5b. Электричество и магнетизм [Ричард Филлипс Фейнман] (fb2) читать постранично, страница - 3

плоского конденсатора предположим, что Р — величина постоянная, поэтому достаточно будет только посмот­реть, что происходит на поверхностях. На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) эффективно выдвинулись на расстояние d, а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии d. Возникает, как показано на фиг. 10.5, поверх­ностная плотность зарядов, которую мы будем называть поляризационным зарядом.

Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если пло­щадь пластинки равна А, то число электронов, которое ока­жется на поверхности, есть произведение А и N (числа электро­нов на единицу объема), а также смещения S, которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона qe. Чтобы найти поверхностную плотность поляризационных за­рядов, индуцируемую на поверхности, разделим на А. Вели­чина поверхностной плотности зарядов равна

Но она равна как раз длине Р вектора поляризации Р [формула (10.4)]:

Фиг. 10.5. Диэлектрик в однородном поле. Положительные заряды сместились на расстояние d относи­тельно отрицательных.

(10.5)

Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала. Поверхностный заряд, конечно, на одной поверх­ности положителен, а на другой отрицателен.

Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектри­ком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также име­ют поверхностный заряд (который мы обозначим sсвоб, потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке. Следует подчеркнуть, что sпол существует только благодаря sсвоб. Если, разрядив конденсатор, удалить sсвоб, то sпол также исчезнет, но он не стечет по проволо­ке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь ма­териала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике.

Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности S, изображенной на фиг. 10.1. Электрическое поле Е в диэлект­рике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной на e0. Очевидно, что sпол и sсвоб имеют разные знаки, так что

(10.6)

Заметьте, что поле Е0между металлической пластиной и по­верхностью диэлектрика больше поля Е; оно соответствует только sсвоб. Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток между пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать

(10.7)

Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно Р. Здесь мы, однако, предпо­лагаем, что Р зависит от Е и, более того, пропорционально Е. Эта пропорциональность обычно записывается в виде

(10.8)

Постоянная c (греческое «хи») называется диэлектрической вос­приимчивостью диэлектрика.

Тогда выражение (10.7) приобретает вид

(10.9)

откуда мы получаем множитель 1/(1+c), показывающий, во сколько раз уменьшилось поле.

Фиг.10.6. Количество ааряда, прошедшее через элемент вообра­жаемой поверхности в диэлект­рике, пропорционально компонен­те Р, нормальной к поверхности.

Напряжение между пластинами есть интеграл от электри­ческого поля. Раз поле однородно, интеграл сводится просто к произведению Е и расстояния между пластинами d. Мы по­лучаем

Полный заряд конденсатора есть sсвоб А, так что емкость, определяемая формулой (10.2), оказывается равной

(10.10)

Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Если заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость возрастает на множитель

(10.11)

который характеризует свойства данного материала. Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация.

Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация Р не всюду одинакова. Мы уже говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в ма­ленький элемент объема может войти больше зарядов, чем вый­дет с другой. Как определить, сколько зарядов теряется или приобретается в маленьком объеме?

Подсчитаем сначала, сколько зарядов проходит через вооб­ражаемую плоскость, когда материал поляризуется. Коли­чество заряда, проходящее через поверхность, есть просто Р, умноженное на площадь