Очень специальная теория относительности: иллюстрированное руководство [Сандер Бэйс] (pdf) читать онлайн

Очень специальная
теория относительности:
иллюстрированное руководство

Very Special Relativity:
an Illustrated Guide

Sander Bais

Amsterdam University Press

Сандер БЭЙС
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук Т. В. Клёновой
под редакцией
канд. физ.-мат. наук Л. И. Ястребова
3-е издание (электронное)

Москва
Лаборатория знаний
2018

УДК 530.1+001
ББК 22.313
Б97

Б97

Бэйс С.
Очень специальная теория относительности: иллюстрированное руководство [Электронный ресурс] / С. Бэйс ; пер.
с англ. — 3-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл
pdf : 112 с.). — М. : Лаборатория знаний, 2018. — Систем.
требования: Adobe Reader XI ; экран 10".
ISBN 978-5-00101-605-2
С необычной точки зрения на сложные вопросы современной физики
призывает взглянуть голландский физик и публицист Сандер Бэйс.
В увлекательной форме изложены основные положения и следствия специальной теории относительности, основы которой были сформулированы
А. Эйнштейном в начале ХХ века. Главы книги посвящены вопросам
измерения скорости света, проблеме одновременности событий, относительности течения времени, проблеме причинности, гипотезе расширения
и сжатия Вселенной, законам сохранения и другим базовым положениям
современной физики.
Сложность физической науки не является препятствием к чтению
и осознанию книги — автор рассуждает на доступном языке. Восприятие облегчается большим количеством иллюстраций и пространственновременных схем.
Книга носит научно-популярный характер и адресована самому широкому кругу читателей, интересующихся физикой, даже не имеющих
физико-математической подготовки.
УДК 530.1+001
ББК 22.313
Деривативное электронное издание на основе печатного аналога:
Очень
специальная
теория
относительности:
иллюстрированное
руководство / С. Бэйс ; пер. с англ. — М. : БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2013. — 107 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-0505-6.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими
средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения
убытков или выплаты компенсации
c Sander Bais / Amsterdam University Press, 2007
○
ISBN 978-5-00101-605-2
c Лаборатория знаний, 2015
○

Моим детям, моему отцу и Вере

Содержание

Предисловие ................................ 9
Введение ....................................11
1. Основные принципы ................. 13
Пространство + Время =
= Пространство-Время ..................... 13
События ........................................... 14
Выбор шкалы .................................... 14
Измерение скорости света ............... 19
Мировые линии ................................ 20
Постулаты......................................... 22
2. Относительность
одновременности ..................... 25
Системы отсчета .............................. 25
Калибровка часов ............................. 25
Движущиеся системы отсчета .......... 27
Относительность одновременности . 27
Одно пространство-время,
множество инерциальных систем
отсчета ............................................. 29
Что нового? ...................................... 32

3. Причинность............................ 35
Причинность потеряна? .................... 35
Сложение скоростей по Ньютону ...... 35
Сложение скоростей по Эйнштейну .. 38
Краткая хронология Эйнштейна
до “Года чудес” 1905 ......................... 41
Магическая формула сложения ....... 41
Причинность восстановлена ............. 44
4. Растяжения и сжатия ................ 47
Простите, не могли бы вы сказать
мне, сколько времени? ..................... 47
Замедление времени ....................... 47
Эффект Доплера .............................. 51
Парадокс близнецов......................... 52
Преобразования Лоренца................. 57
Поместится ли шест в сарае? .......... 61
Эйнштейн как человек...................... 64
5. Геометрическая интерлюдия ...... 65
Пространственно-временной
интервал........................................... 65
Окружности и гиперболы .................. 68

7

Конструирование гиперболы ........... 70
Размышляем над векторами ............. 70
6. Энергия и импульс ................... 74
Движущаяся частица ........................ 74
E = mc2 ............................................. 78
Синтез и деление ............................. 82
7. Законы сохранения .................. 84
Полный импульс .............................. 84
Импульс в движущейся системе
отсчета ............................................. 86

8

Сохранение энергии и импульса ....... 89
Большие коллайдеры ....................... 95
Тахионы ............................................ 96
8. Вне границ специальной теории
относительности ...................... 97
Натяжения ........................................ 97
Ускоренный наблюдатель и горизонт
событий............................................ 99
Эпилог ......................................103
Предметный указатель ................106

Предисловие

Ни один интеллектуальный герой не вдохно
вил наше воображение сильнее, чем Альберт
Эйнштейн, когда он создал Специальную и
Общую теории относительности. Не толь
ко физики были очарованы этими красивы
ми созданиями человеческого разума, но и
студенческая молодежь и общественность
в целом. Изощренность его идей настолько
вошла в поговорки уже при жизни Эйнштей
на, что даже он сам однажды иронически
воскликнул: «Я же не Эйнштейн... !» Одним
из следствий этого явления служит тот факт,
что до сих пор физики получают множество
писем от людей, которые думают, что мо
гут перехитрить Эйнштейна, «улучшив» или
«опровергнув» его теории.
Наука, однако, развивается подругому.
Мы не заменяем теорий, мы их расширяем.
Важным элементом науки является то, что
мы можем упрощать. Нечто, когдато выгля
девшее сложно, — просто и понятно сейчас.
Это и произошло со специальной теорией
относительности. В некотором смысле, это
всего лишь геометрия. К примеру, евклидо
ва геометрия треугольников, сфер и конусов
настолько проста в визуализации, что может
преподаваться в средней школе. А специаль
ная теория относительности — это геометрия

пространства и времени. Просто добавьте
часы к евклидовой геометрии и все! Ну, не
совсем — есть коечто забавное в поведении
световых лучей, что делает геометрию про
странствавремени парадоксальной, и чтобы
представить ее в уме, требуется небольшая
практика.
Многие популярные трактаты по специ
альной теории относительности чаще ис
пользуют словесное описание, чем диа
граммы или формулы. Казалось бы, люди, не
привыкшие к математике и геометрии, долж
ны легче понимать тексты, а не уравнения. Но
это не всегда так. Когда не приводятся диа
граммы и уравнения, описывающие теорию
относительности, говорить становится все
труднее. Так у Сандера Бэйса возникла от
личная идея — предложить неспециалистам,
общественности, студенческой молодежи
правильное использование геометрических
диаграмм. Результатом явилась эта чудес
ная книжка. Как только вы осваиваете чте
ние диаграмм, вся специальная теория от
носительности становится понятной. Станет
ясным с первого взгляда, что такая теория
не нуждается в «усовершенствованиях» или
«контраргументах». Она так же полезна, как
была и геометрия Евклида для древних гре

9

ков; это остается верным для обеих теорий
и по сей день. Эта книга ʊ специальная те
ория относительности в иллюстрациях. Если
Вам когдалибо было интересно иметь дело
с треугольниками, сферами и забавными ку
бами, то Вы оцените предложенный подход.
Герард ’т Хоофт1

Как в жизни я ценю качество, а не количество,
так и в Природе общие принципы характеризу
ют действительность лучше, чем конкретный
объект.
Альберт Эйнштейн

Герард ’т Хоофт — профессор Утрехтского уни
верситета (Нидерланды), лауреат Нобелевской
премии по физике за 1999 год за теоретические
работы, выполненные в 1971–72 гг. Нобелевская
премия была присуждена за его PhD (кандидат
скую) диссертацию! — Прим. ред.

1

10

Введение

Нет! Это не очередная книга по специальной
теории относительности!1 Мои часы отста
ют? Есть какаялибо потребность в этой кни
ге, после того, как миновало столетие после
“Года чудес” 1905, когда молодой Эйнштейн
привел всех физиков в великое смятение?
Говорят, что умный человек может знать
все правильные ответы, но мудрый человек
отличается тем, что знает, как задавать пра
вильные вопросы. Специальная теория от
носительности вызвала такое восхищение,
потому что проблема состояла в том, чтобы
в основном задавать правильные вопро
Специальная теория относительности — раз
витие обычной механики, которую изучают в шко
ле. Поанглийски пишется как «special theory of
relativity». Более правильным было бы говорить:
«частная» (в смысле — «описывающая какуюли
бо часть целого»), «особая», «отдельная» и т. д.
Тем более, что обобщение этой теории называ
ется «общей теорией относительности». Однако
в отечественной литературе принято именно на
звание «специальная теория относительности».
Эффекты, описываемые специальной теорией от
носительности называют релятивистскими эффек
тами, а скорости, близкие к скорости света (при
которых такие эффекты становятся заметными), —
релятивистскими скоростями. — Прим. ред.
1

сы. Обратимся к рассмотрению двух наибо
лее выдающихся статей по физике, которые
разрушили классические представления о
пространстве, времени, массе и энергии:
«К электродинамике движущихся тел» и «За
висит ли инерция тела от его энергии?». С са
мого возникновения теории относительности
существовала крайне трудная проблема ее
популяризации; вот именно это я и пытаюсь
сделать.
Эта книга — «практическое» руководство
пользователя, нацеленное на аудиторию до
статочно любознательную, чтобы интересо
ваться устройством теории относительности,
и обладающую базовыми представлениями о
науке и элементарной школьной математике
(в частности, геометрии). Единственное тре
бование для чтения этой книги — пытливый
ум. Я попытался сделать содержание теории
более доступным, представляя это «совер
шенно особым» способом, используя понят
ную последовательность пространственно
временных диаграмм. Я выбрал этот особый
геометрический подход потому, что изобра
жения часто говорят сами за себя и лучше
сохраняются в памяти, в то время как алге

11

бра может быть тяжелой и легко забывается.
В конце концов, c’est le ton qui fait la musique1.
Мы начнем наше путешествие, объясняя
некоторые из основных принципов теории,
вводя такие понятия, как событие, система
отсчета, инерциальный наблюдатель и ми
ровая линия. Затем мы придем к постулатам
Эйнштейна. Впоследствии мы займемся не
сколькими известными парадоксами и их
трактовкой, сталкиваясь по пути с понятием
одновременности, причинной связью, замед
лением времени, сокращением простран
ства и фактом существования универсаль
ной максимальной скорости. Эти примеры
выдвигают на первый план парадоксальную
природу относительности. После геометри
ческой прелюдии мы перейдем к понятиям
импульса и энергии, нашедшим свое вопло
щение в знаменитой формуле E = mc2, в ко
торой выражается глубокое представление о

Это интонация, которая
(франц.). — Прим. перев.

1

12

делает

музыку

том, что масса и энергия эквивалентны. Мы
даже выйдем за рамки специальной теории
относительности, когда будем изучать мир с
точки зрения наблюдателя, движущегося с
ускорением и наблюдающего горизонт со
бытий.
Там, в первую очередь, мы бросим взгляд
на общую теорию относительности, которую
Эйнштейн завершил через десять лет после
специальной теории относительности. В за
ключение, мы оценим достижения Эйнштей
на в контексте физики в целом.
Теперь давайте работать. Я надеюсь, что
вы получите столько же удовольствия от из
учения этих глав, сколько получил я, написав
их. Чтобы воодушевить Вас, я буду цитиро
вать Эйнштейна в начале каждой главы.
Сандер Бэйс
Амстердам 2007

1. Основные принципы
Это чудо, что любопытство выживает в формальном образовании.1

Пространство + Время =
= Пространство%Время
Все согласны с тем, что пространство и вре
мя сосуществуют с нами, что мы движемся
в пространстве и времени: это арена, на ко
торой разворачиваются наши жизни. Тем не
менее, они являются неприкосновенными,
и мы воспринимаем их только косвенно, че
рез наши чувства, которые позволяют нам
осознать, что происходит. Наблюдая объек
ты, расположенные на разных расстояниях,
мы получаем информацию о пространстве;
отмечая изменения, ʊ формируем понятие
времени. Подобно тому, как звезды, мячи для
гольфа и собаки движутся непрерывно, наше
восприятие подсказывает, что пространство
и время непрерывны. Мы воспринимаем мир
не в стробоскопических вспышках дискотек.
Во многих аспектах понятия пространства
и времени различаются фундаментально. Мы
не можем вернуться в прошлое и изменить
его, да и будущее столь же недоступно. Наше
бытие осуществляется на хрупкой границе

раздела между ними ʊ в настоящем. В про
странстве мы можем быть только в одном ме
сте, только в данное время (хотя многие пы
таются игнорировать этот основной закон),
однако, мы можем выбрать перемещение
из одного места в другое, или пребывание
в определенном месте. Время измеряется
часами (секундами), а пространство измеря
ется метрами. Это ʊ совершенно различные
единицы измерений.
Эти факты не мешают нам представлять
понятия пространства и времени в упрощен
ном виде, на карте с координатами простран
ства и времени, такой, как на рисунке. В про
фессиональном жаргоне экспертов такая
карта называется диаграммой Минковского2;
это — своего рода концептуальная карта: она
показывает не как устроен мир, а как проис
ходит то, что случается в мире.
Наша книга ʊ книга о том, что означают
такие пространственновременные карты и
как они выглядят с точки зрения разных на
блюдателей.
Всюду в дальнейшем, говоря о таких рисунках,
мы будем использовать термин «диаграмма». ʊ
Прим. ред.

2

В начале каждой главы цитируем Эйнштей
на. ʊ Прим. автора.

1

13

События
На рис. 01 изображен только небольшой
участок пространства и времени; надо по
нимать, что пространство и время простира
ются в бесконечность в обоих направлениях
плоскости диаграммы. Мы выбрали время
вдоль вертикальной оси и пространство по
горизонтали. Это означает, что все трехмер
ное пространство ʊ высота, глубина, и ши
рина ʊ сведено к единой пространственной
оси; подразумевается, что мы можем обсуж
дать движение только вперед и назад в одном
пространственном измерении, по аналогии с
поездом, находящимся на рельсах. Однако
такое радикальное усечение пространства
не повлияет на нашу способность изучать ос
новы специальной теории относительности.
Что мы можем сделать в этой простран
ственновременной схеме? Что означают точ
ки, линии, кривые, области? Давайте начнем
с простейшего ʊ одна точка в пространстве
времени. Чему это соответствует? Точка за
дает определенное место в пространстве в
определенный момент времени (рис. 02). Она
представляет собой событие. Вы хлопнули в
ладоши в определенном месте и в строго опре
деленный момент времени! Вы уронили чтото,
вы выстрелили из пистолета, или вы наткнулись
на когото. Наш пространственновременной
мир густо населен событиями, и они соответ
ствуют точкам на нашей диаграмме. И наобо
рот, можно сказать, что пространствовремя
ʊ это собрание всех возможных событий. Мы

14

видим, что события связаны во времени. Мы
воспринимаем движение теннисного мяча не
как дискретную, но как непрерывную последо
вательность событий, называя ее движением.
Движению предметов соответствуют пути или
кривые на нашей пространственновременной
схеме. Подобные изображения можно исполь
зовать для представления фактически всего,
что угодно. Если изучаемый объект есть при
быль компании, то время будет изменяться по
горизонтали, а вдоль вертикальной оси, как
правило, должны быть миллионы долларов, а
отрицательная часть оси соответствует убыт
кам. Для визуализации прироста населения
различных стран, мы можем изобразить кривые
с количеством людей вдоль вертикальной оси.
Но перед работой с кривыми скажем несколько
слов о масштабе объектов.

Выбор шкалы
Мы изобразили сетку горизонтальных и вер
тикальных линий в пространствевремени.
Она дает нам систему координат, систему
отсчета, которая позволяет удобно отмечать
отдельные события, показывая, где и когда
они произошли. Это подобно сетке на карте
города, которая позволяет определить свое
место в пространстве. Вы также можете ду
мать и говорить как шахматисты: они исполь
зуют координаты, например, «e2e4» ʊ что
бы описать свои ходы на шахматной доске.
Сетка имеет определенный масштаб для
каждой оси. На карте города деление в пол

Рис. 01

15

Рис. 02

16

мили будет приемлемо для обеих осей. На
карте страны деление может быть в сто миль
или около того. Теперь мы хотим определить
шкалу вдоль наших осей времени и простран
ства, и мы должны выбрать ее так, чтобы
предметы, которые актуальны для нас, были
отчетливо видны и различимы. Явления, ко
торые мы собираемся обсуждать, связаны
с соотношением расстояния и времени, ʊ
другими словами, это отношение расстояния
ко времени, что, по определению, скорость.
Так шкала соответствия между временной и
пространственной осями является шкалой
скоростей, которые существенны в специ
альной теории относительности.
Мы хотим заметить, что это не наши обыч
ные масштабы скоростей человека, измеря
емые в метрах в секунду или в милях в час.
Это не скорость автомобиля, самолета, или
скорость звука — нет, это уникальная и, как
мы увидим, универсальная скорость: мы вы
берем скорость света, которая условно обо
значается буквой c.
Что же такого особенного в скорости све
та? Ну, сначала никто не понял, что в ней
особенного, пока Эйнштейн не признал ее
универсальной константой природы. До это
го мы знали только, что скорость света была
конечной, как и любая другая скорость. Око
ло 1850 года ее значение было определе
но в изящном, хотя и простом эксперимен
те французским физиком Физо (см. текст и

рис. 04 на стр. 19). Он обнаружил, что ско
рость была близка к 300 000 километров в се
кунду. С 21 октября 1983 года значение c дей
ствительно точно равно 299 792 458 метров в
секунду, потому что это значение использует
ся для определения величины метра.
Это действительно огромное число. По
нятно, почему мы воспринимаем его как
практически бесконечное: если мы включим
свет, нам покажется, что он заполнит комна
ту «мгновенно». Но это иллюзия, потому что
свет должен распространиться от лампочки
до стен (а от стен — до наших глаз — Прим.
ред.). Это занимает некоторое время, хо
тя оно и меньше миллионной доли секун
ды. В большинстве бытовых обстоятельств
«мгновенность», следовательно, является не
таким уж плохим приближением.
Чтобы задать масштаб нашей простран
ственновременной карты, мы сделаем сле
дующее. Предположим, мы используем се
кунду в качестве единицы по оси времени,
тогда положим расстояние, которое свет
проходит за одну секунду, в качестве еди
ницы вдоль пространственной оси. Теперь,
если мы посылаем очень короткий световой
импульс (или еще лучше: фотон, один квант
света) в пространстве (или в xнаправлении),
то траектория на нашей пространственно
временнной карте соответствует оранжевой
стрелке, показанной на рисунке. Мы можем

17

Рис. 03

18

записать это в виде x(t) = ct, буквально это
прозвучит так: положение x для времени t
равно c, умноженное на t.
Так, если t = 1 сек, то x = c км; например,
для t = 4,5 получим x = 4,5, умноженное на
c км, и т. д. Комбинация w = ct будет встре
чаться довольно часто. Поэтому определим
w как временную координату и будем ис
пользовать w вместо t.
Заметьте, что если ктото движется с по
стоянной скоростью, то траектория сведется
к прямой линии на диаграмме, потому что за
«в два раза большее время», он оказывается
в два раза дальше. И соответствующий на
клон линии определяет точную скорость, как
мы увидим далее.

