Вся физика в 15 уравнениях [Бруно Мансулье] (fb2) читать онлайн

Бруно Мансулье Вся физика в 15 уравнениях Иллюстрации Лизон Берне

Предисловие

Я простой ученый в области физики элементарных частиц, которую скорее следует назвать «фундаментальной физикой». Цель моей работы — изучить и понять фундаментальные составляющие нашего мира и характер их взаимодействий от мельчайших частиц до самых больших структур Вселенной.

В данной книге я хотел бы, насколько это возможно, познакомить малоподготовленных читателей с уравнениями физики. В первую очередь я имею в виду тех, кто никогда не сталкивался с уравнениями, выражающими физические законы, или тех, для кого начальные встречи с этими законами были разочаровывающими или даже травмирующими.

Мы, физики, одновременно видим мир таким же, как его видят все, но, с другой стороны, мы наблюдаем и действительную природу вещей благодаря знанию законов физики, выраженных уравнениями. Широкая публика легко признает подобную двойственность для музыканта: музыкант — художник, но он также владеет широкими музыкальными теоретическими знаниями и обладает сильной технической подготовкой. Физики же обычно изображаются как потерянные в своих уравнениях и отключенные от реальности социопаты.

Действительно, б0льшая часть научного знания — это законы, выраженные уравнениями. Но как это не покажется странным, использование уравнений может стать настолько привычным, что видение мира «через формулы» и обычное видение сольются воедино.

Позвольте мне привести пример. Когда я смотрю на радугу, то забываю законы преломления света. Как и все остальные, я восхищаюсь красотой пейзажа, которая подчеркнута радугой. Но «все живое отбрасывает тень»; за красотой радуги стоит целый набор знаний о природе света, его распространении, который безмолвно совмещается с моим видением радуги. Точно так же, как музыкант наслаждается пьесой, которую слушает, не осознавая ее ключа, типа аккордов и структуры ритма. Конечно, если вы вдруг спросите его об этом, он обязательно даст точные и исчерпывающие ответы на все вопросы и… — это никак не повредит восприятию им музыки.

К уравнению всего

Выбор уравнений и соответствующих физических законов в этой книге может показаться профессиональным физикам или физикам-любителям произвольным. Обоснование моего выбора состоит в том, что каждое из приведенных уравнений является запечатленным свидетельством научной эволюции, а иногда даже настоящей революции.

Каждое из них демонстрирует особое понимание мира или явления: света, материи, тепла и т. д. Сформулированные на заре той эпохи, когда физика начала использовать математику, первые законы весьма скромны и ограничены на первый взгляд такой узкой областью применения, как законы отражения и преломления света. Амбиции растут: цель состоит в том, чтобы описать универсальным образом все более расширяющийся круг понятий и явлений. Таким образом, Ньютон понял, что притяжение между Землей и Луной идентично силе, которая заставляет яблоко упасть с дерева. Точно так же Максвелл объединил электричество и магнетизм, а современная физика и химия объясняют, как все химические элементы построены из протонов, нейтронов и электронов. В начале XX в. теория относительности и квантовая механика подвергли сомнению сами понятия «пространство», «время» и «материя», прежде чем космология окончательно использовала в качестве предмета исследования всю Вселенную. Сегодня одержимость физиков элементарным заставляет их пытаться объединить все известные законы мироздания в единую «минимально достаточную» теорию. Как мы увидим в конце этой книги, современная формулировка физической теории материи, пространства и времени в идеале должна содержаться в одном уравнении. Именно по этой причине часто говорят, что физики ищут

«уравнение всего». Конечно, такая идея является несколько упрощенной, но как будет выглядеть конечное уравнение? У меня нет ответа. Однако на примерах, приведенных в книге, я хотел бы поделиться с вами самим ощущением от соприкосновения с поиском столь элегантной и мощной формулы, которая способна помочь нам понять этот мир.

Красивые уравнения

Законы физики могут вызывать как уважение, восхищение, так и страх. Даже если человек никогда не занимался научными исследованиями или же настроен против всех форм математики, он, несомненно, знает, что E = mc², и смутно связывает эту формулу с огромной силой ядерной энергии. В глазах общественности уравнения выглядят холодными и бесчеловечными символами силы науки.

Когда я выступаю перед широкой публикой, одно из первых требований, которые приходится слышать от организаторов: «никаких уравнений, пожалуйста!» Отвечая им заочно, замечу, что некоторые уравнения довольно просты, так как показывают обычное отношение пропорциональности или прямую зависимость одной величины от другой. Понимание смысла таких уравнений даже для неподготовленного человека окажется не сложнее понимания инструкции к коробочке подключения к интернету. Увы, для среднестатистического организатора публичных конференций или обыкновенного журналиста появление уравнений означает просто исчезающую аудиторию.

Все слушатели, находящиеся в аудитории, знают, что науки и математика, которые им служат, применимы в различных аспектах нашей жизни, что самолет или смартфон были разработаны и построены инженерами, которые руководствовались в своих опытах соответствующими уравнениями. Однако люди предпочитают игнорировать данное правило и оставляют эти не столь привлекательные инструменты ученым и инженерам.

Я полагаю, что недоверие к математике как науке вообще и математике в физических законах в частности имеет более глубокие основания, чем простое отвращение к формулам. Уравнения ограничивают нас своего рода интеллектуальной дисциплиной. Сегодня они не говорят ничего противоположного тому, что говорили совсем недавно. Они проясняют наше мышление, позволяя избегать неопределенности, когда мы с кем-то разговариваем. Эта интеллектуальная дисциплина может быть тревожной: неопределенность иногда так удобна…

Я не утверждаю, что уравнения физики «истинны», а говорю, что они «никогда не лгут». Когда я пишу формулы, выражающие законы механики Ньютона, описывающие начиная с XVII в. движение небесных тел, артиллерийских снарядов и каруселей, то не претендую на то, чтобы объяснить загадки мироздания, например такие, почему светит солнце, почему растут цветы или почему у меня болит голова.

Но эти уравнения предлагают мне последовательную и точную модель, набор отношений между наблюдаемыми положениями планет или между силами, которые я чувствую на американских горках. Тогда я волен разумно применить данную модель к объектам и явлениям, которые считаю принадлежащими к области ее действия. Я мог бы даже проверить пределы достоверности предсказаний модели, провести измерения, эксперименты или просто мысленно исследовать следствия этих уравнений: описывают ли они мир на очень малых или очень больших расстояниях?

Уравнение свободы

Я часто даю студентам следующие рекомендации: «дело не в том, чтобы знать все. Суть в том, чтобы знать то, что ты знаешь, и понимать, чего ты не знаешь».

В этом смысл хорошего физического уравнения: оно суммирует известное в определенной области. Его переменные определяют объекты и понятия, о которых мы говорим, не больше и не меньше.

Ключевое слово — «свобода». Это может показаться парадоксальным, но однажды написанное уравнение не ограничивает нашего видения мира, а наоборот, расширяет его. Тем самым мы выбираем определенное видение части мира. Этот выбор может быть свободно принят и часто основывается на консенсусе или какой-либо договоренности. Вместе мы определяем общий язык и соглашаемся, что часть явлений в мире, связанных между собой, может быть описана уравнением. Теперь мы готовы двигаться вперед, использовать модель в ее области применения для исцеления людей или производства смартфонов и открывать мир за пределами этой области. Описав некое явление уравнением, мы больше не рискуем запутаться в сложных определениях, принимая частные случаи за общие или позволяя другим диктовать нам наше видение мира.

Вот тебе и рациональная часть. Но уравнения также содержат эмоциональный аспект. Некоторые из них привлекательны благодаря своему внешнему виду, даже если кто-то не понимает их математического или физического смысла. Чувственные изгибы оператора д, агрессивная стрелка над переменной p^→ или двусмысленная стрелка d^↔…

Некоторые — по элегантности используемых ими концепций.

Некоторые — своей силой и масштабом последствий.

Некоторые — с более личной точки зрения: кто научил нас этому, кого мы научили и т. д. Момент, когда мы впервые увидели уравнение в классе или книге, и соответствующий период в нашей личной жизни. В этом отношении оно изменяет наше видение мира.

Внутренние пространства, которые оно вызывает… мечты, которые оно зажигает.

Глава 1 Закон отражения света

θr = — θj

Приведенная формула описывает поведение луча света при встрече его с отражающей поверхностью, такой как поверхность озера или зеркала. Он был предложен Евклидом в III в. н. э.

Этот закон настолько прост, что его можно легко сформулировать без помощи уравнения: луч света, отраженный зеркалом, проходит от точки падения входящего луча на поверхность зеркала симметрично входящему лучу относительно перпендикуляра к зеркалу. Однако получение «объяснения» того, как возникает отражение, уже требует обращения к фундаментальным основам мироздания — это не эволюция, а революция! До того, как узнать об этом законе, я «видел» предмет и его отражение в воде озера, не задавая себе никаких вопросов. Зная закон отражения света Евклида, понимаешь, что одна часть того, что я вижу (отражение), «внезапно» оказывается строго связана с другой (отраженным объектом). Чтобы понять данное отношение, необходимо поставить под сомнение самый смысл понятия «видение»!

Повсюду можно увидеть отражение света: в природе, на поверхности воды или на отполированных камнях; в городе на окнах, на металлических поверхностях и т. д. Почти все, что мы видим, включает в себя отражение здесь и там, так что его устранение требует некоторых сложных технологий: например, антибликовое покрытие экранов, очков или объективов камер.

θr = — θj

Но что такое отражение?

Мы обычно не задумываемся о законах отражения света. Мы никогда не спрашиваем себя: почему появляется отражение? Мы начинаем думать об этом только тогда, когда выполняем чертеж, или рисуем, или хотим создать изображение на компьютере.

В естественной среде, такой как пейзаж, единственными источниками света являются солнце или звезды. Я вижу гору или дерево, потому что лучи света, испускаемые солнцем, попадают на этот объект и снова испускаются, или «пере-излучаются», поверхностью объекта в мои глаза. Часть солнечных лучей поглощается, часть рассеивается во всех направлениях: эти сложные процессы приводят к появлению у каждой вещи более темных и более светлых оттенков цветов — все это будет объяснено позднее.

Но случай отражения самый простой из всех вариантов взаимодействия света с предметом: луч света, который попадает на отражающую поверхность, оставляет ее симметрично входящей траектории, так же, как мяч, брошенный в стену. Если бросить мяч перпендикулярно стене, он отскочит к нашей руке. Чем больше угол встречи мяча со стеной, тем дальше он будет отскакивать от нас. Это именно то, что написано в уравнении в начале данной главы: символами θ_i и θ_r обозначаются углы падающих (i — incident (входящий, англ.)) и отраженных (r — reflected (отраженный, англ.)) лучей света.

Как только этот закон сформулирован, появляется возможность «объяснить», почему я вижу отражение горы в озере: гора освещена солнцем и «переизлучает» лучи его света во всех направлениях. Некоторые из лучей, испущенных горой, попадают непосредственно мне в глаза: я вижу гору. Но другие лучи достигают моих глаз, после того как были отражены поверхностью озера: я вижу отражение горы. Приведенное выше уравнение и немного геометрии позволяют понять, что отраженные лучи света формируют образ горы, симметричный прямому изображению относительно поверхности озера.

Это выглядит совершенно обычным. Все художники понимают, как получить отражение, благодаря интуиции и наблюдениям. Да, объяснение того, как получается отражение, — еще не революция! Конечно, это всего лишь частичное «объяснение»: оно описывает только отражение света, но не цвета объектов, диффузию или рефракцию… и не говорит, почему некоторые поверхности отражают, а другие — нет. Однако этот небольшой шаг фундаментален: никогда не думайте об увиденном как о «совершенно обычном» или «необъяснимом», подвергайте сомнению даже самые знакомые слова, такие как «видеть» или «наблюдать». Пробуйте интерпретировать, находить связи, используя простые законы, даже ценой глубокого переворота в сознании.

Кстати, что значит «видеть»?

Мне несказанно повезло с учителями физики. В старшей школе, в 11-м классе, учитель оказался не просто преподавателем, а еще и любителем своего предмета. Он создал реальную лабораторную установку для выполнения деликатных оптических экспериментов: не во время лабораторных работ, а перед всем классом, как живое шоу. Для экспериментов с оптикой мы выключали свет в классе, учитель зажигал дуговую лампу, потрескивающую и упрямую (в то время еще не было лазеров, что значительно облегчило бы ему жизнь…). Затем преподаватель вводил в луч света линзы или щели, вращал зеркала, и лучи света пронизывали стены класса странными, эфемерными фигурами, которые он поощрял нас расшифровывать. Его изобретения почти всегда срабатывали. Великое искусство!

Но перед столь впечатляющими демонстрациями учитель тратил половину урока, объясняя, что «видеть» — это не значит активно «смотреть», а данное понятие подразумевает пассивное восприятие световых лучей^[1]. Один полноценный урок был посвящен уничтожению той самой интуиции, такой естественной и такой сильной, которая скрывается в глаголе «наблюдать». Не взгляд достигает объекта, а свет, излучаемый им, достигает моих глаз. И кстати, нельзя «почувствовать чей-то взгляд». Я могу только осознать, что девушка смотрит на меня, когда вижу, что ее глаза направлены в мою сторону. Но если я не увижу ее глаз, то никогда не узнаю, направлен ли ее взгляд «на меня» или в другое место.

Казалось бы, нет ничего проще. Однако мне это запомнилось как одно из самых первых откровений научного мышления. Действительно, есть два способа увидеть мир. В первом «я смотрю» и «я вижу» предметы и их отражения, никак не интересуясь природой этого видения. В другой парадигме восприятия источник света, лампа, солнце испускают световые лучи. Они отражаются, преломляются, рассеиваются предметами, затем попадают в мои глаза, и только тогда я их вижу.

Физика освещения

Итак, давайте «делать физику». Это значит оставлять наивную интуицию в стороне, судить обо всем на основании фактов, вносить новые смыслы в мир. И желательно делать это так, чтобы новые интерпретации известных фактов были понятны для всех. Отставляя в сторону свое «я», несложно сформулировать законы, выразив их формулами. Теперь мы можем вычислять и предсказывать. Каждый источник света излучает лучи, которые отражаются, преломляются, рассеиваются на объектах одинаково для всех. Законы отражения и преломления света возвестили век «просветления» и новую эру формул в физике.

Глава 2 Закон Снелла-Декарта и… принцип наименьшего действия

n₂sinθ_r = n₁sinθ_i

Следом за отражением света логично рассмотреть закон преломления, определяющий траекторию луча света, переходящего без отражения из одной прозрачной среды в другую. Можно привести множество примеров, в которых будут наблюдаться эффекты вышеуказанного закона. Чаще всего мы на них просто не обращаем внимания. Возможно, особо наблюдательные люди замечают странный эффект, как шест, опущенный на дно прозрачного бассейна, кажется сломанным на уровне поверхности, на границе между воздухом и водой…

В области распространения света непосредственное применение данного уравнения неисчислимо, поскольку оно господствует над всеми оптическими системами. Но в этой главе мы увидим, что простой закон, сформулированный для конкретного (частного) случая, станет источником понимания нового общего и мощного физического постулата — принципа наименьшего действия.

Уравнение постулирует, что угол выхода луча из границы раздела отличается от угла входа, что создает иллюзию сломанной палки. Вам, наверное, известно математическое выражение sin. Это функция синуса, которую можно вычислить нажатием кнопки любого научного карманного калькулятора. Исторически потребовалось некоторое время, чтобы понять, что в формуле закона преломления используется именно эта функция, а не значение самого угла, например. Однако как только о данном законе заговорили многие, это простое уравнение сразу же нашло широкое практическое применение.

n₂sinθ_r = n₁sinθ_i

Эксперимент

Вооружившись приведенным выше уравнением, можно произвести простейшие эксперименты по рефракции, используя различные пары прозрачных сред: воздух/вода, воздух/ масло, вода/масло и т. д. Мы обнаружим, что параметры n₁ и n₂ в уравнении характеризуют определенную среду: n₁ — для воздуха; n₂ — для воды; n₃ — для масла. Указанный параметр называется показателем преломления среды. Как только мы определим эти коэффициенты, мы сможем предсказать «излом» траектории луча света на границе раздела для любой пары сред и использовать это предсказание для построения любой оптической системы, какую только захотим.

Практическое применение закона преломления разнообразно. Во-первых, при помощи его мы можем понять те или иные природные явления, такие как радуга или функционирование глаза. Но самое главное — знание этого закона просто необходимо для создания оптических инструментов, начиная от увеличительного стекла и заканчивая микроскопом, и, разумеется, очков. Ведь все эти устройства разработаны на основе данного уравнения.

Чей это закон?

На этом историю про уравнения можно было бы закончить или, скорее, ограничиться рассказом о развитии оптики: микроскопов, астрономических телескопов, объективов для фототехники и т. д.; все это грандиозные практические достижения! Но следствием всего сказанного явилось еще более значительное событие: из уравнения преломления света возникла совершенно новая физическая идея, абстрактная и чрезвычайно важная для современной теоретической физики.

Сам закон впервые математически был четко сформулирован около 1620–1630 гг. Снеллом Ван Ройеном и Рене Декартом. Вопрос о том, кто был первым, — лишь один из многих бесполезных споров между англичанами и французами, поскольку в действительности разработка этого закона растянулась на несколько столетий. Она началась еще в X в. в арабском мире. Позднее свою лепту в его совершенствование внесли некоторые великие умы, в числе которых был Иоганн Кеплер.

Когда свет не теряет времени

Общая физическая идея, о которой я говорил выше, была открыта Пьером де Ферма около 1660 г. Он обнаружил, что может вывести «закон Декарта» (он тогда не знал о Снелле…), если исходить из двух очень простых предположений: во-первых, скорость света зависит от среды, в которой он распространяется, и, во-вторых, свет распространяется по такой траектории, что время движения из одной точки в другую оказывается минимальным. В этих предположениях величины n₁ и n₂ интерпретируются как обратные скорости света для каждой из сред.

Вы должны себе представить, что в середине XVII в. значение скорости света было еще неизвестно, а некоторые даже утверждали, что свет распространяется мгновенно. Конечно, Ферма не имел абсолютно никакого способа измерить эту скорость в разных средах: чтобы пройти 1 м в вакууме, свету требуется всего 3 миллиардных доли секунды, а в воде — в 1,4 раза больше, т. е. 4,2 миллиардных доли секунды. Эти длительности были слишком малы, чтобы их можно было измерить в то время^[2]. Тем не менее Ферма не только сформулировал принцип минимального времени, но и показал, что он работает, если скорость света в воде или стекле меньше, чем в воздухе, в 1,2–1,5 раза. По иронии судьбы, Ферма таким образом противостоял Декарту, который считал, что скорость света выше, если среда плотнее. Но принцип сработал великолепно, подтвердив гипотезу Ферма.

Первоначально принцип Ферма был рожден интуицией или ясновидением: «природа всегда действует кратчайшим или наиболее простым путем». Эта идея (точнее такой способ получения физического закона) оказалась чрезвычайно плодотворной: вместо того чтобы писать уравнение, связывающее два угла, или уравнение движения, формулируется общий принцип, гласящий, что луч света выбирает путь минимальной длительности^[3].

Принцип наименьшего действия

Принцип «природа не делает ничего лишнего» был применен для решения некоторых задач механики Пьером Луи Моро де Мопертюи в XVIII в., а именно к движению материальных объектов под действием внешних сил, и был назван «принципом наименьшего действия». Несколько позднее этот принцип был дополнительно формализован Леонардом Эйлером и, главным образом, Жозефом Луи Лагранжем, все еще в приложении к задачам теоретической механики. Было математически определено понятие «действие»: это интеграл от энергии системы за время ее эволюции. Движение тел по траекториям наименьшего действия занимает наименьшее время, или при этом энергия принимает минимальные значения, или имеет место наилучшее сочетание изменения энергии и времени: самый экономичный путь — «самый простой», как сказал Ферма. Что касается оптики, то энергия светового луча постоянна, поэтому время движения должно быть минимальным. Существенным новшеством в механике Лагранжа-Эйлера стала самая общая трактовка того, что такое «путь». В этой трактовке «путь механической системы» охватывал всю ее эволюцию: положение и скорость объектов, энергию (включающую в себя запасенную (например, напряжение пружины) и кинетическую энергию). Эволюция даже очень сложной механической системы должна подчиняться принципу наименьшего действия.

Затем, уже в XX в., ученые поняли, что новая физика, так называемая квантовая механика, о которой мы поговорим позже, может быть прекрасно описана с помощью принципа наименьшего действия. В квантовом мире все подвержено непрерывным флуктуациям. Положения и скорости квантовых частиц не могут быть определены точно ни в какой момент времени, и в связи с этим не являются подходящими переменными для расчетов. Глобальные величины, такие как различные формы энергии, позволяют давать описание системы, имеющее предсказательную силу, и оказываются проще в использовании.

Если определить правильные значения для всех видов энергии системы, то принцип наименьшего действия позволяет предсказать, как эти энергии будут преобразовываться друг в друга при взаимодействии квантовых частиц. Оказывается возможным определить, как частицы в атоме уравновешивают друг друга, следуя «наилегчайшему пути», как говорил Ферма, или, выражаясь современным языком, «совершая движение по траектории минимального действия во все моменты времени».

Формула, которая обобщает все?

Действительно, принцип наименьшего действия настолько всеобъемлющ, что теперь доминирует в физике элементарных частиц: все фундаментальные квантовые теории, от Стандартной модели (глава 15) до самых экзотических, выражены с его помощью. При построении теории определяются все описываемые ею объекты: частицы, поля, силы и энергии — и собираются в одну большую формулу, называемую «лагранжианом» в честь работ Лагранжа, о которых упоминалось выше (мы познакомимся с некоторыми лагранжианами физики элементарных частиц в конце этой книги). После написания лагранжиана теории ее разработка может считаться законченной. Вы хотите применить теорию к конкретной задаче? Все, что нужно, — это «всего лишь» выразить принцип наименьшего действия математически, затем продраться через зубодробительные формулы, выполняя необходимые вычисления, и… готово, получайте результат! Сейчас начинающие физики впервые знакомятся с принципом наименьшего действия, сформулированным Эйлером и Лагранжем, в его современной форме. Это прекрасное уравнение:

Функция L — это тот самый лагранжиан, ключевая физическая величина, из которой можно вывести все. Величины q_i и q^._i — это «положения» и «скорости» объектов. Как видите, я не стал включать данное уравнение в число фундаментальных, потому что оно не настоящее «уравнение физики»; формула минимума действия — это процедура или алгоритм, а не видение мира.

Помню, когда еще я был студентом-физиком, мы все были в восторге, когда изучали принцип наименьшего действия, уравнение Эйлера-Лагранжа и его квантовые эквиваленты. Формула выглядела волшебной: записываешь хороший лагранжиан, нажимаешь на рычаг — и вот оно, решение сложного механического движения или задачи взаимодействия разных частиц. Но вскоре пришло разочарование: уравнение Эйлера-Лагранжа ничего не говорит об объектах, не раскрывает энергии или силы их взаимодействия. Только если вы определили свое видение мира и сумели обобщить его в форме Лагранжа, уравнение подскажет, как ваша теория будет применяться в конкретном случае.

