Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике [Энрике Грасиан] (fb2) читать постранично, страница - 46

сих  пор  не  найден  и, возможно,  не  будет  найден  никогда.

 С  другой  стороны,  чем  больше  ученые  изучают  субатомные  частицы,  тем  более важную  роль  в  физике  начинают  играть  бесконечно  малые  величины.  Атом  как  таковой  перестал  быть  неделимым,  каким  его  считали  древние  греки,  и  стал  подобен Солнечной  системе  в  миниатюре.  Однако  физики  не  остановились  на  этом:  были открыты  частицы,  содержащиеся  внутри  атомного  ядра,  и  их  размеры  составляют менее  10^-15  метра.  Пока  что  можно  вести  речь  о  невообразимо  малых,  но  не  бесконечно  малых  величинах.  Тем  не  менее  в  одной  из  физических  теорий,  которую оказалось  труднее  всего  подтвердить  экспериментально,  а  именно  в  квантовой  электродинамике,  изучаются  элементарные  частицы,  в  частности  электроны  и  кварки, которые  с  точки  зрения  математики  рассматриваются  как  точки,  следовательно,  они подобны  точкам  вещественной  прямой  и  ведут  себя  похожим  образом.

 Возможно,  ученые  когда-нибудь  докажут,  что  в  природе  не  существует  и  никогда  не  существовало  различий  между  потенциальной  и  актуальной  бесконечностью и  что  противоречие  между  ними  лишь  мнимое.

Приложение

Иррациональность √2

Первое известное доказательство иррациональности квадратного корня из 2 принадлежит философу-досократику, представителю пифагорейской школы Гиппасу из Метапонта (род. ок. 500 г. до н. э.), который, создав это доказательство, не только проявил способности к математике, но и затронул тему, табуированную в его среде. Не будем забывать о легенде, согласно которой за всякое упоминание о существовании иррациональных чисел пифагорейцы карали смертью.

Как и в большинстве подобных доказательств, включая и приводимое в некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида, в доказательстве Гиппаса используется метод доведения до абсурда. На современном языке его доказательство звучит следующим образом.

Если √2 — рациональное число, это означает, что его можно представить как частное двух целых вида

√2 = p/q

Отметим, что эта дробь является несократимой, то есть ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

2 = p²/q²

и, как следствие,

p²= 2q²

Это означает, что р² четно, поэтому р также четно. Таким образом, р можно представить как число, кратное 2, то есть в виде р = 2n. Имеем

2q² = р² = (2n)² = 4n².

Упростив равенство, получим

q² = 2n².

Иными словами, q² четное, поэтому q также четное. Мы пришли к выводу, что и р, и g — четные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби p/q имеют общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что √2 нельзя представить в виде частного двух целых.

Первые приближенные значения √2 содержали всего 4–5 знаков после запятой.

Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается так:

√2  1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.

С помощью современных компьютеров можно получить приближенное значение этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.

Множества чисел

Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные определения, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так называемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, … обозначается буквой . Это множество записывается так:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….}

Некоторые авторы не включают 0 в множество натуральных чисел, что совершенно оправданно: это число появилось в результате длительных и глубоких размышлений, поэтому его сложно назвать натуральным, то есть естественным.

На множестве натуральных чисел решаются уравнения вида

х — 2 = 0.

Однако уравнения вида х + 2 = 0 на этом множестве решить нельзя, так как отрицательные числа не являются натуральными. Если добавить к множеству натуральных чисел отрицательные числа и 0, получим целые числа. Множество целых чисел обозначается буквой .

Аналогичным образом вводятся остальные множества чисел. Например, для решения уравнений вида

2х + 3 = 0,

корнем которого является х = — 3/2, необходимо ввести множество рациональных чисел . Для уравнений вида