Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс: углубленный уровень [Мария Владимировна Ткачева] (pdf) читать постранично, страница - 3

2 + ... + 76 + 77, m = 273.
2. 4 Доказать, что число a делится на 5, если:
2) a = 47 + 26.
1) a = 49 + 1;
3. 3 Выяснить, делится ли на 8 число a, если:
1) a = 12345678;
2) a = 345678910.
4. 4 Выяснить, делится ли на 37 число a, если:
1) a = 3335552 + 2224443;
2) a = 7776664 + 8883335.
5. 5 Выяснить, делится ли на 11 число a, если:
2) a = 1018 + 9561001.
1) a = 1016 + 964116;

§ 4.

Cравнения

Примеры с решениями
1. Найти все целые числа x, такие, что x  3 (mod 7)
и x  [– 15; 20].
Р е ш е н и е. Искомые числа принадлежат множеству
чисел вида x = 3 + 7k, k  Z. Из них отрезку [– 15; 20]
принадлежат числа – 11, – 4, 3, 10, 17.
2. Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 4 ⭈ 3519 + 13 ⭈ 5215, m = 17;
2) a = 3 ⭈ 525 + 47 ⭈ 96, m = 19;
3) a = 5 ⭈ 7243 + 16132 + 3430, m = 10.
Р е ш е н и е. 1) Так как 35  1 (mod 17), 52  1 (mod 17),
то a  4 + 13 (mod 17), т. е. a делится на 17.
9

2) Пользуясь тем, что 25  6 (mod 19), 47 ⭈ 96 = 4 ⭈ 612,
525  5 ⭈ 612 (mod 19), имеем a  15 ⭈ 612 + 4 ⭈ 612  0 (mod 19),
т. е. a делится на 19.
3) Так как 7243  73  3 (mod 10), 16132  6 (mod 10),
3430  32 (mod 10), то a  5 ⭈ 3 + 6 + 9  0 (mod 10), т. е. a
делится на 10.
3. Найти остаток от деления числа a = 2425 + 5037 на 17.
Р е ш е н и е. Так как 2425 = 2 ⭈ 16106, 16  – 1 (mod 17),
50  – 1 (mod 17), то a  2 – 1 (mod 17), т. е. остаток от
деления числа a на 17 равен 1.
4. Найти остаток от деления числа 6192 на 17.
Р е ш е н и е. Так как 6192 = 3696, 36  2 (mod 17), то
192
6  296 (mod 17).
Но
16  – 1 (mod 17),
296 = 1624,
1624  (– 1)24 (mod 16), откуда следует, что 6192  1 (mod 17),
т. е. остаток от деления числа 6192 на 17 равен 1.

Задания для самостоятельной работы
1. 4 Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 5 ⭈ 251 + 21 ⭈ 3245, m = 31;
2) a = 461 + 27 ⭈ 3277, m = 31.
2. 5 Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 3 ⭈ 273 + 9 ⭈ 1629, m = 17;
2) a = 5 ⭈ 431 + 7 ⭈ 1837, m = 17.
3. 6 Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 15254, m = 17; 2) a = 12316, m = 19.

§ 5.

Решение уравнений в целых числах

Примеры с решениями
1. Найти все целочисленные решения уравнения:
1) 10x + 21y = 1; 2) 45x + 21y = 8.
Р е ш е н и е. 1) Числа 10 и 21 взаимно просты, а пара
чисел (– 2; 1) является решением этого уравнения. Тогда
(глава II, § 5 учебника) все целочисленные решения
этого уравнения задаются формулами
x = – 2 + 21t, y = 1 – 10t, t  Z.
2) Так как коэффициенты 45, 21 и 8 уравнения не
имеют общего делителя, отличного от единицы, а наибольший общий делитель чисел 45 и 21 равен 3 (эти числа не являются взаимно простыми), то данное уравнение
не имеет целочисленных решений.
10

2. Найти целочисленные решения уравнения
x2 = 12y + 5.
Р е ш е н и е. Если x делится на 3, то x2 – 12y делится
на 3 при любом y  Z, а число 5 не делится на 3. Если x
не делится на 3, то остаток от деления x2 на 3 равен 1,
а остаток от деления правой части уравнения на 3 равен 2.
Следовательно, уравнение не имеет целочисленных
решений.
3. Доказать, что уравнение x2 – 2y2 = 204 не имеет
целочисленных решений.
Р е ш е н и е. Если числа x и y делятся на 3, то левая
часть уравнения делится на 9, а правая нет.
Если только одно из чисел делится на 3, то левая
часть уравнения не делится на 3, а правая часть делится
на 3.
Если оба числа x и y не делятся на 3, то левая часть
не делится на 3, так как в этом случае остаток от деления x2 и y2 на 3 равен 1. И в этом случае нет целочисленных решений.
4. Найти целочисленные решения уравнения
3x2 – 8xy – 16y2 = 19.
Р е ш е н и е. Разложив левую часть уравнения на множители (способом группировки либо с помощью решения
квадратного уравнения относительно x или y), запишем
уравнение в виде (3x + 4y) (x – 4y) = 19.
Так как делителями числа 19 являются числа  1,
 19, то искомое множество решений содержится в множестве всех целочисленных решений следующих систем
уравнений:

冦
3) 3x + 4y = – 19,
冦 x – 4y = – 1;

1)

3x + 4y = 19,
x – 4y = 1;

冦
4) 3x + 4y = – 1,
冦 x – 4y = – 19.

2) 3x + 4y = 1,
x – 4y = 19;

Первая и третья из этих систем имеют целочисленные решения (5; 1) и (– 5; – 1), остальные не имеют целочисленных решений.
5. Найти целочисленные решения уравнения
2x2y2 + y2 = 14x2 + 25.
Р е ш е н и е. Выразив из уравнения y2 через x2, запи18
.
шем его в виде y2 = 7 + ᎏ
2
2x + 1

11

Если x = 0, то y2 = 25, y =  5. Если x2 = 1, то y2 = 13,
а если x2 = 4, то y2 = 9, y =  3. При других целых значе18
ниях x знаменатель дроби ᎏ
больше числителя.
2
2x + 1

Итак, уравнение имеет шесть целочисленных решений:
(0; 5), (0; – 5), (2; 3), (2; – 3), (– 2; 3), (– 2; – 3).
6. Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяю17x2 + 8xy + y2 = 2,
щие системе уравнений
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 1.

冦

Р е ш е н и е. Из второго уравнения следует, что
(x – 1)2  1, или  x – 1   1. Этому условию удовлетворяют
целые числа x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.
Если x = 0, то из второго уравнения находим y = – 4.
Пара чисел (0; – 4) не удовлетворяет первому уравнению
системы.
Если x = 1, то  y + 4  = 1, откуда находим y1 = – 5, y2 = – 3.
Обе пары чисел (1; – 5) и (1; – 3) удовлетворяют первому
уравнению системы.
Наконец, если x = 2, то y = – 4. Пара чисел (2; – 4) не
удовлетворяет первому уравнению системы.
Итак, данная система имеет два целочисленных решения: (1; – 5) и (1; – 3).

Задания для самостоятельной работы
1. 3
2. 4
3. 5
4. 5
5. 6
6. 5

Найти все целочисленные решения уравнения (1—5).
1) 5x – 3y = 13;
2) 4x – 5y = 17.
2
2) x2 = 9y + 8.
1) x = 3y + 5;
2
2
2 2
2) 3x2y2 + 4y2 = 24x2 + 48.
1) 2x y + y – 6x – 10 =