Поэтому чуда нет, но процедура «лагранжиан + принцип наименьшего действия» оказала и оказывает сильнейшее влияние на физику. И может быть, не только на физику, но и в обычной жизни? Разве не говорят нам психологи о минимизации действия? Найдите счастье в простой жизни. Эффективно работайте, избегайте бесполезных конфликтов и не становитесь рабами ненужных вещей. Эх, вот бы еще найти этот лагранжиан счастья…

Глава 3 Главный принцип динамики (второй закон Ньютона)

F = ma

Что означает это простое уравнение? Из него следует, что сила равна произведению массы на ускорение. Боюсь, что данное утверждение ни о чем не скажет неподготовленному читателю. Попробуем прояснить этот закон, записав его в эквивалентной форме:

Или же сформулируем его словами: «Сила F, приложенная к объекту массой m, придает ему ускорение a, направленное так же, как и приложенная сила, и численно равное величине силы F, деленной на массу m. В частности, если я удвою прикладываемую силу, ускорение также станет в два раза больше. Если я приложу ту же силу к объекту с удвоенной массой, то такой объект будет ускоряться в два раза медленнее». Ну вот, все оказалось очень просто.

А может, нет? Исторически потребовались столетия, чтобы написать такую простую формулу. Самое трудное состояло не в том, чтобы выписать отношения между переменными в простой формуле:

Что-то эдакое = То «умножить на» Это.

Намного важнее оказалось получить четкие определения основных понятий и концепций механики, чтобы описать движение тел простым соотношением. И эти определения оказались отнюдь не тривиальны…

F = ma

Идеальный, потому что неподвижный (?)

Что определяет движение? Естественным представляется вначале подумать о скорости или об изменении направления движения. Но как можно дать точные определения этим интуитивно понятным терминам?

Еще б0льшей точности в определении требует описание механического воздействия, прикладываемого к объекту. Как можно количественно оценить это воздействие? И что же такое сила?

Можно ли определить силу универсальным образом? Есть ли что-либо общее между моей рукой, которая бросает камень, и пушкой, которая стреляет ядром?

До Галилея и Ньютона движение тела описывали плохо определенным, «неформальным» языком, в котором доминировало влияние Аристотеля. Для Аристотеля неподвижность была синонимом совершенства. Объект, на который никто не действует, неподвижен. Если F = ma, то в отсутствие действующей силы ускорение равно нулю, то есть скорость не изменяется. Иными словами, объект, который движется со скоростью v и на который не действуют силы, продолжает двигаться, не отклоняясь в сторону, с постоянной скоростью.

От фонтанов до планет

Это стало настоящей революцией. Подумайте о планетах: разве они не движутся по замкнутым траекториям, которые периодически возвращают их в те же места на небе? Они могут вращаться вокруг Земли — до Николая Коперника — или вокруг Солнца — после Коперника. В любом случае они не следуют по прямой линии в пространстве, иначе они никогда бы не вернулись и не посетили нас снова. Это лишь означает, что какая-то «сила» действует на планеты. В некотором смысле планеты уже не «идеальны» по Аристотелю, они не свободны от внешнего влияния. Планеты были богами — Венерой, Марсом, Меркурием и др. Написав F = ma, люди совершили невероятно дерзкий шаг, забрав силу и свет у богов…

Однажды мне довелось увидеть поразительный рисунок: художник эпохи Возрождения изобразил на одном полотне траекторию пушечного ядра и декоративные фонтаны. Пушечное ядро поднималось по прямой линии под углом к горизонту, а затем внезапно падало вертикально вниз. Но вода, струящаяся из фонтанов, была изображена в виде плавных, изгибающихся линий — парабол, как станет известно много позже. Художник не знал, что капли в струях воды и пушечное ядро следуют по траекториям одинаковой формы. Он верно нарисовал водяные струи, поскольку они были видны ему, и траекторию пушечного ядра, так, как она представлялась ему, потому что ядро летит слишком быстро, чтобы быть видимым. Конечно, реальная траектория пушечного ядра действительно является параболой, как и траектории струй воды.

Но для чего он нарисовал столь странную треугольную траекторию? Обычное объяснение падению снарядов в то время было следующим: при выстреле пушка сообщает ядру определенное количество «толчка», затем этот «толчок» исчерпывается, а когда его не остается, идущая вверх прямая траектория останавливается, и мяч падает вертикально. Но что это за первоначальный импульс? Как этот толчок был передан ядру? Почему и как он расходуется и когда будет израсходован полностью? Чтобы правильно описать траектории струй воды, пушечных ядер и планет, нужно понять смысл концепций силы, массы и ускорения. К счастью, как только эти величины четко определены, уравнение, которое их связывает, оказывается совсем простым.

Немного ностальгии по утраченной y

В уравнении второго закона Ньютона a — это ускорение, то есть изменение скорости. Каждый водитель знает, что разгоняться — значит увеличивать скорость. Но торможение — это тоже ускорение, только со знаком минус. Скорость объекта представляет собой изменение положения тела за определенный интервал времени: чем больше скорость, тем больше изменится положение тела в пространстве за то же самое время. Ускорение — это изменение скорости объекта за определенный промежуток времени.

Это «исчисление вариаций», как его называли в XVIII в., лежит в основе всей физики. Если я изменяю влияющую величину на «самую малость», то зависимая величина изменяется при этом на «чуть-чуть» по определенному закону. Соотношение между малыми изменениями зависимых и влияющих величин — весьма скромная заявка на описание нашего мира. Я не пытаюсь дать глобального ответа, «как оно на самом деле», а лишь пробую описать отношения между приращениями, или вариациями, координат, скоростей, энергий, температур и т. д. Я ничего не говорю (пока) о том, как были созданы планеты, но надеюсь понять их движение и, самое главное, хочу получить возможность его предсказать. Мы наблюдаем за положением планет сегодня, зависимость между вариациями известна, следовательно, я могу вычислить их положение завтра, через год, через столетие, через вечность.

Я впервые познакомился со вторым законом Ньютона, будучи старшеклассником в Парижской школе, где традиционно уравнение записывалось в виде F = m y. Не знаю точно, почему тогда во французских школах использовалась греческая буква y для обозначения ускорения^[4]. Однако теперь и там перешли к принятой на международном уровне и не такой удивительной для учащихся форме записи второго закона Ньютона с использованием a для ускорения.

Но мне особо понравилась буква y. Она была одним из первых важнейших символов, открытых мной в школе на уроках физики. Данное выражение позволило мне понять, что физическую величину или научную концепцию можно представить таким ясным и наглядным способом. Символ символов, так сказать! Во всяком случае, это был один из первых символов, с которым я начал взаимодействовать, изучая столь серьезную науку, и он же затем постоянно сопровождал мою работу в качестве физика. Это было также своего рода благословением: возможно, не все так просто; возможно, y заставляла задумываться немного больше, чем тривиальная a?

Довольно динамичная физика

И это лишь начало. F = my стало первым дифференциальным уравнением. Прямая зависимость между приращениями… Это уже было настоящей физикой, а не бухгалтерским учетом (мои извинения бухгалтерам). В младших классах механика использовалась только для расчета равновесия весов, давления на дне бассейна и тому подобных задач. Это была «статика», холодная, жесткая, скучная, сопровождаемая старомодными объяснениями. Сколько студентов решили заняться бухгалтерским учетом вместо физики, после того как им объяснили, что стол стоит вертикально из-за реакции земли на его ноги? Что? Какому извращенному уму пришла в голову мысль, что земля толкает стол снизу вверх? Было ли действительно необходимо вводить понятие силы, чтобы додуматься до чего-то подобного?

Великое уравнение F = m у — это прежде всего уравнение движения, причем движения абсолютно любых материальных тел. Движения воздуха или акустические колебания (если это действительно хорошая музыка), акустика, аудиокассеты… политика, Большой скачок, надежда на лучший мир… Движения вездесущи. Повсюду мягкая сила дифференциальных уравнений заставляла мир изменяться и совершенствоваться, придавая ему неисчерпаемую волю к жизни.

Лучшие книги моей юности, полные стремительных поездов, летающих автомобилей и космических ракет, все еще со мной, несмотря на возникающие сомнения: вопросы об обществе потребления, проблемы с экологией…

Но кого это волнует? Если бы не наше общество, то было бы другое, столь же одухотворенное, подчиненное конкуренции и с быстро сменяющимися силами, динамичное, во всяком случае, как любой подросток в 16–18 лет. Как можно было жить в 18 лет без кризисов, без безработицы, без жилищных трудностей? Как могла бы жить сегодняшняя молодежь, если бы мы дали ей такую возможность?

В конце концов, неподвижность или, скорее, равномерное движение по прямой линии рассматривается не как отсутствие, пустота, разочарованное бездействие, но как равновесие всех сил. Порядок среди беспорядка: первое проявление дзен-буддизма в нашем обществе, движение мира и любви. Статика понимается в последнее время как предельное состояние динамики.

Глава 4 Закон всемирного тяготения (классическая теория тяготения Ньютона)

Это закон всемирного тяготения, определяющий гравитационную силу, действующую на все тела, имеющие массу, и заставивший «яблоко упасть на голову» Исааку Ньютону, его изобретателю, в 1684 г. Данный закон утверждает, что все тела, имеющие массу, испытывают взаимное гравитационное притяжение, и определяет величину силы притяжения как функцию расстояния между двумя телами^[5].

Этот фундаментальный закон объяснил единым образом движение небесных тел и притяжение тел к Земле, два явления, которые априори не имели ничего общего, с точки зрения человека XVII в. Открытие закона всемирного тяготения проложило путь к пониманию и предсказанию движения всех небесных тел.

О чем говорит приведенное уравнение? Два точечных тела с массами m и m' притягиваются друг к другу, и величина силы притяжения пропорциональна массам тел, что звучит логично, и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Проще говоря, это означает, что если мы увеличим расстояние между телами в два раза, сила притяжения между ними уменьшится в четыре раза.

Сила этого простого закона позволила с высокой точностью рассчитать движение Луны, планет, комет и т. д. и обеспечила ему совершенное подтверждение экспериментальными наблюдениями (по крайней мере, до недавнего времени).

Нелюбимое уравнение

Как ни странно, мне никогда по-настоящему не нравилось это уравнение. Как ученый я не могу отрицать того огромного прогресса в науке, что был связан с открытием закона всемирного тяготения. Конечно же, я восхищаюсь огромной силой ума, который сформулировал данный закон. Но, однако, его универсальность никогда особо меня не привлекала, и я совершенно не знаю, почему.

Если бы я был самонадеянным, то мог бы сказать, что интуиция подсказывает — такое действие на расстоянии выглядит несколько подозрительно. В соответствии с упомянутым законом Солнце, например, притягивает Землю. Величина этой силы притяжения постоянна во времени, так как орбита Земли почти что круглая и расстояние до Солнца практически не изменяется. Но, согласно закону тяготения, если бы я удалил Солнце, его влияние на Землю исчезло бы мгновенно. И это странно. Как какое-либо силовое воздействие может быть мгновенным при таком расстоянии между телами?

Однако, несмотря на свое упорство, я должен оставаться в тени: очевидно, я переосмысливаю свои ощущения того времени, используя сегодняшнее послезнание. В частности, с тех пор я неплохо изучил теорию относительности Эйнштейна, которая запрещает мгновенное действие на расстоянии: никакая частица, сила или информация не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света.

Слишком просто для закона?

Другой момент, который я нахожу немного разочаровывающим в данном законе, — это обратно квадратичная зависимость силы F от расстояния между телами d. Если не задумываться глубоко, то наивному поверхностному взгляду зависимость вида 1/d² кажется замечательной, как будто она раскрывает прекрасную и фундаментальную истину. Но в действительности это лишь самая тривиальная форма зависимости силового воздействия, оказываемого объектом на другие удаленные объекты, от расстояния.

И вот почему. На достаточно большом расстоянии любой действующий объект может рассматриваться как точечный. Представим себе сферу радиуса d с центром на объекте. Площадь поверхности сферы: S = 4πd². Таким образом, если мы увеличим радиус сферы в два раза, ее площадь увеличится в четыре раза. Это как раз дает обратно квадратичную зависимость силы от расстояния. Тот факт, что сила притяжения, действующая на объект на расстоянии d, уменьшается, просто означает, что влияние объекта равномерно распределяется в пространстве. Интуитивно ясно, что на бóльшем расстоянии влияние слабее. Оно ослабевает потому, что количество точек на большой поверхности возрастает, как количество точек на поверхности сферы бóльшего радиуса. Короче говоря, зависимость вида 1/d² является наиболее тривиальной формой зависимости силы от расстояния, которую можно представить для точечных объектов. Действительно, абсолютно аналогичный закон описывает силу между двумя электрическими зарядами:

Этот закон был открыт Шарлем Августином де Кулоном намного позднее закона всемирного тяготения, в 1785 г., и назван в его же честь законом Кулона.

Закон… скрывающий невежество?

Несмотря на точность и огромный успех, законы Ньютона и Кулона в первую очередь выражают… невежество! Я не знаю, что такое масса или электрический заряд. У меня нет ни одной толковой идеи ни об их происхождении, ни о внутреннем механизме их действия. Но я могу собрать влияние гравитации объекта в одну величину: его массу. Форма этого влияния наиболее просто выражается как функция расстояния. Аналогичным образом мы поступаем в случае электрического заряда и электрических сил.

Со временем теория относительности наделила гравитацию более амбициозной ролью. Масса, энергия и форма пространства-времени были объединены друг с другом в рамках одной непротиворечивой системы. Теория относительности Эйнштейна перешагнула ограничения «простого» принципа объединения гравитационных свойств тела в единственный параметр массы. Как мы увидим позднее, из нового понимания тяготения как свойства пространства-времени возникли совершенно новые неожиданные объекты, именуемые «черными дырами».

E pur, si muove^[6]!

Поскольку все это я осознал спустя довольно длительное время, после того как впервые встретился с законом тяготения Ньютона, было бы нечестным притворяться, что этот закон мне никогда не нравился из-за не по годам развитой интуиции. Тогда почему? Возможно, потому, что когда закон тяготения преподают в школе, его уравнение оказывается просто бесполезным, так как школьники практически не в состоянии использовать его! Я имею в виду действительно использование с теми самыми целями, для которых он был применен Ньютоном и его последователями: предсказывать движение планет, хотя бы нашей старой доброй Земли.

Проблема выглядит простой. Нам доступны два инструмента: с одной стороны, второй закон Ньютона F = ma, сдругой — закон обратных квадратов для силы, действующей между планетой и Солнцем. Гравитационная сила, с которой Солнце и Земля притягиваются друг к другу, равна:

Именно эта сила и влияет на планеты, заставляя их совершать круговое равноускоренное движение в соответствии со вторым законом Ньютона. Движение Земли в системе, состоящей только из Солнца и Земли, подчиняется уравнению:

Здесь y — ускорение Земли с учетом его направления, а d — расстояние от Земли до Солнца. Решение этого уравнения позволяет определить параметры движения Земли, форму ее орбиты и скорость в каждый момент времени, интервалы времени, когда Земля приближается или отдаляется от Солнца.

Все это, конечно, замечательно. Вот только решение данного уравнения отнюдь не так просто и требует более сложных математических инструментов, чем те, которые преподаются в старших классах школы. Поэтому в школе применение закона тяготения ограничивается упражнениями без особого практического смысла, например вычислением силы между двумя неподвижными объектами. Если предположить приближенно, что планеты движутся по круговым орбитам, решение может быть получено с помощью элементарной математики. Однако хорошо известно, что в действительности орбиты планет являются эллипсами, и, более того, в приближении круговых орбит вся сила закона пропадает впустую. Тогда уж проще предположить, что Земля связана с Солнцем веревочкой, и мы получим такое же круговое движение. Только позже, уже в университете, я узнал правильное решение такого простого на первый взгляд уравнения движения, позволяющее понять эллиптические траектории планет и комет. Как оказалось, и это знание не улучшило моего отношения к закону тяготения.

Космический хаос

Решение задачи о математическом описании движения одной планеты вокруг Солнца, известное как задача двух тел, стало одним из основополагающих столпов механики, но лично для меня оно уже не кажется чем-то особенным. В противоположность этому изучение движения всех планет Солнечной системы с учетом их взаимного тяготения и влияния друг на друга поставило передо мной новые неожиданные задачи. Некоторые планеты, такие как Земля, основное гравитационное влияние испытывают от Солнца, которое вызывает периодическое движение по эллиптической орбите: под этим единым воздействием орбита никогда не изменится, и каждый год Земля будет возвращаться точно в ту же точку — при условии что массы Солнца и Земли не изменятся. Это верно практически для всех планет, что движутся вдоль своих эллиптических орбит в течение вечности.

Однако планеты способны также оказывать некоторое гравитационное влияние и друг на друга. Вращение планет по своим орбитам с разными скоростями приводит к тому, что расстояния между планетами достаточно быстро изменяются, и возникающие в моменты сближения взаимные притяжения вызывают некоторые, достаточно малые, возмущения их траекторий. Вопрос в том, могут ли эти возмущения, накапливаясь с течением времени, существенно изменить базовые эллиптические траектории? Если да, то через какой промежуток времени? И останется ли возмущенное движение все еще периодическим? Или, по крайней мере, достаточно периодическим, чтобы движение планеты можно было предсказать в долгосрочной перспективе?

Вопрос, оказывается, настолько деликатный, что с тех пор как эта проблема была сформулирована Лагранжем в 1766 г., ответ на него несколько раз изменялся. Не углубляясь в математические подробности и проигнорировав двухвековую историю исследований, сейчас мы можем быть полностью уверены в том, что предсказание траекторий движения планет Солнечной системы на сколь угодно длительных интервалах невозможно из-за накапливающихся «хаотических» возмущений. В математическом исследовании французского математика и астронома Жака Ласкара (1989) было показано, что невозможно предсказать орбиты планет, а тем более положение планет на их орбитах на интервалах времени, превышающих несколько десятков миллионов лет. И это несмотря на то, что единственными действующими силами в Солнечной системе являются силы тяготения между Солнцем и планетами и взаимные силы тяготения между планетами, и все эти силы взаимного притяжения совершенно не меняются во времени и не испытывают случайных возмущений^[7].

Когда мы решаем уравнения движения и пытаемся рассчитать состояние Солнечной системы, заглянув на 100 млн лет в будущее, решения становятся бесконечно чувствительными к начальным условиям, а именно к измеренным сегодня исходным положениям и скоростям движения планет. И что еще хуже: нет никакой возможности убрать эту чувствительность к начальным условиям — проблема «глубокого» расчета эволюции Солнечной системы выглядит как непробиваемая стена. Согласно расчетам Ласкара, неопределенность исходных координат Земли, равная 15 м, вызывает неопределенность, равную 150 м, в прогнозируемом положении через 10 млн лет, и это вполне приемлемо. Однако уже через 100 млн лет неопределенность в расчете прогнозных координат составит 150 млн км! Другими словами, мы не можем осмысленно точно предсказать положение Земли на ее орбите на дату, выбранную наперед^[8]. Это быстрое увеличение неопределенности с увеличением глубины расчета делает иллюзорной надежду на то, что расчет положения во время, заданное наперед, возможен при достаточной точности измерения начальных координат.

Планетарная игра в бильярд

Хочется даже задать вопрос о глобальной стабильности Солнечной системы: раз нет возможности предсказать долгосрочное положение каждой планеты, можем ли мы хотя бы быть уверены в том, что орбиты в будущем останутся примерно одинаковыми? Нынешние орбиты эллиптические, практически круговые (выражаясь математически строго, их «эксцентриситет» мал), и, учитывая большие различия между их средними радиусами, ясно, что они не пересекаются. Но как насчет долгосрочной перспективы? Возможно ли, чтобы орбиты изменились достаточно сильно и пересеклись и, следовательно, возникла ненулевая вероятность столкновения? Может ли случиться так, что одна планета пройдет настолько близко, что другая покинет Солнечную систему? Короче говоря, может ли наша обычная мирная карусель планет превратиться в страшный планетарный бильярд с ударами и отскоками?

Последние оценки будущих событий, выполненные в результате численных расчетов на суперкомпьютерах на несколько миллиардов лет вперед, показывают, что такая возможность существует, хотя и довольно призрачная — вероятность подобной катастрофы за миллиарды лет не превышает 1 %.

Как я уже говорил выше, ответ на вопрос о стабильности Солнечной системы уже несколько раз изменялся между «порядком» и «беспорядком». Хаос, описанный в работе Ласкара, — это тот ответ, который дает нам современная наука. Могут ли существовать другие, еще не учтенные явления, управляющие движением планет? Это действительно живые и наболевшие вопросы, так как «хаотические» движения такого типа также существуют во многих других физических системах, которые гораздо более интересны, чем решение уравнения движения для одинокой планеты…

Глава 5 Уравнение состояния идеального газа^[9]

PV=VRT

И снова перед нами очень простое уравнение, которое описывает зависимость давления от температуры, или уравнение состояния многих распространенных газов, включая окружающий воздух, при условии что они еще «недостаточно плотные». Этот закон очень важен сам по себе, так как позволяет понять такое важное природное явление, как изменение атмосферного давления с высотой. Уравнение состояния идеального газа при применении в научных лабораториях и промышленности раскрывает путь к точным расчетам и управлению газовыми средами: воздухом, паром и т. д.

Однако это уравнение может, помимо всего прочего, выполнять совсем другую роль. Несмотря на то что данное уравнение предназначено для описания поведения больших объемов газа, привычных для человека, или же даже чрезмерно больших, таких как атмосфера Земли, истинная его природа раскрывается в том, что оно является прямым и однозначным следствием того, что материя состоит из микроскопических и практически не взаимодействующих друг с другом атомов.

Идеальный воздух

Немного позже я подчеркну столь малоизвестный аспект, а сейчас давайте вернемся к самому уравнению. Из него можно сделать вывод, что для некоторого неизменного количества газа в замкнутом объеме произведение давления P на объем V пропорционально количеству газа v и температуре T. Коэффициент пропорциональности R называется «газовой постоянной» и численно равен 8,31.

Проще говоря: если я уменьшаю объем, в котором заключено заданное количество газа (медленно, чтобы температура не менялась), давление в объеме увеличивается (подобное можно наблюдать в действии велосипедного насоса). Если в фиксированный объем с газом я добавляю больше газа (увеличивая v), давление увеличивается (впрыскивая воздух в уже надутую шину). Если в заданном объеме при неизменном количестве газа увеличить его температуру, давление в объеме возрастет (вспомните скороварку) и т. д.

Как же нам повезло!

Уравнение идеального газа совершенно не заставляет трепетать от волнения: никаких дифференциалов, никаких симпатичных показателей степени или экспоненциальных функций. Но вместе с тем оно невероятно эффективно. На самом деле есть некий элемент маловероятной удачи в этом… Потому что большинство обычных газов при температуре окружающей среды почти идеально! К счастью для нас и для нашего стремления к объяснению окружающего мира, большинство встречающихся нам в природе веществ может находиться в одной из трех фаз (научный термин — «фазовое состояние»): твердой, жидкой и газообразной. Не шесть и не двенадцать фазовых состояний, а только три. И уравнение, которое связывает давление и объем (при постоянной температуре), не могло бы быть создано природой проще: твердые тела и жидкости в первом приближении несжимаемы: при любом давлении их объем не изменяется. Кроме того, есть газы, для которых произведение PV равно постоянной величине: если я уменьшаю объем в два раза, давление увеличивается в два раза. Все очень и очень просто.

