САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ
• Все разделы школьного курса
• Соответствие требованиям ФГОС
Ши
■■
■■■
■■■
класс
А.Н. РУРУКИН
САМОСТОЯТЕ Л ЬН Ы Е
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ
7 класс
МОСКВА • «ВАКО»
УДК 373.5
ББК 22.14
Р87
Издание допущено к использованию в образовательном процессе
на основании приказа Министерства образования и науки РФ
от 14.12.2009 № 729 (в ред. от 13.01.2011).
Р87
Рурукин А.Н.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 7 класс. М.: ВАКО, 2015. - 64 с.
ISBN 978-5-408-02225-0
В пособии представлены самостоятельные и контрольные работы двух уровней
сложности (базовый и высокий) по всем изучаемым темам курса алгебры 7 класса.
К заданиям приведены ответы. Предлагаемый материал позволяет проводить обуче
ние, текущий контроль и коррекцию знаний.
Издание ориентировано на учителей, школьников и их родителей.
УДК 373.5
ББК 22.14
Учебное издание
Рурукин Александр Николаевич
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ
7 класс
Выпускающий редактор Вероника Павлова
Дизайн обложки Екатерины Бедриной
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000.
Издательство «ВАКО»
Подписано в печать 13.05.2015. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Уел. печ. листов 5,18. Тираж 5000 экз. Заказ №462.
Отпечатано в полном соответствии с предоставленными материалами
в типографии ООО «Чеховский печатник».
142300 Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1.
Тел.: +7-915-222-15-42, +7-926-063-81-80.
ISBN 978-5-408-02225-0
Настоящий сборник самостоятельных и контрольных работ по ал
гебре для 7 класса будет полезен при работе как по УМК Ю.Н. Макарычева и др., так и по УМК А.Г. Мордковича и др. (при незначитель
ном изменении порядка следования самостоятельных и контрольных
работ).
Предлагаемые задания могут быть использованы на любом этапе
обучения: при изучении, повторении и закреплении материала, ак
туализации опорных знаний и др.
В пособии представлены 31 самостоятельная и 8 контрольных ра
бот двух уровней сложности (4 варианта). Ко всем заданиям даны от
веты. На выполнение самостоятельной работы отводится 15-20 мин,
контрольной работы - 40-45 мин.
Приведенные материалы избыточны и могут быть использованы
при работе как в классе, так и дома. Рекомендуем задействовать раз
личные формы контроля знаний, так как каждая из них дополняет
другую.
Преподавательская практика показывает, что предлагаемый под
бор работ позволяет эффективно освоить материал 7 класса и подгото
вить учащихся к ГИА и ЕГЭ по изученным темам.
Надеемся, что пособие поможет учителям при подготовке и прове
дении уроков, а также школьникам при изучении материала, закреп
лении и систематизации знаний.
Желаем успехов!
Основные темы курса алгебры в 7 классе
Тема
Тема
Тема
Тема
Тема
Тема
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Выражения, тождества, уравнения.
Функции.
Степень с натуральным показателем.
Многочлены.
Формулы сокращенного умножения.
Системы линейных уравнений.
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения курса учащиеся должны овладеть следую
щими навыками и умениями, представляющими обязательный ми
нимум:
• иметь понятие о числовых и алгебраических выражениях, допу
стимых значениях переменных;
• уметь выполнять простейшие преобразования и решать уравне
ния;
• иметь представление о функции и ее свойствах, уметь строить
графики линейных функций;
• знать определение степени с натуральным показателем и ее
свойства;
• иметь понятие об одночленах и многочленах и действиях с ними;
9 знать формулы сокращенного умножения, уметь использовать
их при преобразованиях выражений, решении уравнений и си
стем уравнений;
9 иметь представление об уравнении и неравенстве с двумя пере
менными, уметь строить их графики;
9 знать основные способы решения систем линейных уравнений.
Выполнение заданий и их оценивание
В пособии представлены 31 самостоятельная и 8 контрольных ра
бот по всем разделам и темам курса алгебры двух уровней сложности.
При этом варианты 1, 2 соответствуют базовому уровню сложности,
варианты 3, 4 - усложненному уровню. Варианты одного уровня со
держат по пять заданий (примерно равноценной сложности). Само
стоятельные работы охватывают материал отдельных тем, контроль
ные работы - материал всего раздела. Задания самостоятельной
работы, в основном, проще заданий контрольной работы.
Рекомендуемые критерии оценки:
• 3 решенных задачи - отметка «3»;
• 4 решенных задачи - отметка 4(4»;
• 5 решенных задач - отметка 4(5».
Учитывая повышенную сложность вариантов 3 и 4, при подве
дении итогов к набранным школьниками баллам можно добавить
1-2 балла (в зависимости от сложности работы).
Разумеется, все приведенные рекомендации не являются догмой
и могут быть пересмотрены в соответствии с реальной ситуацией: ко
личеством часов, отводимых на изучение курса, степенью подготов
ленности класса, сложностью рассматриваемой темы и т. д.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
1. Числовые выражения
Вариант 1
1. Найдите значение числового выражения
(0,937 + 0,7 •0,09): Гз—+ 5—+ 2—- 1 ^ 1
V 3
7
3 7/
2. Фразу «произведение разности чисел 32 и 27 на сумму этих чи
сел» запишите в виде числового выражения и найдите его значение.
3. Вычислите периметр и площадь прямоугольника, стороны кото
рого равны 2,3 см и 3,7 см.
4. Определите, делится ли число 11...12 на 9. Ответ объясните.
43 шт.
5. Стоимость товара повысили на 20%, а затем снизили на 10%.
На сколько процентов изменилась цена товара по сравнению с перво
начальной?
Вариант 2
1. Найдите значение числового выражения
(0,8 • 0,06 + 0,952): ( l | + 2 | + 2^ - 1 | ).
2. Фразу «произведение разности чисел 47 и 42 на сумму этих чи
сел» запишите в виде числового выражения и найдите его значение.
3. Вычислите периметр и площадь прямоугольника, стороны кото
рого равны 2,4 см и 4,6 см.
4. Определите, делится ли число 22...21 на 9. Ответ объясните.
13 шт.
5. Стоимость товара снизили на 20%, а затем повысили на 20%.
На сколько процентов изменилась цена товара по сравнению с перво
начальной?
Вариант 3
1. Найдите значение числового выражения
(37,3 + 53,8 + 22,7 -1 3 ,8 ):
^ ^ ^ А
v
4 2 4 8 8 5 )
2. Фразу .частное от деления суммы чисел 13 и 17 на сумму об
ратных величин этих чисел» запишите в виде числового выражения
и найдите его значение.
3. Используя четыре раза цифру 5 и знаки арифметических дейст
вий, составьте выражение, значение которого равно 80.
5
4. Вычислите сумму ста чисел:
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100.
5. Цену товара три раза повышали на 20%. На сколько процентов
изменилась стоимость товара по сравнению с первоначальной?
Вариант 4
1. Найдите значение числового выражения
(23,6 + 71,7 + 46,4 - 41,7): ( £ ■| ■± • Ц ■§ ).
2. Фразу «частное от деления суммы чисел 11 и 19 на сумму об
ратных величин этих чисел» запишите в виде числового выражения
и найдите его значение.
3. Используя четыре раза цифру 5 и знаки арифметических дейст
вий, составьте выражение, значение которого равно 30.
4. Вычислите сумму ста чисел:
101 + 102 + 103 + ... + 199 + 200.
5. Цену товара три раза снижали на 20%. На сколько процентов
изменилась стоимость товара по сравнению с первоначальной?
2. Выражения с переменными
Вариант
1
1. Найдите число секунд в * часах.
2. Вычислите значение выражения З*2 - 2у при х = 1,2 и у = 0,66.
3. Известно, что при некоторых значениях переменных х и у значе
ние выражения 2х + 3у равно -2 . Найдите значение выражения
8
5(2* + 3у) 2х + Зу ’
4. При каких значениях переменной * не имеет смысла выражение
3*ч-1 _ 7 ?
* 4-2
* — 3 *
5. Поезд ехал 2 ч со скоростью * км/ч и 3 ч со скоростью у км/ч.
Напишите выражение для средней скорости движения поезда.
Вариант 2
1. Найдите число минут в * сутках.
2. Вычислите значение выражения 5*2 4 2у при * = 1,2 и у = 0,9.
3. Известно, что при некоторых значениях переменных * и у значе
ние выражения 3* - 2у равно -3 . Найдите значение выражения
6
2 (3 * - 2 i / ) 3* - 2у ’
4. При каких значениях переменной * не имеет смысла выражение
2* - 1
5 ?
х - 4 * +3
5. Поезд ехал 3 ч со скоростью * км /ч и 4 ч со скоростью у км/ч.
Напишите выражение для средней скорости движения поезда.
-
Вариант 3
1. Найдите скорость в метрах в минуту, если она равна х км/ч.
2. Напишите общий вид целых чисел, которые при делении на 7
дают остаток 3. Найдите такое наибольшее отрицательное число.
3. Известно, что при некоторых значениях переменных х и у значе
ние выражения Зх - 5у равно -4 . Найдите значение выражения
8
3(5у - 3 x f +
Ъу - Зх'
4. При каких значениях переменных не имеет смысла выражение
х -1
2у +1 ?
Зу + 6 2х - 6
5. Поезд ехал х ч со скоростью 30 км/ч и у ч со скоростью 50 км/ч.
Напишите выражение для средней скорости движения поезда.
Вариант 4
1. Найдите скорость в километрах в час, если она равна х м /с.
2. Напишите общий вид целых чисел, которые при делении на 8
дают остаток 5. Найдите такое наибольшее отрицательное число.
3. Известно, что при некоторых значениях переменных х и у значе
ние выражения 4* - 7у равно -5 . Найдите значение выражения
2 ( 7 y - 4 x f + 15
7у - 4х"
4. При каких значениях переменных не имеет смысла выражение
Sx +1 _ Зу - 5 ^
2у - 4 3# + 9
5. Поезд ехал х ч со скоростью 40 км /ч и у ч со скоростью 60 км/ч.
Напишите выражение для средней скорости движения поезда.
3. Сравнение значений выражений
Вариант 1
1. Сравните значения выражений:
А = 0,7 + 0,8 + 0,9 и В = (0,7 + 0,9) : 0,8.
2. Запишите в виде двойного неравенства утверждение: х больше
или равно 17 и меньше 19.
3. Известно, что число а больше числа За. Определите знак числа а.
4. Укажите наибольшее целое решение неравенства х < -3 ,8 .
5. Известно, что число а больше 1,9, число Ь больше 3,8. Найдите
наименьшее целое значение выражения а + Ь (удобно отметить числа
а, b и а + Ъ на координатной прямой).
Вариант 2
1. Сравните значения выражений:
А = 0,2 + 0,5 + 0,8 и В = (0,2 + 0,8) : 0,5.
7
2. Запишите в виде двойного неравенства утверждение: х меньше
или равно 15 и больше 13.
3. Известно, что число 2а меньше числа 4а. Определите знак числа а.
4. Укажите наибольшее целое решение неравенства х < -5,3.
5. Известно, что число а больше 3,4, число 6 больше 4,3. Найдите
наименьшее целое значение выражения а + 6 (удобно отметить числа
а, 6 и а + 6 на координатной прямой).
Вариант 3
1. Сравните значение выражения А —
+ — + —— + ——
о
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
и число В = — .
11
2. Известно, что а < с и Ь > с. Составьте из чисел а, 6 и с двойное
неравенство.
3. Число 5а - 3 больше числа 2а - 3. Определите знак числа а.
4. Укажите наименьшее и наибольшее целые решения неравенства
|х| < 5,8.
5. На координатной прямой точками отмечены числа а и 6. Срав
ните числа а и -26.
