Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика [Хавьер Арбонес] (fb2) читать постранично, страница - 2

издаваемые при колебаниях струн, длины которых выражались небольшими числами, оказывались самыми приятными, то есть самыми гармоничными. На основе этих наблюдений пифагорейцы создали математическую модель физического явления, в которой при этом учитывалась и эстетическая составляющая. Нечто подобное произошло позднее, в эпоху Возрождения, когда понятие красоты стали связывать с золотым сечением.

Простейшее соотношение образуется, если зажать струну ровно посередине. Это отношение в численном виде записывается как 2:1 и соответствует интервалу в одну октаву (например, от ноты до до следующего до). Еще одно простейшее соотношение образуется, если прижать струну в точке, отстоящей от конца струны на треть ее длины. В численном виде это отношение записывается как 3:2 и соответствует интервалу в одну квинту (интервал от до до соль). Если прижать струну в точке, отстоящей от ее конца на четверть длины, что в численном виде записывается как 4:3, получится интервал, известный под названием кварта (интервал от до до фа).

* * *

ЗВУКИ ПЛАНЕТ

Представление о гармоничном космосе было частью классической культуры, пережившей второе рождение в эпоху Возрождения. Воплощением этого представления, которое изучали пифагорейцы, а также Аристотель и Платон, является гармония сфер. Ее суть заключается в том, что планеты при движении издают звуки, не слышимые человеком, и эти звуки являются созвучными, то есть гармоническими. Немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571–1630) изучал религию, этику, диалектику, риторику, а также физику и астрономию. Он был сторонником гелиоцентрической теории и следовал заветам пифагорейцев и Платона. В начале XVII века движение планет считалось загадочным даже в научных кругах. Считалось, что объяснить его можно было лишь волей Бога.

Кеплер пролил свет на эту загадку, открыв законы движения планет, что стало одним из величайших научных открытий всех времен. Однако этим он не ограничился и включил в свою теорию классическое представление о гармонии сфер. Так, в своей книге Harmonices Mundi («Гармония мира») 1619 года Кеплер помимо астрономических законов изложил тезис о том, что каждая планета при вращении вокруг Солнца издает звук, зависящий от ее угловой скорости. Эта угловая скорость максимальна в перигелии (точке, ближайшей к Солнцу) и афелии (точке, наиболее удаленной от Солнца) эллиптической орбиты планеты. Кеплер сравнил звуки, соответствующие перигелию и афелию орбит всех планет, а также звуки, издаваемые соседними планетами. Затем он разработал музыкальный строй и аккорды, соответствующие этим звукам. Согласно его расчетам, мелодии Венеры и Земли в разных точках орбиты отличались на полутон или менее, а мелодия Меркурия изменялась более чем на одну октаву. Кеплер был религиозным человеком, поэтому придерживался мысли, что звучание планет очень редко оказывается гармоничным — возможно, лишь единожды, в момент божественного Сотворения.

Иллюстрация из книги Harmonices Mundi Иоганна Кеплера, на которой записаны предполагаемые звуки, издаваемые планетами.

ПИФАГОР САМОССКИЙ (ОК. 570 — ОК. 490 ГГ. ДО Н. Э.)

Пифагор родился на греческом острове Самос. Вдохновленный примером философа и математика Фалеса Милетского, он совершил длительное путешествие в Египет и Месопотамию, где изучал различные науки. Путешествие побудило его создать собственную школу, в которой сочетались различные естественно-научные, эстетические и философские дисциплины. Пифагор и его последователи изучали самые разнообразные области знания: акустику, музыку, арифметику, геометрию, астрономию. Слава Пифагора и его школы была столь велика, что ему приписывается авторство одной из фундаментальных теорем геометрии — теоремы Пифагора, которая была известна на Востоке несколькими веками ранее. В виде формулы теорема Пифагора записывается так:

а² + Ь² = с².

Это уравнение имеет бесконечно много целых решений, которые называются пифагоровыми тройками. Любые три числа, образующие пифагорову тройку, являются длинами сторон угольника — инструмента, используемого в сельском хозяйстве и различных ремеслах для построения прямых углов.

* * *

Таким образом, становится очевидно, что если длины струн удовлетворяют соотношению

(n + 1)/n,

то соответствующие им звуки будут гармоническими, приятными слуху. Пифагорейцы считали это доказательством прямой взаимосвязи между числами и гармонией, красотой.

Абсолютная высота звуков

Чтобы лучше понять важность открытий, совершенных пифагорейцами, следует различать абсолютную и относительную высоту звука. Каждая музыкальная нота задает высоту, в зависимости от которой звук называется низким или высоким. Высота звука определяется частотой