Измерение скорости света
Первые попытки определения скорости света
возвращают нас к голландцу Исааку Бекману
в 1629 год. Оле Рёмер сделал первое количе
ственное измерение с помощью астрономи
ческих наблюдений в 1676 году. Французские
физики Физо и позже Фуко выполнили пер
вые наземные эксперименты около 1850 года.
Схема типичного эксперимента приведена на
рис. 04. Падающий световой луч отражается
от зеркала, которое вращается с заданной
угловой скоростью Z градусов в секунду. По
сле прохождения определенного расстояния
d (в оригинальном эксперименте около 10
миль) луч отражается от неподвижного зерка
ла. Когда через некоторое время 't свет воз
вращается к вращающемуся зеркалу, послед

Рис. 04

Головоломки:
1. Как на диаграмме будет выглядеть им
пульс света, длящийся одну секунду?
2. Нарисуйте линию для фотона, который
движется влево.
нее поворачивается на угол M = Z't, и поэтому
отраженный луч будет иметь угловое отклоне
ние 2M, которое измеряется. Скорость света
определится просто как c = 2d/'t = 2dZ/M.
В 1886 году, до появления теории относитель
ности, Майкельсон и Морли провели еще один
очень важный эксперимент, который показал,
что скорость света не зависит от направления,
в котором луч света распространялся. Этот
результат означал, что отсутствует эфир — не
кая фоновая космическая среда. Этот резуль
тат полностью согласуется с основным посту
латом специальной теории относительности,
как будет обсуждаться ниже.

19

Мировые линии
Мы говорили ранее, что объект «рисует» не
прерывный путь1 или кривую в пространстве
времени. Представление о пути напоминает
тропинку через лес или между домами, путь
через пространство. Поэтому, когда мы гово
рим о пути через пространствовремя, при
нято называть этот путь мировой линией. На
рис. 05 мы изобразили различные мировые
линии. Все они начинаются в нулевой момент
времени в точке, отмеченной как x = 0. Она
называется началом координат. (Этой точке
не приписывается никакой глубокий смысл,
пространство и время там не начинаются,
это весьма произвольно выбранная точка от
счета в нашей системе координат.) Конечно,
мировые линии распространяются вперед во
времени, что отражается фактом отсутствия
перегибов вниз на диаграммах.
Обратим внимание на черную стрелку, ко
торая совпадает с осью времени. Это просто
изображение когото или чегото в состоянии
покоя, находящегося при x = 0 и остающегося
там в неподвижности навсегда. Оранжевая
стрелка ʊ привычная мировая линия свето
вого импульса или фотона. Другие прямые
линии соответствуют объектам, которые дви

В литературе обычно понимают путь, как чис
ленное значение длины траектории. Здесь слово
«путь» используется в бытовом понимании, как ав
тор и говорит далее. — Прим. ред.

1

20

жутся с другими постоянными скоростями,
постоянными, потому что пройденное рас
стояние всегда пропорционально времени, в
течение которого объект путешествовал.
Красная стрелка означает, что ктото пу
тешествует со скоростью v, которая равна
v = 3/4 c, поскольку в любой момент време
ни он проходит 3/4 от расстояния, которое
световой импульс преодолел за это же вре
мя. Это становится особенно очевидным в
момент времени t = 4, где красный путеше
ственник прошел три единицы расстояния,
а световой импульс преодолел четыре. По
той же логике, мы заключаем, что зеленый
путешественник (так называемый «фантом»)
должен двигаться в два раза быстрее скоро
сти света. Наконец, что означают волнистая
синяя мировая линия? Она описывает путе
шественника, который движется вперед и на
зад с различной скоростью: ускоряется и за
медляется, как вы можете видеть. В каждый
данный момент он имеет скорость, которая
определяется наклоном касательной к кри
вой в этот самый момент. Так что мировая ли
ния обеспечивает точное описание истории
движения путешественника.

Рис. 05

21

Постулаты
Что мы действительно хотим знать — это куда
Эйнштейн привел нас. Поэтому я собираюсь
представить только набор фактов, а не скуч
ный рассказ о том, как возникла теория, че
рез какой сложный период глубоких споров
ученым пришлось пройти, прежде чем они
смогли принять и убедиться в ее глубоком
смысле. Эта книга ʊ не биография, я лишь
хочу донести основы в форме «сделай сам».
В нашем изложении мы будем использовать
только язык пространственновременных
диаграмм. Это представление должно по
зволить вам разобраться с некоторыми во
просами, которые определенно возникнут на
вашей мировой линии. Вы сможете ответить
на них самостоятельно, строя диаграммы.
Мы возьмем в качестве отправных точек
минимально необходимые определения, и,
отталкиваясь от них, сформулируем наше
понимание того, что все это значит, и почему
теория относительности является настолько
особенной и потрясающей одновременно.
В основном это означает, что мы собираемся
начать с того, чем Эйнштейн закончил свою
разработку специальной теории относитель
ности, в которой он весьма эффективно свел
теорию к двум постулатам, двум основопола
гающим предположениям о природе.
Первый постулат касается двух систем от
счета или двух наблюдателей (групп наблю

22

дателей), перемещающихся с постоянной
скоростью по отношению друг к другу. Такие
системы отсчета называются инерциаль
ными системами отсчета. То, что делает их
«особенными» означает: отсутствие ускоре
ний, только постоянные относительные ско
рости. В постулате затем говорится, что каж
дый наблюдатель, проведя эксперименты в
своей собственной системе отсчета, откро
ет те же законы физики (если он достаточно
умен), выраженные теми же уравнениями,
описывающими законы движения, гравита
ции, электромагнетизма, и другие силы. Это
звучит не слишком вызывающе, не так ли?
Такое предположение выглядит вполне раз
умным, и, в общемто, Эйнштейн не первый,
кто его выдвинул. Галилео Галилей сделал
аналогичное наблюдение около трехсот лет
до этого, при рассмотрении «рыб и кора
блей» в его «Диалоге о двух основных систе
мах мира»:
«Закройтесь... в каюте, ниже палубы,
на крупном корабле... Возьмите большую
чашу с водой и с несколькими рыбами в
ней... Пока корабль стоит неподвижно,
рыбы плавают одинаково во всех направ
лениях... Когда корабль начнет двигаться,
то после некоторого начального периода
времени его движение станет равномер
ным с некоторой постоянной скоростью,
без какихлибо отклонений тудасюда.
Даже проводя наблюдения тщательно,
вы не обнаружите ни малейших измене

Для наблюдателей, движущихся с по
стоянной скоростью по отношению
друг к другу, справедливы следую
щие постулаты:
1. Законы физики одинаковы во всех
инерциальных системах.
2. Скорость света в вакууме одна и та
же для всех инерциальных систем.

23

ний... , не сможете сказать ʊ движется ли
корабль или стоит на месте».
Позже мы увидим, что постулат Эйнштей
на далеко не очевиден, если мы критически
проанализируем сходства и различия между
Ньютоновскими законами механики и закона
ми электромагнетизма, которые выражают
ся уравнениями Максвелла, сосредоточив
внимание на том, как они выглядят в разных
системах отсчета.
Второй постулат гласит, что скорость све
та в вакууме (то есть в «пустом простран
стве» ʊ не в некоторой среде, где могут про
исходить сложные взаимодействия), одна и
та же для любого наблюдателя, независимо
от того, с какой (постоянной) скоростью он
или она движется. Это выглядит странным,
если вы задумаетесь об этом. Данный посту
лат противоречит нашим интуитивным пред
ставлениям о скорости, и, если на то пошло,
противоречит теории Ньютона. Если я еду
на велосипеде со скоростью 10 миль в час,
и бросил вперед конфету жене со скоростью
15 миль в час, тогда моя жена, которая стоит
на тротуаре, сможет поймать конфету и ска
жет, что получила ее со скоростью 10 + 15 = 25
миль в час. Мы с готовностью согласимся,
потому что так оно и есть. Извините, давайте
будем точными: это было именно так.
А вот что Эйнштейн говорит нам об этом.
Предположим, я еду на очень быстром

24

поезде, движущемся со скоростью, равной
половине скорости света, v = 1/2 c, и лазер
ным фонариком я послал короткий импульс
своей партнерше на дальней станции. Им
пульс движется точно со скоростью света по
отношению ко мне. Исходя из наших преды
дущих интуитивных рассуждений, мы можем
ожидать, что если бы моя партнерша смогла
измерить скорость импульса, то получила
бы u = c + 1/2 c = 3/2 c. Но теперь приходит
Эйнштейн и заявляет: Нет! Она также полу
чит значение u = c. Выглядит странно, резко
противоречит нашей интуиции, если не ска
зать больше.
Как это может быть? Как такой простой
аргумент может быть неправильным? Так же
отреагировало большинство физиков того
времени. Если Эйнштейн прав, то цена, кото
рую мы должны заплатить, будет высокой, ʊ
и это, действительно, так и было. Видите ли,
скорость ʊ есть расстояние (пространство),
деленное на время, и чтобы обеспечить ра
венство скорости света для всех наблюда
телей, мы должны проникнуть в концепту
альные глубины и пересмотреть на базовом
уровне наши представления о пространстве
и времени. Это то, с чем нам необходимо
примириться. Трудно победить предубежде
ния, и нам придется работать с разными диа
граммами, чтобы избавиться от некоторых
очень устойчивых, но неправильных интуи
тивных представлений.

2. Относительность одновременности
Вся наука ʊ это не более чем уточнение повседневного мышления.

Системы отсчета

Калибровка часов

Прежде всего, мы хотим знать, как различ
ные наблюдатели, которые неподвижны друг
относительно друга, определяют системы
отсчета или системы координат.
На самом деле система отсчета связа
на с большим количеством наблюдателей,
которые находятся в покое относительно
друг друга, например, пассажиров, сидя
щих в поезде, или группы людей, стоящих
на платформе. У них всех есть часы и метро
вые линейки, и они настолько любезны, что
готовы делать измерения, если мы просим
их об этом, и готовы послушно сообщить о
результатах нам. Они ʊ прекрасные испол
нители.
Начнем с двух наблюдателей, у которых
одинаковые часы и линейки. Им соответ
ствуют на рисунке 06 две черные стрелки:
повидимому, они располагаются еще и
на какомто (большом) расстоянии друг от
друга. Они хотят откалибровать свои часы
так, чтобы они могли обменяться результа
тами своих измерений времени разумным
способом. Как они должны это сделать?
Это изображено на следующей диаграмме
(рис. 07).

Лучше всего представить калибровку как
реальный физический эксперимент. В по
следующих разделах мы будем часто стал
киваться с «мысленными экспериментами»,
которые позволяют теоретически добиться
полного осмысления, но трудновыполнимы
в реальной жизни. В этом случае Эйнштейн
дал простой рецепт, который позволяет до
биться понимания. В момент времени wA = 0
наблюдатель Аполлон посылает световой
сигнал наблюдателю Вакху, на часах которо
го регистрируется время wB = w1, тот зеркаль
но отражает сигнал назад Аполлону, чьи часы
фиксируют время прибытия wA = w2.
При этом время w1 для Аполлона ʊ это
время, равное половине промежутка време
ни между моментами посылки и приема све
тового сигнала, т. е. w1 = 1/2 w2.
Это не удивительно, потому что под
тверждает то, что мы уже знали, нанеся сетку
на диаграмму. Кроме того, поскольку мы зна
ем, что общее время, необходимое сигналу
для путешествия туда и обратно, пропорци
онально расстоянию между наблюдателями,
этот подход может быть использован для

25

Рис. 06

Рис. 07

26

большой группы наблюдателей, при постро
ении таким способом всей сетки.
Заметим, однако, что понятие одновре
менности для группы наблюдателей, кото
рые находятся в покое друг относительно
друга, не означает, что они будут наблюдать
все одновременные события в одно и то же
время! Нужно учитывать разницу во време
ни для сигнала, пришедшего от события,
для разных наблюдателей. Это означает, что
разные синхронизированные наблюдатели
могут получить существенно разные време
на, но после поправки на время пути (время
распространения) сигнала, все они припи
шут один и тот же момент времени данному
событию.

Движущиеся системы отсчета
Теперь, когда мы построили (задали) одну
систему отсчета, будем использовать тот же
рецепт для другой инерциальной системы
отсчета с группой наблюдателей, которые
движутся с одинаковой (ненулевой) ско
ростью. Ускоренные системы отсчета (или
вращающиеся) не являются инерциальными
системами отсчета, потому что скорость не
является постоянной. Даже для закреплен
ного шарика на нитке, вращающегося по кру
говой орбите с фиксированной орбитальной
скоростью, скорость не является постоян
ной, потому что ее направление непрерывно
изменяется. В этих случаях постулат теории

относительности не выполняется. Вот по
чему необходимо, чтобы красные мировые
линии Арнольда и Бритни были прямыми ли
ниями. Они тоже хотят откалибровать свои
часы, чтобы настроить красную систему от
счета точно в соответствии с инструкциями
Эйнштейна.
Тогда Арнольд и Бритни проводят тот же
самый эксперимент. Когда мы изображаем
его на диаграмме, то должны придерживать
ся второго постулата Эйнштейна, который
гласит, что скорость света одинакова для
всех наблюдателей. Это означает, что миро
вые линии света, испускаемого движущи
мися наблюдателями Арнольдом и Бритни,
должны появиться на пространственновре
менной диаграмме под таким же углом с ося
ми, как и в неподвижной системе. (Так же, как
на диаграмме на рис. 08)

Относительность одновременности
Арнольд посылает световой сигнал в нулевой
момент времени, Бритни получает и отража
ет его в момент wĻB = wĻ1, и Арнольд прини
мает его назад в wĻA = wĻ2. Чтобы узнать, когда
время на мировой линии Арнольда совпада
ет с wĻ1 у Бритни, мы должны применить ту же
логику, приводящую нас к «половинному со
отношению»: wĻA = 1/2 wĻ2. Это правильно —
использовать ту же процедуру, что и для
Аполлона с Вакхом, действуя в соответствии
с принципом «относительности».

27

Рис. 08

28

Однако пусть теперь произошло какоето
событие. Посмотрим на красные пунктирные
линии. Эти линии являются по определению
линиями «равного времени» в красной систе
ме отсчета: они соединяют события, которые
происходят одновременно для красных на
блюдателей. Мы могли бы также сказать, что
это те линии, вдоль которых красные наблю
датели измеряют расстояния, а пунктирные
линии, проходящие через начало координат,
есть не что иное, как новое пространство или
xĻось, где штрих обозначает красную систе
му координат. В некотором смысле, значение
длины предполагает понятие одновременно
сти. Так, если мы хотим измерить длину сто
ла, то должны расположить измерительную
линейку вдоль его стороны. Если мы хотим
сделать это правильно, то в одно и то же вре
мя должны прочитать данные на обоих концах
линейки. В противном случае, между считы
ванием на одном и на другом конце, стол (или
измерительная линейка) может сместиться, и
измерения окажутся бессмысленными.
Рис. 09 иллюстрирует тот поразительный
факт, что наборы осей для покоящейся и дви
жущейся систем координат не параллельны.
Так что события, одновременные (т. е. слу
чившиеся в одно и то же время) в черной си
стеме координат, связанные горизонтальной
черной линией, в общем случае, не являются
одновременными в красной системе коор
динат! Первый важный урок, который сле

дует извлечь ʊ понятие одновременности
или «равного времени» зависит от системы
отсчета. Действительно ли два события про
исходят в одно и то же время, зависит от то
го, какой набор наблюдателей их измеряет.
Одновременность ʊ это относительное по
нятие.

Одно пространство%время, множество
инерциальных систем отсчета
Мы приходим к следующей картине: про
странствовремя может быть накрыто раз
ными видами сеток, но сетки инерциальных
систем отсчета, которые движутся по отно
шению к нашей черной системе отчета, явля
ются наклонными, подобно красной сетке на
рисунке. Мы видим (рис. 10), что углы между
двумя новыми (движущимися временной и
пространственной) осями и старыми равны,
как и их углы с мировой линией светового
сигнала. Поэтому точка на этой мировой ли
нии снова будет иметь равные координаты на
xĻ и wĻосях. Мы не заботимся о масштаби
ровании этих наклонных осей.
Теперь мы видим, что произошло: второй
постулат Эйнштейна приводит нас к тому, что
исчезает абсолютное разделение времени
и пространства! Их взаимное соответствие,
оказывается, зависит от скорости движения.
Поэтому лучше ввести понятие, одинаковое
для всех наблюдателей, — не пространство
и не время, а пространствовремя.

29

Рис. 09

30

Рис. 10

31

Отрадно видеть, что можно получить эти
весьма неожиданные заключения только с
использованием качественных аргументов.
Тем не менее, сейчас не помешает сделать
несколько замечаний по поводу углов и на
клона красной сетки. Если красный путеше
ственник движется со скоростью v, переме
щение движущейся сетки за время t, равно
х = vt, с учетом вышеупомянутого w = ct, по
лучим х = vw/c. Это также может быть записа
но в виде x/w = v/c, что, по определению, яв
ляется тангенсом угла между w и wĻосями.
Параметр отношения скоростей v/c обычно
обозначается как E и будет в дальнейшем
широко использоваться в книге. Так как пара
метр E — просто отношение двух скоростей,
то он не имеет размерности — это просто
число. Заметим, что тангенс угла между ося
ми x и xĻ также равен E.
Головоломка: Предположим, что на
диаграмме для покоящейся системы рас
смотрен частный случай. Нарисуйте другую
диаграмму с черной и красной сетками, на
которой красные наблюдатели имеют пер
пендикулярную (ортогональную) сетку.

Что нового?
Это изменение в самой структуре простран
ства и времени является настолько важным,
что прежде чем обсуждать дальнейшие
следствия, мы должны вернуться назад для
сравнения с теорией Ньютона, или, я дол

32

жен сказать, с «системой взглядов». Чтобы
сделать различие четким, я буду последова
тельно размещать нерелятивистские1 диа
граммы на сером фоне. Мы видим, что сама
покоящаяся система и линии красного на
блюдателя и светового импульса выглядят
одинаково. Но, согласно Ньютону, импульс
света не является ничем особенным. Если
движущийся Арнольд посылает лазерную
вспышку, то сигнал перемещается по отно
шению к нему со скоростью света с. Для по
коящегося наблюдателя сигнал будет дви
гаться со скоростью сĻ = с + v, представлен
ной второй желтокрасной стрелкой справа.
По Ньютону скорость света не является
универсальной, и его мировая линия зави
сит от того, кто послал сигнал. Заметим, что
линии равного времени — горизонтальные
прямые для всех систем отсчета. В теории
Ньютона универсальным является время, а
не скорость света.
На основании этой диаграммы (рис. 11)
можно также увидеть, как координаты (w, x)
события в покоящейся системе отсчета свя
заны с координатами (wĻ, xĻ) этого же события
в движущейся системе координат. Мы видим,
что wĻ = w и xĻ = x – vt = x – (v/c)w. Это, так на

Под термином «релятивистские» следует по
нимать диаграммы, связанные с теорией относи
тельности Эйнштейна, под термином «нереляти
вистские» — механика Ньютона. ʊ Прим. ред.