а
Ь
— И ------1---------- 1--------- 1-------- 1--------►
-
2 - 1 0
1
2
х
Вариант 4
1. Сравните значение выражения А =
+ —i —
3
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
и число В = —.
8
2. Известно, что а > Ь и с > а. Составьте из чисел а, б и с двойное
неравенство.
3. Число 7а + 2 меньше числа За + 2. Определите знак числа а.
4. Укажите наименьшее и наибольшее целые решения неравенства
\х\ < 7,3.
5. На координатной прямой точками отмечены числа а и 6. Срав
ните числа -2 а и 6.
а
1. Найдите значение выражения 564 • 645 + 355 - 563 - 645.
3 11 29
2. Сравните значения произведения дробей: А = -----------и
5 19 37
11 29 2
В = ------------ . Ответ объясните.
37 5 19
3. Докажите, что значение выражения 5752 + 575 ■301 без остатка
делится на 15.
4. Найдите остаток от деления произведения 372 • 373 • 374 • 376 • 377
на 5.
5. Определите остаток от деления натурального числа на 3, если
известно, что остаток от деления этого числа на 12 равен 11.
Вариант 2
1. Найдите значение выражения 598 - 885 - 385 - 597 ■885.
2 •—
11 •—
23 и
2. Сравните значения произведения дробей: А = —
11 23 3 . Ответ объясните.
В = -------------37 7 17
3. Докажите, что значение выражения 3252 + 325 ■311 без остатка
делится на 15.
4. Найдите остаток от деления произведения 234 - 236 ■237 - 238 • 239
на 5.
5. Определите остаток от деления натурального числа на 4, если
известно, что остаток от деления этого числа на 12 равен 11.
Вариант 3
1. Найдите значение выражения 584 + 5832 - 5842 + 583.
2. Сравните значения величин:
0,571
0,387
А =
иВ=
1
0,571 +
0,387 +
0,571
0,387
3. Докажите, что значение выражения 3722 - 372 ■237 без остатка
делится на 180.
4. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натураль
ных чисел от 1 до 75 включительно?
5. Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления ко
торого на числа 19 и 11 равны соответственно 16 и 8.
Вариант 4
1. Найдите значение выражения 675 + 6742 - 6752 + 674.
2. Сравните значения величин:
0,473
ив =
0,289
А =
0,473 +
0,289 +
0,289
0,473
3. Докажите, что значение выражения 5282 - 528 • 203 без остатка
делится на 60.
4к. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натураль
ных чисел от 1 до 95 включительно?
5. Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления ко
торого на числа 17 и 13 равны соответственно 15 и 11.
9
5. Тождественные
преобразования выражений
Вариант 1
1. Найдите значения выражений А = 3(# + у) + 2у и В = 3# + Ьу при
х = 1,8 и у = 1,2 и сравните их.
2. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
2(3# + 4у) - 3(2# - у).
3. Упростите выражение # - 3(2# - (# + 1)) и найдите его значение
при # = -2 ,5 .
4. Приведите подобные члены в выражении
# + 3# + 5# + ... + 19# + 21#.
5. По условию задачи составьте выражение и упростите его. «Маль
чику за лето надо прочитать три книги. В первой книге содержится
а страниц, во второй - на 20 страниц меньше, чем в первой, в треть
ей - вдвое больше, чем во второй. Сколько всего страниц надо прочи
тать мальчику? »
Вариант 2
1. Найдите значения выражений А = 2(# - у) + 5у и В = 2# + Зу при
# = 2 , 7 и у = 0 , 7 и сравните их.
2. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
2(# + 2у) - Ц у - #).
3. Упростите выражение # - 2(# - (2# - 1)) и найдите его значение
при # = 2,5.
4. Приведите подобные члены в выражении
2# + 4# + 6# + ... + 20# + 22#.
5. По условию задачи составьте выражение и упростите его. «Де
вочке за лето надо прочитать три книги. В первой книге содержится
а страниц, во второй - на 10 страниц больше, чем в первой, в треть
ей “ втрое больше, чем во второй. Сколько всего страниц надо прочи
тать девочке?»
Вариант 3
1. Найдите значения выражений А = х 2 + 2ху + у 2 и В = (# + у)2 при
# = 1,5 и у = 1 и сравните их.
2. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
3(2# + у) - 2(4# “ Зу) - 4(# - у).
3. Упростите выражение 2# - 3(# - 2(# - (2# + 1))) и найдите его
значение при # = -1 ,2 .
4. Приведите подобные члены в выражении
(# + 3# + 5# + ... + 47# + 49#) - (2# + 4# + 6# + ... + 18# + 20#).
5. По условию задачи составьте выражение и упростите его. «Маль
чику за лето надо прочитать три книги. В первой книге содержится
а страниц, во второй - на Ъ страниц меньше, чем в первой, в третьей вдвое больше, чем в первой и во второй книгах вместе. Сколько всего
страниц надо прочитать мальчику? »
Вариант 4
1. Найдите значения выражений А = #2 - 2ху + у 2 и В = (# - у)2 при
х = 2,5 и у = 2 и сравните их.
2. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
2(3# + у) - 3(# - 2у) - 4(2# - у).
3. Упростите выражение 3# - 2(# - 3(# - (3# - 1))) и найдите его
значение при # = -0 ,3 .
4. Приведите подобные члены в выражении
(2# + 4# + 6# + ... + 46# + 48#) - (# + 3# + 5# + ... + 17# + 19#).
5. По условию задачи составьте выражение и упростите его. «Де
вочке за лето надо прочитать три книги. В первой книге содержится
а страниц, во второй - на Ъ страниц больше, чем в первой, в третьей втрое больше, чем в первой и во второй книгах вместе. Сколько всего
страниц надо прочитать девочке?»
6. Уравнение и его корни
Вариант 1
1. Какие из чисел -4 , -3 , 1, 2, 5 являю тся корнями уравнения
х2 = 8 —2x4
2. Уравнение —х =
замените равносильным уравнением с целы3
5
ми коэффициентами.
3. Найдите корни уравнения
(2х2 + 1)(х - 1)(2х + 6) = 0.
4. Докажите, что уравнение Зх2 + 5|2х - 7| + 1 = 0 не имеет корней.
5. Являются ли уравнения (5jc - I)2 = 0 и Зх + 2 = 3 - 2х равносильными? Если уравнения равносильны, то найдите их корень.
Вариант 2
1. Какие из чисел -2 , -3 , -1 , 2, 5 являются корнями уравнения
х 2 = 5 + 4x4
2. Уравнение —х = - —замените равносильным уравнением с целы7
3
ми коэффициентами.
3. Найдите корни уравнения
(Зх2 + 1)(х + 3)(3х - 6) = 0.
4. Докажите, что уравнение 2х2 + 3|4х - 3| + 5 = 0 не имеет корней.
5. Являются ли уравнения (Зх + 2)2 = 0 и 7х + 3 = 1 + 4х равносильными? Если уравнения равносильны, то найдите их корень.
Вариант 3
1. Какие из чисел -3 , -2 , 1, 2, 3 являются корнями уравнения
* 2 = | * - 2 |?
2. Уравнение ^ х 2 - i * - ^ = О замените равносильным уравнением
с целыми коэффициентами.
3. Найдите корни уравнения
(3|х| + 2 * 2 + 1)(2х - 1)(3х + 2) = 0.
4. Решите уравнение \2х + 3|(6х - 9)2 = 0.
5. Найдите корни двух уравнений |3дс - 1 | = 2 и 7 х + 8 = 4х + 7 и и х
сумму. Являются ли эти уравнения равносильными? Ответ объясните.
Вариант 4
1. Какие из чисел -3 , -2 , -1 , 2, 4 являются корнями уравнения
х2 = \х + 2|?
2. Уравнение ^ x 2 + i x - i = 0 замените равносильным уравнением
с целыми коэффициентами.
3. Найдите корни уравнения
(2|*| + Зх2 + 5)(3х - 1)(2х + 1) = 0.
4. Решите уравнение |4х - 3|(12х + 9)2 = 0.
5. Найдите корни двух уравнений |3х - 2| = 2 и 9х + 7 = 6х + 8 и их
сумму. Являются ли эти уравнения равносильными? Ответ объясните.
7. Линейное уравнение
с одной переменной
Вариант 1
1. Решите уравнение 3(2* - 1) - 2(х - 3) = 5(х - 2).
2. При каком значении параметра а уравнение ах - 5 = Зх + а
не имеет корней?
о „ (2х - 1)(3х + 2)(4* + 3) л
3. Найдите сумму всех корней уравнения ------- —-------—-------- = 0.
12х + 9
4. Велосипедист поехал в соседний поселок со скоростью 18 км/ч
и вернулся назад со скоростью 12 км/ч. На всю дорогу он потратил
5 ч. Найдите расстояние между поселками.
5. На трех полках стоят 258 книг. На второй полке на 12 книг боль
ше, чем на первой. На третьей полке книг вдвое больше, чем на пер
вой и второй полках вместе. Сколько книг стоит на каждой полке?
Вариант 2
12
1. Решите уравнение 2(3х - 2) - 3(х - 4) = 2(х - 3).
2. При каком значении параметра а уравнение ах + 2а = 3 - 2х
не имеет корней?
(Зде - 1)(2* + 3)(2х - 1 ) А
3. Найдите сумму всех корней уравнения ------- —-------- —--------- = 0.
6*-3
4. Велосипедист поехал в соседний поселок со скоростью 16 км/ч
и вернулся назад со скоростью 12 км /ч. На всю дорогу он потратил
7 ч. Найдите расстояние между поселками.
5. На трех полках стоят 216 книг. На второй полке на 8 книг мень
ше, чем на первой. На третьей полке книг втрое больше, чем на пер
вой и второй полках вместе. Сколько книг стоит на каждой полке?
Вариант 3
„ _
Зх + 2 7(# + 3)-2(2д: + 5 ) - 9
1. Решите уравнение —------ = —------- ----- -------------- .
х -I
х 1
2. При каком значении параметра о уравнение а2х + 4 = х - 4а име
ет бесконечно много корней?
3. Найдите сумму всех корней уравнения |3х - 1| = х + 4.
4. Плотину длиной 100 м строят из железобетонных блоков длиной
5 м и 8 м. Необходимо использовать наименьшее количество блоков.
Сколько и каких блоков для этого надо взять?
5. Расстояние между городами s км. Одновременно из этих горо
дов навстречу друг другу выезжают два поезда со скоростями охкм/ч
и v2км /ч. Через сколько часов поезда встретятся?
—
Вариант 4
2 х - 3 _ 6(* + 3 )- 2 (2 * + 7 ) - 7
1. Решите уравнение
х +2
х +2
2. При каком значении параметра а уравнение а2х + 5а = 5 + х име
ет бесконечно много корней?
3. Найдите сумму всех корней уравнения \Ах - 3| = х + 2.
4. Плотину длиной 100 м строят из железобетонных блоков длиной
4 м и 9 м. Необходимо использовать наименьшее количество блоков.
Сколько и каких блоков для этого надо взять?
5. Расстояние между городами а км. Одновременно из этих горо
дов в одном направлении выезжают два поезда со скоростями охкм/ч
и v2 км /ч ( ух > v2), и первый поезд догоняет второй. Через сколько
часов это произойдет?
8. Статистические характеристики
Вариант 1
В таблице приведен расход электроэнергии некоторой семьей в те
чение года (по месяцам).
Месяц
Расход энергии,
кВт-ч
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
82
83
81
76
63
41
40
41
54
69
78
84
Найдите (п. 1-4):
1. Средний ежемесячный расход электроэнергии.
2. Размах приведенного ряда чисел.
3. Моду данного ряда чисел.
4. Медиану этого ряда чисел.
5. Найдите среднее арифметическое чисел:
За + 1, а - 3, 2а + 8, 2а + 6.
