которая
делает вполне прозрачными сложение и умножение.
Начало десятичности До сих пор мы говорили о целых числах. А как
десятичная система обращается с частями чисел — например, с 572/1000?
572
5
7
2 ,
=
+
+
1000
10
100 1000
т. е. мы можем обращаться с величинами, обратными 10, 100, 1000, как
с отрицательными степенями 10:
572
= 5 × 10–1 + 7 × 10–2 + 2 × 10–3,
1000
!
11
и записать это число как ,572, где запятая означает начало отрицательных степеней
десяти. Если добавить это к десятичному выражению 394, получим десятичный
эквивалент 394572/1000, т. е. попросту говоря 394,572.
Для очень больших чисел десятичное выражение может оказаться довольно длинным,
и тогда мы обращаемся к «научной записи». Например 1356936892 можно записать так:
1,356936892 × 10 9; частенько в калькуляторах и компьютерах встречается и такой
вариант: 1,356936892 × 10Е9, где девятка в показателе степени на единицу меньше
количества цифр, входящих в исходное число, а буква «Е» — сокращение от «показателя
степени» (англ. exponential). Иногда нам приходится иметь дело с еще большими
числами — например, если речь идет о количестве атомов водорода в видимой
Вселенной. Это количество оценивается как 1,7 × 1077. А 1,7 × 10– 77,
где степень отрицательна, — это очень маленькое число, но и с ним
Степени В десятичной
научная запись легко справляется. Не стоит даже пытаться
двойки
системе
представить себе такие числа в римских значках.
Нули и единицы
Десятичная система счисления — ходовой
бытовой материал, однако для некоторых целей потребны иные.
Двоичная система, в основании которой двойка, — ключевая для
современных компьютерных технологий. Красота двоичной
системы в том, что она может выразить любое число при помощи
лишь двух символов — 0 и 1. Издержка этой системы: запись числа
временами получается очень длинная.
Как выразить 394 в двоичной системе? Здесь нам придется
обращаться со степенями двойки, и, повозившись, получим:
394 = 1 × 256 + 1 × 128 + 0 × 64 + 0 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1,
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
а теперь прочитаем только нули и единицы и получим для 394
выражение 110001010.
Двоичная запись чисел бывает длинновата, и поэтому применяются и иные системы
счисления. Например, восьмеричная (основание — 8) и шестнадцатеричная (основание — 16). В восьмеричной системе мы оперируем лишь символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7,
а в шестнадцатеричной — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 10 отвечает букве A,
а значит, число 394 в этой системе можно записать (оперируя степенями шестнадцати)
как 18A (394 = 1 × 256 + 8 × 16 + А). Просто, как ABC, верно? Но не будем забывать, что
ABC в десятичной системе — это 2748!
В сухом остатке:
Записываем числа
12
#
03 Дроби
Дробь — это буквально «дробное число». Чтобы грамотно разделить целое число, нужно записать его в виде дроби. Обратимся
к традиционному примеру — пресловутому пирогу — и разделим
его на три части.
2
3
1
3
Человек, которому достается две части пирога из трех, получает долю
в 2/3. Неудачнику достанется лишь 1/3. Если сложить обе порции, т. е.
доли двух претендентов на пирог, то 2/3 + 1/3 = 1, а единица — целый
пирог.
Вот вам еще пример. Вы, вероятно, посещали разные распродажи
и видели, допустим, сорочки за четыре пятых исходной цены. Эту
дробь записывают вот так: 4/5. Можно также сказать, что скидка
составляет одну пятую от исходной цены. Записываем: 1/5. Складываем
1
/5 и 4/5 и получаем 1 — это исходная цена.
Дробь всегда выглядит как целое число «над» целым числом. Нижнее
число называется «знаменателем», оно обозначает, на сколько частей
делится целое. Верхнее число — «числитель», оно указывает на то,
сколько взято частей от целого. Таким образом, в официальном
написании дробь всегда выглядит так:
числитель ,
знаменатель
В случае с пирогом вам, вероятно, захочется съесть 2/3, где 3 —
знаменатель, а 2 — числитель. 2/3 состоит из двух долей, каждая в 1/3.
Бывают еще дроби вроде 14/5 (они называются неправильными
дробями), где числитель больше знаменателя. Делением 14 на 5 мы
получаем 2 и еще 4 в остатке, и этот результат можно записать в виде
смешанной дроби: 2 4/5. В нее входит целое число 2 и «правильная» дробь 4/5. В давние
времена ее иногда записывали как 4/5 2.
Дроби обычно представляют в таком виде, чтобы у числителя и знаменателя
(«верхнего» и «нижнего» чисел) не было общих делителей. Например, у числителя
и знаменателя дроби 8/10 есть общий делитель, равный 2, потому что 8 = 2 × 4 и 10 = 2 × 5.
Если мы запишем дробь 8/10 как 2 × 4/2 × 5, то двойки можно сократить и получить
равенство: 8/10 = 4/5, т. е. более простую форму с тем же значением. Математики
называют дроби «рациональными числами», потому что они суть соотношение (ratio)
двух чисел. Рациональные числа древние греки называли «мерами».
Складывание и умножение Довольно любопытно в дробях вот что:
перемножать их проще, чем складывать. Умножение целых чисел — такая головная
боль, что для этого пришлось наизобретать уйму хитрых приемов. А у дробей больше
загвоздок со сложением, и там есть над чем подумать.
Начнем с умножения. Если вы покупаете сорочку за четыре пятых начальной цены
в 30 фунтов, вы заплатите в итоге 24 фунта. 30 фунтов мы делим на 5 частей
по 6 фунтов каждая, и четыре из этих пяти частей, т. е. 4 × 6 = 24, и есть сумма, которую
вам придется выложить за покупку.
Если же управляющий магазином выяснит, что сорочки совсем не продаются, опустит
цену еще ниже и станет продавать их за 1/2 от скидочной цены, и сорочка теперь
достанется вам всего за 12 фунтов. 1/2 × 4/5 × 30 даст в результате 12. Для умножения
одной дроби на другую нужно просто перемножить числители друг с другом и знаменатели — друг с другом:
1
4
1×4
4 ,
×
=
=
2
5
2 × 5 10
Если бы управляющий произвел оба понижения цены одним махом, он бы
рекламировал уценку сорочек до четырех десятых от начальной цены 30 фунтов. Это
и есть 4/10 × 30, т. е. 12 фунтов.
Сложение двух дробей — другое дело. Сложение 1/3 и 2/3 еще куда ни шло, потому что
у них одинаковые знаменатели. Мы попросту складываем числители, получаем 3/3, т. е.
единицу. Но как нам сложить две трети пирога и четыре пятых? Как нам обойтись
с выражением 2/3 + 4/5? Вот красота была бы, если б 2/3 + 4/5 = 2 + 4/3 + 5 = 6/8, однако так
не выйдет.
100
1202
1585
1700
В Китае разработана
система вычислений
с дробями
Леонардо Пизанский
(Фибоначчи) распространяет
современную форму записи
дробей — с дробной чертой
Фламандский математик
Симон Стевин вводит теорию
десятичных дробей
Дробная черта —
в широком
использовании
(как в a/b)
14
#
Сложение дробей требует совсем иного подхода. Чтобы сложить 2/3 и 4/5, нужно
сначала записать обе дроби так, чтобы у них был одинаковый знаменатель. Сначала
умножим и числитель, и знаменатель 2/3 на 5 и получим 10/15. Затем аналогично
умножим 4/5 на 3 и получим 12/15. Теперь у обеих дробей в знаменателе 15, и для их
сложения нужно сложить их числители:
2
4
10 12 22 ,
+
=
+
=
3
5
15 15 15
Перевод в десятичный вид
В мире науки и во многих областях прикладной
математики наиболее предпочтительна десятичная форма записи дробей. Дробь
4
/5 — то же, что и дробь 8/10, в знаменателе которой — 10, а значит, мы можем записать
ее в виде десятичной — 0,8.
Дроби, у которых в знаменателе 5 или 10, переводятся в десятичный вид легко. Но как
нам привести к десятичному виду, например, 7/8? Для этого необходимо помнить, что
деление одного целого числа на другое либо происходит нацело, либо в процессе
деления возникает так называемый остаток.
Вот рецепт приготовления десятичной дроби из 7/8:
— попробуйте разделить 7 на 8. Не делится — ну или можно сказать, что 7 делится на 8
нуль раз и в остатке 7. Запишем это в виде нуля с запятой после него;
— теперь разделим 70 на 8 (остаток предыдущего деления, умноженный на 10).
Получим в результате 8: 8 × 8 = 64, поэтому ответ равен 8, а остаток от деления 6
(70 – 64). Запишем этот результат в ранее полученный: 0,8;
— затем разделим 60 на 8 (остаток предыдущего деления, умноженный на 10).
Поскольку 7 × 8 = 56, в ответе будет 7, а остаток — 4. Продолжим нашу запись: 0,87;
— разделим 40 на 8 (остаток предыдущего деления, умноженный на 10). Результат — 5,
в остатке — нуль. Когда мы добираемся таким образом до нуля в остатке, наша дробь
готова. Итого имеем 0,875.
Применение такого метода превращения к другим дробям иногда никак
не заканчивается: можно пошагово делить и делить до бесконечности. Если
попытаемся превратить 2/3 в десятичную дробь, к примеру, мы обнаружим, что
на каждом этапе у нас происходит деление 20 на 3, его результат равен 6, а в остатке 2,
и всякий раз нам далее придется опять делить 20 на 6, и мы никогда не доберемся до
нулевого остатка. В этом случае получается бесконечная десятичная дробь 0,6666666...
Запись такой дроби — 0,(6), и называется она периодической.
Многие дроби ведут нас в такую бесконечность. Дробь 5/7 представляет отдельный
интерес: записав ее в десятичном виде, получим 0,714285714285714285... Как видим,
последовательность 714285 повторяется. Если в дроби возникает повторяющаяся
#
последовательность, мы не можем записать ее в конечном десятичном виде,
и тогда запись дроби 5/7 в десятичном виде будет выглядеть так: 0,(714285).
1
2
Египетские дроби Египтяне во втором тысячелетии до нашей эры
основывали свою систему дробей на иероглифах, обозначающих доли единицы,
т. е. дроби с числителем, равным 1. Это стало известно из математического
папируса Ахмеса (также известного как «папирус Ринда (или Райнда)»), который
ныне хранится в Британском музее. Система эта была настолько сложна, что
лишь специально обученные разбирались во всех тонкостях и секретах, позволявших производить вычисления правильно.
1
3
2
3
У египтян к некоторым дробям относились особо — к 2/3 , например, но все
остальные дроби записывали как доли единицы: 1/2, 1/3, 1/11 или 1/168. Такова
была основа их системы дробей, с помощью которой они выражали все
остальные дробные числа. Например, 5/7 — не доля единицы, но может быть
записана в долях единицы — вот так:
5
1
1
1
1 ,
=
+
+
+
7
3
4
8
168
15
1
4
3
4
Египетские
дроби
В таком выражении используются разные доли единицы. Удивительное свойство этой
системы заключается в том, что одна и та же дробь может быть записана по-разному,
и один вариант может оказаться короче другого:
5
1
1
1 ,
=
+
+
7
2
7
14
Египетские дроби получили довольно ограниченное применение, однако вдохновили
целые поколения мыслителей чистой математики и поставили перед ними интересные
задачи — и некоторые не решены до сих пор. Например, полный анализ методов
нахождения кратчайшего выражения египетской дроби еще ждет своего отважного
исследователя-математика.
В сухом остатке:
Одно число над другим
16
"$ ! "$ ! "
04 Квадраты
и квадратные
корни
Если вам нравится рисовать квадраты точками, ваш образ
мышления близок к пифагорейскому. Этому развлечению
предавалось братство людей, сплотившихся вокруг Пифагора —
человека, памятного нам по «той самой теореме». Он родился
на греческом острове Самос, а его тайное религиозное общество
расцвело на юге Италии. Пифагорейцы верили, что математика
есть ключ к природе Вселенной.
Посчитаем точки. Первый квадрат слева состоит всего из одной. Для
пифагорейцев единица была самым важным числом, исполненным
духовного смысла, а значит, мы с вами начали с главного. Продолжим
подсчеты: последующие квадраты дадут нам так называемые квадратные
числа — 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... Это полные квадраты. Можно вычислить следующий квадрат целого числа по точкам, добавив к предыдущему квадрату точки по контуру — например, 9 + 7 = 16. Но на
квадратах пифагорейцы не успокоились. Они рассмотрели и другие
фигуры — треугольники, пятиугольники и другие многоугольники.
1
1
4
9
3
16
6
Треугольные числа в виде точек похожи на горки из камней.
Подсчет точек в таком случае дает нам 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... Для
расчета треугольного числа необходимо взять предыдущее и прибавить
к нему число точек, которое будет в нижнем ряду в рассчитываемом числе. Каково будет следующее после 10 треугольное число, например? У него будет 5 точек в нижнем
ряду, т. е. мы должны прибавить 5 к 10; получим 15.
10
1750
. .
Вавилоняне
составляют таблицы
квадратных корней
525
. .
Пифагорейцы изучают
геометрически
изображенные
квадратные числа
%" 300 . .
Евдоксова теория
иррациональных чисел
изложена Евклидом
в «Началах», книга V
"$ ! "$ ! "
Если сравнить квадратные и треугольные числа, можно увидеть, что
число 36 есть среди и тех и других. Есть и еще одна поразительная связь.
Если последовательно сложить треугольные числа, знаете, что получится?
Давайте попробуем — результаты справа в таблице:
Именно! Сложение двух последовательных треугольных чисел дает
квадратное. В этом можно убедиться и наглядно. Представьте себе квадрат
из четырех рядов по четыре точки в каждом с проведенной через него
диагональной линией. Точки выше этой линии (см. рисунок справа)
образуют в сумме треугольное число, а точки ниже линии — следующее
за ним треугольное число. Это наблюдение действительно для квадрата
любого размера. От этих «точечных рисунков» до измерения площадей —
рукой подать. Площадь квадрата со стороной 4 есть 4 × 4 = 42 = 16 точек.
В целом, если сторона равна x, площадь получится x 2 .
Параболическая фигура — это и спутниковая антенна, и отражатель автомобильных фар. У параболы есть фокальная (фокусная) точка. У спутниковой
антенны датчик размещают в фокальной точке, и сигналы, получаемые
при отражении параллельных лучей от изогнутой поверхности антенны, улавливаются
этим самым датчиком. В фарах автомобиля лампочка, расположенная в фокусной точке
параболы, отправляет вовне параллельные лучи света. Спортсмены, в свою очередь, —
толкатели ядра, метатели копья или молота — знают, что именно по параболе движется
любой объект, брошенный с земли и падающий на землю.
Квадратные корни Если взглянуть на задачу с другой стороны, т. е. выяснить
длину стороны квадрата при заданной площади, скажем, 16, ответ будет, очевидно, 4.
Квадратный корень из 16 — четыре, и записывается это так: 16 = 4. Символ √
применяется для обозначения квадратных корней с XVI века. У всех квадратных
чисел — симпатичные целые квадратные корни: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, 16 = 4, 25 = 5
и т. д. Однако между этими полными квадратами наблюдаются широкие зазоры: 2, 3, 5,
6, 7, 8, 10, 11, ...
2
1
3
5
4
6
7
8
10 11 12 13 14
...
9
Существует гениальная альтернативная форма записи квадратных корней.
Мы записываем квадратное число как x 2, и точно так же мы можем записать и квадратный корень — x 1/2, что запросто укладывается в метод
630
1550
1872
Брахмагупта предлагает
методы расчета
квадратных корней
Для записи квадратных
корней вводится символ √
Рихард Дедекинд
разрабатывает теорию
иррациональных чисел
18
"$ ! "$ ! "
умножения чисел путем сложения их степенных показателей. Таков смысл логарифма,
изобретенного около 1600 года: задача умножения может быть трансформирована
в сложение. Эти числа имеют квадратные корни, но они не равны целым числам.
Практически на любом калькуляторе есть кнопка «√», и с ее помощью мы можем
определить √7 как 2,645751311.
Рассмотрим √2. Число 2 для пифагорейцев тоже было значимым, потому что это
первое четное число (греки считали четные числа женскими, нечетные — мужскими,
а все малые числа имели каждое свой характер). Если извлечь на калькуляторе
квадратный корень из 2, получится 1,414213562 — если ваш калькулятор показывает
столько десятичных знаков после запятой. Действительно ли это квадратный корень
из двух? Проверим это, умножив 1,414213562 на 1,414213562. Получим 1,999999999. Это
не вполне 2, потому что 1,414213562 — лишь округленный результат извлечения
квадратного корня из двух.
Стоит отдельно отметить, что на большее нам претендовать не приходится: при
извлечении квадратного корня из двух мы получим миллионы знаков после запятой,
но и они по-прежнему будут лишь округлением. √2 важен для математики, хоть он и не
так знаменит, как √ или e (см. стр. 20–27), но достаточно значителен, а потому имеет
собственное имя — его иногда называют «пифагоровым числом».
A
D
C
A
1 &
A
Вопрос, являются ли квадратные корни дробями, отсылает нас к теории измерения
в том виде, в котором она была ведома древним грекам. Предположим, у нас есть отрезок
AB, длину которого мы хотим определить, и некая незримая единица
B измерения CD, с помощью которой мы и станем производить измерения.
Для этого приложим CD к AB. Если мы последовательно приложим CD
к AB m раз и наше последнее прикладывание даст нам полное совпадение
последнего отрезка AB с CD, это означает, что длина AB в точности равна
m. В противном случае приставим к концу AB точно
B
такой же отрезок длиной AB и продолжим измерение при помощи той же мерной единицы (см. рис.
слева). Греки считали, что, приставив n копий AB
друг к другу, найдется такое m единиц CD, при котором произойдет точное совпадение
концов m-ного отрезка CD и n-ного AB. В таком случае длина AB окажется равна m/n.
Например, если в трех отрезках AB, приставленных друг к другу, укладывается
29 единиц CD, длина AB равна 29/3.
Греки размышляли о том, как измерить длину AB (гипотенузу) в треугольнике, в котором обе другие стороны равны одной «единице измерения».
Согласно теореме Пифагора, длина AB может быть записана как √2,
и задача в таком случае ставится так: равен ли √2 дроби m/n?
C
B
1 &
"$ ! "$ ! "
Мы уже обнаружили при помощи калькулятора, что квадратный корень из 2,
записанный в десятичном виде, потенциально бесконечен, и этот факт — бесконечное
количество десятичных знаков после запятой — вероятно, указывает на то, что √2 —
не дробь. Однако и у десятичной дроби 0,3333333... тоже конца не видать, тем не менее
она соответствует дроби 1/3. Нам, судя по всему, нужны более убедительные аргументы.
Дробь ли √2?
Этот вопрос подводит нас к одному из знаменитейших
математических доказательств. Оно производится в излюбленном греками ключе —
апагогией, или доведением до абсурдного. Сначала договоримся, что √2 не может быть
и дробью, и не дробью одновременно. Таков закон логики — исключенного третьего.
В логике нет срединного пути. Греки же предложили нечто совершенно гениальное.
Они допустили, что √2 — дробь, и, следуя жесткой логике, шаг за шагом дошли до
противоречия, т. е. «абсурда». Давайте-ка проделаем этот путь сами. Итак, допустим,
что √2 = m/n. Можем пойти дальше — допустим, что у m и n нет общего делителя. Это
вполне допустимое предположение, потому что, будь у них общий делитель, на него
можно было сократить и m, и n еще до начала наших рассуждений. (Например, дробь
21
/35 равна 3/5, потому что у 21 и 35 есть общий делитель 7.)
Возведем обе стороны уравнения √2 = m/n в квадрат и получим 2 = m2/n2, и тогда m2 = 2n2.
И вот тут заметим: поскольку m2 равно чему-то, умноженному на 2, значит, оно — четное
число. Это в свою очередь означает, что и само m нечетным быть не может (потому что
корень из нечетного числа — нечетное число), а значит, m — четное.
Пока наша логика безупречна. Коль скоро m — четное число, оно должно быть равно
чему-то, умноженному на два, а значит, мы можем записать m как равное 2k. Возведем
обе стороны этого равенства в квадрат: m 2 = 4k 2 . Объединим это уравнение с ранее
полученным: 2n2 = 4k 2, сократим обе стороны уравнения на 2, и выйдет, что n2 = 2k 2 .
Но такое мы уже видали! И в этом случае делаем аналогичный вывод: n2 — четное
число, равно как и n. Таким образом мы, следуя строгой логике, пришли к заключению,
что и m, и n — четные числа, а это означает, что у них есть общий делитель — 2. Это
противоречит нашей исходной установке, что у m и n нет общих делителей. Это
означает, что √2 не может быть дробью.
Подобное доказательство можно провести применительно к любому √n
(за исключением тех случаев, когда n — полный квадрат) и убедиться, что квадратный
корень не может быть дробью. Числа, которые нельзя выразить в виде дроби,
называются «иррациональными», и таких чисел — бесконечность.
В сухом остатке:
Добираемся
до иррациональных чисел
19
20
05
— самое знаменитое число в математике. Забудь вы все
остальные мировые константы, вспомнится первым. Если бы
числам присуждали «Оскар», получало бы его ежегодно.
, или число «пи», есть длина окружности, деленная на длину отрезка,
проведенного через центр этой окружности (диаметр). Значение этого
числа, соотношение этих двух длин, не зависит от размеров
окружности. Большая она или маленькая, — самая что ни на есть
математическая постоянная. Окружность — естественная среда
обитания , однако эта константа возникает в математике повсюду
и даже там, где окружностей нет и в помине.
Архимед Сиракузский Отношение длины окружности
и ее диаметра — объект давнего интереса. Примерно во втором
тысячелетии до н. э. вавилоняне заметили, что длина любой
окружности примерно в три раза больше ее диаметра.
Для окружности
с диаметром d
и радиусом r:
длина окружности = d = 2r
площадь = r 2
Для сферы с диаметром d
и радиусом r:
площадь поверхности =
= d 2 = 4r 2
объем =
4 3
r
3
Но именно Архимед Сиракузский около 225 до н. э. положил
начало великой математической теории . Архимед, конечно,
голова. Математики обожают ранжировать своих коллег,
и Архимеда они ставят в один ряд с Карлом Фридрихом Гауссом,
«королем математики», и сэром Исааком Ньютоном. Как бы мы
ни относились к этому утверждению, Архимед, очевидно, занял
бы свое место в любом Зале Славы математики, хоть он и не был
святее Папы Римского — наряду со вкладом в астрономию,
математику и физику, он прославился разработкой оружия:
катапульт, рычагов и так называемых «жгучих зеркал» — все для
того, чтобы римляне вели себя прилично. Но, как ни крути, было
в нем что-то от чокнутого профессора, иначе с чего бы ему
выскакивать из ванны и нестись голым по улицам с воплями
«Эврика!» после открытия им знаменитого закона гидростатики? Описание способа, каким он отпраздновал свои достижения
в исследованиях числа , история не сохранила.
2000
. .
По наблюдениям вавилонян,
примерно равно 3
250
. .
Архимед аппроксимирует
как 22/7
Если исходить из того, что определяется как отношение длины окружности к ее диаметру, как увязать с этим площадь круга? То, что площадь круга
радиусом r есть r 2 — вывод из определения числа , хоть оно и более
известно, чем само определение через отношение длины окружности
к диаметру. Несение двойной службы — его знакособого отличия.
Как это доказать? Круг можно разбить на множество узких
одинаковых треугольников с длиной основания b и высотой, которая
примерно равна радиусу r. В результате получим многоугольник, вписанный в круг, и они будут очень близки друг другу по площади. Возьмем для
начала 1000 таких треугольников. Все наше рассуждение — упражнение
в приближении. Сложим попарно соседние треугольники — из них
получатся прямоугольники с приблизительной площадью, равной b × r,
и тогда общая площадь многоугольника будет равна 500 × b × r. Поскольку
500 × b — это примерно половина длины окружности, которая равна r,
значит, площадь многоугольника получится равной r × r = r 2 . Чем на большее число
треугольников мы разобьем нашу окружность, тем точнее окажется наше
приближение и в пределе мы действительно установим, что площадь круга равна r 2 .
Архимед оценил значение между 223/71 и 220/70. Именно благодаря Архимеду мы привыкли к приблизительному выражению числа как 22/7. Честь точного определения
числа принадлежит малоизвестному валлийскому математику Уильяму Джонсу,
в XVIII веке ставшему вице-президентом Лондонского королевского научного общества. А популяризатором в контексте соотношений размерностей окружности стал
математик и физик Леонард Эйлер.
Точное значение Мы никогда не сможем узнать точное значение числа ,
потому что оно — иррациональное число: этот факт в 1768 году доказал Иоганн Ламберт.
Десятичное выражение этого числа бесконечно, и в нем не просматривается никаких
предсказуемых закономерностей. Первые 20 знаков после запятой таковы:
3,14159265358979323846... Значение √10, применявшееся китайскими математиками для
аппроксимации числа , равно 3,16227766016837933199, и это значение было принято
около 500 г. н. э. Брахмагуптой; оно в самом деле не намного лучше, чем огрубленное 3,
и расхождение со значением начинается уже со второго знака после запятой.
Можно рассчитать при помощи ряда чисел. Вот один из них, хорошо известный:
4
=1–
1
1
1
1
1
+
–
+
–
+ ...
3
5
7
9
11
1706
1786
1882
Уильям Джонс
вводит символ
Иоганн Генрих Ламберт
доказывает, что число
— иррациональное
Фердинанд фон Линдеманн
доказывает, что число
— трансцендентное
21
22
хотя он приближается к значению мучительно медленно и довольно безнадежно для
расчетов. Эйлер открыл другой замечательный ряд :
2
1
1
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ...
6
2
3
4
5
6
Гений-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал блестящую формулу
аппроксимации — в нее входит только квадратный корень из 2:
9801
√2 = 3,1415927300133056603139961890...
4412
Математиков завораживает число . Ламберт доказал, что не может быть дробью,
а немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн в 1882 году решил наитруднейшую
задачу, связанную с . Он продемонстрировал, что — трансцендентно, т. е. не может
быть решением алгебраического уравнения (корнем многочлена с целыми
коэффициентами). Решив эту «загадку веков», Линдеманн закрыл вопрос «квадратуры
круга». Задача состояла в том, чтобы в предложенном круге выстроить квадрат той же
площади с помощью только циркуля и линейки. Линдеманн неоспоримо доказал, что
это проделать невозможно. Ныне «решение задачи квадратуры круга» — эвфемизм,
обозначающий невыполнимое, безнадежное дело.
Далее расчеты числа пошли бодрее. В 1853 году Уильям Шэнкс объявил о вычислении вплоть до 607 знака (на самом деле из них точны оказались лишь первые 527).
В наши дни гонка за знаками после запятой в числе набрала еще большую скорость —
спасибо компьютерным технологиям. В 1949 году были рассчитаны 2037 знаков после
запятой, на что компьютеру ЭНИАК* потребовалось 70 часов. К 2002 году мы знали
ошеломительные 1 241 100 000 000 знаков после запятой, но хвост этот продолжает
расти. Если встать на экваторе и начать писать знаки , то Шэнксовы цифры впишутся
в 14 метров, а длина этого числа, известная нам к 2002 году, — 62 витка вокруг Земли
по экватору!
О было задано много вопросов. Случайны ли цифры в числе ? Существует ли какаянибудь предсказуемая последовательность в записи ? Есть ли в написании последовательность 0123456789? В 1950 году эти вопросы казались непостижимыми. Никто
не смог отыскать никаких закономерностей в тех 2000 знаков, которые были на тот
момент вычислены. Известный голландский математик Л. Э. Я. Брауэр говорил, что эти
вопросы лишены смысла, — он был убежден, что любой ответ в данном случае проверке
не поддается. Но в 1997 году эта последовательность была обнаруже* ENIAC, сокр. от
на на 17 387 594 880 месте после запятой, а в терминах витков вокруг
англ. Electronic
Numerical Integrator Земли — за 3000 миль до завершения полного оборота вдоль экватора.
and Computer — В 600 милях до конца того же витка можно обнаружить последовательэлектронный
числовой интегратор ность из десяти шестерок, а до десяти семерок придется подождать —
и вычислитель. до конца витка и еще 3600 миль.
23
«'» $
Если хочется запомнить первые знаки в числе , вероятно, вам поможет поэзия.
Следуя традиции обучения математике через мнемонику*, Майкл Кит сочинил
блистательную вариацию на тему стихотворения «Ворон» Э. А. По.
«Ворон»,
первые строки:
Once upon a midnight dreary,
while I pondered weak and weary,
Over many a quaint and curious
volume of forgotten lore…
«Мнемоническая» вариация М. Кита
начинается так:
Poe, E. Near A Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling
all by-now obsolete lore…
Количество букв в каждом слове в версии Кита соответствует знаку в записи числа
и позволяет запомнить первые 740 знаков числа .
Значимость
Что толку знать число с такой точностью?
В конце концов, большинство наших вычислений требует всего
несколько десятичных знаков после запятой; практический смысл
имеет, допустим, десяток знаков, а для этого хватит и архимедова
приближения 22/7. Но крупномасштабные вычисления выполняются
не исключительно развлечения ради. Они служат для проверки
быстродействия компьютеров, а не только для завораживания
некоторых математиков, которые зовут себя «друзьями пи».
Быть может, страннейшим случаем в жизни оказалась попытка
законодательного собрания штата Индиана протолкнуть закон
о фиксации значения числа . В конце XIX века врач Э. Дж. Гудвин
предложил законодательно сделать число «удобоваримым».
Практическая загвоздка с этим законопроектом состояла в том, что его
инициатор не смог зафиксировать число в желанном ему значении.
К счастью для Индианы, идиотизм предложения применить закон
к числу стал очевиден до принятия официального решения.
* Существует несколько русскоязычных мнемонических
правил, помогающих
запомнить несколько
знаков в формуле
числа , однако
широкую известность получили лишь
короткие, в пределах
пары десятков слов
(и, соотв., знаков
в записи), например: «Как я хочу
и желаю надраться
до чертей после сих
тупых вопросов,
наводящих тяжелую
депрессию!»
В сухом остатке:
Когда открыли
24
e
06 e
e по сравнению с — константа-«новичок». — особа
августейшая, с великим прошлым, чьи корни уходят в историю
Вавилона, а e ракушками былого еще обрасти не успела.
Постоянная e юна, бодра и непременно присутствует всюду, где
есть рост: населения, денег или других физических величин.
е — число, округленно равное 2,71828. В чем же его особенность? Это
не случайно выбранное число, а одна из величайших математических
постоянных. Оно получило известность в начале XVII века: несколько
математиков приложили немало сил, чтобы разобраться с концепцией
логарифма — замечательного изобретения, позволившего превратить
умножение больших чисел в их сложение.
Но все началось в XVII веке с е -коммерции — с Якоба Бернулли, одного
из прославленных швейцарских Бернулли — семьи, которая
занималась поставками математиков всему миру. Якоб взялся за работу
в 1683 году и начал с задачи о капитализации процентов.
Деньги, деньги, деньги Вообразите годичный интервал
времени, запредельную ставку кредитования в 100% и стартовый
депозит («основной капитал») в 1 фунт. Разумеется, редко выпадает удача
получать 100% дохода с вложений, но такая постановка задачи нам
попросту удобна, а все дальнейшие выкладки приложимы и к правдоподобным ставкам в 6–7%. Аналогично можно умножить все наши данные
на 10 000, если основной капитал — 10 000 фунтов, например.
При 100%-ном доходе в конце года у нас на руках будут и сумма основного
капитала, и доход — в наших условиях обе суммы равны 1 фунту. Таким
образом получаем итого 2 фунта. Теперь предположим, что кредитная
ставка стала вдвое меньше, т. е. 50%, но рассчитывается каждые полгода
отдельно. В первые полгода мы заработаем 50 пенсов, к концу первого
полугодия общий капитал при этом составит 1,5 фунта.
1618
1727
Джон Непер (Нейпир)
сталкивается с постоянной е —
в связи с логарифмическими
вычислениями
Леонард Эйлер применяет
написание е в теории
логарифмов; его иногда
называют числом Эйлера
e
25
Тогда к концу года у нас на руках окажется эта сумма плюс еще 75 пенсов дохода. Итого
наше стартовое вложение в 1 фунт выросло к концу года до 2,25 фунта! Капитализируя
проценты каждые полгода, мы заработали дополнительно 25 пенсов. Вроде не так
много, но если бы наши вложения составляли 10 000 фунтов, мы заработали бы
2250 фунтов, а не 2000. Капитализация процентов каждые полгода позволяет нам
заработать нелишние 250 фунтов.
Однако, если мы, капитализируя проценты каждые полгода, зарабатываем на наших
вложениях, банк на деньгах, которые мы ему должны, тоже заработает, поэтому стоит
держать ухо востро. Предположим, год делится на четыре квартала, и в каждом
квартале ставка — 25%. Произведем расчеты, аналогичные предыдущим, и увидим, что
наш 1 фунт вырос до 2,44141 фунта. Денег у нас явно прибавилось, и, если вложить
10 000 фунтов и капитализировать меньшие проценты, но чаКапитализируем Общая сумма,
ще, выйдет вроде бы приличная выгода.
Будет ли наш капитал расти бесконечно и сделает ли он нас
миллионерами? Если продолжим дробить год на все меньшие
периоды (см. таблицу справа), мы увидим, что «в пределе»
суммарное количество заработанных денег устремляется к постоянной величине. Очевидно, предел разумной капитализации —
один день (так банки и поступают). Математическая сторона этой
практической задачки — число е : именно к нему устремляется
доходность 1 фунта при непрерывной капитализации. Хорошо
это или плохо? Ответ вам известен: если вы вкладываете деньги —
да, если должны деньги — нет. Такая вот е -наука.
каждый...
год
полгода
квартал
месяц
неделю
день
час
минуту
секунду
Как и число , постоянная е —
иррациональное число, и поэтому так же, как и в случае с , мы не можем вычислить
точное его значение. До двадцатого знака после запятой е = 2,71828182845904523536...
В дробном выражении наилучшее приближение к значению е дает 87/32 — если
ограничить числитель и знаменатель двухзначными числами. Любопытно отметить,
что в трехзначных числах наиболее точно постоянную е определяет дробь 878/323.
Вторая дробь — своего рода палиндромное расширение первой, математика любит эти
милые сюрпризы. Хорошо известный ряд, описывающий значение числа е таков:
Эйлер рассчитывает первые 23 знака
числа е; ему приписывают
открытие знаменитой формулы
ei + 1 = 0
Шарль Эрмит доказывает
трансцендентность е
Рассчитано 1011 знаков е
26
e
Запись в виде факториалов тут нам придется очень кстати. Обозначение факториала —
восклицательный знак, т. е. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1. В такой записи ряд приобретет вид:
e =1+
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ...
1!
2!
3!
4!
5!
В значении числа е явно просматриваются кое-какие закономерности, и в этом
отношении оно «симметричнее» числа .
Желаете знать способ запоминания первых нескольких знаков в постоянной е после
запятой? Извольте первые 12 десятичных знаков: «Давай-ка я попробую не позабыть
и наизусть не твердить этот хвост длиннющий», количество букв в каждом слове
соответствует цифре в значении числа е. Если вам знакома американская история,
можете запоминать е как «2,7 Эндрю Джексон Эндрю Джексон»: Эндрю Джексон —
седьмой президент США, избранный в 1828 году. Способов запоминать число
е немало, но интересна в них только затейливость, а не дополнительный
математический смысл.
Иррациональность е (е — не дробь) была доказана Леонардом Эйлером в 1737 году.
В 1840-м французский математик Жозеф Лиувилль показал также, что е не может быть
решением никакого квадратного уравнения, а в 1873 году в своем новаторском труде,
посвященном е, соотечественник Лиувилля Шарль Эрмит доказал трансцендентность
числа е (оно не может быть решением никакого алгебраического уравнения). Важнейшим
в этой работе оказался способ, которым воспользовался Эрмит. Девять лет спустя
Фердинанд фон Линдеманн применил его для доказательства трансцендентности —
задачи куда более существенной.
Один вопрос получил ответ, зато появилось несколько новых. Если возвести число
е в степень е, будет ли полученный результат также трансцендентным числом? Вроде
бы иначе и быть не может — само выражение выглядит чересчур странно. Тем не менее
пока строгого доказательства не произведено, а значит, согласно суровым стандартам
математики, это предположение остается гипотезой. Математики потихоньку
двигаются к доказательству — уже установлено, что е и е, возведенное в степень ,
не могут быть трансцендентными оба одновременно. Уже теплее, но еще не горячо.
Связь между и е поражает воображение. Значения e и e близки, но легко доказать
(даже не прибегая к вычислениям их реальных значений), что e > e. Если вы
сжульничали и посчитали на калькуляторе, сами видите, что e = 23,14069, а e =
22,45916.
Число e известно под названием «постоянная Гельфонда» (в честь русского
математика Александра Гельфонда); его трансцендентность доказана. Гораздо меньше
нам известно о e; доказательства его иррациональности пока нет, если оно вообще
иррационально.
e
27
Важно ли е? Место обитания е — разнообразный рост чего угодно. Примеры —
экономический рост и рост населения. Кривые, описывающие процесс
радиоактивного распада, также связаны с этой константой.
Число е возникает и в связи с другими задачами. В XVIII веке Пьер де Монмор
исследовал задачу о вероятностях, и с тех пор ей уделили еще больше внимания.
В простой версии этой задачи компания людей отправляется обедать, после чего
разбирает свои шляпы не глядя. Какова вероятность того, что ни один человек
не окажется в своей шляпе?
Можно доказать, что эта вероятность равна 1/e (т. е. примерно 37%), а вероятность
того, что хотя бы один человек нахлобучит собственную шляпу, составляет 1 – 1/e
(63%). Это один из многих способов применения теории вероятности. Пуассоновское
распределение, описывающее редкие события, — еще один. Таковы первые примеры,
но они далеко не единственные: Джеймс Стирлинг обнаружил замечательную
аппроксимацию факториального значения n! с применением e (и ); в статистике
знаменитая «колоколообразная» кривая (кривая нормального распределения) тоже
не обходится без e ; в инженерном деле кривая тросов подвесного моста описывается
с участием e. Словом, список бесконечен.
Потрясающая сущность
Звание самой
поразительной формулы математики принадлежит выражению, включающему в себя e. Если
вспоминать великие числа математики, на ум
приходят 0, 1, , e и мнимое число i = √–1.
Оказывается, что
e i + 1 = 0.
Представляете? Этот математический вывод
принадлежит Эйлеру.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
Быть может, подлинная значимость e — в загадке,
Нормальное распределение
занимавшей умы целых поколений математиков.
От этой константы никуда не деться. Вероятно, поэтому писатель Э. В. Райт —
возможно, это псевдоним — потрудился написать роман «Гэдзби» без единой e.
Невозможно, однако, представить себе математика, который бы собрался написать
учебник без единой e — и оказался бы способен это сделать.
В сухом остатке:
Самое натуральное число
28
# "
07 Бесконечность
Насколько велика бесконечность? Короткий ответ таков: ∞ (так
символически она записывается) — это очень много. Вообразите
прямую, на которой размещаются все возрастающие числа,
и линия эта «уходит в бесконечность». Каким бы громадным
число ни было — допустим, 101000, всегда найдется еще большее —
101000 + 1.
Таково традиционное представление о бесконечности — числа, вечно
бегущие вдаль. Математика имеет в виду бесконечность всевозможными способами, но обращаться с нею надо внимательно: бесконечность
не является обыкновенным числом.
Посчитаем Немецкий математик Георг Кантор подарил нам
принципиально иной взгляд на бесконечность, попутно единолично
создав теорию, легшую в основу многих областей современной
математики. Ключевая мысль, на которой базируется теория Кантора,
относится к простейшему представлению о счете — даже проще, чем
тот, что мы применяем в быту.
Вообразите селянина, который не умеет считать числами. Как ему
узнать, сколько у него овец? Просто: выпуская утром овец из загона,
хозяин может удостовериться, все ли вернулись вечером, откладывая
из каменной груды, лежащей у выгона, столько же камней, сколько
овец было выпущено пастись, а вечером возвращая камни на место.
Если сколько-то овец потерялось, столько же камней останется
не переложенными. Селянин, не владея счетом, поступает очень
математично: применяет взаимно-однозначное соответствие
количеств овец и камней. У этого примитивного приема есть несколько
удивительных следствий.
Теория Кантора имеет дело с множествами (множество — просто набор
объектов). Например, запись N ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} обозначает
350
Аристотель отвергает понятие
актуальной бесконечности
1639
Жерар Дезарг вводит
понятие бесконечности
в геометрию
# "
множество положительных целых (натуральных) чисел. Итак, у нас есть множество,
а в нем могут быть подмножества — меньшие множества, включенные в большее.