1

Рис. 11

33

зываемое преобразование Галилея, связыва
ет координаты двух систем отсчета, которые
движутся со скоростью v по отношению друг
к другу. Слово «преобразования» означает
переход от штрихованных к нештрихованным
характеристикам. В дальнейшем мы займем
ся поиском аналогичных соотношений между
различными системами отсчета в теории Эйн
штейна.

34

Головоломка: Используйте тот же самый
способ, как в предыдущем разделе, что
бы показать, что изза неуниверсальности
скорости света линии равного времени для
красного наблюдателя действительно стано
вятся горизонтальными.

3. Причинность
Я никогда не думаю о будущем — оно наступает достаточно быстро.

Причинность потеряна?
Давайте теперь рассмотрим два события,
обозначенные 1 и 2 на диаграмме 12. Поло
жим 1 ʊ это ужасный Найджел, вошедший
в комнату с пистолетом, и 2 ʊ тетя Августа,
которую убили. С точки зрения черной систе
мы отсчета ʊ нет ничего неправдоподобно
го в предположении, что ужасный Найджел
убил тетю Августу, потому что диаграмма
показывает нам, что событие 1 произошло
по истечении двух единиц времени, а собы
тие 2 — после трех. Но теперь посмотрим на
последовательность событий с точки зрения
красных наблюдателей. Сначала они увидят
убитую тетю (по прошествии одной единицы
времени), и затем ʊ Найджела, входящего
в комнату (после двух единиц времени). По
следовательность событий перевернута. На
первый взгляд, кажется, что это ʊ фатальное
несоответствие в теории: как может время
для последовательности событий быть от
носительным? Не означает ли это, что Эйн
штейн зашел в своих построениях слишком
далеко, и его второй постулат приносит в
жертву заветное понятие причинности? При
чинность не подлежит обсуждению, потому
что вся физика основывается на ней. Нам

не хочется думать, что результаты (послед
ствия) возникли без причин. Не в силу неко
торых ограниченных научных предрассудков,
а потому, что это может привести к катастро
фическим противоречиям, нарушающим лю
бое чувство реальности. Представьте себе,
ктото стреляет из пистолета и убивает кого
то другого. Если мы перевернем ситуацию
так, что сначала увидим убитого человека и
только позднее выстрел из пистолета. Тогда
мы, в принципе, можем вмешиваться в целях
«предотвращения» рокового выстрела, хотя
жертва уже мертва... Это абсурдно.
Для оценки происходящего в специальной
теорииотносительности, где, повидимому,
мы сталкиваемся с утратой причинности, мы
сначала должны сделать отступление, чтобы
получить возможность взглянуть глубже. Это
касается свойств скоростей, которые следу
ют из постулатов Эйнштейна.

Сложение скоростей по Ньютону
Мы начнем с описания ньютоновского взгля
да на проблему сложения скоростей с точки
зрения разных наблюдателей. Рассмотрим
следующий мысленный эксперимент. На диа

35

Рис. 12

36

Рис. 13

37

грамме 13 красная стрелка описывает крас
ный супер синкассен1, движущийся со ско
ростью 2/7 c — две седьмых скорости света.
В поезде голубоглазая девушка бежит вперед,
также со скоростью 2/7 c (т. е. две седьмых
от скорости, представленной желтокрасной
стрелкой2 справа, для наблюдателей в крас
ной системе отсчета). Результатом сложения
скоростей в черной системе отсчета является
синяя стрелка, и эта стрелка соответствует
скорости 2/7 c + 2/7 c = 4/7 c (относительно
желтой стрелки, которая представляет собой
скорость света в черной системе отсчета). Это
находится в прекрасном согласии с нашими
наивными (ньютоновскими) ожиданиями.

этот раз красный поезд движется со скоро
стью v = 1/2 с, и голубоглазая девушка дви
жется вперед в поезде с uĻ= 1/2 с. Поезду
соответствует направленная вперед красная
мировая линия: потому что он движется со
скоростью равной половине скорости света,
и две нижние черные обоюдоострые стрел
ки должны быть одинаковой длины. Мы так
же знаем, что скорость света — одна и та же
для наблюдателей в красном поезде и для
нас (наблюдателей в черной системе отсче
та), так что существует только одна желтая
стрелка, отображающая световой импульс.
А как мы должны изобразить синюю мировую
линию девушки?

Обратимся теперь к тем же упражнениям
с точки зрения Эйнштейна.

Пусть чтото движется в красной системе
отсчета со скоростью, равной половине ско
рости света. Тогда за любой момент времени
объект пройдет половину расстояния, прохо
димого световым импульсом за то же время в
той же системе отсчета. В поезде расстояния
измеряются вдоль красного хĻнаправления,
а не вдоль черных горизонтальных линий. Вот
почему синяя стрелка нарисована таким об
разом, что две красных обоюдоострых стрел
ки имеют равную длину. Подразумевается,
что по хĻнаправлению синий объект в любой
момент времени действительно прошел по
ловину пути светового импульса. Вопрос,
на который мы должны сейчас ответить та
ков: какой скорости соответствует эта синяя
стрелка в черной системе отсчета, то есть для

Сложение скоростей
по Эйнштейну
Рассмотрим теперь подобный эксперимент
с точки зрения теории относительности. На

В оригинале — Super Shinkansen. Автор име
ет ввиду первый в мире японский высокоскорост
ной поезд Синкансен, построенный в 1964 г. Это
название вошло как термин во французский и в
английский языки: французы и англичане имену
ют «синкансенами» свои высокоскоростные поез
да. — Прим. ред.

1

Это скорость света в красной системе отсче
та. ʊ Прим. перев.

2

38

Рис. 14

39

неподвижного наблюдателя? Из диаграммы
14 можно сразу сделать некоторые качествен
ные, но бесспорные заключения. Скорость,
изображаемая синей стрелкой, не равна наи
вно ожидаемой 1/2 с + 1/2 с = с. Очевидно,
она меньше, чем скорость света. На самом
деле, это совершенно очевидно из построе
ния. Если голубоглазая девушка бежит в поез
де с любой скоростью, меньшей с, она всегда
будет двигаться со скоростью, меньшей с для
наблюдателей в черной системе отсчета. Это
важно! И наоборот, если она будет двигаться
со скоростью света, то она будет двигаться с
такой же скоростью для всех наблюдателей, в
полном соответствии со вторым постулатом
Эйнштейна.
Мы можем пойти дальше и спросить, что
произойдет, если голубоглазая девушка бро
сит вперед зеленый бейсбольный мяч со
скоростью, меньшей c. С помощью таких же
рассуждений придем к выводу, что скорость
мяча всегда будет меньше с и для черных на
блюдателей тоже. Эти наблюдения приводят
к поразительным выводам: при сложении
произвольного числа скоростей, каждая из
которых меньше с, никогда нельзя получить
скорость большую или даже хотя бы равную
с. Короче говоря, теория относительности
утверждает: существует максимальная ско
рость, с которой объекты могут перемещать
ся, и она равна скорости света. Эта скорость
универсальна в том смысле, что она одинако
ва для всех наблюдателей. Это сравнительно

40

просто продемонстрировать, но одновре
менно мы имеем одно из самых удивитель
ных и противоречивых следствий постулатов
Эйнштейна. В конце концов, представьте ча
стицу, движущуюся почти со скоростью све
та. Можем ли мы немного подтолкнуть ее так,
чтобы она преодолела скорость света? Ответ
отрицательный. В главе 6 мы вновь рассмо
трим это явное противоречие.
Давайте, наконец, вернемся к голубогла
зой девушке и определим из диаграммы ско
рость, которую она имеет в черной системе
отсчета. Мы можем получить ответ, сравни
вая длины горизонтальных черных стрелок,
заканчивающихся на синей мировой линии.
Они указывают, что скорость должна быть
равна 4/5 c. Так, релятивистский закон сло
жения скоростей должен согласовывать
ся с формальной записью 1/2 с 1/2 с =
= 4/5 с. Из этого мы можем сделать вывод,
что физическое сложение, обозначенное
здесь знаком «», не соответствует стан
дартной математической операции сложе
ния « +».
К настоящему моменту мы получили все
важные качественные характеристики ско
рости, резко противоречащие ньютоновской
теории, но которые устанавливает специаль
ная теория относительности. Ниже вы смо
жете изучить общую формулу, количественно
описывающую эффекты, которые мы только
что обсудили.

Краткая хронология Эйнштейна
до “Года чудес” 1905
1879. Родился в Ульме, Германия.
1888. Поступил в Луитпольдовскую гимна
зию (средняя школа) в Мюнхене.
1895. Покинул гимназию без диплома.
1896. Получает диплом Кантональной школы
в Аарау, Швейцария. Поступает в Выс
шее техническое училище (Политехни
кум) в Цюрихе.
1900. Выпускник Политехникума, не может
найти преподавательскую работу.
1902. Начинает работать в патентном бюро в
Берне в качестве технического эксперта.
1903. Женится на Милеве Марич.
1905. 17 марта: Статья о существовании
квантов света (фотоэффект).
11 мая: Статья о броуновском движении.
30 июня: Статья о специальной теории
относительности.
27 сентября: Вторая статья о специаль
ной теории относительности, содержа
щая соотношение E=mc2.
19 декабря: Вторая статья о броунов
ском движении.

Магическая формула сложения
В этом разделе получим количественный от
вет на следующий вопрос: если красный по
езд едет вдоль платформы с заданной ско
ростью v, а в поезде голубоглазая девушка
бежит со скоростью uĻ, то какова скорость

девушки u по отношению к платформе? Для
того чтобы найти ответ, мы будем использо
вать некоторые простые соотношения пла
ниметрии для свойств подобных треугольни
ков.
Для построения общего выражения для
u через uĻ и v мы рассмотрим серию из пяти
шагов, используя свойство подобия двух зе
леных треугольников на диаграмме (рис. 15),
где подобие означает, что треугольники име
ют одинаковую форму, но не одинаковые
размеры. Типичное свойство двух подобных
треугольников заключается в том, что отно
шения длин соответствующих сторон рав
ны. Я надеюсь, что вы готовы к некоторым
алгебраическим упражнениям. Если нет —
не беспокойтесь: вы можете их пропустить
и перейти к формуле, полученной ниже, и к
комментариям к ней.
1. Два зеленых треугольника подобны, по
тому что они могут быть получены друг из
друга последовательностью из двух про
стых преобразований. Одним из них яв
ляется отражение относительно линии,
перпендикулярной к желтой линии, и про
ходящей через точку, где соприкасаются
три треугольника. А второе преобразова
ние — простое масштабирование.
2. В большом зеленом треугольнике отно
шение двух перпендикулярных сторон s/a
равно пути, пройденному поездом s = vt,
деленному на путь, пройденный световым

41

Рис. 15

42

лучом за то же время a = ct. Это отноше
ние равно v/c = E, и не зависит от выбран
ного момента времени.
3. Тогда отношения соответствующих сто
рон для двух зеленых треугольников рав
ны r/a = b/s. Это соотношение может быть
получено путем сравнения двух длинных
сторон, которые одновременно являются
сторонами красного треугольника. Рас
суждая с точки зрения наблюдателя в
красной системе отсчета, можно увидеть,
что соотношение короткой и длинной
красных сторон, по определению, uĻ/с.
Это следует из тех же соображений, ко
торые мы использовали в пункте 2, но те
перь уже для красной системы отсчета.
Длинная сторона в красном треугольни
ке представляет собой расстояние, ко
торое свет покрывает в красной системе
отсчета, оно равно сумме двух коротких
красных обоюдоострых стрелок. Корот
кая сторона или левая из двух красных
стрелок — это расстояние, пройденное
за то же время девушкой в поезде. Тогда
b/s = uĻ/c и также r/a = uĻ/c. Умножая обе
части первого уравнения на s, а второго
на a, получим b = uĻs /c и r = uca /c.
4. Скорость u, которую мы хотим опреде
лить, также удовлетворяет простым со
отношениям в черной системе отсчета.
Используя аргументы, аналогичные при
веденным в пункте 2, видим, что из тре
угольника, включающего черную wось,

черную обоюдоострую стрелку и синюю
стрелку, получим u/c = (s + r)/(a + b).
5. Мы это сделали! Просто подставьте выра
жения для b и r, найденные в пункте 3, в
уравнение пункта 4, а затем используйте
результат s/a = v/c пункта 2, чтобы вос
произвести известный результат, впервые
полученный Эйнштейном.
Это ʊ знаменитая формула Эйнштейна
для сложения скоростей

Выполняя всю эту геометрическую работу,
не забываем исследовать результат, прове
ряя, согласуется ли он с качественными со
ображениями предыдущего раздела.
x Если подставим значения v = 1/2 c и
uĻ = 1/2 с, которые были использова
ны в предыдущем примере, мы увидим,
что чертеж не подвел нас: мы получим
u = 4/5 c, как и ранее, когда мы просто
рассматривали диаграмму.
x Если скорости uĻ и v гораздо меньше ско
рости света, так что оба отношения uĻ/c
и v/c намного меньше единицы, мы при
дем к восстановлению старого добро
го ньютоновского результата. Для малых
значений uĻ и v член uĻv/c2 в знаменателе
будет много меньше единицы, и поэтому
можно спокойно им пренебречь по срав

43

x

нению с единицей, находящейся рядом с
ним. Получаем результат, ожидаемый на
ми в соответствии с формулой Ньютона,
u = uĻ + v. Это подчеркивает тот факт, что
физика Ньютона ʊ в некотором смысле
частный случай физики Эйнштейна, а не
наоборот.
Если мы положим uĻ равным c, то форму
ла приводит к u = c для любого значения
v. Это ʊ только перефразирование за
явления, что скорость света одинакова
для всех наблюдателей. Даже складывая
дважды c, попрежнему получаем u = c.

Почему правило сложения скоростей, та
кое простое в ньютоновской ситуации, на
столько сложно у Эйнштейна? Причина в том,
что скорость определяется как разность ко
ординат 'x (расстояние), деленная на 't (за
траченное время). Для Ньютона время явля
ется универсальным, так что 't не меняется,
и только 'x зависит от изменения системы
отсчета. В теории Эйнштейна и х, и t преоб
разуются нетривиально, что и приводит к не
линейности в формуле сложения.

Причинность восстановлена
Вооруженные утверждением, что скорость
не может превышать скорость света, мы мо
жем вернуться к нашему спорному случаю
убийства (на стр. 35), который мы оставили
неразрешенным. Тот факт, что ничто не мо
жет двигаться быстрее света, предполагает,

44

что последствия определенного события ни
когда не могут распространяться в простран
ствевремени со скоростью выше, чем c.
На диаграмме 12 мы уже указывали, что это
означает в нашем простом мире одного про
странственного направления и одного вре
менного направления. Событие 1 (рис. 16)
может причинно повлиять только на после
дующие события, расположенные внутри
желтого клина, который ограничен мировы
ми линиями двух световых импульсов, дви
жущихся в положительном и отрицательном
направлении х (которые одинаковы для всех
наблюдателей). В конце концов, скорость, с
которой распространяется влияние события,
всегда будет меньше, чем c. Так как в ре
альности мы имеем дело с тремя простран
ственными измерениями, а не с одним, то на
самом деле, должны понимать, что это ʊ
конус (аналог клина, но более высокой раз
мерности). Поэтому такой клин обычно на
зывают световым конусом будущего.
Если, с другой стороны, мы зададим во
прос: какие события могут повлиять на дан
ное событие, скажем, событие 2 ? Тогда по
тем же соображениям, они должны быть рас
положены сзади или в световом конусе про
шлого, закрашенном темножелтым цветом.
Заметьте, что световые конусы будущего и
прошлого одинаковы во всех инерциальных
системах отсчета. Конусы являются универ
сальными: они относятся к событию, а не к

Рис. 16

45

конкретному наблюдателю. Однако, любая
точка Р, расположенная вне световых кону
сов, скажем, для события 1, может в зависи
мости от конкретной скорости наблюдателя,
проходящего через 1, лежать в будущем,
прошлом или настоящем для этого наблюда
теля. Но эта неопределенность в заданный
момент не существенна, потому что нет та
кого сигнала, который может пройти между
точкой 1 и точкой Р. Поэтому не может быть

46

никакой причинной связи между событиями
в точках 1 и Р.
Теперь, если мы вернемся к нашей про
блеме причинности на стр. 35 и диаграм
ме 12, то увидим, что события 1 и 2 находят
ся вне световых конусов друг друга. Таким
образом, причинность спасена от гибели.
В случае, интересующем нас, ʊ ужасный
Найджел не мог убить тетю Августу!

4. Растяжения и сжатия
Все должно быть сделано так просто, как это возможно, но ни на йоту проще.

Простите, не могли бы вы сказать мне,
сколько времени?
Одновременность относительна: какие из
событий происходят в одно время — это за
висит от вашей системы отсчета, и опреде
ляется вашей скоростью. Глядя на диаграм
му 17, можно было бы задать следующий
вопрос: сколько сейчас времени в точке wĻ?
Для черного наблюдателя wĻ является одно
временным с w = 5 единицам, а для красно
го наблюдателя это одновременно с wĻ = 3,3
единицы. Кажется, это другая загадка. Мы не
должны удивляться ʊ ведь одновременность
относительна, и в приведенном выше при
мере все наблюдатели используют черные
часы. Интересный вопрос, конечно, какому
времени по красным часам соответствует wĻ,
и как это связано со временем, установлен
ным для этого же события в черной системе
отсчета.
Мы можем быть уверены в одном: если
красный наблюдатель поставил свои часы на
нуль в начале координат, они будут показы
вать некоторый конкретный момент времени
(конкретное время) для wĻ. Для того, чтобы
выяснить какое, мы используем постулат те
ории относительности.