Вариант 2
В таблице приведен расход электроэнергии некоторой семьей в те
чение года (по месяцам).
Месяц
Расход энергии,
кВ тч
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
91
85
78
72
65
47
45
47
59
63
76
88
Найдите (п. 1-4):
1. Средний ежемесячный расход электроэнергии.
2. Размах приведенного ряда чисел.
3. Моду данного ряда чисел.
4. Медиану этого ряда чисел.
5. Найдите среднее арифметическое чисел:
2а - 3, За - 1, 4а + 5, За + 7.
Вариант 3
Дан ряд, состоящий из шести чисел:
а - 3, а - 5, а + 1, а + 6, а - 3, а - 2.
Найдите (п. 1-4):
1. Среднее арифметическое ряда чисел.
2. Размах приведенного ряда чисел.
3. Моду данного ряда чисел.
4. Медиану этого ряда чисел.
5. Среднее арифметическое некоторого ряда данных, состоящего
из 10 чисел, равно 7. К этому ряду приписали еще два числа: 17 и 18.
Найдите среднее арифметическое нового ряда чисел.
14
Вариант 4
Дан ряд, состоящий из шести чисел:
а - 7, а + 1, а + 1, а - 2, а + 12, а + 13.
Найдите (п. 1-4):
1. Среднее арифметическое ряда чисел.
2. Размах приведенного ряда чисел.
3. Моду данного ряда чисел.
4. Медиану этого ряда чисел.
5. Среднее арифметическое некоторого ряда данных, состоящего
из 10 чисел, равно 8. К этому ряду приписали еще два числа: 15 и 16.
Найдите среднее арифметическое нового ряда чисел.
9. Понятие функции
Вариант 1
1. Про зависимость у(х) известно, что у(-3) = 2, у( 1) = -3 , у(3) = -1,
у (-3) = 1. Является ли такая зависимость функцией? Ответ объясните.
2. Поезд находится на расстоянии 50 км от города и удаляется
от него со скоростью 40 км/ч. Задайте формулой зависимость рас
стояния s (км) между городом и поездом от времени t (ч) движения
поезда.
3. Периметр прямоугольника равен 16 см, длина одной из его сто
рон равна х см. Выразите площадь S прямоугольника через перемен
ную х.
4. Из равенства 3(2л; + у + 1) = 2у - 5(х - 2) найдите зависимость
переменной у от переменной х.
5. Дана функция у = —х -
Найдите зависимость х от у. Является
ли такая зависимость функцией? Ответ объясните.
Вариант 2
1. Про зависимость у(х) известно, что у(-5) = 1, z/(—2) = -3, у( 1) = 1,
у (-2) = -7. Является ли такая зависимость функцией? Ответ объяс
ните.
2. Поезд находится на расстоянии 70 км от города и удаляется
от него со скоростью 50 км/ч. Задайте формулой зависимость рас
стояния s (км) между городом и поездом от времени t (ч) движения
поезда.
3. Периметр прямоугольника равен 24 см, длина одной из его сто
рон равна х см. Выразите площадь S прямоугольника через перемен
ную х.
4. Из равенства 4(х + 2у + 3) = 7у - 3(х - 5) найдите зависимость
переменной у от переменной х .
5. Дана функция у = -
. Найдите зависимость х о т у . Являет
ся ли такая зависимость функцией? Ответ объясните.
Вариант 3
1. Про зависимость у(х) известно, что у
2х2 + 3 Является ли та
М-1
кая зависимость функцией? Ответ объясните.
2. Расстояние между поездами 150 км, и они удаляются друг
от друга, двигаясь в противоположных направлениях со скоростями
40 км/ч и 50 км/ч. Задайте формулой зависимость расстояния s (км)
между поездами от времени t (ч) движения поездов.
3. Одна из сторон прямоугольника равна х см, а его периметр ра
вен 6х + 22 см. Выразите площадь S прямоугольника через перемен
ную х.
15
л
хх
Зы - 5х +1
-
4. Из равенства —----------= 1 найдите зависимость переменной у
5у + 2 х - 3
от переменной х.
5. Дана функция у = х + 2 . Найдите зависимость де от у. Является
х-3
ли такая зависимость функцией? Ответ объясните.
Вариант 4
1. Про зависимость у(х) известно, что у = Зхг - 4 . Является ли та-
И-2
кая зависимость функцией? Ответ объясните.
2. Расстояние между поездами 180 км, и они удаляются друг
от друга, двигаясь в противоположных направлениях со скоростями
50 км/ч и 60 км/ч. Задайте формулой зависимость расстояния $ (км)
между поездами от времени t (ч) движения поездов.
3. Одна из сторон прямоугольника равна х см, а его периметр равен
8дс + 26 см. Выразите площадь S прямоугольника через переменную х.
л хх
7у + Зх + 4 1лнайдите зависимость переменной у
4.
Из равенства —----------=
Ъу - А х - 3
от переменной х.
5. Дана функция у = х - 2 . Найдите зависимость лг от у. Является
х+3
ли такая зависимость функцией? Ответ объясните.
10. Вычисление значений функции
по формуле
Вариант 1
1. Функция задана формулой у = Зх2 - 1 . 2х +1 . Найдите область
*-3
х-1
определения функции.
2. Дана функция у = Зх2 - 5 . Найдите значение функции, если зна-
М-1
чение аргумента х = -2 (т. е. у (-2)).
3. Найдите значение аргумента х, при котором функция
х —I
у = 3 + ----- принимает значение у = 3,4.
х+2
4. Дана функция у(х) = ----- . Найдите произведение значений
х+3
функции у(-2) у(3).
5. Для функции у = 3 + 2(х + I)2 найдите значения у(-3) и у(1)
и сравните их.
Вариант 2
5х2 + 3 7х + 2 . Найдите область
1. Функция задана формулой у = -----------------х-2
х+3
определения функции.
Qjr2 —5
2. Дана функция у = — ----- . Найдите значение функции, если знаИ "2
чение аргумента х = -3 (т. е. у(-3)).
3. Найдите значение аргумента х, при котором функция
х —2
У = 2 + ------принимает значение у = 2,4.
х +1
jc _1_з
4. Дана функция у(х) = ------. Найдите произведение значений
х +2
функции у(-1) • у(2).
5. Для функции у = 2 - 3(х + 4)2 найдите значения г/(—6) и у(-2)
и сравните их.
1.
Вариант 3
+1
Ъх —3
Функция задана формулой у = —2х2
----------г + ----------- —---------- г . Найдите
— lj (Х + 2)уХ — 3j
область определения функции
0 *2
2. Дана функция у =
_1
2 |1 -2 х | + 1
. Найдите значение функции, если
значение аргумента * = 1 (т. е. у(1)).
Чу _ 1
Зле —1
3. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = ------5х + 3
принимает значение у = 2.
х —Л
4. Дана функция у(х) = ------. Найдите произведение значений
х +2
функции у ( - 1) • у( 2) • у( 3).
5. Для функции у - 2 + 3(2х + 1)2 + 7|4х + 2| найдите значения
j
и » ( ! ) И сравните их.
Вариант 4
5х2
—1- - ------4хг-.—
3 г . Найдите
1. Функция задана формулой у = —
---------7(х-1) (х + 1)(х + 2)
область определения функции.
2х2 +1
2. Дана функция у = ------;----. Найдите значение функции, если
3 |2 - х |- 1
значение аргумента х = 3 (т. е. у(3)).
7х —2
3. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = ------Зх - 1
принимает значение у = 2,5.
4. Дана функция у(х) = —±-^. Найдите произведение значений
х -1
функции у(- 2) • у(0) • у( 3).
5. Для функции у = 7 - 2(3х - 1)2 - 5|9х - 3| найдите значения
и*'(з)и сравните их.
17
11. График функции
Вариант 1
1. Какая из точек А (-3; 27), В (-2; 15), -1 , с осью ординат.
3*2 + 2
3. Укажите координаты точек пересечения графика функции
= (Зх - 2)(5х + 3) с осью абсцисс.
4. Найдите координаты точек пересечения графика функции
(Зх + 2) - 1
= -------------- с осями координат.
X—1
функции у =
у
*
С^2;
3|jc_2|
5. Выясните, пересекает ли график функции у = —Ц—■—1+ 7х4 оси
координат. Ответ объясните.
м
Вариант 4
1. Какие из точек А ^-3; ^ j , -В^-1; - ^ j ,
графику функции у =
2; ^ j принадлежат
_о
_ х| + 2 ?
2. Найдите координаты точки пересечения графика функции
ох I 2
у = — 5---- , если х > - 2, с осью ординат.
2*2+ 3
3. Укажите координаты точек пересечения графика функции
у = (2х - 3)(3х + 1) с осью абсцисс.
4. Найдите координаты точек пересечения графика функции
(2х + 3) - 1
у = -------------- с осями координат.
х+2
2\х _^1
5. Выясните, пересекает ли график функции у = —■ ■—- + 5х4 оси
координат. Ответ объясните.
И
12. Прямая пропорциональность
и ее график
Вариант 1
1. График прямой пропорциональности у = kx расположен во вто
рой и четвертой координатных четвертях. Определите знак коэффи
циента к.
2. График прямой пропорциональности проходит через точку
А (-10; -4 ). Запишите эту функцию формулой.
3. Поезд удаляется от города со скоростью 45 км /ч по прямой.
Запишите зависимость расстояния s (км) между поездом и городом
от времени t (ч) движения поезда. Является ли эта зависимость пря
мой пропорциональностью?
4. Постройте график функции у = -0 ,4 х при -3 < х < 7. В каких
пределах меняются значения этой функции?
5. Укажите координаты точки пересечения графиков функций
у = 1х и у = 9х + 4.
Вариант 2
1. График прямой пропорциональности y = kx расположен в первой
и третьей координатных четвертях. Определите знак коэффициента ft.
2. График прямой пропорциональности проходит через точку
А ( - 12; 9). Запишите эту функцию формулой.
19
3. Поезд удаляется от города со скоростью 65 км /ч по прямой.
Запишите зависимость расстояния а (км) между поездом и городом
от времени t (ч) движения поезда. Является ли эта зависимость пря
мой пропорциональностью?
4. Постройте график функции у = 0,6* при -3 < * < 4. В каких пре
делах меняются значения этой функции?
5. Укажите координаты точки пересечения графиков функций
у = 4* и у = 7* - 6.
Вариант 3
1. Прямая пропорциональность у = kx имеет вид:
у = х - 2* + Зле - 4* + ... - 18*.
Найдите коэффициент k.
2. График прямой пропорциональности проходит через точку А(-6; 2).
При каком значении аргумента значение этой функции равно -5 ?
3. Поезд удаляется по прямой от города со скоростью 40 км /ч в те
чение двух часов, а затем со скоростью 60 км /ч. Запишите зависи
мость расстояния s (км) между поездом и городом от времени t (ч)
движения поезда. Постройте график этой функции.
4. Постройте график функции у = 2|*| - х при -2 < * < 3. В каких
пределах меняются значения этой функции?
5. Найдите коэффициенты k и а, если графики функций у = kx
и у = ах + 2 пересекаются в точке А с координатами (1; 6).
Вариант 4
1. Прямая пропорциональность у = k x имеет вид:
у = х - 2* + 3* - 4* + ... - 22*.
Найдите коэффициент к.
2. График прямой пропорциональности проходит через точку А(8; 2).
При каком значении аргумента значение этой функции равно -5 ?
3. Поезд удаляется по прямой от города со скоростью 60 км /ч в те
чение трех часов, а затем со скоростью 40 км /ч. Запишите зависи
мость расстояния s (км) между поездом и городом от времени t (ч)
движения поезда. Постройте график этой функции.