Сегодня мы знаем условия, при которых газы не идеальны, например когда они сильно сжаты до такой степени, что почти становятся жидкостями. Однако подобное не так часто встречается в окружающем нас мире. Таким образом, эта кажущаяся простота позволила нам глубже продвинуться в понимании природы. Могли бы мы развить физику материи и термодинамику, если бы вместо трех фаз было двенадцать, каждая из которых подчинялась более сложному уравнению состояния? Могли бы мы перейти непосредственно к описанию сложных природных явлений, если бы не прошли сначала через стадию описания простейших случаев?

Воздух или закон?

Что позволяет нам устанавливать физические законы? При всей оторванности этого вопроса от практических задач ответ на него существенно влияет на наше отношение к науке вообще и физике в частности. Позвольте мне представить три разных подхода к ответу на данный вопрос:

О природа обладает реальными закономерностями, фундаментальными упрощениями, которые мы открываем и затем формулируем. Это старый добрый реализм;

О природа намного сложнее, чем мы о ней думаем, однако можно указать на ее закономерности, приняв некоторые приближения или допущения. Наши физические законы не отражают истинной природы мира, но позволяют проводить необходимые расчеты и делать ограниченные предсказания. Это форма философского релятивизма;

О мыслящее существо, способное формулировать физические законы, может существовать только в том случае, если в природных явлениях просматриваются определенные закономерности. Избыток сложностей в понимании категорий пространства и времени только вызовет хаос и не допустит ни эволюции, ни обучения, ни передачи знаний из поколения в поколение. Следовательно, наше собственное существование означает, что должны существовать законы, физические константы и некие закономерности. Это форма «антропного принципа».

Эти эпистемологические дебаты бесконечны и отнюдь не являются главной темой данной книги. Но попробуйте проследить это на простейшем примере PV = v RT. Что здесь первично? Мои определения давления и температуры или то, что воздух при нормальных условиях — это (почти) идеальный газ?

Удивительная гипотеза

Во всяком случае, закон идеальных газов открывает обширное поле для объяснения повседневных явлений: показания барометра, изменение атмосферного давления с высотой и многое другое. Кроме того, этот закон имеет множество практических применений: тепловые воздушные шары, паровые машины, насосы, химия и т. д. Уравнение состояния идеального газа также оказало огромное влияние на фундаментальное понимание физического мира. В XVIII в. спор между теориями «непрерывности материи» и «атомистической» еще не был разрешен. Даже в эпоху классической Древней Греции, около 400 г. до н. э., Демокрит утверждал, что материя состоит из атомов, крошечных, невидимых глазу элементарных и неделимых частиц. До Демокрита аналогичное заявление сделал Левкипп, а в Древней Индии гипотезу об атомах — «ану» выдвинул мыслитель Канада^[10] еще в 600 г. до н. э.

Атомистическая гипотеза просуществовала столетия, несмотря на то что ученым так и не удалось предъявить какие-либо доказательства ее реальности. Даже изобретение микроскопа в конце XVI в. не могло позволить «увидеть» атомы. Сегодня мы знаем, что длина волны видимого света намного больше размера атома, и именно поэтому наш глаз вообще может видеть. Снова старая проблема курицы и яйца!

Вернемся, однако, к нашим атомам. Хотя доказательств атомистической гипотезы вплоть до XIX в. так и не появилось, идея атомов всегда привлекала своих адептов, и среди них были самые лучшие умы. Ньютон слыл атомистом, и даже Шекспир что-то такое знал про атомы: «Считать атомы так же легко, как выполнять все желания возлюбленной…»^[11], что, несомненно, доказывает, что он оценил количество атомов в материи в очень, очень большую величину.

Гипотеза об атомах сохранялась параллельно с другими объяснениями элементарных составляющих мира, такими как земля, ветер, вода и огонь. В начале XIX в. Джон Дальтон явным образом использовал понятие об атомах, изучив множество химических реакций и установив пропорции между вступающими в них химическими элементами. Однако для Дальтона это было всего лишь удобной моделью без каких-либо экспериментальных доказательств существования реальных атомов и, конечно же, без каких-либо указаний на их возможный размер и количество в материи^[12].

Измерение размера атомов путем продувки воздухом

Решительный шаг по пути определения размеров атомов был сделан около 1860 г., когда Джеймс Клерк Максвелл и Людвиг Больцман доказали, что любой газ, состоящий из чересчур малых атомов (или молекул), слабо взаимодействующих между собой, и имеющий температуру, будет подчиняться закону идеального газа: PV = v RT.

На данном этапе в модели не было сделано предположений о реальных размерах молекул (они считались точечными) и об их числе в заданном объеме газа (то, что сегодня называют «числом Авогадро»). Но тренд был запущен, и рассуждения продолжались. Если материя состоит из атомов, то когда эти атомы разрежены, она является газом: расстояние между ними намного больше по сравнению с их размерами. Если начать сжимать газ, атомы или молекулы сближаются, и когда они «соприкасаются», происходит конденсация в жидкость или твердое тело.

Следовательно, атомы должны иметь размер! Но как оценить этот размер? Измеряя отклонение от закона идеального газа: если атомы ведут себя как точки, они не взаимодействуют друг с другом, газ «идеален», и, следовательно, его вязкость равна нулю^[13]. Если же молекулы, напротив, имеют конечный размер, между ними будут происходить столкновения, и эти столкновения вызовут вязкость. В атомистической модели Максвелл получил математическое выражение, которое связывает вязкость идеального газа со средним расстоянием между двумя столкновениями молекул (то, что физики называют «средняя длина свободного пробега»).

Йозеф Лошмидт в 1865 г. измерил вязкость воздуха, пропуская его через небольшое отверстие и определяя скорость потока на выходе. Используя соотношение Максвелла, он впервые экспериментально определил приблизительный размер молекул воздуха. Этот шаг, не часто упоминаемый в учебниках, имел чрезвычайно важное значение: впервые материя рассматривалась как действительно состоящая из атомов с типичным размером одного атома порядка 1/10 000 мм и состоящая примерно из 3^х10²² (30 000 млрд млрд!) молекул в 1 л окружающего воздуха. Он вывел свою первую оценку без какого-либо электронного микроскопа или чего-либо подобного, фактически не имея доступа к изолированному атому! Для получения такого значимого результата оказалось достаточно интуитивного открытия Демокрита, сделанного более двух тысяч лет назад, и закона идеального газа.

Революционная гипотеза

Я все еще до сих пор удивляюсь, как гипотеза об атомах могла возникнуть, а затем просуществовать без малейшего доказательства в течение более чем 20 веков. Вплоть до эпохи Возрождения газы даже не были идентифицированы как таковые. Было ясно, что твердое тело превращается в жидкость при плавлении, но что происходит, когда то же самое жидкое тело испаряется, было непонятно.

Вероятно, превращение твердых тел в жидкости было лучшим аргументом для атомных партизан. Когда мы нагреваем твердое тело и то плавится, превращаясь в жидкость, оно совершенно не теряет своей природы. Ясно, что это одно и то же тело, принимающее две различные формы. Возможно, самый простой способ понять данное превращение — это предположить, что тело состоит из атомов и при превращении твердого тела в жидкость изменяется только их расположение.

В некотором смысле атомная гипотеза сравнима с революцией Коперника. На первый взгляд материя непрерывна: ее можно делить бесконечно. Бог также бесконечен и совершенен, и это гладкое и непрерывное совершенство не нуждается ни в каких особых элементарных структурах или масштабировании. Бог также бесконечно сложен. Природа, которую Он создал, должна быть неделима на элементарные кирпичики малого числа видов: она в своей сложности такова, какой Он ее создал. Редукционизм, согласно которому видимое разнообразие природы происходит вследствие разнообразного расположения и применения небольшого числа элементарных составляющих, в конечном счете противостоит божественному синкретизму.

Глава 6 Закон Гука

F = kX

Не такой известный, так как его редко можно увидеть в школе, закон Гука гласит, что удлинение металлического бруска пропорционально силе, с которой его растягивают. Я выбрал его из-за простоты и того факта, что он представляет собой начало движения к рационализации, привнося математику в физику и технику. Подумайте об этом: мы имеем математическую модель поведения небольшого кусочка стали и, используя мощь дифференциального исчисления, можем рассчитать, как следует проектировать и устанавливать арки и балки, чтобы построить Эйфелеву башню!

Закон Гука похож на уравнение состояния идеального газа, которое мы видели в предыдущей главе, в его варианте при постоянной температуре PV = const, открытом Бойлем и Мариоттом в конце XVII в.: давление газа увеличивается по мере уменьшения его объема. Это сходство — простое отношение пропорциональности — не случайно: Роберт Гук и Роберт Бойль были хорошо знакомы друг с другом и являлись соавторами.

Физика промышленной революции

Я должен признать, что физика сплошных сред (твердых тел, жидкостей и газов) — это не моя специальность. Меня всегда привлекало познание бесконечно малого, элементарных кирпичиков материи и природы их взаимодействия. Я получал огромное удовольствие от изучения атомов, ядер, электронов, нейтрино, кварков и всех их родственников.

Большое удовольствие также получить посвящение в «современные» теории, такие как квантовая механика или теория относительности, созданные в начале XX в. Это было такое необыкновенное переживание — обнаружить, что материя ведет себя не так, как подсказывает наша интуиция, что элементарные частицы могут быть найдены везде, где угодно, в одно и то же время, и представить себя космическим путешественником, который стареет медленнее, чем его близнец-домосед!

Но будем справедливы: развитие технологий, промышленная революция и вызванное ими резкое изменение образа жизни явились результатами упорного труда двух предыдущих столетий. Паровой двигатель, ставший источником механической энергии, расчет стальных деталей для строительства мостов, зданий или кораблей, изобретение холодильника и двигателя внутреннего сгорания — все эти технические достижения не нуждались в возникновении квантовой механики. Так же как и химия, которую я признаю абсолютно необходимой, но не очень-то в ней разбираюсь…

Множество исследований было посвящено техническим, экономическим и социальным истокам промышленной революции XVIII–XIX вв. С точки зрения физика, поразительно, что эта революция не была вызвана радикальными изменениями в понимании строения материи. Атомы еще не были открыты, материя рассматривалась как гладкая и непрерывная. Она просто проявляла себя в трех различных состояниях: твердом, жидком и газообразном. Вода тому простейший пример.

С материей оказалось возможно связать некоторые интуитивные и некорректно определенные величины: температуру (горячее или холодное), твердость (твердое или мягкое), текучесть (жидкое или вязкое). С точки зрения физика, вся промышленная революция состояла только в том, чтобы лучше определить эти величины и параллельно применить к материи новую математику, открытую в работе Ньютона и Лейбница, а именно исчисление «вариаций», сегодня называемое «дифференциальным исчислением». Таким образом, не спрашивая «Что такое материя?», можно моделировать ее поведение с каждым разом все лучше и лучше, сначала в конкретных случаях, а затем и в общем виде, путем объединения различных моделей.

Упругий, как металл

Опять же, закон Гука — слишком наивная модель: невозможно представить себе более простую зависимость! Действительно, можно привести в качестве примера множество материалов, на которые закон Гука в его простейшей форме не распространяется: например, дерево, в котором появляются продольные трещины, если на него надавить, или камень, который крошится на осколки под сосредоточенной нагрузкой. Но, как и в случае с идеальными газами, природное «колесо фортуны» решило, что закон работает достаточно хорошо для большинства металлов. Мы говорим, что металлы обладают «упругостью»: если мы растягиваем железный брусок, его длина увеличивается пропорционально приложенной силе; если мы прекращаем тянуть, он возвращается к своей первоначальной длине, как пружина.

Признайтесь, звучит наивно, но, используя эту простую модель однородного материала и дифференциальное исчисление, можно предсказать, как стальная балка сложной формы изгибается под нагрузкой и какие силы возникают в структуре, состоящей из таких балок. И все, больше ничего не нужно, ну, почти ничего, чтобы построить Эйфелеву башню!

«Механическая сила огня»^[14]

Дифференциальное исчисление нашло широкую область применения с возникновением и развитием в XIX в. новой науки: термодинамики. Отправной точкой стало изобретение парового двигателя, который мог обеспечить механическую мощность куда б0льшую, чем способны производить человек или животные и даже ветряные либо водяные мельницы. Кроме того, эта мощность может быть обеспечена в небольших или крупных масштабах, на ферме или на сталелитейном заводе и даже на движущемся объекте, например на борту паровоза или корабля.

За первые полвека преобразование тепловой энергии в механическую работу сделалось универсальным и необыкновенно разнообразным. Даже изобрели способ, при котором бы использовалась механическая работа для удаления тепла: нам дали холодильник! Затем применение нефтяного топлива в двигателях внутреннего сгорания еще больше увеличило тягу человека к машинам, вследствие чего сегодня все это сгоревшее горючее теперь находится в атмосфере в виде CO₂…

Тепло, движение, энергия

Используемые в работе машин газы, такие как водяной пар, воздух, и вообще многообразные природные газы и жидкости обладают каждый или каждая своими характерными физическими свойствами, такими как плотность или теплоемкость (этим термином называется количество тепла, необходимое для повышения температуры единицы массы вещества на один градус). Чтобы эффективно применять указанные вещества на практике либо создавать принципиально новые системы, не было необходимости определять физические свойства веществ, исходя из универсальных принципов или микроскопических законов. Важно было создать корректную модель этих физических свойств, которая отличалась бы их независимостью от рассматриваемой системы, а затем с максимальной точностью измерить данные свойства. В те времена никто не знал, почему вода проявляет себя в трех состояниях (лед, жидкость, пар), но можно было точно вычислить, при каких давлениях и температурах она переходит из одного состояния в другое или какое количество тепла требуется для таяния 1 кг льда.

В результате появилась возможность объяснить поведение сложных систем, таких как паровой двигатель, холодильник или компрессор, на основании количественных измерений, проведенных в лаборатории с небольшими количествами вещества. Интуитивные величины, такие как температура и количество теплоты, получали все более и более конкретные определения. Появлялись и новые физические величины вроде загадочной энтропии, введенной в научный обиход во второй половине XIX в. и уже не имевшей интуитивного «бытового» объяснения.

Теория, которая сопровождала эти разработки, стала называться термодинамикой. С точки зрения современного физика, изучающего фундаментальные свойства материи или физику элементарных частиц, это на самом деле не теория: она не пытается объяснить мир, используя только уравнения, а скорее феноменологически описывает его. Математический аппарат данной теории был, по существу, неким упрощенным дифференциальным исчислением: чаще всего использовались линейные дифференциальные уравнения, что означает простую линейную зависимость между вариациями, или приращениями, связанных величин.

Для примера давайте рассмотрим небольшое количество водяного пара и измерим, как будет изменяться его давление при нагревании либо увеличении объема. Нам необходимо быть осторожными с определениями: мы нагреваем и позволяем объему увеличиваться или этот объем остается постоянным? Может быть, мы изменяем объем и позволяем температуре расти или мы сохраняем температуру постоянной с помощью внешнего теплового резервуара? И помимо дифференциального исчисления: а как насчет нелинейных систем?

Опять же термодинамика не мой конек, и все время, когда я получал свое образование, меня немного настораживали эти длинные ряды уравнений, управляющие давлением, объемом, температурой, энергией и энтропией… Мне приходилось скрупулезно изучать, как их использовать на практике, а также некоторые приложения к ним, но я редко видел глубокий смысл во всем этом. Меня постоянно мучили вопросы: почему эта величина объявлена постоянной? почему здесь только одна переменная?

Сегодня я могу с легкостью найти на просторах интернета курс термодинамики, написанный моим коллегой и другом^[15], и прочесть в нем следующее:

«Это чрезвычайно сложное теоретическое приложение показывает, как можно вывести термодинамические соотношения практически без понимания их физических основ…»,

— что заставило меня искренне улыбнуться, вспомнив мои первые контакты с «Термо», как мы ее называли.

К счастью для меня, в дальнейшем мы изучали статистическую физику, которая объясняла все эти неведомо откуда взявшиеся формулы как результат коллективного движения большого числа атомов (или молекул), а затем проясняла и смысл некоторых физических величин. И все же, несмотря ни на что, эта полуэмпирическая, трудоемкая и «нефундаментальная» термодинамика все еще позволяет проектировать автомобильные двигатели (не электрические), холодильники и кондиционеры.

Глядя на законы Бойля-Мариотта или Гука, я снова очаровываюсь простотой этой интеллектуальной конструкции. Все ли в природе можно описать простыми отношениями пропорциональности? На самом деле существует невероятно много разделов физики, которые можно назвать «сложными», где переменные не пропорциональны друг другу. Их называют нелинейными, и иногда это очень сильно заметно: малое изменение одной величины приводит к огромному изменению другой.

Во всяком случае, интуиция любого человека (ученых это тоже касается) основана на простых отношениях: я тяну в два раза сильнее — пружина растягивается вдвое сильнее; я иду в два раза быстрее — путь домой займет у меня половину времени; я покупаю в два раза больше вещей — и это будет стоить мне в два раза больше. Хотя в последнем случае у всех есть хорошее представление о «нелинейности», так как если я покупаю в два раза больше вещей, то могу надеяться на скидку.

Какие граничные условия эти простые соотношения накладывают на наш способ видения мира? Можем ли мы на самом деле осознавать нелинейность и сложность? Конечно, средства массовой информации не помогают освободиться от линейного мышления: они любят представлять всю экономику и даже жизнь в целом в процентах. От уровня безработицы до романтических встреч, от потребления газировки до чтения книг, действительно ли проценты отражают реальность?

Глава 7 Уравнение Навье-Стокса

Сэстетической точки зрения это, без сомнения, «красивое уравнение». Вы можете оценить «высокий стиль»: несколько греческих букв, пара очень элегантных д и несколько очень странных символов— «набла» для посвященных. Когда это уравнение было выведено в начале XIX в., оно записывалось несколько иначе; современная нотация появилась ближе к началу XX в. Современный способ записи обеспечивает компактную и элегантную форму для набора уравнений, которые в ином случае выглядели бы практически одинаковыми.

Казалось бы, это уравнение «теоретическое» и позволяет прикоснуться к глубинным основам мироздания, однако в действительности оно все еще считается «описательным», в основном сводящимся к адаптации закона Ньютона F = ma для жидкостей^[16]. Классическая механика Ньютона описывает движение твердых объектов, не меняющих свою форму, таких как планеты, или траекторию идеальных пушечных ядер без учета сопротивления воздуха. В этом случае предполагается, что объект испытывает действие сосредоточенных сил, изменяющих его движение.

Но как законы механики можно применить к жидкости, которая является непрерывной и подвижной средой в каждой своей мельчайшей части? Все элементы жидкости постоянно взаимодействуют и оказывают давление друг на друга, внешние силы передаются давлением или через контакт, и силы в жидкости действуют в любой точке, занятой ей. Для описания поведения подвижной и связной среды представляется необходимым получить сведения о ней во всех ее точках одновременно, вводя в описание скорость в каждой точке и все силы, действующие в этих точках.

Физики на поле битвы…^[17]

Если какая-либо физическая величина может быть осмысленно приписана некоторому непрерывному в пространстве множеству точек, то определенная таким способом величина на языке физиков называется «полем»; итак, мы говорим о полях скоростей, сил и т. д. Уравнение «механики жидкости», подобное приведенному выше, выражает тот же самый закон Ньютона F = ma, но только для полей скоростей и сил в объеме, занятом жидкостью. С фундаментальной точки зрения в уравнении Навье-Стокса нет ничего более нового, ничего бóльшего, чем F = ma. Однако на практике это было важным шагом, поскольку живая материя непрерывна. Газы и жидкости, которые передают энергию машин, воздух, который поддерживает самолеты, вода, которая сопротивляется движению кораблей, — все эти среды нельзя представить в виде конечного числа недеформируемых точечных объектов, таких как артиллерийские снаряды или планеты. Чтобы описать поведение жидкостей и газов, нам нужно знать, как применить закон Ньютона к непрерывному набору материальных точек.

Вот почему у меня есть неоднозначное чувство к этому уравнению (и его двоюродным братьям): мне больше всего нравятся уравнения, которые меняют фундаментальные основы описания природы, но здесь это не так. Несмотря на его впечатляющий внешний вид, все его греческие буквы и эзотерический оператор «набла», лежащая в основе этого уравнения физика проста — это второй закон Ньютона. Красота заключается в приложении уравнений на практике: математика позволяет согласованно управлять движением всех этих точек. В конечном счете, что прекраснее в уравнении: лежащая в его основе элементарная физика или результаты его применения в конкретной области?

Мы видим, что в этом описании непрерывной материи начинают появляться «поля»: уравнения механики описывают уже не движение материальных точек, а изменение физических полей. Понятие «поле» окажется невероятно плодотворным во всех областях физики: поле температур, электрическое и магнитное поля, поле вероятности, и, в конце концов, возникнет квантовая теория поля, где поле и частица станут единым целым.

Уравнение, которое трудно покорить…

Исторически эволюция «механики подвижных сред», или гидродинамики, происходила практически одновременно с эволюцией термодинамики, начинаясь с уравнений для простейших частных случаев, а затем переходя ко все более и более обобщенному описанию физических законов. При этом с каждым разом измерения физических свойств самих жидкостей (плотность, вязкость) становились точнее, и разрабатывались приложения общей теории ко все более разнообразным системам от течения потоков воды по пожарным рукавам до самолетных крыльев.

Даже удивительно, что уравнения Навье-Стокса имеют так много практических приложений, несмотря на то что сами эти уравнения очень плохо поддаются решению! Без компьютера, располагая только бумагой и ручкой и используя самые примитивные математические методы, оказалось возможным найти решения лишь для самых простых, идеализированных случаев, которые весьма далеки от реальности. Поток воды, несущийся вниз с горы, действительно подчиняется уравнению, но очевидно, что вряд ли возможно более или менее подробно описать все завихрения этого потока на одной странице блокнота или даже на многих страницах… Но это еще не самое плохое. Гораздо хуже то, что математики пока не ответили на вопрос, всегда ли уравнения Навье-Стокса имеют единственное решение^[18]? И даже если это решение существует и является единственным, будет ли решение, найденное для изначально «спокойной» жидкости, правильно описывать ее долгосрочную эволюцию? Или моделируемое поведение станет совершенно непредсказуемым? Таким образом, еще до появления компьютеров физики и инженеры упорно трудились над поиском приближений, которые позволили бы рассчитывать реальные практические случаи и создавать сложные машины. Инженеры XIX и первой половины XX в. творили чудеса в проектировании кораблей, самолетов и даже ракет, но они должны были закладывать в свои конструкции большой запас прочности, а также испытывать небольшие модели в лабораториях. В противоположность сегодняшней практике многие простейшие объекты для повседневного использования были разработаны эмпирически, безо всяких расчетов.

От фанерных моделек до суперкомпьютеров

Когда я еще был ребенком, отец рассказывал мне о бассейнах для тестирования моделей кораблей — это была работа мечты в представлении маленького мальчика: я воображал себе серьезных инженеров, которые проводили долгие дни, запуская чудесные модели кораблей в красивом бассейне… Реальность оказалась менее живописной и более технической. Компьютеры, а точнее развитие численных методов, произвели революцию в этой области. При использовании численных вычислений никто больше не пытается решить уравнение с помощью формул «на бумаге». Создается модель вязкой среды, разделенной на небольшие объемы, как будто это пиксели в трехмерном пространстве. Начиная с известных заранее начальных условий, заданных скоростями жидкости в каждом «пикселе», мы рассчитываем ее эволюцию для следующего момента времени с небольшим шагом, проверяя, что уравнение с некоторой точностью выполняется для этого небольшого шага. И таким образом мы повторяем процесс много раз подряд.