Самыми очевидными подмножествами внутри нашего N являются О = {1, 3, 5, 7, …}
и E = {2, 4, 6, 8, …} — множества нечетных и четных чисел соответственно.
Задай мы вопрос, одинаково ли количество четных и нечетных чисел, каков был бы
ответ? Хоть мы и не в силах посчитать элементы в каждом из этих множеств
и сравнить результаты, ответ тем не менее, разумеется, «да». На чем основана эта
убежденность? Возможно, на утверждении вроде: «половина всех чисел — нечетная,
а половина — четная». Кантор согласился бы с таким ответом, но по другой причине.
Он бы сказал, что у каждого нечетного числа есть по соседству четная «пара».
Утверждение, что в обоих множествах O и E должно быть одинаковое количество
элементов, основано на парности каждого нечетного числа с четным:
На следующий вопрос — «столько ли у нас целых чисел, сколько и четных?» — ответ
будет «нет», потому что множество N вдвое больше отдельно взятого множества
четных чисел.
Однако это самое «больше» в данном случае выходит довольно смутное, поскольку мы
имеем дело с множествами, включающими в себя неопределенное число элементов.
Проще все-таки возиться с взаимно-однозначным соответствием. Приложим его
к множествам N и E:
И тут мы приходим к ошеломительному выводу: целых чисел «столько же», сколько
четных! А это вступает в противоречие с «расхожей истиной», провозглашенной еще
древними греками: «Начала» Евклида Александрийского с порога сообщают нам, что
«целое больше части».
1655
1874
1960-
Джону Валлису приписывают
первое употребление символа
«любовный узел», т. е. ∞,
для обозначения бесконечности
Георг Кантор подходит
к рассмотрению бесконечности
строго, вводит различение разных
порядков бесконечности
Абрахам Робинсон изобретает
«нестандартный анализ»,
основанный на понятии
бесконечно малых чисел
29
30
# "
Мощность множества Количество элементов в множестве называется его
«мощностью». В случае с овцами мощность, зафиксированная счетоводами нашего
селянина, составляет 42. Мощность множества {a, b, c, d, e} равна 5, записывается это
так: card{a, b, c, d, e} = 5, от латинского cardinalis — главное обстоятельство, сердцевина.
Таким образом, мощность множества — мера его «масштабов».
Для обозначения мощности множества целых чисел N и любых множеств, взаимнооднозначно соответствующих N, Кантор предложил символ ʠ 0 (ʠ, или «алеф», — буква
ивритского алфавита, ʠ 0 читается как «алеф-нуль»). Итак, на языке математики можем
записать следующее: {N} = {O} = {E} = ʠ 0.
Любое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие
множеству N, называется «бесконечным счетным». «Бесконечное счетное» означает,
что мы можем составить список элементов этого множества. Например, список
нечетных чисел — 1, 3, 5, 7, 9, ..., и мы знаем, какой элемент первый, какой второй и т. д.
Дроби — бесконечно счетны?
Множество чисел, которые можно
представить в виде дробей, Q больше множества N, поскольку множество N можно
представить как подмножество Q. Можем ли мы записать элемен– 1 2 – 2 3 – 3 4 . . . ты Q списком? Можем ли мы отразить на письме все до единой
–1 3 –3 5 –5 7
/2 /2 /2 /2 /2 /2 . . . дроби (включая отрицательные)? Мысль о том, что подобное
–1 2 –2 4 –4 5
/3 /3 /3 /3 /3 /3 . . . громадное множество можно поставить во взаимно-однозначное
–1 3 –3 5 –5 7
/4 /4 /4 /4 /4 /4 . . . соответствие с N, видится невозможной. Однако она воплощаема.
Начнем с того, что перейдем в термины двухмерности. Запишем
ряд целых чисел, отрицательных и положительных, поочередно.
Под ним запишем дроби с 2 в знаменателе, но оставим в стороне
те, что есть в верхнем ряду (например, 6/2 = 3). Ниже запишем дроби с 3 в знаменателе,
опять-таки отбрасывая те, что у нас уже записаны. Продолжая в этом духе бесконечно,
мы тем не менее будем точно знать, где в нашей таблице появляется та или иная дробь.
Например, 209/67 в 67-м ряду примерно на 200 мест правее 1/67.
1
2
3
7
6
16
15
5
8
14
17
9
13
18
2
10
12
19
22
11
20
21
4
25
24
Разместив таким образом все дроби — хотя бы теоретически, —
мы сможем собрать и одномерный список. Если двинуться
вдоль верхнего ряда вправо, до второго ряда нам не добраться
никогда. Однако, если выбрать извилистый маршрут, все
может и получиться. Начнем с 1 и получим вот такой
линейный ряд: 1, – 1, 1/2, 1/3, – 1/2, 2, – 2 — далее по стрелочкам,
см. схему слева.
Каждая дробь, положительная или отрицательная, окажется на некоем месте в этом линейном списке и, соответственно, положение каждой обусловливает позицию «пары»
# "
в двухмерном списке дробей. Таким образом мы можем заключить, что множество
дробей Q — бесконечное счетное, и записать {Q} = ʠ 0.
Перепись действительных чисел Тогда как множество дробей включает
в себя обилие разнообразных элементов из действительных чисел, есть еще
и действительные числа вроде √2, е и , которые дробями не являются. Это
иррациональные числа — они «заполняют пустоты» в ряду действительных чисел R.
– √5
...
–3 –2 –1
√2
0
1
/2 e
3
2
3
4
...
Все пустоты в множестве R заполнены, и это множество называется «полным», или
«непрерывным». Как же нам составить список действительных чисел? В порыве
подлинной гениальности Кантор доказал, что даже попытка записать все действительные числа в диапазоне между 0 и 1 обречена. Воистину сокрушительный факт для
любителей списков: как это так — невозможно составить список каких-то там чисел?
Предположим, вы не поверили Кантору. Вы знаете, что любое число от 0 до 1
можно записать в виде десятичной дроби любой протяженности, например:
1
/2 = 0,50000000000000000..., а 1/ = 0,31830988618379067153..., и вы бы сказали Кантору,
дескать, вот список всех чисел от 0 до 1, который мы обозначим r 1, r 2, r 3, r4, r 5, ...
Если вам такой список составить не удастся, значит, Кантор прав.
Представьте, что Кантор смотрит на ваш список и выделяет полужирным числа
по диагонали:
r 1: 0,a 1a 2 a 3 a 4 a 5 …
r 2: 0,b 1b 2 b 3 b 4 b 5 …
r 3: 0,c 1c 2 c 3 c 4 c 5 …
r4: 0,d 1d 2 d 3 d 4 d 5 …
Кантор сказал бы так: «Ну хорошо, а где же число x = x 1x 2 x 3 x 4 x 5 …, где x1 отличается
от a1, x 2 отличается от b 2, x 3 — от c 3 и т. д. по диагонали?» Его x отличается от любого
числа в вашем списке в одном из знаков после запятой, следовательно, этого числа
в вашем списке нет. Кантор прав.
Иными словами, невозможно составить список множества действительных чисел R,
а значит, это большее бесконечное множество — оно «более высокого порядка бесконечности», нежели бесконечность множества дробей Q. Громадное стало еще больше.
В сухом остатке:
Каскад бесконечностей
31
32
!
08 Мнимые числа
Мы, конечно же, можем возомнить себе числа. Иногда мне
мнится, что на моем банковском счете — миллион фунтов,
и нет никаких сомнений, что это «мнимое число». Однако
в математике мнимость не имеет с подобными фантазиями
ничего общего.
Предложение термина «мнимый» приписывают философу и математику Рене Декарту — в знак признания занимательных решений, предложенных им для уравнений с участием далеко не обычных чисел. Так
они существуют, эти мнимые числа, или нет? Об этот вопрос ломали
зубы многие философы — особенно их смущало определение «мнимое».
Для математиков существование мнимых чисел проблемы не представляло. Они — такая же часть повседневности, как 5 или . Мнимые числа, может, и незачем нам при походе в магазин, но спросите-ка любого
авиаконструктора или инженера-электрика — и поймете, что им без
мнимых чисел совсем никак. А сложением действительного и мнимого чисел мы получаем так называемое «комплексное число», и с этим
обозначением у нас с ходу гораздо меньше философских затруднений.
Теория комплексных чисел группируется вокруг квадратного корня из
минус 1. А какое число в квадрате даст нам – 1?
Если взять любое число, отличное от нуля, и умножить на само себя
(возвести в квадрат), всегда получится положительное число. В это
легко поверить применительно к положительным числам, но верно ли
это в случае с числами отрицательными? Попробуем проверить
на примере – 1 × (– 1). Если даже позабыть про выученное в школе
правило, что «минус, помноженный на минус, дает плюс», мы во всяком
случае помним, что ответ либо – 1, либо + 1. Если бы – 1 × – 1 = – 1, обе
стороны этого равенства можно разделить на – 1 и получить в результате – 1 = 1, а это нонсенс. Из этого следует, что – 1 × – 1 = 1, т. е. положительное число. То же доказательство действительно по отношению
к любым отрицательным числам помимо – 1, а это значит, что при
1572
Рафаэль Бомбелли производит
расчеты с мнимыми числами
1777
Эйлер впервые использует
символ i для обозначения
квадратного корня из – 1
!
возведении в квадрат любого действительного
числа результат никогда не отрицательный.
–1 $ (
Комплексные числа пригодились
даже инженерам, людям сугубо
практическим. Когда Майкл
Фарадей в 1830-х открыл переменный ток, мнимые числа обрели физическое воплощение. Для
этих целей √– 1 переименовывается в j, потому что в физической
терминологии i — обозначение
электрического тока.
В начале XVI века, на заре открытия комплексных
чисел, такой вывод не давал математикам сдвинуться с мертвой точки. Когда эту трудность удалось
преодолеть, полученный ответ освободил ученых
от оков обычных чисел и открыл новые горизонты
исследований, о которых раньше и не мечталось.
Развитие теории комплексных чисел — приведение
действительных чисел к естественной и более
совершенной системе.
Квадратный корень из – 1 Мы уже
удостоверились, что в пределах действительных
чисел
...
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
...
не может быть квадратного корня из – 1, поскольку нет такого числа, квадрат которого
был бы отрицательным. Если продолжить думать о числах только в пределах
действительного ряда, проще плюнуть, считать все остальные числа мнимыми, пойти
пить чай с философами и вообще не иметь с этим дел. А можно сделать дерзкий
шаг — принять √– 1 как новую сущность. Она обозначается буквой i .
Силою мысли мнимые числа все-таки существуют. Чем они являются, мы не знаем,
но верим в их существование. Мы по крайней мере знаем, что i 2 = – 1. Таким образом,
в нашей новой системе чисел есть и старые друзья — действительные числа 1, 2, 3, 4, е,
, √2 и √3, а также новые, с i, например: 1 +2i, – 3 + i, 2 + 3i, 1 + i√2, √3 + 2i, е + i и т. д.
Этот судьбоносный шаг был предпринят в математике в начале XIX века — тогда-то мы
и оставили одномерную линию чисел и выбрались на странную двухмерную их
плоскость.
Сложение и умножение Итак, вот они, комплексные числа, пред нашим
мысленным взором, в виде a + bi, но как нам с ними обращаться? Как и действительные
числа, их можно складывать и умножать. Сложение мы осуществляем, складывая
соответствующие их части, т. е. 2 + 3i, сложенное с 8 + 4i, дает нам (2 + 8) + (3 + 4)i,
т. е. 10 + 7i.
1806
1811
1837
Жан-Робер Арган предлагает
геометрическое представление
комплексных чисел, впоследствии
получившее название «диаграммы
Аргана»
Карл Фридрих Гаусс работает
с функциями комплексных
переменных
Уильям Р. Гамильтон (Хэмилтон)
обращается с комплексными
числами как с упорядоченными
парами действительных чисел
33
34
!
Умножение практически столь же незатейливо. Если нужно умножить 2 + 3i на 8 + 4i,
умножим их попарно:
(2 + 3i ) × (8 + 4i) = (2 × 8) + (2 × 4i) + (3i × 8) + (3i × 4i),
после чего суммируем результаты умножений в скобках: 16 + 8i + 24i + 12i 2 (в последнем
слагаемом заменим i2 на – 1). Получим (16 – 12) + (8i + 24i ), т. е. комплексное число 4 + 32i.
К комплексным числам применимы все обычные правила арифметики. Вычитание
и деление всегда возможны (кроме комплексного числа 0 + 0i, но с нулем некоторые
номера не проходят и среди действительных чисел). По сути, комплексные числа
обладают всеми свойствами действительных, за исключением одного: у комплексных
чисел мы не можем различить положительные и отрицательные.
Диаграмма Аргана Двухмерность комплексных чисел становится очевидной,
если представить их в виде диаграммы. Комплексные числа –3 + i и 1 + 2i можно
изобразить в виде так называемой диаграммы Аргана (комплексной плоскости),
названной в честь швейцарского математика Жана Робера Аргана, хотя и у других
ученых того времени возникали похожие соображения.
2
1
Любое комплексное число имеет пару, официально именуемую
«сопряженным числом». Такая пара для 1 + 2i есть 1– 2i, т. е. они
отличаются друг от друга знаком перед вторым компонентом. Парой
для 1 – 2i является 1 + 2i, т. е. это подлинная парность.
Сложение и умножение таких парных чисел всегда производит действительное число. В случае сложения 1 + 2i и 1– 2i
получаем 2, умножая, получаем 5. Умножение — интереснее. Ответ 5 — это
квадрат «длины» комплексного числа 1 + 2i, а это в свою очередь — «длина»
пары этого числа. Эта «длина» комплексного числа называется его модулем.
Модуль комплексного числа можно определить вот так:
модуль w = √(w × парное число к w).
–3
1
2
1
1 + 2i
:5
–3 + i
1 + 2i
2
Проверим, действительно ли это утверждение для –3 + i: получим
выражение модуль (–3 + i ) = √(–3 + i ) × (– 3 – i ) = √(9 + 1), таким образом, модуль – 3 + i = √10.
1
0
1
:5
1 – 2i
( )
Освобождение комплексных чисел от налета мистики
случилось благодаря сэру Уильяму Роуэну Гамильтону, величайшему ирландскому математику XIX века. Он признал, что i как таковая
для математической теории без надобности — она является лишь
символом-заполнителем, и ее можно запросто отбросить. Гамильтон
рассмотрел комплексное число как «упорядоченную пару»
!
действительных чисел (a, b) и двухмерное качество этой пары, без всякого
участия таинственного √– 1. Избавившись от i , получим такой
w2
вид сложения:
(2, 3) + (8, 4) = (10, 7)
и умножения, хоть оно и чуть менее очевидно:
(2, 3) × (8, 4) = (4, 32).
Завершенность системы комплексных чисел становится очевиднее,
если поразмыслить над так называемыми корнями n-ной степени из
единицы. Рассмотрим, к примеру, решения уравнения z n = 1,
а конкретнее, допустим, z 6 = 1. Решений среди действительных чисел
у такого уравнения два: z = 1 и z = – 1 (потому что 16 = 1 и (– 1)6 = 1), но где
же остальные? Таких корней (и это можно строго доказать) должно
быть шесть*. Как и два действительных корня этого уравнения, все
шесть корней имеют единичную длину и размещаются по окружности
с центром в точке начала координат и радиусом, равным единице.
35
y
w
w3
w6
–1
+1
w4
x
w5
* Доказательство проистекает из основной теоремы
алгебры о том, что всякий
отличный от константы
многочлен (от одной переменной) с комплексными
коэффициентами имеет по
крайней мере один корень
в поле комплексных чисел.
Более того, если всмотреться в равенство w = 1/2 + i √3/2, что является
одним из корней уравнения в первой четверти круга (в первом квадранте), остальные
корни, если двигаться против часовой стрелки, — w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 = 1 — находятся
в вершинах равностороннего шестиугольника. Вообще, n корней из единицы будут все
расположены на окружности, в «вершинах» правильного n-угольника.
Распространение комплексных чисел
Стоило математикам обрести
комплексные числа, как они принялись инстинктивно искать обобщения.
Комплексные числа двухмерны, но можно ведь на двух измерениях не останавливаться? Много лет Гамильтон пытался выстроить трехмерные числа и постичь способ их
сложения и вычитания, но удача улыбнулась ему, лишь когда он взялся
за четырехмерность, и возникли кватернионы. Вскоре после этого возникли восемь
измерений и так называемые числа Кэли (октонионы, или октавы). Многие
раздумывали, возможны ли — в продолжение этого умственного обобщения — 16-мерные числа, но полвека спустя после грандиозного свершения Гамильтона было
доказано, что сие невозможно.
В сухом остатке:
Недействительные числа
действительно применимы
36
!
09 Простые числа
Математика — настолько всеобъемлющий и пронизывающий
все дела человеческие предмет, что иногда она видится
неусвояемой. Время от времени нам необходимо возвращаться
к первоистокам — т. е., разумеется, к счету: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, ... А еще проще можно?
Что ж, 4 = 2 × 2, а значит, 4 можно разбить на составляющие. Можем ли
мы поступить так же и с любыми другими числами? Конечно, вот,
например: 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5, 12 = 2 × 2 × 3. Это всё
составные числа, поскольку составлены из более простых — 2, 3, 5, 7, ...
«Неделимые» — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Они называются простыми
числами. Простое число делится только на 1 и на само себя. А единица,
кстати сказать, — простое ли число? Согласно приведенному определению — должно быть, и многие знаменитые математики прошлого так
с ним и обращались, однако современные математические умы начинают ряд простых чисел с 2. Такой подход создает все условия для
элегантных формулировок различных теорем. Мы с вами тоже будем
считать 2 первым простым числом.
Подчеркнем простые числа в пределах первых целых: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, ... Изучение простых
чисел ведет нас к началу начал. Важность простых чисел — в том, что они
суть «атомы» математики. Так же, как и основные химические элементы,
из которых состоит множество химических соединений, простые числа
задействованы в построении соединений математических.
Математический результат, объединяющий все ранее сказанное, носит
величественное имя «основной теоремы арифметики». Она утверждает, что любое целое число, большее 1, может быть записано в виде
умноженных друг на друга простых чисел, причем единственным способом с точностью до перестановки сомножителей. Мы уже записывали 12 в виде 2 × 2 × 3, и никакого иного способа разложения на простые
300
. .
В «Началах» Евклид приводит
доказательство бесконечности
простых чисел
230
. .
Эратосфен Киренский описывает
метод просеивания целых чисел
и выделения из них простых
!
числа для 12 не существует. Часто то же самое записывают в степенном виде: 12 = 22 × 3. Вот вам еще
один пример: 6 545 448 можно записать как
23 × 25 × 7 × 13 × 37.
0
1
2
3
4
5
6
7
37
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28
Увы, мы не распо30 31 32 33 34 35 36 37 38
лагаем формулой для определения простых чисел,
и никаких закономерностей их расположения в ряду 40 41 42 43 44 45 46 47 48
целых чисел не наблюдается. Один из первых мето50 51 52 53 54 55 56 57 58
дов их обнаружения был предложен юным современником Архимеда, большую часть жизни прожившим 60 61 62 63 64 65 66 67 68
в Афинах, — Эратосфеном Киренским. Точностью
70 71 72 73 74 75 76 77 78
его расчета длины экватора в его время премного
80 81 82 83 84 85 86 87 88
восхищались. Ныне мы признательны ему за решето, при помощи которого можно выискивать про90 91 92 93 94 95 96 97 98
стые числа. Эратосфен представил себе ряд целых
чисел, вытянутый в линию. Он подчеркнул 2 и вычеркнул все числа, кратные 2. Далее перешел к 3, подчеркнул это число и вычеркнул все,
кратные 3. Таким способом он отсеял все составные числа, а те, что остались, — простые.
Поиск простых чисел
29
39
49
59
69
79
89
99
Итак, более-менее предсказывать небольшие простые числа мы можем, но как нам
определить, простое данное число или нет, если это 19 071 или 19 073, например?
За исключением 2 и 5, остальные простые числа должны оканчиваться на 1, 3, 7 или
9, но этого недостаточно, чтобы число оказалось простым. Затруднительно определить, простое или нет большое число, оканчивающееся на 1, 3, 7 или 9, не попробовав
разделить его по-всякому. Кстати, 19 071 = 32 × 13 × 163, поэтому оно не простое, а вот
19 073 — очень даже.
Еще одна загвоздка состоит в поиске хоть каких-то закономерностей в распределении
простых чисел. Давайте поглядим, сколько простых чисел приходится на каждые 100
в промежутке между 1 и 1000.
Диапазон 1–100 101–200 201–300 301–400 401–500 501–600 601–700 701–800 801–900 901–1000 1–1000
Простых
21
16
16
17
14
16
14
15
14
168
чисел, шт. 25
В 1792 году 15-летний Карл Фридрих Гаусс предложил формулу P(n), прогнозирующую
количество простых чисел, меньших, чем данное число n (это утверждение называется
1742
1896
1966
Кристиан Гольдбах считает, что
любое четное число больше 2
есть сумма двух простых чисел
Теорема о распределении
простых чисел доказана
Чэнь Цзинжунь почти
подтверждает гипотезу Гольдбаха
38
!
теоремой о распределении простых чисел). Для n = 1000 эта формула дает оценку в 172.
Настоящее количество простых чисел — 168, и оно меньше оценочной величины.
Всегда считалось, что это верно для любого значения n, однако простые числа — штука
с сюрпризом: было доказано, что для n = 10371 (огромное число, полная запись которого
содержит 1 с 371 нулем) реальное количество простых чисел больше оценочного.
На деле оказалось, что в некоторых промежутках на линии целых чисел разница
между оценочным количеством простых чисел и реальным встречается то
отрицательная, то положительная.
Сколько?
Простых чисел бесконечно много. Евклид в своих «Началах» (книга IX,
предложение 20) заявляет, что «простых чисел больше любого выделенного множества
простых чисел». Элегантное доказательство Евклида выглядит так:
Предположим, что P — наибольшее из простых чисел, а N = (2 × 3 × 5 × ... × P) + 1.
N — либо простое число, либо нет. Если N — простое, это значит, что мы получили
простое число, большее, чем P, что противоречит исходному утверждению.
Если N — не простое число, значит, оно должно делиться на какое-нибудь другое
число, допустим, p, а оно — одно из ряда 2, 3, 5, ..., P. Это означает, что число
N – (2 × 3 × 5 × ... × P) делится на p. Однако это число равно единице, т. е. 1 делится на p.
Этого не может быть, поскольку все простые числа — больше 1. Отсюда следует, что
каким бы ни было N, получаем противоречие. Исходная установка о том, что число
P — наибольшее из простых, ложное. Вывод: количество простых чисел бесконечно.
И хотя простые числа «простираются в вечность», это не мешало людям искать наибольшее известное простое число. Рекорд 2007 года за числом Мерсенна: 224036583 – 1, что
составляет примерно 107235732, или число, состоящее из 1 и 7 235 732 нулей.
Неведомое Грандиозные области неведомого — «задача простых близнецов» (вторая
проблема Ландау) и знаменитая «проблема (гипотеза) Гольдбаха» (первая проблема Ландау).
Простые близнецы (парные простые числа) — пары простых чисел, отделенные друг
от друга одним четным числом. Пары в интервале от 1 до 100 — 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17
и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73. Известно также, что существует 27 412 679 близнецов меньше 1010. Это означает, что четные числа с близнецами, например 12 (близнецы — 11 и 13), составляют всего 0,274% чисел в этом ряду. Бесконечно ли множество
простых близнецов? Занимательно вышло бы, если б можно было ответить «нет»,
но пока никому не удалось это доказать.
Кристиан Гольдбах выдвинул гипотезу:
Любое четное число, большее 2, есть сумма двух простых чисел.
Например, 42 — четное число, и его можно записать как 5 + 37. А еще вот так: 11 + 31,
13 + 29 или 19 + 23, но это не имеет значения: главное, что минимум один способ у нас
!
точно есть. Гипотеза эта верна
в огромном диапазоне чисел — но в целом
ее так и не доказали. Однако некоторый
прогресс в этом направлении все же есть,
и некоторым кажется, что доказательство вот-вот родится, — по крайней мере,
китайский математик Чэнь Цзинжунь
сделал громадный шаг. Его теорема
утверждает, что любое достаточно
большое четное число можетбыть
записано как сумма двух простых чисел
или как сумма простого и полупростого
числа (полупростое число — результат
умножения двух простых чисел).
;
39
Одна из труднейших областей теории чисел
касается так называемой «задачи Варинга»
(Уоринга). В 1770 году кембриджский профессор
Эдвард Варинг сформулировал задачу записи
целых чисел как суммы степенных слагаемых.
В предложенных условиях возникает смычка
оккультных нумерологических знаний и строгой
науки математики — в виде простых чисел, сумм
квадратов и кубов. Возьмем число 666, осененное
непобедимым нумерологическим ореолом, «число
зверя», согласно библейскому «Откровению
Иоанна Богослова», — у этого числа есть несколько неожиданных свойств. Это сумма квадратов
первых семи простых чисел:
Великий теоретик больших чисел Пьер
Ферма доказал, что простые числа вида
666 = 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172.
4k + 1 можно выразить суммой двух
Нумерологи также поспешат добавить, что это
квадратов единственным способом
палиндромная сумма кубов, а сверх того
(например, 17 = 12 + 42), тогда как простые
краеугольным камнем, центром этого палиндрома
числа вида 4k + 3 (например, 19) вообще
является 63, т. е. 6 × 6 × 6:
не могут быть выражены через сумму
666 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 23 + 13.
двух квадратов. Жозеф Лагранж доказал
Число 666 и впрямь «число нумеролога».
знаменитую математическую теорему
о квадратных степенях: любое
положительное целое число есть сумма
четырех квадратов. Например, 19 = 12 + 12 + 12 + 42 . За бо2льшие степени тоже брались —
написаны целые книги теорем, однако многие задачи остались нерешенными.
Мы назвали простые числа атомами математики. Вы можете возразить: дескать,
физики давно добрались до структур внутри атома, гораздо более фундаментальных, —
до кварков, например. А математика что же? Стояла на месте? Если говорить только
о целых числах, то 5 — простое число и останется таковым навсегда. Но Гаусс сделал
далеко идущее открытие, и для некоторых простых чисел, например для 5,
действительна и такая запись: 5 = (1 – 2i) × (1 + 2i), где i = √– 1, число из царства мнимых.
Как плод двух гауссовых чисел 5 и подобные ему величины не настолько неделимы, как
это некогда казалось.
Сложение n членов последовательности Фибоначчи оказывается на 1 меньше того
члена последовательности, что находится дальше через один. Если хотите знать
результат сложения 1 + 1 + 2 + ... + 987, просто вычтите 1 из 2584 и получите 2583.
Если складывать числа Фибоначчи, пропуская члены последовательности через один,
т. е. 1 + 2 + 5 + 13 + 34, получится 55 — тоже число Фибоначчи. Если складывать так же
через один, но начиная со второго члена последовательности, т. е. 1 + 3 + 8 + 21 + 55,
ответом будет 88 — число Фибоначчи минус 1.
Квадраты членов последовательности Фибоначчи тоже занимательны. Умножая члены
последовательности на самих себя и складывая их, получим еще одну
последовательность:
Фибоначчи:
Квадраты:
Сложение квадратов:
1 1 2 3 5
1 1 4 9 25
1 2 6 15 40
8
64
104
13
169
273
21
441
714
34
55 . . .
1156 3025 . . .
1870 4895 . . .
В этом случае сложение всех квадратов до n члена дает нам тот же результат, что
и умножение n члена исходной последовательности Фибоначчи на следующий.
Например:
1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273 = 13 × 21.
Числа Фибоначчи возникают и там, где их не ожидаешь. Представим кошелек,
а в нем — смесь монет достоинством 1 и 2 фунта. Допустим, нам надо посчитать,
сколькими способами можно вынуть монеты из кошелька, чтобы получилась
определенная общая сумма в фунтах. В этой задаче важен порядок действий. Сумму
в 4 фунта можно извлечь любым из этих способов: 1 + 1 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; 1 + 2 + 1;
1 + 1 + 2; 2 + 2. Итого 5 способов — и это пятый член последовательности Фибоначчи.
Если нужно извлечь 20 по 1 и 2 фунта, то способов будет 6765 — это 21-е по счету число
Фибоначчи! Вот наглядная демонстрация силы простых математических идей.
Золотое сечение Если приглядеться к соотношению членов
последовательности Фибоначчи, т. е. к результатам деления последующего члена
на предыдущий, можно увидеть еще одно замечательное свойство чисел Фибоначчи.
Давайте проделаем это с первыми несколькими — от 1 до 55.
1/1
2/1
3/2
5/3
8/5
1,000 2,000 1,500 1,333 1,600
13/8 21/13 34/21 55/34
1,625 1,615 1,619 1,617
Довольно быстро эти соотношения приблизятся к величине, называемой «золотым
сечением» — знаменитым числом в математике, обозначаемым греческой буквой . Она
>#
47
занимает почетное место среди математических констант, таких как и e, и имеет
свое точное значение:
1 + √5 ,
=
2
а приблизительное десятичное значение этого числа — 1,618033988... Немного потрудившись, мы сможем показать, что через может быть выражено любое число Фибоначчи.
Несмотря на обилие знаний о последовательности Фибоначчи, которыми мы
располагаем, вопросов без ответов по-прежнему немало. Первые простые
числа в ряду Фибоначчи — 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, но мы не знаем, бесконечно ли количество простых чисел в этой последовательности.
Фамильное сходство
Последовательность Фибоначчи с гордостью
располагается в обширном семействе сходных последовательностей.
Блистательный член этого семейства — последовательность,
связанная с поголовьем скота. Вместо кроличьих пар
последовательности Фибоначчи, превращающихся через месяц
в половозрелую размножающуюся пару, у пар сельского скота
наблюдается промежуточная фаза созревания — юные пары
дорастают до незрелых, после чего становятся взрослыми
и лишь затем могут размножаться. Вот как выглядит эта
«коровья» последовательность*:
— ? =
— =
— $ =
1
1
1
2
3
4
1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13,19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277,
406, 595, ...
Таким образом, поколение «проскакивает» одно
значение, т. е. 41 = 28 + 13 и 60 = 41 + 19. Эта
последовательность по свойствам похожа
на последовательность Фибоначчи. Если члены коровьей
последовательности делить попарно аналогично тому, как мы это
проделали с числами Фибоначчи, в пределе получим постоянную,
обозначаемую греческой буквой «пси» — :
6
9
Поголовье коров
* Полное название —
последовательность
коров Нараяны, названа
в честь индийского
математика XIV века.
= 1,46557123187676802665...
Ее также называют «сверхзолотым сечением».
В сухом остатке:
Код да Винчи расшифрован
48
! &
12 Золотые
пропорции
Прямоугольники — повсюду: здания, фотографии, окна, двери,
даже эта книга. Прямоугольники дороги и художникам — Пит
Мондриан, Бен Николсон и другие абстракционисты без них
не обходились. Так какой же прямоугольник всех милее? Может,
длинный узкий прямоугольник Джакометти или тот, что почти
квадрат? Или тот, что где-то между этими двумя крайностями?
А имеет ли вообще смысл такой вопрос? Некоторые считают, что да,
и верят, что некоторые прямоугольники «идеальнее» прочих. Среди
последних, вероятно, золотой прямоугольник — самый любимый.
Прямоугольники можно выбирать исходя из их пропорций — это и есть
единственный критерий оценки «идеальности», а золотой прямоугольник в этом смысле — особенный, он вдохновлял художников, архитекторов и математиков. Но сначала рассмотрим кое-какие другие.
2
Математическая бумага
Возьмем лист бумаги
А4, 210 мм по короткой стороне и 297 мм — по длинной,
соотношение сторон 297/210, что приблизительно
равно 1,4142. По международному стандарту бумаги А,
у которой короткая сторона листа равна b, длинная
4
непременно будет равна 1,4142 × b. Для А4 b = 210 мм, для
А5 — 148 мм. Формула, определяющая размеры бумаг А,
5 6
придает именно этим размерам крайне полезное
качество, которого нет у бумаг произвольного размера.
7
Если бумажный лист скроен по системе А, то его
сложением пополам мы получаем два прямоугольника меньшего
размера, пропорциональных большему. Эти два прямоугольника —
меньшие версии того же исходного прямоугольника.
0
3
". 300
. .
Крайнее и среднее отношения
приведены в Евклидовых «Началах»
1202
Леонардо Пизанский
публикует «Liber Abaci»
! &
49
Так, лист А4, сложенный пополам, образует два листа А5. Аналогично из листа А5
получаются два А6. Два листа А4 составляют А3. Чем меньше номер в системе А, тем
больше лист бумаги. Как мы узнали, что именно соотношение 1,4142 даст нам такое
замечательное свойство? Сложим лист бумаги, но на этот раз возьмем такой,
в котором мы не знаем длину большей стороны. Допустим, ширина прямоугольника
равна 1, а длину запишем как х, тогда соотношение длины к ширине получится х/1.
Теперь сложим этот прямоугольник пополам, и тогда соотношение длины к ширине — 1/1/2х, а это выражение равно 2/х. Суть размеров в системе А в том, что эти два
соотношения должны равняться одному и тому же числу, и поэтому получаем уравнение х/1 = 2/х, откуда х 2 = 2. Таким образом, истинное значение х = √2, что примерно
равно 1,4142.
Математическое золото Золотой прямоугольник — другое дело, но лишь
слегка. В данном случае он складывается по линии RS (см. рисунок ниже) так, чтобы
фигура MRSQ была квадратом.
Ключевое свойство золотого прямоугольника в том, что прямоугольник RNPS
пропорционален исходному прямоугольнику, т. е. после выделения квадрата
оставшийся прямоугольник должен быть мини-репликой большого.
Как и ранее, установим, что ширина большого прямоугольника MQ = MR и равна 1,
а длину большей стороны MN обозначим как х. Соотношение длины к ширине большого прямоугольника, как и в предыдущем случае, — х/1. На этот раз ширина меньшего
прямоугольника RNPS есть MN – MR, т. е. х – 1, и тогда соотношение сторон этого
прямоугольника равно 1/(х – 1). Приравняв оба соотношения, получим уравнение:
1 ,
x
=
1
x–1
которое можно упростить до вида x 2 = x + 1. Округленное
значение корня этого уравнения равно 1,618. Это легко
проверить. Если набрать 1,618 на калькуляторе и умножить на себя само, получится 2,618, что то же самое, что
и x + 1 = 2,618. Это число и есть знаменитое золотое
сечение, обозначаемое греческой буквой «фи» — :
M
R
1 + √5
= 1,61803398874989484820...
Q
S
2
а это число связано с последовательностью Фибоначчи и задачей о кроликах (см. стр. 44).
=
1509
1876
1975
Фра Лука Пачоли публикует
«О божественной пропорции»
Густав Теодор Фехнер пишет
о психологических экспериментах
с определением пропорций самого
«эстетичного» прямоугольника
Международная организация
по стандартизации (ISO)
устанавливает размеры бумаги А
N
P
50
! &
Идем на золото
Теперь давайте разберемся с построением золотого
прямоугольника. Начнем с квадрата MRSQ со сторонами, равными 1, и отметим
середину стороны QS буквой O. Длина OS = 1/2, и тогда, согласно теореме Пифагора
(см. стр. 85), в треугольнике ORS сторону OR можно выразить так:
M
R
√5 .
2
С помощью циркуля рисуем дугу RP с центром в точке O
и получаем OP = OR = √5/2. Теперь сведем все в одно равенство:
OR =
2
=
1
√5
+
= .
2
2
Это и есть искомое золотое сечение, или длина стороны
золотого прямоугольника.
QP =
1
Q
√( 12 ) + 1
История От золотого сечения ожидают многого.
Выявленные удивительные математические свойства
золотого сечения обусловливают его кажущееся всеприсутствие — даже в тех местах,
где его нет. Еще опаснее заявлять, что золотое сечение возникло еще до того или
иного объекта — дескать, музыканты, архитекторы и художники имели его в виду
в момент создания произведения. Такой пунктик называется «golden numberism» (англ.
«золотой числизм»). Склонность к бездоказательным обобщениям на основании
чисел — опасная дискуссионная стратегия.
O
1
/2
S
P
Вот, к примеру, афинский Парфенон. Когда его строили, о золотом сечении, разумеется, знали, но это не означает, что Парфенон сконструирован с его учетом. Да, отношение ширины к высоте (включая треугольный фронтон) фасада Парфенона — 1,74, что,
конечно, близко к 1,618, но достаточно ли, чтобы считать золотое сечение основой
этого архитектурного замысла? Некоторые полагают, что фронтон в расчеты
включать не нужно, и тогда отношение ширины к высоте составит целое число 3.
В книге 1509 года «De divina proportione» («О божественной пропорции») Лука Пачоли
«открыл» связи между свойствами Бога и пропорциями, определяемыми . Он окрестил
это «божественной пропорцией». Пачоли был францисканцем, написал несколько
важных математических трудов. Некоторые считают его «отцом бухгалтерского
дела» — он популяризовал метод двойной бухгалтерии, распространенный среди
венецианских купцов. Кроме того, он стяжал славу и как учитель математики самого
Леонардо да Винчи. Во времена Возрождения золотое сечение получило почти мистический статус — астроном Иоганн Кеплер описывал его как «бесценную жемчужину»
математики. Позднее Густав Фехнер, немецкий экспериментальный психолог, проделал
тысячи измерений прямоугольных объектов (игральных карт, книг, окон) и обнаружил,
что наиболее часто встречающееся соотношение сторон близко по значению к .
! &
Ле Корбюзье также был зачарован прямоугольником как центральным элементом
архитектурного дизайна и в особенности — золотым прямоугольником. Он премного
ценил гармонию и порядок — и обрел их в математике. Он воспринимал архитектуру
глазами математика. Одной из его фирменных наработок стал «Модулор» — система
пропорций. Благодаря ей Ле Корбюзье смог генерировать поток золотых
прямоугольников — форм, которые архитектор использовал в своих дизайнерских
решениях. Его вдохновлял Леонардо да Винчи, который, в свою очередь, пристально
изучал наследие римского архитектора Витрувия, отталкивавшегося от пропорций
человеческого тела.
Другие формы
M
R
51
N
Есть еще и «сверхзолотой
прямоугольник», и его можно спроектировать аналогично
золотому.
Сверхзолотой прямоугольник MPQN строим так. Отсекаем,
как и прежде, квадрат MRSQ и считаем его сторону равной 1.
Чертим диагональ MP и отмечаем точку пересечения со
J
стороной RS буквой J. Далее проводим линию JK, параллельную RN, а точку пересечения со стороной NP как раз и обоQ
S
значаем буквой K. Будем считать длину RJ равной y, а длину
MN — равной х. Для любого прямоугольника RJ/MR = NP/MN (потому что треугольники
MRJ и МNP — подобные), и тогда y/1 = 1/x, что означает x × y = 1, а значит, х и y обратны
друг другу. Сверхзолотой прямоугольник получаем в том случае, когда RJKN
пропорционален исходному MPQN, т. е. y/(x – 1) = x/1. Поскольку xy = 1, то длина
сверхзолотого прямоугольника x может быть найдена решением кубического
уравнения x 3 = x 2 + 1, которое, очевидно, очень похоже на x 2 = x + 1 (уравнение, с помощью которого мы рассчитали золотой прямоугольник). Кубическое уравнение имеет
одно положительное решение — (заменим x более привычным для этой величины
символом ), и его значение равно 1,46557123187676802665... Это число, которое мы
уже находили применительно к «коровьей» последовательности (см. стр. 47). Золотой
прямоугольник можно выстроить при помощи линейки и циркуля, со сверхзолотым
прямоугольником все не так просто.
В сухом остатке:
Божественные пропорции
K
P
52
" "=
13 Треугольник
Паскаля
Число 1 — очень важное, а 11? Интересно и то, что 11 × 11 = 121,
11 × 11 × 11 = 1331, а 11 × 11 × 11 × 11 = 14641. Если выстроить эти
числа горкой, получится
11
121
1331
14641
Это первые строки треугольника Паскаля. Откуда же он взялся?
Добавим-ка еще 110 = 1 – для ровного счета, а во-вторых, плюнем
на разряды и расставим пробелы между всеми цифрами: 14641 превратится у нас в 1 4 6 4 1.
Треугольник Паскаля знаменит в математике своей симметричностью
и скрытыми взаимоотношениями между числами в нем. В 1653 году
Блез Паскаль точно так и думал — и отметил, что не смог бы описать их
все в одном труде. Множество связей треугольника Паскаля с другими областями математики превратили этот конструкт в предмет
поклонения, но его происхождение куда древнее. Паскаль
на самом деле не изобрел треугольник, названный его
именем, — эта математическая достопримечательность
была известна еще китайским мыслителям XIII века.
Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля строится сверху вниз. Расположим
в вершине 1 и разместим по единице слева и справа в следующем ряду.
Дальнейшие ряды строим, всякий раз вписывая единицы по краям,
а внутри ряда числа образуются путем сложения тех, что расположены
выше уровнем правее и левее от искомой.
" 500 . .
" 1070
Фрагментарные свидетельства
о существовании треугольника
Паскаля в санскритских источниках
Омар Хайям открывает
треугольник, в некоторых странах
ныне носящий его имя
" "=
53
Чтобы получить 6 в пятом ряду, например, складываем 3 и 3,
расположенные на ряд выше. Английский математик Г. Х. Харди
говаривал, что «математик, подобно художнику или поэту, есть
создатель узоров», а уж треугольник Паскаля — всем узорам
узор.
Связи с алгеброй
Треугольник Паскаля — это и в чистом виде математика.
Если произвести умножение (1 + x) × (1 + x) × (1 + x) = (1 + x)3, например, то получим
1 + 3х + 3х 2 + х 3. Приглядитесь — и увидите, что коэффициенты перед переменными
в этом выражении совпадают с числами в соответствующем ряду треугольника
Паскаля. Он нас преследует:
(1 + x)0
(1 + x)1
(1 + x)2
(1 + x)3
(1 + x)4
(1 + x)5
1
1
1
1
1
1
3
4
5
1
2
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Если сложить числа в любом ряду треугольника Паскаля, получится степень 2.
Например, в пятом ряду 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 . Это следует и из левой колонки, см.
выше, при x = 1.
Свойства
Первое и самое очевидное свойство треугольника
Паскаля — в его симметрии. Если провести вертикальную линию через
середину, левая и правая его половины окажутся «зеркально симметричны». Благодаря этому можно говорить и о «диагоналях» этого
треугольника, поскольку северо-восточная диагональ будет
идентична северо-западной. Под диагональю из одних
единиц увидим диагональ натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5,
6, ..., а ниже — треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
(числа, которые можно собрать в треугольники из
точек). Далее — диагональ тетраэдрических чисел: 1,
«Почти диагонали»
треугольника Паскаля
4, 10, 20, 35, 56, ... Эти числа можно организовать
в тетраэдры («трехмерные треугольники» или, если угодно, в горки пушечных ядер,
сложенные так, чтобы в основании был треугольник). А как обстоят дела с «почти
диагоналями»?
1303
1664
1714
Чжу Шицзе дает определение
треугольника Паскаля и производит
суммирования некоторых
последовательностей в нем
Посмертно опубликована работа
Паскаля по свойствам треугольника
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(Ляйбниц) описывает
гармонический треугольник
54
" "=
Если суммировать числа вдоль линий, пересекающих наш треугольник и не являющихся ни рядами, ни диагоналями, получится последовательность 1, 2, 5, 13, 34, ... Каждое
число в три раза больше предыдущего минус предпредыдущее.
Например, 34 = 3 × 13 – 5. Исходя из этого правила, следующим членом такой последовательности после 34 будет 3 × 34 – 13 = 89. Между этими «почти диагоналями» есть набор
других, порождающих последовательность с началом 1, 1 + 2 = 3 — т. е. вот такую: 1, 3, 8,
21, 55, ..., но и она подчиняется правилу «в 3 раза больше минус 1». Значит, мы можем
сгенерировать следующий член этой последовательности: 3 × 55 – 21 = 144. Но и это еще
не все. Если перемежать эти две последовательности, получим числа Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Комбинации Паскаля
Числа Паскаля решают некоторые
проблемы счета. Вообразите
7 человек в одной комнате.
Назовем их Аида, Кэтрин, Эмма,
Гэри, Дон, Мэтью и Томас.
Сколькими способами можно
сгруппировать их по трое?
Четные и нечетные
Например, А, К и Э или А, К и Т. Математики для пользы дела записывачисла в треугольнике
ют число, находящееся в ряду n на месте r (считая от r = 0) в треугольнике
Паскаля
Паскаля, так: C(n, r). Ответом на наш вопрос будет C(7, 3). Число, находящееся в седьмом ряду на третьем месте в треугольнике Паскаля, — 35. Если мы
отберем из наших семерых троих, остальные четверо автоматически
окажутся в группе «не отобранных». Это равносильно записи C(7, 4),
и оно тоже равно 35. В общем верно C(n, r) = C(n, n – r) — благодаря
зеркальной симметричности треугольника Паскаля.
Нули и единицы
Салфетка Серпиньского
В треугольнике Паскаля можно заметить
узоры из чисел — в зависимости от того, четные они или нечетные.
Если заменить единицами четные числа, а нулями — нечетные,
получится узор, похожий на замечательный фрактал, известный
как треугольник («салфетка») Серпинского (см. стр. 102).
Добавим знаки
Можно записать треугольник Паскаля в степенях
(– 1 + х), а именно (– 1 + х)– n .
Добавим знаки
В этом случае треугольник получается не вполне симметричный
относительно вертикальной оси, и вместо суммирования
с результатом, равным степеням 2, ряды дают нам сумму,
равную 0. Диагонали, однако, по-прежнему интересны.
" "=
55
Юго-западная диагональ 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1 , 1, – 1, ... дает нам
коэффициенты ряда:
(1 + х)– 1 = 1 – х + х 2 – х 3 + х 4 – х 5 + х 6 – х 7 + ...
а члены следующей диагонали — коэффициенты вот такого
ряда:
(1 + х)– 2 = 1 – 2х + 3х 2 – 4х 3 + 5х 4 – 6х 5 + 7х 6 – 8х 7 + ...
Гармонический треугольник Лейбница
Гармонический треугольник
Лейбница Немецкий энциклопедист Готфрид Лейбниц открыл замечательное
множество чисел — в виде треугольника. Числа Лейбница симметричны относительно
вертикальной оси. Но, в отличие от треугольника Паскаля, число, находящееся
в одном ряду, получается при сложении двух чисел на ряд ниже. Например,
1/30 + 1/20 = 1/12. Чтобы построить такой треугольник, можно двигаться сверху вниз
и слева направо, вычитая: 1/12 и 1/30 мы знаем, и тогда 1/12 – 1/30 = 1/20 — вот число
справа от 1/30. Вы, быть может, уже заметили, что вдоль внешней стороны
треугольника размещается знаменитая гармоническая последовательность:
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+ ...,
2
3
4
5
6
7
однако вторая диагональ — так называемый ряд Лейбница:
1+
1
1
1
,
+
+ ... +
2×1
2×3
n × (n + 1)
который путем хитрых манипуляций приводится к виду n/(n + 1). Как и ранее, мы
можем записать числа Лейбница как B(n, r), где n — номер числа в ряду r. Они связаны
с обычными числами Паскаля C(n, r) следующей формулой:
1 .
n+1
Словами старой песни, «коленка к бедренной кости, а та — к безымянной
кости»*: треугольник Паскаля тесно связан со многими областями
математики — современной геометрией, комбинаторикой и алгеброй,
и это еще далеко не все. Но главное в том, что треугольник Паскаля — пример тяготения математического ремесла к закономерностям и гармонии,
что упрочивают наше понимание этого предмета.
B(n, r) × C(n, r) =
* Спиричуэл «Dem
Bones» («Те кости»),
написанная Джеймсом
Уэлдоном Джонсоном
(1871–1938)
по мотивам Книги
пророка Иезекииля
(Иез., 37:1–14).
В сухом остатке:
Фонтан чисел
56
#
14 Алгебра
Алгебра дает нам способы решения задач — это дедуктивный
метод с секретом, а секрет заключается в «мышлении задом
наперед». Вот, к примеру, задачка: взять число 25, прибавить
к нему 17 и получить 42. Это мышление «вперед». Нам выдали
числа, и нам их лишь нужно сложить. А теперь давайте
представим, что нам дан ответ — 42, а вопрос поставлен совсем
иначе. Тут-то нам и пригодится уметь думать задом наперед.
Требуется найти значение х, которое позволит решить уравнение 25 + х = 42, и мы для этого вычитаем 25 из 42.
Арифметические задачки, которые положено решать алгебре, веками
задавали школьникам:
Моей племяннице Мишель 6 лет, а мне — 40.
Когда я стану старше ее ровно втрое?
Можно, конечно, решить эту задачу путем подбора, но алгебра
экономичнее. В x лет, начиная от нынешнего года, Мишель будет 6 + x
лет, а мне будет 40 + x . Я буду втрое старше ее, когда
3 × (6 + x ) = 40 + x .
Производим умножение в левой части уравнения и получаем
18 + 3x = 40 +x, переносим все «иксы» на одну сторону уравнения, а все
числа — на другую, и получаем 2x = 22, стало быть x = 11. Когда мне
исполнится 51, Мишель будет 17. Фокус-покус!
А как нам узнать, когда я стану вдвое старше ее? Применим тот же
подход и на этот раз получим вот такое уравнение:
2 × (6 + x ) = 40 + x,
решением которого будет x = 28. Ей будет 34, а мне — 68. Все вышеприведенные уравнения — простейшего вида, они называются «линейными».
1950
. .
Вавилоняне умеют обращаться
с квадратными уравнениями
В них нет членов типа x 2 или x 3, усложняющих решение. Уравнения с членами вроде x 2
называются «квадратными», а с x 3 — «кубическими». Когда-то x 2 представляли в виде
квадрата, а x 3 — в виде куба, поэтому уравнения с такими членами и получили свои
названия.
Математика пережила серьезные перемены, перейдя от арифметики к науке
символов — алгебре. Переход от чисел к буквам — серьезный умственный скачок, но он
стоит затраченных на него усилий.
Истоки Алгебра была заметной частью трудов арабских мыслителей IX века.
Аль-Хорезми написал учебник математики, содержавший арабское слово «ал-джабр».
Решая практические задачи в терминах линейных и квадратных уравнений, АльХорезми назвал «науку уравнений» словом, от которого происходит «алгебра». Омара
Хайяма прославили строки из его «Рубайята»:
Вина кувшин и хлеба мне — и Ты
Со мною рядом песнь поешь в тиши,
хотя в 1070 году в свои 22 года он написал
книгу по алгебре, в которой исследовал
решения кубических уравнений.
Величайшая работа Джироламо Кардано
по математике, опубликованная в 1545 году,
стала поворотной точкой в теории уравнений — она оказалась богата на решения
уравнений третьей и четвертой степеней, т. е.
содержащих x 3 и x 4. Благодаря этой активной
исследовательской деятельности стало известно, что квадратные, кубические и уравнения
четвертой степени можно решать при помощи
операций сложения, вычитания, умножения,
деления и извлечения степенных корней.
Например, квадратное уравнение
ax 2 + bx + c = 0 можно решить, применив
формулу:
– b ± √b 2 – 4ac .
x=
2a
# - = "
Теория кубических уравнений была полностью создана в эпоху Возрождения.
К сожалению, развитие этой системы
привело ко всяким некрасивым поступкам математиков. Сципионе дель
Ферро обнаружил решение различных
специфических форм кубического уравнения, а венецианский учитель Никколо
Фонтана, по прозванию Тарталья, или
«Заика», опубликовал собственные
алгебраические изыскания, но сохранил свои приемы в тайне. Джироламо
Кардано из Милана уговорил Тарталью
изложить ему эти самые приемы, поклявшись никому не рассказывать. Тем
не менее метод Тартальи все-таки просочился вовне: в свой труд «Ars Magna»
(«Великое искусство») 1545 года Кардано
включил метод Фонтаны, и между учеными вспыхнула вражда.
825
1591
1920-
1930
Аль-Хорезми дарит
математике производное
от слова ал-джабр» — «алгебра»
Франсуа Виет пишет
математический текст
в символах, обозначающих
известные и неизвестные
величины
Амалия Эмми Нётер
публикует работы
по развитию современной
абстрактной алгебры
Бартель ван дер Варден
публикует знаменитую
«Современную алгебру»
58
#
Если требуется решить уравнение x 2 – 3x + 2 = 0, нужно всего лишь подставить в эту
формулу значения a = 1, b = – 3 и c = 2.
Формулы для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени длиннее
и неповоротливее, но они тем не менее существуют. В тупик математиков поставила
неспособность измыслить формулу для общего решения уравнений пятой степени,
в которых фигурирует x 5. Что же такого особенного в пятой степени?
В 1826 году Нильс Абель, проживший, увы, недолгую жизнь, предложил замечательный
выход из всей этой путаницы с уравнениями пятой степени. Он доказал невозможность
общего решения — обычно добиться такого результата едва ли не труднее, чем доказать,
что нечто может быть совершено. Абель доказал, что формулы для решения уравнений
пятой степени быть не может, и заключил, что любые дальнейшие поиски этого конкретного Грааля будут впустую. Абель убедил тогдашних мэтров математики, однако эта
новость далеко не сразу добралась до широких математических кругов. Некоторые
отказывались принять этот результат, и почти весь XIX век ученые публиковали работы,
в которых похвалялись найденной — несуществующей — формулой.
Современность На протяжении 500 лет алгеброй обозначали «теорию уравнений», но в XIX веке дело приобрело новый оборот. Люди осознали, что символы
алгебры могут представлять далеко не только числа, а и «высказывания», а значит,
алгебра может быть связана с наукой логикой. А еще символы могут представлять
многомерные объекты — например, те, что изучает линейная алгебра (см. стр. 156).
И, как издавна подозревали не-математики, эти символы могут вообще ничего
не обозначать и их можно просто переставлять туда-сюда по определенным
(формальным) правилам.
Значительным событием в современной алгебре стало открытие ирландцем Уильямом
Роуэном Гамильтоном кватернионов — в 1843 году. Гамильтон пытался нащупать
систему символов, которые бы распространили двухмерные комплексные числа
на пространства с большей размерностью. Много лет он возился с трехмерными
символами, но никакой стройной системы у него не получалось. Когда ежеутренне он
спускался к завтраку, сын спрашивал его: «Что же, отец, можешь ли ты умножать
тройки?», и Гамильтону ничего не оставалось, как признавать, что он их может лишь
складывать и вычитать.
Успех, однако, пришел неожиданно. Поход в трехмерность застрял в тупике —
Гамильтону следовало отправиться за четырехмерными символами. Это озарение
посетило его на прогулке с женой вдоль Королевского канала в Дублине. Открытие
привело его в полный восторг. Не медля ни мгновения, 38-летний вандал, королевский
астроном Ирландии, рыцарь Королевства, нацарапал ключевые соотношения
на камнях Бруэмского моста — это место ныне отмечено мемориальной доской. Тот
#
памятный день врезался Гамильтону в сознание, а предмет откровения
совершенно поглотил его. Годами Гамильтон читал лекции и опубликовал две
толстенные книги о своей «плывущей вдаль мечте о четырех»*.
* Последняя
строка
стихотворения
«Четверка»
(The Tetractys),
посвященного
У. Р. Гамильтоном
кватернионам.
Особенно любопытно одно качество кватернионов: при их умножении
принципиальное значение имеет порядок этого умножения — в отличие
от правил обычной арифметики. В 1844 году немецкий лингвист и математик
Герман Грассман обнародовал еще одну алгебраическую систему — правда, с меньшей
помпой. Не замеченная современниками, эта система возымела далеко идущие
последствия. Ныне и кватернионы, и алгебра Грассмана (внешняя алгебра) приложимы и к геометрии, и к физике, и к компьютерной графике.
Абстрактное
В XX веке в алгебре преобладал аксиоматический метод. Он был
основой евклидовой геометрии, однако до относительно недавнего времени к алгебре
не применялся.
Немецкий математик Амалия Эмми Нётер была мастером абстрактного метода.
Основная идея современной алгебры — изучение структуры, в которой отдельные
примеры находятся в подчиненном положении по отношению к абстрактному
понятию. Если отдельные примеры имеют похожую структуру, но, допустим, различаются в написании, их называют изоморфными.
Наиболее фундаментальной алгебраической структурой является группа,
и определяется она набором аксиом (см. стр. 155). Есть структуры с меньшим числом
аксиом (например, группоиды, полугруппы и квазигруппы) и с бо 2льшим (например,
кольца, тела, области целостности и поля). Все эти новые слова появились
в математике в начале XX века — тогда-то алгебра и превратилась в абстрактную науку,
известную под названием «современная алгебра».
В сухом остатке:
Найти неведомое
59
60
$"
15 Алгоритм
Евклида
Аль-Хорезми подарил нам слово «алгебра», но понятие
«алгоритм» появилось в его книге IX века по арифметике.
«Ал-Гор-ритм»* — концепция, применимая и к математикам,
и к компьютерщикам. Что же это на самом деле? Ответ на этот
вопрос приблизит нас к пониманию евклидова алгоритма
поиска наибольшего общего делителя.
* Отсылка к Алберту
Арнолду (Элу) Гору
(р. 1948), бывшему вицепрезиденту США, среди
многого прочего — неофициальному консультанту
«Гугла» и члену совета
директоров корпорации
«Эппл», пропагандисту
концепций «электронного
правительства» и «информационного суперхайвея».
Во-первых, алгоритм — это шаблон, инструкция «делай раз, делай два».
Понятно, почему компьютерам так любы алгоритмы: машины не сбиваются с заданного пути, поэтому им подавай инструкции. Некоторые
математики считают алгоритмы скучными, потому что они основаны
на повторении, однако создать алгоритм и превратить его в сотни
строк компьютерного кода, содержащего математические инструкции, — не фунт изюма: всегда есть риск, что все пойдет совсем не туда.
Прописать алгоритм — творческий труд. Часто существует несколько
методов выполнить одну и ту же задачу, и необходимо выбрать наилучший. Некоторые алгоритмы «не соответствуют поставленной задаче»,
а некоторые — попросту неэффективны из-за своей путанности.
Кое-какие шустры, но производят неправильные ответы. Создание
алгоритмов смахивает на кулинарное искусство. Существуют сотни
рецептов (алгоритмов) приготовления жареной фаршированной
индейки. Ни к чему нам плохонький алгоритм приготовления этого
блюда — в тот единственный день в году, когда он имеет значение. У нас
есть все необходимые продукты — и инструкции по приготовлению.
Начало (упрощенного) рецепта может выглядеть примерно так:
— нафаршируйте индейку начинкой;
— натрите шкуру индейки сливочным маслом;
— добавьте соли, перца и паприки;
%" 300 . .
%" 300
Алгоритм Евклида опубликован
в «Началах», книга VII
Сунь-цзы формулирует
китайскую теорему
об остатках
$"
61
— жарьте при температуре 335 °С 3,5 часа;
— дайте готовой индейке отстояться 0,5 часа.
От нас требуется лишь пошагово следовать алгоритму. Рецепт от математического алгоритма отличает одна деталь: в алгоритме обычно учтена возможность возврата к началу, т. е. рекурсивность. В отношении индейки все-таки
хочется надеется, что ее — одну и ту же — дважды готовить не придется.
84
В математике тоже есть «продукты», «ингредиенты» — это числа. Алгоритм
Евклида придуман для нахождения наибольшего общего делителя (НОД).
НОД двух целых чисел — самое большое число, на которое оба исходных
делятся без остатка. Для примера в качестве ингредиентов возьмем 18 и 84.
Наибольший общий делитель НОД в нашем случае — число, на
которое делится и 18, и 84 без остатка. На 2 делится и 18, и 84, но еще они делятся
и на 3. Таким образом, оба числа делятся и на 6. А есть ли еще большее число,
на которое они оба делятся? Можем попробовать 9 и 18.
Проверяем и получаем, что 84 на эти два числа без остатка
не делится, а значит, 6 — наибольшее число, на которое
делятся 18 и 84. Из этого следует, что НОД(18, 84) = 6.
НОД можно представить в терминах укладывания
кухонной плитки: это наибольший размер одной
плитки, которой можно отделать стену высотой 18
и длиной 84, не прибегая к резке плиток. В нашем
случае размер такой плитки составляет 6 × 6.
Помимо наибольшего общего делителя есть еще
и наименьшее общее кратное (НОК). НОК 18 и 84 —
наименьшее число, делящееся и на 18, и на 84. Связь
между НОД и НОК делает очевидным то, что НОК двух
чисел, умноженное на их НОД, равно результату
умножения этих двух исходных чисел. НОК(18, 84) =
252, 6 × 252 = 1512 = 18 × 84.
Геометрически НОК есть длина стороны наименьшего квадрата, который можно
отделать прямоугольными плитками 18 × 84. Поскольку НОК (а, b) = ab ÷ НОД (а, b),
сосредоточимся на определении НОД. Мы уже вычислили НОД (18, 84) = 6, но для
этого нам нужно было знать все делители и 18, и 84.
810
1202
1975-
Аль-Хорезми привносит
в математику слово «алгоритм»
Фибоначчи включает текст
о конгруэнтном методе в «Liber Abaci»
Китайская теорема
об остатках применяется
при шифровании сообщений
62
$"
Вспомним: сначала мы разбили оба числа на их делители: 18 = 2 × 3 × 3 и 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
Сравнив их, видим, что оба числа делятся на 2 и это высшая степень двойки, на которую они делятся. Аналогично 3, также в первой степени, является делителем для
обоих чисел, а на 7 делится только 84, а 18 — нет, и поэтому не может быть НОД. Итого
получаем 2 × 3 = 6, и это и есть наибольший общий делитель 18 и 84. А можно ли как-то
избежать этой возни с делителями? Вообразите, что нам нужно найти НОД (17640,
54054): для начала придется выписать все делители каждого из этих двух чисел, и лишь
после этого можно приняться за подбор НОД. Должен же быть какой-то путь попроще?
Алгоритм
Такой путь есть. Алгоритм Евклида приводится в «Началах», книга VII,
предложение 2: «Даны два числа, не кратные друг другу; найти их наибольшую общую
меру».
Алгоритм Евклида элегантен, эффективен и позволяет легко избежать усилий
по выявлению всех делителей простым отбрасыванием. Давайте посмотрим, как он
работает.
Задача — найти d = НОД(18, 84). Начнем с деления 84 на 18. Нацело разделить
не получится — выйдет 4 и 12 в остатке:
84 = 4 × 18 + 12.
Поскольку d должно делить и 84 и 18, оно должно делить и 12. Значит, d = НОД(12, 18).
Повторим процесс деления — теперь 18 на 12:
18 = 1 × 12 + 6.
Получим в остатке 6, следовательно, d = НОД(6, 12). 12 делится на 6 без остатка, т. е.
остаток равен 0, а d = НОД(0, 6). 6 — наибольшее число, на которое делятся и 6, и 0, вот
мы и получили ответ.
Если вычислить таким способом d = НОД(17640, 54054), последовательно получим
остатки от деления 1134, 630, 504 и 0, ответ d = 126.
Применения НОД
НОД можно использовать для решения уравнений — в тех
случаях, когда ответом должно быть целое число. Это так называемые диофантовы
уравнения — в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского.
Представим, что наша двоюродная бабушка Кристин собралась в отпуск на Барбадос.
Она отправляет в аэропорт своего дворецкого Джона со всеми чемоданами, и каждый
из них весит либо 18, либо 84 килограмма, а ей сообщают, что суммарный вес ее багажа
составляет 652 кг.
Когда дворецкий возвращается в Белгрэвию, Джеймс, девятилетний сынишка Джона,
встревает со своими соображениями: дескать, быть того не может, поскольку
$"
652 на НОД = 6 не делится. Джеймс выдвигает предположение, что суммарный вес
багажа составляет, видимо, 642 килограмма.
Джеймс знает, что, что у уравнения 18x + 84y = c есть целочисленное решение только
при условии, что c делится на НОД = 6. Для c = 652 не получится, а вот для 642 — вполне.
Джеймсу даже не нужно знать, сколько именно было у бабули Кристин, собравшейся
на Барбадос, чемоданов x и y двух разных масс.
Китайская теорема об остатках Если НОД двух чисел равен 1, их
называют взаимно-простыми. Сами по себе, может, они и не простые вовсе, а просты
лишь по отношению друг к другу. Например, НОД(6, 35) = 1, хотя сами по себе ни 6,
ни 35 простыми числами не являются. Это понятие нам пригодится для объяснения
китайской теоремы об остатках.
Возьмем такую задачу: Энгус не знает, сколько у него бутылок вина, но, составив их
попарно, видит, что одна осталась без пары. Выставив их рядами по 5 в винном
погребе, получает 3 в остатке. Так сколько же у Энгуса бутылок? Мы знаем, что деление
на 2 дает нам остаток 1, а деление на 5 — 3. Первое условие позволяет нам исключить
все четные числа. Перебрав нечетные, мы быстро обнаружим, что 13 подходит по обоим условиям (мы наверняка можем сразу сделать вывод, что бутылок у Энгуса больше 3,
хоть это число и соответствует обоим условиям). Но есть и другие подходящие числа —
на самом деле, их целая последовательность, начинающаяся с 13: 13, 23, 33, 43, 53, 63,
73, 83, ...
Добавим еще одно условие: искомое число должно при делении на 7 давать остаток 3
(бутылки прибыли в упаковках по 7 бутылок и 3 — отдельно). Просмотрев последовательность 13, 23, 33, 43, 53, 63, ... с учетом этого нового условия, устанавливаем, что
подходит 73, но отметим, что 143, 213 и все остальные числа, получающиеся путем
прибавления 70, тоже соответствуют всем трем условиям.
С математической точки зрения мы нашли решения, гарантированные нам китайской
теоремой об остатках, которая также утверждает, что любые два решения отличаются
на 2 × 5 × 7 = 70. Если у Энгуса от 150 до 250 бутылок, значит, теорема подсказывает нам
один ответ — 213. Неплохой результат для теоремы, сформулированной и доказанной
в III веке.
В сухом остатке:
Путь к наибольшему
63
64
"
16 Логика
«Будь на дорогах меньше машин, загрязнение окружающей среды было бы
терпимо. Либо нам надо уменьшить число машин на дорогах, либо надо
брать плату за проезд, либо и то и другое разом. Если дороги у нас будут
платные, лето будет несносно жарким. Лето же, как выясняется, довольно прохладное. Вывод однозначен: загрязнение окружающей среды
терпимо».
Аргументация новостной статьи — «обоснованная» она или «нелогичная»? Не имеет значения, осмысленна транспортная политика или это качественная журналистская работа. Нас интересует исключительно обоснованность этого высказывания как
логического построения. Логика может помочь нам ответить
на этот вопрос — она занимается проверкой строгости доводов.
Две посылки, одно заключение Если разобраться,
приведенный газетный абзац довольно затейлив. Давайте для начала
рассмотрим что попроще и обратимся к опыту греческого философа
Аристотеля Стагирита, коего считают отцом науки логики. Его подход
основан на различных формах силлогизма — способа ведения спора,
основанного на трех утверждениях: двух посылках и одном
заключении. Например:
Все спаниели — собаки
Все собаки — животные
Все спаниели — животные
Над горизонтальной чертой располагаются посылки, а под ней —
заключение. В этом примере заключение носит бесспорный характер,
без всякой связи с тем, какойсмысл мы вкладываем в понятия
«спаниели», «собаки» и «животные». Подобный же силлогизм,
но в других словах выглядит так:
%" 335 . .
1847
Аристотель формализует
логику силлогизма
Джордж Буль
публикует «Математический
анализ логики»
"
65
Все яблоки — апельсины
Все апельсины — бананы
Все яблоки — бананы
В этом случае каждое отдельное высказывание — нонсенс, если мы вкладываем привычный смысл в знакомые слова. Тем не менее оба примера силлогизмов имеют одинаковую структуру, и именно эта структура сообщает силлогизму обоснованВсе A суть B
ность. В пределах такой структуры невозможно измыслить пример A, B и C,
Все B суть C
для которых посылки были бы верны, а заключение — ложно. Это и делает
довод полезным.
Все A суть C
Существуют разные виды силлогизмов — они возникают при варьировании
количественных критериев типа «все», «некоторые», «никакие» («Никакие A
не B»). Например, так:
Обоснованный
довод
Некоторые А суть B
Некоторые B суть C
Некоторые А суть C
Обоснованный ли это довод? Применим ли он ко всем случаям A, B и C или где-то тут
спрятался контрпример — случай, когда посылки верны, а заключение ложно?
Предположим, A — спаниели, B — объекты коричневого цвета, а C — столы.
Убедительно ли следующее рассуждение?
Некоторые спаниели — коричневого цвета
Некоторые объекты коричневого цвета — столы
Некоторые спаниели — столы
Наш контрпример показывает, что этот силлогизм не убедителен. Существует
столько разных видов силлогизмов, что средневековые ученые даже придумывали
мнемонические правила для их запоминания. Первый приведенный нами пример
силлогизма известен под кодовым названием БАРБАРА, поскольку в нем трижды
применяется количественный определитель «Все» (англ. All). Эти методы анализа
доводов существовали более 2000 лет и занимали важное место в начальном обучении в средневековых университетах. Аристотелева логика — теория силлогизма —
считалась совершенной наукой даже в XIX веке.
Логика высказывания
Другой тип логики идет дальше силлогизмов. Он
обращается с высказываниями или простыми утверждениями и их комбинациями.
1910
1965
1987
Бертран Расселл и Алфред Норт
Уайтхед пытаются свести
математику к логике
Лофти Заде
развивает
нечеткую логику
Система японского метро
основана на нечеткой логике
66
"
A
И
И
Л
Л
b
И
Л
И
Л
aয়b
И
И
И
Л
Чтобы проанализировать газетную новость, нам потребуется
владение этой самой «логикой высказывания». Когда-то ее называли
«алгеброй логики», что намекает нам на ее структуру — Джордж Буль
признавал, что с нею можно обращаться как с новой разновидностью
алгебры. В 1840 году математиками Булем и Огастесом де Морганом
в логике было проделано много работы.
b
И
Л
И
Л
ab
И
Л
Л
Л
Попробуем рассмотреть высказывание a («Фредди — спаниель»).
Высказывание a может быть истинным или ложным. Если я имею
в виду свою собаку по имени Фредди, а его порода — однозначно
спаниель, то утверждение истинно (И), но если я имею в виду своего
двоюродного брата, которого тоже зовут Фредди, то утверждение
ложно (Л). Истинность или ложность утверждения зависит от наших
соотнесений.
Истина или
a
И
И
Л
Л
Истина и
a
И
Л
¬a
Л
И
Истина не
a
И
И
Л
Л
b
И
Л
И
Л
Истина если... то
ab
И
Л
И
И
Возьмем другое высказывание b: «Этель — кошка» — и скомбинируем
его с предыдущим. Таких комбинаций может быть несколько: первую
можем записать как a য় b. Значок «য়» соответствует по смыслу «или»,
но его применение в логике несколько отличается от привычного
нам в быту «или». В логике a য় b истинно, если истинно либо
«Фредди — спаниель», либо «Этель — кошка», либо и то и другое,
а ложно лишь в том случае, если и a, и b — ложны. Дизъюнкцию
высказывания мы иллюстрируем таблицей «истина или».
Вот и еще возможные комбинации двух утверждений —
с применением «и» (записываем так: a b) и «не» (записываем ¬ a).
Алгебра логики становится яснее, если соединить все эти высказывания a, b и с в виде a (b য় с). Получится уравнение, называемое
тождеством:
a (b য় с) (a b) য় (a с)
Символ означает равнозначность логических утверждений, в которой обе стороны
равенства описываются одинаковыми таблицами истинности. Существует параллель
между алгеброй логики и обычной алгеброй, поскольку символ и য় производят то же
действие, что × и + в обычной алгебре: x × (y + z) = (x × y) + (x × z). Тем не менее аналогия
эта не полная, есть исключения.
В понятиях этих, простых, могут быть определены иные логические связи. Полезная
логическая связь «если... то» a b, определяемая как ¬ a য় b, и таблицу ее истинности
мы также приводим, см. слева.
Теперь вернемся к газетной новости и запишем ее в символическом виде — проверим
аргументацию на обоснованность:
"
М = меньше машин на дорогах
З = загрязнение терпимо
П = платные дороги
Ж = лето будет несносно жарким
67
МЗ
Мয়П
ПЖ
¬Ж
З
Так обоснованна ли эта аргументация? Допустим, заключение З — ложно, а все посылки — истинны. Если мы покажем, что из-за этого возникает противоречие, значит, довод
обоснован. Если З — ложно, тогда из первой посылки М З следует, что М — ложно.
Поскольку М য় П истинно, то если М — ложно, то П — истинно. С учетом третьей
посылки П Ж выходит, что Ж — истинно, а ¬ Ж — ложно. Однако это противоречит
последней посылке ¬ Ж, об истинности которой мы условились.
Содержание газетной новости вполне спорно, однако довод структурирован обоснованно.
য় или
Другие логики Готлоб Фреге, Ч. С. Пирс и Э. Шрёдер ввели
и
количественные оценки в логику высказывания и предложили «логику
¬ не
первого порядка (исчисление предикатов)». Такое название эта логика
если... то
получила потому, что допускает высказывания о предикатах (функциях,
для всех
принимающих значения «истина» или «ложь», характеризуемых как
это существует
истинные или ложные). Эта логика оперирует кванторами (квантор
всеобщности, «для всех») и (квантор существования, «это существует»).
Еще одна новость — нечеткая логика. Может показаться, что речь
о путаном мышлении, но на самом деле это очередное расширение
границ логики. Традиционная логика основывалась на множествах или
группах данных: мы оперировали множествами спаниелей, собак,
объектов коричневого цвета. В этих случаях у нас нет сомнений в том, что входит
в множество, а что — нет. Если нам попадется чистокровный родезийский риджбек, мы
наверняка сразу поймем, что это животное точно не из множества спаниелей.
Теория нечетких множеств имеет дело с множествами, не определенными точно.
Положим, у нас есть множество толстых спаниелей. Насколько толстым должен быть
спаниель, чтобы мы включили его в это множество? Нечеткие множества допускают
градации членства, и границы, отделяющие членов множества от всех остальных
объектов, размыты. Математика позволяет нам точно определять размытость.
Логика — не сушеная наука. Она пережила Аристотеля и ныне — активная область
исследований и практики.
В сухом остатке:
Четкая линия рассуждений
68
" $
17 Доказательство
Математики стараются подтверждать свои заявления доказательствами. Поиск железных доводов — движущая сила чистой
математики. Цепочки логических выводов из известного или
общепринятого приводят математика к заключению, которое
далее поступает на склад авторитетного математического знания.
Доказательства не даются в руки просто так — часто ими увенчиваются
долгие исследования и плутания по ложным путям. Борьба
за доказательство — основа жизни математика. Успешное
доказательство есть знак подлинности, отличающий признанную
теорему от гипотезы, гениальной идеи или первой догадки.
Обязательные свойства доказательства: строгость, прозрачность
и — не в последнюю очередь — изящество. А еще стоит добавить сюда
же озарение: хорошее доказательство «делает нас мудрее»; однако
в любом случае лучше хоть какое-нибудь доказательство, чем совсем
никакого. Развитие чего бы то ни было на основании недоказанных
фактов таит в себе опасность построения теорий на математическом
эквиваленте песка.
Не любое доказательство вечно — оно может быть пересмотрено
в свете новых идей, возникающих в той области знания, к которой
относится.
Что есть доказательство? Читая или слыша о каком-нибудь
математическом результате, вы в него сразу верите? Что именно
заставляет вас в него поверить? Возможный ответ: логично
выстроенные доводы, ведущие вас от уже принятых вами идей
к новому для вас утверждению. Это математики и называют
доказательством в его традиционном виде — смесь бытового языка
и строгой логики. В зависимости от качества доказательства вас либо
удается убедить, либо вы остаетесь при своих сомнениях.
%" 300 . .
«Начала» Евклида описывают модель
математического доказательства
1637
В «Рассуждении о методе»
Декарт развивает строгий
подход в математике
" $
69
В математике в основном применяются следующие методы доказательства: контрпример, прямое доказательство, доказательство от противного и математическая
индукции.
Контрпример Начнем со скептицизма — этот подход хорош для доказательства
неверности утверждения. Возьмем в качестве примера некоторое конкретное утверждение. Допустим, вам сообщают, что при умножении любого числа на само себя получается
четное число. Вы этому верите? Прежде чем отвечать на этот вопрос, проверим на нескольких числах. Умножим, к примеру, 6 на само себя, 6 × 6 = 36, а 36 — конечно же,
четное число. Но одна ласточка весны не делает. В утверждении шла речь о любом числе,
а их бесконечное множество, значит, надо пробовать еще. Возьмем 9, умножим на 9,
получим 9 × 9 = 81. Но 81 — нечетное число. А значит, утверждение о том, что умножение
любого числа на само себя дает в результате четное число, — неверно. Этот пример
работает против изначального утверждения и называется контрпримером.
Контрпример к утверждению «все лебеди — белые» — увиденный черный лебедь. Одна
из радостей математики — поиск контрпримера для устранения теорем-самозванцев.
Если контрпример найти не удается, может показаться, что утверждение верно. Тогда
математикам приходится разыгрывать другие карты. Необходимо выстроить
аргументацию, и самый лобовой метод — прямое доказательство.
Прямое доказательство
В методе прямого доказательства мы применяем
логические выводы из уже установленного или общепризнанного и приходим
к заключению. Если нам это удается, получаем теорему. Доказать, что умножение
любого числа на само себя приводит к четному числу, нам не удастся, потому что мы
уже доказали обратное. Но вдруг хоть что-то можно спасти? Разница между нашим
примером с 6 и контрпримером с 9 в том, что первое число — четное, а второе —
нечетное. Подправить гипотезу мы всегда можем. Наше утверждение таково: если
умножить любое четное число на само себя, в результате получится четное число.
Для начала попробуем другие численные примеры и удостоверимся, что наше
утверждение всякий раз оказывается верно, а контрпример никак не находится. Если
сменить тактику, какова она должна быть? С чего начать? Можно, конечно, с некоего
абстрактного четного числа n, однако нагляднее будет все-таки разработать доказательство на конкретном примере — допустим, на примере 6. Как известно, четное число есть
кратное двум, т. е. 6 = 2 × 3. Поскольку 6 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 или, если переписать
несколько иначе, 6 × 6 = 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3, или со скобками:
6 × 6 = 2 × (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3).
1838
1967
1976
Де Морган вводит понятие
«математическая индукция»
Эрретт Алберт Бишоп доказывает
результативность исключительно
конструктивных методов
Имре Лакатос (Лакатош) публикует
влиятельный математический труд
«Доказательства и опровержения»
70
" $
Это означает, что 6 × 6 кратно 2, а значит, и результат умножения — четное число.
Однако в этом доводе ничто не привязано к конкретному числу 6 — мы могли бы
записать, что при n = 2 × k верно:
n × n = 2 × (k + k + … + k),
из чего заключить, что n × n — четное. Доказательство готово. В переводах Евклидовых
«Начал» позднейшие математики писали QED в конце доказательства — в знак того,
что дело сделано: это аббревиатура латинского «quod erat demostrandum» («что
и требовалось показать», ч. т. д.). Ныне используется заштрихованный квадрат — Q.
Этот символ называется «халмош», в честь американского математика венгерского
происхождения Пола Халмоша, впервые применившего его на письме.
Доказательство от противного
Применяя этот подход, мы считаем, что
некоторое утверждение ложно, после чего логическими доводами демонстрируем, что
такая установка противоречит исходной гипотезе. Докажем ранее достигнутый
результат этим методом.
Итак, наша гипотеза состоит в том, что n — четное, а мы будем считать, что n × n —
нечетное. Запишем: n × n = n + n + ... + n, число слагаемых равно n. Это означает, что n
четным быть не может (потому что в противном случае n × n было бы четным). Таким
образом, n — нечетное, а это противоречит изначальному предположению. Q
Это еще легкая форма косвенного метода. В своем полновесном варианте косвенный
метод известен под названием reduction ad absurdum (сведение к абсурду) — греки его
обожали. Сократ и Платон в Афинской академии любили доказывать свою точку
зрения, опутывая оппонентов сетями противоречий, и выбраться из них можно было,
лишь приняв предложенную точку зрения. Классическое доказательство того, что
квадратный корень из 2 есть иррациональное число, — одна из форм косвенного
метода: в нем мы начинаем с предположения, что квадратный корень из 2 —
действительное число, после чего приходим к противоречию с этой гипотезой.
Метод математической индукции Математическая индукция — мощный
способ показать, что все члены последовательности утверждений Р 1, Р 2, Р3, ... истинны.