4. Постройте график функции у = 2|*| + * при -2 < * < 3. В каких
пределах меняются значения этой функции?
5. Найдите коэффициенты k и а, если графики функций у = kx
и у = ах - 6 пересекаются в точке А с координатами (-2; -10).
13. Линейная функция и ее график
Вариант 1
1. Найдите координаты точек пересечения графика функции
у = - З х - 5 с осями координат. Постройте график этой функции.
2. Напишите уравнение прямой, параллельной линии у = 2х - 3
и проходящей через точку А ( - 3; -1).
3. Постройте график линейной функции у =—х - —. Из этого ра
2
4
венства выразите зависимость переменной х от переменной у.
4. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у = 18х - 4 и у = - 2 х + 16 (не строя графиков).
5. Из равенства у - (1 - х) = -2(х - 2) выразите зависимость пере
менной у от переменной х и постройте ее график. Принадлежит ли
этому графику точка А(1; 2)?
Вариант 2
1. Найдите координаты точек пересечения графика функции
у = - 5 х - 3 с осями координат. Постройте график этой функции.
2. Напишите уравнение прямой, параллельной линии у = Зх + 2
и проходящей через точку А (-2; -2).
5 Из этого ра3. Постройте график линейной функции у = —1 х + —.
3
6
венства выразите зависимость переменной х от переменной у.
4. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у = 2х + 9 и у = - З х - 1 (не строя графиков).
5. Из равенства у - (х - 1) = 2(х + 2) выразите зависимость перемен
ной у от переменной х и постройте ее график. Принадлежит ли этому
графику точка А(1; 4)?
Вариант 3
1. График линейной функции пересекает оси координат в точках
А (-3; 0) и В(0; -1). Постройте график и задайте функцию формулой.
2. Известно, что графики функций у = (2с - 3)х + а - 7 и у = (4а - 1)х +
+ 5 - За параллельны. Найдите значение параметра а.
3. Из равенства 3(у - 2х + 1) = 2у - 4(х - 1) выразите переменную у
через переменную х и постройте график этой зависимости.
4. Найдите такую точку графика линейной функции у = —х + 8,
3
абсцисса которой равна ординате.
5. При каких значениях параметра а точка пересечения графиков
функций у - х + 3 и у = 2х - а + 4 лежит в первой координатной чет
верти?
Вариант 4
1. График линейной функции пересекает оси координат в точках
А(3; 0) и В(0; -2). Постройте график и задайте функцию формулой.
2. Известно, что графики функций у = (За + 2)х + 2 а - 1 и р = ( а - 2)х +
+ 3 - 4а параллельны. Найдите значение параметра а.
3. Из равенства 4(у + Зх - 2) = Зу + 9(х - 1) выразите переменную у
через переменную х и постройте график этой зависимости.
4. Найдите такую точку графика линейной функции у = —х - 12,
О
абсцисса которой равна ординате.
21
5. При каких значениях параметра а точка пересечения графиков
функций у = х + 1 и у = 3 х - 2 а - 3 лежит в первой координатной чет
верти?
14. Построение сложных графиков
Вариант 1
1. Поезд выехал из города со скоростью 40 км/ч и движется по пря
мой. Через 2 ч после начала движения он остановился. Построй
те график зависимости расстояния между поездом и городом s (км)
от времени t (ч) от начала движения поезда. По графику определите
значение s при t = s.
2. Дана функция у = |jc| - х + 1. Найдите произведение значений
функции у ( - 2) и у(2).
[4jc + 5, если х < -1,
3. Постройте график функции у = <
Найдите ко[х + 2, если х > -1.
ординаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямыми ли
ниями, уравнения которых у = 2х - 6, х = 0 , у = 0 .
5. Постройте линии, координаты точек которых удовлетворяют ра
венству (у - 2х)(3х - 6) = 0. Найдите координаты точки пересечения
этих линий.
Вариант 2
1. Поезд выехал из города со скоростью 60 км/ч и движется по пря
мой. Через 3 ч после начала движения он остановился. Построй
те график зависимости расстояния между поездом и городом s (км)
от времени t (ч) от начала движения поезда. По графику определите
значение s при t = 7.
2. Дана функция у = |jc| + х + 3. Найдите произведение значений
функции у ( - 3) и у(3).
\ - х + 2, если х < 1,
3. Постройте график функции у = <
Найдите ко[-5х + 6 ,если* > 1.
ординаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямыми ли
ниями, уравнения которых у = 6 - Зле, х = 0, у = 0.
5. Постройте линии, координаты точек которых удовлетворяют ра
венству (у + 2х)(2у - 8) = 0. Найдите координаты точки пересечения
этих линий.
Вариант 3
22
1. Поезд выехал из города со скоростью 40 км/ч и движется по пря
мой. Через 2 ч после начала движения он остановился на 1 ч. После
этого поезд продолжил движение в том же направлении со скоростью
60 км/ч. Постройте график зависимости расстояния между поездом
и городом s (км) от времени t (ч) от начала движения поезда. По гра
фику определите значение s при t = 6.
2. Дана функция у = 2\х + 1| - Зх +1. Найдите произведение значе
ний функции у (-2) и у(2).
х = 4, если х < -2,
, .
Найдите ко\х\,еслих > -2.
ординаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Вычислите площадь треугольника, ограниченного графиками
функций: у = \х\ - 1 и у = 3.
5. Постройте линии, координаты точек которых удовлетворяют ра
венству (у + х —1)(г/ - Зх + 7) = 0. Найдите координаты точки пересе
чения этих линий.
{
Вариант 4
1. Поезд выехал из города со скоростью 60 км/ч и движется по пря
мой. Через 3 ч после начала движения он остановился на 2 ч. После
этого поезд продолжил движение в том же направлении со скоростью
40 км/ч. Постройте график зависимости расстояния между поездом
и городом s (км) от времени t (ч) от начала движения поезда. По гра
фику определите значение s при t = 6.
2. Дана функция у = 3\х - 1| + 2х - 1. Найдите произведение значе
ний функции у(-3) и 1/(3).
_
[|х|,еслих < 3,
3. Постройте график функции у = <
Найдите коор[-Х + 6, если х > 3.
динаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Вычислите площадь треугольника, ограниченного графиками
функций: у = 3 —|jc| и у = -3.
5. Постройте линии, координаты точек которых удовлетворяют ра
венству (у + Зх - 1)(у - х + 3) = 0. Найдите координаты точки пересе
чения этих линий.
15. Степень с натуральным показателем
Вариант 1
1. Найдите значение числового выражения
5 • З4 + 7 • (-2)5 - 3 • 43.
2. Вычислите значение выражения 7а3 + ob2 при а = 2 и Ъ= 3.
3. Какой цифрой оканчивается значение выражения
5 13162 + 3 32518 - 2 10623?
4. Представьте значение выражения 21 - 35 - 42 в виде произведе
ния степеней простых чисел.
5. Сравните числа:
а) А = 2,1s и В = 2Д8; б) С = (-0,6)" и D = (-0,6)7.
23
Вариант 2
1. Найдите значение числового выражения
5 • З5 + 7 • (-3)3 - 43.
2. Вычислите значение выражения 4а3 - 3&2 при а = 3 и Ъ = 2.
3. Какой цифрой оканчивается значение выражения
2 • 11538 + 7 • 1812®- 3 17615?
4. Представьте значение выражения 24 33 • 55 в виде произведе
ния степеней простых чисел.
5. Сравните числа:
а) А = 3,812 и В = 3,87; б) С = (-0,7)9 и D = (-0 ,7 )15.
Вариант 3
1. Найдите значение числового выражения
7 • 2® + 3 • (-4)3 - 5 З4.
2. Представьте число 43 в виде суммы степеней числа 2 (учтите,
что 21 = 2 и 2° = 1).
3. Какой цифрой оканчивается значение выражения
73431 + 2 • 63183 + 5 • 38978?
4. Представьте число 41 580 в виде произведения степеней простых
множителей (т. е. разложите данное число на простые множители).
5. Сравните числа А = 5,315 + (-0,9)7 и В = 5,312 + (-0 ,9 )5.
Вариант 4
1. Найдите значение числового выражения
9 2® + 5 (-4)3 - 8 З4.
2. Представьте число 51 в виде суммы степеней числа 2 (учтите,
что 21 = 2 и 2° = 1).
3. Какой цифрой оканчивается значение выражения
74351 - 3 135®3 + 4 64774?
4. Представьте число 48 510 в виде произведения степеней простых
множителей (т. е. разложите данное число на простые множители).
5. Сравните числа А = 7,58 + (-0,7)9 и В = 7,5П + (-0,7)5.
16. Свойства степеней
Вариант 1
д5
1. Найдите значение числового выражения
| р9
, -в л 2
—.
а2Ь-(ЗаЬ2)2
2. Упростите вы раж ение------—— и вычислите его значение при
а8Ь4
а = —, Ъ = 2.
3
24
(2*Г~27
3. Решите уравнение -—^ — = 162.
4. Сравните числа А = 230 и В = З20.
5. Сколько слагаемых находится в правой части равенства
2400 = 2 + 2 + ... + 2 ?
Вариант 2
-1. „Найдите
„
95 п--------+ 2 • З9 + 812
значение числового выражения —
=—.
З11 -1 1 • 812
ov
о3Ь2 • (2аЬ)3
2. Упростите выражение----- —— и вычислите его значение при
а = 5, Ь = —.
2
(з*)3 -з5
3. Решите уравнение -— ----= 27 .
3
4. Сравните числа А = З40 и В = 430.
5. Сколько слагаемых находится в правой части равенства
З500 = 3 + 3 + ... + 3?
Вариант 3
1. Запишите выражение 2 + 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 221 в виде степени
числа 2.
( 2 * V z 3)3 (~3yz4f
2. Упростите выражение -----------— -------: у г и вычислите его
y x *z *.(-5 y 2x z f
значение при х = ®, у = 2, г = 5.
3. Решите уравнение
(2x)2 -2*+s = 2 - 2 2 -23 -...-29 -32.
4. Сравните числа А = 780 и В = 4120.
5. Докажите, что число 10316 + 5 не делится без остатка на число
1018- 1.
Вариант 4
1. Запишите выражение 214 + 214 + 215 + 216 + 217 + ... + 237 в виде
степени числа 2.
2. Упростите выражение
(з*У )‘ (-2y ¥ f
: г и вычислите его
9yW
значение при х = —, у = 25, 2 = 3.
3. Решите уравнение
(Зх)3 -Зх+4 = 3 - 3 2 -33 -...-З п -9.
4. Сравните числа А = 960 и В = 490.
5. Докажите, что число 10273 + 5 не делится без остатка на число
1024 - 1.
25
17. Одночлены
Вариант 1
1. Представьте одночлен (Зх2у}2(2ху2}3 в стандартном виде и опре
делите его степень.
2. Запишите выражение 64х6у 12 в виде квадрата и куба одночлена.
3. Представьте одночлен 2х • (ху) • з(ху2)2 • х в стандартном виде
2
3
и найдите его числовое значение при х = —
иу =—
.
2
1 9
4. Решите уравнение —х
+ 1—х
----- х = -1 .
5
2
10
5. Первое число в 2,5 раза больше второго. Если первое число уве
личить на 1,5, а второе - на 8,4, то получатся одинаковые результаты.
Найдите данные числа.
Вариант 2
1. Представьте одночлен (Зху)3{2х2у ^ в стандартном виде и опре
делите его степень.
2. Запишите выражение 64х 18у 12 в виде квадрата и куба одночлена.
3. Представьте одночлен Зх • (ху) • (2ху)2 в стандартном виде и най3
2
дите его числовое значение при х = —
иу =—
.
4
9
4. Решите уравнение —х - —х + — х =
9
4
18
4
5. Первое число в 3,5 раза больше второго. Если первое число уве
личить на 1,3, а второе - на 17,3, то получатся одинаковые результа
ты. Найдите данные числа.