Виртуальная жидкость ведет себя почти так же, как и настоящая. В ней развиваются вихри, возникают волны… Конечно, существует много различных тонкостей, связанных с численным моделированием. Например, меньший размер микрообъемов и более короткий временной шаг обеспечат б0льшую точность, но потребуют выполнения немалого числа операций на каждом расчетном шаге, следовательно, больше времени и более мощного компьютера. Еще один важный вопрос: является ли приближенное уравнение, используемое при каждом шаге, верным во всех точках микрообъема? Верно ли оно на всех временах, на каждом шаге?

Удивительная мощность современных компьютеров (несколько миллиардов операций в секунду — для настольной рабочей станции; несколько миллионов миллиардов — для крупных вычислительных центров) позволяет выполнять численные расчеты для широкого спектра приложений. Таким образом, инженеры могут понять, как полетит самолет без создания модели «в железе». Практически все условия полета можно протестировать на виртуальных моделях в самых различных вариациях перед тем, как проводить реальные испытания самолета в небе^[19]. Испытания в аэродинамической трубе все еще используются, но лишь для проверки расчетов для небольшого числа конфигураций и изучения некоторых случаев, которые с трудом поддаются имитации. При достаточной вычислительной мощности можно также рассчитать поведение системы в режиме реального времени и построить настоящий симулятор полета для тестирования воздушного судна и обучения пилотов. Численные расчеты произвели революцию в работе инженеров почти во всех областях, но, возможно, в наибольшей степени — в гидродинамике. Теперь никаких неприятных сюрпризов, когда летчик-испытатель взлетает в первый раз!

Глава 8 Уравнения Максвелла

Это четыре связанных между собой уравнения, которые описывают поведение двух чисто электрических полей, обозначаемых E и D, и двух полей, связанных с магнетизмом: B и H, а также взаимодействие этих полей с электрическими зарядами р и токами J. Также второе из этих уравнений постулирует, что магнитных зарядов не существует. Они распадаются на две подсистемы уравнений: первые два, называемых уравнениями электро- и магнитостатики; и связанные между собой два последних уравнения, описывающих взаимодействие электрического и магнитного полей, например изменение магнитного поля может вызвать электрический ток.

У истоков современной физики стоит несколько независимо открытых отдельных законов: закон Ампера, закон Ленца и др., каждый из которых описывает какое-то одно из электромагнитных явлений. Сила и красота уравнений Максвелла состоят в том, что эти законы были объединены в систему, которая применяется ко всем электрическим и магнитным явлениям. Они придали полный смысл абстрактному понятию «поле», о чем мы говорили в предыдущей главе. Напомню, что поле — это некая математическая абстракция, обозначающая физическую величину, принимающую одно или несколько значений в каждой точке пространства.

Возьмем, к примеру, электрическое поле: оно может быть создано электрическим зарядом, и в некотором смысле оно представляет влияние этого заряда в том или ином месте пространства.

Творческие уравнения

Понимание этих уравнений требует основательного знания математики. Нужно быть знакомым с понятиями дифференциала поля по времени и по пространству, дивергенции или циркуляции, скрывающейся за символом, или «набла». В любом случае эти уравнения весьма изящны, так как они одновременно выражают геометрические свойства полей и их превращение друг в друга, когда подвергаются изменениям во времени.

Практическое применение таких отдельных законов, как закон индукции, законы, связывающие заряды и токи, мы можем встретить повсеместно: в электростатических приборах, в виде электромагнитов в генераторах, электродвигателях и т. д. Но уравнения Максвелла являются для меня первым примером творческих уравнений: они содержат намного больше того, для чего были написаны. Действительно, прямым следствием этих уравнений оказываются электромагнитные волны, о которых во времена Максвелла не было известно ничего и которые были открыты гораздо позже. От радиоволн до ультрафиолета, включая микроволны и видимый свет, их распространениеподчиняется уравнениям Максвелла. Связь электромагнитных волн с зарядами и электрическими токами позволила открыть ионосферу и четвертое состояние вещества — плазму, а также создать радиопередатчики и радиоприемники (включая современные смартфоны), радары и поляризованные фильтры и многое другое.

Библия электромагнетизма

Короче говоря, эти уравнения изящны и, я бы сказал, даже полезны. У меня они вызывают чувство преклонения, во-первых, из-за их статуса интеллектуального памятника, а во-вторых, из-за впечатляющего внешнего вида: четыре уравнения, как четыре фасада храма, исписанных загадочными иероглифами д и символами, украшающими фризы и капители. Я помню волнующее ощущение от посвящения в электромагнетизм, как если бы это была религия, с уравнениями Максвелла, воздвигнутыми как столпы Хаммурапи.

И погружение в культ: сначала даются легкие упражнения, где мы применяем уравнения в самых простых случаях, например чтобы вывести законы Ампера или Ленца. Это элементарно. Затем идут более сложные задачи, реализующие всю мощь этих уравнений, требующие более сложного взаимодействия каждого из их членов…

И конечно, у этой религии была своя Книга: «Классическая электродинамика» Джона Дэвида Джексона. Впервые изданная в 1962 г., а затем переизданная дважды с добавлением новых глав и упражнений, она стала библией электромагнетизма. Тем более что этот классический учебник содержит основы электричества (Ветхий Завет), возвышение посвященных (Новый Завет — уравнения Максвелла) и даже многие эзотерические разработки для секты просветленных (Каббала).

«Классическая электродинамика» ни в коей мере не является простой книгой для чтения. Она предназначена для смелых студентов/монахов, которые готовы потратить массу времени и сил для изучения электромагнетизма. Еще до начала погружения в электрическую пучину надо преодолеть дополнительный защитный вал, потому что вместо привычной со школы международной системы единиц (система с такими единицами измерения, как метр, секунда, ампер, вольт) в этой книге используется «устаревшая» система единиц Гаусса (обозначается «СГС» — от сантиметр, грамм, секунда). В гауссовой системе единиц вид уравнений Максвелла немного отличается от их же вида в системе СИ^[20].

В более поздних изданиях появилась страница с таблицей перевода величин из одной системы единиц в другую. По своему опыту скажу, что эта таблица преобразования — всего лишь еще одно испытание, очень похожее на тонзуру неофита. Получив в результате расчета магнитного поля, создаваемого батареей фонарика в катушке из трех витков медного провода, величину, многократно превышающую магнитное поле вращающейся черной дыры, человек внезапно становится скромнее.

В конце каждой главы Джексоном были добавлены поучительные задачи. Согласно легендам, некоторым сверхлюдям удалось решить их все. Я предполагаю, для того чтобы узнать друг друга, они используют секретный знак, например каким-то особым способом загибают пальцы во время рукопожатия или тайно обмениваются паролями во время тривиального разговора. Знак, не иначе, можно обнаружить при завершении ужасного решения последней задачи в одной из глав. Или, может быть, предпоследней: было бы слишком легко сделать все последние. Эти задачи очень сложны… я решил далеко не все и не получил даже намека на тайное знание или посвящение в масоны. Я был знаком с некоторыми потрясающими физиками старой школы и думал: «Может быть, он или она смогли решить их все?» Но как можно спросить об этом, не обидев другого человека и не унизив себя: «А ты решил ту задачу в “Джексоне”?»

В принципе, Джексон рассматривает только классический электромагнетизм, не учитывая квантовых явлений. Поля, физические объекты и уравнения сохраняют полную строгость и чистоту уравнений Максвелла и не проваливаются в квантовое зазеркалье с нечеткими контурами и неопределенными предсказаниями. Или нет? В нескольких случаях он проникает в квантовый мир, блестяще отделяя то, что действительно квантово, от того, что таковым не является, получая некоторые результаты, которые всегда представлялись квантовыми на основе классической теории. Настоящее искусство, как разглядеть Веласкеса на картине Дали или прочесть Пушкина в романе Гоголя…

Хитрый Z ⁰

В 1983 г. я проходил студенческую практику, участвуя в эксперименте UA2, в котором изучались столкновения протонов и антипротонов на коллайдере SppS^[21] в ЦЕРНе. Целью эксперимента UA2, так же как и конкурирующего эксперимента UA1, был поиск элементарной частицы Z⁰ (нейтральный бозон), существование которой было предсказано одной модной в те годы теорией^[22]. Среди прочего он способен распадаться на электрон-позитронную пару, две стабильные частицы, которые могут быть идентифицированы и измерены нашими детекторами. Все, что нам оставалось, — это найти такой распад.

Неожиданно в нашем эксперименте UA2 среди множества столкновений обнаружилось событие, которое содержало электрон и позитрон… но, кроме них, сопровождалось еще и высокоэнергетическим фотоном, хорошо отделенным от двух других частиц. Тут же вся наша «коллаборация» — команда, ответственная за эксперимент UA2, - переполнилась неким волнением. Был ли это уже Z ⁰? Но что тогда за дополнительный фотон? Может ли это событие быть признаком экзотической, новой и неожиданной частицы, такой как возбужденный электрон? Или это был «обычный» Z ⁰, распад которого сопровождался внутренним излучением, эффект, наблюдавшийся ранее и при распаде других частиц? Теперь нам требовалось рассчитать, какова вероятность того, что истинный Z⁰ может таким образом распадаться на электрон и позитрон с испусканием фотона?

Никто из нас не был сразу готов к такому вопросу и, более того, не имел на руках готового расчета. По общему признанию, квантовая теория поля позволяла рассчитать эту вероятность, но у нас тогда не было программ, которые мы имеем сегодня, которые могут произвести такой расчет почти автоматически. Нам оставалось сделать это самим. Расчет немного сложен, и он требует некоторой практики, чтобы быть уверенным, что ты не потерял нигде множитель 2 или п. Но один из нас (я или мой научный руководитель) вспомнил, что читал у Джексона что-то похожее на эту тему. Великий Джексон даже подчеркивал, что результат расчета является универсальным и не зависит от деталей процесса.

Адаптация расчета в книге Джексона к нашему случаю не заняла много времени. Самым муторным делом стал пресловутый перевод из одной системы единиц в другую. Результат поначалу получился довольно неожиданным: такого рода событие оказалось вполне возможным в нашем эксперименте с вероятностью наступления порядка нескольких процентов. Наиболее вероятной гипотезой было то, что мы действительно обнаружили наш первый Z⁰, но это сыграло с нами небольшую шутку. Через несколько дней появилось подтверждение этой вероятности, полученное с помощью методов квантовой теории поля, а затем в течение нескольких последующих месяцев мы наблюдали при эксперименте несколько простых и красивых событий с распадом бозона Z ⁰. Аналогичное подтверждение пришло и от конкурирующей коллаборации UA1. Наши труды не пропали даром: Нобелевская премия была присуждена руководителям двух экспериментов: Карло Руббиа и Симону Ван дер Мееру, однако это уже другая история.

Сам Джексон (умер в 2016 г.) был отличным физиком за пределами своей книги, но он так и не получил Нобелевской премии. И действительно, ничего из того, что он написал, нельзя было отнести к революции в физике. Тем не менее я думаю, что в этой книге проявился гений первоклассного мастера. Уравнения Максвелла — это золото, а Джексон был и остается их лучшим ювелиром.

Глава 9 Эквивалентность материи и энергии

E = mc²

Слева — энергия, справа — масса, умноженная на квадрат скорости света. Это уравнение постулирует эквивалентность между массой и энергией (позднее я постараюсь показать, что именно это означает) и стало одним из первых пробных камней теории относительности Эйнштейна. Теории, совершившей революцию в нашем понимании взаимоотношений материи, пространства и времени.

Между уважением и трепетом

Как случилось, что такое простое уравнение сделалось символом современной физики?

Существуют логические причины: личность первооткрывателя, его научная дальновидность, да и сам смысл теории относительности, произведшей научную революцию.

Однако, помимо столь важных и осязаемых причин, данное уравнение явилось символом нашего понимания возможности высвобождения той грозной энергии, которая проявляется в ядерных реакциях, и оно одним из своих первых практических последствий имело создание атомной бомбы.

Таким образом, E = mc² наполняет нас уважением, смешанным с благоговением, очень похожим на страх перед божеством, указанным в Ветхом Завете. Контраст с популярным образом добродушного и почти комического Альберта Эйнштейна только усиливает наше чувство тревоги. Как мог этот доброжелательный и шутливый дед стать одним из пророков и апостолов священного огня, предложив немногим избранным владеть оружием, мгновенно испепеляющим миллионы невинных людей^[23]?

Странные отношения между пространством и временем

Когда Эйнштейн сформулировал это уравнение в 1905 г., ему было всего 26 лет, и он выглядел простым и вполне симпатичным молодым человеком. Грязные волосы появились только в 1920-х гг., а взгляд «дружелюбного сумасшедшего ученого» — в 1930-х. Но все это еще слишком далеко отстояло от классического равенства: грязные волосы = сумасшедший ученый = непризнанный гений = чудовищные и непредсказуемые последствия.

На заре XX в. в течение более чем 10 лет уже была открыта и сделалась известной радиоактивность; фундамент теории относительности в значительной степени тоже был заложен. Фактически и уравнения Максвелла (см. главу 8) неявно оперировали одним из постулатов теории относительности, а именно тем утверждением, что скорость света в вакууме является постоянной величиной и имеет одно и то же значение независимо от системы отсчета, в которой она измеряется^[24]. Теоретик Хендрик Лоренц смог прочесть зашифрованные в уравнениях Максвелла скрытые смыслы и вывести свои формулы, известные как «преобразования Лоренца», выражающие странные отношения между пространством и временем.

Анри Пуанкаре также заметно продвинулся на этом пути, но его остановила стена из собственных научных предубеждений. Он, будучи титаном науки, заметил, что из уравнений следует замедление времени и сокращение расстояний при движении с большой скоростью. Но как такое могло быть возможно? Пуанкаре ясно представил перспективу решения столь щекотливой проблемы, но не стал развивать идею дальше, полагая, что имеет дело с математическим курьезом и что «настоящая» физическая реальность описывается совершенно другими уравнениями.

Верить по-настоящему…

На этом этапе гениальность Эйнштейна состояла в том, чтобы всего лишь поверить в теорию. В тот момент весь математический аппарат этой теории уже существовал, достаточно было найти правильные слова и постулировать, что эти формулы действительно описывают реальность.

Один маленький шаг и… непосредственным следствием стало E = mc². Интересно, Эйнштейн уже искал объяснение радиоактивности, когда получил это уравнение, или понимание его связи с ней пришло гораздо позднее? Может быть, он просто пытался расширить работу Лоренца и Пуанкаре? Или это явилось результатом его собственных размышлений о пространстве и времени? Было ли важно для этой работы, что в это время Эйнштейн работал на швейцарских железных дорогах и отвечал за их синхронизацию?

Кто является «истинным» творцом новой теории: человек, который строит модель, не веря в ее реальность, воспринимая все как математический парадокс, или тот, кто верит в теорию и ищет именно те математические формулы, которые дадут нужный результат? Мы начинаем строить модель только для того, чтобы описать экспериментальные факты. И вдруг случается так, что именно эта модель дает совершенно иное видение окружающего нас мира.

В современной физике мы знаем несколько таких случаев: Макс Планк и его константа, Эйнштейн и теория относительности, Дирак и его уравнение, — о чем в этой книге будет рассказано позже. Эти «скачки понимания» относятся к философии науки. Однако и для простого физика-экспериментатора, такого как я, знание великих примеров становится стимулом к сохранению ума открытым для принципиально новых концепций.

В своей работе ученые не изобретают каждый день новую теорию мироздания, и каждую неделю не обнаруживается новый яркий неожиданный эффект. Но мы смотрим на любые экспериментальные и теоретические результаты с острым любопытством: как новый результат соотносится с тем, что я уже знаю? Это важный эффект или второстепенный? Большинство из нас не станет новыми Эйнштейнами или Дираками, но даже на нашем скромном уровне важно иметь свою собственную модель мира, свою личную последовательную позицию, с помощью которой можно оспаривать как собственные результаты, так и результаты других. Все, как в старые добрые времена: знай то, что знаешь, и понимай, чего не знаешь…

Энергия Солнца…

Соотношение E = mc² открывает возможность использования чудовищной энергии (громадной в масштабе частицы), высвобождающейся в радиоактивных распадах. Частица с массой M распадается на две частицы с массами m₁ и m₂, причем сумма масс m₁ + m₂ меньше M. Разница в массе между начальной массой M и конечными массами частиц m₁ + m₂ превращается в энергию:

E = [M — (m₁ + m₂)]c².

Скорость света с — очень большая величина, поэтому, несмотря на мизерность масс атомов, выделяемая в ядерных реакциях энергия огромна по сравнению с энергией химических реакций.

Одним из непосредственных и поразительных следствий формулы Эйнштейна стало понимание того, почему светит Солнце. Пока без многих важных подробностей (для них потребуется полувековая эволюция ядерной физики), но формула открыла ученым глаза на существование нового мощнейшего источника энергии, который мог бы позволить нашей звезде производить огромное количество энергии, причем в течение длительного времени!

Примерно в конце XIX в., учитывая известные источники энергии (химические реакции, гравитационный коллапс) и зная массу Солнца, его возраст можно было бы оценить не более чем в несколько миллионов лет^[25]. Этот действительно парадоксальный вывод сделался предметом острой дискуссии о возможном возрасте Солнечной системы и Земли. Чарльз Дарвин наблюдал окаменелости и геологические отложения и определил возраст Земли как минимум равным нескольким сотням миллионов лет, что казалось достаточным для объяснения естественной эволюции видов и строения осадочных пород. Но физики (среди которых был и лорд Кельвин) утверждали, что такая продолжительность горения Солнца на энергии химических реакций была невозможна. Отсюда вытекает, что в то время физики выступали против дарвинизма. Довольно странная ситуация, если смотреть на это глазами наших современников!

Как только Анри Беккерель открыл радиоактивность, была выдвинута следующая гипотеза: радиоактивный распад может давать энергию звездам, включая Солнце. Но это именно та самая формула E = mc², и расчеты подтвердили, что это может дать удовлетворительное объяснение наблюдаемой продолжительности жизни звезд. После череды замечательных достижений в ядерной физике был открыт механизм ядерного синтеза. Теперь расчет времени жизни звезд опирался на строгую количественную основу. И в 1920 г. сэр Артур Эддингтон сделал следующее заявление:

«Если действительно субатомная энергия в звездах свободно используется для поддержания горения их гигантских печей, то это, кажется, немного приближает нас к осуществлению мечты о контроле этой скрытой силы для процветания человеческой расы — или для ее самоубийства».

…и атомной бомбы

Применение уравнения E = mc² ограничивалось теоретическими и экспериментальными исследованиями в области фундаментальной теории элементарных частиц вплоть до 1938 г., когда Отто Ган и Лиза Мейтнер^[27] (с помощью Фрица Штрассмана и Отто Фриша) обнаружили спонтанное деление ядер атомов урана. Затем было открыто, что существует возможность возникновения цепной реакции деления ядер, которая практически одномоментно способна вовлечь в процесс деления большое количество атомов, содержащихся в нескольких килограммах урана или плутония, высвобождая огромное количество энергии. Это уже относилось не к абстрактной теории микроскопических частиц или бесконечно далеких звезд; такая реакция могла быть запущена человеком с использованием вполне доступных в природе элементов, таких как уран, и тем самым открыть путь к высвобождению гигантской энергии из крошечного количества материи.

Чтобы понять, о каком масштабе энергии идет речь, замечу, что энергия по формуле Эйнштейна, запасенная в куске угля, если бы только ее удалось высвободить, примерно в миллион раз больше энергии, которая может быть получена при сжигании того же куска. Возможность применения энергии ядерного распада для создания оружия была замечена почти сразу и повсеместно.

Стало ли случайным совпадением то, что данное утверждение было сделано во время чрезвычайно беспокойных политических потрясений в самом центре катастрофы и в ее культурном сердце, в то время как многие авторы подобных открытий, такие как Альберт Эйнштейн и Лиза Мейтнер, подвергались смертельной опасности^[28]? Можем ли мы думать, что разум и мораль работали (на этот раз) вместе, чтобы победить мракобесие и варварство? Кстати, не исключено, что в других случаях они сговорились склонить чашу весов в другую сторону. И если да, то когда?

Все остальное — известная история: призыв Эйнштейна к Рузвельту, чтобы убедить его создать атомную бомбу раньше нацистской Германии, сверхбыстрое развитие «Манхэттенского проекта» в США и, конечно же, ужасный конечный результат в Хиросиме и Нагасаки. Во время первого ядерного испытания (так называемого «Тринити») Оппенгеймер, один из физиков, руководивших американской бомбовой программой, вспомнил отрывок из Бхагавад-Гиты: «…ярче тысячи солнц»^[29]. И этим было сказано все.

Эта история навсегда пометила E = mc² и вместе с тем ядерную науку, а в свою очередь и всю науку, как первородный грех. И теперь стали возможны любые страхи, фантазии и различные манипуляции. Мы должны найти способ увидеть произошедшую историю со стороны, если, конечно, готовы честно отвечать на новые вызовы, встающие перед научной этикой. В любом случае, эту поучительную историю должны помнить и знать каждый физик, и, наверное, каждый ученый^[30].

Глава 10 Уравнение Шредингера

Квантовая механика… Сколько юных физиков грезило ею, и я, естественно, был в их числе. Дверь в зыбкий, поэтический мир, полный случайностей и флуктуаций… полный волшебных тайн: частицы, летящие по всем траекториям одновременно, которые не останавливаются даже перед стеной, и, конечно же, коты, которые одновременно и живы, и мертвы. Я всегда ненавидел этот образ несчастного старого кота Шредингера. Что за странная мысль пришла тебе в голову, Эрвин, ведь можно же было выбрать менее раздражающий пример?! В некоторых учебниках встречаются наложенные друг на друга рисунки бойкого кота и жалкого трупа. Во время публичных выступлений я всегда использую образ Чеширского Кота из «Алисы в Стране чудес», который появляется или исчезает, оставляя после себя лишь улыбку. Подозрительно квантовый кот на самом деле, появившийся задолго до того, как были написаны соответствующие уравнения…

Не живой и не мертвый кот Шредингера по-прежнему остается предметом изучения для физиков и объектом многих радикальных фантазий среди непосвященной публики. Но уравнение австрийского физика радикально изменило наше представление о материи. Конечно, квантовая теория, как и все уравнения и теории, не родилась из ничего. Еще до того, как она была сформулирована и написаны ее уравнения, Планк, Эйнштейн и Луи де Бройль уже интерпретировали — в самом начале XX в. — экспериментальные наблюдения в терминах «квантовой механики», но это был скорее набор правил, позволяющих описать результаты, а не другое видение материи.

«Пси» — это «психо»?

Уравнение Шредингера впервые однозначно постулировало, что материя ведет себя совершенно иначе, чем нам указывают наши чувства. И это действительно (и самым потрясающим образом) так и есть! Следите внимательно за руками: все физические объекты^[31] — это не частицы, а «волновые функции» (ψ в уравнении). На практике это некие математические функции, зависящие от координат и времени и принимающие комплексные значения, модуль которых (их «длина») означает вероятность нахождения частицы в точке с соответствующими координатами в данный момент времени, а не где-то еще. Энергия больше не числовая величина, а математический оператор (H в уравнении), который каким-то образом меняет результат измерения при его проведении. Добавьте к этому таинственную постоянную Планка h и мнимую единицу i (знаменитое комплексное число, такое, что i² = -1, которым очень любят путать старшеклассников), и в вашем распоряжении все ингредиенты, необходимые для столь мистического, почти философского уравнения. Неудивительно, что сам Шредингер стал адептом ведических исследований!