Этот метод, известный к тому времени сотни лет, в 1830-х годах формализовал Огастес
Де Морган. Математическую индукцию (не следует путать ее с научной индукцией)
широко применяют для доказательства различных утверждений, касающихся целых
чисел. Особенно полезен этот подход в теории графов, теории чисел и вообще в компьютерном деле. Рассмотрим в качестве практического примера задачу о сложении нечетных чисел. Допустим, складываем мы 1 + 3 + 5, т. е. первые три нечетных числа, получаем
в сумме 9; складываем первые четыре, т. е. 1 + 3 + 5 + 7, и получаем 16. 9 — это 3 × 3 = 32,
а 16 = 4 × 4 = 42. Можно ли, исходя из этих двух примеров, предположить, что первые n
нечетных чисел в сумме дают n2? Если проверить эту гипотезу на любом случайно
" $
взятом числе n, допустим — n = 7, мы и впрямь обнаружим, что 1 + 3 + 5 + 7 +
+ 9 + 11 + 13 = 49, т. е. 72 . Но распространяется ли эта закономерность на все значения n?
Можем ли мы быть в этом уверены? Ведь нет никакой возможности проверить это
правило применительно к каждому числу из бесконечного множества.
И вот тут-то нам пригодится математическая индукция. Метафорически говоря, это
метод домино: выстроив костяшки домино в ряд и толкнув первую, можно обрушить
одну за другой все их. Это очевидно. Чтобы все они повалились, нам необходимо лишь
заставить упасть первую. Применим этот подход к нашей задаче о нечетных числах.
Утверждение Рn сообщает, что сумма первых n нечетных чисел есть n2 .
Математическая индукция запускает цепную реакцию, в которой все Р 1, Р 2, Р 3, ...
истинны. Утверждение Р 1 истинно по определению: 1 = 12 . Следующее, Р 2, тоже верно:
1 + 3 = 12 + 3 = 22, Р 3 истинно, потому что 1 + 3 + 5 = 22 + 5 = 32, а Р4 истинно, потому что 1 +
3 + 5 + 7 = 32 + 7 = 42. Мы применяем результат предыдущей стадии рассуждений в следующей стадии. Формализация такого процесса и дает нам метод математической
индукции.
Трудности доказательства Доказательства бывают всех мыслимых видов
и размеров. Некоторые лаконичны и искрометны — особенно те, что приводятся
в учебниках. Некоторые включают результаты последних исследований и занимают
целые журнальные выпуски и тысячи страниц. Мало кому в таких случаях удастся
постичь всю систему доводов целиком.
А есть еще и сомнения в основах: например, некоторые математики — таких, правда,
немного — недолюбливают косвенный метод сведения к абсурду в случаях применения
его к существованию того или иного феномена. Если гипотеза о том, что у какогонибудь уравнения не существует решения, ведет к противоречию, означает ли это, что
решение все-таки существует? Оппоненты этого метода доказательства заявили бы,
что такая логика — сплошное трюкачество и ничего не сообщает нам о том, как найти
это самое решение. Таких математиков называют «конструктивистами» (разных
мастей) — они говорят, что этот косвенный метод не приводит к «численному
значению». Они фыркают на классиков математики, считавших метод редукции
главным оружием математического арсенала. С другой стороны, математикитрадиционалисты считают: исключение этого метода означает, что работать придется
с одной рукой, связанной за спиной, и, более того, нам придется отказаться от многих
результатов, достигнутых при помощи этого метода, а без них гобелен математики
будет смотреться довольно лысо.
В сухом остатке:
С подписью и печатью
71
72
( $
18 Множества
Николя Бурбаки — псевдоним группы французских ученых,
пожелавших «правильно» переписать математику от самого
истока. Их смелое заявление состояло в том, что все должно
базироваться на теории множеств. Аксиоматический подход
был принят ими за основной, и все в написанных ими книгах
придерживалось математической строгости «определение,
теорема, доказательство». В 1960-х годах они произвели резкий
рывок в математике.
Георг Кантор создал теорию множеств из желания придать теории
действительных чисел осязаемый вид. Невзирая на изначальную
предубежденность и критику, теория множеств на заре ХХ века
утвердилась как целое направление в математике.
A
Объединение
множеств А и В
Что такое множества? Множество можно рассматривать как
набор объектов. Хоть такой подход и неформален, зато дает общее
представление. Сами объекты называются «элементами», или
«членами», множества. Если есть множество А, а в нем — член а,
B
можно записать а А, что Кантор и делал. Если А = {1, 2, 3, 4, 5},
то можем записать 1 А и так обозначить членство в множестве
и 6 А — для элементов, не являющихся членами множества.
Существуют две основные операции над множествами. Если
А и В — два множества, то множество, включающее элементы
А или В (или обоих), называется «объединением» двух
множеств. Математики записывают это так: А В. Графически «объединение» можно отобразить при помощи диаграммы Венна, названной в честь викторианского логика преп. Джона Венна. Еще раньше
подобные диаграммы применял Эйлер.
Множество А В состоит из элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В, и называется «пересечением» двух множеств.
1872
1881
Кантор делает робкие шаги
в создании теории множеств
Венн внедряет диаграммы,
названные его именем,
для описания множеств
( $
Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {1, 3, 5, 7, 10, 21}, объединение этих
двух множеств есть А В = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 21}, а пересечение —
А В = {1, 3, 5}. Если рассматривать А как часть всеобщего
множества Е, то дополнение ¬А состоит из элементов множества
Е, не входящих в А.
Операции и над множествами аналогичны умножению
и сложению в алгебре. Вместе с разностью ¬ они образуют
«алгебру множеств». Британский математик, шотландец,
родившийся в Индии, Огастес Де Морган, сформулировал
законы, по которым осуществляются эти операции.
В современном описании законы Де Моргана выглядят так:
¬ (А
A
73
B
Пересечение множеств А и В
E
A
В ) = (¬ А) (¬В)
и
¬ (А В ) = (¬ А)
(¬В).
Парадоксы
Дополнение множества А
С конечными множествами никаких проблем
нет, потому что можно записать все их члены, как, например,
для А = {1, 2, 3, 4, 5}, но во времена Кантора именно бесконечные множества вызывали
наибольшие затруднения.
Кантор определял множества как наборы элементов с особым свойством. Представьте
множество {11, 12, 13, 14, 15, ...}, т. е. все целые числа больше 10. Поскольку это множество бесконечно, мы не можем записать все его элементы, но все-таки можем его
определить, потому что у всех его членов есть общее свойство. Следуя логике Кантора,
мы можем записать множество А = {x: x целое число > 10}, где двоеточие означает
«такой, что».
В простой версии теории чисел могут существовать множества абстрактных объектов,
А = {x: x — абстрактный объект}. В этом случае А само по себе — абстрактный объект,
поэтому может быть верно А А. Однако такое допущение создает серьезные трудности. Британский философ Бертран Расселл сформулировал концепцию множества S,
включающего в себя все множества, которые не включают самих себя. Символически
это записывается так: S = {x: x x }.
Далее Расселл задает вопрос: S S — верно ли это? Если да, то S в таком случае должно
удовлетворять утверждению о том, что само оно не содержит себя, т. е. S S.
1931
1939
1964
Курт Фридрих Гёдель доказывает, что
любая формальная математическая
аксиоматика содержит невыводимые
утверждения
Французскими математиками
впервые используется
псевдоним «Бурбаки»
Пол Джозеф Коэн доказывает
независимость континуум-гипотезы
E
74
( $
С другой стороны, если нет, то S S, а значит, S не соответствует определяющему
утверждению S = {x: x x }, а значит S S. Суть парадокса Расселла сводится
к следующему:
S
S тогда и только тогда, когда S
S.
У этого парадокса есть и другое название — «парадокс брадобрея»: сельский брадобрей
объявляет, что будет брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто бреется
сам. Вопрос: кто побреет брадобрея? Если он сам не бреется, то должен брить сам себя,
а если бреется сам, то не должен себя брить.
Подобных парадоксов, вежливо называемых «антиномиями», следует избегать. Для
математиков недопустимо иметь дело с системами, производящими противоречия.
Расселл развил теорию типов и в ней создал позволение а А лишь при условии, что
а — объект низшего по отношению к А порядка, тогда удастся избежать выражений
вроде S S.
Еще один способ обходить подобные антиномии — формализовать теорию множеств.
При таком подходе нас не касается природа множеств как таковых, но мы
формулируем набор аксиом-правил обращения с множествами. Греки попытались
проделать нечто подобное — им не приходилось объяснять, что такое прямые линии,
а лишь то, как именно с ними обращаться.
В случае теории множеств базовыми стали аксиомы Цермело—Френкеля — они-то и не
позволили появиться «слишком большим» множествам, в том числе и таким опасным
сущностям, как множество всех множеств.
Теорема Гёделя
Австрийский математик Курт Гёдель нокаутировал желающих
удрать от парадоксов в формальные аксиоматические системы. В 1931 году Гёдель
доказал, что даже в простейших формальных системах существуют утверждения,
истинность или ложность которых не может быть выведена в рамках данной системы.
Попросту говоря, существуют утверждения, до которых аксиомы данной системы
не могут добраться, т. е. невыводимые утверждения. Поэтому теорема Гёделя
и называется «теоремой о неполноте». Этот вывод применим к системе Цермело—
Френкеля, а также и к другим.
Кардинальные числа
Число элементов конечного множества легко
подсчитать, например, в А = {1, 2, 3, 4, 5} пять элементов; можем сказать, что
«мощность» этого множества — 5, и записать так card(A) = 5. Грубо говоря, мощность
множества определяет его «размеры».
Согласно канторовой теории множеств, множество рациональных чисел Q
и действительных чисел R сильно различаются. Множество Q можно записать,
а множество R — нет (см. стр. 31).
( $
Хоть оба множества и бесконечны, у множества R более высокий ранг бесконечности,
чем у Q. Математики обозначают card(Q) буквой ивритского алфавита «алеф» с индексом «нуль» — ʠ0, а card(R) = c. Это означает, что ʠ0 < c.
Континуум-гипотеза Примерно в 1878 году Кантор предложил континуумгипотезу, сводившуюся к тому, что следующий уровень бесконечности после
бесконечности Q есть бесконечность действительных чисел c. Иными словами,
континуум-гипотеза предполагала, что нет такого множества, значение мощности
которого размещается строго между ʠ0 и с. Кантор упорно возился с ней и, хоть
и верил в ее истинность, доказать не смог. Опровергнуть это утверждение равносильно
обнаружению подмножества Х множества R с ʠ0 < card(X) < c, но и это ему не удалось.
Задача эта оказалась настолько важна, что немецкий математик Давид Гильберт
(Хилберт) поместил ее во главе списка 23 ключевых проблем математики грядущего
века, представленных на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году.
Гёдель пылко верил, что эта гипотеза ложна, однако доказать этого не сумел. Он,
правда, доказал (в 1938 году), что гипотеза Кантора согласуется с системой аксиом
Цермело—Френкеля для теории множеств. Это равносильно логической связи между
существованием аксиом и отрицанием гипотезы. Учтя результат Гёделя 1938 года, Коэн
показал, что континуум-гипотеза не зависит от прочих аксиом в теории множеств.
Сходное положение дел, по сути, и в части аксиомы параллельности Евклида
(см. стр. 108) — эта аксиома независима от других постулатов Евклида. Открытие этой
независимости привело к расцвету неевклидовой геометрии, которая, среди прочего,
определила развитие теории относительности Эйнштейна. Аналогично и континуумгипотеза может быть принята или отвергнута без всякого ущерба для других аксиом
теории множеств. После совершенного Коэном прорыва открылось новое поле
изучения, которое привлекло целые поколения математиков, применявших его
методы доказательства независимости континуум-гипотезы.
В сухом остатке:
Многие как единое
75
76
19 Исчисление
Исчисление — способ произведения расчетов, и математики
иногда поминают «логическое исчисление», «вероятностное
исчисление» и т. п. Но все соглашаются с тем, что все это есть
Исчисление, и произносят его с большой буквы «И».
Исчисление — центральный принцип математики. Мало кто из ученых,
инженеров или экономистов не сталкивался с исчислением, столь
широки его области применения. Исторически его ассоциируют
с Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем, произведшими
в XVII веке первые изыскания в математическом анализе. У обоих
возникли похожие теории, и даже случился спор, кому принадлежит
право первопроходца математического анализа. На самом деле оба
ученых пришли к своим выводам независимо друг от друга, и методы
их довольно сильно различались.
С тех пор масштабы знания исчисления развились необычайно.
Каждое поколение вбрасывает в него новые методики, которые, по их
мнению, достойны изучения потомками, и в наше время учебники
по матанализу составляют тысячи страниц и имеют кучу приложений.
Среди всех нововведений совершенно необходимыми являются
дифференциальное и интегральное исчисления, двуглавая вершина
математического анализа Ньютона и Лейбница. Эти два термина
происходят от Лейбницевых differentialis (различение, или «разъятие
на части») и integralis (сумма частей, или «сведение воедино»).
Технически говоря, дифференцирование связано с измерением
изменения, а интегрирование — с измерением площади, но жемчужина
в короне матанализа есть факт их единства: они суть две стороны
одной медали, обратные друг другу. Математический анализ — единый
предмет, и необходимо знать обе эти стороны. Неудивительно, что
«образцовый генерал-майор» Гилберта и Салливена в оперетте
«Пираты Пензанса» (1879) воспел эти два открытия:
%" 450 . .
1660–1670-
Зенон предлагает парадокс,
в котором высмеивает
бесконечно малые величины
Ньютон и Лейбниц
делают первые шаги
в математическом анализе
77
Занятных фактов много про квадрат гипотенузы.
Дифференциал и интеграл — мои друзья и музы.
Дифференцирование Ученые обожают проводить «мысленные
эксперименты»; особенно их любил Эйнштейн. Вообразите, что мы стоим на мосту над
глубоким ущельем и собираемся бросить вниз камень. Что произойдет? Преимущество
мысленного эксперимента в том, что нам необязательно лично присутствовать
на месте. А еще можно совершать невозможное: например, останавливать камень
посреди падения или смотреть на его полет в замедленном движении, через короткие
промежутки времени.
Согласно Ньютоновой теории всемирного тяготения, камень упадет. Ничего
поразительного в этом нет — камень притягивается к земле и будет падать все быстрее,
покуда мы замеряем время его падения с секундомером. И тут нам очень кстати
придется еще одно преимущество мысленного эксперимента: возможность
не морочить себе голову всякими тонкостями вроде сопротивления воздуха.
Какова скорость камня в каждый момент времени — например,
через 3 секунды после того, как мы выпустим его из рук? Как
нам это выяснить? Разумеется, можно измерить среднюю
=
скорость, но наша задача — измерить скорость мгновенную.
y
Поскольку это мысленный эксперимент, отчего бы нам
не остановить камень в полете, после чего дать ему пролететь
еще чуть-чуть — буквально долю секунды? Если разделить это
144
краткое расстояние на выделенное нами краткое время,
получится средняя скорость в очень кратком интервале
196
времени. Если сокращать эти временные интервалы, мы будем
все больше приближаться к мгновенной скорости в той точке,
где впервые остановили полет камня — мысленно. Эта идея
с предельным сокращением отрезка и есть база матанализа.
$ =
3
3,5
Может возникнуть искушение сделать этот самый интервал
времени равным нулю. Но в нашем мысленном эксперименте камень в таком случае
не двигается с места — не проходит никакого расстояния и не тратит на это,
соответственно, нисколько времени! В результате мы получим среднюю скорость 0/0,
чему ирландский философ епископ Джордж Беркли дал знаменитое описание
«призраки усопших величин». Это выражение невозможно определить — оно по сути
бессмысленно. На этом пути мы попадаем в цифровую топь.
1734
1820-
1854
1902
Джордж Беркли обращает
внимание на уязвимые
места в базе матанализа
Огюстен Коши строго
формализует теорию
Георг Риман (Риманн)
вводит интеграл, впоследствии
получивший его имя
Анри Лебег разрабатывает
теорию интеграла,
впоследствии названного
его именем
78
Чтобы рассуждать далее, нам понадобятся дополнительные символы. Точная формула,
соединяющая пройденный камнем путь y и время х, потребное для прохождения этого
пути, была предложена Галилео Галилеем:
y = 16 × x 2 .
Коэффициент 16 возникает потому, что измерения проводятся в футах и секундах.
Чтобы посчитать, сколько камень пролетел за 3 секунды, нужно подставить 3 вместо x
в приведенную формулу и вычислить ответ y = 16 × 32 = 144 фута. Но как нам вычислить
скорость камня в момент времени х = 3?
Добавим еще 0,5 секунды и посмотрим, сколько пролетит камень в промежутке между
3 и 3,5 секундами. За 3,5 секунды камень пролетел y = 16 × 3,52 = 196 футов, а значит,
между 3 и 3,5 секунды он упал на 196 – 144 = 52 фута. Поскольку скорость есть расстояние, деленное на время, средняя скорость в этом промежутке времени 52/0,5 = 104 фута в секунду. Это уже близко к мгновенной скорости при х = 3, но можно возразить, что
0,5 секунды — недостаточно малый промежуток времени. Повторим то же рассуждение
с меньшим промежутком времени — допустим, с 0,05 секунды, и тогда расстояние
получится 148,84 – 144 = 4,84 фута, а средняя скорость — 4,84/0,05 = 96,8 фута в секунду.
Это, конечно, еще ближе к мгновенной скорости в момент полета через 3 секунды
после его начала (когда х = 3).
А теперь возьмем быка за рога и подступимся к задаче расчета средней скорости камня
между точками во времени х и немного погодя: х + h. Слегка повозившись с символами,
получим:
16 × (2х) + 16 × h.
u du/dx
x2
2x
x 3 3x 2
x 4 4x 3
x 5 5x 4
…
…
xn nxn – 1
Все уменьшая и уменьшая h, как мы уже проделали, сократив промежуток
времени полета камня с 0,5 до 0,05, увидим, что первая часть суммы не меняется
(потому что в нее не входит h), а вторая становится все меньше. Заключим:
v = 16 × (2х),
где v — мгновенная скорость камня в момент х. Например, мгновенная
скорость камня через 1 секунду (когда х = 1) есть 16 × (2 × 1) = 32 фута в секунду;
через 3 секунды — 16 × (2 × 3), т. е. 96 футов в секунду.
Если сравнить Галилееву формулу y = 16 × x 2 с формулой скорости v = 16 × (2х),
разница — в замене x 2 на 2х. Таков эффект дифференцирования — переход от u = x 2
.
.
к производной u = 2x. Ньютон называл u = 2x «флюксией», а переменную x — флюентой,
потому что мыслил в терминах текучих материй. Ныне мы часто записываем функцию
u = x 2, а ее производную как du/dx = 2x. Такая запись была предложена Лейбницем
и сохранилась в этом виде, утвердив превосходство «d»-изма над точками Ньютона.
Падающий камень мы взяли в качестве примера, но если бы u выражала что-нибудь
другое, мы бы все равно могли посчитать производную, а это полезно и в других
контекстах. Просматривается закономерность: производная
получается умножением на степень исходной функции
и уменьшением степени исходной функции на единицу (если
функция — многочлен).
79
u
Интегрирование Исторически первое применение
A
интегрирования — измерение площадей. Измерение
площади поверхности под кривой можно произвести
0
x
аппроксимированием ее прямоугольными фрагментами,
каждый из которых имеет ширину dx. Измеряя площадь
каждого такого прямоугольника и складывая их вместе, получим «сумму» их площадей,
которая и равна общей площади. Символ S обозначает сумму и был введен Лейбницем
в вытянутом виде — . Площадь каждого прямоугольника равна udx, и тогда площадь
А под кривой от 0 до x:
x
А = udx.
0
Если имеем кривую u = x 2, площадь под ней рассчитывается путем вычерчивания узких
прямоугольников под кривой, сложением их вместе и расчетом приблизительной
получающейся площади. Если предельно сократить ширину этих прямоугольников,
можно получить точную площадь под кривой. Ответ выходит такой:
А = x 3/3.
Мы можем вычислить интеграл и для разных кривых (и других выражений
для u). Как и в случае с производными, у интегральных функций есть закономерности степеней х. Интегральная функция получается делением переменной, возведенной в степень исходной функции, увеличенной на единицу,
на показатель исходной функции, также увеличенный на единицу.
Коронный номер
u
x
udx
0
x2
x 3/3
x3
x 4/4
x4
x 5/5
x5
x 6/6
…
…
x n xn + 1/(n + 1)
Если дифференцировать интеграл А = x 3/3,
получим исходное u = x . Если интегрировать производную du/dx = 2x,
тоже получим исходное u = x 2 . Дифференцирование обратно интегрированию, и это
наблюдение известно как основная теорема математического анализа* и является * Теорема
Ньютона—
одной из важнейших в математике вообще.
Лейбница.
2
Без матанализа не летали бы спутники по орбите, не было бы экономической теории,
а статистика выглядела бы совершенно иначе. Где бы ни возникали изменения, там
везде есть математический анализ.
В сухом остатке:
Доходим до предела
80
=
20 Построения
Доказательство невозможности зачастую трудная штука,
но некоторые величайшие математические победы состоят
как раз в таких доказательствах — что-то не может быть
осуществлено. Невозможно построить квадратуру круга, но как
это доказать?
Перед древними греками стояло четыре задачи на построение:
— трисекция угла (деление угла на три равных меньших угла);
— удвоение куба (построение второго куба, объем которого в два раза
больше исходного);
— квадратура круга (построение квадрата, равного определенному
кругу по площади);
— построение многоугольников (правильных фигур, у которых все
стороны равны между собой, а все углы одинаковые).
Для решения этих задач они применяли самые простые приборы:
— линейку для проведения прямых линий (и уж точно не для
измерения длин);
— циркуль для рисования окружностей.
P
A
%
B
Если нравится скалолазание без веревок, кислорода, мобильных телефонов и иной дребедени, вам такие задачки, безусловно, придутся по вкусу. Без современного измерительного
оборудования, необходимого для подтверждения выводов,
математические методы решения таких задач были крайне
затейливы, и классические античные построения были
осуществлены лишь в XIX веке — при помощи современного
анализа и абстрактной алгебры.
Трисекция угла
Есть способ разделить угол на два
меньших и равных друг другу — осуществить бисекцию угла.
Бисекция угла
%" 450 . .
1672
Анаксагор, сидя в тюрьме, пытается
построить квадратуру круга
Георг Мор показывает, что
все евклидовы построения
можно произвести
при помощи одного циркуля
=
81
Поместите иглу циркуля в точку О, отметьте точки А и В на расстоянии радиуса,
получив отрезки ОА и ОВ. Перенесите иглу циркуля в точку А, нарисуйте фрагмент
окружности. Проделайте то же самое из точки В.
Обозначьте точку пересечения двух фрагментов окружностей как Р, соедините по
линейке точки О и Р. Треугольники АОР и ВОР идентичны, а значит, углы АО^Р и ВО^Р
тоже равны. Линия ОР — искомая биссектриса, делящая угол на две равные части.
Можем ли мы применить тот же порядок действий для деления произвольного угла
на три равные части? В этом и состоит задача трисекции угла.
Угол в 90° — прямой — проблемы не составляет, поскольку угол в 30° построить можно.
А вот если взять угол в 60°, разделить его на три части не удастся. Ответ-то мы знаем —
20°, но не существует способа построить такое рассечение при помощи линейки
и циркуля. Итак:
— можно провести биссектрису любого угла, всегда;
— можно произвести трисекцию некоторых углов, всегда, но
— нельзя произвести трисекцию некоторых углов, ни при каких обстоятельствах.
Удвоение куба — сходная задача, известная под названием «делосской». Ее история
такова: на острове Делос разразилась чума, и жители обратились к оракулу за советом.
Оракул велел им построить новый алтарь — по объему в два раза больше
существующего.
Вообразим Делосский алтарь в виде трехмерного куба со всеми сторонами, равными
по длине, скажем, а. Жителям необходимо было построить другой куб, со сторонами,
равными b, так, чтобы он получился вдвое большего объема, чем исходный. Объем
3
первого куба а 3, объем второго — b 3, и они связаны уравнением b 3 = 2а 3, или b = √2 × а, где
3
√2 есть число, которое при умножении на себя трижды дает 2 (таков смысл кубического
корня). Если сторона исходного куба а = 1, уроженцам Делоса необходимо было отмерить
3
√2. К несчастью для делосцев, отложить такой отрезок
исключительно с помощью линейки и циркуля невозможно, какой бы блестящий ум к этому ни был приложен.
Квадратура круга Эта задача несколько отличается от предыдущих и едва ли не самая знаменитая из всех
задач на построение:
A
Построить квадрат, равный по площади некоторому заданному кругу.
1801
1837
Карл Фридрих Гаусс издает
«Труды по теории чисел», включая
раздел о построении 17-угольника
при помощи линейки и циркуля
Пьер Ванцель доказывает, что
Фердинанд фон Линдеманн
классические задачи удвоения куба
доказывает невозможность
и трисекции угла не могут быть
квадратуры круга
решены при помощи линейки и циркуля
1882
A?
Квадратура круга
82
=
Фраза «искать квадратуру круга» — идиома для обозначения недостижимого.
Алгебраическое уравнение х 2 – 2 = 0 имеет два частных решения: х = √2 и х = – √2. Это
иррациональные числа (т. е. их нельзя записать в виде дроби), однако доказательство,
что квадратура круга неосуществима, равносильно доказательству того, что
не может быть решением никакого алгебраического уравнения. Иррациональные числа
с этим свойством называются «трансцендентными», потому что их уровень иррациональности «выше», чем у их иррационального двоюродного родственника √2.
Математики вообще верили, что — трансцендентное число, но эту «загадку веков»
удалось решить, т. е. строго доказать, лишь Фердинанду фон Линдеманну — с помощью
методики, предложенной Шарлем Эрмитом. Эрмит применил ее для решения задачи
попроще — доказывая, что основание натурального логарифма, е, есть трансцендентное число (см. стр. 26).
Казалось бы, результат Линдеманна должен был остановить навсегда поток научных
работ неутомимых искателей квадратуры круга. Ан нет, нисколько. По-прежнему
в кулуарах математики есть и те, кто отказывается принять доводы произведенного
доказательства, и те, кто о нем даже не слыхал.
Построение многоугольников
Евклид поставил задачу о построении
правильного многоугольника. Это симметричная многосторонняя фигура вроде
квадрата или пятиугольника, у которой все стороны равной длины, а соседние
образуют равные углы. В знаменитых «Началах», книга IV, Евклид
P
показал, как при помощи двух простейших приборов строить
многоугольники с 3, 4, 5 и 6 сторонами.
A
Построение равностороннего
треугольника
Многоугольник с 3 сторонами, который мы обычно называем
равносторонним треугольником, построить проще всего. Какой бы
громадный треугольник вам ни был нужен, отметьте точки А и В,
а расстояние между ними устанавливайте какое пожелаете.
Поместите иглу циркуля в точку А и нарисуйте фрагмент окружноB
сти с радиусом АВ. Повторите ту же процедуру из точки В.
Пересечение этих двух дуг обозначим буквой Р. Поскольку АР = АВ
и ВР = АВ, все три стороны треугольника АВР равны друг другу.
Соединим точки отрезкам АВ, АР и ВР по линейке и получим искомый треугольник.
Линейка представляется вам излишней роскошью? Вы не одиноки — в ХVII веке
датчанину Георгу Мору тоже такказалось. Равносторонний треугольник получается
нахождением точки Р, а для этого нужен лишь циркуль — линейку мы применили,
чтобы физически соединить точки. Мор доказал, что для построения, возможного при
помощи циркуля и линейки, достаточно одного циркуля.
=
Итальянец Лоренцо Маскерони показал
то же самое 125 годами позже. Новшество
его доказательства заключалось в том,
что в своей книге 1797 года «Geometria del
Compasso» (ит. «Геометрия циркуля»),
посвященной Наполеону, он записал его
в стихах.
( "=
Карл Фридрих Гаусс настолько впечатлился
доказанной им возможностью построения
17-угольника, что решил отложить
запланированное им изучение языков и стал
математиком. Остальное мы знаем: Гаусс стал
«королем математики». Мемориал в немецком
Гёттингене, посвященный Гауссу, имеет форму
17-стороннего многоугольника — достойное
воздание по заслугам гению этого ученого.
Особенно важно решение этой задачи
в общем виде, т. е. для многоугольников
с количеством сторон р, где р —
натуральное число. Мы уже построили
трехсторонний многоугольник, а Евклид
смог изобразить пятисторонний, однако
семиугольник (гептагон) ему не дался. В свои 17 лет человек по имени Карл Фридрих
Гаусс доказал, что такое построение невозможно. Он также заключил, что невозможно
построение правильных р-угольников для р = 7, 11 и 13.
Зато Гауссу удалось показать, что 17-сторонний многоугольник построить можно, но он
и на этом не остановился: выкладки Гаусса демонстрируют, что р-угольник можно
построить тогда и только тогда, когда р есть простое (неделимое) число,
соответствующее формуле
n
р = 22 + 1.
Числа такого вида называются числами Ферма. Если подставить вместо n 0, 1, 2, 3 и 4,
получим простые числа р = 3, 5, 17, 257 и 65 537, что соответствует р-угольникам,
которые можно построить.
Если попробовать подставить вместо n 5, число Ферма равно р = 232 + 1 = 4 294 967 297.
Пьер Ферма предположил, что все числа будут простыми, однако, увы,
4 294 967 297 = 641 × 6 700 417, т. е. это число — не простое. Если n = 6 или 7, по формуле
получатся огромные числа Ферма, но, как и в случае с n = 5, — не простые.
А есть ли среди чисел Ферма другие простые? Общепринято считать, что нет, но наверняка никто не знает.
В сухом остатке:
Возьмем линейку и циркуль...
83
84
"
21 Треугольники
Самый очевидный факт о треугольнике: это фигура с тремя
сторонами и тремя углами. Тригонометрия — теория,
применяемая нами для «измерения треугольников», будь то
его углы, длины сторон или площадь. Эта фигура — одна из
простейших вообще — предмет неиссякаемого интереса.
M
A
x
x
B
z
N
y
История треугольника Существует аккуратное
доказательство того, что сумма всех углов в треугольнике
равна двум прямым, или 180° — проведением прямой MAN
через вершину А, параллельной основанию ВС.
Угол AB^C, который мы будем называть х, равен углу BA^M,
поскольку это внутренние накрест лежащие углы при
параллельных прямых MN и ВС. Два других противолежащих
C
угла назовем y. Общий угол у вершины А равен 180° (половине
от 360°), а это сумма х + у + z, и она также равна сумме углов
в треугольнике. QED, как писали некогда в конце успешного
доказательства. Разумеется, мы исходим из того, что треугольник
изображен на плоской поверхности вроде вот этой страницы. Углы
треугольника, начерченного на шаре (сферический треугольник),
в сумме дадут не 180°, но это уже другая история.
y
Евклид доказал множество теорем о треугольниках, всегда двигаясь
от общего к частному. Он, например, продемонстрировал, что «в любом треугольнике сумма двух любых сторон всегда больше третьей».
Ныне это утверждение называется «неравенством треугольника»,
и оно крайне важно для абстрактной математики. Эпикурейцы с их
приземленным подходом к жизни заявляли, что это утверждение
не нуждается в доказательстве, поскольку очевидно любому ослу. Если
разместить стог сена в одной вершине треугольника, а осла — в другой,
говорили они, осел, желая утолить голод, вряд ли двинется вдоль двух
сторон.
1850
. .
Вавилонянам известна
«теорема Пифагора»
1335
Ричард Уоллингфордский
пишет революционный
трактат по тригонометрии
"
Теорема Пифагора
Величайшей теоремой
о треугольниках является, конечно, теорема Пифагора —
она по-прежнему существует под этим названием
в современной математике, хотя есть некоторые сомнения, что именно Пифагор первым сделал это открытие.
Самая известная формулировка этой теоремы
в алгебраических терминах такова: а 2 + b 2 = c 2, однако
Евклид описывает реальные геометрические формы:
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны,
противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов
двух других сторон, прилежащих к прямому углу».
a
a
b
A
85
a
b
a a
c
c
b
C
c
b
B
a
c
b b
a
b
b
a
a
c
a
c
a2
=
c2
b
b2
b
Доказательство Евклида — предложение 47 в книге I
«Начал» — источник мучений целых поколений школьников,
пытавшихся либо вызубрить его, либо жить с последствиями короткой
памяти. Существуют сотни доказательств этой теоремы. Вариант в духе
Бхаскары II (XII век) популярнее Евклидова (300 до н. э.).
A
D
Это доказательство — «без слов». На рисунке квадрат со стороной a + b
можно разделить двумя способами.
Поскольку четыре равных треугольника (выделены темно-серым)
B
E
одинаковы в обоих квадратах, их можно изъять без изменения оставшихся площадей. Взглянем на площади оставшихся фигур — увидим знакомое выражение:
а 2 + b 2 = c 2.
Прямая Эйлера
Существуют сотни теорем, связанных с треугольниками.
Во-первых, давайте рассмотрим середины сторон треугольника. В произвольном
треугольнике АВС отметим середины сторон D, E и F. Соединим В с F, а С с D, назовем
точку пересечения этих отрезков G. Теперь соединим А и Е. Пройдет ли эта линия
через точку G? Вообще-то без дополнительного доказательства это не очевидно.
На самом деле действительно пройдет, а точка G называется «центроидом». Это центр
тяжести треугольника.
У треугольника есть сотни — без преувеличения — всяких «центров». Например, точка
Н, в которой пересекаются высоты треугольника (линии, проводимые из вершины
перпендикулярно к противолежащему основанию, — они показаны пунктиром
на рисунке, стр. 86). Эта точка называется «ортоцентр». А есть еще «инцентр» О,
1571
1822
1873
Франсуа Виет публикует книгу
по тригонометрии
и тригонометрические таблицы
Карл Фейербах формулирует
теорему об окружности
девяти точек в треугольнике
Анри Брокар издает
исчерпывающий труд
о треугольнике
F
G
C
86
"
в котором пересекаются линии D, E и F (называемые «серединными
перпендикулярами», на рисунке они не показаны). Это центр
окружности, проведенной через точки А, В и С.
A
L
D
F
G
H N
B
E
M
Прямая
Эйлера
A
D
F
C
Скажем даже больше. В любом треугольнике АВС центры G, H
и О — т. е. центроид, ортоцентр и инцентр — лежат на одной
линии, называемой «прямая Эйлера». В случае
с равносторонним треугольником (у которого все стороны
одной длины) эти три точки совпадают в одной, и она
однозначно есть самый что ни на есть центр треугольника.
Теорема Наполеона На сторонах любого треугольника АВС
можно построить равносторонние треугольники, и треугольник DEF,
образованный центрами этих равносторонних треугольников, тоже
получится равносторонним. Это утверждение — теорема Наполеона.
Теорема Наполеона была опубликована в одном английском журнале
в 1825 году, через четыре года после смерти императора на острове
Св. Елены. Еще школьная склонность Наполеона к математике, бесспорC
но, помогла ему поступить в артиллерийскую школу, а позднее ему довелось
E
знаться с выдающимися парижскими математиками. К сожалению, нет никаких доводов в пользу авторства этой теоремы — кроме ее названия, как и в
Теорема Наполеона
случае многих других математических результатов, приписываемых имевшим малое отношение к формулировке или доказательству того или иного математического открытия. Разумеется, теорему Наполеона не раз переоткрывали и дополняли.
B
Ключевые сведения, определяющие треугольник, — длина любой одной стороны
и размер двух углов. Тригонометрия позволяет нам измерить все остальное.
При составлении топографических карт полезно считать, что земля и треугольники
на ней — плоские. Система треугольников составляется от базовой линии ВС заданной
длины путем назначения удаленной точки А (тригонометрический пункт) и измерения
теодолитом углов AB^C и AC^B. Тригонометрически можно узнать все о треугольнике
АВС, и топограф двигается дальше, назначает следующий тригонометрический пункт
с новым основанием АВ или АС, а затем повторяет операцию, создавая сеть треугольников. У этого метода есть преимущество: с его помощью можно картографировать
сложные пересеченные местности с болотами, топями, зыбучим песками или реками.
Этот подход стал основой Великого тригонометрического исследования Индии, начавшегося в 1800-х годах и длившегося 40 лет. Была поставлена задача исследовать и нанести на карты территории вдоль большой дуги меридиана от мыса Коморин на юге
и до Гималаев на севере — 1500 миль. Чтобы добиться максимальной точности измерения углов, сэр Джордж Эверест организовал в Лондоне производство двух громадных
"
"$
Треугольник незаменим в строительстве.
Универсальность его применения основана на том же свойстве, что сделало его
основой топографии: треугольник — жесткая конструкция. Квадрат или прямоугольник можно исказить, а треугольник — нет.
Строительные фермы — соединение
!T U
треугольников. Один из конструкционных
прорывов на базе треугольников — мосты.
По сравнению с собственным весом ферма
Уоррена выдерживает значительные
нагрузки. Ее запатентовал Джеймс Уоррен
в 1848 году, а первый мост с такими
фермами был построен на станции «ЛондонБридж» двумя годами позже. Система
равносторонних треугольников оказалась
надежнее сходных конструкций на основе
равнобедренных треугольников, у которых
только две стороны одинаковы по длине.
теодолитов, которые весили тонну и требовали десятка человек для транспортировки, — таковы были необходимые условия для получения правильных результатов.
Викторианцам пришлось обходиться без спутниковой навигации, хотя компьютеры
у них были — человеческие. Когда все длины сторон в очередном треугольнике
измерены, расчет его площади — задача простая. Напомним: треугольник — единица
измерения. Существует несколько формул измерения площади треугольника А, однако
самая примечательная — формула Герона Александрийского:
A = √s × (s – a) × (s – b) × (s – c).
Она применима к любому треугольнику, и мы можем ничего не знать о его углах. Символ
s — половина периметра треугольника со сторонами а, b и с. Например, если стороны
треугольника равны 13, 14 и 15, его периметр — 13 + 14 + 15 = 42, следовательно, s = 21.
Произведя вычисления, получим A = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Треугольник — знакомый объект, известный и детям, играющим с простыми фигурами, и исследователям,
ежедневно имеющим дело с неравенством треугольника в абстрактной математике.
Тригонометрия — система обсчитывания треугольников, а косинусные, синусные и тангенциальные функции — способы их описания, позволяющие нам производить практические расчеты. Треугольнику всегда уделяли много внимания, но еще невесть сколько
всяких открытий о трех линиях, образующих примитивную фигуру, ждет своего часа.
В сухом остатке:
Три стороны одной истории
87
88
"$!
22 Кривые
Нарисовать кривую проще простого. Художники только это
и делают; архитекторы проектируют новые кварталы или
современные улицы в форме полумесяца. Бейсболист-питчер
осуществляет крученую подачу. Спортсмены устремляются
в зону ворот по кривой, а когда забивают гол, мяч описывает
кривую. Но если попытаться ответить на вопрос «Что такое кривая?», ответ окажется неочевиден.
Математики веками изучали кривые — с самых разных точек зрения.
Все началось с древних греков, и кривые, которым они уделили
внимание, называются «классическими».
V
W
'#
Классические кривые Первое семейство классических
кривых — так называемые «конические сечения». Члены этого
семейства — круг, эллипс, парабола и гипербола. Если взять двойной
конус — два рожка мороженого, соединенные так, чтобы один оказался
перевернутым, — и рассечь его плоскостью, на пересечении двойного
конуса и плоскости получатся конические сечения круг, эллипс,
парабола или гипербола, в зависимости от того, как наклонена секущая
поверхность по отношению к вертикальной оси конуса.
Коническое сечение также можно представить как проекцию круга
на экран. Лучи от лампочки, размещенной в цилиндрическом абажуре,
образуют двойной конус света, проецирующийся от верхнего
и нижнего краев абажура. Проекция на потолке будет иметь форму
круга, но если лампу слегка наклонить, круг превратится в эллипс.
На стене при этом мы увидим двухчастную кривую — гиперболу.
X #
Еще конические сечения можно представить как траектории,
описываемые точками на поверхности.
Метод «траектории» был особенно любим греками и, в отличие
от проекционного метода, связан с длинами. Если точка движется
Конические сечения
%" 300 . .
%" 250 . .
%" 225 . .
Евклид описывает
конические сечения
Архимед исследует
спирали
Аполлоний Пергский
публикует 8-томный труд
«Начала конических сечений»
"$!
89
таким образом, что расстояние от одной зафиксированной точки всегда одно и то же,
получаем круг. Если же точка перемещается так, что сумма расстояний до двух
зафиксированных точек (фокусов) постоянна, получаем эллипс (если фокусы
совпадают, эллипс становится кругом). Эллипс — ключ к пониманию движения планет.
В 1609 году немецкий астроном Иоганн Кеплер объявил, что планеты движутся вокруг
Солнца по эллипсу, и тем самым опроверг теорию о круговых орбитах.