Замедление времени
Проблему, возникшую в предыдущем разде
ле, можно решить, применяя принцип отно
сительности к тактовым частотам часов1 двух
инерциальных наблюдателей, движущихся
со скоростью v по отношению друг к другу.
Два интересующих нас наблюдателя имеют
идентичные часы с установленным нулем в
начале координат и собственными шкала
ми времени на их мировых линиях. Мы уви
дим, что скорость хода (частота) этих часов
должна отличаться некоторым множителем
J (гамма), который зависит от относительной
скорости v, или скорее, мы должны ввести
безразмерный параметр E = v/c. Мы также
знаем, что тактовые частоты должны стать
равными, когда v стремится к нулю.
Обращаясь к диаграмме 18, положим
wĻ = J w*. Теперь относительность диктует,
что должно также быть верно равенство
w = J wĻ, так как существует единственная
Автор использует термин clock rates, т. е. тем
пы хода часов, скорости хода часов; мы использу
ем термин тактовые частоты, который хорошо от
ражает смысл данного понятия. — Прим. перев.

1

47

Рис. 17

48

Рис. 18

49

относительная скорость, и ситуация должна
быть полностью симметричной для обоих
наблюдателей. Подставляя wĻ в выражение
для w, мы получим соотношение w = J 2w*,
где и w и w* относятся к одним и тем же ча
сам в черной системе координат. Есть один
бесспорный факт, который мы уже привели
в этом пункте: на рисунке мы видим, что w
больше, чем w*, из этого следует, что J 2, а
также сам множитель J, должны быть боль
ше единицы.
Из wĻ= w/J следует, что wĻ должен быть
меньше, чем w. Это означает, что движущи
еся часы идут медленее; результат, довольно
причудлив и очень важен.
В самом деле, из диаграммы можно было
бы сделать вывод, что wĻ > w, и тот факт, что
это не так, буквально означает, что мы долж
ны масштабировать наклонные оси движу
щейся системы отсчета1.
Если вы ʊ человек упорный, то, конечно,
захотите узнать, насколько медленнее идут
движущиеся часы. И опять это можно рас
считать, используя некоторую элементарную
геометрию на плоскости, как мы сейчас и
продемонстрируем.
Если вы не хотите трудиться над деталями
пошагового вывода, можете перейти прямо к
Т. е. использовать другой масштаб наклонных
осей. — Прим. перев.

1

50

полученной формуле и комментариям, кото
рые следуют из нее.
Рассмотрим на диаграмме 18 два зеленых
прямоугольных треугольника: большой ABO,
и, частично перекрывающийся с ним, мень
ший ABC, более темного цвета.
1. Эти треугольники снова подобны, следо
вательно, отношения соответствующих
сторон равны. Из этого наблюдения сле
дует, что AB/AO = AC/AB.
2. Вопервых, заметим, что AB/AO = v/c = E
и AO = w, так, что AB = wv/c = Ew. На ри
сунке мы можем также непосредственно
видеть, что AC = w – w*. Подставляя эти
выражения в уравнение пункта 1, мы по
лучаем E = (w – w*)/Ew.
3. Находим w, умножая обе стороны уравне
ния на Ew, перенося все члены, содержа
щие w, в одну сторону и вынося w из ско
бок. Получаем формулу
w = w*/ (1 – E2).
4. Вспоминая, что w = J2w*, находим, что ко
эффициент масштабирования J задает
ся (положительным) квадратным корнем
дроби 1/(1 – E2).
Мы получаем, что соотношение между
тактовыми частотами определяется по фор
муле:
.

Теперь прокомментируем некоторые ха
рактерные черты этой замечательной фор
мулы. Мы видим, как говорили ранее, что,
действительно, wĻ всегда меньше, чем w, по
скольку выражение под корнем всегда мень
ше единицы (так как v, конечно, меньше c).
Хорошо видно, что wĻ = w, если v = 0, и, воз
можно, менее хорошо видно, что wĻ стремит
ся к 0 при v стремящемся к c. Другими сло
вами, часы, движущиеся со скоростью света,
не работают вообще! В такой уникальной си
стеме отсчета понятие времени не существу
ет: «косые» (наклонные) оси системы отсчета
для движущихся наблюдателей мы можем
нарисовать великолепно сливающимися в
одну линию, на которой различие между про
странством и временем полностью утрачива
ются.
Примечание. Выше для наших расчетов мы
использовали старую добрую евклидову гео
метрию на плоскости. Можно было усомнить
ся в том, правильно ли использовать понятия
евклидовского подобия в данном контексте,
где мы сравниваем различные простран
ственновременные системы отсчета. При
менимы ли правила евклидовой геометрии в
пространственновременной плоскости? На
самом деле, причина не в том, что красная си
стема отсчета выглядит как косая (наклонная),
а в том, что единицы по красной оси должны
иметь другой масштаб. Тем не менее, соот
ветствующие стороны треугольников мы всег

да сравнивали, как принадлежащие одной
системе отсчета. В отношениях сторон одного
цвета коэффициенты масштабирования будут
сокращаться, и, следовательно, эти отноше
ния могут быть приравнены друг к другу.
Мы видели, что пространственновремен
ные диаграммы ʊ чрезвычайно сильный по
мощник в понимании относительности. Не
смотря на это, они никогда не декларируют
эквивалентности инерциальных систем от
счета непосредственно, в простой картинке.
Но подобная асимметрия между системами
отсчета все же существует в алгебраических
конструкциях, где используется формула,
подобная той, которую мы получили для за
медления времени.1

Эффект Доплера
Пусть духовой оркестр играет на грузовике
«Когда святые... ». Высота тона будет выше,
если грузовик движется к нам, и ниже, когда
грузовик удаляется. Это изменение высоты
Автор использует термин «time dilation», ко
торый строго говоря, надо переводить, как «рас
тяжение времени». Однако, на самом деле речь
идет об увеличении (растяжении) промежутков
времени, т.е. время в движущейся системе отсче
та как бы замедляется по сравнению со временем
в неподвижной системе отсчета. Поэтому принято
говорить о «time dilation», как о замедлении вре
мени. Именно так всюду ниже мы переводим этот
термин. — Прим. ред.

1

51

тона или частоты в зависимости от относи
тельной скорости источника и наблюдателя,
называется эффектом Доплера. Это отно
сится ко всем волновым явлениям: волнам
на воде, звуку, а также свету. И во всех слу
чаях эффект зависит от разницы в скоростях
между источником и наблюдателем.
На диаграмме на рис. 19 мы изобразили
движущийся источник света, который вспыхи
вает с частотой fs. Как вы можете видеть, не
подвижный наблюдатель получает световые
сигналы с другой частотой, и вопрос состоит
в том, какую частоту f0 он измерит. Частота ʊ
это число вспышек в секунду. Так из диаграм
мы мы видим, что fs = 4/w Ļ0 и что f0 = 4/w1.
Это означает, что отношение наблюда
емой частоты к испускаемой равно f0 /fs =
= w Ļ0 / w1. Формула для замедления време
ни говорит нам, что w0 = J w Ļ0 . Из диаграммы
имеем: w1 – w0 = E w0, потому что это расстоя
ние равняется длине горизонтальной стрел
ки, которая является расстоянием, пройден
ным источником за время w0 со скоростью Ec.
Отсюда заключаем, что w1 = (1 + E) w0 =
= (1 + E)JwĻ0 . Следовательно, для релятивист
ского эффекта Доплера имеем:
.
Головоломка: Показать, что мы получаем
нерелятивистский случай, подставляя J = 1 в

52

вышеприведенную формулу, которая затем
может быть использована для духового орке
стра, если в выражении для E заменить с на
скорость звука.

Парадокс близнецов
Парадокс близнецов иллюстрирует про
явление эффекта замедления времени, а
именно, то, что движущиеся часы идут мед
леннее. Замедление времени как реальный
физический эффект представляется нам в
виде еще одного парадокса. В конце концов,
можно ли сказать, что относительность ʊ
это относительность движения? Пусть ча
сы путешественника А идут медленнее, чем
часы наблюдателя B, потому что A движется
относительно В. Но не должны ли мы на тех
же основаниях также потребовать, чтобы ча
сы B шли медленнее, чем часы A, так как B
движется по отношению к A. Это парадокс,
лежащий в основе следующего мысленного
эксперимента.
Двум одинаковым близнецам Норе и Вере
даны одинаковые, прекрасно калиброванные
часы. Затем Вера отправилась в космиче
ское путешествие, двигаясь по галактике с
большой скоростью, чтобы потом вернуться
домой после долгого путешествия. Нора си
дит дома. В какойто момент Вера возвра
щается. Так как она движется, ее часы идут
более медленно, и поэтому для нее прошло
меньше времени с момента ее отлета. Она

Рис. 19

53

найдет свою сестру гораздо более состарив
шейся, чем она сама. В зависимости от про
должительности путешествия и относитель
ной скорости этого путешествия, она может
даже обнаружить, что Нора давно умерла! А
это уже драма.

Выбирая v подходящим образом, путеше
ствующий близнец может сделать tĻ1 таким
малым, как ему захочется. Например, выби
рая v = 4/5 c, получим tĻ1 = 3/5 t1 = 18 лет!

Это блестящая выдумка или суровая ре
альность? И если реальность, то как мы тогда
можем примирить эту асимметрию с основ
ным постулатом теории относительности?
Вот в чем вопрос! Да, это верно. Асимметрия
становится понятной, если мы внимательно
рассмотрим путешествие, схематично изо
браженное на диаграмме рис. 20. Наблю
дателем, движущимся вдоль черной wоси,
должна быть, несомненно, Нора, которая
находится дома, в покое, и ждет возврата
сестры. Довольно скучная поездка Веры в
красном космическом корабле состоит из
двух симметричных частей: сначала она уда
ляется со скоростью v, а затем поворачивает
(мгновенно) и возвращается домой со скоро
стью –v.

Диаграмма показывает, где возникает
асимметрия. Как раз перед точкой поворота,
Вера считает, что wa — «одновременное с ней
время», но спустя бесконечно малый отрезок
времени она видит как «одновременное» уже
wb. Она както мгновенно перепрыгнула от wa
к wb ʊ или, что более реалистично, считая,
что кривая немного сглажена, несется чрез
вычайно быстро в интервале между времена
ми wa и wb. Это положение не относится к те
ории относительности, потому что скорость
Веры изменяется. Она испытывает очень
быстрое торможение, и может это объектив
но определить. Так же, как Вы это сразу чув
ствуете в машине, которая резко тормозит.
Ее сестра Нора не испытывает ничего при
этом торможении, и именно здесь возникает
асимметрия. Это различие является тем, что
разрешает парадокс.

Поскольку замедление времени зависит
только от квадрата скорости, ее часы замед
ляются одинаково по дороге туда и по дороге
обратно. В соответствии с формулой замед
ления времени из предыдущего раздела,
когда по покоящимся часам Норы, скажем,
прошло t1 = 30 лет, для Веры прошло только
tĻ1 лет, где
.

Ясно, что такая драматическая асимме
трия неизбежна, если одна сестра должна
остаться в покое (дома), и мы хотим, чтобы
сестры встретились снова для сравнения их
фактического возраста. Некоторые эксперты
в связи с этим скажут, что разница во време
ни вызвана ускорением, и не является только
эффектом специальной теории относитель

54

Рис. 20

55

ности. И все же, в целом, полный эффект на
прямую зависит от относительной скорости
этих двух наблюдателей и продолжительно
сти путешествия. Мы можем приближенно
описать это явление, суммируя произволь
но выбранные мелкие сегменты, на которых
путешествующий близнец движется с раз
личными, но постоянными относительно по
коящейся сестры, скоростями. Кроме того
сглаживание острого угла оказывает влия
ние, никак не связанное с длиной пути, и по
этому может считаться сколь угодно малым.
Наиболее важным является то, что пара
докс близнецов — это совершенно реальный
физический эффект, для которого существуют
прямые экспериментальные подтверждения.
В 1971 году были проведены эксперименты,
в которых очень точные атомные часы были
отправлены в путешествие вокруг Земли в
реактивном самолете со средней скоростью
около 600 миль в час. В результате в полном
соответствии с формулой Эйнштейна была
зафиксирована маленькая, но существенная
разница по сравнению с показаниями таких
же часов, которые оставались в лаборато
рии. Расчеты для этого частного случая также
иллюстрируют парадоксальное общее свой
ство, заключающееся в том, что если два че
ловека путешествуют по произвольным участ
кам мировых линий и потом встречаются, то
путешественник, который прошел «длинную»
мировую линию, окажется более молодым.

56

Эффект замедления времени можно про
верить очень простым способом, используя
нестабильные элементарные частицы, подоб
ные мюонам, которые самопроизвольно рас
падаются и имеют конечные (усредненные)
времена жизни. Было обнаружено, что время
жизни действительно зависит от скорости,
которую имеют эти частицы по отношению к
лабораторной (покоящейся) системе отсчета
(в которой это время жизни покоящихся ча
стиц было определено). Эти эксперименты
обеспечивают очень точное подтверждение
предсказаний Эйнштейна. Они также подчер
кивают, что эффект действительно относится
к сфере специальной теории относительно
сти, так как в этом эксперименте нет никакого
ускорения, и все же время жизни различается
в разных системах отсчета.
Это может быть потому, что фактически
измерения времени и расстояния проводят
ся в лабораторной системе отсчета, а затем
сравниваются с результатами измерения
времени в системе отсчета распадающейся
частицы (для которой сама частица выступа
ет в качестве своеобразных часов).
Так эффекты замедления времени, как
следствие специальной теории относитель
ности, и относительность одновременности,
в частности, являются столь же реальными,
как закон природы, который гласит, что ча
стица будет ускоряться, если на нее действу
ет сила.

Головоломки:
1. Представьте себе, что Нора и Вера по
сылают световые сигналы друг другу со
скоростью один импульс в секунду. Нари
суйте световые лучи на диаграмме и об
судите, как сестры воспринимают после
довательность сигналов друг друга. Здесь
«настоящая» асимметрия и проявится.
2. Нарисуйте диаграмму для экспериментов
с распадающимся мюоном, чтобы пока
зать, что она позволяет проверить эффект
замедления времени. Предположите, что
скорость мюона составляет 1/2 c.

Преобразования Лоренца
Мы все время говорили о системах отсчета,
которые связаны с различными системами
координат, такими как черная или красная
координатные сетки. Полезно задать важ
ный общий вопрос для ситуации, где есть две
системы координат, принадлежащих двум
группам инерциальных наблюдателей (пере
мещающимся с постоянной скоростью друг
относительно друга).
Пусть есть событие P, имеющее координа
ты (w, x) в черной (неподвижной) системе от
счета и координаты (wĻ, xĻ) в системе отсчета,
перемещающейся с параметром скорости
E = v/c. Каково общее соотношение между
координатами (w, x) и (wĻ, xĻ) в этих системах
отсчета? Другими словами, мы ищем выраже
ния для w и x через wĻ и xĻ (или наоборот).

Если ктото говорит нам, «когда и где» не
которое событие происходит в одной систе
ме отсчета, тогда можно непосредственно
вычислить «когда и где» оно происходит в
другой системе отсчета. Не удивительно, что
это соотношение будет зависеть от E. Ответ
может быть получен из диаграмм, которые
мы создадим, используя геометрические
аргументы подобные тем, которые мы ис
пользовали. Этим мы и собираемся сейчас
заняться.
Искомые соотношения являются извест
ными преобразованиями Лоренца, которые
позволяют преобразовывать выражения из
одной инерциальной системы отсчета в дру
гую. Мы уже сталкивались с простым приме
ром этого в разделе, посвященном замед
лению времени, в котором присутствовала
связь между wĻ и w.
Вывод соотношений между двумя ко
ординатными системами приведен на сле
дующей странице. Конечно, вы можете его
пропустить, если вы интересуетесь только
результатом и его следствиями.
Мы можем легко получить требуемые соот
ношения из диаграммы рис. 21, используя
пропорциональность, и, в некоторых случаях,
равенство сторон зеленых треугольников.
1. Событие P отмечено синим цветом, и в
красных координационных осях мы указа
ли, что его координаты ʊ wĻ и xĻ. Для чер

57

Рис. 21

58

ных осей мы обозначили его координаты
в неподвижной системе отсчета как w и x.
2. Из прямоугольных треугольников на диа
грамме мы получим: w = a + b и x = r + s.
3. Ранее мы широко использовали обозна
чения s/a = b/r = v/c = E. В разделе о за
медлении времени мы также показали,
что a = J wĻ, где J определяется выражени
ем, приведенным на стр. 50. Подставляя
это в s/a = E, получим s = E J wĻ. Из подобия
больших и маленьких треугольников сле
дует r = J xĻ и b = E r = E J xĻ .
4. Теперь необходимо сделать следующее.
Подставим выражения, полученные на
шаге 3, в выражения шага 2. Непосред
ственно получим: w = a + b = J wĻ + E J xĻ,
и аналогично ʊ x = r + s = J xĻ + E J wĻ. Эти
простые преобразования для перехода от
пространственновременных координат
(wĻ, xĻ) к координатам (w, x) действительно
обладают всеми ожидаемыми свойства
ми симметрии, представленными на кар
тинке. Они также показывают правильное
поведение, если мы перейдем к пределу
v o 0 (так что E o 0 и J o 1).
Мы получили хорошо известные правила
преобразования Лоренца:
w = JwĻ + EJxĻ,
x = JxĻ + EJwĻ.
Это ʊ фундаментальный
огромной общности.

результат

У этих правил преобразования имеется
важное математическое свойство. Это пре
образование называется линейным, потому
что новые w и x выражаются как линейная
комбинация старых wĻ и xĻ. (Это означает, что
в формулы не входят более высокие поряд
ки.) Коэффициенты E и E J, конечно, зависят
от относительной скорости двух наблюдате
лей. Отметим также, что в нерелятивистском
пределе получаем линейные преобразова
ния Галилея:
w = wĻ и x = xĻ + EwĻ.
Линейность преобразования отражает
свойство пространствавремени, которое
мы используем по умолчанию. Ранее мы го
ворили, что системы отсчета обладали таким
свойством, как однородность, обозначав
шая, что они не зависят от того, где или когда
вы находитесь, и что пустое пространство
время выглядит одинаково вокруг любой
точки. Это позволяет произвольно выбирать
ноль системы координат. Это можно показать
более явно следующим образом. Предполо
жим, что мы выбрали точку (a, b) в качестве
нового начала системы отсчета, это соответ
ствует точке (aĻ, bĻ) в движущейся системе
отсчета. Однородность — это требование,
чтобы переход от (wĻ, xĻ) к (w, x) был таким же,
как от (wĻ – aĻ, xĻ– bĻ) к (w – a, x – b), и это при
водит к утверждению, что преобразование
является линейным.