Кстати, волновая функция обозначена греческой буквой ψ, которая читается как «пси»! Странная коннотация, которая способствует опасному столкновению между квантовой механикой и психикой. И вправду верно, что наблюдатель играет центральную роль в квантовой механике, поскольку именно наблюдение за измерением определяет состояние системы. Человек и его сознание находятся в центре современной физики, и все это является источником распространенных и элегантных вопросов, которые выходят далеко за рамки данного текста^[33].

Однако наивное сходство между ψ и «психо» также допускало всевозможные вольные трактовки и злоупотребления. Таким образом, мы, к сожалению, сделались свидетелями того, как несчастная квантовая теория использовалась в качестве кладези терминологии для всевозможной выдуманной чуши: паранормальных явлений, «квантового человека», «квантовой психологии и терапии» — ученик Лакана даже написал «квантовая (sic) формула сексуализации»! В этих бреднях все становится возможным благодаря действию «пси» или «психо»: сгибание чайных ложек силой мысли, исцеление страшных болезней и т. д.

Я должен, к сожалению, признать, что физики иногда являлись преднамеренными соучастниками частых ошибок, но больше из-за юмора, чем по злому умыслу. Например, среди профессионалов серьезно говорят о «квантовой телепортации». Возможно, им стоило бы, в конце концов, объяснить общественности, что речь идет не о том, чтобы провести выходные на другом конце галактики, а о воссоздании особого квантового состояния довольно простой системы из одной-единственной частицы «всего лишь» с помощью передачи информации. Разумеется, можно выбрать другое название, но это выглядело слишком соблазнительным!

Первое квантовое головокружение

На самом деле нет никакой необходимости в каких-либо двусмысленных «пси» или «психо» либо телепортации, чтобы почувствовать квантовое головокружение. Студенты сначала изучают уравнение Шредингера в университете. Поскольку им мало что известно об истории наук (по крайней мере, во Франции) и недостаточно времени предоставляется, чтобы познакомиться со всеми экспериментами и той линией теоретических рассуждений, которая их предваряла, думающие студенты вполне обоснованно задаются вопросом: как Шредингер открыл это уравнение буквально на кончике пера? Однако само по себе данное уравнение очень простое, поэтому первый практический расчет можно выполнить довольно быстро.

Пример № 1. В некоем материале высверливается небольшое отверстие, на дне которого находится частица (или просто очень маленький шарик). Необходимо рассчитать движение частицы. Если правильно подставить все константы и корректно определить переменные, решение уравнения окажется элементарным. Результат немного странный, но вполне понятный: решения, в котором эта частица неподвижна, просто не существует. Наименьшее допустимое движение — это не ноль (или неподвижность), а легкое колебание на дне скважины.

Затем следует еще один сюрприз: если мы захотим увеличить амплитуду движения, то не сможем выбрать ее произвольно, так как она должна быть кратна некой минимальной амплитуде: в два раза больше, в три раза больше и т. д.

Ну, действительно немного странно, хотя, казалось бы, в названии курса говорилось об этом: раз речь идет о квантовой механике, можно ожидать сколько угодно чудес. Однако ничего революционного: амплитуды движения квантуются, вместо того чтобы изменяться непрерывно, как в классической механике. Но и это еще не столь великое потрясение, которого ожидали студенты! Что обнадеживает: ситуация представляется довольно знакомой, не такой уж далекой от «классической»…

Пример № 2. Рядом (или не очень) с первым отверстием высверливается второе. После чего частица опускается на дно первого, как в примере № 1. Решение этой задачи ненамного сложнее первой, и в результате получается формула для вероятности нахождения в первом отверстии, которая выглядит чуть сложнее. Затем следует продолжение задачи: нужно вывести вероятность нахождения частицы во втором отверстии. Мы тщательно вычисляем и вдруг обнаруживаем, что… эта вероятность не равна нулю. Опять проводим все вычисления, дабы проверить, что ничего не забыли и не перепутали параметр или знак. Но нет: помещая частицу в отверстие (1), существует ненулевая вероятность найти ее в отверстии (2).

Все просто и понятно. Нет никакой «классической» аналогии или интуиции, на которую можно было бы опереться: добро пожаловать в квантовый мир!

Этот контринтуитивный мир…

На данном этапе мы можем лишь на какое-то время остановиться, пытаясь осознать, что реальность является квантовой, и постараться построить новые интуиции. Это очень трудно, так как новая реальность вовсе не соответствует тому, о чем нам хотят донести органы чувств. Причем настолько не соответствует, что требуются годы практики только для того, чтобы не наговорить слишком много лишнего…

Вам наверняка встречались задачи «с подковыркой», которые часто встречаются в научно-популярных журналах или на олимпиадах для школьников. Цель их состоит в том, чтобы повысить уровень интуитивного понимания проблемы читателями, задав им, казалось бы, простой и однозначный вопрос. Например, такой: в бассейне плавает лодка с человеком и тяжелым, плотным камнем на борту. Уровень воды в бассейне при этом известен и отмечен. Человек бросает камень в бассейн. После того как разойдутся круги на воде, снова измеряется уровень воды в бассейне. Повысится или понизится этот уровень по сравнению с тем, что был до того, как бросили камень^[34]? Для физика такое упражнение кажется элементарным, но это не относится к его квантовому эквиваленту…

Я не специалист, чтобы разбираться во всех тонкостях квантовой механики, однако изучал ее достаточно глубоко. Мне постоянно приходится использовать основы данного раздела физики в своей повседневной работе с элементарными частицами. Однако если кто-либо из экспертов предложил бы мне аналогичный тест в его квантовой версии, я не был бы уверен в правильности ответа без проведения реальных вычислений. И это притом, что в связи с ежедневными занятиями моя жизнь частично проходит в квантовом мире. Однако данное знание зыбко и непрочно: сила интуиции, диктуемая нашими чувствами и повседневным опытом, непреодолима, а здравый смысл может быть каким угодно, только не квантовым!

Множество приложений

После первого квантового головокружения приходит озарение. В учебной аудитории мы узнаем решение уравнения Шредингера для электронов в атоме. Это немедленно открывает огромное пространство: мы вдруг понимаем механизм излучения или поглощения света атомами на определенных длинах волн. Сразу же становится видно, что свет, испускаемый нагретым атомным паром, содержит однозначную информацию, позволяющую определить его атомы, своего рода портрет или отпечаток пальца, если угодно^[35]. Теперь можно определить химический состав вещества на расстоянии, в лаборатории или на далеких звездах. Еще один результат: эффект Доплера позволяет измерить скорость этого атома относительно нас, даже если атом находится на другом конце Вселенной.

Затем начинаются бесчисленные практические приложения, физика твердого тела, полупроводники, транзисторы, электроника, необычайное развитие микроэлектроники, которая теперь упаковывает в смартфон компьютер более мощный, чем суперкомпьютер 1970-х гг.

Все это практично, надежно, полезно. Люди переговариваются друг с другом от континента к континенту, экраны информируют и развлекают, рынки идут вверх и вниз со скоростью света к лучшему и к худшему. В последнем случае скорее к худшему.

И все же великая квантовая механика с ее парадоксами все еще с нами! Большинство практически думающих физиков, застенчиво улыбаясь, отворачивается, в то время как другие задумывают и проводят чудесные эксперименты, чтобы понять, действительно ли квантовая механика работает именно так, как мы себе представляем. И результатом таких экспериментов почти всегда, от раза к разу, является положительное «да». Шредингер был прав: мы не можем доверять нашим чувствам. И его кошка, действительно живая, показывает свою самую красивую улыбку, или ухмылку… настоящую улыбку кота^[36]…

Глава 11 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Эта формула представляет собой самое сердце, самую сокровенную тайну квантовой механики. Смысл ее очень прост и в то же время абсолютно невероятен: само понятие об индивидуальности отдельных частиц, их положении, траекториях и скоростях становится сомнительным и неопределенным. Поэтому я постараюсь объяснить это более подробно. Не бойтесь, математика останется элементарной: всего лишь несколько умножений!

Вы сразу заметили, что обычный знак равенства (=) здесь заменен на знак «больше или равно» (≥). Поскольку это всего лишь неравенство, то данную формулу невозможно использовать непосредственно для вычисления параметров движения или энергии процесса.

Основа квантовой неопределенности

Это неравенство не является физическим законом в строгом смысле как некое правило получения одних величин через другие. Оно скорее описывает следствие законов, а в данном случае — квантовой механики. Предметом неравенства Гейзенберга является самая простая система, которую только можно себе представить: изолированный движущийся квантовый объект. В этом случае ∆х — это погрешность измерения положения объекта на координатной оси, выраженная для примера в метрах. Погрешность — это неопределенность в измерении координаты объекта, численно равная размеру интервала, в котором этот объект гарантированно может быть обнаружен. Например, ∆х = 1 мм означает, что положение частицы известно с точностью до 1 мм. Символом p_x обозначается импульс частицы, который равен произведению массы на скорость^[37]:

p_x = mv_x.

Так же, как и для координаты, ∆p_x — это погрешность измерения импульса; поскольку масса m постоянна во время движения, неопределенность импульса просто связана с неопределенностью скорости:

∆px = m∆vx.

Итак, если мы измеряем скорость объекта с точностью до 1 м/с, неопределенность составит ∆v_x = 1 м/с^[38].

В правой части неравенства, выражающего соотношение неопределенностей, используется постоянная Планка ħ, универсальная мировая константа, аналогично скорости света в вакууме или гравитационной постоянной (глава 4). В своей формуле Гейзенберг утверждает, что произведение неопределенностей или погрешностей измерения положения и скорости объекта всегда будет больше некой фиксированной величины, независимо от характера движения.

Этот несовершенный мир…

Представим, что я великий физик и, гордый своими научными сверхспособностями, построил фантастический детектор. С его помощью можно измерить положение частицы с идеальной точностью, которая имеет вполне конкретное математическое выражение: интервал неопределенности равен нулю: ∆х = 0 мм.

Хорошо. Но в этом случае левая сторона неравенства Гейзенберга также становится равной нулю. Невозможно, чтобы 0 был больше деленной на два постоянной Планка справа, которая вовсе не равна нулю. Следовательно, невозможно определить положение с идеальной точностью. Ну хорошо, а как же скорость? Ровно то же самое рассуждение: если погрешность скорости равна нулю, то значение ∆v_x равно 0, и вся левая сторона неравенства равна 0, что опять же невозможно. В этой новой механике запрещено измерять положение или скорость с идеальной точностью!

Но наш повседневный мир остается точным!

Однако в окружающем нас мире положение объектов, по-видимому, не подвержено какой-либо неопределенности. И скорость: вряд ли дух Гейзенберга поможет обмануть дорожную камеру!

Вот в чем хитрость: значение ħ крайне мало, настолько, что соотношение неопределенностей не ограничивает точность измерения для обычных объектов. Например, давайте рассмотрим мраморный шарик весом в 1 г, положение которого мы хотим измерить с точностью до 1/10 мм и скорость с точностью до 1 мм/с. Это очень хорошая точность для отслеживания движения такого объекта. Произведение ∆х m • ∆v_x по-прежнему в 10²⁴ раз (100 000 млрд млрд) больше минимального ħ/2. Вполне комфортное преимущество!

Однако одиночные атомы, атомные ядра и элементарные частицы постоянно живут на грани предела Гейзенберга. Их положение и скорость становятся размытыми понятиями и могут быть определены только статистически, например по большому количеству измерений.

Совершенно чистая случайность

Еще более странно: не только измерения координат и скоростей частиц, но и сами события, происходящие с ними, подчинены неопределенности, что впервые было продемонстрировано при изучении радиоактивного распада, открытого Анри Беккерелем в 1896 г. Некоторые атомы, найденные в природе или полученные искусственным путем, радиоактивны. Это означает, что их ядро может самопроизвольно распадаться, производя другие, как правило, более мелкие ядра и частицы. Учитывая, что даже в очень малых количествах вещества число атомов весьма велико, мы каждую секунду можем видеть распад вполне заметной их части. Но если изучать одиночный, изолированный атом, становится понятно, что из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга, в принципе, невозможно узнать, когда он распадется.

Это расстраивает, потому как интуиция, построенная на наших чувствах, требует нахождения причины, механизма для любого события, которое мы наблюдаем. Однако никакого механизма на самом деле нет. После того как была открыта квантовая механика, ученые искали скрытый механизм, какой-то процесс, который бы контролировал распад радиоактивного атома. Казалось, что можно представить себе каждый атом запрограммированным в момент своего образования на распад через определенное время, или в атоме что-то изнашивается, ухудшая его состояние, пока он окончательно не распадется, как нить в перегоревшей лампочке накаливания.

В самом деле, это вполне могло бы быть, но никакого подобного механизма обнаружено не было. Многие различные эксперименты показали, что начало распада является чисто случайным: атом абсолютно похож на все остальные, что находятся рядом с ним… пока вдруг не случится распад! Если этот факт еще не подтвердился, вероятность того, что он произойдет в течение следующего часа, точно такая же, как и вероятность того, что данный атом должен был распасться в течение одного часа миллиарды лет тому назад.

Действующий, но загадочный «механизм»

Однако это вовсе не означает, что законы квантовой механики подвержены неопределенности. В частности, они позволяют с необычайной точностью предсказывать абсолютно достоверные значения физических свойств элементарных частиц: энергетические уровни, вероятность обнаружения, взаимодействия и др. Практические применения этих расчетов многочисленны: свойства полупроводниковых материалов для электроники, лазеров, структура молекул, химия и биохимия. И это только начало. В настоящее время ученые ищут способ создать так называемый квантовый компьютер, в котором можно было бы воспользоваться этой зыбкой нечеткостью, выполняя сложные вычисления параллельно с большим количеством частиц (электронов или фотонов), а не шаг за шагом при помощи одиночного процессора.

Нет никаких сомнений в том, что квантовая механика работает, даже если еще не все ее тайны разгаданы. Неопределенность в измерении интуитивно очевидных величин, таких как положение, скорость, время жизни, глубоко волновала многих ученых и философов. Ученые искали скрытые переменные, которые вернули ли бы на место интуитивную схему причинно-следственных связей. Эти скрытые переменные, однако, так и не нашли, но для их поиска были задуманы прекрасные эксперименты (в 1960-х гг. в работах Джона Белла), выполненные в 1980-х гг. исследователем Аланом Аспектом, после чего повторены многими другими^[39]. Результаты экспериментов были однозначны: нет никаких скрытых переменных, и, несмотря на странное поведение частиц, следующих двумя путями одновременно или, кажется, заранее знающих, что мы будем делать с ними, даже прежде чем мы сами решим это, квантовая механика всегда предсказывает правильный результат.

Теперь физикам не приходится беспокоиться, ибо наиболее распространенным отношением к проблеме скрытых смыслов является ее игнорирование. Большинство видит только поразительную эффективность квантовой теории для описания окружающего нас мира. Однако вопросы в области фундаментальных основ квантовой теории на самом деле существуют, являясь источниками интеллектуальной и практической научной обеспокоенности^[40]. Сила воображения, необходимая для того, чтобы проверить теорию на прочность, — великолепный пример творчества, научной строгости и экспериментальных навыков (я говорю об этом совершенно свободно, поскольку это не моя экспериментальная область!).

Прогресс как устаревшая концепция?

Некоторые рассматривали квантовую неопределенность как один из примеров изменения фундаментальных основ научного знания. Вторым примером можно было бы считать открытие хаоса, о котором мы говорили в главе о гравитации, а третьим — теорему Геделя о неполноте.

В квантовой механике соотношение неопределенностей Гейзенберга запрещает сколь угодно точные предсказания скорости и положения частиц. Однако мы видели, что обычная гравитация в системе трех и более тел дает совершенно хаотические решения, которые делают почти невозможными предсказания положений планет через несколько десятков миллионов лет. Наконец, примерно в 1930 г. математик Курт Гедель продемонстрировал, что простейшая арифметика содержит предположения, которые не могут быть доказаны и, соответственно, не могут считаться ни истинными, ни ложными^[41].

Эти три примера имеют нечто общее: возникшие на рубеже XIX–XX вв., они указывали на внутренние пределы научного знания. В 1970-е гг. некоторые интеллектуалы пытались интерпретировать указанные ограничения, признаваемые самой наукой, как элемент «постмодернистского» сомнения в легитимности науки и прогресса.

Конечно, все сомнения и вопросы имели непосредственные и совершенно конкретные причины, более понятные широкой общественности, например роль науки в создании ядерного оружия, уничтожение окружающей среды, проблемы общества потребления и т. д. Но то, что наука сама признавала пределы своего могущества, играло определенную роль в интеллектуальных и властных кругах. Вырванные из контекста слова «неопределенность», «хаос», «неполнота» стали символами бессильной, бесполезной и даже аберрантной^[42] науки.

Я обнаружил это в 1996 г., в то время когда был физиком, глубоко погруженным в свою область и не очень следившим за тем, что происходило во внешнем мире. Как и у большинства моих коллег, я располагал слишком малым количеством времени, чтобы осматриваться по сторонам, но мне была любопытна эпистемология, в частности различные интерпретации квантовой механики. Это стало темой для многих долгих дискуссий со старыми друзьями Эрве^[43] и Жаном. Летом 1996 г. газета Le Monde^[44] опубликовала важную серию статей с заголовком «Прогресс — это устаревшая концепция?» Я уже был наслышан о подобных заявлениях, особенно в журнале La Recherche^[45], который в те времена предлагал большую сцену постмодернистским философам. Сначала я рассматривал их только как дебаты между профессиональными философами, да и к тому же у меня совершенно не было времени обращать внимание на эту мышиную возню. Нокогда саму идею прогресса поставила под сомнение ежедневная и уважаемая газета, это настолько потрясло меня, что я решил поглубже изучить данную тему.

Вначале я открыл для себя «постмодернистскую» эпистемологию и ее лозунг о том, что «Наука — это социальный институт», шокирующий любого рационального ученого, воспитанного в культе просвещения и прогресса. Я некомпетентен в социологических и философских вопросах, но здесь также наблюдал странное притягивание в болтологические рассуждения сугубо математических понятий, таких как «неопределенность», «хаос», «неполнота».

Эта сборная солянка из терминов и понятий казалась мне точным симптомом того, что именно так называемые философы хотели подвергнуть осуждению: элитарное общество, где признание своей ограниченности интерпретируется как слабость или даже недостаток. Неужели? После двух столетий поступательного и неудержимого прогресса, происходившего без особых заумных вопросов, примерно в конце XIX в. наука достигла уровня осознания самой себя достаточно высокого, чтобы задавать вопросы о соответствующих инструментах (математике), методах (дифференциальном исчислении) и интерпретации мира (объектов). Это слабость? Должно ли это бросать вызов понятию прогресса? Я думаю, что нет. Напротив, это показывает определенную зрелость или даже истинную мудрость.

Если не слишком вырывать их из контекста, то слова «неопределенность», «хаос» и «неполнота» только покажут нам, что природа (что бы мы ни вкладывали в это слово, объективна реальность или нет) не такова, как нам прямо говорят наши чувства. Могут быть рассмотрены и другие интерпретации, и понятия положения, скорости и события будут выглядеть совершенно иначе за пределами нашего окружения. Возможны и другие способы измерения вероятности, энергии, корреляций, иные способы рассуждений и, наконец, другие формы прогресса. Связывать эти ограничивающие нас открытия с возможным понижением уровня науки — значит отказывать человеку в праве думать и обвинять его в слабости, как только он выражает сомнение.

Глава 12 Уравнение Эйнштейна и общая теория относительности

Большие буквы R, G, T убедительны: мы уже не среди зыбких квантовых состояний ф, а в жесткой и вечной геометрии. Индексы m и n, расположенные попарно у основания больших символов, — это не апподжатуры^[46], а обозначения координатных осей, образующих сетку, измеряющую пространство и время.

Жестко? Не так чтобы очень. Это уравнение описывает, как пространство-время искажается под действием материи, имеющей массу. В частности, левая часть уравнения

описывает свойства пространственно-временной сетки: размер ячейки и ее кривизну, в то время как в правой части стоит переменная величина T_μν описывающая распределение массивной материи или энергии на этой сетке.

Доминирующие эффекты для космологии

После открытия в 1917 г. общей теории относительности Альбертом Эйнштейном пространство (на самом деле пространство-время) перестало быть однородной и неизменной сеткой. Это все еще сетка, но деформированная, сжатая, раздутая, изогнутая и скрученная там, где присутствует материя.

Эти искажения и искривления изменяют траектории движения небесных (и земных!) объектов: мы интерпретируем это как силу, которую называем «гравитацией». Уравнение Ньютона раньше говорило:

«Объекты, имеющие массу, притягивают друг друга».

Эйнштейн внес следующую поправку:

«Массивные объекты искривляют пространство-время вокруг себя. Другие объекты чувствуют это искривление, и результат взаимодействия кажется притяжением».

В нашей повседневной среде решения уравнений Эйнштейна очень мало отличаются от решений уравнений Ньютона, и яблоки падают именно там, где их ожидают. Единственным и хорошо известным примером практического использования общей теории относительности являются спутниковые системы геопозиционирования, такие как GPS или Глонасс: положение приемника GPS/Глонасс на Земле определяется по измерению времени задержки прохождения радиосигналов от нескольких спутников к приемнику. Это должны быть очень точные измерения расстояния между движущимися и неподвижными объектами, кроме того, находящимися в гравитационном поле Земли. Релятивистские эффекты в этом случае становятся вполне заметными, и они были учтены, когда данные системы разрабатывались.

Даже в масштабах Солнечной системы отклонения от закона Ньютона очень малы: крошечное смещение световых лучей, мизерное продвижение Меркурия по своей орбите…

Сила общей теории относительности проявляется только на очень больших пространственных или временных масштабах. Объединяя взаимодействием пространство, время и материю, она дает физикам возможность изучать геометрию и структуру всей Вселенной. Современная космология родилась из этого уравнения в результате развития приборов наблюдения.

Описание всей Вселенной

В течение первых лет учебы в университете я читал различные научно-популярные статьи и книги, посвященные общей теории относительности, но спецкурс по данному предмету у меня был только на последнем курсе магистратуры. Этот первый реальный контакт произвел на меня сильнейшее впечатление, и я помню чувство восхищения строгостью геометрии, необъятностью расстояний и действующих сил, плавным, непрерывным характером уравнения…

В сущности, это не более того, что каждый может почувствовать, глядя на небо, полное звезд. Паскаль признавался: «Вечная тишина этих бесконечных пространств пугает меня». И поверьте, понимание уравнения Эйнштейна не приносит никакого успокоения! Обратив взгляд на небо, человека действительно может охватить благоговейный трепет, или же он просто удовлетворит свое тщеславие узнаванием созвездий, планет Солнечной системы или еще чем-то. Космология сводится к изучению реальности гигантских расстояний и временных интервалов, а также к количественному, чувственному, личностному ощущениям размера и места человека во Вселенной.

Опираясь на общую теорию относительности и благодаря длинной цепи наблюдений и астрономических измерений с Земли и со спутников, космология пытается описать эволюцию Вселенной. Это революция, которая началась в конце 1920-х гг., когда священник Жорж Леметр^[47] предложил решение уравнений Эйнштейна в виде непрерывно расширяющейся Вселенной и предсказал некоторые наблюдаемые на Земле следствия такого расширения. Спустя два года измерения Эдвина Хаббла, по-видимому, подтвердили гипотезу Леметра. До сего момента Вселенная считалась вечной и неизменной; внезапно мы обнаружили, что это, скорее всего, не так.