Вариант 3
1. Представьте одночлен (Зхпу >
) (2хуп)3 в стандартном виде и опре
делите его степень (п - натуральное число).
2. Запишите выражение 26пх 6п+12у 12п+18 в виде квадрата одночлена
(п - натуральное число).
3. Представьте одночлен ^ - i ^ x 4i/2j
(2
6
В стандартном
виде и найдите его числовое значение при х = - 1 —и у - — .
7
13
15
7
4. Решите уравнение — х +1,3 = 0,53 + —х.
12
8
5. Некоторое число сначала увеличили на 12%, а затем результат
уменьшили на 24%. Полученное при этом число оказалось на 186
меньше первоначального. Найдите данное число.
Вариант 4
1. Представьте одночлен (Зхуп}3(2хпу 2)2 в стандартном виде и опре
делите его степень (п - натуральное число).
2. Запишите выражение з 12пл:6л+18у12п+6 в виде куба одночлена (л натуральное число).
3. Представьте одночлен
Jt2i/2j в стандартном виде
9 и у = -1 —
7.
и найдите его числовое значение при х = —
16 *
9
1
3
4. Решите уравнение —х - 0,82 = —х - 1,37.
6
8
5. Некоторое число сначала уменьшили на 15%, а затем результат
увеличили на 10%. Полученное при этом число оказалось на 78 мень
ше первоначального. Найдите данное число.
18. Функции у = х2 и у = х3
и их графики
Вариант 1
1. Какая из точек А ( 2; -4), В ( - 4; 16), С(3; 27) принадлежит графи
ку у = х2?
2. Постройте график функции у = - х 2 при -3 < х < 2. Найдите про
изведение значений функции у ( - 2) и у(1).
3. Дана функция у = х 3 - 2. Вычислите сумму значений функции
У(~4) и у(3).
4. Графически решите уравнение х 2 = 2х.
С тт
-
,
.
[л:2,е с л и - 2 < х < 0,
5. Построите график функции у = <
[х, если 0 < х < 3.
произведение значений функции у ( - 1) и у (2).
„
Найдите
Вариант 2
1. Какая из точек А(2; 4), В(-4; 16), С(-3; 9) принадлежит графику
У = - х 2?
2. Постройте график функции у = х 2 при -2 < х < 3. Найдите про
изведение значений функции г/(-1) и у(3).
3. Дана функция у = 4 - х 3. Вычислите сумму значений функции
У(~3) и у(2).
4. Графически решите уравнение х 2 = -Зх.
х, если - 4 < х < 0,
Найдите про-
{
х , если 0 < х < 2.
изведение значений функции у ( - 3) и у(1).
27
Вариант 3
1. Какие из точек А ^ -1 ^ ; - ^ j , В (-1; -4), С ^ ; -
принадлежат
графику у = х2 - 3?
2. Постройте график функции у = -х3 + 4 при -2 < х < 3. Найдите
произведение значений функции у{-2) и у(3).
3. Дана функция у = х2 + х - 3. Вычислите сумму значений функ
ции у(-3) и у(4).
4. Графически решите уравнение х2 = 2 - х.
к тт
.
.
f l - л2, если - 2< л; < 1,
„
5. Построите график функции у = \
Найдите
[jc - 1 , если 1 < х < 4.
произведение значений функции у(-2), у(0) и у(4).
Вариант 4
1. Какие из точек А (-1; 5), В ^ - ^ ; 3
^
* ^4 ) принадлежат гра
фику у = 4 - х 2?
2. Постройте график функции у = х3 - 2 при -3 < х < 2. Найдите
произведение значений функции у(-3) и у(2).
3. Дана функция у = х2 - х - 5. Вычислите сумму значений функ
ции у(-4) и у(3).
4. Графически решите уравнение х2 = х + 2.
С тт
,
,
\х2 - 2, если-3 < х < 2,
„
5. Построите график функции у = <
Найдите
[4 - х, если 2 < х < 6.
произведение значений функции у(-3), у(0) и у(6).
19. Стандартный вид многочлена
Вариант 1
1. Запишите в стандартном виде многочлен
6х2у - 3х(ух) + 2ух ■х - 2ху2 + Зху • у
и определите его степень. Найдите значение многочлена при х = -2, у = 3.
2. Представьте в виде многочлена трехзначное число aOb.
3. Докажите, что разность двузначного числа и числа, записанного
теми же цифрами в обратном порядке, без остатка делится на 9.
4. Решите уравнение х ~ * + —+ - + х ~ ^ = - 2.
3
4
6
5. Может ли уравнение б* 6 + Зх4 + (2х - I )2 = 0 иметь корни? Ответ
обоснуйте.
Вариант 2
28
1. Запишите в стандартном виде многочлен
Зху •у2 - х ■2у3 + 5(ху)2 + ху -у2- 4х(ху)у
и определите его степень. Найдите значение многочлена при х = 2, у = -3.
2. Представьте в виде многочлена трехзначное число abO.
3. Докажите, что сумма двузначного числа и числа, записанного
теми же цифрами в обратном порядке, без остатка делится на 11.
4. Решите уравнение х + ^
+ х + ^ = 2.
3
4
6
5. Может ли уравнение 4хб + 2х4 + (Зх + 2)2= 0 иметь корни? Ответ
обоснуйте.
Вариант 3
1. Запишите в стандартном виде многочлен 5(ху)2 + 3х(ху) + 7ху - х у - 3х у - 2хгу и определите его степень. Найдите значение многочлена при х = _7, у = 2
2. Представьте в виде многочлена четырехзначное число аЗЬс.
3. Докажите, что четырехзначное число ааЪЪ без остатка делится
на 11.
4. Решите уравнение |3х - 2| = |5х - 6|.
5. Существует ли такая пара целых чисел (х; у), что выполняется
равенство Зх2 - 15ху + 27у = 83? Ответ обоснуйте.
Вариант 4
1. Запишите в стандартном виде многочлен 3(ху)2 - 5х(ху) + 6ху +
+ х‘у - х2у2 + 2xz • 2у и определите его степень. Найдите значение многочлена при х = 3 , у = 5.
5
2. Представьте в виде многочлена четырехзначное число аЫс.
3. Докажите, что четырехзначное число abba без остатка делится
на 11.
4. Решите уравнение |2х - 3| = |4х - 9|.
5. Существует ли такая пара целых чисел (х; у), что выполняется
равенство 4х2 + 52ху - 28у = 74? Ответ обоснуйте.
20. Сложение и вычитание многочленов
Вариант 1
1. Найдите сумму многочленов:
А = Зх2 - Ьху + 7у2 и В = - х 2 + 3ху - 4у2.
2. Найдите такой многочлен М, для которого выполняется равен
ство 5а2 + М - За +1 = 2а2 + о - 2.
3. Упростите выражение 2х - (х - (Зх + 2)) и вычислите его значе
ние при х = " .
4. Решите уравнение ^х- + ^* + 2 _ 5х + 2х _+ 3 .
3
5
5. Среднее арифметическое трех последовательных натуральных
четных чисел равно 34. Найдите эти числа.
29
Вариант 2
1. Найдите сумму многочленов:
А = 2л;2 - Злгу - у 2 и В = -л:2 + 2ху + 3у 2.
2. Найдите такой многочлен М , для которого выполняется равен
ство За2 - 2а + М + 7 = а2 - 5а - 1 .
3. Упростите выражение Зл; - (2л; - (л; + 3)) и вычислите его значе
ние при х = - —.
2
4. Решите уравнение4 х2 +7х + 3 7х2 + Зх + 4
4
7
5. Среднее арифметическое трех последовательных натуральных
нечетных чисел равно 47. Найдите эти числа.
Вариант 3
1. Докажите, что значение выражения
3(л;2 + Ьху - 2у 2 + 1) - 2(л:2 + 6ху - 3у 2 - 1) - (л:2 + 3ху}
не зависит от переменных. Найдите это значение.
2. Упростите выражение
12,5л;2 + у 2 - (Sx2 - 5у 2 - (-Юл;2 + (5,5л;2 - 2у2)))
1 , у = —3 .
и найдите его значение при х = —
7
2
3. Решите уравнение ——- + ——- + — —- = 4 - х.
*
5
4
20
4. Найдите остаток от деления суммы четырех последовательных
натуральных четных чисел на 8.
5. К трехзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученно
го четырехзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая
больше трехзначного числа в 9 раз. Найдите данное трехзначное число.
Вариант 4
1. Докажите, что значение выражения
2(3л;2 + 4ху - Ъу2 + 2) - 3(2л;2 + ху - 3у 2) - (5ху - у 2 + 1)
не зависит от переменных. Найдите это значение.
2. Упростите выражение
Зл;2 + 7,5у 2 - (4л;2 - 2у 2 - (-7л;2 + (4л;2 - 9,5у 2]
2.
и найдите его значение при х = —5 , у = —
2
9
3. Решите уравнение
30
^
^х
= 3 - х.
5
4
20
4. Найдите остаток от деления суммы четырех последовательных
натуральных нечетных чисел на 8.
5. К трехзначному числу слева приписали цифру 4 и из полученно
го четырехзначного числа вычли 2056. Получилась разность, которая
больше трехзначного числа в 7 раз. Найдите данное трехзначное число.
21. Произведение одночлена и многочлена
Вариант 1
1. Запишите выражение
4хг(2х4 - Зх3 + х2 + 2х) - 2х\4 х3 - 7х2 + 2) - 2л:5
в виде многочлена по убывающим степеням переменной.
2 . Представьте многочлен 4 ху + 3 + 4х + Зу в виде произведения
двух двучленов.
3. Решите уравнение
Зх(Ах - 1) - 2х(6х - 5 ) = 9 х - 8(3 + х).
4 . Докажите, что значение выражения 53 + 3 • 54 + 2 • 55 делится
без остатка на 66.
5. Туристы прошли некоторое расстояние со скоростью 5 км/ч и та
кое же расстояние проплыли на плоту со скоростью 2 км/ч. На весь
путь было потрачено 7 ч. Какой путь преодолели туристы пешком
и на плоту?
Вариант 2
в виде многочлена по убывающим степеням переменной.
2. Представьте многочлен 2ху + 3 + 6л: + у в виде произведения
двух двучленов.
3. Решите уравнение
15л: + 6л:(2 - Зх) = 9х(5 - 2л:) - 36.
4. Докажите, что значение выражения 43 + 8 • 44 + 3 • 45 делится
без остатка на 81.
5. Туристы прошли некоторое расстояние со скоростью 4 км/ч и та
кое же расстояние проплыли на лодке со скоростью 6 км/ч. На весь
путь было потрачено 5 ч. Какой путь преодолели туристы пешком
и на лодке?
Вариант 3
1. Запишите выражение
27 ху2 •Q xp j - 3х 2у[ху3 - ху2) - 2 (ху)3
в виде многочлена и найдите его значение при х = 16, у = —.
8
2. Разложите на множители выражение 4а2Ь(2а - ЗЬ) + 3аЪ - 2а2.
3. Решите уравнение (2х + I)2 = (Зх + 4)(2jc+1).
4. Докажите, что значение выражения 11 • 81 + 45 • З3 + 3 • 813 де
лится без остатка на 53.
5. Поезд проходит расстояние между городами за 9 ч. Если он уве
личит скорость на 20 км/ч, то пройдет это расстояние за 7 ч. Найдите
скорость поезда и расстояние между городами.
Вариант 4
1. Запишите выражение
64х 2у •Q x y j - 4х у 2(х2у - х 2у) + 5( x y f
в виде многочлена и найдите его значение при х = -3 , у
1
3
’
2. Разложите на множители выражение 3аЬ2(4а - Ь ) - 20ab + ЪЬ2.