Менее очевидной оказывается траектория движения точки, при котором расстояние
до некоторой другой точки (фокус F) равно длине перпендикуляра, проведенного до
изначально заданной линии (директрисы). В этом случае получаем параболу.
У параболы масса полезных свойств. Если разместить источник света в точке фокуса F,
все лучи, оказавшись за пределами параболы, окажутся параллельны PM. С другой стороны, если спутник транслирует телевизионный сигнал и он попадает на параболическую антенну, все лучи
P
M
собираются в одной точке — в точке фокуса, и оттуда все вместе
направляются в телевизор.
F
Если вращать вокруг некоторой точки палку, любая фиксированная
точка на этой палке будет описывать круг, однако, если допустить,
что точка на палке может перемещаться вдоль нее в процессе
вращения палки, получится спираль. Пифагорейцы обожали
Парабола
спираль; гораздо позже Леонардо да Винчи посвятил десять лет
жизни изучению разных видов спиралей, а Рене Декарт написал о них целый трактат.
Логарифмическая спираль также называется изогональной, потому что образует один
и тот же угол с радиусом и касательной в точке пересечения радиуса и спирали.
Якоб Бернулли, представитель знаменитого клана швейцарских
математиков, совершенно влюбился в логарифмическую спираль
и пожелал, чтобы она была изображена на его надгробии
в Базеле. Человек эпохи Возрождения Эммануил Сведенборг
считал спираль совершеннейшей из форм. Трехмерная
спираль, опоясывающая цилиндр, называется винтовой
спиралью. Две такие спирали — двойная винтовая — образуют
базовую структуру ДНК.
Есть и много других классических кривых — улитка Паскаля,
лемниската и разнообразные овалы. Кардиоида называется так
x
Логарифмическая спираль
1704
1890
1920-
Исаак Ньютон классифицирует
кривые третьей степени
Джузеппе Пеано
доказывает, что замкнутый
квадрат есть кривая
(кривая Пеано)
Карл Менгер и Павел Урысон
относят кривые к топологии
90
"$!
потому, что похожа на сердце. Катенария стала в XVIII веке темой исследования
и была определена как линия, которую образует цепь, подвешенная в двух точках.
Парабола — кривая, образуемая подвесным мостом между двумя опорами.
P
Трехзвенный
механизм
В XIX веке одним из направлений исследования стали кривые,
образуемые движением трехзвенных механизмов. Такого рода
вопросы стали следствием задачи, приблизительно
решенной инженером Джеймсом Ваттом, изобретшим
такое соединение звеньев, которое превращает круговое
Q
движение в поступательное. В эпоху паровых машин это изобретение сыграло значительную роль.
Простейший механизм — трехзвенник, в котором звенья соединены
последовательно, а концевые точки зафиксированы. Как бы ни двигалась «сцепка» PQ,
траектория точки на ней, оказывается, описывает кривую шестого порядка.
Алгебраические кривые
Благодаря Декарту, совершившему революцию
в геометрии введением координат x, y и z и картезианских осей, названных в его честь,
стало возможно изучать конические сечения как алгебраические уравнения.
Например, окружность радиуса 1 описывается уравнением второй степени х 2 + у 2 = 1.
Все конические сечения описываются уравнениями второй степени. Так отросла
новая ветвь геометрии — аналитическая геометрия.
Исаак Ньютон в одном своем масштабном исследовании описал алгебраические
уравнения третьей степени, или кубические кривые. Если базовых конических кривых
всего четыре типа, кубических оказалось 78; их разделили на пять классов.
Лавинообразный рост числа разных типов кривых наблюдается и для кривых
четвертого порядка — их оказалось столько, что полной классификации не существует
до сих пор.
Изучение кривых как алгебраических уравнений — это еще не все. Многие кривые —
катенарии, циклоиды (кривые, описываемые точкой на катящемся колесе) и спирали —
не так-то просто описать алгебраически.
Определение Математики искали именно определение кривой как таковой, а не
только отдельных примеров. Французский математик Камилль Жордан предложил
теорию кривых, построенную на определении кривой в терминах точек
с переменными координатами.
Вот пример. Положим, x 2 = t 2, а y = 2t, тогда для различных значений t получаем
множество различных точек, которые можно описать координатами (х, у). Допустим,
что t = 0, тогда получаем точку (0, 0), t = 1 дает нам точку (1, 2) и т. д. Если расставить
эти точки в системе координат х—у и соединить их, получим параболу. Жордан
"$!
91
усовершенствовал эту идею соединенных точек и принял ее
как определение кривой.
Кривые Жордана могут быть крайне затейливыми, даже
когда, как окружность, они «простые» (т. е. не пересекают
сами себя) и «замкнутые» (без конца и начала). У знаменитой
теоремы Жордана есть понятный смысл: она утверждает,
что у простых замкнутых кривых есть внешняя и внутренняя
части. Очевидность этого утверждения — лишь кажущаяся.
В 1890 году итальянец Джузеппе Пеано произвел настоящую
сенсацию: он показал, что, согласно определению Жордана,
закрашенный внутри квадрат есть кривая. Можно так
разместить точки по сторонам квадрата, что их все
Замкнутая простая жорданова кривая
получится соединить и при этом не нарушить жорданова
определения. Кривые Пеано пробили брешь в построениях
Жордана — разумеется, квадрат не является кривой в привычном смысле слова.
«Заполняющие» кривые и другие примеры-исключения вынудили математиков еще раз
вернуться к чертежной доске и переосмыслить основы теории кривых. Вновь встал
вопрос об определении кривой. В начале ХХ века эта задача привела математиков
к новому полю знания — топологии.
В сухом остатке:
Умом тронуться — по кривой
92
=
23 Топология
Топология — область геометрии, изучающая свойства
поверхностей и форм, но она нимало не касается измерения
длин и углов. Самое главное — исследовать свойства, которые
при превращении одной формы в другую не меняются.
Разрешается вминать и растягивать фигуру в любом
направлении, поэтому топологию иногда называют «резиновой
геометрией». Топологи — люди, которые не отличат пончик
от чашки!
Пончик — поверхность с одной дыркой. Кружка — то же самое, только
дырка принимает форму ручки. Вот как пончик можно превратить
в кружку:
Классификация полиэдров
Простейшие формы, изучаемые топологами, — многогранники, или полиэдры («поли» — много,
«эдрос» — грань). Пример многогранника — куб: фигура с 6 гранями,
8 вершинами (вершина — точка соединения граней) и 12 ребрами
(ребра — линии, соединяющие вершины). Куб — правильный
многогранник, потому что:
— все его грани имеют одну и ту же правильную форму;
— все углы между ребрами у вершин равны между собой.
Топология — предмет сравнительно юный, но восходит он к древним
грекам; вершиной их достижений в этой области можно считать
%" 300 . . %" 250 . .
1752
Евклид доказывает,
что существует
пять правильных
многогранников
Эйлер строит формулу,
объединяющую число
вершин, ребер и граней
многогранника
Архимед исследует
усеченные многогранники
=
93
результат, приведенный в Евклидовых «Началах»:
существует в точности пять правильных многогранников.
Это платоновы тела:
—
—
—
—
—
тетраэдр (с 4 треугольными гранями);
куб (с 6 квадратными гранями);
октаэдр (с 8 треугольными гранями);
додекаэдр (с 12 пятиугольными гранями);
икосаэдр (с 20 треугольными гранями).
Тетраэдр
Куб
Опустив условие о равенстве всех граней, мы окажемся
в пространстве архимедовых тел — полуправильных
многогранников. Их можно получить, видоизменив
Октаэдр
Додекаэдр
платоновы тела. Если отрезать (усечь) кое-какие углы
икосаэдра, получится фигура, по форме которой ныне
изготавливают футбольные мячи. У этой фигуры 32 грани, из них 12 — пятиугольники и 20 — шестиугольники,
90 граней и 60 вершин. Ту же форму имеют бакминстерфуллерены — молекулы, названные в честь провидца
Ричарда Бакминстера Фуллера, создателя геодезического
Икосаэдр
Усеченный
икосаэдр
купола. Бакминстерфуллерены — форма существования
углерода, С 60, в молекуле которого атомы углерода расположены в вершинах усеченного икосаэдра.
Формула Эйлера Согласно формуле Эйлера, число вершин V, ребер Е и граней F
в многограннике связаны так:
V – E + F = 2.
Например, для куба V = 8, E = 12, а F = 6, значит, V – E + F = 8 – 12 + 6 = 2, а для бакминстерфуллерена V – E + F = 60 – 90 + 32 = 2. Эта теорема на самом деле
проверяет на прочность саму концепцию многогранника.
Если сквозь куб проходит «тоннель», является ли такой куб подлинным многогранником? Для такой формы V = 16, E = 32, F = 16, следовательно, V – E + F = 16 – 32 + 16 = 0. Формула Эйлера не работает.
Чтобы формула действовала, нужно либо применять ее только
к многогранникам без тоннелей, либо обобщить так, чтобы она
распространялась и на эти отдельные случаи.
Куб с тоннелем
1858
1961
1982
2002
Август Ф. Мёбиус
и Иоганн Б. Листинг
описывают ленту Мёбиуса
Стивен Смэйл доказывает
гипотезу Пуанкаре
для размерностей
пространства, бо2льших 4
Майкл Фридмен доказывает
гипотезу Пуанкаре
для размерности
пространства, равной 4
Григорий Перельман
доказывает гипотезу
Пуанкаре для размерности
пространства, равной 3
94
=
Классификация поверхностей
Тополог, может, и считает пончик
и кружку одним и тем же, но в таком случае какая поверхность будет отлична
от пончика? Возможный кандидат — резиновый мяч. Пончик в мяч никак
не превратить: у пончика есть дырка, а у мяча — нет. В этом и состоит их
фундаментальная разница. Таким образом, один из способов классификации
поверхностей — по числу дырок в них.
Возьмем поверхность с r дырами и разделим ее на области, ограниченные ребрами,
соединяющими вершины, размещенные по поверхности. Проделав эту операцию,
посчитаем число вершин, ребер и граней. При любом разбиении на области формула
Эйлера V – E + F всегда имеет один и тот же результат, называемый эйлеровой
характеристикой пространства:
V – E + F = 2 – 2r.
Если у формы нет дыр (r = 0) — как в случае с обычными многогранниками, — формула
принимает вид исходной: V – E + F = 2. В случае с одной дырой (r = 1) — куб с тоннелем:
V – E + F = 0.
Односторонние поверхности
Обычно у поверхности две
стороны. Внешняя сторона шара отделена от внутренней, и единственный способ попасть с одной стороны на другую — просверлить в шаре отверстие, а это операция разрезания, недопустимая в топологии (растягивать можно, а резать — нет). Лист
бумаги — еще один пример двухсторонней поверхности.
Единственное место, где две стороны стыкуются, — кромки листа.
Мысль об односторонней поверхности кажется маловероятной.
Однако знаменитая односторонняя поверхность была открыта
немецким математиком и астрономом Августом Мёбиусом в XIX веке. Сконструировать
такую поверхность можно из того же листа бумаги, скрутив его и склеив концы вместе.
В результате получится «лента Мёбиуса» — односторонняя поверхность с одной граничной кривой. Если взять карандаш и начать рисовать линию посередине такой ленты,
совсем скоро вы окажетесь в той же точке, с которой начали!
Лента Мёбиуса
Бутылка Клейна
Можно, более того, создать одностороннюю поверхность,
у которой нет граничной кривой. Это «бутылка Клейна»,
названная в честь немецкого математика Феликса
Клейна (Кляйна). Что особенно примечательно, эта
бутылка не пересекает сама себя. Однако создать модель
не пересекающей саму себя бутылки Клейна в трехмерном пространстве невозможно, а вот в четырехмерном —
вполне.
=
Обе эти поверхности — примеры того, что топологи называют многообразиями,
т. е. геометрических поверхностей, выглядящих как лист двухмерной бумаги, если
рассматривать небольшие его фрагменты по отдельности. Поскольку у бутылки Клейна
нет краев, ее называют односвязным двухмерным многообразием.
Гипотеза Пуанкаре
Больше века непревзойденной задачей топологии была
знаменитая гипотеза, названная в честь Анри Пуанкаре. Эта гипотеза связывает
алгебру и топологию.
Частично эта задача применительно к трехмерным многообразиям до последнего
времени оставалась нерешенной. Тут все непросто: попытайтесь представить бутылку
Клейна с дополнительным измерением. Пуанкаре предположил, что определенные
односвязные трехмерные многообразия, имеющие все алгебраические признаки
трехмерных сфер, на самом деле таковыми и должны являться. Будто гуляете вы
по огромному трехмерному мячу и все ваши наблюдения подсказывают вам, что
это — сфера, но поскольку всей картины вам не видно, приходится гадать, верны ваши
предположения относительно сферы или нет.
Никому не удавалось доказать гипотезу Пуанкаре для трехмерных многообразий.
Верна она или нет? Для всех остальных измерений эта гипотеза была обоснована, а вот
трехмерные многообразия все никак не сдавались. Возникало множество ложных
доказательств, пока наконец в 2002 году Григорий Перельман из Математического
института им. Стеклова в Петербурге не доказал гипотезу Пуанкаре. Как и решение
многих других великих задач математики, методы решения задачи Пуанкаре лежат
за пределами ее непосредственной области и связаны с тепловой диффузией.
В сухом остатке:
От пончиков к чашкам
95
96
24 Измерение
Леонардо да Винчи как-то отметил в своей записной книжке:
«Наука живописи начинается с точки, превращается в линию,
третьей возникает плоскость, а четвертой — тело в одеянии
плоскостей». В иерархии да Винчи точка — нулевое измерение,
линия одномерна, плоскость двухмерна, а пространство трехмерно. Что может быть очевиднее? Именно так представлял
себе геометрию точки, линии, плоскости и тела греческий геометр Евклид, а Леонардо следовал его представлениям.
Трехмерность физического пространства была понятна тысячелетиями. В физическом пространстве мы можем перемещаться вдоль этой
страницы по оси х, поперек ее, т. е. горизонтально, по оси у, или
над ней — вдоль оси z, а также в любой комбинации этих координат.
Относительно точки начала координат (где все три оси пересекаются)
у любой точки есть пространственные координаты, определяемые
значениями х, у и z, и записываются в виде (х, у, z).
У куба эти три измерения очевидны — равно как и у чего
угодно твердого. По школьной программе мы обычно
сначала изучаем геометрию на плоскости, т. е.
двухмерную геометрию (планиметрию), после чего
приступаем к трехмерному пространству — к «геометрии
тел» — и на том останавливаемся.
z
y
x
Пространство трех измерений
Примерно в начале XIX века ученые начали барахтаться
в четырехмерной и даже более высокой n-мерной математике. Многие философы и математики начали задаваться
вопросом, существуют ли более высокие размерности
пространства.
Высшие физические измерения
Многие ведущие
математики прошлого думали, что четыре измерения невообразимы.
%" 300 . .
1877
Евклид описывает
трехмерный мир
Георг Кантор поражен
собственным противоречивым
открытиям в области
теории размерности
Они сомневались в реальности четырех измерений, и объяснить их было крайне
непросто.
Распространенным способом объяснить возможность четырех измерений было возвращение к двухмерности. В 1884 году английский учитель и теолог Эдвин Эбботт издал
ставшую невероятно популярной книгу о «флэтландцах», проживавших на двухмерной
плоскости. Не видать им было ни треугольников, ни квадратов, ни окружностей, существовавших во Флэтландии, — они не могли выйти в третье измерение и обозреть их. Их
видение было сильно ограничено. У них возникали те же проблемы с представлением
третьего измерения, какие появляются у нас, когда мы думаем о четвертом. Но чтение
Эбботта позволяет нам настроить ум на принятие четвертого измерения.
Потребность осмыслить реальность существования четырехмерного пространства
встала еще острее с появлением Эйнштейна. Четырехмерная геометрия обрела
убедительность и даже возможность быть понятой благодаря Эйнштейновой модели,
в которой дополнительным измерением стало время. В отличие от Ньютона, Эйнштейн
воспринимал время как неразрывно связанное с пространством в четырехмерном пространственно-временном континууме. Эйнштейн объявил, что мы живем в четырехмерном мире и четырех координатах (х, у, z, t), где t обозначает время.
Ныне четырехмерный Эйнштейнов мир воспринимается нами обыденно и как должное.
Более поздняя модель физической реальности основана на «струнах». Согласно этой
теории, знакомые нам субатомные частицы вроде электронов есть проявления малюсеньких вибрирующих струн. Теория струн предполагает замещение четырехмерного
пространственно-временного континуума пространством более высокой мерности.
Из текущих исследований выходит, что пространство, в котором может существовать
струнно-временной континуум струнной теории, должно быть 10-, 11- или 26-мерным,
в зависимости от дальнейших условий рассуждения и различных точек зрения.
Огромный 2000-тонный магнит в ЦЕРНе (Европейском институте ядерных исследований) близ Женевы, Швейцария, предназначенный для разгона и столкновения частиц
на высоких скоростях, вероятно, поможет решить эту задачу. Предполагается, что это
даст нам ключ к устройству материи и попутно, быть может, обозначит лучшую теорию
и «правильный» ответ на вопрос о мерности пространства. Поговаривают, что мы,
кажется, все-таки живем в 11-мерной Вселенной.
Гиперпространство В отличие от высших физических измерений,
математическое пространство никаких проблем с мерностями пространства более трех
1909
1919
1970
Работа Лёйтзена
Э. Я. Брауэра меняет
наше представление
о размерности
Феликс Хаусдорф вводит
понятие дробной
«хаусдорфовой» размерности
Теория струн предполагает,
что наша Вселенная —
10-, 11- или 26-мерная
97
98
не имеет. С начала XIX века математики в своих работах привычно использовали для
этого переменную n.
Мельник из Ноттингэма Джордж Грин, исследовавший математическую сторону
электричества, а также представители чистой математики Огюстен Л. Коши, Артур
Кэли и Герман Грассман осуществляли математические выкладки в терминах
n-мерного гиперпространства. Не было, словом, никакой убедительной причины
ограничивать математику и результаты ее работы в изяществе и ясности.
Суть n измерений — всего лишь добавление скольких угодно дополнительных координат
к трехмерным (х, у, z). Двухмерная окружность описывается уравнением
х 2 + у 2 = 1, сфера в трехмерном пространстве — уравнением х 2 + у 2 + z2 = 1, в таком случае
отчего бы гиперсферу в четырехмерном пространстве не описать так: х 2 + у 2 + z2 + w 2 = 1.
Координаты восьми углов куба в трехмерном виде (х, у, z) равны либо 0, либо 1. У куба
шесть граней, каждая из которых есть квадрат, и 2 × 2 × 2 = 8 углов. А четырехмерный
куб — это как? Координаты его углов будут иметь вид (х, у, z, w), где х, у, z
и w будут равны либо 0, либо 1. Таким образом, получается, что
у четырехмерного куба 2 × 2 × 2 × 2 = 16 возможных углов и 8 граней,
каждая из которых есть куб. Увидеть четырехмерный куб
не получится, но некоторый художественный эскиз прямо на этой
странице изобразить можем. Это проекция четырехмерного куба,
существующая в воображении математика. Кубические грани мы
почти в силах себе представить.
Математическое многомерное пространство — вполне общее место
чистой математики. Никаких заявлений о возможности его реального
существования никто не делает, однако можно предположить его в проЧетырехмерный куб
странстве Платоновых идей. В грандиозной задаче классификации групп (см.
стр. 155), например, «группа-монстр» — способ описания симметрии в 196 833-мерном
пространстве. «Увидеть» это пространство мы не можем — во всяком случае так, как мы
воспринимаем наше обыденное трехмерное, однако его все-таки можно вообразить
и даже оперировать в нем точными методами современной алгебры.
Математику размерность интересует совершенно отдельно от того, какой смысл
в анализ размерностей вкладывают физики. Физические сущности измеряются
в терминах массы М, длины L и времени T. Применяя к ним анализ размерностей,
физик может проверить, имеют ли смысл его уравнения, поскольку по обеим сторонам
равенства размерности должны быть одинаковые.
Чего ж хорошего, когда сила = скорость? Анализ измерений обязывает скорость
выражаться в метрах в секунду, т. е. скорость имеет измерение длины, деленной
на время, т. е. L/T, что можно записать и так: LT – 1.
Сила — это масса, умноженная
на ускорение, а ускорение измеряется
в метрах на секунду в квадрате, итого
сила имеет измерения MLT – 2 .
99
? $ "
Сами люди — многомерные существа. У человека
координат гораздо больше трех. Можно записать
(a, b, c, d, e, f, g, h), таким образом обозначив
возраст, рост, вес, пол, размер обуви, цвет глаз,
цвет волос, национальность и т. д. Вместо
геометрических точек можно подставить людей.
Если ограничиться восьмимерным «пространством» людей, у какого-нибудь Джона могут быть
следующие координаты (43 года, 165 см, 83 кг,
мужской, 9, голубые, светлые, датчанин), а у какой-нибудь Мэри (26 лет, 157 см, 56 кг, женский, 4,
карие, темные, англичанка).
Топология Теория размерности —
часть общей топологии. Другие концепции размерности можно определить
независимо, в терминах абстрактных
математических пространств. Главное —
показать, как они друг с другом взаимосвязаны. Ключевые во многих областях
математики фигуры разбирались со
значением размерности, в том числе:
Анри Лебеск, Л. Э. Я. Брауэр, Карл
Менгер, Павел Урысон и Леопольд
Фиторис (до недавнего времени — старейший австриец, скончавшийся в 2002 году в возрасте 110 лет).
Важнейшая работа в этой области — «Теория размерности». Она была опубликована
в 1948 году Витольдом Гуревичем и Генри Волмэном, но до сих пор остается нашим
оплотом понимания концепции размерности.
Размерность во всех ее проявлениях Со времен древних греков и их
представлений о трех измерениях, концепция размерности была исследована вдоль
и поперек, проанализирована и расширена.
Довольно безболезненно были введены n измерений математического пространства,
тогда как физики основывали свои теории на пространстве-времени (время как
четвертое измерение) и свежей теории струн (см. стр. 97), требующей 10, 11 или 26
измерений. Происходили и некоторые набеги на дробные размерности и фрактальные
фигуры (см. стр. 100), их изучали несколькими разными методами. Гилберт ввел
бесконечномерное пространство — ныне оно является базой для работы в чистой
математике. Размерность — нечто гораздо большее, чем одно-, двух- или трехмерная
евклидова геометрия.
В сухом остатке:
За пределами
третьего измерения
100
>" !
25 Фракталы
В марте 1980 года ультрасовременный суперкомпьютер исследовательского центра «Ай-би-эм» в Йорктаун-Хайтс, штат Нью-Йорк,
выдал инструкции древнему печатному устройству «Тектроникс».
То прилежно расставляло точки на чистом листе бумаги в интересных местах, а когда наконец перестало клацать, результат выглядел так, будто на страницу швырнули горсть пыли. Бенуа Мандельброт не поверил глазам своим. Он явственно понимал, что
наблюдает нечто важное, но вот что? Рисунок медленно прояснялся перед его взором подобно черно-белой фотографии, проступающей на бумаге в фотопроявочной ванне: первый проблеск иконы
фрактального мира — множество Мандельброта.
То была экспериментальная математика в лучшем виде — подход
к предмету, который предполагал наличие у математиков лабораторий,
в точности как у физиков или химиков. И математики могли ставить
эксперименты. Им буквально открывались новые горизонты. Им
представилась возможность сбежать из засушливого края
«определений, теорем, доказательств», хотя позднее все равно
пришлось возвращаться к строгой аргументации.
Слабость экспериментального подхода состояла в том, что визуальные
представления в нем предшествовали теоретическим обоснованиям.
Экспериментаторы двигались без карт. Мандельброт предложил
название «фракталы», но что это такое? Может ли у них возникнуть
точное определение, как это обычно бывает в математике? Поначалу
Мандельброту не хотелось с этим возиться. Он не желал уничтожать
волшебство переживания шлифовкой точного определения, которое
могло оказаться недостаточным и ограничивающим. Он чувствовал,
что понятие фрактала, «как хорошее вино, должно настояться, а уж
потом оказаться в бутылке».
1879
Работы Артура Кэли —
предтеча современных
представлений о фракталах
1904
Нильс фон Кох
строит кривую«снежинку»
>" !
101
Множество Мандельброта
Мандельброт и его коллеги не были слишком уж
заумными математиками. Они игрались с простейшими формулами. Вся их идея
основывалась на итерации — многократном применении одной и той же формулы.
Формула, от которой произошло множество Мандельброта, была незатейливой: х 2 + с.
Первым делом выберем значение с. Пусть будет с = 0,5. Начнем с х = 0, подставим
в формулу х 2 + 0,5. Первый расчет даст в результате 0,5. Подставим этот результат
вместо х, подставим в формулу х 2 + 0,5, получим (0,5)2 + 0,5 = 0,75. Если продолжать
в том же духе, на третьем заходе получим (0,75)2 + 0,5 = 1,0625. Все эти расчеты можно
произвести на ручном калькуляторе, результат при этом будет расти.
Давайте возьмем другое значение с, например с = – 0,5. Как и ранее, начнем с х = 0
и подставим в формулу х 2 – 0,5, получим в ответе – 0,5. Далее получим – 0,25, но на этот
раз результат уравнения не будет расти бесконечно, а после некоторой осцилляции
приблизится к числу – 0,3660...
Таким образом, при с = 0,5 последовательность, начинающаяся с х = 0, устремляется
в бесконечность, а при с = – 0,5, начатая с х = 0, приближается к округленному
значению – 0,3660. Множество Мандельброта состоит из всех этих значений для с, при
которых последовательность, начавшись с х = 0, не удирает в бесконечность.
Однако это еще не все — мы рассмотрели пока лишь одномерные
действительные числа: одномерное множество
Мандельброта не слишком зрелищно. Следует
рассмотреть ту же формулу, z 2 + c, в которой z
и c — двухмерные комплексные числа (см. стр. 32).
В результате получим двухмерное множество
Мандельброта.
При некоторых значениях с последовательность
чисел z творит всякие удивительные вещи — например, пляшет между несколькими точками,
но не утекает в бесконечность. Множество
Мандельброта указывает нам на ключевое
свойство фракталов — самоподобие. Увеличивая
фрагмент множества, вы никогда не будете уверены, насколько сильно это увеличение, — вам будут
открываться все новые множества Мандельброта.
1918
1919
Феликс Хаусдорф вводит
понятие дробной размерности
Гастон М. Жюлиа
Бенуа Мандельброт
и Пьер Ж. Л. Фату исследуют
вводит термин «фрактал»
фрактальные структуры
на плоскости комплексных чисел
1975
Множество
Мандельброта
102
>" !
До Мандельброта
Как и многое другое в математике, открытия редко бывают
совсем уж новыми. Изучив историю своей дисциплины, Мандельброт обнаружил, что
у математиков Анри Пуанкаре и Артура Кэли уже возникали похожие идеи за сто лет
до него. К сожалению, им для углубленного исследования недоставало
вычислительных мощностей.
Среди фигур, открытых первыми теоретиками самоподобных структур, были разные
кудрявые кривые и Пеановы закорючки, от которых отмахнулись, сочтя патологическими примерами кривых, — причем патологическими настолько, что математикам
показалось необходимым запереть их в шкафу и не обращать внимания. Ученые
желали найти что-нибудьпонормальнее, «поглаже» — т. е. кривые, с которыми можно
было бы обращаться методами дифференциального анализа. Популярность фракталов
возродила работы других математиков — Гастона Жюлиа и Пьера Фату,
работавших с фракталоподобными структурами в плоскости комплексных
чисел сразу после Первой мировой войны. Их кривые фракталами
не назывались, конечно, да и оборудования для того, чтобы
посмотреть на эти фигуры, у них не было.
Звено
кривой
Коха
Другие прославленные фракталы Знаменитая кривая
Коха названа в честь шведского математика Нильса Фабиана Хельге фон Коха. Кривая
в форме снежинки — фактически первая фрактальная кривая. Она получается при
обращении с одной из сторон треугольника как с единичным звеном, которое делится
на три равные части, и к серединной части пристраивается новый треугольник.
Любопытное свойство кривой Коха состоит в том, что это конечная
область, поскольку остается в пределах некоторого круга, однако
на каждой стадии приращения длина этой кривой увеличивается.
Таким образом, получается кривая, ограничивающая конечную
площадь, но при этом сама она имеет «бесконечную» длину!
Еще один известный фрактал назван в честь польского математика Вацлава Серпиньского. Он получается вычленением
Снежинка
Коха
Салфетка Серпиньского
>" !
треугольников из равностороннего треугольника; продолжая в том же духе, получим
салфетку Серпинского (она генерируется и в другом математическом процессе, стр. 54).
Дробные размерности Свежий взгляд на размерность пространства предложил немецкий математик Феликс Хаусдорф. Его представление связано с показателем
степени. Если увеличить длину отрезка втрое, отрезок становится в три раза больше
исходного. Поскольку 3 = 31, размерность линии считается равной 1. Если замкнутый
квадрат увеличить втрое, его площадь против исходной увеличится в 9 раз, т. е. 32,
а значит, размерность получается 2. Если куб увеличить аналогично, его объем
возрастет в 27 раз (33) — размерность 3. Значения Хаусдорфовых размерностей
совпадают с нашими ожиданиями для прямой, квадрата или куба.
Если элементарное звено кривой Коха масштабировать втрое, оно становится в 4 раза
длиннее исходного. Применим хаусдорфову размерность D к приведенной схеме: 4 = 3D.
Вычислим D:
log4
D=
log3
что означает размерность для кривой Коха приблизительно 1,262. С фракталами часто
выходит такая штука: хаусдорфова размерность для них больше обыкновенной — для
кривой Коха это 1.
Хаусдорфова размерность наполнила дополнительным смыслом Мандельбротово
определение фрактала: это множество точек, для которого значение D — не целочисленное. Дробная размерность стала ключевым свойством фракталов.
Практические приложения фракталов
Потенциал применимости
фракталов широк. Фракталы — хороший математический способ моделирования
природных процессов, например роста растений или образования облаков.
Фракталы уже применяют к описанию роста морских организмов — кораллов и губок.
Разрастание современных городов, оказалось, тоже похоже на фрактальное.
В медицине при помощи фракталов моделируют деятельность мозга. Есть
и исследования фрактальности движений ценных бумаг на международных фондовых
биржах. Работа Мандельброта открыла много нового, но немало открытий еще
предстоит сделать.
В сухом остатке:
Фигуры с дробными
размерностями
103
104
26 Хаос
Какая у хаоса вообще может быть теория? Хаос — это же
как раз отсутствие всякой теории, верно? Наша история
началась в 1812 году. Наполеон двигался на Москву, а его
соотечественник, маркиз Пьер-Симон де Лаплас, опубликовал
сочинение о детерминированной Вселенной: если бы нам
стали известны все расположения и скорости всех объектов
во Вселенной, а также все силы, воздействующие на них
в заданный момент времени, можно было бы точно рассчитать
все эти значения на все дальнейшее время. Вселенная и все ее
объекты оказались бы полностью определены. Теория хаоса
показывает, что мир затейливее этого предположения.
В реальном мире мы не можем точно знать все положения, скорости
и силы, однако естественным следствием Лапласова предположения
выглядело, что, знай мы приблизительные значения всех этих
показателей в тот или иной момент времени, Вселенная не отличалась бы от той, что мы знаем. В этом был здравый смысл: ясно же, что
бегуны, стартовавшие через одну десятую секунды после выстрела,
сорвут финишную ленту всего на одну десятую секунду позже своего
обычного времени на дистанции забега. Тогда верили, что небольшие
изменения начальных условий мало меняют и результат. Теория хаоса
не оставила от этих представлений камня на камне.
Эффект бабочки Небольшое изменение исходных условий
некоторого явления может привести к результатам, сильно отличающимся от ожидаемых, — в этом состоит эффект бабочки. Допустим,
в Европе прогнозируют погожий день, а где-нибудь в Южной Америке
бабочка взмахнет крыльями, и на другом конце мира может начаться
буря: от одного взмаха может слегка измениться атмосферное давление
и погода поведет себя в полном несоответствии с прогнозами.
1812
Пьер-Симон де Лаплас публикует
эссе о детерминированнности
Вселенной
1889
Анри Пуанкаре сталкивается с хаосом
при работе над задачей о трех
телах, за которую получит премию
шведского короля Оскара
105
Эту мысль можно проиллюстрировать простым механическим
экспериментом. Если запустить металлический шарик на пинбольное поле, он покатится вниз по траектории, изменяемой
штырьками, на которые будет налетать по ходу движения, покуда
не окажется в лотке в нижней части ящика.
Можно попробовать запустить следующий шарик, идентичный
первому, с той же точки и с той же скоростью. Если реально было
бы проделать это в точности так же, маркиз де Лаплас оказался
бы прав и траектория шарика была бы той же, что и в первом
случае. Если первый шарик попал в третий лоток справа, и второй окажется там же.
Но, ясное дело, не получится ввести шарик из точно того же
Эксперимент
с пинбольными
положения и в точности с той же скоростью и силой, что и первый. В реальношариками
сти окажется, что хоть какая-нибудь разница да возникнет — вы ее даже не сможете
измерить, и в результате у шарика может получиться совершенно иной маршрут,
и окажется он в другом лотке.
Простой маятник Свободный маятник — одна из простейших для анализа
механических систем. Качаясь из стороны в сторону, маятник постепенно теряет
энергию. Смещение от вертикали и (угловая) скорость груза уменьшаются, пока
маятник не остановится окончательно.
Движение груза можно описать при помощи фазовой диаграммы. По горизонтальной
оси измеряется (угловое) смещение, а по вертикальной — скорость. Точка А, где
маятник отпускают, находится в положительной части горизонтальной оси, и в ней
смещение груза максимально, а скорость равна нулю. Груз движется
и проходит через вертикальную ось (смещение равно нулю), где
скорость его максимальна; отметим эту точку на диаграмме как В.
В точке С груз оказывается на противоположном конце хода, смещение
его отрицательно, а скорость равна нулю. Затем груз возвращается
через точку D (двигаясь в противоположном направлении, стало быть,
скорость его отрицательна) и завершает цикл колебаний в точке Е.
C
На фазовой диаграмме этот цикл описывается оборотом в 360°, но поA
B
скольку колебания угасают, точка Е показана левее точки А. Если
D
E
маятник продолжит качаться спокойнее, фазовый портрет его движеСвободный маятник
ния спиралью упрется в начало координат. Маятник остановится.
1961
1971
2004
Эдвард Лоренц наблюдает
эффект бабочки
Роберт Мей исследует хаос
в модели численности населения
Теория хаоса внедряется
в поп-культуру: на экраны выходит
фильм «Эффект бабочки»
106
"
B
C
Фазовая
диаграмма
для простого
маятника
D
Все иначе у двойного маятника: груз в нем прикреплен к последовательно
соединенным звеньям. Если смещение невелико, движение двойного
маятника похоже на движение простого, однако, если смещение
большое, груз раскачивается, вращается и болтается так
Y и эдак, а смещение от средней точки — будто бы случайное.
Если движение происходит без воздействия внешней силы,
E
A
груз в конце концов придет к покою, но кривая, описывающая
его движение, совсем не такая смирная, как спираль простого маятника.
Хаотическое движение Характеристика хаоса состоит в том, что
детерминированная система может вести себя случайным образом.
Рассмотрим еще один пример — повторяющуюся, или итерационную,
формулу a × p × (1 – p), где р — население, измеряемое в виде пропорции
в пределах от 0 до 1. Значение а должно быть между 0 и 4, чтобы
соблюсти диапазон значений р от 0 до 1.
Смоделируем изменение численности населения при а = 2. Возьмем
начальное значение р, допустим, 0,3 (в момент времени 0), тогда в момент
Движение
времени = 1 получаем, подставив р = 0,3 в a × p × (1 – p), 0,42. При помощи
двойного
бытового
калькулятора повторим эту операцию с р = 0,42 и получим 0,4872.
маятника
Продолжая по этой схеме, получим значения численности населения в разные
моменты времени. При заданных условиях эта численность довольно скоро установится на р = 0,5. Такая стабилизация происходит всегда при значениях а меньше 3.
Возьмем теперь а = 3,9, значение, близкое к максимально допустимому, а за начальную
точку примем то же значение р = 0,3. В этом случае стабилизации не происходит — значения колеблются в широком диапазоне. Это оттого, что значение а оказывается в «хаотической области» — это диапазон значений
Изменение численности
населения при а = 3,9
а больше 3,57. Более того, если выбрать
другое начальное значение численности
населения — к примеру, р = 0,29 (близкое
к 0,3) — рост численности поначалу очень
похож на предыдущий, но вскоре становится
полностью от него отличен. Такое поведение
этих графиков отметил Эдвард Лоренц
в 1961 году.
0
1
Предсказание погоды Всем нам
известно, что даже с самыми мощными
компьютерами невозможно предсказать
$ = погоду дольше чем на несколько дней
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
вперед. Через пару-тройку дней погода
может устроить нам гадкие сюрпризы.
А все оттого, что уравнения, описывающие погоду, — нелинейные, в них участвуют перемноженные переменные, а не
входящие в уравнение по отдельности.
Математическая теория, стоящая за прогнозом погоды, была разработана независимо французским инженером Клодом
Навье в 1821 году и британским физикомматематиком Джорджем Г. Стоксом
в 1845-м. Полученные «уравнения Навье—
Стокса» вызвали активный интерес
ученых. Кембриджский Математический
институт Клея (Массачусеттс) объявил
награду в миллион долларов тому, кто
добьется заметных результатов в разгадке
тайн этих уравнений. Они успешно
применяются к гидродинамике верхних
слоев атмосферы. Но движение воздуха
вблизи поверхности Земли турбулентно
и приводит к хаосу, чье поведение нам
почти неведомо.
107
% " "
Открытие эффекта бабочки в 1961 году произошло случайно. Метеоролог Эдвард Лоренц из
Массачусеттского технологического института
ушел выпить кофе и оставил свой допотопный
компьютер заниматься порученными ему графиками, а когда вернулся, обнаружил нечто неожиданное. Ученый собирался построить кое-какие интересные погодные кривые, а результат оказался
совершенно не узнаваем. Странное дело: Лоренц
ввел те же исходные значения и ожидал идентичной картинки на выходе. Может, пришла пора
избавиться от старого компьютера и обзавестись
чем-нибудь понадежнее? Обдумав полученный результат, Лоренц тем не менее обнаружил разницу
в исходных данных: прежде он вводил все цифры
с точностью до шестого знака после запятой, а тут
вдруг поленился и ввел лишь по три. Возникшее
расхождение в результатах он и назвал «эффектом
бабочки». После этого открытия его интеллектуальные интересы сместились в математическое поле.
Теория систем линейных уравнений
изучена очень хорошо, а вот уравнения Навье—Стокса содержат нелинейные члены,
что делает сами уравнения нерешаемыми. Практически единственный способ решать
такие уравнения — численный, т. е. применением мощных компьютеров.
Странные аттракторы Есть представление, что фазовые диаграммы динамических систем содержат «аттракторы». В случае простого маятника аттрактор — единственная точка в начале координат, к которой устремляется движение груза. С двойным
маятником все сложнее, но и в его случае фазовый рисунок покажет некоторую упорядоченность: груз будет тяготеть к нескольким точкам на фазовой диаграмме. Для таких
систем множество точек может образовывать фрактал (см. стр. 100), называемый
«странным» аттрактором, с отчетливой математической структурой. Так что не все
потеряно. В новой теории хаос не такой уж хаотический — скорее, «упорядоченный».
В сухом остатке:
Буйство порядка
108
"
27 Аксиома
параллельности
Эта захватывающая история начинается с простого геометрического сценария. Вообразим линию l и точку Р, не лежащую
на этой линии. Сколько линий можно провести через точку Р
так, чтобы они были параллельны линии l? Вроде бы само
собой, что таких линий всего одна — такая, что никогда
не пересечется с линией l, сколько бы мы ее ни длили. Это кажется очевидным и в полном согласии со здравым смыслом.
Евклид Александрийский включил
P
версию этой очевидной идеи как один
из постулатов в главную книгу всей
l геометрии — в «Начала».
Здравый смысл — поводырь не всегда надежный. Давайте убедимся, что
Евклидово заключение имеет и математический смысл.
* Пародийное
стихотворение
Артура Клемента
Хилтона (1851–1877),
написанное в тот
же год (1871), что
и «Приключения
Алисы в Стране
чудес» и сходного
стихотворения «Морж
и Плотник» математика
Ч. Л. Доджсона
(Льюиса Кэрролла).