59

Линейность — очень приятное свойство,
оно гарантирует, например, что, если мы
применяем два или более таких преобра
зований последовательно, то совокупный
эффект является также линейным преобра
зованием.
Например, сначала мы переходим от си
стемы отсчета человека на платформе к си
стеме отсчета красного поезда с параметром
E = E1, затем мы переходим от системы от
счета поезда к системе отсчета голубоглазой
девушки с параметром E2. Если мы выпол
ним преобразования одно за другим, то уви
дим, что результат будет таким же, как после
единственного преобразования с параме
тром E3, которое определяется по формуле
Эйнштейна для сложения скоростей стр. 43,
так, что E3 = (E1+ E2 )/(1+ E1 E2 ). Под сложны
ми нелинейными формулами суммирования
скрывается не что иное, как простые линей
ные преобразования Лоренца.
Во многих учебниках преобразования Ло
ренца фактически приняты в качестве отправ
ной точки для объяснения теории относи
тельности. Это имеет смысл с исторической
точки зрения с учетом того замечательного
факта, что формулы преобразования были
записаны примерно в 1900 г. голландским
физиком Хендриком Антоном Лоренцем, еще
до возникновения теории относительности.
Они следуют из его анализа теории Максвел
ла ʊ системы уравнений, которые дают еди
ное описание электромагнитных явлений.

60

Лоренц сделал замечательное открытие, что
уравнения Максвелла выглядят одинаково,
если переход от нештрихованной к штрихо
ванной системе координат осуществляется
в соответствии с вышеприведенными пре
образованиями. На языке физики и матема
тики это означает, что уравнения Максвелла
инвариантны относительно преобразований
Лоренца.
Захватывающим является понимание
того факта, что фундаментальные уравне
ния относительности были так или иначе
уже записаны прежде, чем Эйнштейн к ним
пришел. Очевидно, проблема была здесь
не в том, чтобы дать правильный ответ, а в
том, чтобы поставить правильный вопрос об
их значении. Действительно, первоначаль
ная интерпретация инвариантности была
полностью совершенно иной. Считалось,
что уравнения Максвелла имели простую и
красивую форму только в особой неподвиж
ной системе отсчета, которая покоилась от
носительно «эфира» — неуловимой субстан
ции, которая по предположению заполняла
все пространство. Это была среда, которая,
как полагали, необходима для прохождения
электромагнитных волн (например, света
или радиоволн). Глубокий и радикальный
поворот в интерпретации произошел благо
даря Эйнштейну, утверждавшему, что нет
такого понятия, как эфир, и, как следствие,
нет «выделенных» систем отсчета. Эта точка

зрения согласовалась с выводами знаме
нитого эксперимента Майкельсон и Морли,
который был выполнен до появления теории
относительности. В эксперименте они по
казали, что свет распространяется с одина
ковой скоростью во всех направлениях. Это
противоречило широко распространенной
идее, что Земля находится в движении отно
сительно эфира. Такой результат обеспечи
вал прямое экспериментальное подтверж
дение второго постулата Эйнштейна, хотя не
совсем ясно, в какой степени сам Эйнштейн
понимал это.
Важнейшим наблюдением стало то, что
механика Ньютона была «инвариантна» от
носительно преобразований Галилея, кото
рые мы ранее упоминали, тогда как теория
электромагнетизма Максвелла оказалась
инвариантной относительно совсем другого
набора правил — преобразований Лоренца.
Для того чтобы был справедлив постулат
теории относительности, утверждающий,
что все физические уравнения должны иметь
одинаковый вид для любого наблюдателя,
движущегося с постоянной скоростью отно
сительно данного наблюдателя, одна из этих
двух теорий должна быть изменена.
Именно это понимание привело Эйнштей
на к смелой ревизии ньютоновской механи
ки, считавшейся неприкасаемой; он оставил
неизменной теорию Максвелла.

Головоломки:
1. Показать, что соотношения для xĻ и wĻ че
рез x и w можно получить из вышеприве
денных соотношений путем замены E на
– E. Именно это можно было бы ожидать
из теории относительности.
2. Показать, что два последовательных пре
образования Лоренца с параметрами E1
и E2 приводят к тому же, к чему приводит
одно преобразование с параметром E3,
заданное формулой Эйнштейна.

Поместится ли шест в сарае?
Глядя на выражения для преобразований Ло
ренца, можно заметить, что пространство и
время равноправны в теории относительно
сти. Так как мы уже сталкивались с физическим
эффектом замедления времени, то естествен
но спросить, существует ли подобный физиче
ский эффект, связанный с пространственной
координатой. Такой эффект действительно
существует и называется он «сжатие Фицже
ральда—Лоренца». В краткой формулировке
это звучит так: наблюдаемая длина объекта,
движущегося с постоянной скоростью, будет
определяться в соответствии с заданной фор
мулой (в направлении движения)1.

В интересующем нас случае соответствующая
формула имеет вид: x = xĻ (1 – E2). Заметим, что x
и x1появляются в противоположных позициях по
сравнению с формулой для замедления времени
на стр. 50. — Прим. автора.

1

61

Рис. 22

62

Давайте кратко проиллюстрируем этот
эффект в контексте другого парадокса, ко
торый возникает, когда ктото хочет ответить
на вопрос о том, поместится ли шест в сарае.
Парадокс включает сарай в состоянии покоя
и движущийся через него шест. Для покояще
гося наблюдателя шест сжался, и он отмеча
ет, что шест легко помещается в сарае. Для
наблюдателя, который быстро движется, не
ся шест, сарай сжимается, а шест нет, поэто
му, для него шест не укладывается в сарае.
Как мы можем решить, кто из них прав? Шест
помещается в сарае или шест не помещает
ся в сарае?— вот в чем вопрос.
На диаграмме 22 мы изобразили эту ситу
ацию. Вопервых, есть черная неподвижная
система отсчета. Светлозеленая область ʊ
это сарай, находящийся в состоянии покоя;
две черные стрелки вверх соответствуют
мировым линиям передней и задней двери
этого (одномерного) сарая. Шест (двуна
правленные стрелки) движется с постоянной
скоростью в положительном направлении
оси х, и находится в состоянии покоя по от
ношению к красной системе отсчета. Две
красные стрелки по диагонали вверх и впра
во представляют собой мировые линии ко
нечных точек шеста.
Из диаграммы становится понятным раз
решение парадокса. В черной системе от
счета длина измеряется по горизонтальной

линии равного времени, и мы видим, что
шест точно помещается в сарае: в момент
времени w = w0 обе конечные точки находят
ся в сарае. Для красного наблюдатели все
обстоит совершенно иначе: в момент вре
мени w0, когда передний конец шеста дости
гает задней двери, другой конец шеста еще
не вошел в сарай. Движущийся наблюдатель
приходит к правильному выводу, что шест не
вписывается в сарай. Ключевым здесь яв
ляется то, что при измерении длины пред
полагается использовать понятие одновре
менности. Это понятие зависит от системы
координат, следовательно, нельзя сравни
вать длины объектов, движущихся с разными
скоростями.
Ответ на вопрос “Помещается шест в са
рай или нет?” должен звучать так: «Это зави
сит не только от шеста, но и от наблюдателя».
Оба наблюдателя говорят правду, или, по
крайней мере, свою собственную правду.
Головоломка: Рассмотрим следующий мыс
ленный эксперимент, предложенный Тейло
ром и Уиллером: поезд движется вдоль сте
ны, на которой ровно на высоте два метра
над землей нанесена голубая линия. В по
езде из окна высунулся человек с кистью. Он
намерен нанести краской красную линию на
стене и ровно на высоте два метра над зем
лей. Будет ли конец красной линии ниже или
выше голубой? Утверждают, что, если есть

63

более чем одна размерность пространства,
размеры, перпендикулярные направлению
движения, не сжимаются. Если предполо
жить, что в вертикальном направлении в дви
жущейся системе также будет сжатие, то это
будет противоречить постулату относитель
ности.

Эйнштейн как человек
Эйнштейн был самым свободным человеком,
которого я знал. Под этим яподразумеваю,
что он, более чем ктолибо еще из тех, с кем
я столкнулся, был хозяином своей собствен
ной судьбы. Если у него был Бог, это был Бог
в понимании Спинозы. Эйнштейн не был бун
тарем, поскольку ниспровержение авторите
тов никогда не было его главной мотивацией.
Он не был мятежником еще и потому, что ему
было слишком смешно тратить усилия для
борьбы, ни один авторитет не казался ему
достаточным основанием для этого.
У него была свобода задавать научные во
просы, и гениальность — очень часто форму
лировать их правильно. И у него не было ко
лебаний принимать или не принимать ответ.

Глубокое понимание им своего предназна
чения привело его дальше, чем коголибо из
его предшественников. Это была вера в се
бя, которая делала его настойчивым. Слава,
может быть, иногда льстила ему. Он не стра
шился времени и до необычайной степени не
страшился смерти. Я не обнаружил трагедии
в его более позднем отношении к квантовой
теории, или в его невозможности построить
единую теорию поля, тем более что некото
рые из вопросов, заданных им, остаются не
решенными и по сей день — поэтому я ни
когда не видел трагедийности на его лице.
Случайное прикосновение печали к нему ни
когда не нарушало его чувство юмора.

Абрахам Пайс
в его биографии Эйнштейна
«Проницательность – есть Бог…»

64

5. Геометрическая интерлюдия
Не беспокойтесь о своих трудностях с математикой. Я уверяю вас, мои — еще больше.

Пространственно%временной интервал
Мы видели, что существуют две причины, по
которым координатные сетки мы изображали
поразному. Первая из них состоит в том, что
оси одной из сеток взаимно перпендикуляр
ны (черная система отсчета), а для другой
сетки оси времени и пространства — наклон
ные, а не перпендикулярные. Вторая причи
на — в том, что мы должны выбирать едини
цы измерения вдоль осей с коэффициентом,
зависящим от скорости
.
Рассмотрим теперь совокупность всех на
блюдателей, которые движутся через начало
координат в нулевой момент времени, но с
разными скоростями. Мы их всех просим,
чтобы они отметили на своих мировых лини
ях событие, где для них по их часам прошло
некоторое фиксированное время, скажем s
единиц. Можно было бы задаться вопросом,
как в результате будет выглядеть множество
событий на пространственновременной
диаграмме. Формула замедления времени
приводит нас к (wĻ)2 = (1 – E2) w2, поэтому под
становка для wĻ = s приводит к выражению
(1 – E2) w2 = w2 – (E w)2 = s2. Мы также знаем,
что в покоящейся системе отсчета х (рассто

яние движущегося наблюдателя, проходя
щего через начало координат), равно x = vt =
= vw/c = E w. В результате получается, что в
тех местах, где каждый наблюдатель изме
ряет свое время равное s, форма кривой в
(x, w)плоскости описывается поразительно
простой формулой:
w2 – x2 = s2.
Как эта кривая выглядит? Вы, возможно,
хорошо знакомы с тем же уравнением, толь
ко с плюсом вместо минуса. Тогда кривая
будет окружностью с радиусом s, с центром
в начале координат. Знак минус не даст нам
окружность, но мы получим не менее извест
ную математическую кривую, называемую
гиперболой.
Так же, как окружность полностью харак
теризуется радиусом, наша гипербола ха
рактеризуется своей точкой пересечения с
wосью, которая определяется значением s.
Используя формулу, можно просто выбрать
значения для х, вычислить соответствую
щие значения w, а затем получить совокуп
ность точек на пространственновременной
диаграмме. Соединяя эти точки, получаем
кривые, подобные тем темноголубым, кото

65

Рис. 23

66

рые приведены на рис. 23. «Горизонтальная»
гипербола характеризуется s = 4; она пере
секает черную, красную и светлоголубую
wоси в точках, где w = 4, wĻ = 4 и wĻĻ= 4 соот
ветственно.
Конечно, мы можем сыграть в ту же игру
с метрическими линейками, где различные
наблюдатели отмечают расстояние xĻ = s в
нулевой момент времени на своей мировой
линии. Это приводит к формуле с взаимно
замененными x и w, что соответствует за
мене s2 на –s2 в вышеприведенной форму
ле. Изображение соответствующей кривой
даст нам другую голубую гиперболу, которая
пересекает ось x в точке s. Эти гиперболы ча
сто называют пространственноподобными и
времениподобными гиперболами. В проме
жуточном случае, если s = 0, имеем вырож
дение: гиперболы превращаются в линии
w = + x и w = – x, мировые линии для фотона,
движущегося вперед и назад. Эти две линии
являются также асимптотами для простран
ственно и времениподобной гипербол, по
тому что, если w и x значительно больше s,
кривые все более тесно приближаются к пря
мым линиям.
Каков геометрический смысл этих кра
сивых кривых? Что они выражают? Хороший
способ найти ответ, применив формулы пре
образований Лоренца. Если взять форму
лу для гиперболы и x и w заменить на соот

ветствующие выражения в терминах wĻ, xĻ,
E = v/c в соответствии с преобразованиями
на стр. 59, то после некоторых преобразова
ний получим уравнение wĻ2 – xĻ2 = s2. Это точ
но такое же уравнение, но теперь для штри
хованной системы координат. Это означает,
что кривая для фиксированного значения s
является инвариантной относительно пре
образований Лоренца! Преобразования мо
гут сдвигать некоторые точки вдоль кривой,
но непрерывный набор точек, гиперболу как
целое, не меняют.
В математике и физике мы говорим о век
торах. Они очень похожи на стрелки: имеют
длину и направление. В евклидовой геоме
трии — и, следовательно, в обычном про
странстве — квадрат длины вектора r, про
веденного от начала координат до точки (x,y),
равен сумме квадратов его компонентов,
r2 = x2 + y2, и при поворотах длина сохраня
ется. Для пространственновременного век
тора (w, x) мы можем определить подобную
же величину, а именно, пространственно
временной интервал s, но его квадрат равен
разности квадратов временной и простран
ственной компонент: s2 = w2 – x2. Важный мо
мент: в теории относительности, это — про
странственновременной интервал между
двумя событиями, который сохраняется при
преобразованиях Лоренца, для всех инерци
альных наблюдателей. Изза знака минус в
определении, квадрат интервала может быть

67

положительным, отрицательным или нулем,
в этих случаях мы говорим о времениподоб
ном, пространственноподобном или пустом
интервале. Так же, если мы рисуем стрелку
между двумя событиями в пространстве
времени, мы говорим о времениподобном,
пространственноподобном или нулевом век
торе. Действительно векторы на диаграм
ме, обозначенные как x, xĻ, и xĻĻ являются
пространственноподобными, в то время как
маркированные w, wĻ и wĻĻ, — времениподоб
ными.
Времениподобная гипербола (пересека
ющая ось x, подобно оси времени), оказы
вается, интересна также по другой причине.
Если Вы смотрите на времениподобную ги
перболу, Вы видите, что она может фактиче
ски интерпретироваться как полноправная
мировая линия некоторого наблюдателя.
Этот наблюдатель движется не с постоянной
скоростью, а, наоборот, непрерывно ускоря
ется в направлении положительных x. Одна
ко полное понимание ускоренного наблюда
теля выходит за рамки специальной теории
относительности. Тем не менее, мы вернем
ся к такому особому наблюдателю в конце
книги, именно потому, что мы движемся по
ее мировой линии здесь так естественно.

Окружности и гиперболы
В этом разделе мы более подробно рас
смотрим гиперболу, сравнивая ее свойства

68

со свойствами окружности. Чтобы сделать
это, вместо рассмотрения преобразований
Лоренца, мы начнем с обычного вращения
на плоскости вокруг начала координат — ко
торое, по определению, дает окружность с
центром в начале координат. Если мы берем
вектор (скажем, красную/голубую стрелку на
диаграмме) длины r и вращаем ее, конец век
тора описывает окружность с радиусом r. На
диаграмме 24 для красной окружности r = 4.
При вращениях конечная точка вектора пере
мещается по окружности, но окружность в
целом остается неизменной.
Как мы видели прежде, при преобразова
ниях Лоренца, конец красной/синей стрелки
будет двигаться вдоль голубой гиперболы с
s = r, и последняя остается инвариантной в
целом. По этой причине преобразования Ло
ренца иногда называют “гиперболическими
вращениями”, поскольку они оставляют про
странственновременной интервал инвари
антным.
Несмотря на то, что мы работаем в пло
ском двумерном мире, оказывается, есть
чтото специфическое в геометрии, лежащей
в основе специальной теории относитель
ности, заключающееся в знаке минус между
времени и пространственно зависимыми
членами в определении инвариантного ин
тервала. Я, возможно, действительно хотел с
самого начала противопоставить эту геоме
трию геометрии на плоскости, где “инвари

Рис. 24

69

антный квадрат длины” вектора, определяет
ся не как сумма квадратов его компонентов,
но как их разность. Эту гиперболическую гео
метрию называют Пространством Минков
ского, и это ʊ то пространство, в котором мы
молчаливо работали все время.

Конструирование гиперболы
Теперь должно быть ясно, что гиперболы,
тесно связанные с преобразованиями Ло
ренца для разных наблюдателей в инерци
альных системах отсчета, имеют большое
значение в теории относительности. Вот по
чему мы должны исследовать гиперболы не
много подробнее, прежде чем приступить к
физике относительности.
Вы можете спросить, почему мы не избав
ляемся от знака минус, переписывая уравне
ние w2 – x2 = s2 в форме:
w2 = s2 + x2.
С этой формулой нам действительно удобно
строить нужные гиперболы, используя цир
куль и теорему Пифагора. Как вы, возможно,
помните, теорема утверждает, что если s и
x — взаимоперпендикулярные стороны пря
моугольного треугольника, то длинная сто
рона треугольника равна w, как определено
вышеприведенным выражением.
Но это именно наш случай: если на диа
грамме мы выбираем определенное значе
ние s вдоль вертикальной wоси и некоторую

70

точку x вдоль горизонтальной оси, то точки x
и s вместе с точкой начала координат опре
деляют прямоугольный треугольник.
Длинная сторона, связывающая x и s,
должна иметь длину w, которая определит
ся из уравнения выше. Если теперь прове
дем окружность с центром в х радиуса w,
выгибая линию вверх, пока не достигнем
вертикальной линии, проходящей через
точку х, у нас будет построена точка (w, x)
гиперболы.
Другие точки гиперболы могут быть по
лучены таким же способом из разных точек
на оси х, как показано на диаграмме 25. Мы
видим, что действительно с помощью линей
ки и циркуля можно построить гиперболу,
хотя это, конечно, сложнее, чем нарисовать
окружность.