3. Решите уравнение (Зх + 2)2 = (Зх + 2)(4х + 3).
4. Докажите, что значение выражения 52 • 162 + 3 • 642 + 164 делит
ся без остатка на 89.
5. Поезд проходит расстояние между городами за 8 ч. Если он уве
личит скорость на 20 км /ч, то пройдет это расстояние за 6 ч. Найдите
скорость поезда и расстояние между городами.
22. Произведение многочленов
Вариант 1
1. Представьте выражение (2х + З)2 - (2х + 1)(2х + 6) в виде многочлена и найдите его значение при х = —5 .
2
2. Найдите произведение двучлена х - у и трехчлена х 2 + ху + у 2
и вычислите его значение при х = 3 и у = —.
2
3. Решите уравнение (Зх + 5)(4х - 1) = (6х - 3)(2х + 7).
4. Найдите частное и остаток от деления значения выражения
(3га + 2)(2га + 1) - (Зп + 1)(2п + 3) на число 4 (га - целое число).
5. Длина прямоугольника на 20 м больше его ширины. Если дли
ну прямоугольника уменьшить на 10 м, а ширину увеличить на 6 м,
то его площадь увеличится на 12 м2. Найдите стороны прямоуголь
ника.
Вариант 2
1. Представьте выражение (Зх + 2)2 - (Зх + 4)(3х + 2) в виде многочлена и найдите его значение при х = —3 .
2
2. Найдите произведение двучлена х + у и трехчлена х2 - ху + у 2
и вычислите его значение при х = 3 и у =
32
3. Решите уравнение (5х + 1)(2х - 3) = (10х + 3)(х + 1).
4. Найдите частное и остаток от деления значения выражения
(Зга + 2)(5га + 1) - (5га + 3)(3га + 2) на число 6 (га - целое число).
5. Длина прямоугольника на 15 м больше его ширины. Если длину
прямоугольника уменьшить на 8 м, а ширину увеличить на 5 м, то его
площадь уменьшится на 49 м2. Найдите стороны прямоугольника.
Вариант 3
1. Представьте выражение (я;4 - х2 + 1 )(*4 + х2 + l) в виде многочле
на и найдите его значение при х2 = 2.
2. Найдите произведение двучлена х - 1 и многочлена
я;4 + я:3 + я;2 + х + 1 и вычислите его значение при х = 3.
3. Решите уравнение (х - а)(х + 2а) = (х + 4а)(я; - 2a).
4. Найдите частное и остаток от деления значения выражения
(3n -I- 1)(п + 2) + (2п + 3)(п - 6) - 3п на число 5 (п - целое число).
5. Два прямоугольника имеют периметры 122 см. Длина первого
прямоугольника больше длины второго на 5 см, а площадь второго
прямоугольника на 120 см2 больше площади первого. Найдите пло
щадь каждого прямоугольника.
Вариант 4
1. Представьте выражение (я;6 + х3 + 1 )(*6 - х3 + l) в виде многочле
на и найдите его значение при хг = 3.
2. Найдите произведение двучлена х + 1 и многочлена
jc 4 - х г + я;2 - х + 1 и вычислите его значение при х = 2.
3. Решите уравнение (я; + За)(я; - 2а) = (я: + а)(я; - За).
4. Найдите частное и остаток от деления значения выражения
(За + 2)(п + 1) + (2п - 5)(2п + 5) + 2п на число 7 (п - целое число).
5. Два прямоугольника имеют периметры 142 см. Длина первого
прямоугольника больше длины второго на 5 см, а площадь второго
прямоугольника на 70 см2 больше площади первого. Найдите площадь
каждого прямоугольника.
23. Разложение многочлена
на множители
Вариант 1
1. Разложите выражение (Зя; - 2у)(х - у) + (у - х)(2х + у) на произ
ведение двучленов.
2. Разложите на множители многочлен X s + у3 + х 2у + ху2.
3. Вычислите значение выражения ая; - За - Зя; + 6 наиболее рацио
нальным способом, если a = 3,2 и х = 1,9.
4. Найдите все корни уравнения я:2(х - 3) - 2я:(я: - З)2 = 0.
5. Натуральное число т при делении на 5 дает остаток 3, а нату
ральное число п при делении на 8 дает остаток 7. Какой остаток дает
произведение т п при делении на число 4?
Вариант 2
1. Разложите выражение (2х - 3у)(х - у) + (у - х)(х + 2у) на произ
ведение двучленов.
33
2. Разложите на множители многочлен х 3 - у3 - х 2у + ху2.
3. Вычислите значение выражения ах - За + 2х - 6 наиболее рацио
нальным способом, если а = -2,3 и х - 3,1.
4. Найдите все корни уравнения л:2( л: + 5) - х(х + 5)2 = 0.
5. Натуральное число т при делении на 15 дает остаток 7, а нату
ральное число п при делении на 5 дает остаток 4. Какой остаток дает
произведение т п при делении на число 5?
Вариант 3
1. Разложите трехчлен х п+2 - 5хп+1 + 6хп на произведение одночле
на и двух двучленов (п - натуральное число).
2. Разложите на множители многочлен аЪ2 - Ъ2у - ах + ху + Ь2 - х.
3. Вычислите наиболее рациональным способом значение выраже
ния 7533 - 752 753 754.
4. Найдите все корни уравнения
(л2 - 6л + 8)(2х +1) = (3 * - 2)(х2 - 6 х + 8).
5. Известно, что х и у - целые числа, разность которых кратна 5.
Будет ли значение многочлена Зх2 н- 9л: - 3ху - 9у кратно 15? Ответ об
оснуйте.
Вариант 4
1. Разложите трехчлен х п+2 - 6хп+1 + 8л:л на произведение одночле
на и двух двучленов (п - натуральное число).
2. Разложите на множители ^ногочлен аЪ2 + Ъ2у + ах + ху - Ь 2 - х.
3. Вычислите наиболее рациональным способом значение выраже
ния 6823 - 681 682 • 683.
4. Найдите все корни уравнения
( * 2 - 5 х + б)(4* + 3) = (3 * - 1 )(*2 - 5 * + б).
5. Известно, что х и у - целые числа, сумма которых кратна 3.
Будет ли значение многочлена 4z/2 + 8у + 4ху + 8л: кратно 12? Ответ
обоснуйте.
24. Квадрат суммы и квадрат разности
Вариант
1
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
(735 + 728)2 - 4 735 728.
2. Упростите выражение (Ах + 3у)2 - (Ах - 3у)г и найдите его значе
ние при х =
34
3
и у = —.
8
3. Выражение 25л4 - 20л2у + Ау2 запишите в виде квадрата двучлена.
4. Найдите числа л и у, для которых выполнено равенство
л2 + у2 - 2л + 6у + 1 0 = 0.
5. Сторону квадрата увеличили на 3 см, в результате его площадь
изменилась на 75 см2. Найдите длину стороны получившегося ква
драта.
Вариант 2
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
(744 + 740)2 - 4 • 744 • 740.
2. Упростите выражение (3* - 5у)2 - (Здс + 5у)2 и найдите его значе
ние при х =
и у = —.
4
3
3. Выражение 16л:2 + 24х у 2 + 9у 4 запишите в виде квадрата двучлена.
4. Найдите числа х и у, для которых выполнено равенство
х 2 + у 2 + 4х - 2у + 5 = 0.
5. Сторону квадрата уменьшили на 5 см, в результате его площадь
изменилась на 115 см2. Найдите длину стороны получившегося ква
драта.
Вариант 3
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
(637 + 635)2 - 4 • 635 • 637
8942 - 893 • 895
2. Покажите, что значение выражения (4 + За)2 + 2(4 - 3а)(3а + 1) +
+ (За + I)2 не зависит от переменной. Укажите это значение.
3. Многочлен х 2 + у 2 + г 2 + 2ху + 2у г + 2xz запишите в виде квадра
та трехчлена.
4. Найдите числа х и у >для которых выполнено равенство
Ъх2 + у 2 - 4ху + 4х + 4 = 0.
5. Даны четыре последовательных натуральны х числа. Если
из квадрата суммы двух больших чисел вычесть квадрат суммы двух
других чисел, то получится 152. Найдите эти числа.
Вариант 4
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
(843 + 846)2 - 4 -846 843
6472 - 646 648
2. Покажите, что значение выражения (5 - 2а)2 + 2(5 - 2а)(2а - 1) +
+ (2а - I)2 не зависит от переменной. Укажите это значение.
3. Многочлен х 2 + у 2 + г2 + 2ху - 2уг - 2xz запишите в виде квадра
та трехчлена.
4. Найдите числа х и у, для которых выполнено равенство
Юл:2 + у 2 + 6ху - 2х +1 = 0.
5. Даны четыре последовательных натуральны х числа. Если
из квадрата суммы двух больших чисел вычесть квадрат суммы двух
других чисел, то получится 192. Найдите эти числа.
35
25. Разность квадратов.
Сумма и разность кубов
Вариант 1
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
482 - 182
482 - 2 • 48 • 18 + 182 ’
2. Многочлен 4х4 - х 2у 2 представьте в виде произведения одночлена и двух двучленов.
3. Упростите выражение (а - b){a2 + ab + 62) - о3 и найдите его зна3
чение при а = —и Ъ= 2.
5
4. Найдите все корни уравнения (Зх + I I )2 = (2х - I)2.
5. Найдите остаток от деления значения выражения
683 - 463 + 82 - 142 + 53
на число 22.
Вариант 2
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
852 - 1 7 2
852 - 2 • 8 5 • 1 7 + 172 ’
2. Многочлен 9х 2у 2 - х* представьте в виде произведения одночле
на и двух двучленов.
3. Упростите выражение (а + b)(a2 - аЪ + &2) - Ь3 и найдите его зна2
чение при а = -3 и Ъ =
4. Найдите все корни уравнения (3# - 2)2 = (4х - 5)2.
5. Найдите остаток от деления значения выражения
863 - 673 + 82 - I I 2 + 43
на число 19.
Вариант 3
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
( 9 ? 1 8 0 ~ ~ 97 83) : (Зб2 ~ 282
2. Многочлен х4 - 16у 4 представьте в виде произведения трех дву
членов.
3. Упростите выражение 125 - (9х2 + 15х + 2б)(5 - Зх) - 19х3 и най
36
дите его значение при х = - 5
2
4. Найдите все корни уравнения (х - 4)(х - З)3 = (х - 4)3(х - 3).
5. Найдите значение числового вы 1 о ■■ "и
(1002 + 982 + 962 + 942 + 922) - (992 + 972 + 952 + 932 + 912).
Вариант 4
1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения
( 8 4 1 5 0 б3 ” 8 4 ' 66) : t18* “ в*)-
2. Многочлен 16л;4 - у4 представьте в виде произведения трех дву
членов.
3. Упростите выражение 27 + (25л;2 + 15л; + 9)(5л; - 3) - 61л;3 и най
дите его значение при х =
4. Найдите все корни уравнения (л; - 4)(л; - 5)3 = (л; - 4)3(л; - 5).
5. Найдите значение числового выражения
(2002 + 1982 + 1962 + 1942 + 1922) - (1992 + 1972 + 1952 + 1932 + 1912).
26. Преобразование целых выражений
Вариант 1
1. Сравните значения произведений А = 688-690 и В = 689-687,
не вычисляя их.
2. Упростите выражение л;(л; + 2)(л; - 2) - (л; - 3)(л;2 + Зл; + 9) и най
дите его значение при х =
3. Многочлен а 2 + Ь2 + 2аЪ + 2а + 2Ъ +1 запишите в виде квадрата
трехчлена.
4. При каком значении переменной многочлен Р = 4л;2 + 12л; + 14
имеет наименьшую величину? Найдите эту величину.