Евклидовы «Начала» Евклидова геометрия — 13 книг «Начал»,
написанных в 300-х годах до н. э. Это один из самых влиятельных математических трудов; античные математики считали его первой систематизацией геометрии. Позднее ученые изучали и переводили эти труды
с доживших до наших дней манускриптов, их передавали из поколения
в поколение и всегда считали эталоном геометрического знания.
«Начала» добрались до школьной программы — «священная книга»
стала методикой преподавания геометрии. Правда, самым младшим
школьникам она оказалась не по зубам. Как сострил поэт А. К. Хилтон
в пародийной поэме «Стервятник и Землепашец»*, «хоть и зубрили
на зубок, а чертят черт-те что». Можно возразить, что Евклид писал
не мальчикам, но мужам.
%" 300 . .
1829–1831
Евклид включает постулат
параллельности в «Начала»
Николай Иванович Лобачевский
и Янош Бойяи публикуют труды
о гиперболической геометрии
"
В программах английских школ Евклидовы работы пережили пик влиятельности еще в XIX веке, однако и в наше
время они остаются для математиков
краеугольным камнем.
Самое замечательное в «Началах» — их
стиль, а главное достижение — представление геометрии как последовательности
доказываемых суждений. Шерлок Холмс
наверняка восхищался бы дедуктивным
методом Евклида — логическим продвижением от ясно сформулированных
аксиом — и мог бы честить доктора
Уотсона за неспособность видеть в этом
«холодную безэмоциональную систему».
109
' ! $"
Одна из особенностей математики состоит в том,
что мало из каких допущений вырастают развитые
теории. Евклидовы постулаты — отличный пример
и конструкт, послуживший образцом для дальнейших аксиоматических систем. Вот эти пять
постулатов:
1. Прямая линия может быть проведена от любой
точки к любой точке.
2. Конечная прямая линия может быть продолжена как прямая сколь угодно долго.
3. Можно построить круг с любым центром
и любым радиусом.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая линия, пересекающая две другие
прямые линии, дает внутренние углы по одну
сторону, меньшие суммы двух прямых углов, то
две прямые линии, продолженные до бесконечности, пересекутся с той стороны, где сумма
двух углов меньше, чем два прямых.
Хоть здание евклидовой геометрии
и зиждется на постулатах (которые ныне
называются аксиомами, см. врезку
справа), их было не достаточно. Евклид
добавил «определения» и «общие
понятия». Определения включают в себя
формулировки типа «точка есть то, часть
чего есть ничто» и «линия есть длина без ширины». Примеры общих понятий: «целое
больше части», «вещи, равные другой вещи, равны между собой». Лишь к концу
XIX века выяснилось, что Евклидовы допущения неочевидны.
Пятый постулат
Именно пятый постулат Евклида вызвал полемику 2000 лет
спустя после появления «Начал». Даже сам стиль его выглядит
чужеродно — слишком уж многословен и неуклюж. Евклид и сам
не радовался этой формулировке, но ему необходимо было
доказывать суждения, а поэтому потребовался пятый постулат.
Он попытался доказать его с помощью других постулатов, но ему
это не удалось.
Позднее математики пытались то доказать его, то заменить
на что-нибудь попроще. В 1795 году Джон Плейфэр предложил
1854
1872
1915
Георг Ф. Б. Риман читает
лекции по основам геометрии
Феликс Клейн унифицирует
геометрию через теорию групп
Общая теория относительности
Эйнштейна базируется
на римановой геометрии
110
"
формулировку, обретшую популярность: для линии l и точки Р, не лежащей на линии
l, есть единственная прямая, проходящая через Р и параллельная l. Примерно тогда же
Адриен Мари Лежандр предложил еще одну версию — он доказал существование
треугольника, сумма углов которого равна 180°.
Эти новые формулировки пятого постулата попытались как-то облегчить громоздкость исходной. Они оказались более приемлемыми, нежели неуклюжая версия
Евклида.
С другой стороны, шла борьба за призрачное доказательство пятого постулата. Цель
была невероятно притягательна: если бы удалось найти доказательство, постулат
превратился бы в теорему и убрался с передовой. К сожалению, попытки довести дело
до конца оказались блистательным примером порочного круга доказательства, т. е.
аргументации, которая отталкивается в точности от того, что пытается доказать.
Неевклидова геометрия Прорыв удалось осуществить Карлу Фридриху
Гауссу, Яношу Бойяи и Николаю Ивановичу Лобачевскому. Гаусс свою работу не опубликовал, но, похоже, выводы сделал еще в 1817 году. Бойяи издал свой труд в 1831-м,
а Лобачевский, независимо от Гаусса и Бойяи, — в 1829-м, в результате чего между
двумя последними возник диспут о первенстве открытия. Никаких сомнений гений
этих троих не вызывает. Они доказали, что пятый постулат независим от первых
четырех. Добавление к четырем первым постулатам отрицания, сформулированного
в пятом, создавало возможность существования непротиворечивой системы.
l
Бойяи и Лобачевский построили новую геометрию, допустив, что линий, проходящих
через точку Р и не пересекающихся с l, может быть более одной. Ясное дело, линии,
показанные пунктиром, пересекают l. Разделив эту убежденность, мы невольно
присоединяемся к воззрениям Евклида. Чертеж — всего лишь
уловка, а Бойяи и Лобачевский предложили новый вид геометрии,
не подпадающий под Евклидов здравый смысл. По сути, их неевклидову геометрию можно представлять как геометрию на искривленной плоскости, которую еще называют псевдосферой.
Кратчайшее расстояние между двумя точками на псевдосфере
играют ту же роль, что и прямые в евклидовой геометрии.
Любопытное свойство неевклидовой геометрии заключается в том,
что сумма всех углов в треугольнике меньше 180°. Такую геометрию
называют гиперболической.
Другая альтернатива пятому постулату гласит, что любая линия, проходящая через Р, пересекается с l. Иными словами, через Р не проходит ни
одной линии, «параллельной» l. Геометрия эта отличается от геометрии
Бойяи и Лобачевского, но тем не менее это самая настоящая геометрия.
"
Одна из моделей — геометрия на поверхности сферы. В пределах этой геометрии
большие круги (равные по длине самой сфере) играют роль прямых линий евклидовой
геометрии. В этой разновидности неевклидовой геометрии сумма всех углов в треугольнике больше 180°. Такая геометрия называется эллиптической геометрией;
ее связывают с именем немецкого математика Г. Ф. Б. Римана, занимавшегося ею
в 1850-х годах.
Геометрию Евклида, считавшуюся единственно возможной — по словам Иммануила
Канта, «вшитую в человека», — сбросили с пьедестала. Втиснутая между гиперболической и эллиптической, она стала одной из многих. Прочие версии геометрии объединили в 1872 году под общим зонтиком Феликса Клейна. Пришествие неевклидовой
геометрии потрясло математику и проложило путь геометрии общей теории относительности Эйнштейна (см. стр. 192). Именно общая теория относительности требует
новой геометрии — геометрии искривленного пространства-времени, или римановой.
Теперь уже неевклидова геометрия, а не закон всемирного тяготения Ньютона объясняла, почему предметы падают на землю. Присутствие в пространстве таких массивных объектов, как Земля или Солнце, искривляет пространство-время. Стеклянный
шарик на тонкой резиновой ткани лишь слегка ее промнет, а вы попробуйте положить
на нее шар для боулинга — ее растянет будь здоров как.
Эта кривизна, измеренная в терминах римановой геометрии, предсказывает, как
световые лучи искривляются в присутствии массивных пространственных объектов.
Обычного евклидова пространства, в котором время — независимый компонент,
недостаточно для общей теории относительности. Как минимум потому, что евклидово пространство плоское, в нем нет искривлений. Представьте лист бумаги, лежащий
на столе, — можно с уверенностью сказать, что в любой точке этого листа искривление
равно нулю. В основе риманова пространства-времени — концепция кривизны, которая
еще и постоянно меняется: так кривизна смятой ткани варьирует от точки к точке.
Все равно что смотреть в изогнутое кривое зеркало на ярмарке: отражение зависит
от того, из какой точки в это зеркало заглянуть.
Неудивительно, что Гаусса в 1850-х так впечатлил юный Риман: он даже предположил,
что Риман рано или поздно совершит переворот в «метафизике» пространства.
В сухом остатке:
А что, если
параллельные прямые
все-таки пересекаются?
111
112
" = =
28 Дискретная
геометрия
Геометрия — одно из старейших ремесел; это слово буквально
означает измерение (метрия) земли (гео). Обычная геометрия
изучает непрерывные линии и замкнутые фигуры — и те
и другие можно считать совокупностью точек, расположенных
«рядом» друг с другом. Дискретная математика имеет дело
с целыми числами — в противоположность непрерывному
ряду действительных чисел. Дискретная геометрия оперирует
с конечным числом точек и линий или решетками точек:
непрерывное заменяется на отдельно взятое.
Решетка или сетка — характерное множество точек, чьи координаты —
целые числа. Такая геометрия формулирует интересные задачи
и практически применима к таким разным областям жизни, как теория
кодирования или разработка научных экспериментов.
Возьмем, к примеру, маяк, испускающий луч света. Предположим, луч
света начинается в точке О и пролегает между вертикальной
и горизонтальной осями. Можно задаться вопросом, какие лучи
освещают какие узлы решетки (допустим, это лодки, стоящие
в бухте на якоре в некотором довольно строгом порядке).
C
y
B
A
0
x
Точки решетки в осях х—у
Уравнение, описывающее этот луч, исходящий из начала
координат, y = mx. Это уравнение прямой, проходящей через
начало координат, с градиентом m. Если, предположим, луч
описывается уравнением y = 2x, он пройдет через точку с координатами х = 1 и y = 2, поскольку эти значения удовлетворяют
уравнению. Если луч проходит через точку решетки
с координатами x = a и y = b, градиент m — дробь b/a. Как следствие,
1639
Блез Паскаль в свои 16 лет
формулирует теорему,
получившую его имя
1806
Шарль Жюльен Брианшон
формулирует теорему
в пару к Паскалевой
" = =
если m — не настоящая дробь (если она вдруг окажется равной √2,
например), луч не пройдет ни через одну точку решетки.
113
y
Луч y = 2x проходит через точку А с координатами х = 1 и y = 2,
а вот до точки В с координатами х = 2 и y = 4 и до всех остальных
«позади» А (например, С с координатами х = 3 и y = 6 или D
с координатами х = 4 и y = 8) уже не доберется — они будут
«в тени». Представить, что смотрим из точки начала отсчета
и можем определить, какие точки нам видны, а какие скрыты.
Можно показать, что точки, видимые нам, имеют координаты
х = a и y = b, которые являются взаимно простыми числами. Это
точки с координатами типа х = 2 и y = 3, т. е., кроме 1, у них нет
общих делителей. Точки позади этих имеют кратные координаты, например, х = 4 и y = 6 или х = 6 и y = 9 и т. д.
x
Точки P, «видимые» из начала
координат, и затененные (×).
Теорема Пика У австрийского математика Георга Пика — две заявки на славу.
Во-первых, он был близким другом Альберта Эйнштейна и в 1911 году помог юному ученому устроиться в Немецкий университет в Праге. А во-вторых, написал небольшую статью
по «сетчатой» геометрии, изданную в 1899 году. Из всей работы его жизни, из трудов в широком диапазоне тем он памятен очаровательной теоремой Пика — о, какая это теорема!
Теорема Пика позволяет рассчитывать площадь внутри
многосторонней (или многоугольной) фигуры, образованной
соединенными точками, чьи координаты — целые числа. Это
математика пинбола.
Чтобы вычислить эту площадь, нам нужно посчитать количество
точек O на границе фигуры и число внутренних точек P. В нашем
примере число точек на границе b = 22, а внутренних с = 7. Это
все, что нам нужно для работы с теоремой Пика:
площадь = b/2 + c – 1.
Из этой формулы получаем, что площадь = 22/2 + c – 1 = 17 квадратных единиц. Вот так просто. Теорема Пика применима к любой
фигуре, составленной из отдельных точек с координатами в виде
целых чисел. Единственное условие: фигура не должна пересекать саму себя.
Многосторонняя
(многоугольная) фигура
1846
1892
1899
Томас П. Киркман (Кёркмен)
предвосхищает создание
системы Штейнера
Джино Фано конструирует
плоскость, названную позднее
в его честь, — как простейший
пример проективной геометрии
Георг Пик обнародует свою теорему
о площади многоугольников
114
" = =
Плоскость Фано
C
D
A
E
Геометрия Фано на плоскости была открыта
почти одновременно с теоремой Пика, но ни с какими измерениями
не связана. Плоскость, названная в честь итальянского математика
Джино Фано, первоисследователя конечной геометрии, — простейший
пример «проективной» геометрии. Эта плоскость состоит всего из семи
точек и семи линий.
G
Семь точек названы А, В, С, D, Е, F и G. Шесть линий видно сразу, а где же
седьмая? Свойства этой геометрии и особенностей построения диаграммы обязывают нас отнестись к DFG как к седьмой линии: это круг,
проходящий через точки D, F и G. Проблем здесь нет никаких, поскольку в дискретной
геометрии линии не обязаны быть «прямыми» в привычном смысле слова.
F
B
Плоскость Фано
У этой маленькой геометрии много свойств, например:
— каждая пара точек определяет линию, проходящую через обе точки пары,
— каждая пара линий определяет точку, лежащую на обеих.
Эти два свойства иллюстрируют замечательную двойственность, проявляющуюся
в таких геометриях. Второе свойство есть первое, только слова «точка» и «линия»
поменялись местами; верно и обратное: первое свойство есть второе с аналогичной
переменой мест.
Если в любом истинном утверждении поменять местами два слова и слегка подогнать
фразу половчее, у нас тоже получится истинное утверждение. Проективная геометрия
очень симметрична. Евклидова не такова. В ней есть параллельные прямые — пара
никогда не пересекающихся прямых. В пределах евклидовой геометрии мы можем
запросто говорить о параллельности. В проективной геометрии это не пройдет: здесь
любая пара прямых непременно пересекается. Для математиков это означает, что
евклидова геометрия — рангом ниже.
Если с плоскости Фано убрать одну линию и все ее точки, мы вновь окажемся в несимметричном пространстве евклидовой геометрии с параллельными прямыми. Представим,
что мы убрали и «круговую» линию DFG, и получим евклидов рисунок.
C
Стало на одну линию меньше — т. е. шесть: АВ, АС, АЕ, ВС, ВЕ и СЕ. Теперь
есть пары «параллельных» линий, а именно АВ и СЕ, АС и ВЕ, ВС и АЕ.
Линии эти параллельны в том смысле, что у них нет точек пересечения.
E
A
Плоскость Фано,
превращенная
в евклидову
B
Плоскость Фано занимает культовое место в математике — из-за своих
связей с большим количеством других концепций и практических
приложений.
Это один из ключей к задаче Томаса Киркмана о школьницах
(см. стр. 167). В теории разработки экспериментов плоскость Фано
" = =
проявляется замаскированно — в виде системы Якоба Штейнера (Штайнера).
Если дано конечное число n объектов, система Штейнера позволяет разделить
их на множества по три так, что любая пара из этих n объектов окажется лишь
в одном блоке. В случае 7 объектов А, В, С, D, Е, F и G блоки в системе
Штейнера соответствуют линиям плоскости Фано.
Пара теорем
Теорема Паскаля и теорема Брианшона находятся
на границе непрерывной и дискретной геометрий. Они разные,
но взаимосвязаны. Первая была сформулирована Блезом Паскалем в 1639 году,
когда ему было всего 16 лет. Возьмем растянутый круг, называемый эллипсом
(см. стр. 89), и отметим на нем шесть точек — А1, В1, С 1 и А2, В 2, С 2 .
B1
A1
Назовем Р точку пересечения А1В 2 и А2В1; Q — точку пересечения
А1С 2 и А2С 1; R — точку пересечения В1С 2 и В 2С 1. Теорема гласит,
что точки P, Q и R лежат на одной прямой.
Q
P
Теорема Паскаля выполняется независимо от положения
точек на эллипсе. На самом деле, вместо эллипса можно взять
вообще любое коническое сечение — гиперболу, окружность,
A2
параболу или даже пару прямых (в этом случае получающаяся
конфигурация называется «колыбелью для кошки»), а теорема
B1
по-прежнему будет верна.
А
B
C
D
E
F
G
115
F
G
F
B
C
D
E
C1
R
C1
Теорема
Паскаля
Свою теорему французский математик и химик Шарль Жюльен Брианшон открыл
существенно позже. Изобразим шесть касательных к эллипсу и назовем их a1, b1, c 1 и a 2,
b 2, c 2 . Далее определим три диагонали — линии p, q, r — следующим образом: p — линия
между точками, в которых стыкуются a1 с b 2 и a 2 с b1; q — линия между
C2
точками, в которых стыкуются a1 с c 2 и a 2 с c 1; r — линия между
точками, в которых стыкуются b1 с c 2 и b 2 с c 1. Теорема Брианшона a
1
q
утверждает, что такие линии p, q и r пересекаются в одной
точке.
Эти две теоремы дополняют друг друга — вот нам еще один
пример парности теорем проективной геометрии.
B
C
D
E
F
G
A
b1
p
a2
b2
C
1 Теорема
Брианшона
В сухом остатке:
Отдельные
достопримечательные точки
116
>!
29 Графы
В математике есть два типа графов. В школе мы чертим кривые,
отражающие отношения между переменными x и y. Позднее
появляется вид кривых поновее — это точки, соединенные
извилистыми линиями.
Кенигсберг — город в Восточной Пруссии, знаменитый семью мостами
над рекой Прегель. Этот город — родина блистательного философа
Иммануила Канта, однако мосты его связаны со знаменитым
математиком Леонардом Эйлером.
A
C
I
B
A
I
В XVIII веке возник любопытный вопрос: можно ли обойти
весь Кенигсберг, прошагав по каждому мосту лишь однажды?
Прогулка, положим, не обязана закончиться в той же точке,
где мы ее начали, важно лишь, что по каждому мосту мы
проходим один раз.
В 1735 году Эйлер предложил решение этой задачи
Российской академии наук, и теперь уже ясно, что оно
положило начало теории графов. На нашем полуабстрактном
рисунке остров посреди реки обозначен буквой I, а берега реки —
буквами А, В и С. Сможете спланировать воскресный променад так,
чтобы вам пришлось переходить реку по каждому мосту лишь один раз?
Берите карандаш и пробуйте. Ключевой шаг — отбросить
полуабстрактность и погрузиться в полную абстрактность. Произведя
это мысленное усилие, получим систему точек и линий. Земля
представлена «точками», а мосты, их соединяющие, — «линиями». Нам
все равно, что линии не прямые или различаются по длине. Это все
не важно. Важны лишь связи между ними.
Эйлер заметил, что именно способствует успеху такой прогулки.
Если не считать начало и конец маршрута, когда мы всякий раз
переходим тот или иной мост и оказываемся на берегу, необходимо
покинуть этот берег по ранее нехоженому мосту.
C
B
1735
1874
Эйлер решает задачу
о мостах в Кенигсберге
Карл Шорлеммер
находит связь
между химией
и «деревьями»
>!
117
Переведя эту мысль в абстрактный рисунок, можем сказать, что линии, пересекающиеся в той или иной точке, должны быть парными. Помимо двух точек,
символизирующих начало и конец маршрута, мост можно перейти только в том случае,
если в каждой точке сходится четное количество линий.
Число линий, встречающихся в одной точке, называется «степенью» этой точки
(вершины).
= 5
Теорема Эйлера гласит:
A
Мосты города можно перейти в точности по одному разу,
если три и более точек имеют четную степень.
Глядя на граф, описывающий Кенигсберг, мы видим, что каждая точка
I
имеет нечетную степень. Это означает, что в этом городе обойти все
мосты всего лишь по разу не получится. Если изменить систему мостов,
вероятно, такая прогулка и станет возможной. Если построить еще
один мост между островом I и С, степени I и С станут четными. Это
B
означает, что мы могли бы начать прогулку в точке А и завершить ее
в В, пройдя по каждому мосту единожды. А если построить еще один мост — между А и
В (см. справа), — гулять можно откуда угодно и даже вернуться в то же место, потому
что в этом случае у всех точек будет четная степень.
Лемма о рукопожатиях
Если бы нас попросили изобразить граф, в котором
содержатся 3 вершины нечетных степеней, нам бы пришлось туго. Попробуйте сами.
Эту задачу решить нельзя, потому что:
В любом графе число вершин нечетной степени должно быть четным.
Это так называемая лемма о рукопожатиях — первая в теории графов. В любом графе
у каждой линии должны быть начало и конец, иными словами — для рукопожатия
нужны двое.
Если в графе увеличивать каждой вершине степень, нам нужно четное число вершин,
скажем, N. Дальше предположим, что у нас х вершин нечетной степени и у вершин —
четной. Сложив все степени всех нечетных вершин, получим Nx, а сложив степени всех
1930
1935
1999
Казимир Куратовский
доказывает теорему
о планарных графах
>!
четных вершин, получим Ny, которое будет четным. Таким образом, Nx + Ny = N,
а значит, Nx = N – Ny. Из этого следует, что Nx — четное. Но само х не может быть
нечетным, поскольку сумма двух нечетных чисел — четная. Следовательно, х обязано
быть четным.
Непланарные графы Задача о коммунальном обслуживании стара как мир.
Вообразим три дома и три коммунальные потребности — в газе, электричестве и воде.
Нам нужно обеспечить каждый дом всеми тремя удобствами, но есть одна загвоздка:
коммуникации не должны пересекаться.
Оказывается, это нереализуемо — но можете поэкспериментировать на своих ни о чем не подозревающих
3
2
друзьях. Граф, описываемый соединением одних трех
1
точек с другими тремя всеми возможными способами
(всего девятью линиями), не может быть изображен
на плоскости без пересечения линий. Такой граф называется непланарным. Граф коммунальных услуг и домов —
равно как и граф, состоящий из всех возможных линий,
соединяющих пять вершин, — занимает особое место
W
E
G
в теории графов. В 1930 году польский математик
Казимир Куратовский доказал поразительную теорему:
граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит графы из
трех и пяти вершин в качестве подграфов — меньших графов, включенных в основной, больший.
Деревья
«Дерево» — особый вид графа, сильно отличающийся от графа «удобств»
или от кенигсбергского. В задаче о кенигсбергских мостах была возможность начать
в одной точке и вернуться к ней другим маршрутом. Такой маршрут из точки и обратно
сам по себе называется циклом. Дерево — связный граф без циклов.
V
>!
Знакомый пример графа-дерева — организация папок в компьютере. Они выстроены
иерархически, с корневой директорией и расходящимися поддиректориями.
Поскольку цикла в таком графе нет, перейти с одной ветки на другую можно, лишь
вернувшись в корневую директорию — маневр, знакомый любому пользователю
компьютера.
Считаем деревья Сколько разных деревьев можно соорудить из заданного
количества точек? Задача о подсчете деревьев была решена в XIX веке английским
математиком Артуром Кэли. Например, существует в точности три разных дерева,
состоящих из пяти точек:
Кэли смог посчитать число разных деревьев для небольшого количества точек. Ему
удалось разобраться с деревьями, в которых до 14 точек, после чего человеку без
компьютера стало непосильно возиться с такими числами. С тех пор расчеты продвинулись — нам известно количество деревьев, которые можно построить аж из 22 точек.
Их миллионы.
Даже для своего времени исследования Кэли имели практическое применение. Расчет
деревьев имеет значение для химии: некоторые вещества различаются лишь тем, как
у них организованы атомы внутри молекулы. Вещества с одним и тем же числом
атомов, организованных по-разному, имеют разные химические свойства. Применение
анализа Кэли сделало возможным открыть некоторые химические вещества
«на бумаге», а потом выделить их в лаборатории.
В сухом остатке:
По мостам — к деревьям
119
120
! " "
30 Задача
четырех красок
Кто именно подарил Малютке Тиму на Рождество четыре восковых карандаша разных цветов и нераскрашенную карту
Англии? Может, сосед-картограф, который время от времени
присылал маленькие сувениры, или чудак-математик Огастес
Де Морган, живший неподалеку: они с отцом Тима перебрасывались словцом-другим. Но уж точно не мистер Скрудж.
Крэтчиты обитали в неказистом безликом домике на Бэйэмстрит, Кэмден-таун, к северу от недавно открывшегося Университетского колледжа, где Де Морган служил преподавателем.
Даритель стал бы очевиден, зайди в новом году профессор
к Крэтчитам посмотреть, как Малютка Тим раскрасил подаренную карту.
У Де Моргана уж точно были соображения, как именно это можно
сделать: «Раскрась карту так, чтобы две соседние провинции с общей
границей были всегда разных цветов».
«Но мне не хватит красок», — возразил бы Тим не задумываясь.
Де Морган улыбнулся бы и предоставил мальчишке решать эту задачку
самостоятельно. Совсем недавно один из его студентов, Фредерик
Гутри, задал ему вопрос на эту же тему и помянул успешно раскрашенную карту Англии — всего четырьмя цветами. Задача подстегнула
математическое воображение Де Моргана.
А можно ли раскрасить любую карту всего четырьмя цветами так,
чтобы все области были различимы? Картографы, вероятно, были
в этом убеждены веками, но получится ли точное доказательство?
Представим любую карту в мире, кроме Англии: например,
1852
Фредерик Гутри, студент
Де Моргана, формулирует
задачу своему наставнику
1879
1890
Считается, что Алфред
Кемпе решил задачу
Перси Хивуд обнаруживает
ошибки в доказательстве
Кемпе и доказывает
теорему пяти красок
! " "
121
американские штаты или французские департаменты, — или даже
вымышленные карты, составленные из условных областей
и границ. Трех цветов, однако, не хватит.
Вглядимся в карту западных штатов Америки. Располагая только
синим, зеленым и красным, можно, к примеру, начать с Невады
и Айдахо. Не имеет значения, каким цветом: можем назначить
синий для Невады и зеленый — для Айдахо. Ну допустим. Значит,
Юту придется раскрасить красным, Аризону, в свою очередь,
зеленым, Калифорнию красным, Орегон — снова зеленым.
Получается, Орегон и Айдахо — оба зеленые и сливаются. А вот
будь у нас четыре краски — еще желтый, — можно было бы им
раскрасить Орегон, и тогда все бы вышло отлично. Так достаточно ли
этих четырех красок — синей, зеленой, красной и желтой — для любой
карты? Этот вопрос известен под названием задачи четырех красок.
%
T
$
\
V
>
=
Западные штаты Америки
Масштабы задачи За 20 лет после того, как Де Морган осознал
существенность этой задачи, она стала знаменита в математических кругах Европы
и Америки. В 1860-х американский философ и математик Чарлз Сэндерз Пирс считал,
что доказал решение этой задачи, однако не оставил об этом никаких свидетельств.
Задача получила еще больший резонанс благодаря ученому-викторианцу Фрэнсису
Гальтону. Он усмотрел в этой задаче возможности саморекламы и в 1878 году завлек
знаменитого кембриджского математика Артура Кэли к написанию соответствующей
статьи. Увы, Кэли вынужден был признать, что ему не удалось сформулировать
доказательство, но он отметил, что достаточно рассмотреть лишь кубические карты
(такие, где в точности три области сходятся в одной точке). Это соображение
подтолкнуло его ученика Алфреда Брея Кемпе попытаться найти решение задачи.
Лишь год спустя Кемпе объявил, что нашел доказательство. Кэли сердечно поздравил
его, доказательство было опубликовано, и Кемпе избрали в Лондонскоекоролевское
общество.
А что же дальше?
Доказательство Кемпе оказалось длинным и довольно
громоздким, и кое-кто остался им не удовлетворен, но тем не менее оно в целом
было принято. То-то все удивились, когда десять лет спустя Перси Хивуд из Дарэма
нашел пример карты, показавший слабину доказательства Кемпе. Свое доказательство Хивуд предложить не смог, однако продемонстрировал, что задача четырех красок по-прежнему не решена. Для математиков это означало возвращение
1976
1994
Кеннет Аппель
и Вольфганг Хакен
предлагают компьютерный
способ доказательства
общего результата
Компьютерное доказательство
упрощено, однако
остается компьютерным
122
! " "
к рисованию — и возможность прорыва для новичков. Применив некоторые методы
Кемпе, Хивуд доказал теорему пяти красок: любую карту можно раскрасить пятью
цветами. Этот результат был бы вполне замечателен, сконструируй кто-нибудь карту,
которую нельзя было бы раскрасить в четыре краски. Итак, ученые уперлись в трудноразрешимый вопрос: все-таки четыре или пять?
Исходная задача о четырех красках касалась карт, нарисованных
на плоской или сферической поверхности. А если взять карты,
нанесенные на поверхность типа пончика — куда более интересную
математикам из-за формы, нежели из-за вкуса. Для такой
поверхности Хивуд доказал: необходимо и достаточно семь красок,
Простой пончик, или
чтобы нанести на нее любую карту. Он даже доказал результат для
«тор»
пончика с многими дырками (с числом отверстий h), для которого сосчитал количество цветов, гарантирующих карте полноцветность, хотя не сумел доказать, что это
необходимый минимум. Таблица с некоторыми Хивудовыми результатами такова:
1 2 3 4 5 6 7 8
Число отверстий, h
Достаточное количество цветов, С 7 8 9 10 11 12 12 13
В общем случае С =[1/2(7 + √(1 + 48h))]. Квадратные скобки
указывают, что можно брать лишь целочисленные
Тор с двумя дырками
значения заключенного в них члена уравнения. Например,
для h = 8, C = [13,3107…] = 13. Формула Хивуда была выведена
с условием, что h (число отверстий) строго больше нуля. Формула дает искушающий
ответ С = 4, если подставить запрещенное значение h = 0.
Решена ли задача?
Даже через полвека после того, как в 1852 году задача
возникла впервые, ее не решили. В ХХ веке мыслительная сила мировой
математической элиты по-прежнему оставалась посрамленной.
Кое-какого прогресса все же удалось добиться: один математик доказал, что четырех
красок хватит для карты, на которую нанесено до 27 стран, другому удалось улучшить
этот результат до 31 страны, а третьему — до 35. Это отщипывание по кусочку могло бы
продолжаться вечно. На самом деле выводы, сделанные Кемпе и Кэли в их первых
трудах, указывали лучший путь к успеху, и математики обнаружили, что надо лишь
проверить конфигурации некоторых карт и убедиться, что и четырех красок им
хватит. Неувязка заключалась в том, что карт таких было множество — на ранних
стадиях попыток доказательства их были тысячи. Такую проверку вручную не произведешь, однако, к счастью, немецкий математик Вольфганг Хакен, трудившийся над
задачей долгие годы, смог привлечь к работе американского математика и компьютерного гения Кеннета Аппеля. Блестящие методы сократили число конфигураций карт
до 1500. К концу июня 1976 года, после многих бессонных ночей, дело оказалось
! " "
в шляпе — вместе со своим верным компьютером «Ай-би-эм-370» ученые проникли
в великую тайну.
У факультета математики Университета Иллинойса возник новый повод для ликования. Они заменили свою почтовую марку «наибольшее известное простое число»
на новую — «четырех красок хватит». Местным гордости было хоть отбавляй, а что
же мировое математическое сообщество? Это же, в конце концов, та самая задача,
перед которой все преклонялись и которую мог понять любой даже в нежном возрасте Малютки Тима, однако целый век она дразнила и мучила величайших математиков
своего времени.
Аплодисменты тем не менее оказались довольно жидкими. Кое-кто, пусть и неохотно,
принял полученный результат, но многие отнеслись скептически. А все потому, что
доказательство получилось компьютерное: этот прием вне традиционной формы
математической аргументации. Никто и не сомневался, что доказательство простым
не будет и получится длинным, но компьютерное доказательство — уже перебор. Оно
ставит вопрос о «проверяемости». Кому под силу выверить тысячи строк программного
кода, от которых это доказательство зависит? Могут же и в программирование
затесаться ошибки. Одной бы хватило, чтобы все пошло прахом.
Но и это еще не все. Доказательству не хватало «ага»-фактора. Как вообще продраться
через доказательство и оценить красоту решения или прочувствовать ключевую часть
аргументации — тот самый момент «ага!»? Одним из суровейших критиков этого
доказательства оказался почтенный математик Пол Халмош. Он считал, что
компьютерному доказательству можно верить так же, как именитой гадалке. Но всетаки достигнутый результат признали многие, и человек, который пожелает потратить
свое бесценное время исследований на поиск контрпримера карты, требующей пяти
красок, будет либо глупцом, либо героем. Заниматься этим стоило до Аппеля и Хакена,
но не после.
После доказательства С 1976 года количество конфигураций карт, которые
необходимо проверить, сократилось вдвое, а компьютеры стали и быстрее, и мощнее.
Что ж, математический мир все еще ждет компактного доказательства в традиционном
стиле. Тем временем задача четырех красок породила другие важные задачи в теории
графов и попутно бросила вызов самому понятию математического доказательства.
В сухом остатке:
Четырех красок
хватит
123
124
$=
31 Вероятность
Насколько возможен завтра снегопад? Какие у меня шансы
успеть на утренний поезд? Какова вероятность выиграть
в лотерею? Возможность, шанс, вероятность — эти слова мы
произносим ежедневно, если нам нужен ответ. Они же —
термины математической теории вероятности.
Теория вероятности — важная теория. Она имеет дело с неопределенностью, в оценке рисков без нее никуда. Но как можно выразить теорию количественно, если она описывает неопределенность? В конце
концов, математика — точная наука.
Задача на самом деле состоит именно в том, чтобы количественно определить вероятность.
Возьмем самый простой пример на свете — подбросим монету. Какова
вероятность, что выпадет «орел»? Что тут думать — ответ 1/2 (ее еще записывают в виде 0,5 или 50%). Глядя на монету, мы делаем допущение, что
это симметричная монета, т. е. вероятность выпадения «орла» равна вероятности выпадения «решки», следовательно, вероятность «орла» — 1/2.
Задачки с монетами, шарами в ящиках и «механические» примеры — довольно лобовые. Для определения вероятности существуют две основные теории. Принятие во внимание двухсторонней симметричности
монеты — один подход. Другой — оценка относительной частотности:
мы проводим эксперимент очень много раз и считаем, сколько «орлов»
нам выпадет. Но «много» раз — это сколько? Легко поверить, что количество выпадений «орлов» относительно «решек» — примерно 50 : 50,
но эта пропорция могла бы измениться, продолжи мы эксперимент.
А как быть со здравым измерением вероятности завтрашнего снегопада? Тут вроде бы тоже всего две возможности: либо снег пойдет, либо
нет, но совсем не ясно, равны ли шансы обоих исходов, как это было бы
с монетой.
%" 1650
1785
Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс
(Хёхенс) закладывают
основы теории вероятности
Маркиз де Кондорсе применяет
вероятностный подход к анализу
судебной и выборной системы
$=
При оценке вероятности завтрашнего снегопада придется принять во внимание
погодные условия в данный момент и тьму других факторов. Но даже с учетом чего
угодно не выйдет точно определить значение этой вероятности. Хорошо, допустим,
точное число мы назвать не сможем, но ведь можно хотя бы выдать определенную
«степень уверенности», т. е. что вероятность низкая, средняя или высокая. В математике вероятность измеряется по шкале от 0 до 1. Вероятность невозможного события
равна 0, а совершенно определенного — 1. Вероятность 0,1 — низкая, а 0,9 — высокая.
Происхождение вероятности
Математическая теория вероятности
вышла на первый план в XVII веке — в дискуссиях об игре в кости между Блезом
Паскалем, Пьером Ферма и Антуаном Гомбо (также известным как шевалье де Мере).
Они обнаружили, что эта незатейливая игра — штука хитрая. Вопрос, поставленный
шевалье де Мере, сводился к тому, что2 более вероятно: выбросить шесть очков
в четыре броска одной кости или «двойную шестерку» за 24 броска двумя костями?
А вы бы за какой вариант свою рубаху на кон поставили?
В те времена считалось, что лучше ставить на двойную шестерку, поскольку в этом
варианте допустимо больше бросков. Этот подход был развенчан, когда произвели
оценку вероятностей. Вот эти расчеты:
Бросаем одну кость: вероятность не выбросить шестерку за один ход — 5/6, а за четыре
хода эта вероятность 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6, т. е. (5/6)4 . Поскольку результаты разных ходов
друг на друга не влияют, они «независимые», и вероятности можно перемножать.
Вероятность выпадения как минимум одной шестерки, таким образом:
1 – (5/6)4 = 0,517746.
Бросаем две кости: вероятность не выбросить двойную шестерку за один ход — 35/36,
а за 24 хода – (35/36)24 .
Следовательно, вероятность выбросить двойную шестерку
1 – (35/36)24 = 0,491404.
Поиграем с этим примером еще немного.
Сыграем в крэпс
Пример с двумя костями — основа современной игры в крэпс
(и в казино, и онлайн). Если бросить две отличные друг от друга кости (красную и синюю), возможны 36 разных исходов, которые можно записать парами (х, у) и изобразить
в виде 36 точек в осях х –у — такая картинка называется «выборочным пространством»
(пространством элементарных событий).
1812
1912
1933
Пьер-Симон де Лаплас издает
два тома «Аналитической теории
вероятностей»
Джон Мейнерд Кейнс (Кэйнз)
публикует «Трактат о вероятности»,
повлиявший на его теории экономики
и статистики
Андрей Николаевич Колмогоров
предлагает аксиоматику вероятности
125
6
5
4
3
2
== "
126
$=
A
B
Рассмотрим событие А — выпадение на костях
суммы 7. Всего есть 6 комбинаций, и каждая дает
нам 7; значит, событие А можем записать так:
А = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
и обозначим это на рисунке. Вероятность
А — 6 шансов из 36, что можно записать как
P(A) = 6/36 = 1/6. Если В — вероятность выпадения
суммы в 11 очков, то
В = {(5,6), (6,5)}, а Р(В) = 2/36 = 1/18.
В крэпсе — игре, где бросают две кости разом, —
можно выиграть или проиграть на первом же ходе,
V = "
но некоторые значения счета не являются
1
2
3
4
5
6
проигрышем, и можно получить второй. Выигрыш
в первом же ходе — это событие А или В; если происВыборочное пространство
ходит одно или второе, это называют «natural» (англ.,
(для двух костей)
в том числе «самородок»). Вероятность «natural»
рассчитывается суммированием двух отдельных вероятностей: 6/36 + 2/36 = 8/36.
Вы проигрываете на первом же ходе, если выкидываете 2, 3 или 12 (такие суммы очков
называют «craps», т. е. «барахло»). Если произвести расчеты, аналогичные ранее
приведенным, получим вероятность проигрыша в первом ходе 4/36. Если выпадает
сумма 4, 5, 6, 8, 9 или 10, вы участвуете во втором круге — с вероятностью 24/36 = 2/3.
1
В мире казино вероятности называют «шансами». В крэпсе на каждые 36 сыгранных
вами игр на выигрыш в первом броске будет приходиться в среднем 8 игр,
на невыигрыш — 28, т. е. шансы против вашего выигрыша на первом броске 28 к 8, или
3,5 к 1.
Мартышка и пишущая машинка
Алфред — мартышка, он живет
в местном зоопарке. У него есть старенькая пишущая машинка с 26 клавишами для
букв латинского алфавита, одна — с точкой, одна — с запятой, одна — с вопросительным
знаком и один пробел; итого 30 клавиш. Сидит себе Алфред в углу, весь преисполненный литературных амбиций, но у него любопытный писательский стиль — он лупит
по клавишам наобум.
Любая последовательность букв имеет ненулевую вероятность оказаться напечатанной, а значит, есть шанс, что Алфред дословно напечатает пьесы Шекспира.
Более того, есть вероятность (хоть она и меньше), что Алфреду удастся перейти
к переводу на французский, потом на испанский, а затем и на немецкий. Ну и вдобавок
допустим еще возможность, что Алфред дополнит свою работу стихотворениями
$=
Уильяма Водсворта. Шансы у нашей мартышки минимальные, но они точно отличны
от нуля. И вот в этом все дело. Давайте разберемся, сколько времени понадобится
Алфреду, чтобы напечатать монолог из «Гамлета», начиная со слов «To be or» («Быть
иль не»). Представим 8 ячеек, в которых окажутся 8 знаков, включая пробелы:
T
o
b
e
o
r
Число возможных вариантов для первой ячейки — 30, для второй — 30 и т. д.
Таким образом, число способов, которыми можно заполнить 8 ячеек:
30 × 30 × 30 × 30 × 30 × 30 × 30 × 30. Шансы Алфреда добраться до конца «To be or» —
1 из 6561 × 1011. Если Алфред бьет по клавише раз в секунду, можно ожидать, что на «To
be or» у него уйдет около 20 000 лет, и наша мартышка окажется выдающимся приматомдолгожителем. Поэтому если вы затаили дыхание в ожидании Шекспира — выдыхайте.