Размышляем над векторами
Мы ввели векторастрелки в обычном евкли
довом пространстве и в пространствевре
мени. Нормальные вектора в пространстве,
обозначающие положение или скорость,
имеют длину, которая сохраняется при обыч
ных вращениях. Эти вращения соответству
ют преобразованиям из системы отсчета од
ного неподвижного наблюдателя к системе
отсчета другого неподвижного наблюдателя,
повернутой по отношению к исходной. В кон
тексте теории относительности мы, конечно,
интересуемся пространственновременны
ми векторами и их свойствами с точки зре

Рис. 25

71

ния разных инерциальных наблюдателей. Мы
различаем два случая: в нерелятивистском
случае координатные системы и, следова
тельно, векторы связаны преобразования
ми Галилея, а в релятивистском случае они
связаны преобразованиями Лоренца. Кро
ме того, последние связаны друг с другом,
в том смысле, что преобразования Лоренца
сводятся к преобразованиям Галилея при
малых значениях E. Мы знаем, что при преоб
разованиях Лоренца временные и простран
ственные компоненты вектора преобразу
ются таким образом, при котором конечная
точка результирующего вектора лежит на той
же гиперболе. И направление, и длина изме
няются, но пространственновременной ин
тервал инвариантен.
Что это означает? Давайте начнем с про
стого вектора (s, 0) длиной s, отложенной
вдоль оси времени, и применим к нему пре
образование Лоренца для перехода к систе
ме отсчета наблюдателя, движущегося со
скоростью, для которой E = v/c. Подставляя
(wĻ, xĻ) = (s, 0) в формулы преобразования,
приведенные на стр. 59, получим результи
рующий вектор (w, x) = (Js, EJs) = Js (1, E). Та
ким образом, заключительное выражение —
своего рода пространственновременной
вектор скорости (1, E), умноженный на коэф
фициент Js, который в свою очередь зависит
от скорости (потому что J зависит от E). Это
выглядит достаточно сложно, но важен факт,

72

что получающийся вектор действительно
удовлетворяет соотношению w2 – x2 = s2, и
поэтому преобразование в некотором смыс
ле простое. То, что я подразумеваю под «про
стым» в данном контексте, заслуживает неко
торого пояснения.
Преобразования, такие как вращения
в плоскости или преобразования Лоренца
в пространствевремени, демонстрируют
удобное свойство: компоненты вектора,
т. е. w и x преобразуются линейно. Новые
x и wкомпоненты являются линейными
комбинациями старых компонент wĻ и xĻ, и
обратное также верно: это свойство преоб
разования, а не конкретного вектора. Если
в преобразование будут входить, скажем,
квадраты или иные функции старых компо
нент, то преобразование не будет линей
ным. Мы уже столкнулись с существенно
нелинейными преобразованиями в контек
сте специальной теории относительности.
Рассмотрим, как преобразуется параметр
скорости E1, если смотреть с точки зрения
системы отсчета, движущейся со скоро
стью, заданной параметром E2; результиру
ющий фактор скорости определяется тогда
по формуле сложения скоростей Эйнштей
на: E = (E1 + E2) /(1 + E1 E2). Я уже указал на
стр. 43, что Эйнштейновская формула сло
жения скоростей является нелинейной, в от
личие от ньютоновской формулы сложения,
которая читается как: E = E1 + E2.

Зачем поднимать такой шум, сравнивая
нелинейность с линейностью? Конечно, не
линейности осложняют жизнь, но, когда у нас
есть формула, кого это волнует? В наши бла
гословенные дни, мы, всетаки, можем по
просить компьютер проделать для нас мно
гоэтажные алгебраические вычисления. Он

будет рад сделать это! Все это верно, но, тем
не менее, есть важные физические причины,
по которым нам действительно хотелось бы
хоть както сохранить линейность. Поэтому
в следующей главе мы вернемся к физике,
чтобы обсудить такие знакомые нам понятия,
как импульс и энергия.

73

6. Энергия и импульс
Как только мы осознаем наши пределы, мы сможем их преодолеть.

Движущаяся частица
Теперь мы обсудим понятие импульса для
движущейся частицы, и, в частности, разли
чия между классической ньютоновской теори
ей и специальной теорией относительности.
В ньютоновской механике состояние дви
жения частицы характеризуется ее массой
m и скоростью движения v, или импульсом
p = mv. Ньютон пришел к важным выводам,
что сила вызывает пропорциональное ей
ускорение a, где коэффициент пропорцио
нальности, по определению, — инертная мас
са m. Его знаменитый закон F = ma гласит, что
сила равна изменению импульса (за единицу
времени). Скорость и импульс — это вектора
(также, как сила и ускорение); они имеют на
правление и длину. В трехмерном мире мы
представляем вектора как стрелки, имеющие
три компоненты, вдоль x, y и zосей. В на
шем игрушечном мире, содержащем только
одно пространственное измерение, они могут
быть направлены только в положительном или
отрицательном направлении x.
Теперь уже должно быть понятно, что в те
ории относительности пространство и время

74

тесно связаны. Это означает, что мы не можем
ожидать, что обычные ньютоновские векто
ра скорости или импульса, имеющие только
пространственные компоненты, должны оста
ваться такими и в теории относительности.
Мы должны искать естественную временную
составляющую вектора импульса, которая по
зволит нам определить пространственновре
менной вектор импульса, преобразующийся в
соответствии с формулами либо Галилея, ли
бо Лоренца, как пространственновременной
вектор положения (x, t). Чтобы сделать обсуж
дения максимально прозрачными, я буду рас
сматривать два случая параллельно.
Нашей отправной точкой является поко
ящаяся частица, и мы спрашиваем себя, как
она выглядит в движущейся системе отсчета.
Случай ньютоновского (или галилеевско
го) описания показан на рис. 26. На левой
диаграмме состояние частицы представле
но двумя параметрами, характеризующими
ее движение (в данный момент времени): ее
массой и ее импульсом. Вдоль вертикаль
ной оси мы задаем значение mc (массово
го параметра), а по горизонтальной оси —

Рис. 26

75

импульс p = mv = Emc. Если мы начнем с
покоящейся частицы (p = 0) массы m, то ее
состояние будет представлено вектором
(стрелкой) вдоль вертикальной оси. Мы так
же изобразили на этой диаграмме красную
систему отсчета, связанную с ньютоновски
ми наблюдателями, движущимися со скоро
стью v. Для них частица движется со скоро
стью –v, таким образом, импульс частицы
равен –mv. Важно отметить, что изображе
ние систем отсчета идентично диаграммам
для координат w и x. Причина в том, что они
связаны друг с другом преобразованиями
Галилея: для пространственновременного
вектора (w, x), имеем wĻ = w и xĻ = x – vt =
= x – Ew, тогда как для пространственно
временного вектора импульса (mc, p) у нас
(mc)Ļ = mc (потому что масса не меняется) и
pĻ = p – mv = p – Emc = –Emc. Вектор, пред
ставляющий частицу в движущейся системе
отсчета, показан на правой диаграмме на
рис. 26. Чтобы сделать концептуальное раз
личие очевидным, проведем те же самые
рассуждения для релятивистского случая.
Мы начнем снова с покоящейся частицы
(левая диаграмма) на рис. 26; в неподвиж
ной системе отсчета она характеризуется
вектором, у которого временная компонента
равна mc и импульс обращается в нуль, р = 0.
Теперь мы хотели бы узнать величины компо
нент в красной системе отсчета. Мы можем
использовать преобразования Лоренца, или

76

получить результаты с рисунка, для которого
мы знаем, что (mc)Ļ = Jmc и pĻ = –EJmc, вслед
ствие масштабирования красной оси с помо
щью множителя J.
Ситуация в движущейся системе отсчета
представлена на диаграмме 27 справа, где мы
видим релятивистский пространственновре
менной вектор импульса, чья пространствен
ная компонента равна –EJmc, и временная ком
понента равна Jmc. Это заметно отличается от
ньютоновского результата общим множителем
J, что означает, что обе компоненты вектора
импульса, пространственная и временная,
стремятся к бесконечности, когда скорость
движущейся системы отсчета приближается к
c. Это также следует непосредственно из ле
вого рисунка: параллельность компонентов
все более возрастает1. В этом случае она де
монстрирует свойства самого света.
Фотон (или частица света) по определе
нию распространяется со скоростью света,
поэтому его пространственновременной
импульс направлен вдоль светоподобной ми
ровой линии и, следовательно, имеет равные
пространственные и временные компоненты
для любого наблюдателя. Теория электро
магнетизма Максвелла говорит нам, что свет
Конечно, это своеобразный жаргон: нельзя го
ворить о степени параллельности — она либо есть,
либо ее нет. Однако, переводчик и редактор, стре
мясь сохранить стиль автора, оставили данное вы
ражение в силу его образности. — Прим. ред.

1

Рис. 27

77

обладает энергией и импульсом, и, более
того, их отношение является универсальной
постоянной. Это отношение равно скорости
света: Е/р = с для всех наблюдателей. Эти
замечания подразумевают, что временная
компонента
пространственновременного
импульса может быть отождествлена с E/c.
Фотон движется со скоростью света, но даже
при этом он может иметь конечный импульс
и энергию, в отличие от массивных частиц1,
обладающих массой, о которых говорилось
выше. На диаграмме 28 вектор энергии
импульса фотона изображен оранжевым
цветом. Обратите внимание на уникальную
особенность, что его компоненты во всех
движущихся системах отсчета расположены
на линии, перпендикулярной к вектору.
В отличие от массивной частицы, для ко
торой импульс продолжает расти без преде
ла, свет ведет себя хорошо. Единственный
способ представлять фотон как частицу, у
которой обе компоненты остаются конечны
ми при J, стремящемся к бесконечности, это
считать, что его масса равна нулю; поэтому
мы можем заменить плохо определенную
величину Jmc на четко определенную энер
Здесь имеется ввиду не «массивность» в жи
тейском понимании «вошел массивный человек,
просто глыба», а в смысле «частица, обладающая
массой, и тем отличающаяся от безмассовых ча
стиц, т. е. частиц, не имеющих массы». — Прим.
ред.

1

78

гию E/c. Таким образом, фотон как частица,
не имеющая массы (безмассовая частица),
прекрасно согласуется с теорией.
Головоломка: Показать, что если энергия
фотона равна E в неподвижной системе от
счета, то она равна ЕĻ= (1– E) JE в движущей
ся системе. Сделайте это, используя рис. 28,
и проверьте результат, применив преобразо
вания Лоренца для вектора энергииимпуль
са (E/с, р) = (Е/с, Е/с). Сравните результат
также с тем, что приведен на стр. 52 для
эффекта Доплера.

E = mc2
В предыдущем разделе мы ввели «про
странственновременной» вектор импульса
(Jmc, EJmc) для массивных частиц, вид кото
рого вполне естественно получался из реля
тивистских соотношений между различными
системами отсчета. Чуть позже мы таким же
образом введем фотоны, приписав им век
тор энергииимпульса (E/c, p), где E/c = ±p.
Пространственную компоненту EJmc мас
сивной частицы следует интерпретировать
как ее физический импульс p, потому что в
пределе E = v/c o 0 мы имеем J o 1, и, таким
образом, (Jmc, EJmc) o (mc, Emc). При таком
подходе величина Jm получает естественную
физическую интерпретацию как релятивист
ское обобщение массы m, и это именно то,

Рис. 28

79

что предложил Эйнштейн. Он определил ре
лятивистскую массу, как mrel = Jm (которая,
как вы видите, зависит от скорости). Срав
нивая временную компоненту для фото
на, мы приходим к поразительному выводу
Эйнштейна, который он записал в 1905 году,
а именно, что E = mrel c2. Это известное урав
нение, выражающее эквивалентность энер
гии и массы, ставшее знаменитым благода
ря своей непревзойденной простоте, силе и
красоте.
Чтобы понять, почему временная компо
нента вектора энергииимпульса соответ
ствует релятивистской энергии массивной
частицы, поучительно рассмотреть это выра
жение для малых скоростей. Запишем при
ближенное выражение для J, предполагая,
что E очень мало. Получим: первый член в
правой части — обычная масса, как и следо
вало ожидать.

Второй член содержит E2, а многоточие
представляет члены с более высокими сте
пенями E, которые пренебрежимо малы, по
скольку мы полагаем E малым.
Второй член можно представить в виде
1/2mv2/c2, что (с точностью до c2) является
выражением для кинетической энергии ча
стицы с массой m и скоростью v в ньютонов

80

ской теории. Таким образом, мы находим,
что релятивистская масса массивной части
цы при достаточно низкой скорости равна ее
ньютоновской массе и кинетической энер
гии, деленной на c2. Временная компонен
та релятивистского вектора импульса тесно
связана с энергией частицы, и поэтому назы
вается вектором энергииимпульса.
Было весьма интересно посмотреть, как
элементарные рассуждения, выполненные
последовательно, привели к такому рево
люционному прозрению, как «масса — это
особая форма энергии». Один грамм любого
вида материи приблизительно соответствует
1017 Дж, что сравнимо с энергией, выделив
шейся при бомбардировке Хиросимы.
Сегодня физики предпочитают несколько
иную терминологию, когда речь идет о вы
шеприведенной формуле: они говорят об
инвариантной массе или массе покоя m, со
ответствующей инвариантной длине реля
тивистского вектора импульса (E, pc), в со
ответствии с формулой E2 – p2c2 = m2c4. Это
выражение также применимо к фотонам и
другим частицам, не имеющим массы: если
мы положим m = 0, то получим правильное
выражение E = rpc.
Диаграмма на рис. 29 элегантно сумми
рует все характеристики энергии и импульса,
как они проявляются в разных системах от
счета. Обратите внимание, что картина очень

Рис. 29

81

похожа на ту, которая приведена на стр. 66
(рис. 23) для релятивистского вектора поло
жения (w, x).
В следующей главе мы будем рассматри
вать заветные законы сохранения энергии и
импульса и обсудим системы двух сталкива
ющихся частиц. Если вы захотите, то можно
сразу перейти к главе 8, где мы обсуждаем
ускоренного наблюдателя.

Синтез и деление
Эквивалентность массы и энергии, так кра
тко выраженная уравнением E = mrel c2, име
ет огромные последствия. Наиболее суще
ственно они проявляются в сфере синтеза и
расщепления ядер. Ядра — сильно связан
ные системы, составленные из некоторого
числа протонов и нейтронов.
Так как эти «нуклоны» держатся вместе
благодаря сильным взаимодействиям1, то
каждое ядро имеет характерную энергию
связи в расчете на один нуклон. Рис. 30 по
казывает энергию связи на нуклон, в зависи
мости от общего числа нуклонов или атомно
го номера N. Слева мы видим, что энергию
Сильные взаимодействия — не характеристика
силы взаимодействий, а специальный термин для
особых взаимодействий, отвечающих за связыва
ние нуклонов в ядра. — Прим. ред.

связи, приходящуюся на один нуклон, для
малых атомных номеров можно понизить
путем объединения (синтеза) простых ядер2
в более сложные, как, например, в реакции:
D + T o 4He + n + энергия. В результате такой
реакции высвобождается разница в энергиях
связи, и это количество, как правило, в мил
лион раз больше, чем в элементарных хи
мических реакциях. На другом конце шкалы
масс мы находим тяжелые ядра, подобные
урану, которые могут быть метастабильными
и которые могут распадаться на ядра мень
шей массы, тем самым также производя до
полнительную энергию.
Этот процесс распада ʊ рабочий прин
цип наших существующих ядерных реакто
ров. В долгосрочной перспективе реакторы
синтеза как ожидается, станут технически
реализуемыми, и это был бы предпочтитель
ный выбор с точки зрения управления радио
активными отходами и безопасности.
Поскольку топливо для синтеза дешево, и
доступно практически в неограниченных ко
личествах; этот процесс может быть в конеч
ном счете решением мировых потребностей
в энергии на длительное время.

1

82

Имеются ввиду ядра с малым общим числом
нуклонов. — Прим. ред.

2

Рис. 30

83

7. Законы сохранения
Закон сохранения массы потерял свою власть и оказался поглощен законом сохранения энер
гии.

Полный импульс
Мы говорим о законе сохранения, если в неко
тором процессе определенные величины не
изменяются. Заряд свободно циркулирует в
электрической цепи, но он не может потерять
ся. Если мы чтото сжигаем, то закон Лавуа
зье говорит нам, что общая масса в замкнутой
системе не изменится. В здании много людей
могут передвигаться, но общее число людей в
здании не изменится (если это не родильный
дом). Вы видите, что существует много зако
нов сохранения. Здесь мы сосредоточимся на
том, что произойдет с законами сохранения
массы, импульса и энергии (справедливыми
в ньютоновской динамике), если мы рассмо
трим их с релятивистской точки зрения.
Чтобы понять закон сохранения импуль
са в механике Ньютона, мы сначала рассмо
трим простейший случай: одна частица, на
которую никакая сила не действует. Когда мы
применяем второй закон Ньютона F = ma к
этой системе и полагаем F = 0, тогда произ
ведение массы на ускорение обращается в
нуль: ma = 0. Так как сила равна изменению
импульса в единицу времени, приходим к
выводу: когда никакая сила не действует

84

на частицу, ее импульс сохраняется. Следу
ющий шаг: рассмотрим систему, состоящую
из двух сталкивающихся частиц. Хотя каж
дая из частиц во время столкновения будет
прилагать силу к другой, здесь нет никакой
внешней силы. Поскольку никакие внешние
силы не действуют на систему, как на целое,
полный импульс, который есть просто сумма
импульсов отдельных частиц, ʊ сохраняется.
Представим ситуацию до столкновения
графически. На диаграмме 31 мы изобрази
ли вектора входящих импульсов, подобные
введенным нами в предыдущем разделе, а
также их сумму, общий входящий вектор им
пульса p. Его временная компонента опре
деляется суммой масс, которые составляют
общую массу системы. Для этого одномер
ного «бильярда» мы говорим, что масса со
храняется. Заметим, что частица 1 имеет
большую скорость, чем частица 2, поэтому
ее надо расположить левее частицы 2, иначе
столкновение не произойдет.
Вектор полного импульса имеет прямую
физическую интерпретацию: он описывает
ситуацию, когда сталкивающиеся частицы

Рис. 31

85

склеиваются и движутся далее как единая
частица с массой m = m1 + m2 и импульсом
p. Это называется абсолютно неупругим со
ударением, потому что сохраняются импульс
и масса, но не кинетическая энергия, как это
вскоре станет ясно.
Поскольку из предыдущей главы мы уже
знаем, на что похож релятивистский вектор
энергииимпульса, не составит труда обоб
щить диаграмму для релятивистского слу
чая. Заменяем массовую компоненту энер
гетической компонентой, которая зависит
от импульса, и в результате получаем харак
терные гиперболические кривые, на которых
располагаются импульсы (рис. 32).
Заметим, что временная компонента пол
ного импульса ʊ все еще сумма двух отдель
ных временных компонент: полная энергия ʊ
сумма энергий отдельных частиц. Однако
инвариантная масса, связанная с полным
импульсом1, задается точкой, где верхняя
гипербола для полного импульса пересекает
энергетическую ось, не равна сумме масс по
коя отдельных частиц — она реально больше!
Возможный пример этого — распад частицы
на две более легких частицы. Полная энергия
сохраняется, но масса нет: она частично пре
образуется в кинетическую энергию.