5. Найдите все корни уравнения (4х2 - Зл;)3 = (5л;)3.
Вариант 2
1. Сравните значения произведений А = 783 • 785 и В = 784 • 786,
не вычисляя их.
2. Упростите выражение (л; + 4)(л;2 - 4х + 16) - л;(л; - 3) (л; + 3) и най
дите его значение при х =
3. Многочлен а 2 + Ь2 - 2ab + 2а - 26 +1 запишите в виде квадрата
трехчлена.
4. При каком значении переменной многочлен Р = 9х2 - 12х + 7
имеет наименьшую величину? Найдите эту величину.
5. Найдите все корни уравнения (Зл;2 - 2л;)3 = (7л;)3.
Вариант 3
1. Найдите значение числового выражения 523 • 527 - 524 • 526.
2. При каком значении параметра а многочлен стандартного вида,
тождественно равный произведению (2л;2 + х - 1)(л; - а), имеет равные
коэффициенты при л;3 и при л;?
37
3. Выражение (а + Ь)2(а - Ь ) - 2аЬ{Ь - а) - 6ab(a - Ъ) запишите в виде
куба двучлена.
4. При каких значениях переменных многочлен Р = 8х2 + у 2 - 4ху - \ 2 х + 16 имеет наименьшую величину? Найдите эту величину.
5. Найдите все корни уравнения (х + 2)3 = х 3 + 23.
Вариант 4
1. Найдите значение числового выражения 643 • 645 - 641 • 647.
2. При каком значении параметра а многочлен стандартного вида,
тождественно равный произведению (х2 - IOjc + 6)(2х + а), имеет рав
ные коэффициенты при х 3 и при х?
3. В ы раж ение (а + b)(a - b f + 2а&(а + Ь) - 2а&(-а - Ь) запиш ите
в виде куба двучлена.
4. При каких значениях переменных многочлен Р = х 2 + 10у 2 - 6ху - 2х + 7 имеет наименьшую величину? Найдите эту величину.
5. Найдите все корни уравнения (х + З)3 = х 3 + З3.
27. Преобразование выражений
Вариант 1
1. Найдите значение числового выражения
532 + 222 - 472 - 162
652 - 2 • 65 • 59 + 592 *
2. При некоторой величине переменной х + —= -3 . Найдите значе1
х
ние выражения х 2 + —
^.
х
3. Трехчлен х 2 - 2ху - 8у 2 представьте в виде произведения двух
двучленов.
4. Найдите положительный корень уравнения х 2 = 13 889-13 891 + 1.
х 2 + 4х + 4 + х - 1.
5. Постройте график функции у = -------------х +2
Вариант 2
1. Найдите значение числового выражения
792 + 732 - 492 - 552
1092 - 2 109 • 77 + 772'
2. При некоторой величине переменной х - —= -4 . Найдите значе1
х
ние выражения jc2 + —
т.
JC
3. Трехчлен л:2 - 2;су - Зу2 представьте в виде произведения двух
двучленов.
4. Найдите положительный корень уравнения х 2 = 39 819-39 821 + 1.
у
2 _ Д у X
А
5. Постройте график функции у = -------------- + х + 1.
Вариант 3
1. Найдите значение числового выражения
(2 + 1)( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1) - 232.
х +—
4 = -4. Найдите значе2. При некоторой величине переменной —
г 2 48
3 X
ние выражения — + — .
3. Двучлен х4 + 4 представьте в виде произведения двух трехчленов.
4. Найдите положительный корень уравнения
* 3 = З013 - 3 3012 + 902.
5. Постройте график функции у = х ~ 2д; + ^ + х - + $ х +
х- 1
х+3
Вариант 4
1. Найдите значение числового выражения
232 - 3 ( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1).
х 3 = -3. Найдите значе2. При некоторой величине переменной-----V2 о
4 х
ние выражения — + —
8 х2
3. Двучлен 4jc4 + 1 представьте в виде произведения двух трехчленов.
4. Найдите положительный корень уравнения
я3 = 2013 - 3 2012 + 602.
5. Постройте график функции у = — + 2* +—+ х ~
+9
х +1
х- 3
28. Уравнение с двумя переменными
Вариант 1
1. Из приведенных пар чисел (-1; 1), [ -3; - —,) (-5; -1) выберите
л,, + 7 _ 0
V
2 /
Зх -_ 4у
решение уравнения
х+1
2. Решите уравнение с двумя переменными
(2у - 4)2 + |х - Зу + 1| = 0.
3. Из зависимости —х + —у = 1 выразите одну переменную через
другую.
3
2
4. Найдите значение параметра а, при котором уравнение 2х + Зу = 14
имеет решение (а + 1; а - 1). Найдите это решение.
5. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увели
чилось на 54. Найдите это число.
Вариант 2
1. Из приведенных пар чисел (1; 1), (-2; 4), (4; -3) выберите реше4х + Зу - 7 „
ние уравнения------------ = 0.
х-1
39
2. Решите уравнение с двумя переменными
\у —2х —5| -+■(Зл; - 6)2 = 0.
3. Из зависимости - х - —у = 1 выразите одну переменную через
2
3
другую.
4. Найдите значение параметра а, при котором уравнение 6л; - 5у = 23
имеет решение (а + 2; -а ). Найдите это решение.
5. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увели
чилось на 63. Найдите это число.
Вариант 3
1. Из приведенных пар чисел (1; -1), (-2; 5), (3; 15) выберите реу - 2х2 + 3
шение уравнения
= 0.
JC — 1
2. Решите уравнение с двумя переменными:
х 4 - 2х2 + \у - 2| = -1 - |3х + 2у - 7|.
3. Из зависимости \2у + Зх - 1| = 5 выразите переменную у через х.
4. Найдите значение парам етра а, при котором уравнение
2 л:2 + 3у 2 - 4у = 7 имеет решение (а + 2; а + 1). Найдите это решение.
5. Найдите значение параметра а, при котором решением уравне
ния ах2 + bay2 + л;2 = 2а + 2 - 5у 2 будет любая пара чисел (л;; у).
Вариант 4
1. Из приведенных пар чисел (-2; 10), (-1; 1), (3; 25) выберите ре
шение уравнения
У-
3 * - . +- 2
=0.
х +1
2. Решите уравнение с двумя переменными:
у 4 - 2у 2 + |л; + 1| = -1 - \2х + 3у + 9|.
3. Из зависимости \2у - Зле - 5| = 1 выразите переменную у через х.
4. Найдите значение парам етра а, при котором уравнение
Зх2 + у 2 + H i/ = 12 имеет решение (2а; а + 1). Найдите это решение.
5. Найдите значение параметра а, при котором решением уравне
ния 3ах + 4ау2 + 4 у = 2ау + 8у2 + 6х будет любая пара чисел (х; у).
29. Системы уравнений
с двумя переменными
Вариант 1
1. Из приведенных пар чисел (6; 0), (2; -3 ), (4; -2 ) выберите реше„ J 3 * - 4 j/ = 18,
ние системы уравнении <
[2х - 3у = 13.
2. При каком значении п арам етра а гр аф и к уравнен ия
(а - 2)х + (2а - 6) у + 8 = 0 параллелен оси ординат? Напишите это
уравнение.
3. График уравнения (а + 1)jc + (2а -1 )у = 5 проходит через точку
А(2; 1). Постройте этот график.
\х - у = 1,
4. Графически решите систему линейных уравнений \
[дг + Зу = 9.
5. Определите число решений системы уравнений у
Х
\у = х + 3.
Вариант 2
1. Из приведенных пар чисел (1; 0), (0; ^), (-2; 4) выберите реше\4х + Зу = 4,
ние системы уравнений <
[Зле + 5у = 14.
2. При каком значении параметра а график уравнения
(За - 1 ) дс+ (а - 1)у - 6 = 0 параллелен оси ординат? Напишите это
уравнение.
3. График уравнения (а - \)х + (2а -1 )у - 1 проходит через точку
А(4; -1). Постройте этот график.
„ \х + у = 3,
И { jc- 3 i/ = -1.
4. Графически решите систему линейных уравнений
I у = х *,
5. Определите число решений системы уравнений <
[у = 4 - х .
Вариант 3
2. При каком значении параметра а система уравнений
Г(2а + 3)лс + (а +1 )у = 1,
•I
имеет решение (-1; 1)?
[бад: + 4(а - 1 )у = -7 - 2а
3. При каком значении параметра а графики уравнений
(а - 1 )jc+ (2а - 1)у = 7а - 1 и 2л; + Ьу = За + 2 параллельны?
Г|л: - 2| - у = 0,
4. Графически решите систему уравнений (
[у-\ х + 4\ = 0.
К тт „ \у = |дс — 3|,
5. Найдите решения системы уравнении {
[у = 3 - х .
Вариант 4
\2х + у = 4,
1. Графически решите систему линейных уравнений <
[2у - х = 3.
2. При каком значении параметра а система уравнений
[(За - 1)дс + 2ау = а + 3,
<
имеет решение (1; 1)?
[(2а + 1)х - (а +1 )у = 2а - 1
3. При каком значении параметра а графики уравнений
(За - 1)jc + 2у = 4а + 1 и ах + у = За параллельны?
41
\\х - 5| - у = О,
4. Графически решите систему уравнений •{
[у-|х + 1|= 0.
е тт „ [у = |* + 5|,
5. Найдите решения системы уравнении i
[у + х = -5.
30. Решение систем уравнений
Вариант 1
\2х - у = 2,
1. Методом подстановки решите систему уравнений {
[3* - 2у = 3.
2. Методом алгебраического сложения решите систему уравнений
J4 0 * + Зу = 4,
[20* - 7 у = 19.
„ т.
„ [(* - 2)(у + 3) = О,
3. Решите систему уравнении •{
[3 * - 2у = 6.
2 + 1 = 4,
У
4. Решите систему уравнений
х
У
2 * + 3у = 4,
5. При каком значении параметра а система уравнений х - у = - 3,
х + 2у = а
имеет решение? Найдите это решение.
Вариант 2
„ \5у - х = 6,
1. Методом подстановки решите систему уравнений
и-!
[3* - 4у = 4.
2. Методом алгебраического сложения решите систему уравнений
[3 * + 8 у = 13,
[5 * - 1 8 у = 6.
„ т,
- Г(* + 3)(у - 4) = О,
3. Решите систему уравнении i
[4х - 3у = -12.
—+ —= 4,
х У
4. Решите систему уравнений
2
- - - = 10 .
[У х
3 * - 2у = 7,
5. При каком значении параметра а система уравнений х + у = 4,
2х - у = а
имеет решение? Найдите это решение.
Вариант 3
1. Методом подстановки решите систему уравнений
Зле + 2у + х - З у _ 3
5
6
2ле + Ту + 43 = 0.
2. Методом алгебраического сложения решите систему уравнений
У +1
1
Зле - 4 “ 2 ’
5* + у = г
Зле +11
3. Решите систему уравнений
4. Решите систему уравнений
х 2 + у 2 = 9 - 2лсу,
х - у = 7.
6
8
х-у
х+у
=-
2,
9 + ^ - = 8.
х-у
х+у
* - 1 + У -
5. Дана система уравнений
3
4
= 1,
12
Найдите сумму ле + у + г.
y + JL + * = 1 .
5
10
3
Вариант 4
1. Методом подстановки решите систему уравнений
4ле +1 _ Ь х - З у _ 3
3
4
1х - Юр - 5 = 0.
2. Методом алгебраического сложения решите систему уравнений
[Зле +10 _ 1
У +1
12 ’
5лс + у _ 4
9х + 2у 5
„ _
„ ле.2 +, «..2 = 16 + 2леу,
3. Решите систему уравнении <
[х + у = 8.
—
х-у
4. Решите систему уравнений
8
х-у
5. Дана система уравнений
6
3
12
х+у
18
х+у
4
’
+ *- + ± = Ю.