Расширение и Большой взрыв

Это расширение означает, что две отдаленные точки во Вселенной, например галактики, удаляются друг от друга. Позвольте мне развеять распространенное заблуждение, что это расширение означает «взрыв в бесконечном пространстве из крошечного объема». Нет, вполне возможно иметь бесконечные размеры и в то же время подвергаться расширению. Чтобы визуализировать это, вам просто нужно нарисовать бесконечную прямую линию, без ограничений слева или справа. Мы можем удалить все точки друг от друга, умножив расстояния в два раза, таким образом, линия растягивается сама в себя. Нет проблем, поскольку нет ограничений… Это именно то, что происходит с нашей Вселенной, но в трех пространственных измерениях (длина, ширина, высота). Может показаться странным, что вычисляемое с легкостью для прямой линии становится сложнее для трехмерного пространства!

Итак, нынешняя Вселенная расширяется. И поскольку она ведет себя более или менее как газ, то постепенно остывает^[48]. Но что произойдет, если мы прокрутим фильм назад, двигаясь во времени, начиная с сегодняшнего дня? Мы увидим, как Вселенная сжимается и нагревается. Мы могли бы представить себе, что, если бесконечно продолжить этот процесс, плотность и температура Вселенной станут бесконечными в бесконечное время в прошлом. Но уравнения говорят немного о другом: если возвращаться назад во времени, скорость увеличения плотности и температуры возрастает настолько, что плотность становится бесконечной строго в определенное время в прошлом. Если точно, то эта сингулярность существовала краткий миг — согласно современным расчетам, примерно 13,8 млрд лет назад. Это и есть знаменитая модель Большого взрыва.

Эволюция Вселенной

После появления общей теории относительности и благодаря развитию ядерной физики были установлены механизмы свечения и производства энергии звездами. Ученые также поняли, что почти все химические элементы, окружающие нас сегодня, не существовали при рождении Вселенной, а были произведены в ядерных реакциях в процессе эволюции звезд или во время их взрывов, таких как сверхновые звезды. Это придает конкретный смысл выражению «мы все — звездная пыль»… Только несколько «первичных» элементов, таких как водород и гелий, появилось в самые первые минуты существования Вселенной, и модель Большого взрыва способна описать условия синтеза этих первых атомных ядер. Измерение в середине XX в. относительного содержания различных элементов в космосе обеспечило весьма яркое (вот уж действительно!) подтверждение модели Большого взрыва. С тех пор при помощи многочисленных наблюдений и измерений эта модель многократно проверялась на прочность и все эти испытания выдерживала на «отлично».

Если мы отбросим креационистские тезисы и начнем полагаться только на экспериментальные наблюдения, то сама идея «возраста Вселенной» будет выглядеть революционной. Если опираться на человеческий опыт, то что может быть более постоянным, чем движение планет и звезд? Смена времен года, положения планет, затмения — все указывает людям, что их пребывание на Земле — лишь крошечный миг в неизменной Вселенной. Согласитесь, наша жизнь очень коротка по сравнению с почти 14 млрд лет Вселенной, но благодаря нашему знанию мы поняли, что Вселенная не всегда была такой, как сейчас. И мы смогли это осознать лишь благодаря размышлениям и наблюдениям. В результате чего вновь освободили самих себя от чувств и интуиции…

Черные дыры: лаборатория… в воображении

Благодаря современной технике для оптических наблюдений с их компьютерной обработкой некоторые эффекты общей теории относительности теперь можно увидеть наглядно, причем самым впечатляющим образом: световые лучи от далеких галактик, следуя за пространственно-временным континуумом, искаженным присутствием материи, проецируют гравитационные миражи, грандиозные светящиеся дуги или множественные изображения типа гало. Не так давно, используя необычайно чувствительный измерительный прибор^[49], физики обнаружили прохождение через Землю гравитационных волн, возникших при слиянии двух очень далеких черных дыр. Это наблюдение опять-таки оказалось очередным подтверждением общей теории относительности.

Хорошо известные широкой публике черные дыры являются прямым следствием уравнения Эйнштейна. Они представляют собой настолько сконцентрированную массу, что пространство-время искривляется, формируя замкнутую поверхность, из-за которой наружу не могут вырваться даже лучи света. Теперь нам кажется, что эти дыры есть везде, начиная с центра нашей галактики, Млечного Пути, где находится черная дыра «среднего» размера весом почти 4 млн солнечных масс — пустяк по сравнению с 17 млрд солнечных масс самой гигантской черной дыры, известной на сегодня…

Черные дыры — это в первую очередь необычные астрофизические объекты, но они также являются прекрасной областью исследований для фундаментальной физики. В чрезвычайно компактном мире черной дыры, замкнутом на себя, все законы меняются. Это касается также и понятия об информации: что происходит с информацией о природе, энергии, направлении движения частиц или объектов, когда они попадают в черную дыру?

Данная загадка до сих пор смущает ученых, тем более что благодаря Стивену Хокингу мы знаем о медленном испарении черных дыр… и, как только черная дыра полностью испаряется, куда исчезает информация, которую несли все поглощенные ею частицы? Наверное, здесь надо заметить, что испарение Хокинга является чисто квантовым эффектом, а общая теория относительности находится в ужасном противоречии с квантовой механикой. Черная дыра — действительно лучшее место, чтобы противопоставить, пусть пока лишь мысленно, два столь разных представления о мире: общую теорию относительности, идеальную, гладкую и геометрически выверенную, и квантовую механику, такую странную, зыбкую и неопределенную.

Здесь и сейчас

Революционным аспектом в открытии общей теории относительности стала, пожалуй, возможность (или, по крайней мере, намерение) рассматривать всю Вселенную как объект для измерений и исследований. Может быть, это всего лишь очередная суета, и люди будущего будут относиться к нам так же, как мы относимся к нашим предкам из Средневековья, которые думали, что населяют плоскую землю под бархатным навесом, усыпанным хрустальными звездами.

Может быть. Но давайте подытожим эти честолюбивые умозаключения: благодаря наблюдениям и их интерпретации в рамках общей теории относительности Вселенная теперь имеет возраст (13,8 млрд лет), форму (однородно плоская, без кривизны), плотность (10^-26 кг/м³, что соответствует примерно 6 атомам водорода на кубический метр, легко запоминающееся число!). Модель Большого взрыва позволяет описать эволюцию ранней Вселенной, начиная с нескольких наносекунд после ее рождения и до сегодняшнего дня.

Вселенная как измеримый объект все еще является чистым листом для различных видов творчества. Согласно некоторым теоретическим моделям, Вселенная может быть скручена или замкнута сама на себя; некоторые ее конфигурации таковы, что ни один автор научной фантастики не осмелился бы предложить такое! Однако все эти модели вступают в противоречие с наблюдениями, и кажется весьма вероятным, что наша Вселенная настолько простая и плоская, насколько это возможно.

И это все? Бесконечная плоская Вселенная, постепенно становящаяся все более разреженной и холодной? Некоторые ученые несколько разочарованы. Правда, вместо разочарований и сетований мы должны быть счастливы, что нам «повезло» жить в эпоху, когда силы, управляющие динамикой Вселенной, гармонично уравновешивают друг друга и когда она все еще содержит достаточно места и материи, чтобы разместить удобную галактику, в пригороде которой мы живем, на безопасном удалении от чудовищной центральной черной дыры…

Глава 13 Уравнение Дирака

(iY^d^ — m)ф = 0

Это уравнение все еще волнует меня, как ребенок… Самый красивый, самый чистый из всех. Более красивый, чем E = mc², и не забрызганный кровью истории.

Даже если кто-то не любит математику или у кого-то ровные линии и рациональные пропорции вызывают некоторое неприятие, изящество символической записи этого уравнения не может не восхищать: гармоничная округлость γ, обходительное д, резкое i, деликатные индексы μ, записанные как апподжатуры^[50], и окутанное глубокой тайной ψ.

Признаюсь, данное уравнение немного конфиденциальное, поскольку изучается лишь на последних курсах университета, требуя хорошей подготовки в области физики и математики, а именно теории относительности и квантовой механики.

И Дирак создал антиматерию

Как мы узнаем позже, Поль Дирак смог разглядеть в своем уравнении гораздо больше того, для чего оно изначально было создано: он открыл антиматерию, совершив опять же концептуальную и практическую революцию. В этом смысле уравнение Дирака является прекрасным примером власти разума над материей — любому фанату буддизма следует пройти пятилетний университетский курс, чтобы понять его суть.

В 1928 г. квантовая механика и теория относительности уже базировались на хорошем теоретическом и математическом фундаменте. Но все попытки примирить или соединить их в единое целое оказывались неловкими и бесплодными. Для описания квантовой частицы при релятивистских скоростях^[51] существовало уравнение Клейна-Гордона:

Однако оно так и осталось чисто теоретическим упражнением, поскольку оказалось неприменимым к каким-либо известным частицам вроде электронов или протонов, составляющих атомы. В любом случае вы согласитесь со мной, что с графической точки зрения это уравнение — явная неудача, особенно с его неуклюжими дробями, значком ∆ и полноватой ф.

Причина, по которой оно неправильно описывает электрон, связана в том числе с наличием у этой частицы дополнительного свойства, называемого спином. Само это слово^[52]дает повод для использования наглядного представления о спине как о моменте импульса некоего волчка. На самом деле спин — это чисто квантовая характеристика, которая не требует наличия твердого вращающегося тела: элементарная частица, которая по определению является точечной, может иметь спин, что, в частности, относится и к электрону.

Именно спин влияет на то, как частица взаимодействует с магнитным полем: можно определить спин электрона, определив изменение характера его движения в магнитном поле определенной конфигурации. В эксперименте при измерении всегда возвращается одно из двух значений (а не непрерывное множество значений!), которые обычно связаны с двумя спиновыми состояниями электрона, обозначаемыми стрелочками вверх (↑) или вниз (↓).

В далеком 1928 г. (когда это открытие сделал Поль Дирак) спин был уже хорошо известен в течение нескольких лет и получил удовлетворительное квантово-механическое описание. Однако уравнение Клейна-Гордона игнорировало это понятие: всем казалось невозможным описать электрон как квантовый и релятивистский одновременно, хотя обе эти теории уже произвели революцию в физике!

Уравнение должно делать свое дело

Благодаря своему гениальному озарению Дирак понял, что уравнение Клейна-Гордона, возможно, слишком незатейливое и непременно где-то скрывает в себе этот коварный спин.

Он предположил, что операторможет быть разложен на два множителя в виде (D)х(D), где каждый из множителей (D) будет зависеть от спина, а их произведение — нет.

Простая аналогия: возьмите число 4. Я мог бы получить его, взяв квадрат числа 2: 4 = (2) х (2). Но я мог бы также взять квадрат числа -2: 4 = (-2) х (-2). При возведении в квадрат я потерял информацию о знаке между +2 и -2. Точно так же уравнение Клейна-Гордона потеряло информацию о направлении спина.

Дирак понял, что он действительно может выполнить разложение оператора и записать такой множитель (D), если он рассмотрит компоненты электрона с положительным (↑) и отрицательным (↓) спином по отдельности, но для этого необходимо гармонично объединить их с помощью коэффициентов ϒ^μ, которые вы видите в его уравнении. Попутно он обнаружил забавные математические свойства данных коэффициентов, для которых A х B не равно B х A…

Нет, этим рассказом я не пытался полностью объяснить происхождение уравнения Дирака. Я его привел лишь для того, чтобы дать вам почувствовать, что само создание уравнения оказалось возможным благодаря глубокой культуре, острому воображению и неограниченной свободе мышления.

Творение Дирака описывает электрон и допускает немедленное использование, например для точного расчета энергетических уровней в атомах, в полном согласии с измерениями^[53].

Полностью физическое решение

На этом история могла бы закончиться, Дирак наверняка получил бы свою Нобелевскую премию, а его уравнение преподавали бы в университетах. Но самое лучшее было впереди.

Внимательно изучая результаты, полученные с помощью уравнения, Дирак заметил, что возможны два типа решений. В одном выходило, что оно описывало электроны, как его создатель в первую очередь и хотел. А во втором являлось математической функцией, которую невозможно было интерпретировать в терминах электронов. Согласно этому решению, такие частицы должны были иметь отрицательную энергию…

Вы должны понимать, что такая ситуация довольно часто встречается в физике. Чтобы смоделировать какое-то явление, ученые, прикладывая массу усилий и ум, создают неплохую систему уравнений. Если этот шаг успешен, то физическая величина, или функция, ради получения которой строилась модель, получается в результате решения этой системы уравнений. Но иногда у них существуют и другие решения, которые не несут никакого физического смысла, например имеют отрицательную энергию. Это ложные решения, но они совершенно не портят начальной ценности уравнения. Нужно лишь сопроводить инструкцию по эксплуатации предупреждением: «.при выполнении расчетов будьте осторожны, дабы исключить ложные, нефизические решения».

Это то, что сделал бы любой средний или даже очень хороший физик, который изобрел новое уравнение. Но Дирак в этот момент остановился и задумался. Что собой представляет это дополнительное нефизическое решение? В чем может заключаться физический смысл электрона с отрицательной энергией? И он понял, что дополнительное решение может успешно описывать реальную частицу с той же массой и энергией, что и электрон, но с противоположным электрическим зарядом.

Дирак поверил в свое предположение. Это новое решение не было ложным. Все слишком хорошо согласовывалось, чтобы быть бесполезным: это неожиданное решение должно описывать реальную частицу, которая действительно существует в природе. Дирак изобрел античастицы: позитрон стал античастицей электрона, антипротон — античастицей протона. Позитрон и антипротон могут объединиться, чтобы сформировать антиатом, который, в свою очередь, может образовывать антимолекулы…

Антиматерия существует!

Благодаря этому основополагающему шагу Дирака было создано антивещество, мир, который оказывается отражением обычной материи. Дирак также понял, что можно создавать пары частица-античастица из чистой энергии, и наоборот, частица и ее античастица при встрече аннигилируют в энергию.

Когда Карл Андерсон в 1932 г. наблюдал в космических лучах след «электрона», но с противоположным зарядом, он знал, что только что экспериментально открыл позитрон, предсказанный Дираком. С тех пор мы наблюдали античастицы всех известных частиц. Частицы и античастицы изучаются на равных основаниях в физических экспериментах. Позитрон нашел применение в медицине: визуализация внутренних органов с помощью ПЭТ-сканирования, или позитронно-эмиссионной томографии. Аналогичный метод используется и для контроля материалов.

Если рассматривать данный процесс с теоретической точки зрения, то существование античастиц знаменует собой революцию. Поскольку пара частица-античастица может быть создана из чистой энергии, это означает, что события, в которых ее выделяется достаточно много и она сконцентрирована в малом пространстве, способны создавать такие пары. Понаблюдаем за столкновением двух частиц A и B: если энергия столкновения достаточно велика (плюс выполнено еще несколько других условий), то это может привести к рождению в данном процессе электрон-позитронной пары:

A + B → A + B + e⁺ + e.

Следовательно, в реакциях между элементарными частицами их число не сохраняется! Это здорово отличает квантовую интуицию от «классической», в которой элементарные частицы представляются бильярдными шарами. Вместо этого мы играем в довольно странный бильярд, где шары появляются на столе и исчезают после каждого удара!

Веруя в уравнение

Эти же рассуждения распространяются на любую известную или даже на еще неизвестную частицу: обладая достаточной энергией, можно создать ее как пару частица-античастица. Для полноты картины позвольте мне добавить, что некоторые частицы, такие как фотон (не имеющий электрического заряда или каких-либо других зарядов), являются своими собственными античастицами и в такой реакции могут быть получены только однократно^[54].

Столкновения между известными частицами, таким образом, стали способом поиска новых элементарных частиц и новой физики: этот принцип лежит в основе экспериментов, проводимых на больших ускорителях, таких как БАК^[55]в ЦЕРНе, в котором сталкиваются протоны со сверхвысокими энергиями. Вопреки тому что могла бы предположить классическая интуиция, исходящие частицы, наблюдаемые после столкновения двух протонов, не являются фрагментами исходных протонов. Они оказываются частицами, созданными только из энергии столкновения.

Как может одно-единственное уравнение мгновенно расширить область познания, намного превзойдя то, для чего оно было придумано? Не оттого ли, что оно содержит в себе б0льшую часть истины? Или все же оно раскрывает только те факты, которые мы уже знаем, не интерпретируя их?

Но откуда же тогда у Дирака была такая вера в свое уравнение? Почему его (необъятная) культура и опыт ученого заставили избегнуть инстинктивной реакции обычного физика на отрицательную энергию и постараться отделить фундаментальное (существование античастиц) от побочного (отрицательная энергия, если не знать, что это античастица)?

Графически элегантное и посылающее нам полные глубокого смысла сообщения, лаконичное в своем языке и творческое в своем дизайне, уравнение Дирака волнует меня, как самая красивая поэзия. Ничто лучше не описывает процесс рождения пары частица-античастица, чем бессмертные строки «…мы созданы из вещества того же, что наши сны…»^[56].

Глава 14 Диаграммы Фейнмана

Эту главу я хочу посвятить не одному конкретному уравнению, как все предыдущие, а некой специальной системе анализа небольших графических эскизов, используемых для облегчения представления и решения всех уравнений, управляющих движениями и взаимодействиями элементарных частиц. Это так называемые диаграммы Фейнмана, названные в честь их изобретателя Ричарда Фейнмана (1918–1988). Они представляют собой язык, который может делать наглядными некоторые чрезвычайно сложные вычисления. Хотя сами по себе эти диаграммы никак не изменяют основную теорию, их роль состоит в существенном облегчении расчетов, а затем и самого способа рассуждений настолько, что они доминируют во всей физике элементарных частиц. Это отличная возможность задать вопрос о том, что стоит на первом месте: теория или ее представление? Какую роль играют ментальные образы, пусть даже самые абстрактные, в нашем понимании природы?

Основой всей современной физики элементарных частиц стала так называемая квантовая теория поля, то есть теория релятивистских полей. Она родилась из более или менее гармоничного союза специальной теории относительности (E = mc²) и квантовой механики.

После уравнения Дирака, первого впечатляющего шага вперед, квантовая релятивистская теория довольно быстро развивалась, и сами понятия «частица», «взаимодействие» и даже «вакуум» претерпели радикальные изменения. Одним из самых поразительных следствий уравнения Дирака стало то, что число частиц не сохраняется в результате взаимодействий. Квантовая механика уже бросила вызов всем интуитивным понятиям, таким как положение, скорость, энергия, частота, но до этого момента частица оставалась частицей.

После Дирака и открытия античастиц ничто уже не мешало тому, чтобы во время взаимодействия энергия превратилась в пару частица-античастица. В 1930-х гг. ученые напридумывали множество уравнений, позволяющих рассчитать вероятность взаимодействия частиц, которые учитывали в том числе и эти эффекты. Однако данные расчеты были долгими и слишком громоздкими. Используемые переменные считались математическими операторами, которые подчинялись сложным и неэлегантным математическим правилам. Лишь особо квалифицированным в математических расчетах физикам удалось получить теоретические предсказания для простейших взаимодействий между электронами, фотонами и атомными ядрами, которые были эффектно подтверждены экспериментами: преобразование фотонов высокой энергии в электрон-позитронные пары, излучение фотонов электронами, проходящими вблизи ядра, и т. д.

Тяжелейшие расчеты…

Воодушевленные этими первыми успехами, физики предприняли попытки выполнить еще более амбициозные расчеты, но вскоре поняли, что в некоторых случаях вероятность взаимодействия, получаемая в результате, имеет тенденцию становиться… бесконечной. Проблема оказалась в том, что квантовая часть теории допускает флуктуации энергии, а релятивистская — преобразование энергии в материю. То тут, то там всплывают реальные или «виртуальные» частицы, число и энергию которых невозможно контролировать, и вычисления теряют всякий смысл. Потребовались годы проб и ошибок (с конца 1930-х до примерно 1960-х гг.), чтобы создать теорию и овладеть практикой так называемой «перенормировки», довольно подозрительной процедуры с точки зрения чистой математики. Но благодаря ее применению физический смысл уравнений был сохранен, и эффективность релятивистской квантовой теории поля восстановлена^[57].

Таким образом, вычисления сделались чрезвычайно утомительными, уравнения стали представлять собой длиннейшие цепочки математических операторов, и для подсчета всего одной-единственной вероятности взаимодействия простой учет уравнений и их членов становился ограничивающим фактором.

Небольшая схема для длительного расчета

И тут появился Ричард Фейнман. Фантастически одаренный физик, он совершил несколько фундаментальных научных открытий. В начале 1950-х гг. Ричард был ярким молодым человеком, который только что принял участие в «Манхэттенском проекте» — программе создания ядерного оружия в Лос-Аламосе. В частности, для разработки бомбы впервые потребовались численные расчеты на самых первых цифровых вычислительных машинах. Эти компьютеры имели довольно ограниченные функции, работали слишком медленно, а их программирование происходило каким угодно способом, но только не элементарным. Фейнман использовал всю свою изобретательность, выявляя повторения, зависимости и взаимозависимости, но осуществил вычисления самым оптимальным образом.

Вернувшись после войны к фундаментальной физике, он вскоре устал от утомительных релятивистских квантовых вычислений и начал искать в этой теории некую структуру, своего рода язык. Вскоре он заметил, что каждый объект можно сопоставить с простым классическим образом, например такие вот стрелочки:

для распространения электрона (слева) и фотона (справа), а также:

для поглощения или испускания фотона электроном.

Он сформулировал правила для вычислений и соответствующие им правила — для диаграмм.

Наконец, перевел в диаграммы уже известный к тому времени расчет. Например, вероятность рассеяния фотона на электроне получается из следующей формулы, уже достаточно сложной:

которая может быть представлена довольно простой схемой^[58]:

На этом этапе диаграммы Фейнмана были все еще просто вспомогательной утилитой. Оказалось, что проще подсчитывать диаграммы, визуальные отличия которых друг от друга гораздо легче контролировать, чем уравнения, похожие друг на друга как две капли воды. В конце концов, эти конструкции стали настоящим языком. Это идеальный инструмент: диаграммы предлагают перевод сложных вычислений в простую и интуитивно понятную визуальную форму.

Мощный язык

Успех диаграмм Фейнмана был оглушительным и немедленным. Перенормировка, процедура, которая позволяет придать смысл бесконечным в ином случае вычислениям, легко иллюстрировалась в терминах диаграмм, до такой степени легко, что вполне серьезно можно было задаться вопросом: что более фундаментально — математическая теория или диаграммы? Сам Фейнман внес существенный вклад в математический аппарат процедуры перенормировки.

С тех пор почти невозможно, войдя в кабинет физика элементарных частиц, теоретика или экспериментатора, не увидеть на доске несколько диаграмм Фейнмана.

Разработанная в первую очередь для квантовой электродинамики (т. е. электромагнитных взаимодействий между электронами, позитронами, фотонами, ядрами…) релятивистская квантовая теория поля вскоре включила в себя все взаимодействия (электромагнитное, сильное и слабое взаимодействие) и все элементарные частицы^[59]. Каждый раз метод диаграмм и перенормировок оказывался легко адаптируемым к новым полям и частицам, по-прежнему представляя сложные процессы интуитивно, скрывая вычисления, разработка которых часто была бы чрезвычайно долгой и наверняка не очень интересной, за исключением их результата.