Обратите внимание, что здесь автор определя
ет массу через импульс, а не наоборот, как это при
вычно из ньютоновской механики. — Прим. ред.

1

86

Импульс в движущейся системе
отсчета
Диаграммы, которые мы представили на
стр. 75, рис. 26, с массовым параметром mc
в качестве временной компоненты импуль
са, не являются стандартными в какойлибо
трактовке классической механики, но они
чрезвычайно полезны в визуализации основ
ного несоответствия между классической и
релятивистской механикой. Перед началом
обсуждения сохранения импульса давай
те посмотрим, на что похожа ситуация двух
сталкивающихся частиц в движущейся си
стеме отсчета, например, в системе отсчета,
которая перемещается со скоростью u. Для
ньютоновской версии все, что мы должны
сделать, это применить преобразование Га
лилея ко всем скоростям и посмотреть, как
изменятся импульсы. Скорости частиц пре
образуются согласно vĻ = v – u, и таким об
разом pĻ = p – mu. Диаграмма (рис. 33) пока
зывает эффект с точки зрения движущегося
(ньютоновского) наблюдателя. Мы видим,
что изменения импульсов могут быть получе
ны очень легко. Красная линия для движуще
гося наблюдателя — та же самая, какая была
бы на пространственновременной диаграм
ме. Что касается светлоголубых стрелок, из
диаграммы ясно, что и в движущейся систе
ме отсчета полный импульс — точно сумма
импульсов двух частиц. В конце концов, из
менение системы не затронуло их массу, и
стрелки все еще складываются правильно.

Рис. 32

87

Рис. 33

88

Возможность анализировать ситуацию в
любой системе отсчета позволяет выбрать
для этого наиболее удобную систему отсчета.
Одна из таких систем, так называемая “систе
ма отсчета нулевого импульса” ʊ это система
отсчета, в которой пространственная компо
нента полного импульса системы обращает
ся в нуль. В ней красная линия совпадает со
стрелкой полного импульса. Чтобы увидеть,
на что похожа ситуация в этой системе отсче
та, мы перейдем к следующей диаграмме.

Сохранение энергии и импульса
На этой диаграмме (рис. 34) мы видим и
входящие, и выходящие вектора импульса
(непрерывные стрелки p1 и p2, и пунктирные
стрелки P1 и P2, соответственно) для экспе
римента по столкновению, рассмотренного
ранее. В системе отсчета нулевого импуль
са полный входящий пространственный им
пульс p равен нулю, и его временная компо
нента равняется сумме масс1. Заметим, что в
этой системе отсчета одна частица движется
направо, а другая налево. Сохранение им
пульса — это утверждение о том, что вектор
полного импульса должен быть одним и тем
же до и после столкновения. Его простран

Речь идет, конечно, не о том, что импульс дей
ствительно равняется сумме масс (это невозмож
но по соображениям размерности). Здесь и далее
такое выражение надо понимать в смысле равен
ства: mc = m1c + m2c. — Прим. ред.

1

ственная компонента, таким образом, оста
ется p = P = 0, в то время как вертикальная
компонента ʊ снова есть только сумма масс
mc = m1c + m2c. Требование сохранения им
пульса преобразуется в необходимость то
го, чтобы горизонтальные компоненты были
равны и противоположно направлены до и
после столкновения. Мы изобразили част
ный случай этого. Если мы скомбинируем
эту картину с предыдущей, станет очевидно,
что, если сохранение импульса справедливо
в одной (ньютоновской) системе отсчета, это
также справедливо в любой другой. Пере
ход между системами отсчета заключается в
рисовании некоторой красной линии, пред
ставляющей относительную скорость.
Заметим, что закон сохранения импульса
определяет не выходящие импульсы отдель
ных частиц, а только их сумму. В нашем одно
мерном случае, необходимо еще одно соот
ношение, чтобы определить их полностью,
например, такое как условие для энергии.
Мы вернемся к этому в ближайшее время.
Теперь вы можете спросить, почему мы
тратим столько сил на эту проблему сохра
нения импульса. Ответ в том, что мы хотим
понять, что произойдет с этими очень про
стыми картинами, в которых мы можем легко
перейти от одной системы отсчета к другой,
если мы рассмотрим ситуацию не с ньюто
новской точки зрения, а с эйнштейновской.

89

Рис. 34

90

Что случится, если мы заменим правила
преобразования Галилея преобразованиями
Лоренца? Ну, тогда все описание развалит
ся, потому что мы должны заменить простое
преобразование скоростей vĻ = v – u форму
лой Эйнштейна vĻ = (v – u) / (1 – vu/c2). Это
преобразование существенно нелинейно,
что приводит к тому, что сумма импульсов до
выполнения преобразования отличается от
их суммы после преобразования. Если бы мы
взяли ньютоновское определение импульса
и затем применили к нему преобразование
Лоренца, мы пришли бы к чудовищному за
ключению, что закон сохранения импульса
больше не выполняется для всех наблюда
телей. Таким образом, Эйнштейн столкнулся
с простым выбором: либо отказаться от свя
щенного закона сохранения импульса, либо
придумать другое определение импульса.
Как мы видели в предыдущей главе, он вы
брал второе. Это был выбор с драматически
ми последствиями, которые были, однако,
подтверждены экспериментально. Объеди
нив понятия пространства и времени, он те
перь должен был сделать то же самое для
энергии и импульса.
Другим основополагающим законом со
хранения, который незыблем во всех об
ластях физики, является закон сохранения
энергии. Давайте кратко вспомним, что это
означает в ньютоновской системе. Если мы
рассмотрим столкновение двух бильярдных
шаров, то столкновение будет (почти) «упру

гим»; это означает, что суммарная кинети
ческая энергия (энергия движения) обоих
шаров строго сохраняется1. Кинетическая
энергия объекта E является квадратом ско
рости (или импульса), а именно, для первого
шара E1 = 1/2m1v12 = p12/2m. Изображая E1 как
функцию p1, получим пунктирную параболи
ческую кривую, как показано на диаграмме
рис. 35.
Если бы вместо этого мы рассматривали
столкновение двух шаров из глины, то по
нятно, что они слиплись бы, и после столкно
вения продолжили совместное движение с
одной скоростью: v11 = v12. В системе отсчета,
где суммарный импульс равен нулю, резуль
тирующая скорость ʊ нулевая, и вся кинети
ческая энергия теряется. Такое столкновение
называют абсолютно неупругим. Не трудно
вообразить множество ситуаций, промежу
точных между этими двумя предельными
случаями. Действительно мы знаем, что в
неупругом столкновении энергия на самом
деле не исчезает: она преобразуется во вну
треннее движение молекул в теле, которое
нагревается или приобретает остаточную
деформацию, что изменяет его внутреннюю
энергию.
Автор имеет ввиду «строгое сохранение энер
гии» в рамках «почти упругого соударения». Понят
но, что если мы будем говорить о «почти упругом
соударении», часть кинетической энергии обя
зательно превратится в тепловую энергию (или в
энергию неупругой деформации). — Прим. ред.

1

91

Рис. 35

92

На диаграмме рис. 35 мы поместили им
пульс частицы вдоль горизонтальной оси,
а соответствующую энергию ʊ вдоль вер
тикальной оси. Вы можете увидеть, как раз
личные энергии (E1 и E2) зависят от соот
ветствующих импульсов в системе отсчета
нулевого полного импульса. (Вектор суммар
ного импульса направлен вдоль оси времени
и p1 = – p2). Вектора энергииимпульса двух
входящих частиц изображены сплошными
стрелками, и те же вектора для исходящих
частиц — пунктирными стрелками. Полная
кинетическая энергия по Ньютону получает
ся путем сложения соответствующих энер
гий отдельных частиц, или, если уж на то по
шло, сложением входящих или исходящих
векторов. На диаграмме мы приводим абсо
лютно упругое столкновение, для которого
полная энергия до и после столкновения
одна и та же. Сразу видно из диаграммы,
(в одном пространственном измерении), что
существует единственное решение в данном
случае, когда частицы обмениваются им
пульсами, поэтому, P1 = p2 = –p1 и P2 = p1 = –p2.
Именно поэтому две кривые E1 на диаграмме
совпадают, так же как и кривые Е2.

Закон сохранения энергииимпульса яв
ляется релятивистским эквивалентом клас
сических законов сохранения импульса,
массы и энергии. Обратите внимание, что
масса, очевидно, больше не сохраняется не
зависимо от перечисленных величин, потому
что она составляет часть общей релятивист
ской энергии. Мы приходим к единственной
релятивистской диаграмме 36. Вы можете
видеть, что для малых импульсов ее можно
аппроксимировать, как бы «складывая» две
предыдущие нерелятивистские диаграммы
(рис. 34 и 35). Вывод возвышенной простоты.
Головоломка: Пион — частица с массой
равной 273 массам электрона. Она неустой
чива: распадается на мюон, с массой, рав
ной 207 электронных масс, и антинейтрино,
с пренебрежимо малой массой. Изобразите
диаграмму энергииимпульса для этого рас
пада в системе, где пион покоится. Любите
ли алгебры могут также использовать закон
сохранения энергииимпульса для расчета
энергий двух продуктов распада.

93

Рис. 36

94

Большие коллайдеры
В мире есть несколько мест, где теория от
носительности является средством к суще
ствованию1. В США, Европе и Японии были
построены большие ускорители для того,
чтобы получить элементарные частицы пре
дельно высоких энергий, то есть таких, чья
скорость близка к скорости света. Общим в
конструкции ускорителей является большое
круглое кольцо, в котором частицы ускоряют
ся и «сохраняются»2. Обычно есть два пучка,
частиц, которые имеют одинаковую массу и
часто противоположные заряды, и движутся
навстречу друг другу. Поскольку импульсы
частиц в этих пучках равны и противополож
ны, лаборатория как раз и является системой
отсчета, в которой суммарный импульс равен
нулю. Частицы вступают в лобовое столкно
вение в некоторой области взаимодействия,
выделяя огромное количество энергии, кото
рое затем может быть преобразовано в но

Автор придает этой фразе юмористический
оттенок. В оригинале сказано «relativity is bread and
butter business», что можно прочитать, как бизнес
для добывания «бутербродов с маслом». Смысл
в том, что в этих местах теория относительности
«кормит» теоретиков. — Прим. ред.

1

Конечно, речь идет не о том, что имеется «хра
нилище ускоренных протонов», а о том, что уско
ренные частицы находятся в постоянном движении
«до востребования» их в столкновениях. — Прим.
ред.

2

вые типы материи, такие, как очень тяжелые
частицы.
Например, физики надеются обнаружить
остающуюся до сих пор гипотетической ча
стицу Хиггса3.
В 2007—2008 годах крупнейший ускори
тель, из когдалибо построенных, Большой
адронный коллайдер4 (БАК), будет введен в
эксплуатацию5, в лаборатории CERN, в Же
неве, Швейцария. В окружности он составит
27 км, и будет ускорять протоны до энергий,
которые эквивалентны примерно 7000 их
масс, так что E = Jmc2= 7000 mc2. Таким обра
зом, имеем J = 7 u 103, и, используя опреде
Другое название — бозон Хиггса. Гипотетиче
ская частица, отвечающая за формирование мас
сы частиц. Крайне важна в рамках Стандартной
модели (см. книгу автора «Уравнения: символы
познания», Бином. Лаборатория знаний, 2012).
Европейская организация ядерных исследований
(CERN) официально объявила 4 июля 2012 года об
открытии бозона Хиггса в результате эксперимен
тов на Большом адронном коллайдере. — Прим.
ред.

3

Адроны — общее название класса элементар
ных частиц. Участники т.н. «сильного взаимодей
ствия», что и послужило основанием длятакого
названия (от греч. hadros — большой, сильный).
Насчитывается несколько сотен адронов; наи
более известны протон и нейтрон. Коллайдер —
ускоритель элементарный частиц. Название
collider произошло от слова collide — сталкивать
ся. — Прим. ред.

4

В настоящее время он уже успешно работа
ет. — Прим. ред.

5

95

ление J, можем легко рассчитать E, который
составляет около 1 – 10–8 = 0,99999999. Таким
образом, скорость этих протонов на удив
ление близка к скорости света. Это очень
большое значение для выбранного масштаба
изображений, которые мы рисовали до сих
пор. На диаграмме на рис. 36 будет только
одна гипербола для пары сталкивающихся
протонов, так как они имеют огромные, но
противоположные импульсы. Точка Е будет в
14 тысяч раз выше, чем пересечение гипер
болы с вертикальной осью! Экстремально
релятивистская ситуация.

Тахионы
В главе 3 мы утверждали, что частицы не мо
гут двигаться быстрее, чем скорость света,
что спасало священное понятие причинной
связи. Тем не менее, можно спросить, допу
стимо ли априорно ввести частицы, которые
движутся быстрее, чем свет. Такие гипотети
ческие частицы называют тахионами, и то,
что теория относительности может сказать о
них, может быть легко понято с использова
нием пространственновременной диаграм
мы. Из теории относительности следует, что
тахион — частица с пространственноподоб
ным вектором энергииимпульса, имеющая
отрицательный квадрат массы m2 = –µ2. Его
инвариантное отношение энергииимпульса
читается как E2 + µ2c4 = p2c2, и соответствую
щая кривая в плоскости (E, pc) — времени
подобная гипербола (пересекающая x или

96

pось), как это изображено на диаграмме 23.
Заметьте, что для всех точек этой кривой им
пульс p больше или равен µc, другими сло
вами, v никогда не меньше, чем c. Для других
инерциальных наблюдателей вектор энер
гииимпульса тахиона сдвигает всю гипер
болу, и тахион в результате должен обладать
отрицательной энергией. Следовательно,
существование тахионов не исключается те
орией относительности, но если они могут
взаимодействовать с обычной материей, ут
верждение, что они движутся быстрее све
та, приводит к нарушению причинности, в то
время как их отрицательные энергетические
состояния обусловят нестабильность мате
рии. Утешает, что до сих пор с этим сталки
вались только в научнофантастических ро
манах.
Головоломка: Предположим, что тахионы
существуют и действительно взаимодейству
ют с обычными частицами. Покажите на диа
грамме, подобной изображенной на рис. 36,
комбинируя вектора энергииимпульса для
пространственноподобной и времениподоб
ной гиперболы, что сохранение полной энер
гии и импульса приводит к процессам, в кото
рых обычная частица может испустить тахион.
Проверьте, что такие процессы не приводят к
эмиссии обычной частицы или фотона. Это
говорит о том, что тахионы могут вызвать не
устойчивость материи — существенный аргу
мент против их существования.

8. Вне границ специальной теории относительности
Важно — не переставать спрашивать.1

Натяжения
Освоив специальную теорию относительно
сти, мы готовы принять еще один вызов —
задачу, в которой скорость наблюдателей
не постоянна. Вообразите две ракеты, Апол
лон и Спутник, летящие одна за другой. Они
движутся с одинаковой скоростью, и таким
образом, они неподвижны друг относитель
но друга. Между ними натянута жесткая не
растяжимая веревка. Пилоты договорились,
что в определенное время они оба ускорятся
строго одинаковым образом. Поскольку они
намереваются сделать это в одно и то же
время, можно думать, что с веревкой ничего
не случится. Однако, в противоположность
нашим ожиданиям, происходит нечто неожи
данное.
Удобно проанализировать ситуацию на про
странственновременной диаграмме (рис. 37).
На диаграмме ситуация изображена в не

К сожалению, русский перевод в данном слу
чае не в состоянии передать содержание мысли
полностью. В оригинале: The important thing is to
not stop questioning, т. е. «это важная штука — не
прекращать процесс спрашивания». — Прим. ред.

1

сколько идеализированном виде. Сначала
мы видим A и S в покое (по отношению к си
стеме отсчета, выбранной привычным об
разом), потом в момент времени w0 они оба
изменяют скорость.
Расстояние между этими двумя ракетами,
рассматриваемое в движущейся красной си
стеме отсчета, сначала соответствует двой
ной стрелке, обозначенной 1, которая явля
ется также длиной веревки в этой системе
отсчета.
Затем S ускоряется первым, и расстоя
ние увеличивается до более длинной двой
ной стрелки, обозначенной 2. Веревка, од
нако, будучи нерастяжимой ʊ сохраняет ту
же самую длину 1 в ее неподвижной систе
ме отсчета (красная система), и поэтому
порвется.
Для неподвижных наблюдателей (чер
ная система отсчета) обе ракеты изменяют
скорость в одно и то же время, и расстояние
между ними действительно остается посто
янным (см. черные стрелки на диаграмме);
но для них веревка повергается Лоренцев
скому сокращению, поскольку она движется.
Движущаяся веревка длины 1 приобретает в

97

Рис. 37

98

покоящейся системе отсчета уменьшенную
длину, обозначенную прерывистой черной
стрелкой. Это объясняет, почему для непод
вижных наблюдателей веревка порвется.