У Алфреда довольно долго будет получаться всякая белиберда типа «xo,h?yt?».
Как развивалась теория?
Применение теории вероятности может давать
противоречивые результаты, но все-таки математические подпорки довольно крепки.
В 1933 году Андрей Николаевич Колмогоров сделал важное дело — определил
вероятность на аксиоматическом уровне: практически так же, как некогда,
тысячелетиями ранее, такие определения появились в геометрии.
Вероятность определяется следующими аксиомами:
1. Вероятность всех возможных событий равна 1.
2. Значение вероятности больше либо равно нулю.
3. Если события не могут совпасть, их вероятности можно складывать.
Из этих аксиом, облаченных в технические термины, можно вывести математические
свойства вероятности. Понятие вероятности имеет широкую применимость.
Современная жизнь в значительной мере без нее немыслима. Оценка рисков, спорт,
социология, психология, техническое проектирование, финансы и многое другое —
список бесконечен. Кто бы мог подумать, что размышления XVII века об игральных
костях перерастут в целую громадную дисциплину? Какова была вероятность такого
исхода?
В сухом остатке:
Тайны азартных игроков
127
128
= #T
32 Теория Байеса
О ранних годах жизни преподобного Томаса Байеса нам
мало что известно. Он родился на юго-востоке Англии
примерно в 1702 году и стал священником-нонконформистом,
а заодно заработал репутацию математика и был избран
в 1742 году в Лондонское королевское общество. Знаменитая
работа Байеса «Очерки к решению задач в учении о случае»
была опубликована в 1763-м — через два года после смерти
автора. В ней приводилась формула для нахождения обратной
вероятности, вероятности «наоборот», и с ее помощью была
развита ключевая концепция байесовской философии —
условная вероятность.
Томас Байес дал имя байесовцам — приверженцам особой
разновидности статистики, в противовес традиционным статистикам,
или «частотникам». Сторонники частотного подхода к вероятностям
придерживаются взглядов на вероятность, основанных на упрямых
численных данных. Байесовский подход базируется на знаменитой
формуле Байеса и на принципе, что с субъективной степенью
уверенности можно обращаться, как с математической вероятностью.
Условная вероятность Вообразите: бравому доктору Почему
необходимо диагностировать корь у своих пациентов. Сыпь —
показатель, но диагноз по ней впрямую не ставят. У пациента может
быть корь без сыпи, а у некоторых — сыпь без кори. Вероятность того,
что у пациента сыпь, при условии наличия у него кори, и есть условная
вероятность. Байесовцы в своих записях изображают это самое «при
условии» вертикальной линией:
P(у пациента сыпь | у пациента корь),
и это означает вероятность, что у пациента сыпь при условии, что у него корь. Значение P(у пациента сыпь | у пациента корь) не то же самое,
1763
1937
Изданы очерки Томаса Байеса
о вероятности
Бруно де Финетти настаивает
на субъективном подходе
к вероятности как на альтернативе
«частотному» подходу
= #T
что P(у пациента корь | у пациента сыпь). Относительно друг друга
эти вероятности обратны. Формула Байеса предназначена для расчетов одной вероятности через другую.
Математики обожают условные обозначения реальных вещей.
Скажем, событие наличия кори обозначается К, а событие
наличия у пациента кори — С. Символ С~ — событие, при котором
у пациента нет сыпи, и К~ — событие, при котором у пациента нет
кори. Все это отражено в диаграмме Венна.
C
K
129
C̃
x
m
K̃
N
Диаграмма Венна,
показывающая
логическую структуру
появления сыпи
и наличия кори
Из этой диаграммы доктор Почему видит, что есть х пациентов с корью
и сыпью, m пациентов с корью, а общее число пациентов — N. Ему также
понятно следующее: вероятность того, что некто болеет корью и покрыт
сыпью, — попросту х/N, а вероятность того, что некто болеет корью, — m/N. Условная
вероятность — вероятность того, что у кого-то сыпь, при условии, что у этого человека
корь, записанная P(С | К), равна х/m. Сведя все вместе, доктор Почему получит
вероятность того, что некто и болеет корью, и покрыт сыпью:
x
x
m
×
P(К и С) =
–
N
т
N
или
P(К и С) = P(С | К) × P(К)
и, сходно,
P(К и С) = P(К | С) × P(С).
Формула Байеса Приравнивая выражения для P(К и С), получаем формулу Байеса — отношение между условной вероятностью и ее противоположностью.
Доктор Почему получит уверенное представление о P(К | С) — вероятности наличия
сыпи при наличии кори. Условная вероятность
обратного события — как раз того, которое интересует
доктора Почему больше, — есть ли у пациента корь,
если у него сыпь. Установить это означает решить
обратную задачу, и именно ее решал Байес в своих
работах. Чтобы вычислить вероятность, нужно вбросить кое-какие цифры. Они будут
субъективными, но нам важно увидеть, как это работает. Вероятность того, что, если
у пациента корь, у него есть сыпь, P(C | К), — довольно высока; допустим, это 0,9; если
у пациента нет кори, вероятность сыпи — P(С | К~ ) — окажется низкой; допустим, 0,15.
Формула
Байеса
1950
1950-
1992
Джимми Сэвидж и Деннис Линдли
возглавляют современное
байесовское движение
Термин «байесовский»
входит в оборот
Основано Международное
общество байесовского анализа
130
= #T
В обеих ситуациях доктор Почему сможет с приличной точностью оценить значения
этих вероятностей. Бравый доктор также сможет прикинуть процент людей среди
населения, у которых есть корь, — допустим, их 20%. Эта вероятность записывается
как P(К) = 0,2.
Нам еще нужна лишь одна цифра — P(С), т. е. процент людей среди населения,
у которых сыпь. Итак, вероятность того, что у кого-то сыпь, есть вероятность того, что
у кого-то корь и сыпь плюс вероятность того, что у кого-то кори нет, а сыпь есть.
Исходя из нашего ключевого выражения, P(С) = 0,9 × 0,2 + 0,15 × 0,8 = 0,3. Подставляем
все значения в формулу Байеса:
0,2
× 0,9 = 0,6.
0,3
Таким образом, из всех своих пациентов с сыпью врач правильно определяет корь
в 60% случаев. Допустим, врач получает больше информации о штамме кори и вероятность диагностирования растет, т. е. P(С | К) — вероятность появления сыпи
из-за кори — возрастает с 0,9 до 0,95, а P(С | К~ ) — вероятность появления сыпи по иным
причинам — упадет с 0,15 до 0,1. Как это повлияет на точность диагностики? Каково
новое значение P(К | С)? С учетом новых данных P(С) = 0,95 × 0,2 + 0,1 × 0,8 = 0,27,
а P(К |С) по формуле Байеса есть 0,2, деленные на P(С) = 0,27 и умноженные на 0,95, что
в итоге даст нам 0,704. Следовательно, доктор Почему теперь сможет определять корь
в 70% случаев, т. е. точнее. Если вероятности станут 0,99 и 0,01 соответственно,
вероятность определения кори, P(К | С), станет 0,961, т. е. вероятность правильного
диагноза возрастет до 96%.
P(К | С) =
Современные байесовцы Традиционные статистики совершенно не против
формулы Байеса — когда вероятность можно измерить. Камень преткновения —
интерпретация вероятности как степени уверенности или, как ее еще иногда
называют, субъективной вероятности.
В суде вопрос вины или невиновности подчас определяется «балансом вероятностей».
Говоря строго, этот критерий применим лишь к гражданским делам, но можно вообразить и сценарий, в котором его применяют к делам уголовным. Статистики, придерживающиеся частотного подхода, теряются перед задачей определения значения
вероятности того, что подсудимый виновен. Байесовцы же не стесняются учитывать
свои чувства. Как же это устроено? Если применять подход баланса вероятностей
к оценке вины и невиновности, необходимо разобраться, как можно жонглировать
вероятностями. Рассмотрим возможное развитие сюжета.
Член жюри присяжных выслушал дело в суде и решил, что вероятность вины осужденного — примерно 1 к 100. Во время совещания жюри этого присяжного вызывают в зал
суда, заслушать еще одно свидетельство от обвиняющей стороны. У подсудимого
= #T
в доме найдено оружие и глава обвинения считает, что вероятность нахождения
оружия дома у подсудимого — целых 0,95, если подсудимый виновен, а если он
невиновен, то вероятность нахождения у него оружия — всего 0,1.
Следовательно, вероятность нахождения оружия дома у подсудимого гораздо выше,
если подсудимый виновен, чем в ситуации его невиновности. Вопрос к присяжному
таков: как скорректировать отношение к подсудимому в свете этой новой
информации? Применим нашу форму записи и обозначим В ситуацию, в которой
подсудимый виновен, и П — нахождение новых показаний. Присяжный произвел
начальную оценку вероятности P(В) = 1/100 или 0,01. Эта вероятность называется
априорной. Заново оцененная вероятность P(В | П) — пересмотренная вероятность
вины с учетом показаний П, ее называют апостериорная вероятность. Формула Байеса
в таком случае приобретает вид:
P(П | В)
× P(В)
P(П)
и иллюстрирует мысль о том, что априорная вероятность корректируется новой,
апостериорной вероятностью P(В | П). Аналогично вычислению P(С) в медицинском
примере найдем P(П) и получим:
P(В | П) =
0,95
× 0,01 = 0,088.
0,95 × 0,01 + 0,1 × 0,99
Такой результат ставит присяжного в трудное положение: его исходная оценка виновности, равная 1%, возросла почти до 9%. Если бы сторона обвинения предположила,
что вероятность нахождения оружия — аж целых 0,99, если подсудимый виновен,
а если невиновен — 0,01, тогда, повторив вычисления по формуле Байеса, получим, что
в этой ситуации присяжному пришлось бы пересмотреть свою оценку с 1% до 50%.
P(В | П) =
Применение формулы Байеса к таким случаям критикуют. Более всего оказывается
под ударом способ оценки априорной вероятности. В свою защиту байесовский анализ
предлагает метод обращения с субъективными вероятностями и корректирования их
при получении дополнительных данных. Байесовский метод применим в широком
диапазоне областей знания — от науки и предсказания погоды до уголовного права. Его
сторонники доказывают разумность и практичность метода при обращении
с неопределенностью. В его пользу говорит многое.
В сухом остатке:
Убеждения с поправкой
на сведения
131
132
" T ( =
33 Парадокс дней
рождения
Представьте себя на верхней палубе клэпэмского автобуса, и заняться вам, в общем, нечем, кроме как считать соседей по автобусу,
направляющихся ранним утром на службу. С высокой вероятностью все пассажиры независимы друг от друга; можем с уверенностью полагать, что их дни рождения случайно распределены
по всем дням в году. Включая вас, на борту всего 23 человека.
Не очень много, однако достаточно, чтобы вероятность совпадения
дней рождения у двух пассажиров стала больше, чем половина на
половину. Верите? Миллионы не верят, но это правда. Этому факту
поражался даже маститый эксперт в вероятностях Уильям Феллер.
Клэпэмский автобус, допустим, маловат для наших целей, поэтому
представим большую залу. Сколько людей нужно собрать в зале, чтобы
наверняка нашлись два человека с совпадающими днями рождения?
В году 365 дней (для простоты високосные годы считать не будем),
поэтому, если в зале 366 человек, найдется как минимум одна пара,
у которой дни рождения уж точно совпадут. Никак не выйдет, что у всех
присутствующих дни рождения окажутся все разные.
* Также — принцип
Дирихле,
или «принцип
ящиков», 1834 г.
В этом заключается «принцип голубятни»*: если n + 1 голубей занимают
n ячеек, в одной точно больше одного голубя. Если бы людей было 365,
уверенности в том, что дни рождения совпадут, у нас бы не возникло,
поскольку они могли бы распределиться по всем дням в году. Однако,
если все-таки взять случайных 365 человек, такой исход исключительно
неправдоподобен, и вероятность того, что не найдется двух людей с одинаковыми днями рождения, минимальна. Будь даже 50 человек в зале,
вероятность совпадения двух дней рождения — 96,5%.
1654
Блез Паскаль закладывает
основы теории вероятностей
1657
1718
Христиан Гюйгенс публикует
первую в истории работу
о вероятностях
Абрахам де Муавр издает
«Доктрину шансов», а в 1738
и 1756 годах выходят
дополненные издания
" T ( =
133
Если число людей сократить, вероятность совпадения дней рождения уменьшится.
Можно установить, что для компании в 23 человека вероятность такого совпадения —
чуть больше 1/2, а для 22 человек — чуть меньше этого значения. Число 23 — рубежное.
Хоть решение классической задачи о днях рождения и поразительно, парадоксом эта
задача, говоря строго, не является.
Можем доказать?
Как же нам в этом убедиться? Давайте выберем случайного
человека. Вероятность того, что у другого человека день рождения тогда же, когда
и у первого, равна 1/365, а вероятность того, что оба не родились не в один день, равна
единице минус это число (или 364/365). Вероятность, что у третьего человека день
рождения совпадает с первыми двумя, 2/365, а обратная (вероятность несовпадения
ни с первым, ни со вторым) — единица минус это число, т. е. 363/365. Вероятность того,
что ни один из троих не родился в один день, есть умножение этих двух обратных
вероятностей, или (364/365) × (363/365), т. е. 0,9918.
Продолжив в том же духе с 4, 5, 6, ... людьми, увидим суть этого «парадокса». Когда
доберемся с бытовым калькулятором до 23 человек, получим ответ 0,4927 — такова
вероятность того, что ни для кого из них не найдется пары с одинаковым днем
рождения. Отрицание события «ни у кого из них не совпадают дни рождения» есть
«как минимум у двоих дни рождения совпадают», и вероятность такого события
1 – 0,4927 = 0,5073 чуточку больше пограничной 1/2.
Если n = 22, вероятность того, что у двоих совпадут дни рождения, равна 0,4757, т. е.
меньше 1/2. Парадоксальность этого явления связана в первую очередь с языком.
Результат решения этой задачи относится к двум людям, у которых совпадают дни
рождения, но он ничего не говорит нам о том, кто эти люди. Мы не знаем, как лягут
фишки. Если мистер Тревор Томсон, чей день рождения 8 марта, находится в зале,
можно поставить следующий вопрос.
Сколько людей родилось в тот же день, что и мистер
Томсон? Для ответа на этот вопрос вычисления иные. Вероятность того, что день
рождения у мистера Томсона не совпадает с другим человеком, 364/365, т. е.
вероятность того, что ни с кем из n – 1 человек, присутствующих в зале, у мистера
Томсона не совпадает день рождения, равна (364/365)n – 1. Следовательно, вероятность
совпадения его дня рождения с чьим-нибудь еще — единица минус это значение.
Если подставить в эту формулу n = 23, получится вероятность 0,061151, т. е. всего 6%
вероятности, что у кого-нибудь еще день рождения 8 марта — в ту же дату, что
1920
1939
Шатьендранат Бозе (Бошу)
рассматривает теорию света
Эйнштейна как задачу о размещениях
Рихард фон Мизес формулирует
парадокс дней рождений
134
" T ( =
и у мистера Томсона. Если увеличить значение n, вероятность вырастет. Но нам
придется увеличить n аж до 254 (включая мистера Томсона), чтобы добиться
вероятности, большей 1/2. Для n = 254 эта вероятность равна 0,5005. Это пограничное
значение, потому что при n = 253 вероятность эта равна 0,4991, т. е. меньше 1/2.
Необходимо созвать собрание из 254 человек, чтобы возникла вероятность больше 1/2
найти человека с таким же днем рождения, что и у мистера Томсона. Это, наверное,
несколько больше похоже на наши интуитивные ощущения, нежели поразительное
решение классической задачи о днях рождения.
Другие задачи дней рождения
Задачу дней рождения разнообразно
обобщали. Один из вариантов — рассмотрение вероятности совпадения дней
рождения трех человек. В этом случае потребуется 88 человек, чтобы вероятность
такого совпадения стала больше половины. Для четырех, пяти, ... человек группы
должны быть еще больше. В собрании 1000 человек, например, шансы больше, чем
один к одному, что дни рождения совпадут у девятерых.
Другие игры с задачей дней рождения связаны с канунами дней рождения. В такой
постановке задачи совпадением считаются близкие по датам дни рождения —
в определенном диапазоне дней. Оказывается, нужна группа из всего 14 человек,
чтобы вероятность совпадения дней рождения или их расположения одного за другим
по календарю превысила 0,5.
^$"
"
Еще вариант той же задачи, для которого
требуются математические приемы
посложнее, — задача дней рождения
мальчиков и девочек: если в классе поровну
тех и других, какова минимальная группа,
в которой вероятность того, что мальчик
и девочка родились в один день, будет больше
половины?
Ответ: класс из 32 человек (16 девочек и 16 мальчиков), не меньше. Аналогично —
23 в классической постановке задачи.
Слегка видоизменяя вопрос, получим разное новенькое (добыть ответы, однако, будет
непросто). Предположим длинную очередь на концерт Боба Дилана; люди в ней
собрались по случайному принципу. Нам интересны их дни рождения, и поэтому
меломанов-двойняшек и тройняшек мы для простоты из расчетов исключим.
У входа всех поклонников Дилана просят назвать день рождения. Математический
вопрос: сколько людей нужно впустить прежде, чем у двоих, стоящих друг за другом, дни
рождения совпадут? Второй вопрос: сколько людей попадет в концертный зал прежде,
чем объявится человек с днем рождения, как у мистера Томсона (8 марта)?
" T ( =
Расчеты дней рождения исходят из предположения о равномерности распределения
дней рождения, а также из того, что у случайно выбранного человека день рождения
может приходиться равновероятно на любой день. Эксперименты показывают, что это
не вполне так (летом людей рождается больше), но тем не менее достаточно близко
к истине, чтобы получаемые ответы имели практическую ценность.
Задачи о днях рождения — примеры задач о размещениях, в которых математики
рассматривают раскладывание шаров по ячейкам. В задаче о днях рождения ячеек —
365 (в данном случае это все возможные дни рождения), а шары, которые нужно
произвольно раскладывать по ячейкам, — люди. Задачу можно упростить — изучить
вероятность попадания двух шаров в одну ячейку. Для задачи про мальчиков и девочек
берем шары двух цветов.
Задача дней рождения интересует не только математиков. Шатьендранат Бозе увлекся
Эйнштейновой фотонной теорией света. Он отошел от традиционных методов
исследования и задумался о физических условиях в терминах задачи о размещении.
Для него ячейками были не дни в году (как в исходной задаче), а энергетические
уровни фотонов. Вместо людей по ячейкам он распределял фотоны. В науке задачам
о размещении находится множество применений. Например, в биологии распространение эпидемии можно моделировать как задачу о размещении — ячейками в этом
случае являются географические области, шарами — очаги заболевания, а вопрос
заключается в том, как именно группируются эти самые очаги.
Мир полон поразительных совпадений, но лишь математика предоставляет нам способ
вычислить их вероятность. Классическая задача дней рождения — вершина айсберга
огромной области серьезной математики с важными практическими приложениями.
В сухом остатке:
Вычисляем совпадения
135
136
=
34 Распределения
Владислава Борткевича зачаровывали таблицы смертности.
Ему эта тема не казалась мрачной — она являла Борткевичу
поле научных изысканий. Ему принадлежит знаменитый расчет
количества смертей от брыкливых лошадей среди кавалеристов
прусской армии. Инженер-электрик Фрэнк Бенфорд
подсчитывал первые цифры разных видов в численных
данных — оценивал, сколько в них встречается единиц, двоек
и т. д. А Джордж Кингзли Ципф, преподававший немецкий
в Гарварде, интересовался филологией и проанализировал
частоту появлений разных слов в текстах.
Все эти примеры связаны с определением вероятностей событий.
Какова вероятность, что за год х кавалеристов получат смертельный
удар лошадиным копытом? Перечисление вероятностей для каждого
значения х называется распределением вероятностей, или
вероятностным распределением. К тому же это распределение
дискретно, потому что х может принимать лишь определенные
значения, т. е. между интересующими нас значениями есть пробелы.
Три или четыре мертвых прусских кавалериста быть может,
а 3 1/2 — нет. Мы увидим, что в случае распределения Бенфорда нас
интересуют лишь вероятности появления цифр 1, 2, 3, ..., а для
ципфовского слово «это» может занимать место № 8 по частоте
употребления в тексте, но не, скажем, 8,23.
Жизнь и смерть в прусской армии
Борткевич собрал
записи о десяти кавалерийских корпусах за 20 лет, таким образом
получив данные о 200 корпус-годах. Он оценил число смертей (в математике это называется переменной) и число корпус-лет, за которые
произошли эти смерти. Например, оказалось, что в 109 корпус-годах
не случилось ни одной смерти, а в один корпус-год — целых четыре.
1837
Симеон-Дени Пуассон
описывает распределение,
названное его именем
1881
1898
Саймон Ньюком делает
наблюдение, позднее
получившее название
закона Бенфорда
Как же распределяется число смертей? Собрать информацию — лишь часть труда
статистика, полевая работа. Борткевич разжился следующими данными:
Число смертей
0
Частота появления 109
1
65
2
22
3
3
4
1
К счастью, смерть от удара копытом — событие редкое. Наиболее подходящая теоретическая методика моделирования частоты возникновения
редких событий — распределение Пуассона. Мог ли Борткевич, пользуясь
Формула
этой методикой, предсказать результат, не посещая конюшен? Теоретическое
Пуассона
пуассоново распределение утверждает: вероятность того, что число смертей
(будем называть ее Х) имеет значение х, определяется формулой Пуассона, где е — особое число, о котором мы говорили ранее, ассоциирующееся с ростом (см. стр. 24),
а восклицательный знак обозначает факториал, т. е. число, умноженное на все целые
числа между ним самим и единицей (см. стр. 26). Греческая буква лямбда () — среднее
значение числа смертей. Нам необходимо найти это среднее за 200 корпус-лет: умножаем 0 смертей на 109 корпус-лет (получим 0), 1 смерть за 65 корпус-лет (получим 65),
2 смерти за 22 корпус-года (получим 44), 3 смерти за 3 корпус-года (получим 9) и 4 смерти за 1 корпус-год (получим 4), а теперь сложим их вместе (получим 122) и разделим
на 200. Итак, среднее число смертей на один корпус-год есть 122/200 = 0,61.
Теоретические вероятности (назовем их р) можно рассчитать, подставив значения
r = 0, 1, 2, 3 и 4 в формулу Пуассона. Вот результаты:
Число смертей
0
1
2
3
4
0,543 0,331 0,101 0,020 0,003
Вероятности, р
0,6
Ожидаемое число смертей, 200 × р 108,6 66,2 20,2 4,0
Похоже, теоретическое распределение вполне совпадает с экспериментальными
данными, собранными Борткевичем.
Первые числа Если проанализировать последние цифры телефонных номеров
в одной колонке телефонной книги, изначально естественно предположить, что 0, 1, 2,
..., 9 распределяются равномерно. Появляются они случайно, и у любого — одинаковые
шансы оказаться в списке. В 1938 году инженер-электрик Фрэнк Бенфорд обнаружил,
что для первых цифр некоторых подборок данных это не так.
По сути, он заново открыл закон, впервые отмеченный астрономом Саймоном
Ньюкомом в 1881 году.
1938
1950
2003
Фрэнк Бенфорд переформулирует
закон распределения первых цифр
Джордж К. Ципф выводит
формулу, связывающую частоту
словоупотребления с активным
словарем автора текста
Пуассоново распределение
применяется в анализе рыбных
запасов Северной Атлантики
138
=
Вчера я провел небольшой эксперимент: посмотрел на курсы обмена иностранных
валют в одной центральной газете. Курс доллара к фунту оказался 2,119, т. е. для
покупки 1 фунта нужно 2,119 доллара. Аналогично для покупки 1 фунта потребуется
1,59 евро или 15,390 гонконгских доллара. Объединив все данные и распределив их
по частоте появления разных цифр на первом месте, получил следующую таблицу:
Первая цифра
1
Частота появления 18
В процентах, %
36
2
10
20
3
3
6
4
1
2
5
3
6
6
5
10
7
7
14
8
2
4
9
1
2
Итого
50
100
Эти результаты подтверждают закон Бенфорда: для некоторых классов данных число 1
стоит на первом месте в 30% данных, число 2 — в 18% и т. д. Это уж точно не равномерное распределение, как в случае последних цифр телефонных номеров.
Неочевидно, почему столь многие выборки данных следуют закону Бенфорда.
В XIX веке Саймон Ньюком отметил это, пользуясь математическими таблицами,
и не мог предположить, насколько распространенное, оказывается, это свойство.
Примеры распределения Бенфорда можно найти и в таблицах спортивных событий,
и в данных фондовых рынков, и в численности населения, и в длинах рек. Единицы
измерения не имеют значения — неважно, в милях или метрах измерены длины рек.
У закона Бенфорда есть практические приложения. Когда стало понятно, что этому
закону следует бухгалтерская информация, стало проще вычислять ложные данные
и ловить за руку мошенников.
Слова Среди многочисленных увлечений Дж. К. Ципфа было одно необычное:
интерес к подсчету слов. Оказалось, десять самых популярных слов в английском
языке — вот эти крошки:
Ранг
Слово
1
the
2
of
3
and
4
to
5
a
6
in
7
that
8
it
9
is
10
was
Эти данные были получены обработкой широкого диапазона письменных текстов
и подсчетом в них слов. Наиболее распространенному слову присвоили ранг 1, следующему — ранг 2 и т. д. В разных текстах ранги у слов могут слегка меняться,
но принципиальной разницы наблюдаться не будет.
Неудивительно, что «the» (англ. определенный артикль) — самое распространенное,
а «of» (англ. — предлог родительного падежа) — второе в списке. Если этот список
продолжить, быть может, вам будет любопытно узнать, что «among» (англ. — напр.,
«среди», «в том числе») — на 500 месте, а «neck» (англ. напр., «шея», «горловина», «горло
(бутылки)») — на 1000. Мы же рассмотрим лишь первые десять слов. Если выбрать
случайный текст и посчитать эти слова, получится более-менее тот же порядок рангов.
Удивительно то, что ранги связаны с реальным количеством слов в тексте. Слово «the»
=
появится в два раза чаще, чем «of», и втрое чаще, чем «and», и т. д. Эти количества
вычисляются по хорошо известной формуле. Эта эмпирическая закономерность была
усмотрена Ципфом в практических данных. Теоретический закон Ципфа утверждает,
что процент появления слова в тексте, обозначенный r, определяется так:
k
× 100,
r
где число k зависит только от размеров активного словаря автора. Если автор
пользуется всеми словами английского языка, которых, по некоторым оценкам, около
миллиона, значение k будет равно 0,0694. В формуле закона Ципфа слово «the» — это
6,94% всех слов в тексте. Аналогично «of» вполовину реже «the» и это 3,47% всех слов.
В очерке на 3000 слов, написанном таким талантливым автором, будет 208 «the»
и 104 «of».
Для писателей с активным словарем в 20 000 слов значение k вырастает до 0,0954;
следовательно, мы увидим в тексте 286 «the» и 143 «of». Чем меньше словарь, тем чаще
появляется «the».
Глядим в магический кристалл
Любое из этих распределений — хоть
Пуассона, хоть Бенфорда, хоть Ципфа — дает нам возможность делать некоторые
предсказания. Быть может, совсем железно предсказывать не удастся, но представлять,
как распределяются вероятности, куда лучше, чем просто угадывать. А если прибавить
к этим трем распределениям биномиальное, отрицательное биномиальное,
геометрическое, гипергеометрическое и многие другие, становится ясно, что
у статистиков есть набор эффективных инструментов для анализа множества разных
видов человеческой деятельности.
В сухом остатке:
Предсказываем сколько
139
140
"$= =
35 Кривая
нормального
распределения
«Нормальная» кривая играет ключевую роль в статистике.
Ее называют эквивалентом прямой в математике. У нее есть
действительно важные математические свойства, однако
полевые данные, как показывает практика, в точности
нормальному распределению следуют редко.
Кривая нормального распределения описывается математической
формулой, соответствующей колоколообразной кривой: у нее один
горб, а по обе стороны от него — два хвоста. Значение нормальной
кривой — скорее теоретическое, нежели естественное, и у нее
породистая родословная. В 1733 году Абрахам де Муавр, французгугенот, сбежавший в Англию от церковного преследования, ввел это
распределение в связи со своими трудами по анализу случайности.
Пьер-Симон де Лаплас опубликовал результаты этих исследований,
а Карл Фридрих Гаусс применил в астрономии — эту кривую иногда
называют гауссовой кривой погрешности.
Адольф Кетле включил нормальную кривую в своисоциологические
исследования, изданные в 1835 году; в них с помощью кривой нормального распределения он описал отклонение от «среднестатистического человека». В других своих экспериментах он измерил ростовые показатели французских новобранцев и обхват груди
шотландских солдат и сделал вывод, что эти данные также укладываются в нормальное распределение. В те дни бытовало сильное
верование, что большинство явлений «нормальны» именно в этом
смысле.
1733
Абрахам де Муавр публикует
работу о кривой нормального
распределения как об аппроксимации
биномиального распределения
1820
Гаусс применяет нормальное
распределение к астрономии
в виде кривой погрешности
(гауссовой кривой)
"$= =
141
Вечеринка Предположим, Джорджина отправилась на вечеринку к Себастиану,
и тот спросил у нее, далеко ли ей пришлось ехать? Джорджина позднее поняла,
насколько это полезный вопрос для таких сборищ: его можно задавать кому угодно
и он предполагает ответ, а к тому же он невинен и помогает беседе, если та не клеится.
На следующий день слегка похмельная Джорджина собралась к себе в контору, размышляя о том, далеко ли ее коллегам приходится ездить на работу. В столовой она
выяснила, что некоторые живут за углом, а кое-кто — в 50 милях, все по-разному. Она
решила воспользоваться своим положением кадровика очень большой компании
и поместила вопрос в конце ежегодной анкеты для сотрудников: «Как далеко вам
пришлось сегодня ехать на работу?» Джорджина пожелала выяснить, каково среднее
расстояние от дома до работы среди сотрудников компании. Нарисовав гистограмму
по результатам распределения расстояний, Джорджина не увидела никакой закономерности, но среднее расстояние вычислить смогла.
Гистограмма расстояний от дома
до работы сотрудников компании,
Это среднее оказалось равным 20 милям.
% "$
построенная Джорджиной
Математики отмечают это значение греческой
буквой μ (мю); в данном случае μ = 20. Дисперсия
внутри совокупности данных обозначается буквой (сигма), иногда ее еще называют стандартным отклонением. Если стандартное отклонение маленькое, все данные близки по значению
и дисперсия минимальна, а если оно большое,
=
данные распределяются в широком диапазоне.
Рыночный аналитик компании с образованием
0 10 20 30 40 50
статистика показал Джорджине, что она могла
бы получить свою цифру 20 с помощью выборки. Нет необходимости опрашивать всех
сотрудников. Методика оценки определяется центральной предельной теоремой.
Возьмем случайную выборку, сделанную из всего персонала компании. Чем больше
выборка, тем лучше, но 30 сотрудников вполне хватит. В эту случайную выборку попадут, скорее всего, и люди, которые живут по соседству, и те, кто ездит издалека. При
расчете среднего расстояния до работы короткие расстояния уравновесят длинные.
Математики обозначают среднее выборки √x—, которое читается как «икс с чертой».
В Джорджинином случае наиболее вероятное значение √x— будет близко к 20 —
среднему в совокупности данных. Хоть это и возможно, однако маловероятно, что
среднее в выборке окажется очень маленьким или очень большим.
1835
1870-
Адольф Кетле применяет кривую Распределение получает
нормального распределения
название «нормального»
для оценки отклонений
от «среднего человека»
1901
Александр Ляпунов строго
доказывает центральную
предельную теорему, применяя
характеристические функции
142
"$= =
Нормальное распределение важно для статистиков из-за центральной предельной теоремы. Она утверждает, что реальное распределение среднего по выборке √x— близко к нормальному. Что это
значит? В случае с Джорджиной, как х мы обозначили расстояние от дома до работы, x— — среднее значение в выборке.
Распределение х в гистограмме Джорджины
совсем не похоже на колоколообразную кривую,
Как распределяется
20
= x однако распределение x— — похоже, и его центр —
среднее значение
вокруг μ = 20.
в выборке
Поэтому мы можем считать среднее значение в выборке √x— оценочным для μ — среднего по совокупности данных. Дисперсия средних по выборке √x— — дополнительный
бонус. Если дисперсия значений х равна стандартному отклонению , дисперсия
x— равна /√n, гдe n — размер произведенной нами выборки. Чем больше выборка, тем
у 2же будет кривая нормального распределения и тем точнее будут оценки μ.
Другие нормальные кривые Проделаем несложный эксперимент:
подбросим монету четыре раза. Вероятность выпадения «орла» всякий раз — р = 1/2.
Результат четырех бросков можно записать, обозначив буквой О «орел» и Р «решку»,
в порядке их выпадения. Итого получится 16 возможных комбинаций. Например,
может выпасть три «орла»: РООО. На самом деле есть всего четыре варианта
выпадения трех «орлов» (остальные три — ОРОО, ООРО, ОООР), следовательно, вероятность выпадения трех орлов — 4/16 = 0,25.
С небольшим количеством бросков все вероятности легко обсчитать и поместить
в таблицу, а заодно и вычислить, как именно вероятности распределяются.
Количество комбинаций можно определить по треугольнику Паскаля (см. стр. 52):
Количество «орлов»
0
1
2
3
4
Количество «решек»
1
4
6
4
1
Вероятность
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
(= 1/16) (= 4/16) (= 6/16) (= 4/16) (= 1/16)
Такое распределение вероятностей называется биномиальным и возникает, когда есть
два возможных исхода (в данном случае «орел» или «решка»). Эти вероятности могут
быть представлены в виде диаграммы, на которой они описываются и высотами,
и площадями.
Четыре броска — маловато. А что, если подбросить монету много раз, например, 100?
Биномиальное распределение применимо к n = 100, но может быть с пользой аппроксимировано кривой нормального распределения со средним μ = 50 (предполагаем
выпадение 50 «орлов» при подбрасывании монеты 100 раз) и стандартным
"$= =
отклонением = 5. Это и открыл Муавр
в XVI веке.
143
Количество «орлов»
в четырех бросках
монеты, биномиальное
распределение
Для больших значений n переменная х,
определяющая количество успешных
бросков, вписывается в нормальное
x
распределение все лучше и лучше.
Чем больше значение n, тем точнее
0
1
2
3
4
V $ «$»
аппроксимация, а 100 бросков — это
достаточно много. Теперь допустим,
Распределение вероятностей
что нам надо оценить вероятность
выпадения «орлов»
того, что выпадет от 40 до 60 «орлов».
при 100 бросках монеты
Площадь А показывает интересующую
нас область и вероятность выпадения
от 40 до 60 орлов, что можно записать
как вер(40 ≤ х ≤ 60). Чтобы определить
реальное численное значение, необx
ходимо применить заранее составленные математические таблицы, и тогда
40
50 60
V $ «$»
выяснится, что вер(40 ≤ х ≤ 60) = 0,9545.
Это означает, что вероятность выпадения от 40 до 60 «орлов» при 100 бросках монеты составляет 95,45%, т. е. такой исход
очень вероятен.
A
Область за пределами А равна 1 – 0,9545, т. е. всего-навсего 0,0455. Поскольку нормальная кривая симметрична относительно своей центральной оси, половина этого
результата соответствует вероятности выпадения более 60 «орлов» за 100 бросков
монеты, что составляет всего лишь 2, 275%, т. е. шанс мизерный. Окажетесь в ЛасВегасе — воздержитесь от подобных ставок.
В сухом остатке:
Вездесущая кривая-колокол
144
$=
!
!
36 Связанные
данные
Как два множества данных связаны между собой? Сто лет назад
статистики полагали, что ответ им известен. Корреляция и регрессия связаны между собой, как лошадь и повозка, но, подобно этой паре, отличаются друг от друга, и у каждой свои задачи.
Корреляция определяет, насколько хорошо два количества —
например, вес и рост — связаны друг с другом. Регрессию можно
применять в предсказании значений одного качества (допустим,
веса) в зависимости от другого (в нашем случае — роста).
Корреляция Пирсона Термин «корреляция» ввел в 1880-х
годах Фрэнсис Гальтон. Викторианский джентльмен от науки, Гальтон
обожал все измерять и применял корреляцию к своим исследованиям
пар переменных — длины крыльев и хвостов у птиц, например.
Коэффициент корреляции Пирсона, названный в честь биографа
и протеже Гальтона — Карла Пирсона, измеряется по шкале от – 1 до + 1.
Если численное значение этого коэффициента велико (допустим, + 0,9),
это означает, что корреляция между переменными сильная. Коэффициент корреляции определяет тенденцию данных располагаться вдоль
прямой. Если коэффициент близок к нулю, корреляции практически нет.
Нам часто хочется определить корреляцию между двумя переменными
и понять, насколько сильно они связаны. Возьмем, к примеру, продажи
солнечных очков и посмотрим, как они связаны с продажей мороженого.
Сан-Франциско — отличное место для проведения такого исследования,
и нам предстоит собрать сведения по каждому месяцу продаж в этом
городе. Если выстроить точки графика в осях х (отражает продажи очков) и у (отражает продажи мороженого), для каждого месяца получится
точка (х, у), описывающая данные по обоим видам продаж. Например,
1806
1809
1885–1888
Адриен-Мари Лежандр
размещает данные
методом наименьших
квадратов
Карл Фридрих Гаусс применяет
метод наименьших квадратов
в астрономии
Фрэнсис Гальтон
вводит регрессию
и корреляцию
точка (3, 4) означает, что майские продажи очков принесли
30 000 долларов, а мороженого — 40 000. Таким образом,
можно отметить данные всех месяцев в году в виде точек
(х, у) на диаграмме рассеивания. Для нашего примера значение коэффициента корреляции Пирсона составит примерно + 0,9, что означает сильную корреляцию. Данные явно
выстраиваются вдоль прямой линии. Коэффициент положительный, потому что у прямой положительный градиент —
она развивается на северо-восток.
y
6
5
4
3
!
'( (
$=
!
145
Диаграмма рассеивания
2
Причина и корреляция
1
Если между двумя
'( ! "$
переменными обнаружена корреляция, это еще не означает
1
2
3
4
5
6 x
причинно-следственной связи. Такая связь может существовать, но одного лишь численного довода недостаточно. Применительно к причине/
корреляции принято говорить «ассоциация», и от большего лучше воздерживаться.
Между продажами мороженого и очков от солнца существует сильная корреляция.
С ростом продаж солнечных очков продажи мороженого тоже растут. Абсурдно было бы
утверждать, что увеличение продаж очков приводит к увеличению продаж мороженого.
В возникновении корреляции может быть некая промежуточная переменная, не сразу
нам очевидная. Например, увеличение продаж и солнечных очков, и мороженого
связаны между собой влиянием смены времен года (жаркой погоды летом и прохладной — зимой). В термине «корреляция» таится и еще одна опасность: между переменными корреляция может быть очень сильной, однако ни логической, ни научной связи
может не оказаться. Можно установить корреляцию между номерами домов и совокупным возрастом обитателей каждого дома, но усматривать в этом смысл не стоит.
Корреляция Спирмена
Корреляция практически применима и к другим
случаям. Коэффициент корреляции можно приспособить для упорядоченных
данных — т. е. таких, для которых нужно понимать, в каком порядке они следуют,
а не только их численные значения.
Иногда в нашем распоряжении данные есть лишь в виде их порядковых номеров. Возьмем,
к примеру, Алберта и Зака, двух непреклонных судей, которым необходимо оценить
артистичность соревнующихся фигуристок. Алберт и Зак сами выигрывали олимпийские
медали, и теперь их пригласили судействовать в финале соревнований, в котором участвуют пятеро спортсменов: Энн, Бет, Шарлотт, Дороти и Элли. Если бы Алберт и Зак
оценили их в точности одинаково, все было бы просто, однако в жизни все иначе.
1896
1904
Карл Пирсон публикует
свои наработки
по корреляции и регрессии
Чарлз Эдвард Спирмен
применяет ранговые корреляции
в психологических исследованиях
146
$=
!
!
С другой стороны, мы не ждем от Алберта и Зака противоположных оценок.
В реальности их оценки окажутся где-то посередине между этими крайностями.