Например, образование и распад бозона Хиггса на ускорителе БАК в ЦЕРНе может быть рассчитано по диаграмме, изображенной в начале главы.

Благодаря своему точному и наглядному языку описание в виде диаграмм оказалось невероятно полезным для численных расчетов. Поясню саму процедуру: представим себе, что исходя из фундаментальных принципов теоретик изобрел новую теорию^[60], и мы хотели бы сравнить предсказания этой теории с теми результатами, которые получены при наблюдениях за столкновениями элементарных частиц на ускорителе, скажем на БАКе ЦЕРНа. Если эта теория обладает предсказательной силой, то она позволит определить характеристики элементарных частиц и законы их взаимодействия. Чтобы вычислить экспериментально проверяемые величины, теоретиками формулируются правила расчета коэффициентов взаимодействия для различных типов диаграмм Фейнмана, возможных для конкретного события — столкновения, рождения или распада. Эти правила называются «правила Фейнмана». Другие физики после переводят эти правила в компьютерный код и добавляют их в специальные программы, которые могут автоматически генерировать все возможные диаграммы Фейнмана, необходимые для вычислений. Наконец, экспериментаторы на БАКе используют результаты расчета моделированных событий по данной программе и сравнивают их с результатами, измеренными для реальных событий, наблюдаемых при столкновениях частиц. Сегодня этот набор программ достиг удивительных результатов, воспроизводя в моделях всю известную квантовую физику, включая ее самые тонкие эффекты.

Сны о диаграммах Фейнмана

В науке есть и другие случаи, когда диаграммы представляют собой вычисления или структуры, такие как диаграммы Венна в теории множеств, диаграммы Янга и Дынкина в теории групп, а также за пределами чистой науки, например в жонглировании, где пересечения рук отмечены в диаграммах… Но я не думаю, что любая из этих систем приобрела тот же статус языка, что и диаграммы Фейнмана в физике частиц.

Философы-структуралисты, прежде всего Клод Леви-Стросс, также отваживались описывать человеческие взаимодействия с помощью диаграмм, но без особого успеха, по крайней мере на мой вкус. Жак Лакан, конечно, всегда стремившийся к научному признанию, призвал на помощь диаграммы, но трудно увидеть там точное и недвусмысленное описание эффекта или понятия. Я уверен, что любой психоаналитик, который не читал (и не запоминал в подробностях) «Экриты»^[61], не сможет без ошибки сообщить мне смысл той или иной его схемы. Но для физика каждая диаграмма Фейнмана — это всегда представление уникального и неповторимого уравнения.

Мы думаем, говорим и прежде всего воображаем с диаграммами Фейнмана. Мне даже довелось помечтать с диаграммами Фейнмана в какой-то сложный период личной жизни, и в то же время это был момент напряженной профессиональной деятельности. Как бы наивная мечта, в которой я попытался описать с помощью диаграмм некоторые сложные личные выборы. Мечтая, я действительно понимал, что эти проблемы трудно перенормировать, что множественный выбор включает в себя большое количество диаграмм, возможно, бесконечно много. Увы, методы теории поля мало помогают в человеческих делах. Потому после пробуждения осталось лишь довольно неприятное ощущение стерильной смеси между сном и реальностью, между частным и профессиональным мирами…

К счастью, эти мечты были довольно редки, удивительно редки, по крайней мере для меня.

Глава 15 Стандартная модель

Эта довольно сложная формула лежит в основе так называемой Стандартной модели в физике элементарных частиц, лучшей теории, которую мы имеем на сегодняшний день для описания фундаментальных кирпичиков природы и структуры их взаимодействий между собой. Короче говоря, уравнения Стандартной модели — это все, что позволяет элементарным частицам взаимодействовать, собирать и строить Вселенную, которую мы знаем, начиная от момента Большого взрыва и до сегодняшнего дня.

Данное уравнение получило достаточную известность настолько, что его печатают на сувенирных футболках и кружках, продаваемых в ЦЕРНе, крупнейшем исследовательском центре физики элементарных частиц недалеко от Женевы, расположенном на границе Франции и Швейцарии.

В кафетерии ЦЕРНа

Я впервые приехал в ЦЕРН в 1979 г., в самом начале моей работы над докторской диссертацией^[62], когда пришлось сопровождать моего научного руководителя Марселя Баннера. Наша команда из CEA-Saclay^[63] построила прототип детектора, который мы хотели проверить в работе в пучке частиц.

Мы прибыли в ЦЕРН в понедельник утром и сразу же отправились в тот экспериментальный зал, куда планировалось отведение пучка частиц. Я знал ЦЕРН только по текстам и фотографиям, и у меня едва хватало времени, чтобы бросить мимолетный взгляд на реальный вид этого зала, длинных коридоров без потолка между серыми бетонными блоками с непонятными аппаратами, обвитыми кабелями и трубами.

В отведенном для нас пучковом канале почти ничего не было: мы могли видеть только трубу, из которой будут вылетать частицы, а за ней — только пол и две стены, все из сырого бетона. Марсель спросил меня, смогу ли я справиться с перфоратором. На что я ответил «Конечно, да». Затем он вложил мне в руки чудовищный агрегат для сверления отверстий в бетоне. Да, на самом деле требуется определенное количество детекторов, которые будут регистрировать время прибытия и положение частиц пучка. Эти «счетчики» устанавливаются на полу и вдоль стен по всей линии прохождения пучка, от выводного канала от самого ускорителя до зоны, где устанавливалось наше оборудование.

Поэтому я начал свое первое пребывание в ЦЕРНе с того, что… без устали бурил отверстия в довольно прочном бетоне! Марсель был трудоголиком, и работа продвигалась вперед без единой минуты отдыха: установка счетчиков, прокладка кабелей на десятки метров в сторону маленькой диспетчерской, где находился компьютер, который будет записывать тестовые данные, настройка всей электроники, настройка усилителей, логических схем, тестирование программного обеспечения для сбора данных… Прибыв в понедельник утром, мы завершили установку только около полудня среды, прерываясь лишь на то, чтобы перекусить по-быстрому в соседнем кафетерии. Все было в рабочем состоянии, готово к приему первых пучковых частиц и испытанию нашего прототипа детектора.

Я находился в очень странном состоянии: мои руки болели, все тело казалось еще тряслось от могучего перфоратора, голова переполнена всевозможной информацией, которую я узнал, глядя как мой руководитель стремительно настраивает сложнейшую электронику. Перед тем как лечь спать, мы зашли выпить пива в главный кафетерий, и я рухнул в кресло перед кофейным столиком. Вокруг, конечно, все говорили: кто на английском, кто на других языках. Держа в руках кофе, люди беседовали, спорили, строчили что-то на бумажных салфетках. Через пару столиков от меня Мюррей Гелл-Манн (Нобелевская премия в 1969 г.) болтал с Карло Руббиа (тот уже слыл известным физиком, хотя на тот момент еще не получил свою Нобелевскую (она нашла его в 1984 г.)). В таком вроде бы и странном состоянии слабости, но в то же время в ясном сознании я подумал: «Это место силы».

Лагранжиан возвращается

Вернемся к уравнению Стандартной модели. Уравнение вида L =… указывает на то, что это лагранжиан, оператор, который мы уже встречали в главе 2. Правильная теория лагранжиана содержит математическое описание составляющих материи и их взаимодействий. В случае лагранжиана Стандартной модели первые два его члена соответствуют, грубо говоря, электромагнетизму после изобретения уравнения Дирака: один описывает фотоны, другой — электроны.

В следующих членах выражения для лагранжиана вы заметите символ ф, который обозначает «поле Хиггса», более известное как «бозон Хиггса». Эта новая частица, необходимая для самосогласованности Стандартной модели, возникла в 1964 г. в более простом виде, а затем, спустя несколько лет, уравнение уже приняло форму, приведенную выше.

Между 1930-м и 1960-м гг. ядерная физика и физика элементарных частиц достигли большого прогресса. Все началось с экспериментов по изучению космических лучей — элементарных частиц, что приходят с неба. Затем ученые стали производить опыты на ускорителях, благодаря чему были открыты новые элементарные частицы, которые уже не являлись составляющими обычной материи, а также новые взаимодействия.

Теория также развивалась, или скорее теории, так какпоначалу каждый вновь открытый тип взаимодействия требовал своей собственной теории: электромагнетизм описывал электроны и фотоны, слабые взаимодействия описывали радиоактивные распады, а сильные взаимодействия — сцепление внутри атомных ядер. Примерно в 1960 г. физики наконец-то смогли понять, что между этими взаимодействиями есть некое сходство, однако им не удавалось объединить их в одну согласованную общую структуру. В частности, оказалось, что хотя теории электромагнетизма и слабых взаимодействий очень близки, но все же они разделены непреодолимым препятствием.

В 1964 г. появились две статьи, которые стали решением данной проблемы. Первая была написана двумя бельгийскими теоретиками Робертом Браутом и Франсуа Энглертом, а вторая — шотландским теоретиком Питером Хиггсом. Ключевым моментом стало введение нового «поля» со странными свойствами: само его существование изменяет свойства всех других частиц, в том числе их массу и взаимодействия. Эта новая теория самым изящным образом обошла стену, отделявшую электромагнетизм от слабых взаимодействий: это действительно одно взаимодействие, но простое наличие поля Хиггса заставляет их проявляться по-разному в двух различных формах. Такая «маскировка» аккуратно и последовательно действует на все частицы.

Самое главное, что теория сформулировала ряд неожиданных предсказаний, проверить которые на ускорителях частиц можно будет или сейчас, или в будущем. Говорилось, что предполагается обнаружить частицу под названием Z⁰, похожую на фотон, но с очень большой массой (по тем временам), примерно в 100 раз больше массы протона. Кроме того, это новое поле проявилось в виде еще одной новой частицы, которая довольно быстро стала известна под названием «бозон Хиггса».

Таким образом, было устранено основное препятствие, и построена Стандартная модель вслед за эволюцией ускорителей частиц: некоторые уже известные частицы были гармонично включены в эту структуру (мюоны, нейтрино). Следом последовало открытие других частиц, таких как кварки, из которых состоят протоны и нейтроны, а затем еще несколько новых типов кварков, которые каждый раз красиво находили свое место в структуре модели. В 1984 г. частицу Z⁰ обнаружили в ЦЕРНе, а в 1995 г. последний и самый массивный кварк Стандартной модели был идентифицирован в лаборатории Ферми неподалеку от Чикаго.

Охота на Хиггса

Но где же бозон Хиггса? Стандартная модель описывала все его свойства… кроме самого важного с экспериментальной точки зрения — его массы. С большим трудом удалось нащупать диапазон возможных масс с самым высоким значением далеко за пределами досягаемости ускорителей 1970-х гг. Поэтому каждый раз, когда новый ускоритель вступал в действие, физики охотились за Хиггсом, но как-то бессистемно, так как они не знали, хватит ли энергии, чтобы произошло его рождение в эксперименте. В 1989 г. (14 июля — легко запоминающаяся дата для французов^[64]!) ЦЕРН запустил в эксплуатацию LEP, огромный электронно-позитронный коллайдер диаметром 8,6 км. До 2000 г. LEP достиг впечатляющего количества измерений, которые завершили и усовершенствовали Стандартную модель, однако Хиггс оставался вне досягаемости.

Уже в 1984 г. несколько десятков физиков провели семинар в Лозанне, чтобы обсудить nocт-LEP-эру: почему бы не смонтировать в том же туннеле протон-протонный коллайдер, БАК, который и заменит LEP, и сможет позволить достичь гораздо более высоких энергий? Пусть даже ускоритель LEP и откроет Хиггса, все равно БАК поможет лучше изучить его свойства в Стандартной модели. Если этого и не произойдет, то БАК, обладая достаточной энергией, чтобы охватить весь возможный диапазон масс, почти наверняка позволит обнаружить бозон Хиггса, если тот действительно существует.

Так как я являлся аспирантом (в 1984 г. защищал диссертацию), то смог присутствовать на том самом семинаре. Атмосфера действительно была восторженной и творческой, но я не могу сказать, что мы по-настоящему верили, что БАК будет построен… Мы тогда только начинали осознавать огромные проблемы, связанные с разработкой и реализацией столь мощного проекта. Как на стороне ускорителя, так и на стороне детекторов, которые будут построены для наблюдения этих столкновений, технологии должны были стать намного совершеннее, чем ноу-хау того времени. От магнитного поля и точности детекторов к скорости электроники и количеству данных, что необходимо обрабатывать, и т. д. Нами было сделано всего лишь несколько предварительных оценок нерешенных на тот момент проблем, и каждый раз результат выглядел ужасающим. Однако если присмотреться повнимательнее и учесть вполне предсказуемый технологический прогресс, то почему бы и нет?

Яркое подтверждение

Остальное уже хорошо известно: десятилетие инженерного проектирования и дипломатии, чтобы убедить глав государств — членов ЦЕРНа и некоторых других стран; затем еще одно десятилетие строительства в ЦЕРНе и в большом количестве лабораторий во всем мире. И вот в 2008 г. на ускорителе БАК был наконец-то получен первый пучок. А в 2011 и 2012 гг. после столь суматошного запуска ускоритель и эксперименты на нем достигли высокого уровня производительности. У команд появилась возможность для активных поисков бозона Хиггса при многочисленных столкновениях протонов.

4 июля 2012 г. (важная дата для США^[65]!), после более чем 20-летней подготовительной и всего лишь 2-летней работы БАКа, директора ЦЕРНа призвали к проведению внеочередного семинара в Большом зале под названием «Поиск бозона Хиггса на БАКе в экспериментах ATLAS и CMS». ATLAS и CMS — это две большие коллаборации (каждая включает около 3000 физиков), которые используют два огромных детектора, расположенных в двух противоположных точках вдоль кольца БАКа и в которых, собственно, и происходят столкновения протонов. Их сотрудники независимы и даже являются конкурентами, а полученные ими предварительные результаты держатся в строгом секрете.

Как и все мои коллеги из ATLAS, я знал результат, который доложит наш представитель Фабиола Джанотти^[66], но не владел информацией, что скажет Джои Инкандела^[67] из CMS. Только генеральному директору ЦЕРНа и обоим представителям коллабораций были заранее известны все результаты. Анализ данных, проведенный непосредственно нашей коллаборацией, подтвердил существование новой частицы, которая действительно очень напоминала бозон Хиггса. Мы могли бы предполагать, что раз такой семинар организован с приглашением представителей прессы и делегатов государств-членов, то и нашими конкурентами также получен положительный результат. Когда мы вошли в аудиторию, Питер Хиггс и Франсуа Энглерт, приглашенные ЦЕРНом^[68], уже находились там. Но будут ли эти два результата совместимы? Для нас, специалистов, было важно, каковы в деталях доказательства, полученные другой коллаборацией, если таковые имеются. Мы были готовы сравнить каждый зафиксированный распад, каждое число с тем, что получили в наитруднейшем эксперименте.

Джои почти целый час представлял доклад о результатах CMS. После него Фабиола доложила о тех результатах, которые получила ATLAS. Зал наполнился долго нескончаемыми аплодисментами, а мы отправились на пресс-конференцию, после завершения которой каждого из нас, представлявшего ту или иную страну, журналисты попросили прокомментировать произошедшее. Это продолжалось еще в течение нескольких часов.

Ближе к вечеру у меня появилась возможность остаться наедине с самим собой и, немного расслабившись, отдохнуть в тихом месте. Я вновь находился в состоянии замешательства и как бы пограничном состоянии сознания из-за явной нехватки сна после всех дней и ночей, отданных для того, чтобы подвергнуть тщательному анализу полученные данные. Мне вспомнился первый визит в ЦЕРН, те самые дыры в бетоне. Мы вновь оказались здесь в 2012 г., и бозон Хиггса, изобретенный теоретиками в 1964 г., теперь был экспериментально подтвержден. Его масса составляла 125 ГэВ, что примерно в 130 раз больше массы протона. Теперь я мог спокойно идти спать.

Эпилог Ограничения Стандартной модели… и физика будущего

Стандартная модель была завершена экспериментальным подтверждением существования бозона Хиггса. Питер Хиггс и Франсуа Энглерт в 1993 г. получили Нобелевскую премию. Но приключения на этом не закончились.

Фактически я кое-что ранее недосказал: лагранжиан, показанный в предыдущей главе, — это всего лишь шаблон для Стандартной модели. На практике данная модель содержит множество произвольных параметров и несколько случайных ограничений. Потому ее полный лагранжиан выглядит примерно как формула, что приведена на следующей странице^[69]!

Выше же показано уравнение, о котором все физики могут пока только мечтать: идеально обтекаемое, с нулевыми свободными параметрами, «уравнение всего сущего» в некотором смысле. Как вы можете видеть, мы все еще довольно далеки от этого с нашей Стандартной моделью!

Неужели стандартная?

Прежде чем очертить ее ограничения, хотелось бы вернуться к самому названию «Стандартная модель». Это выражение интересно, потому что говорит о науке в самых разных смыслах. Она становится глобальной, поскольку все физики в мире используют один и тот же формализм, одни и те же обозначения. Они договорились, что определенная теория является общей для всех и что она объясняет экспериментальные измерения, выполненные до настоящего времени.

Здесь можно было бы видеть форму «диктатуры», где отвергается любая «нестандартная» идея. Действительно, как и многие мои коллеги, я получаю письма или послания от людей, которые думают, что открыли скрытый смысл мира, утверждая, что их отвергает мировая элита, отчего они лишены возможности опубликовать свои труды, да и вообще являются жертвами интеллектуальной тирании научного сообщества. В их воображении «Стандартная модель» — не что иное, как лживая догма^[70].

А ведь все как раз ровно наоборот! Эта всеобщая стандартизация стала опять же формой смирения и открытости. Мы договариваемся о том, что является стандартным, стараясь как можно лучше обсудить, что может относиться к нестандартному. Модель постоянно анализируется, исследуется, препарируется, причем в мельчайших деталях. Изучили ли мы все предсказания, по крайней мере проверяемые? Можем ли мы представить себе новый эксперимент, который способен проверить Стандартную модель каким-либо иным способом?

Большая согласованность модели позволяет проверить ее с самых разных точек зрения: в столкновениях протонов сверхвысоких энергий на БАКе, при высокоточных измерениях на нескольких атомах или, опять же, из космических наблюдений. Откуда бы оно ни исходило, как только проводится новое измерение, научное сообщество сразу же сверяет его со Стандартной моделью. Согласуется ли оно с предсказанием модели для этого эффекта или нет? Вопреки идее тех, кто осуждает потенциальный научный империализм, мечта каждого физика — не подтвердить официальную теорию, а наоборот, найти в результатах каждого нового эксперимента определенный признак того, что Стандартная модель ошибочна^[71].

Кроме того, даже если мы используем Стандартную модель каждый день, нам хорошо известны ее ограничения и несовместимость. Казалось бы, что с открытием бозона Хиггса в 2012 г. глава «Элементарные частицы» стала выглядеть полной и законченной, однако ее основные составляющие все еще пока остаются необъясненными. Например, материя состоит из двенадцати элементарных частиц, принадлежащих к трем семействам по четыре частицы в каждом: первое семейство — это то, из чего состоит обычная материя, а два других — копии первого, содержащие существенно более массивные частицы с аналогичными свойствами^[72]. Почему существуют эти три семьи? Этого, увы, никто не знает. Мы можем лишь видеть, что модель хорошо описывает результаты экспериментов; в частности, существование этих трех семейств подразумевает наличие неких тонких симметрий в модели, которые нельзя было бы наблюдать, если бы существовало только одно или два семейства и которые действительно были экспериментально замечены.

Массы частиц, интерпретируемые как интенсивность их взаимодействия с полем Хиггса, являются свободными параметрами теории наряду со всеми другими интенсивностями. Мы, к сожалению, можем их измерить только экспериментальным путем. Таким образом, всего можно насчитать 27 свободных параметров теории, которые поддаются экспериментальной корректировке. Математический аппарат теории фундаментальных взаимодействий хорошо формализован и изучен, но почему он именно такой, а не какой-то другой?

Итак, мы имеем в руках связную и мощную теорию, которая была проверена десятками разнообразных измерений и ни разу не доказана ошибочной, по крайней мере на малых масштабах расстояния, в мире элементарных частиц. Единственное «но», с чем нам придется смириться, — это некоторая доля произвольного выбора, возникающего из необходимости экспериментального определения свободных параметров модели^[73].

Но где же гравитация?

Еще один недостаток: современная квантовая теория поля не включает в себя гравитацию. Ее описание вполне себе существует в рамках классической общей теории относительности, которую нам так и не удалось переписать в квантовой версии. Это не имеет никакого значения в мире элементарных частиц, где гравитационные силы чрезвычайно слабы по сравнению с другими взаимодействиями. В человеческом масштабе обе теории могут сосуществовать, не общаясь: наши частицы, атомы подчиняются Стандартной модели, тогда как тело в целом подчиняется гравитации. В масштабе звезды эти две теории все еще хорошо разделены и влияют друг на друга лишь через глобальные, простые эффекты, такие как сохранение энергии.

Однако существует серьезная проблема: астрономические наблюдения показывают, что поведение галактик, их скоплений и Вселенной в целом не подчиняется законам Стандартной модели и общей теории относительности. Это не тот случай, когда пара «Стандартная модель плюс общая теория относительности» кажется неправильной в этих масштабах, но она оказывается, по крайней мере, неполной. Чтобы получить верное описание Вселенной, эти две теории необходимо дополнить несколькими компонентами и, в частности, объяснить, что скрывается за знаменитой «темной материей» и не менее известной «темной энергией». Благодаря точным астрономическим измерениям мы почти уверены, что эти две сущности не могут быть описаны нынешней Стандартной моделью и нынешней общей теорией относительности. Можно привести различные модели для их обозначения, но ни одна из них не описывает всего, да к тому же они не в состоянии решить многие проблемы одновременно. Ни одна модель не превосходит другие; следовательно, ни одна не достигла статуса новой Стандартной модели.

Итак, с одной стороны, у нас есть две теории, которые не взаимодействуют друг с другом, а с другой — есть необъяснимые наблюдения. Большинство физиков считает, что когда-нибудь будет найдено общее решение этих двух проблем: и квантовой теории гравитации, и природы «темной материи» и «темной энергии». Кто знает, быть может, это решение будет заключаться в гораздо более масштабной «смене парадигмы», и мы — или наши внуки — начнем высмеивать наивность теорий XX в.

Окончательное уравнение?

Пока же мы продолжаем использовать этот неполный и несовершенный инструмент. Так происходит всегда, когда человек находится на переднем крае научного прогресса. Потребуется немало времени, проведенного в сомнениях, колебаниях, а также различных экспериментов, неправильных измерений, которые позже будут исправлены, более или менее хорошо написанных работ, бесплодных или плодотворных усилий, крупных или малых открытий в областях, очевидно, столь же различных, как космология и физика элементарных частиц на ускорителях, чтобы однажды вся эта мешанина из терминов могла быть заменена парой красивых символов, обозначающих элегантную и гармоничную теорию, такую как уравнение в начале этой главы:

Здесь ψ — фундаментальный объект природы, основная составляющая частиц, полей, скаляров, спиноров, солитонов, струн, мембран, кривизны, топологии…

А фундаментальный операторрасшифровывается как основное уникальное правило, закон.