Ускоренный наблюдатель
и горизонт событий
Мы приближаемся к почти счастливому кон
цу нашей истории. Я должен сказать Вам, что
после статей по специальной теории относи
тельности, Эйнштейн в течение нескольких
лет хранил молчание, а затем возвратился с
другой теорией, потрясшей мир. Ее назва
ние ʊ общая теория относительности. В этой
теории он показал, как его идея относитель
ности может быть обобщена для ситуаций,
когда наблюдатели движутся произвольно
друг относительно друга. Другими словами,
он расширил понятие лоренцевской инвари
антности до инвариантности при произволь
ных преобразованиях координат. Эта теория
оказалась новой теорией гравитации и счи
тается одним из самых больших достижений
в науке.
Здесь мы только поверхностно затронем
некоторые элементарные аспекты, рассма
тривая ускоренного наблюдателя. И не любо
го наблюдателя. Мы возьмем частный случай,
а именно, путешественника, мировая линия
которого ʊ красная гипербола на диаграм
ме 38. Это — не что иное, как временипо
добная гипербола, которую мы обсуждали на

стр. 65 и рис. 23. Понятно, что первоначаль
ная скорость этого путешественника посто
янно увеличивается. Мы видим, что скорость
для больших времен стремится к скорости
света, а ускорение уменьшается.
Для любой данной точки на мировой ли
нии система отсчета сформирована лучом,
исходящим из начала координат до ее пози
ции на пространственной оси, и касательной
к гиперболе в ее положении на оси времени
(не изображаются, за исключением начала).
Поэтому параметр скорости E = v/c зависит
от времени: E = E (w).
Так как параметр скорости — это тангенс
угла между осями движущейся системы ко
ординат и соответствующими осями непод
вижной системы, мы сразу же делаем вывод,
что в каждой точке (w, x) на мировой линии
нашего наблюдателя имеем E = w/x.
Комбинируя это с уравнением, опре
деляющим времениподобную гиперболу
x2 – w2 = s2, мы немедленно получаем, что
. Эта дробь действительно
стремится к единице, если w стремится к
бесконечности. Мы также получаем, что ко
эффициент масштабирования J равняется
.
Ясно, что наш наблюдатель находится
в особой ситуации. Эту особенность лег
ко увидеть, если мы рассмотрим закон для
релятивистской силы F = dp/dt = dpc/dw =

99

Рис. 38

100

= d(EJmc2)/dw, где p — релятивистский им
пульс.
В этом случае вычисление становится
совершенно тривиальным, потому что после
подстановки значений E и J, мы получаем
для импульса EJmc = wmc/s, который пред
ставляет собой только w, умноженное на по
стоянное число. Тот факт, что импульс уве
личивается линейно с w, означает, что сила F
является постоянной величиной: F = mc2/s
вообще не зависит от w. Вывод изящен и
прост: времениподобная гипербола соот
ветствует мировой линии наблюдателя, на
которого действует постоянная сила! Пара
метр s, характеризующий гиперболу, рав
няется s = mc2/F и фундаментальным об
разом определяется отношением силы к
массе.
Реализацией типичной физической ситу
ации, которую мы описываем, является заря
женная частица, движущаяся в постоянном
электрическом поле (в направлении x). В те
ории относительности постоянная сила не
приводит к постоянному ускорению, потому
что масса больше не является постоянной,
она увеличивается со скоростью так, что ско
рость никогда не превышает скорость света.
Как будет наблюдатель, который на
ходится, по определению, в покое в своей
собственной системе отсчета, восприни
мать эту постоянную силу? Для него ситу

ация очень похожа на ситуацию человека,
стоящего в лифте. Пусть лифт ускоряется.
Наблюдатель будет интерпретировать эту
силу как своего рода гравитационную силу,
потому что ускорение, направленное вверх,
заставляет вас чувствовать себя более тя
желым. Здесь мы мельком увидели общую
теорию относительности, основанную на эк
вивалентности ускоренных наблюдателей и
эффекта гравитационного поля, или други
ми словами, эквивалентности инерционной
и гравитационной масс1.
Используя наши знания геометрии, мы
нашли физическую интерпретацию для вре
мениподобной гиперболы, которую мы по
строили шаг за шагом в предыдущих раз
делах. Теперь мы должны посмотреть на
диаграмму еще раз, поскольку в запасе име
ется еще один сюрприз. Что произойдет со
всеми наблюдателями, которые остались в
неподвижной системе отсчета, с соответ
ствующими строго вертикальными мировы
ми линиями?
Мы можем представить себе, что они об
мениваются сообщениями с нашим путеше
ственником, чтобы держать его в курсе собы
тий, происходящих дома.
Конечно, этот эффект возникает и в класси
ческой, даже школьной физике, когда мы рассма
триваем увеличение веса (силы реакции опоры,
взятой с противоположным знаком) в результате
ускорения лифта. ʊ Прим. ред.

1

101

Предположим, у них есть беспроводная
связь, использующая сигналы, которые дви
жутся со скоростью света. Что мы можем из
влечь из диаграммы? Мы видим, что сигналы
от данного стационарного наблюдателя (ска
жем, что он движется прямо вверх по черной
оси x = s) достигают цели без проблем, по
ка неподвижный наблюдатель не «вошел» в
темные области (при w = s). С этого момента
его сообщения больше не будут попадать к
путешественнику, даже если пройдет сколь
угодно много времени.
Световые конусы событий будущего
полностью находятся в темной области. С
другой стороны, сообщения, которые путе
шественник посылает наблюдателю, будут
доходить до него всегда и без проблем. Это
впечатляющее явление характерно для си
туаций, связанных с ускоренными наблюда
телями. Пространствовремя оказывается
разделенным на различные области, кото
рые разгорожены горизонтом событий. Пу
тешественник вне этих областей никогда не
будет знать о событиях, которые происходят
за этим горизонтом, поскольку для него со
ответствующие события навсегда останутся
скрытыми в темноте. На рисунке также по
казаны области прошлого (синим цветом),
включающие события, которые никогда не
смогут быть затронуты путешественником:
это область вне световых конусов будущего

102

для всех точек мировой линии путешествен
ника1.
Эти примеры — довольно безобидная
прелюдия к ошеломляющей физике геоме
трии искривленного пространствавреме
ни, которая также включает в себя черные
дыры. Эйнштейну потребовалось около де
сяти лет до 1915 года для завершения этого
второго шедевра — общей теории относи
тельности — одного из величайших интел
лектуальных достижений в истории физики.
Удивительно, если не сказать больше, что,
хотя Эйнштейн действительно получил Нобе
левскую премию (в 1921), но он получил ее не
за теорию относительности. Такова относи
тельность Нобелевских премий! Однако даже
без этого Эйнштейн выделяется как один из
самых ярких, самых творческих и самых сме
лых ученых.

Можно сказать, что сигналы, посланные вслед
ускоренному наблюдателю с расстояния, лежаще
го за горизонтом событий, окажутся недоступны
этому наблюдателю. И он никогда не сможет узнать
о событиях, расположенных в пространстве Мин
ковского за горизонтом событий прошлого. Точно
так же он не сможет повлиять на события будуще
го, расположенные за горизонтом событий буду
щего. — Прим. ред.

1

Эпилог
Трудные задачи мы не можем решить, думая так же, как думали, создавая их.

Наше визуальное путешествие по ландшафт
ным просторам пространства и времени, ко
торое позволило нам приблизиться к пони
манию революционных озарений молодого
Эйнштейна, подошло к концу. Разве не за
мечательно, что элементарные рассуждения,
выполняемые тщательно, могут привести к
такой парадоксальной, радикально новой ин
терпретации физической действительности?
Мы сосредоточились на геометрическом, а
не на алгебраическом подходе, последова
тельно проводя наши объяснения на графи
ческом языке пространственновременных
диаграмм. Это позволило нам рассмотреть
несколько известных парадоксов, и прийти к
некоторым неожиданным заключениям. Если
этот метод позволил вам разделить с нами
некоторые из наиболее глубоких представ
лений о природе, которые предлагает теория
относительности, значит, он выполнил свое
предназначение. Не случайно то, что гео
метрический подход работает так хорошо,
потому что теории относительности вывели
значительную область физики на арену гео
метрии, хотя и геометрии более общего ви
да, чем тот, который умозрительно предло
жили древние мыслители.

Отправной точкой для специальной те
ории относительности явилась работа Ло
ренца для максвелловской теории электро
магнетизма (которая была завершена около
1865 года). Вас, возможно, интересует, что
происходит с электромагнитными явления
ми в теории относительности. Уравнения те
ории Максвелла построены так, что они уже
Лоренцинвариантны и хорошо описывают
электромагнитные явления. Тем не менее,
было бы интересно рассмотреть, например,
как электрическое и магнитное поля выгля
дят для разных наблюдателей. Я воздержал
ся от обсуждения этой темы, поскольку она
требует от читателя немалых предваритель
ных знаний по электромагнетизму для того,
чтобы имело смысл начинать это обсужде
ние.
После завершения специальной теории
относительности Эйнштейн перешел к дру
гим научным вопросам. Как мы упоминали
выше, только позже он возвратился к про
блеме относительности, достигнув высшей
точки в 1915, когда создал свою общую тео
рию относительности. В общей теории отно
сительности понятие плоского пространства

103

времени, с которым мы сталкивались в этой
книге, получило дальнейшее обобщение в
виде искривленного пространствавремени.
Эквивалентность инерциальных систем
отсчета была распространена на произволь
ные системы отсчета, и инвариантность от
носительно преобразований Лоренца рас
ширена до инвариантности относительно
общих преобразований координат. Эта мо
гучая теория также ввела радикально новую
интерпретацию силы гравитации, как прояв
ление искривленности пространствавреме
ни. Она предсказала ряд поразительных фи
зических эффектов и явлений, которые были
подтверждены экспериментально. Наиболее
драматическими из них являются, вероятно,
существование расширяющейся Вселенной,
черные дыры, и космологическая постоян
ная или ненулевая энергия вакуума, которой
пронизано все пространство1.
Теория относительности подчеркивает
важность понимания того, что наше воспри
ятие ни в коем случае не является абсолют

Значительная часть этих явлений была пред
сказана дальнейшими (после Эйнштейна) раз
работчиками общей теории относительности. О
предсказаниях общей теории относительности и
их подтверждении в эксперименте можно прочи
тать в книге автора «Уравнения: символы позна
ния», Бином. Лаборатория знаний, вышедшей на
русском языке в 2012 году. — Прим. ред.

ным. Осуществляя наше путешествие, мы
должны были отказаться от абсолютных по
нятий времени, пространства, массы и энер
гии. Однако эта зависимость точки зрения от
конкретного наблюдателя отнюдь не озна
чает произвольность; это не тот вид субъек
тивности, который мы имеем в виду, когда
говорим, что некие представления ʊ “дело
вкуса”. Теория относительности предостав
ляет нам межсубъектную метаперспективу,
которая связана уже не с точкой зрения од
ного наблюдателя, а поддерживается сово
купностью всех наблюдателей. Другими сло
вами, относительность выражает глубокий
смысл универсальности.
Вскоре после прорыва Эйнштейна, осно
вы физики были еще раз глубоко потрясены
появлением квантовой теории. Удивительно,
но резкий пересмотр роли «ньютоновского»
наблюдателя привел к еще большей утрате
объективной роли наблюдателей и акта из
мерения. В результате пришлось отказаться
от строгого разделения объекта и субъекта,
которое все еще существовало в теории Эйн
штейна.

1

104

Новые краеугольные камни современной
физики — относительность и квантовая те
ория — оказали глубокое и длительное воз
действие на философию науки и познания.
Они обозначили решающие поворотные мо
менты в нашем мышлении, что не могло про

изойти на основании общих соображений
или философских исследований: нужно было
идти и изучать саму физику в деталях, подоб
но тому, как великие люди сделали это в пер
вой четверти 20го столетия.
О научном поиске этих фундаментальных
законов Эйнштейн сказал: “Нет никакого ло
гического пути, который приводит к этим ба
зовым законам, только интуитивный, осно
ванный на креативности и опыте”. Он также
осторожно заметил, что “с такой методологи
ческой неопределенностью можно было бы
думать, что существует произвольное число
возможных равноправных и верных систем.
Однако история показывает, что из всех воз
можных конструкций одна всегда имеет аб
солютное преимущество перед другими”.

Мы обсудили результаты Эйнштейна на
шим специфическим способом. Можно на
деяться, что Вы почувствовали вкус того,
насколько захватывающей и полезной она
может быть для человека, впервые вступаю
щего на незнакомую территорию глубокого
познания. Даже сегодня остаются огромные,
но скрытые области природы, которые пред
стоит изучить.
Я могу только надеяться, что и в грядущих
поколениях многие будут обладать вдохнове
нием и мужеством для дальнейшего иссле
дования сердца этой великой территории,
полной тайн, которую мы называем Приро
дой.

105

Предметный указатель

Наиболее важные номера страниц выводятся жирным шрифтом.
 см. также скоростной параметр (параметр
скорости), 32, 43, 60
 см. также коэффициент пропорциональности (масштабирования), 47, 50
c, см. также скорость света, 17, 19–20, 24,
32, 38, 51, 78
E = mc2, 78
w, 19

И
импульс, 74, 76, 78, 80
фотона, 76
релятивистский, 86, 89

К
калибровка, 25
квантовая теория, 64
кинетическая энергия, см. также энергия кинетическая согласно Ньютону, 80
координаты, 32

Л
Б
близнецов парадокс, 52, 54, см. также парадокс близнецов

В
времениподобный, 67, 68

Г
горизонт событий, 102

Д

Лоренц, Хендрик Антон, 60

М
масса
инвариантная, 80
релятивистская, 78, 80
покоя, 80
Майкельсон и Морли, эксперимент, 19, 61
мировая линия, 20, 27, 56, 68
мысленный эксперимент, 25, 35, 52, 63

диаграмма Минковского, 13

Н

Е

Ньютон, Исаак, 32

Евклидово пространство, 51, 70

О

З
замедление времени, 47, 50–51, 52, 56, 59

106

Общая теория относительности, 99, 102–103
одновременность, 25, 47, 56, 63

П
парадокс
сокращение длины, 61, 63
близнецов, 52, 54
покоящаяся (неподвижная) система отсчета,
63
постулат, 19, 22, 24, 29, 40, 61
преобразование Галилея, 34, 59–61, 72
преобразования Лоренца, 57, 59–61, 67–68,
72
причинность (причинная связь), 35, 44
пространственноподобный, 67, 68
пространство-время (пространственно-временные), 14, 20, 44, 67, 72
диаграмма, 14, 22, 27
сетка, 14, 29
интервал, 67

Р
расширение, 47, см. также расширение
(замедление) времени

С
световой конус, 44, 102
система координат, 25
система отсчета, 14, 25
инерциальная, 22, 27
наклонная (косая), 29
скорость, 17, 20, 27, 38, 74, 97, 99
скорость света, 17, 19–20, 24, 32, 38, 51, 78
скоростной параметр (параметр скорости),
32, 43, 60
сложение скоростей, 35
событие, 14, 25, 32, 44, 65

сокращение Фицжеральда – Лоренца, 61
сохранение
энергии, 91
энергии и импульса, 93
массы, 84, 86
импульса, 84, 86, 89

Т
тахионы, 96

У
ускорение, 22, 54, 56, 74, 84, 101

Ф
фотон, 17

Ч
частота, 52

Э
энергия связи, 82
Эйнштейн, Альберт
сложение скоростей, 38, 43–44, 60, 72
как человек, 64
энергия и импульс, 78
постулаты, 22, 24, 29, 40, 61
элементарные частицы
время жизни, 56
энергия
связи, 82
кинетическая, 80, 91
релятивистская, 78
эфир, 19, 61

107

Минимальные системные требования определяются соответствующими требованиями
программ Adobe Reader версии не ниже 11-й либо Adobe Digital Editions версии не ниже 4.5
для платформ Windows, Mac OS, Android и iOS; экран 10"

Научно-популярное электронное издание
Бэйс Сандер
ОЧЕНЬ СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ:
ИЛЛЮСТРИРОВАННОЕ РУКОВОДСТВО
Редактор Л. И. Ястребов
Художественное оформление: И. Е. Марев
Технический редактор Е. В. Денюкова
Корректор Л. Н. Макарова
Компьютерная верстка: Е. А. Голубова
Подписано к использованию 09.04.18.
Формат 170×170 мм
Издательство «Лаборатория знаний»
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3
Телефон: (499) 157-5272
e-mail: info@pilotLZ.ru, http://www.pilotLZ.ru

Сандер БЭЙС

Очень специальная
теория относительности:
иллюстрированное руководство

Параметр отношения скоростей

w = ct
β = v/c
Коэффициент пропорциональности (масштабирования)
Частота
Инвариантный пространственно-временной интервал
Ньютоновский импульс
Ньютоновская кинетическая энергия
Ньютоновский закон силы
Релятивистская масса
Релятивистский импульс
Релятивистская энергия

γ, определяется как γ = 1/(1 – β )
f
s, определяется как s2= w2 – x2
р = mv
Ек = mv2/2
F = mа
mrel= γm
р = βγmc = mrelv
E = mrelc2

2

Временная координата

с = 299 792 458 м/с

2

Определение
Скорость света в вакууме

Символ

80

76

80

74

80

74

67

52

47

32

19

17

Страница

Литература
Оригинальные статьи Эйнштейна по специальной теории относительности:
• Einstein, A., ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik 17, pp. 891-921,1905.
• Einstein, A., ‘Ist die Trägheit eines Körpersvon seinem Energieinhalt abhängig?’, Annalen der Physik 18, pp. 639-641, 1905.
Переводы на английский язык всех его основополагающих работ, относящихся к 1905 г., могут быть найдены в:
• Stachel, J. (ed.), Einstein’s miraculous year: five papers that changed the face of physics, Princeton University Press, 2005.
Относительно доступные записки по теории относительности, сделанные самим Эйнштейном:
• Einstein, A., Relativity, Prometheus Books, 1995 (1st edition 1916).
• Einstein, A., The principle of relativity, Dover, 1952.
Подборка некоторые книг по основам специальной теории относительности:
• Bondi, H., Relativity and Common Sense: A New Approach to Einstein, Dover, 1980.
• French, A. P., Special Relativity, Norton, 1968.
• Mermin, N. D., It’s About Time, Understanding Einstein’s relativity, Princeton University Press, 2005.
• Möller, Christian, The Theory of Relativity, Clarendon Press, 1972 (original 1952).
• Resnick, R., Introduction to Special Relativity, Wiley, 1968.
• Synge, J. L., Relativity: The Special Theory, North-Holland, 1956.
• Taylor, E. F. & J. A. Wheeler, Spacetime Physics — Introduction to Special Relativity, Freeman, 1992.

Издательство «Лаборатория знаний» представляет книги Сандера Бэйса
Сандер Бэйс — ведущий физик-теоретик Университета Амстердама. Его исследования
затрагивают вопросы теории элементарных частиц, от квантовой теории поля до теории струн. Его особый талант заключается в умении сделать физику понятной широкой
аудитории. Способность С. Бэйса превратить сложное в простое позволяет ему передать важную научную информацию большому числу обычных читателей.
С. Бэйс не только разносторонний ученый, но и незаурядный педагог. Его признали
лучшим преподавателем Амстердамского университета за 2010 год, дав отличительную характеристику — «артист в образе ученого».
Читатель, несомненно, получит эстетическое наслаждение от прочтения еще двух книг
этого уникального ученого:
• Во славу науки. Любознательность, понимание и прогресс
На страницах этой научно-популярной книги Сандер Бэйс задается общефилософскими вопросами о поисках истины, о науке, как основе культуры, о роли любознательности в процессе познания, о важности обучения и образования, о влиянии предрассудков на развитие, о представлениях наших предков об окружающем мире и о том,
сильно ли они изменились за прошедшие века. Затрагиваются и так называемые «вечные» естественнонаучные проблемы. Описаны основные этапы и поворотные точки
в развитии науки, от античности и Средних веков до наших дней.
• Уравнения: символы познания
Попытка объяснить науку без уравнений походит на попытку объяснить искусство без
иллюстраций. Книга посвящена 17 фундаментальным уравнениям физики, начиная
с механики Ньютона и заканчивая квантовой механикой, общей и специальной теорией относительности и теорией струн. Многие вопросы современной науки рассматриваются под углом развития и взаимного влияния физики и математики. Материал иллюстрируется несложными схемами и графиками, подается в доходчивой форме.