По шкале от 1 до 5 Алберт оценил фигуристок так: Энн (лучшая), далее Элли, Бет,
Шарлотт и, наконец, Дороти — на пятом месте. Зак оценил Элли как лучшую, а за ней
Бет, Энн, Дороти и Шарлотт. Сведем эти результаты в таблицу:
Фигуристка
Энн
Элли
Бет
Шарлотт
Дороти
n=5
Оценки Алберта
1
2
3
4
5
Оценки Зака
3
1
2
5
4
Разница, d
–2
1
1
–1
1
Итого:
d2
4
1
1
1
1
8
Как нам оценить степень согласия между судьями? Коэффициент корреляции
Спирмена — инструмент, используемый математиками для такой оценки упорядоченных чисел. Значение этого коэффициента в данном случае равно + 0,6, что означает
невеликое согласие между Албертом и Заком. Если обращаться с парами присужденных мест как с точками, можно построить по ним график и получить зрительное
представление, насколько близко располагаются судейские оценки.
Формула этой корреляции была выведена в 1904 году психологом Чарлзом Спирменом
под влиянием Фрэнсиса Гальтона — как и в случае с Пирсоном.
Прямые регрессии
Формула
Спирмена
5
4
3
2
1
Выше ли вы ростом или ниже обоих ваших родителей или
ваш рост — средний между отцом и матерью? Если бы все мы были выше
наших родителей (а такое происходит в каждом поколении), в один прекрасный день все население было б десяти футов ростом и выше, а такое, конечно, невозможно. Если бы все мы были ниже, то население бы постепенно
измельчало, что в равной мере маловероятно. Правда — где-то посередине.
В 1880-х Фрэнсис Гальтон поставил эксперименты, в которых сравнил рост взрослых
молодых людей с ростом их родителей. Каждому значению переменной х — росту
родителей (точнее, среднее от суммы роста матери и отца) — он поставил
`"
в соответствие рост их отпрыска. Речь идет об ученом-практике,
а следовательно, в ход пошли карандаши и бумага, а с их помощью
возникли таблицы данных. Для среднего роста 205 родителей
и 928 потомков он обнаружил средний рост в 681/4 дюймов, или 5 футов
81/4 дюймов (173,4 см), и это значение назвал посредственностью.
#
1
2
3 4
5
Оценим степень согласия
между двоими судьями
Он обнаружил, что дети очень высоких «усредненных» родителей
обычно выше, чем посредственность, но не настолько рослы, как их
$=
!
!
147
усредненный родитель, тогда как приземистые дети оказались выше своих усредненных родителей, однако ниже посредственности. Иными словами, рост детей регрессировал к посредственности. Это похоже на игру лучшего отбивающего «Нью-йоркских
янки» Алекса Родригеса: за средними показателями его игры в лучшие бейсбольные
сезоны обычно следуют средние похуже, однако в целом они все равно будут лучше
среднего показателя по всем игрокам лиги. В этом случае можно сказать, что его
средние показатели регрессировали к среднему (или среднему арифметическому).
Регрессия — могучая методика широкой применимости. Предположим, одной
исследовательской группе для опроса в некой популярной сети магазинов необходимо
отобрать пять — от маленьких торговых точек с 1000 покупателей в месяц до
гигантских, с 10 000 покупателей в месяц. Исследовательская группа рассматривает
количество персонала, нанятого в каждом магазине, и собирается применить
регрессию для оценки количества персонала, необходимого в других магазинах.
Количество покупателей (в тыс.) 1
Количество сотрудников
24
4
30
6
46
9
47
10
53
V $ " T ($ ! .),
#d= = = =
Построим по этим данным график, где на оси х будем откладывать количество
покупателей (независимая, или объясняющая, переменная), а количество персонала —
по оси у (зависимая, или объясняемая, переменная). Именно количеством покупателей
объясняется необходимое количество сотрудников, а не наоборот. Среднее количество
покупателей в магазинах равно 6 (т. е. 6000), а среднее
количество сотрудников — 40. Прямая регрессии всегда
54
проходит через точку со средним значением, в нашем
48
случае — (6, 40). Существуют формулы расчета прямой
44
регрессии — прямой, наилучшим образом подходящей
40
=
имеющимся данным (ее еще называют прямой
=
(6, 40)
36
'
наименьших квадратов). В нашем случае это прямая
« ==
32
^у = 20,8 + 3,2х, поэтому наклон прямой — 3,2 и он
"»
28
положительный (прямая направлена слева направо
24
вверх); она пересекает вертикальную ось у в точке 20,8.
20
Показатель ^у — оценка значения у, полученного из этой
прямой. Если нам нужно понять, сколько сотрудников
потребуется в магазин с 5000 покупателей в месяц,
5
10
подставим 5 вместо х в уравнение и получим оценочное
V $
"$,
значение ^у = 37. Вот она, практическая польза регрессии.
#d= =?Y= =
В сухом остатке:
Взаимодействие данных
148
"
37 Генетика
Генетика — область биологии, почему же о ней речь в книге
о математике? Ответ таков: две эти науки перекрестно опыляют
и обогащают друг друга. Задачи генетики требуют математики,
однако и генетика подсказывает новые направления алгебре.
Грегор Мендель — центральная фигура в генетике, науке
о наследовании. Наследуемые характеристики — цвет глаз,
волос, цветовая слепота, лево- и праворукость, группа крови —
определяются факторами (аллелями) генов. Мендель говорил,
что эти признаки передаются следующему поколению
независимо друг от друга.
Как же голубоглазость передается следующему поколению? В базовой
модели имеем два признака — b и B:
b — признак голубоглазости,
В — признак кареглазости.
b
b
B
B
B
b
B
B
B
B
Население с генотипами
bb, bB и ВВ в пропорции
1:1:3
У людей эти признаки проявляются попарно, в результате чего
возникает три возможных генотипа — bb, BB и bB (потому что Bb
и bB — одно и то же). Человек является носителем одного из этих трех
генотипов, что и определяет цвет глаз этого человека. Например,
население может состоять на одну пятую из людей с генотипом bb, еще
на одну пятую — с генотипом bB, а оставшиеся три пятых имеют
генотип ВВ. В процентном отношении эти генотипы составляют 20%,
20% и 60% населения. Можно представить эти пропорции графически.
Признак В, обозначающий карий цвет глаз, — доминантный, а b, голубой
цвет глаз, — рецессивный. У человека с чистым генотипом ВВ глаза будут
карими, но тот же цвет глаз будет и у человека со смешанным признаком,
т. е. с генотипом bB, поскольку В — признак доминантный. Человек с чистым генотипом bb — единственный обладатель голубых глаз.
1718
Абрахам де Муавр публикует
«Доктрину шансов»
1865
Грегор Мендель
предполагает существование
генов и законов наследования
"
Животрепещущий вопрос возник в биологии в начале ХIХ века. Станет ли человечество в конце концов полностью кареглазым, а голубоглазость исчезнет совсем? На грани исчезновения ли голубоглазые? Ответ оказался решительно отрицательным.
Закон Харди–Вайнберга
Полученный ответ объяснен законом Харди–
Вайнберга — приложением простой математики к генетике. Он показывает, как
в теории наследственности Менделя доминантный ген не вытесняет рецессивный
целиком, и рецессивный ген не вымирает.
Г. Х. Харди был английским математиком, гордившимся практической неприменимостью
математики. Этот великий исследователь в области чистой математики наиболее известен своим вкладом в генетику, а началось все с единственной математической выкладки на обороте конверта, произведенной после крикетного матча. Вильгельм Вайнберг
же — совсем другого поля ягода. Он был практикующим врачом в Германии и всю жизнь
занимался генетикой. Он открыл этот закон одновременно с Харди в 1908 году.
Закон описывает большой объем населения, в котором спаривание происходит случайно. В нем нет превалирующих пар, т. е. голубоглазые люди не делают предпочтения
голубоглазым. После спаривания ребенок получает по одному признаку от каждого
родителя. Например, гибридный генотип bB, создав пару с гибридным фенотипом bB,
может произвести на свет любой из трех генотипов bb, BB или bB, однако пара bb + ВВ
может дать лишь гибрид bB. Какова вероятность передачи b-признака? Посчитав число
b-признаков, получим, что есть всего два b-признака для любого bb-генотипа и один
b-признак для генотипа bB, и тогда, пропорционально, получим итого 3 b-признака из 10
(в нашем примере с населением, у которого отношения генотипов соответствуют пропорции 1 : 1 : 3). Вероятность передачи b-признака ребенку, таким образом, — 3/10, или
0,3. Вероятность передачи В-признака — 7/10, или 0,7. Вероятность генотипа bb у следующего поколения — 0,3 × 0,3 = 0,09. Полный набор вероятностей представлен в таблице:
B
B
×
b Bb 0,3 0,3 = 0,09 bB 0,3 × 0,7 = 0,49
B Bb 0,3 × 0,7 = 0,21 BB 0,7 × 0,7 = 0,49
Гибридные генотипы bB и Bb идентичны друг другу, и вероятность их возникновения —
0,21 + 0,21 = 0,42.
Выразив в процентах соотношения генотипов bb, bB и BB в новом поколении, получим 9%, 41% и 49%. Поскольку В — доминантный признак, 42% + 49% = 91%, у первого
1908
1918
Годфри Херолд Харди
Роналд Эйлмер Фишер
и Вильгельм Вайнберг показывают, примиряет теорию Дарвина
почему рецессивные гены
с теорией наследования Менделя
не вытесняются доминантными
1953
Открыта структура
двойной спирали ДНК
149
150
"
поколения глаза будут карими. И лишь отдельные люди с генотипом bb покажут наблюдаемые характеристики признака b, т. е. всего у 9% населения глаза будут голубыми.
Начальное распределение генотипов было 20%, 20% и 60%, а в новом поколении оно
стало 9%, 42% и 49%. А дальше? Рассмотрим, что произойдет в следующем поколении,
полученном от этого (второго) путем случайного скрещивания. Пропорция b-признака
есть 0,09 + 1/2 × 0,42 = 0,3, пропорция В-признака — 1/2 × 0,42 + 0,49 = 0,7. Это соотношения, идентичные предыдущим вероятностям передачи признаков b и В. Распределение
генотипов bb, bB и BB в последующем поколении будет таким же, как и в предыдущем,
особенно для генотипа bb, генотипа голубоглазости, который не отмирает, а остается
постоянным у 9% населения. Таким образом, последующие соотношения генотипов
в процессе последовательных случайных скрещиваний:
20%, 20%, 60% 9%, 42%, 49% ... 9%, 42%, 49%.
Такая последовательность соответствует закону Харди—Вайнберга: через поколение
пропорции генотипов остаются постоянными, равно как и вероятность передачи
генотипа.
Доказательство Харди Чтобы убедиться, что закон Харди—Вайнберга действителен для любого начального состава населения, а не только для 20%, 20% и 60%,
который мы взяли для примера, нам лучше всего обратиться к доказательству самого
Харди, которое он предложил издателю американского журнала «Сайенс» в 1908 году.
Харди начинает с того, что обозначает начальное распределение генотипов bb, bB и BB
переменными p, 2r и q, а вероятности передачи p + r и r + q. В нашем численном примере
(20%, 20% и 60%), p = 0,2, 2r = 0,2 и q = 0,6. Вероятность передачи признаков b и В есть
p + r = 0,2 + 0,1 = 0,3, а r + q = 0,1 + 0,6 = 0,7. Допустим, что начальное соотношение
генотипов bb, bB и BB — 10%, 60% и 30%. Как в таком случае сработает закон Харди—
Вайнберга? В этом примере р = 0,1, 2r = 0,6, а q = 0,3, и тогда вероятности передачи
признаков b и В, соответственно, равны p + r = 0,4 и r + q = 0,6. Таким образом, соотношение генотипов в следующем поколении — 16%, 48% и 36%. Последующие соотношения
генотипов bb, bB и BB при случайных скрещиваниях таковы:
10%, 60%, 30% 16%, 48%, 36% ... 16%, 48%, 36%,
и пропорции стабилизируются в исходном виде через поколение, а вероятности передачи в отношении 0,4 и 0,6 остаются постоянными. С этими показателями 16% населения будет голубоглазым, а 48% + 36% = 84% — кареглазым, потому что В в генотипе bВ
доминирует.
Итак, закон Харди—Вайнберга предполагает, что соотношение генотипов bb, bB и BB
остается постоянным из поколения в поколение, какими бы ни были начальные соотношения признаков у населения. Доминантным геном В рецессивный не вытесняется,
и соотношения генотипов по сути устойчивы.
"
Харди подчеркивал, что эта модель — приближение. Ее простота и изящество зависят
от многих допущений, которые в реальности не исполняются. В модели вероятность
генной мутации или изменений в самих генах никак не учитываются, а следствие постоянства вероятностей генной передачи — отсутствие учета фактора эволюции. В реальной жизни присутствует «дрейф генов», и вероятности передачи факторов постоянными не остаются. Это приводит к изменению общих соотношений, и так развиваются
новые биологические виды.
Закон Харди–Вайнберга объединил на сущностном уровне теорию Менделя — «квантовую теорию» генетики — с дарвинизмом и естественным отбором. Он ждал появления
гения Р. Э. Фишера — именно он примирил Менделеву теорию наследования с теорией
непрерывности, согласно которой характеристики вида эволюционируют.
Науке генетике до 1950-х годов не хватало физического понимания, что есть генетический материал как таковой. Тогда-то и произошел прорыв — благодаря Фрэнсису
Крику, Джеймсу Уотсону, Морису Уилкинзу и Розалинд Фрэнклин. Носителем генетической информации оказалась дезоксирибонуклеиновая кислота (ДНК). Для моделирования знаменитой двойной спирали (пары спиралей, обвивающих одну ось) потребовалась математика. Вдоль этой двойной спирали и размещаются гены.
В генетических исследованиях математика необходима. Из базовой геометрии спиралей ДНК и потенциально непростого закона Харди–Вайнберга были развиты математические модели, описывающие множество характеристик (не только цвет глаз),
включая различия по признакам мужского и женского пола, а также учитывающие
неслучайное скрещивание. Генетика как наука в долгу не осталась: благодаря ей в математике возникли новые направления абстрактной алгебры с интересными математическими свойствами.
В сухом остатке:
Смута в генофонде
151
152
!
38 Группы
Эварист Галуа погиб на дуэли в 20 лет, но успел оставить
математикам идей не на одно столетие. Эти идеи касаются
теории групп — математических структур, с помощью которых
можно измерять симметрию. Помимо художественной
ценности, симметрия — обязательный ингредиент будущей
теории всего на свете, о которой мечтают некоторые ученые.
Теория групп — клей, связывающий «все на свете».
Симметрия — повсюду. Она есть у греческих ваз, у снежинок, часто —
у зданий и у некоторых букв алфавита. Симметрия бывает нескольких
видов, главные — зеркальная и вращательная. Мы рассмотрим лишь
двухмерную симметрию — все объекты нашего исследования
размещаются на плоской поверхности этой страницы.
Зеркальная симметрия
Можем мы установить зеркало так,
чтобы объект перед зеркалом выглядел в точности как его
отражение? Слово ПОП зеркально симметрично, а ПОТ — нет;
ПОП перед зеркалом и ПОП в зеркале выглядят одинаково,
а ПОТ превращается в ТОП. У трипода есть зеркальная
симметрия, а у трискелиона (трипода в тапках) — нет.
Трискелион перед зеркалом завернут по кругу направо, а его
отражение в так называемой плоскости изображения — налево.
`"
Вращательная симметрия
"
%#d"
`"
(
А еще можно поставить
вопрос следующим образом: есть ли такая ось, перпендикулярная плоскости страницы, вокруг которой можно повернуть
объект на некоторый угол и он при этом совместится с самим
собой? И у трипода, и у трискелиона вращательная симметрия
есть. Трискелион, что буквально означает «три ноги», — интересная фигура. «Правая» версия — символ острова Мэн, а еще она
присутствует на флаге Сицилии.
1832
Эварист Галуа предлагает
идею групп
преобразований
1854
1872
Артур Кэли пытается
обобщить концепцию групп
Феликс Клейн берется
за разработку классификации
геометрии с применением
теории групп
!
153
Если повернуть эту фигуру на 120 или 240 градусов, повернутое
изображение совпадет с самим собой; если перед поворотом закрыть
глаза и открыть их после, то увидим тот же трискелион.
Любопытно заметить, что сколько ни крути эту трехногую фигуру
на плоскости, «правая» никогда не превратится в «левую». Объекты,
у которых отражение в зеркале отличается от них самих, называются
хиральными — они похожи, но не одинаковы. Молекулярные структуры
некоторых химических веществ могут существовать в «правой» и «левой»
Трискелион
формах — в трехмерном пространстве. Это примеры хиральных объектов.
острова Мэн
Таково вещество лимонен; одна из его форм входит в состав цитрусовых
эфирных масел, а другая — хвойных. Лекарственное вещество талидомид в одной
форме — эффективное средство от утреннего недомогания при беременности, а прием
другой может иметь трагические последствия.
Описание симметрии В случае с трискелионом основные операции
симметрии сводятся к повороту (по часовой стрелке) R на 120° и S — на 240°.
Преобразование I — поворот на 360° — равносильно отсутствию каких-либо действий
над фигурой. Комбинации этих поворотов можно записать в таблицу аналогично
таблице умножения.
Такая таблица подобна обычной таблице умножения с числами, разница
лишь в том, что мы «умножаем» между собой символы. Согласно наиболее
употребимому обозначению, умножение R ° S означает поворот трискелиона
по часовой стрелке на 240° (S), а затем на 120° (R), что в результате дает
поворот на 360°, т. е. никакого изменения вообще. Записать это можно так: R °
S = I, результат этого умножения находится в предпоследнем ряду таблицы,
в последней колонке.
°
I
R
S
I
I
R
S
R R
S
I
S
I
R
Группа симметрии трискелиона состоит из I, R и S, а таблица умножения
показывает результаты их сочетания. Поскольку группа содержит три
элемента, ее размер (или «порядок») равен трем. Представленная таблица
также носит название таблицы Кэли — в честь Артура Кэли, дальнего родственника
сэра Джорджа Кэли, пионера воздухоплавания.
S
Таблица Кэли
для группы
симметрии
трискелиона
Как и трискелион, трипод (без тапок) обладает вращательной симметрией. Но у него
есть еще и зеркальная симметрия, а это — бо2льшая группа симметрии. Обозначим
отражения по трем зеркальным осям как U, V и W.
1891
1983
Евграф Федоров и Артур Шёнфлис
независимо друг от друга
создают классификацию
из 230 кристаллографических групп
Классификация конечных
простых групп завершена,
грандиозная теорема доказана
154
I
I
R
S
U
V
W
°
I
R
S
U
V
W
!
R
R
S
I
W
U
V
S
S
I
R
V
W
U
U
U
V
W
I
R
S
V
V
W
U
S
I
R
Таблица Кэли для группы
симметрии трипода
U
W
W
W
U
V
R
S
I
Большая группа симметрии трипода — ее порядок шесть — состоит
из шести преобразований: I, R, S, U, V и W, все они представлены
в таблице умножения.
Интересное преобразование получается в результате комбинации
двух отражений по разным осям, например U ° W (сначала осуществляем отражение W, а затем — отражение U). Результирующее
преобразование — поворот трипода на 120°, символически это записывается так: U ° W = R. Сочетание отражений в обратном порядке,
т. е. W ° U = S, эквивалентно повороту на 240°. Отдельно отметим,
что U ° W ≠ W ° U. В этом и состоит ключевая разница между таблицей умножения групп и обычной таблицей умножения для чисел.
Группа, в которой порядок умножения элементов не имеет значения,
называется абелевой группой — в честь норвежского математика Нильса
Абеля. Группа симметрии трипода — наименьшая из неабелевых групп.
Абстрактные группы В ХХ веке алгебра тяготела к абстракциям,
а в абстрактной алгебре группа определяется некоторыми базовыми
правилами — аксиомами. С этой точки зрения группа симметрии
Отражения
треугольника есть всего лишь пример некой абстрактной системы.
трипода
В алгебре существуют системы проще групп, они требуют меньшего числа
аксиом; другие — сложнее, и аксиом у них больше. Концепция группы, однако, как раз
то, что надо; это самая важная алгебраическая система. Поразительно: из столь
немногих аксиом возник столь обширный корпус знаний. Преимущество абстрактного
метода — в том, что общие теоремы можно доказать для всех групп и применять
по необходимости для тех или иных конкретных.
V
В теории групп есть одно особое свойство: она допускает наличие малых групп внутри
больших. Группа симметрии трискелиона третьего порядка — подгруппа симметрии
группы трипода с порядком шесть. Ж. Л. Лагранж доказал ключевой факт
о подгруппах: теорема Лагранжа утверждает, что порядок подгруппы всегда делит
порядок группы без остатка. Таким образом, нам точно известно, что у группы трипода
не может быть подгрупп четвертого или пятого порядка.
Классификация групп Существует обширный регламент классификации
всех возможных конечных групп. Нет необходимости перечислять их все, поскольку
некоторые группы построены из нескольких простых, и поэтому нам интересны лишь
простые.
Принцип классификации очень похож на тот, что применяется в химии: он
исходит из представления об основных химических элементах, а не о сложных
веществах, которые из них получаются. Группа симметрии трипода из шести
!
элементов — «сложное вещество»,
полученное из группы поворотов
(третьего порядка) и отражений (второго
порядка).
155
" ! =
Множество элементов G, на котором задана
операция умножения °, называется группой, если:
1. Есть такой элемент 1 внутри G, что
Практически все простые группы можно
1 ° а = а ° 1 = а для всех элементов а в группе G
разделить на известные классы.
(элемент 1 называется «единичным»).
Исчерпывающая классификация,
2. Для любого элемента а в множестве G есть
называемая «грандиозной теоремой»,
—
—
—
элемент а , для которого верно а ° а = а ° а = 1
была предъявлена Дэниэлом
—
(элемент а называется «обратным»).
Горенштейном в 1983 году; эта
3. Для любых элементов а, b и с в G верно:
классификация — результат 30-летней
а ° (b ° с) = (а ° b) ° с
исследовательской работы и публикаций
(ассоциативность умножения).
многих математиков. Это атлас всех
известных групп. Простые группы
попадают в один из четырех основных
типов, однако было обнаружено 26 групп, не подходящих ни под одну из категорий.
Эти группы названы спорадическими.
Спорадические группы — «белые вороны», как правило высокого порядка.
Пять наименьших знал еще Эмиль Матьё в 1860-х годах, однако основная
работа с ними велась между 1965 и 1975 годами. Наименьшая спорадическая
группа имеет порядок 7920 = 24 × 32 × 5 × 11, однако группы действительно великанского порядка — «маленький монстр» и просто «монстр»; порядок последнего
246 × 320 × 5 9 × 76 × 112 × 133 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71, что в степенях
десяти примерно равно 8 × 10 53, или, если угодно, 8 с 53 нулями, а это очень большое
число. Можно доказать, что 20 из 26 спорадических групп есть подгруппы этого
«монстра», но шесть групп совсем уж ни в какую классификацию не вписываются
и известны под названием «парии».
Лаконичные доказательства и краткость математике всегда были дороги, однако
доказательство классификации конечных групп — примерно 10 000 страниц
дотошных символьных доводов. Прогресс математики не всегда происходит за счет
гениев-одиночек.
В сухом остатке:
Измеряем симметрию
156
&!
39 Матрицы
Поговорим о «необычной» алгебре — это революция
в математике, которая произошла в середине XIX века.
Математики веками игрались с монолитами чисел, но мысль
о том, что с этими монолитами можно обращаться как с одним
числом, зародилась 150 лет назад в кружке математиков,
осознавших потенциал такого подхода.
Обыкновенная алгебра традиционна, в ней символы а, b, c, x или y
обозначают отдельные числа. Многим не сразу дается понимание
смысла такого представления, однако для математиков это был
гигантский прорыв. Такой же тектонический сдвиг произвела
и «необычная» алгебра. Для сложных прикладных задач переход
из одномерной алгебры к многомерной оказался невероятно
продуктивным.
Многомерные числа В обычной алгебре а может
представлять, например, число 7, и тогда мы пишем а = 7, однако
в теории матриц А — «многомерное число», например, вот такой
«слиток»:
7 5 0 1
A = 0 4 3 7
3 2 0 2
У этой матрицы три ряда и четыре столбца (матрица 3 × 4), но в принципе матрицы бывают с любым количеством рядов и столбцов — даже
великаны 100 × 200, в которых 100 рядов и 200 столбцов. Важнейшее
преимущество матричной алгебры заключается в возможности
оперировать огромным массивом чисел — как в статистике, например, — как единой сущностью. Более того, с этими массивами чисел
можно управляться просто и эффективно. Если нужно сложить или
умножить все числа в двух наборах данных по 1000 чисел в каждом, нам
200 . .
1850
1858
Китайские математики
пользуются таблицами чисел
Джеймс Джозеф Сильвестр
вводит термин «матрица»
Артур Кэли
публикует
«Мемуар
о теории матриц»
&!
не придется производить 1000 операций — достаточно будет одного (сложения или
умножения матриц).
Практический пример
Предположим, матрица А представляет недельный
объем производства компании «АЯКС». У «АЯКСА» есть три фабрики, расположенные
в разных частях страны, а их производительность измеряется в единицах (допустим,
в тысячах штук) изготовляемой ими продукции. В нашем примере количества,
увязанные с матрицей на предыдущей странице, таковы:
продукт 1 продукт 2 продукт 3 продукт 4
фабрика 1
фабрика 2
фабрика 3
7
0
3
5
4
2
0
3
0
1
7
2
На следующей неделе производственный план может оказаться другим, и его мы запишем
как другую матрицу, В. Допустим, производственный план (матрица В) выглядит так:
9410
В = 0 5 1 8
4110
Какова суммарная производительность за две недели? Теоретики матриц сообщают,
что ответ — сумма матриц А и В, равная сумме соответствующих чисел:
7 + 9 5 + 4 0 + 1 1 + 0 16 9 1 1
A + B = 0 + 0 4 + 5 3 + 1 7 + 8 = 0 9 4 15
3+4 2+1 0+1 2+0 7 3 1 2
Все, в общем, просто. Как ни жаль, умножение матриц куда менее очевидно. Вернемся
к компании «АЯКС» и предположим, что прибыль с каждого из четырех видов продукции — 3, 9, 8, 2. Общую прибыль фабрики 1 с производительностью по четырем видам
продуктов 7, 5, 0, 1 мы, конечно, посчитать можем — вот так: 7 × 3 + 5 × 9 + 0 × 8 + 1 × 2 = 68.
Но фабрик несколько, и мы можем так же просто вычислить общую прибыль Т всех
фабрик:
Георг Фробениус доказывает
некоторые ключевые выводы
матричной алгебры
Вернер Гейзенберг (Хайзенберг)
применяет матричную механику
в квантовой теории
157
158
&!
Приглядитесь внимательнее, и увидите умножение ряда на столбец — ключевую
операцию матричного умножения. А если помимо прибылей с отдельных продуктов
нам даны и объемы производимых продуктов по имеющимся типам — 7, 4, 1, 5, — мы
можем одним махом посчитать и прибыли, и количество мест хранения для всех трех
фабрик — одним матричным умножением:
7501
0437×
3202
3 7 68 74
9 4 = 74 54
8 1 31 39
2 5
Итого мест хранения необходимо 74, 54 и 39 — согласно второму столбцу
результирующей матрицы. Теория матриц — могучая штука. Вообразите компанию
с сотней фабрик, тысячами видов продукции, разными объемами прибыли с каждого
продукта и потребность в хранении, разнящуюся от недели к неделе. Матричная
алгебра позволяет рассчитывать и понимать подобные конструкты практически
немедленно, не беспокоясь о деталях.
Матричная алгебра и алгебра обычная Между матричной и обычной
(«школьной») алгеброй существует множество параллелей, однако самое знаменитое
различие — в умножении матриц. Умножим матрицу А на матрицу В, а потом попробуем
наоборот и получим:
Таким образом, в матричной алгебре А × В может отличаться от В × А, а в обычной
алгебре такого быть не может — результат умножения двух чисел не зависит
от перемены мест множителей.
Еще одно различие — в обратных величинах. В обычной алгебре обратное число найти
проще простого. Если а = 7, обратная величина — 1/7, поскольку обратные числа при
умножении друг на друга дают единицу: 1/7 × 7 = 1. Можно записать число, обратное а,
так: а – 1 = 1/7, и тогда а – 1 × а = 1.
Возьмем пример из теории матриц
что
и докажем, что
, где Е
, потому
— так называемая единичная
матрица, аналог 1 в обычной алгебре. В ней лишь у нуля нет обратного числа, в то
время как в матричной алгебре обратной нет у многих матриц.
&!
Командировочный план Другой пример применения маE
триц — анализ системы маршрутов авиакомпаний, включающей и крупные узловые, и маленькие аэропорты. На практике в эти системы
включены сотни пунктов назначения, но мы возьмем небольшой
P
L
частный пример: узловые аэропорты Лондон (L) и Париж (P), маленькие — Эдинбург (Е), Бордо (В) и Тулуза (Т) — и сконструируем систему
всех возможных прямых перелетов. Прежде чем анализировать такую
систему на компьютере, его надо запрограммировать с применением
B
T
матриц. Если прямой перелет между двумя аэропортами есть (как,
например, между Лондоном и Эдинбургом), на пересечении ряда
и столбца, обозначенных соответствующими аэропортами, вписывают 1. Обозначим
«матрицу смежности», описывающую нашу систему перелетов, изображенную на рисунке справа, буквой А.
Подматрица в нижнем углу (выделена пунктиром) показывает,
что прямых перелетов между тремя небольшими аэропортами
нет. Результат умножения матрицы А на саму себя, А × А = А2,
можно интерпретировать как ответ на вопрос о количестве
перелетов между двумя аэропортами с одной и только одной
пересадкой. Например, из Лондона в Парижможно попасть
тремя разными непрямыми маршрутами — через другие города,
однако из Лондона в Эдинбург ни одного маршрута с пересадками нет. Число прямых маршрутов или маршрутов с одной
остановкой — элементы матрицы А + А2 . Это еще один пример
способности матриц выделять суть из огромного множества
данных — всего одной вычислительной процедурой.
В 1850-х годах небольшая группа математиков создала теорию
матриц, но искала она решение задач чистой математики.
С прикладной точки зрения теория матриц оказалась «разгадкой без загадки». Но, как
это обычно бывает, «загадки» возникли, и им нужны были разгадки. Одним из ранних
приложений стала «матричная механика», элемент квантовой теории: ее исследовал
в 1920-х Вернер Гейзенберг. Другим пионером прикладных аспектов теории матриц
и матричной алгебры стала Ольга Таусски-Тодд, одно время занимавшаяся проектированием летательных аппаратов. На вопрос, как она открыла для себя матричную
алгебру, Ольга ответила, что все вышло наоборот — матричная алгебра открыла ее.
Таковы уловки математики.
В сухом остатке:
Складываем числа горстями
159
160
"!
40 Коды
Что общего у Юлия Цезаря с передачей современных
цифровых сигналов? Если коротко — шифр и кодирование.
Для отправки цифровых сигналов компьютеру или цифровому
телевизору необходимо кодировать изображение и звук нулями
и единицами — двоичным кодом, ибо приборы способны
понимать лишь этот язык.
Цезарь ценил точность — она же важна для эффективной передачи
цифровых сигналов. А еще Цезарю хотелось, чтобы его коды были
ведомы ему одному — так же, как того хотят телевизионные спутниковые компании: пусть лишь оплатившие подписчики получают сигналы
в понятном виде.
Рассмотрим для начала точность. Человеческий фактор и «помехи
на линии» необходимо нейтрализовать. Математический подход позволяет нам сконструировать системы кодирования, обнаруживающие
и исправляющие такие ошибки автоматически.
Обнаружение и исправление ошибок Один из первых двоичных кодов — азбука Морзе, оперирующая двумя символами — точками « » и тире « ». В 1844 году американский изобретатель
Сэмюэл Ф. Б. Морзе отправил из Вашингтона в Балтимор первое
междугороднее сообщение, закодировав его по своему методу. Этот
код, придуманный для электрического телеграфа середины ХIX века,
был не слишком эффективен. В азбуке Морзе буква А кодируется « »,
В — в виде «
», С — в виде «
», остальные буквы — аналогично,
разными сочетаниями точек и тире. Телеграфист, отправляющий буквосочетание «САВ», настучит последовательность «
/ /
».
Невзирая на свои полезные качества, азбука Морзе, увы, уязвима для
ошибок и совсем не пригодна для их исправления. Если телеграфистуморзянщику нужно отправить «САВ», а он опечатался в одном тире в С,
•
—•••
—
•—
—•—•
—•—• •— —•••
55 . .
%" 1750
Юлий Цезарь завоевывает Британию
и применяет шифрование
для общения со своими полководцами
Леонард Эйлер закладывает
основу для криптографии
на открытых ключах
"!
161
забыл тире в А, а помехи на линии заменили тире на точку в В, до получателя дойдет
сообщение «
//
», и он как ни в чем не бывало интерпретирует полученное
как «FEZ».
••—• • — —••
Возьмем что-нибудь попроще — систему кодирования, состоящую лишь из 0 и 1, где
0 обозначает какое-нибудь одно слово, а 1 — другое. Допустим, главнокомандующий
армией должен отправить сообщение войскам: «в атаку» или «выжидать». «В атаку» кодируется «1», а «выжидать» — «0». Если вдруг при передаче возникнет ошибка, получатель никогда этого не узнает, и будет отдана неправильная команда — с устрашающими
последствиями.
Улучшить положение дел можно использованием кодовых слов из двух знаков. Если
команду «в атаку» закодировать как 11, а «выжидать» как 00, уже станет проще. Ошибка
в одну цифру даст нам 01 или 10 на выходе. Поскольку установленными кодовыми
словами являются только 11 или 00, получатель точно поймет, есть ошибка в сообщении или нет. Преимущество такой системы именно в том, что ошибку можно заметить,
однако по-прежнему непонятно, как ее исправить. Если получено сообщение 01, как
нам понять, что было отправлено — 00 или 11?
Метод дальнейшего усовершенствования системы — удлинение слов кода. Если закодировать команду «в атаку» как 111, а «выжидать» — 000, ошибка в одну цифру будет заметна сразу, как и в предыдущем случае. Если нам известно, что больше одной ошибки
возникнуть не может (разумное допущение: две ошибки в одном закодированном слове
маловероятны), получатель сможет исправить эту ошибку. Например, если получено
сообщение 110, правильным будет сообщение 111. По нашим правилам оно не может
быть 000, поскольку это означает две ошибки в сообщении 110. В такой системе есть
лишь два кодовых слова — 000 и 111, но они достаточно разнятся для того, чтобы возможная ошибка была замечена и исправлена.
По тому же принципу устроено автоматическое исправление ошибок при печати. Если
напечатать «жевотное», текстовая программа обнаруживает ошибку и исправляет ее,
подобрав наиболее похожее слово — «животное». В языке, правда, исправить любую
ошибку таким способом не удастся: у напечатанного с ошибкой слова «кушка» нет
уникального правильного эквивалента — слова «кошка», «пушка», «мушка», «кашка»,
«кишка» и многие другие равноудалены на одну ошибку от буквосочетания «кушка».
Современный двоичный код состоит из кодовых слов-блоков, собранных из нулей
и единиц. Подбирая подходящие кодовые слова, достаточно далекие по написанию
1844
1920-
1950
1970-
Сэмюэл Б. Ф. Морзе
передает первое сообщение
с применением собственного
кода
Разработана
шифровальная
машина «Энигма»
Ричард Хэмминг публикует
основополагающий труд
по определению и исправлению
ошибок кодирования
Разработана криптография
на открытых ключах
162
"!
друг от друга, можно обеспечить и нахождение, и устранение ошибок. Кодовые обозначения азбуки Морзе слишком близки друг к другу в символах, однако современные
системы кодировки, обеспечивающие передачу данных со спутников, могут быть настроены на автокорректирующий режим.
Длинные кодовые слова с высокой эффективностью исправления ошибок пересылать
дольше, поэтому необходим компромисс между длиной и скоростью передачи. Полеты
аппаратов НАСА в глубокий космос применяют кодировки, допускающие исправления
до трех ошибок в одном закодированном слове, и этого, как выяснилось, достаточно
для преодоления помех на линии.
Тайные шифры
Юлий Цезарь желал хранить свои сообщения в тайне и для этого менял буквы в сообщениях местами в соответствии с ключом, который знал лишь
он и его полководцы. Если бы ключ попал в чужие руки, враги могли бы разобрать эти
шифровки. В Средние века Мария Стюарт отправляла шифрованные сообщения из
тюрьмы. Мария желала свергнуть свою двоюродную тетку, королеву Елизавету I, однако ее зашифрованные сообщения перехватили. Ее код был затейливее римского способа шифровки путем перемены мест букв в соответствии с определенным алгоритмом:
Мария Стюарт использовала метод замены слов, однако разгадать ключ и прочесть
сообщение можно было, проанализировав частоту определенных букв и символов.
Во время Второй мировой войны немецкий код «Энигма» был взломан — к нему нашли
ключ. В этом случае задача стояла грандиозная, но шифры уязвимы всегда — вместе
с закодированным сообщением передают и ключ к нему.
Поразительное развитие в области шифровки сообщений случилось в 1970-х. Вопреки
всему, во что ранее верили, выяснили, что тайный ключ можно транслировать в общем
доступе, а сообщение тем не менее останется по-прежнему недоступным. Так появилась криптография с открытым ключом. Этот метод основан на теореме 200-летней
давности из области математики, прославленной своей бесполезностью.
Шифрование открытыми ключами Мистер Джон Отправлер, тайный
агент, известный шпионскому братству как Джей, только что прибыл в город и желает
отправить своему резиденту, доктору Родни Получингу, тайное сообщение — уведомить
о своем прибытии. Его действия в этой связи довольно любопытны. Он отправляется
в публичную библиотеку, добывает с полки городской справочник и отыскивает в нем
д-ра Р. Получинга. В справочнике против этого имени он находит два номера — длинный (247) и короткий (5). Эта информация открыта всем и каждому, и как раз ее-то
Джону Отправлеру хватит для шифровки сообщения — это попросту его, Джея, визитная карточка. Эта буква, J, 74-я по счету в каком-нибудь общедоступном списке слов.
Отправлер кодирует 74, вычислив результат деления 745 с неполным частным 247, т. е.
выясняет, каков остаток от деления 745 на 247. Посчитать, сколько будет 755, можно
с помощью бытового калькулятора, но важна точность:
"!
745 = 74 × 74 × 74 × 74 × 74 = 2 219 006 624
и
2 219 006 624 = 8 983 832 × 247 + 120,
таким образом, разделив это огромное число на 247, Отправлер получает в остатке 120.
Его шифрованное сообщение — 120, его он и отправляет Получингу. Поскольку числа
247 и 5 общедоступны, зашифровать такое сообщение мог кто угодно. Но не кто угодно
сможет его расшифровать. Д-р Р. Получинг располагает большей информацией. Его
личный номер — 247 — результат умножения двух простых чисел, р = 13 и q = 19, однако
это известно лишь ему одному.
Тут-то из закромов и извлекается древняя теорема, с которой стряхнул пыль Леонард
Эйлер. Д-р Р. Получинг применяет знание о р = 13 и q = 19 и вычисляет значение а, для
которого верно 5 × а 1 mod (p – 1)(q – 1), где символ модульной арифметики означает
«сравнимы по модулю». Каково должно быть а, чтобы деление 5 × а на 12 × 18 = 216 давало в остатке 1? Опуская вычисления, Получинг находит, что а = 173.
Поскольку лишь ему одному известны значения простых чисел р и q, никто, кроме
д-ра Получинга, не сможет определить число 173. Зная это число, он может вычислить
остаток от деления громадного числа 120173 на 247. Эту операцию на обычном калькуляторе не проделать, но при помощи компьютера — просто. Ответ — 74, о чем Эйлер знал
еще двести лет назад. Добыв эту информацию, Получинг отыскивает в списке слово
№ 74 и узнает, что Джей в городе.
Можно возразить, дескать, взломщик кода мог обнаружить, что 247 = 13 × 19, и тогда
шифровка оказалась бы раскрытой. Все верно. Однако принцип шифровки и расшифровывания будет тот же самый, примени д-р Получинг другое число вместо 247. Он
мог бы выбрать два очень больших простых числа и перемножить их с результатом,
гораздо большим, чем 247.
Найти два простых делителя очень большого числа практически невозможно. Каковы,
например, делители 24 812 789 922 307? А можно выбрать числа и побольше. Система
открытых ключей безопасна, и даже если объединить мощь нескольких суперкомпьютеров и успешно определить делители зашифрованного числа, д-ру Получингу нужно
всего лишь взять еще большее число. Ему гораздо проще «смешать ящик черного
и ящик белого песка», как в старинной задачке, чем любому взломщику разделить
песок по цветам.
Последние комментарии
21 часов 9 минут назад
1 день 2 часов назад
1 день 10 часов назад
1 день 12 часов назад
1 день 12 часов назад
2 дней 23 часов назад