Это равенство = 0, потому что таков наш способ описания существования мира: объект, подчиненный закону. Траектория, равновесие. Внутриможет случиться очень многое. Энергия превратится в материю, кривизна пространства-времени станет энергией, флуктуации начнут развиваться, черные дыры — расти и испаряться, а сама Вселенная — рождаться и исчезать (или же, наоборот, оставаться вечной). Короче говоря, все содержится в.

Это реальность? Действительно ли существует Вселенная с подобным уравнением в качестве закона? Или это уравнение — всего лишь представление нашего времени, которое столь малые умы спроецировали на Вселенную или даже только на самих себя?

Вопрос увлекательный, но несколько напрасный, так как едва будет воздвигнуто это чудесное интеллектуальное здание, в его фундаменте появятся трещины. Новое крошечное измерение, которое не будет входить в известные рамки, или даже мысленный эксперимент, который укажет на какое-то внутреннее противоречие, и мы тут же добавим новые члены и новые параметры в уравнение, тем самым отказавшись от его чистоты, которая на ту пору станет уже бесполезной, и продолжим работать дальше:

— до следующей научной революции, до следующей смены парадигмы…

Примечания

1

Евклид сформулировал закон отражения правильно, однако ошибался относительно направления распространения света, — он был уверен, что лучи «света» испускаются глазами!

(обратно)

2

Не очень долго: самая первая оценка скорости света была предложена в 1676 г. Олафом Ремером, заметившим, что когда Земля удалена от Юпитера на б0льшее расстояние, затмения спутника Юпитера Ио наблюдаются на 22 мин позднее расчетного времени. Еще один невероятный вывод! Ремер получил не очень точное (220 000 км/с), но конечное значение, правильное по порядку величины!

(обратно)

3

Закон преломления в своей оригинальной форме был получен Ферма из условия минимального времени движения для частицы, пересекающей границу раздела двух сред с различными скоростями движения. Этой частицей может быть, например, человек, идущий из точки А, расположенной в лесу, в точку Б, расположенную на поле, через границу лес/ поле. Если скорости движения по полю и в лесу различны, то в предположении минимального времени хода окажется, что оптимальная точка выхода на поле не лежит на прямой АБ. Решив простейшую систему уравнений, нетрудно получить в такой постановке задачи искомый закон преломления. — Прим. перев.

(обратно)

4

Возможно, использование y связано с желанием обобщить понятие ускорения на основе наиболее распространенного примера — ускорения свободного падения, обозначаемого g.

(обратно)

5

Эта простейшая форма записи закона всемирного тяготения описывает гравитационную силу, возникающую между двумя точечными телами. Для расчета силы притяжения двух массивных тел на не очень большом расстоянии используется обобщенная формула, представляющая сумму гравитационных сил между всеми точками тел. Такая сумма называется интегралом. — Прим. перев.

(обратно)

6

И все-таки она вертится (итал.)

(обратно)

7

В том смысле, что массы планет не изменяются и никакие новые массивные небесные тела не прилетают извне. — Прим. перев.

(обратно)

8

150 млн км — это примерно радиус земной орбиты в Солнечной системе.

Однако такая неопределенность отнюдь не означает, что Земля может врезаться в Солнце. Неопределенность координат состоит из трех компонентов: вдоль орбиты, вдоль радиуса и перпендикулярно плоскости эклиптики. Неопределенность координат вдоль радиуса до Солнца существенно меньше и составляет несколько десятков тысяч километров, что, вообще говоря, не страшно. А вот неопределенность в 150 млн км вдоль эллипса орбиты Земли означает, что мы не знаем, какое время года будет на Земле через 100 млн лет, — ранняя весна или середина лета. — Прим. перев.

(обратно)

9

Также называемое законом Менделеева-Клапейрона. — Прим. перев.

(обратно)

10

Настоящее родовое имя — Кашьяпа. Автор трактата «Вайшешика-сут-ра», в котором он вводил среди различных категорий реальности четыре категории «ану» — частицы материального — земля, вода, огонь и воздух. — Прим. перев.

(обратно)

11

«Как вам это понравится?!» В оригинале Шекспира используется слово atomies, что, скорее всего, означает частицы пыли в воздухе, мерцающие в солнечном луче. Но ведь так интересно записать в атомистов еще и Шекспира.

(обратно)

12

Проводя исследования химических реакций молекулярных газов, в частности оксидов азота, этилена и метана, Джон Дальтон установил закон кратных отношений, т. е. то, что определенные молекулы вступают в реакции друг с другом в неизменной пропорции. На основании этого он постулировал, что в химические реакции вступают отдельные атомы и молекулы веществ. — Прим. перев.

(обратно)

13

Автор до этого ни слова не говорил о вязкости. Вязкость газов и жидкостей определяется как внутреннее трение и отнюдь не равна нулю для идеального газа. Однако для идеальных, т. е. сильно разреженных, газов вязкость не зависит от давления. Видимо, имеется в виду именно это. — Прим. перев.

(обратно)

14

См. книгу «Réflexions sur la puissance motrice du feu» Саади Карно, одного из основателей термодинамики.

(обратно)

15

Патрик Пьюзо, спасибо за эту шутку

(обратно)

16

В английском языке для описания объектов, к которым применяется данное уравнение, используется короткое и емкое слово fluids, обозначающее все, что течет, то есть жидкости и газы. В той форме, в которой это уравнение приведено здесь, оно позволяет решать только задачи движения несжимаемой жидкости. — Прим. перев.

(обратно)

17

Возможно, автор рефлексирует песню Гэри Мура «Out in the fields». -Прим. перев.

(обратно)

18

Решение задачи о существовании так называемого сильного решения уравнений Навье-Стокса в произвольном случае — это одна из семи сложных математических проблем, за решение которых Математическим институтом Клея (Кембридж, США) обещана немалая награда (в 2002 г. наш соотечественник Григорий Перельман решил одну из этих задач — гипотезу Пуанкаре). Пока (на 2019 г.) решение проблемы о существовании и единственности решений уравнений Навье-Стокса не было получено… — Прим. перев.

(обратно)

19

Еще раз напомню, что уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости не годится для описания полета самолета: летательный аппарат летит именно потому, что воздух сжимаем! — Прим. перев.

(обратно)

20

Главное отличие системы СИ состоит в том, что при ее использовании в уравнениях Максвелла появляются две новые константы, не имеющие (почти) никакого физического смысла: диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость вакуума, обозначаемые, соответственно, е₀ и μ₀ и принимающие совершенно неудобоваримые численные значения. В гауссовой системе эти величины равны 1/4π и 1/с² (c — скорость света), что намного проще при запоминании и записи. -

(обратно)

21

Обычно называемый SPS — суперпротонный синхротрон, запущенный в 1976 г. В режиме встречных пучков протонов и антипротонов (SppS) он работал с 1981 по 1984 г. — Прим. перев.

(обратно)

22

Теория электрослабого взаимодействия Вайнберга-Глешоу-Салама, удостоенная Нобелевской премии в 1979 г. — Прим. перев.

(обратно)

23

Имеется в виду то, что именно Эйнштейн написал письмо, в котором настоятельно с позиции своего непререкаемого авторитета убеждал президента США разработать военную ядерную программу с целью создания оружия. Без этого письма, весьма вероятно, «Манхэттенский проект» начался бы существенно позднее. — Прим. перев.

(обратно)

24

В уравнениях Максвелла вообще никак не используется скорость движения зарядов и полей, то есть неявно предполагается инвариантность законов электродинамики относительно движения. Эксперименты, проведенные в конце XIX в. английскими физиками Майкельсоном и Морли, явным образом продемонстрировали независимость скорости света от направления распространения при движении излучателя. Эти результаты подтолкнули теоретика Хендрика Лоренца к поиску объяснения такого эффекта. — Прим. перев.

(обратно)

25

За это время любые известные на тот момент источники химической энергии (горение топлив) исчерпали бы исходную массу реагирующих веществ. — Прим. перев.

(обратно)

27

Лишь Отто Ган получил Нобелевскую премию по химии в 1944 г. Но отнюдь не Лиза Мейтнер, которая действительно первой поняла механизм ядерного деления, один из худших примеров дискриминации… (Мутная и темная история, в которой, возможно, и не было места для дискриминации по половому признаку. Скорее всего, против Мейтнер голосовал член Нобелевского комитета Сигбан, в лаборатории которого она работала после бегства из Австрии, недовольный тем, что сотрудничала она с ним, а статьи писала с Ганом и Фришем. — Прим. перев.)

(обратно)

28

Из-за их еврейского происхождения: и Мейтнер, и Эйнштейн были вынуждены бежать из фашистской Германии. — Прим. перев.

(обратно)

29

Подлинный текст этой цитаты Оппенгеймера из Бхагавад-Гиты таков: «Если сияние тысячи солнц вспыхнуло бы в небе, это стало бы подобно блеску Всемогущего. Я становлюсь смертью, сокрушительницей миров.» Оппенгеймер увлекался индийской культурой и философией, но нет никаких свидетельств, что эту фразу он произнес сразу после испытаний. Впервые она была произнесена через несколько лет в одном из интервью для прессы. «Ярче тысячи солнц» — так называлась книга Роберта Юнга, посвященная драматической истории создания ядерно-го оружия. — Прим. перев.

(обратно)

30

Невозможно не согласиться с этим. «Чтобы стоять на месте, надо бежать изо всех сил» — эта фраза Белой Королевы как нельзя лучше отражает суть современной науки, и количество открываемых каждый год в погоне за деньгами, славой или еще чем-то ящиков Пандоры иногда немного пугает. — Прим. перев.

(обратно)

31

Это действительно все объекты, от элементарных частиц до гор, планет и звезд. Даже огромную Вселенную теоретически можно описать одной-единственной волновой функцией, которая должна будет зависеть от положений и скоростей всех атомов и электронов в них, что, очевидно, абсолютно нереально сделать на практике. — Прим. перев.

(обратно)

33

Интересующийся этим вопросом читатель может обратиться к книге Роджера Пенроуза «Новый ум короля», в которой великий математик и физик весьма решительно обозначает тот аристотелев «круг незнания», к границам которого сейчас вплотную подошли современная физика и отчасти биология. — Прим. перев.

(обратно)

34

Такого рода задачи (обычно одна или две) включены в список вопросов на экзамене по физике в конце девятого класса средней школы в России. Решение конкретно этой очевидно: уровень воды в бассейне понизится. До сброса камня объем вытесняемой лодкой воды по закону Архимеда определялся весом лодки и камня на воздухе по формуле <вес лодки, человека и камня>/<плотность воды>. После погружения камня объем вытесняемой лодкой воды стал меньше на <вес камня>/<плотность воды>, но уровень воды в бассейне увеличился на малую величину <вес камня>/<плотность камня>. Суммарное изменение уровня составит (<вес камня>/<плотность камня> — <вес камня>/<плотность воды>). Таким образом, чем больше плотность камня, тем сильнее эффект. — Прим. перев.

(обратно)

35

На самом деле тот факт, что нагретые атомы излучают линейчатый спектр, был открыт гораздо раньше уравнения Шредингера, в 1854 г., Кирхгофом и Бунзеном. В конце XIX — начале XX в. спектроскопический метод довольно широко использовался в научных исследованиях, и понимание того, что спектр — это однозначный портрет атома, уже было. Корректным математическим объяснением линейчатого спектра явилось появление модели атома, предложенной Нильсом Бором в 1913 г., которая, однако, требовала изначального постулирования квантового, то есть скачкообразного, изменения энергий электронов. Уравнение Шредингера позволило решить задачу об энергиях электронов в атомах и получить искомые квантовые уровни без каких-либо дополнительных предположений. — Прим. перев.

(обратно)

36

Улыбка кота — устаревшая и малоупотребимая в век инстаграмма и прочих твиттеров идиома: до цифровых фотоаппаратов и фотошопа считалось, что кошки не улыбаются. Автор имеет в виду нечто, что вроде бы и есть, но практически неуловимо. Задумайтесь об этом, вспомнив Чеширского Кота Льюиса Кэррола — этот сверхулыбчивый Кот, видимо, был даже вовсе не котом. — Прим. перев.

(обратно)

37

Это верно, если скорость частицы намного меньше скорости света. В противном случае формула для импульса становится сложнее, но соотношение неопределенностей не изменяется.

(обратно)

38

1 м/с равен 3,6 км/ч.

(обратно)

39

Речь идет о проверке гипотезы Эйнштейна о «локальном реализме», или детерминированном поведении частиц на малом масштабе. Белл, основываясь в том числе на своей теореме, предложил две схемы экспериментов (с одним или двумя отверстиями; примерная суть этих экспериментов описывалась в главе 10) для проверки данной гипотезы. Впервые эксперимент с одним отверстием был выполнен Фридманом и Клаузером в 1972 г., но команда Алана Аспекта в 1982 г. блестяще осуществила три варианта экспериментов Белла, и эта работа получила наибольшую известность. — Прим. перев.

(обратно)

40

Да, это так. И дело не только в авторитете Эйнштейна, до самой смерти сомневавшегося в «квантовой неопределенности» и искавшего способ сохранить в физике и уравнения Шредингера, и детерминированность. Классическая квантовая теория описала все возможные взаимодействия, кроме гравитации, на которой… споткнулась. И отсутствие квантовой гравитационной теории — лишь одна из самых больших и заметных прорех в ткани нашего понимания мироздания, как бы окно в непознанное. Пример же совмещения детерминированного и случайного находится прямо перед глазами: движение отдельных частиц в сосуде с газом вполне себе детерминировано, однако все реальные и измеримые характеристики этого газа: температура, давление и так далее — статистические и колеблются вблизи неких средних значений. Теории, развивающие подобный подход и к квантовому миру, вполне себе существуют. — Прим. перев.

(обратно)

41

Теоремы Геделя (их две на самом деле) — одна из тяжелейших и мощнейших оград, защищающих науку от поползновений шарлатанов. Если продраться сквозь сложную математическую терминологию, их суть для физика заключается в том, что любая математическая теория, претендующая на непротиворечивость и, следовательно, проверяемость, должна включать в себя аксиомы арифметики. А все шарлатаны очень сильно не любят то, что А + Б = Б + А. — Прим. перев.

(обратно)

42

Аберрантный — сбившийся с пути, заблудший, запутавшийся. — Прим. перев.

(обратно)

43

Hervé Zwirn написал впоследствии несколько книг на эту тему.

(обратно)

44

Le Monde — умеренная левая французская ежедневная газета с интеллектуальными амбициями. Лето во Франции — довольно пустое время для политики, следовательно, это возможность для более глубоких исследований…

(обратно)

45

La Recherche — французский ежемесячный научный журнал, сравнимый с Scientific American.

(обратно)

46

Апподжатура — вид модификации музыкальной ноты, обозначаемый верхним или нижним дополнительным к обозначению этой ноты значком. — Прим. перев.

(обратно)

47

Один из величайших физиков XX в. монсеньор Жорж Анри Жозеф Эдуард Леметр был священником и профессором Католического университета. В 1927 г. он написал научную работу, в которой предсказал закон Хаббла для расширяющейся Вселенной, а в 1931 г. доказал, что единственным вариантом начальной эволюции расширяющейся, в соответствии с законом Хаббла, Вселенной является, в его терминологии, «начальная сингулярность», и предложил модель такой сингулярности. Сейчас сингулярность Леметра называют «Большим взрывом». — Прим. перев.

(обратно)

48

Сейчас Вселенная в среднем очень холодна; ее «температура» определяется так называемым «реликтовым излучением», опять же предсказанным Леметром и в 1965 г. обнаруженным Пензиасом и Уилсоном. Согласно последним измерениям, средняя температура Вселенной чуть меньше -270 °Cниже точки кипения жидкого гелия! — Прим. перев.

(обратно)

49

LIGO — лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория. Это два гигантских оптических двуплечевых интерферометра с длиной каждого плеча по 4 км. Расстояние между интерферометрами составляет 3300 км, что позволяет определять направление на источник гравитационной волны. — Прим. перев.

(обратно)

50

Автор, похоже, изучал в детстве сольфеджио. — Прим. перев.

(обратно)

51

То есть при скоростях, сравнимых со скоростью света. — Прим. перев.

(обратно)

52

Spin — вращение. — Прим. перев.

(обратно)

53

Так называемые релятивистские поправки. — Прим. перев.

(обратно)

54

Замечу, что понятия «энергия» и «фотон» в физике элементарных частиц тождественны. Если в процессе взаимодействия двух частиц выделилась энергия, это означает, что область взаимодействия покинул фотон, имеющий соответствующую энергию. — Прим. перев.

(обратно)

55

БАК — большой адронный коллайдер. Коллайдер — это ускоритель элементарных частиц, в котором изучается взаимодействие двух встречных потоков заряженных частиц, например протонов и антипротонов. — Прим. перев.

(обратно)

56

…We are such stuff As dreams are made on and our little life Is rounded with a sleep. Мы созданы из тех же дум, что наши сны. И в сон погружена вся наша маленькая жизнь. У. Шекспир «Буря». — Прим. перев.

(обратно)

57

Суть проблемы в том, что никаких «частиц» в квантовой теории поля нет и быть не может. Релятивистское квантовое поле «размазано» в пространстве, и «частица» может «возникнуть» только как результат взаимодействия с другим полем. Проявлению у поля физически измеримых и проверяемых свойств — энергии и массы — должно соответствовать испускание виртуальных частиц — квантов взаимодействия, которые, в свою очередь, являются полями. Но это взаимодействие приводит к изменению эффективной массы и энергии исходной частицы-поля. Проблема оказалась в том, что, подставив в правильные формулы правильные величины, физики в 1930-х гг. начали получать в ответах ничего не значащие бесконечные значения, например для изменения энергии электрона при взаимодействии с фотоном. Фейнман, Швингер и Томонага решили эту проблему, постулировав, что бесконечно бОльшую затравочную массу частицы, которую она имеет в виртуальных взаимодействиях, следует устремить к бесконечности строго определенным способом. Поскольку затравочная масса не наблюдаема, считается, что этот произвольный выбор затравочной массы является математически корректной процедурой. На самом деле за диаграммами Фейнмана скрывается именно этот набор формул для регуляризации затравочных масс разных частиц в разных взаимодействиях; нарисовав одну из диаграмм Фейнмана, вы выбираете соответствующий интеграл. — Прим. перев.

(обратно)

58

Так называемый эффект Комптона. — Прим. перев.

(обратно)

59

Кроме гравитации, увы. Пока с квантовой гравитацией получается не очень здорово; это значит, что новому поколению физиков есть чем заняться. — Прим. перев.

(обратно)

60

То есть просто придумал новый, красивый и чудесный лагранжиан (см. в конце главы 2). Дальше следует «простейшая», а на самом деле зубодробительная математическая процедура — и в результате получаем измеримые величины: массы частиц и вероятности процессов, которые можно сравнить с экспериментально измеренными. — Прим. перев.

(обратно)

61

«Экриты» (1977) — одна из книг французского психоаналитика Жана Лакана. — Прим. перев.

(обратно)

62

PhD — доктор философии — это аналог кандидатской диссертации в России, первая полностью самостоятельная научная работа молодого ученого, демонстрирующая его способности. — Прим. перев.

(обратно)

63

CEA-Saclay — исследовательский центр французской ядерной корпорации (Commissariat à l’Energie Atomique) неподалеку от Парижа, в одной из лабораторий которого работал автор.

(обратно)

64

День взятия Бастилии, национальный праздник во Франции. — Прим. перев.

(обратно)

65

День независимости США. — Прим. перев.

(обратно)

66

Сейчас — директор ЦЕРНа, первая женщина на этом посту. — Прим. перев.

(обратно)

67

Вообще-то он Джозеф, но так его никто не называет. — Прим. перев.

(обратно)

68

Роберт Браут скончался в 2011 г.

(обратно)

69

Из работы Gutierrez: http://nuclear.ucdavis.edu/~tgutierr/files/sml.pdf.

(обратно)

70

И это действительно так. Математический аппарат современной квантовой теории поля так чудовищно сложен, а скрывающиеся за диаграммами Фейнмана формулы и уравнения настолько не поддаются нетренированному уму, что у некоторых людей, едва познакомившихся с азами квантовой механики и теории поля, возникает соблазн не лезть в эти дебри, а попробовать себя в роли новых Нильсов Боров и Шредингеров и «открыть» «правильную» теорию элементарных частиц. Отсюда возникают и торсионные поля, и электроны, имеющие форму и цвет в классическом понимании, и другая псевдонаучная ахинея. Ближайшая аналогия — игра «пляжного» шахматиста-любителя против гроссмейстера: любителю кажется, что все его ходы вроде бы правильные, но каждый только ухудшает позицию на доске. Со стороны это выглядит, будто гроссмейстер вынимает фигуры из рукава и ставит их там, где ему нужно. Долгие годы практики (и с перфоратором в том числе) позволят понять и научиться пользоваться сложнейшей и красивейшей математикой квантовойтеории поля. Короче, чтобы стать новым Лютером, для начала надо получить хотя бы степень доктора теологических наук. — Прим. перев.

(обратно)

71

Мы вплотную подошли к тому рубежу, за которым может быть открыта принципиально новая физика. Еще не значит, что подобное случится вот-вот, но то, что в «тумане незнания» перед нами скрывается что-то чудовищное и могущественное, — несомненный факт. Это понимают физики всего мира, и отсюда столь масштабные исследования и элементарных процессов при высоких энергиях, и древней космологии — физики хотят найти хоть что-то, что позволит начать двигаться в область непознанного. — Прим. перев.

(обратно)

72

Этим 12 частицам соответствуют 12 античастиц; всего 24 действительно элементарные частицы составляют вещество согласно Стандартной модели. В первом семействе, которое и составляют атомы вещества вокруг нас, «живут» электрон, электронное нейтрино и две субадронные частицы — u-кварк и d-кварк. — Прим. перев.

(обратно)

73

Если вспомнить главы 5 и 6 этой книги, становится понятно, что в этом смысле Стандартная модель не слишком сильно отличается от термодинамики. Сложнейшая математика, но эмпирические, то есть полученные в эксперименте, параметры в уравнениях. Это и не плохо, и не хорошо — такова реальность. Однако данная аналогия, возможно, поможет понять, почему физики считают Стандартную модель некой «оболочкой» реальности, каковой для квантовой механики является, к примеру, термодинамика. — Прим. перев.

(обратно)

Оглавление

Бруно Мансулье Вся физика в 15 уравнениях Иллюстрации Лизон Берне

  Предисловие

  К уравнению всего

  Красивые уравнения

  Уравнение свободы

  Глава 1 Закон отражения света

  Глава 2 Закон Снелла-Декарта и… принцип наименьшего действия

  Глава 3 Главный принцип динамики (второй закон Ньютона)

  Глава 4 Закон всемирного тяготения (классическая теория тяготения Ньютона)

  Глава 5 Уравнение состояния идеального газа[9]

  Глава 6 Закон Гука

  Глава 7 Уравнение Навье-Стокса

  Глава 8 Уравнения Максвелла

  Глава 9 Эквивалентность материи и энергии

  Глава 10 Уравнение Шредингера

  Глава 11 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

  Глава 12 Уравнение Эйнштейна и общая теория относительности

  Глава 13 Уравнение Дирака

  Глава 14 Диаграммы Фейнмана

  Глава 15 Стандартная модель

  Эпилог Ограничения Стандартной модели… и физика будущего

*** Примечания ***