8 4
= 3,
= - 1.
Найдите сумму ле + р + г.
43
31. Решение задач
с помощью систем уравнений
Вариант 1
1. График линейной функции проходит через точки А (3 ;1)и В(2; - 2).
Задайте эту функцию формулой.
о
2. Сумма двух чисел равна 77. Найдите эти числа, если —первого
4
3
числа равны —второго числа.
3. По течению реки лодка за 3 ч 20 мин проходит расстояние 30 км,
а против течения за 4 ч - расстояние 28 км. Какое расстояние по озеру
пройдет лодка за 5 ч?
4. Сколько граммов 75%-го и 15%-го растворов кислоты надо сме
шать, чтобы получить 72 г 50%-го раствора кислоты?
5. Саша и Витя вскапывают грядку за 10 мин, а один Витя за 15 мин. За сколько минут вскапывает грядку один Саша?
Вариант 2
1. График линейной функции проходит через точки А(2; -1) и В(1; 3).
Задайте эту функцию формулой.
о
2. Разность двух чисел равна 12. Найдите эти числа, если —перво4
5
го числа равны —второго числа.
3. По течению реки лодка за 3,5 ч проходит расстояние 42 км,
а против течения за 4 ч - расстояние 32 км. Какое расстояние по озе
ру пройдет лодка за 6 ч?
4. Сколько граммов 15%-го и 60%-го растворов кислоты надо сме
шать, чтобы получить 90 г 40%-го раствора кислоты?
5. Игорь и Олег вскапывают грядку за 12 мин, а один Игорь за 20 мин. За сколько минут вскапывает грядку один Олег?
Вариант 3
1. График линейной функции проходит через точки А(9; -18)
и точку пересечения прямых у = х - 7 и у = 8х. Задайте эту функцию
формулой.
2. Если сложить возраст отца и возраст сына, то получится 52.
Через 8 лет отношение возраста отца к возрасту сына будет равно 3.
Сколько лет отцу и сколько сыну в настоящий момент?
3. По окружности, длина которой 100 см, движутся равномерно
две точки. Они встречаются каждые 4 с, двигаясь в противоположных
направлениях, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении.
Найдите скорости этих точек.
4. Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если зарплата
жены увеличится вдвое, общий доход семьи вырастет на 45%.
На сколько процентов вырастет общий доход семьи, если вдвое увели
чится зарплата мужа?
5. Миша вскапывает грядку за 10 мин, Саша - за 12 мин, Олег за 15 мин. За сколько минут они вскопают грядку втроем?
Вариант 4
1. График линейной функции проходит через точки А (-6; 12)
и точку пересечения прямых у = х + 12 и у = - Зх. Задайте эту функ
цию формулой.
2. Если сложить возраст отца и возраст сына, то получится 30.
Через 7 лет отношение возраста отца к возрасту сына будет равно 3.
Сколько лет отцу и сколько сыну в настоящий момент?
3. По окружности, длина которой 200 см, движутся равномерно
две точки. Они встречаются каждые 5 с, двигаясь в противоположных
направлениях, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении.
Найдите скорости этих точек.
4. Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если зарплата
мужа увеличится вдвое, общий доход семьи вырастет на 60%.
На сколько процентов вырастет общий доход семьи, если вдвое увели
чится зарплата жены?
5. Миша вскапывает грядку за 6 мин, Саша - за 20 мин, Олег за 30 мин. За сколько минут они вскопают грядку втроем?
КО НТРО ЛЬНЫ Е РАБОТЫ
1. Выражения, тождества, уравнения
Вариант 1
1
1. Найдите 40% от числа а = 2of 5—• —- 2—: — + 3—• 1,5.
V 3 4
7 7/
3
6а
+
4Ь
За&
2. В выражении
укажите допустимые значения переЗа + 2Ъ
2 и. о =1 —.
менных и найдите его значение при а = —
3
2
3. Оля задумала число и уменьшила его на 3. Этот результат умно
жила на 4 и прибавила 7. В итоге получилось 31. Найдите задуманное
число.
4. На трех автобазах находится 606 машин. На второй базе
на 18 машин больше, чем на первой. На третьей базе в два раза боль
ше машин, чем на первых двух базах вместе. Какой процент от всех
машин находится на третьей базе? Сколько машин на первой базе?
5. При каком наименьшем натуральном значении параметра
а уравнение 3(х - 1) = а - 8 имеет положительный корень?
Вариант 2
1. Найдите 25% от числа а =
10Г7—
•—- 4 —
: — 1 - 5— 4,5.
V 5 6
3 6у
3
2 В выражении 4а + 6b - Sab укажите допустимые значения пере
2а + 3b
менных и найдите его значение при а =
3. Юра задумал число и увеличил его на 2. Этот результат умножил
на 5 и вычел 6. В итоге получилось 59. Найдите задуманное число.
4. На трех автобазах находится 624 машины. На третьей базе
на 12 машин меньше, чем на первой. На второй базе в три раза больше
машин, чем на первой и третьей базах вместе. Какой процент от всех
машин находится на второй базе? Сколько машин на первой базе?
5. При каком наибольшем натуральном значении параметра
а уравнение Ц х - 2) = а - 13 имеет отрицательный корень?
Вариант 3
1. Представьте каждую дробь в виде разности двух дробей и найди
те значение выражения —^
+ —— + ... +
.
1 2 2 3 3-4
99 100
2. В выражении а 2 + 3аЪ укажите допустимые значения перемен3Ьг + 2аЪ
ных и найдите его значение при а = -Ь.
3. Катер по течению реки за 5 ч проплыл такое же расстояние,
которое проплывает против течения реки за 8 ч. Во сколько раз соб
ственная скорость катера больше скорости течения реки?
4. Количество компьютеров на трех складах относится как 1 : 2 : 3 .
С первого склада было продано 7 компьютеров, с третьего склада 16 компьютеров, а на второй склад привезли 17 компьютеров. После
этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на пер
вом и третьем складах вместе. Сколько компьютеров было на каждом
складе вначале?
5. При каких целых значениях параметра а корнем уравнения
ах = 5 + 2* будет натуральное число? Найдите эти корни.
Вариант 4
1. Представьте каждую дробь в виде разности двух дробей и найди2
2
2
2
те значение вы раж ения-----+
----+ ------+
... + ---------.
1 3 3 5 5 7
99 101
л В
тэ выражении —«
а 2 +--------укажите
2ab
2.
допустимые значения перемен45 + ЗаЬ
ных и найдите его значение при а = -5.
3. Катер по течению реки за 6 ч проплыл такое же расстояние,
которое проплывает против течения реки за 9 ч. Во сколько раз соб
ственная скорость катера больше скорости течения реки?
4. Количество компьютеров на трех складах относится как 2 : 1 : 3 .
С первого склада было продано 9 компьютеров, с третьего склада 27 компьютеров, а на второй склад привезли 32 компьютера. После
этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на пер
вом и третьем складах вместе. Сколько компьютеров было на каждом
складе вначале?
5. При каких целых значениях параметра а корнем уравнения
ах = 7 + Зх будет натуральное число? Найдите эти корни.
2. Функции
Вариант 1
1. Постройте график функции у = 2х - 6 и укажите координаты
точек пересечения графика с осями координат. Найдите площадь тре
угольника, ограниченного линиями у = 2х -6 , у = 0, х = 0.
2. Напишите уравнение прямой, параллельной графику функции
у = 7л: - 3 и проходящей через точку А (-1; -2).
3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у = -2 х и у = Зх + 10.
47
4. При каком значении парам етра а графики функций
у = (2а - 1):с + 2 и I/ = (а + 1)jc - 1 параллельны? Постройте эти гра
фики.
5. Постройте прямые, координаты точек которых удовлетворяют
уравнению \у - 3| = 2.
Вариант
2
1. Постройте график функции у = 6 - Зх и укажите координаты
точек пересечения графика с осями координат. Найдите площадь тре
угольника, ограниченного линиями у = б - Зх, у = 0, х = 0.
2. Напишите уравнение прямой, параллельной графику функции
у = -5х + 2 и проходящей через точку А(2; -2).
3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у = -Зх и у = 2х - 15.
4. При каком значении парам етра а графики функций
у = (а - 2)х + 1 и у = (2а - 1)х - 2 параллельны? Постройте эти гра
фики.
5. Постройте прямые, координаты точек которых удовлетворяют
уравнению \у + 1| = 2.
Вариант
3
1. График линейной функции проходит через точки А(0; -4) и Б (2; 0).
Постройте график функции, задайте ее формулой и найдите площадь
треугольника, ограниченного этим графиком и осями координат.
2. Найдите координаты точек пересечения графика функции
(х - 3 )(* +1)
у = ----- --------- с осями координат.
х -1
3. Укажите координаты точки графика функции у = Зх - 4, если
эти координаты равны.
4. Постройте прямые, координаты точек которых удовлетворяют
уравнению \у - 2х + 1| = 2.
Гх + 2, если - 4 < х < -1,
5. Постройте график функции у = <
Найдите
[|х|,если -1 < х < 3.
произведение значений функции у{-4) и у(3).
Вариант 4
1. График линейной функции проходит через точки А(0; 2) и В(-1; 0).
Постройте график функции, задайте ее формулой и найдите площадь
треугольника, ограниченного этим графиком и осями координат.
2. Найдите координаты точек пересечения графика функции
48
(* + 2) ( * - 1)
с осями координат.
х2 - 1
3. Укажите координаты точки графика функции у = Зх - 8, если
эти координаты равны.
4. Постройте прямые, координаты точек которых удовлетворяют
уравнению \у + 2х - 2| = 1.
У=
f|jc|, если - 2 < x < 2 ,
Найдите
5. Постройте график функции у = <
[4 - х, если 2 < х < 6.
произведение значений функции у (-2) и у(6).
3. Степень с натуральным показателем
Вариант 1
1. Найдите значение числового выражения
6 - ( з ^ ) + 4• 1,53 + 2• З4 - 3 • 25 -2 ,0 5 °.
2. Представьте выражение (3jcj/)2 • х2 ■(2у3) • ху2 в виде одночлена.
Определите его степень.
3. Запишите выражение (4x 2)( i/2) • х ■2уь в виде куба одночлена.
Найдите его значение при ху3
1
3
"
4. Сравните значения числовых выражений А = 420 и В = З30.
5. Найдите последнюю цифру числа, которое является значением
выражения 2 • 35117 + 3 • 1259 - 1067.
Вариант 2
1. Найдите значение числового выражения
10•
) +12• 1,58 - 2• З4 + 3 25 +1,03°.
2. Представьте выражение (2ху)3 ■х ■(Зу2j • х 2у 3 в виде одночлена.
Определите его степень.
3. Запишите выражение (9х3}(у2} ■х ■Зх2у 5 в виде куба одночлена.
Найдите его значение при х 2у3
1
2
4. Сравните значения числовых выражений А = З20 и В = 230.
5. Найдите последнюю цифру числа, которое является значением
выражения 3 • 42118 + 8 • 21513 - 1369.
Вариант 3
1. Найдите значение числового выражения (п - натуральное число)
8 • 100"
5П+2 - 5"
22п+2 - б2"
8-5"
(2x 2y223f • (-3 у г4)2
2. Представьте выражение -------- -— 1-----j — в виде одночлена.
ух2г5 ■(-Ьу2хг)
Определите его степень.
3. Запишите выражение (2х пу3} ■х п -2у3п в виде куба одночлена
(п - натуральное число).
4. Сравните значения числовых выражений А = 748 и В = 472.
49
5. Сколько слагаемых находится в правой части равенства
7400 = 7 + 7 + ... + 7?
Вариант 4
1. Найдите значение числового выражения (п - натуральное число)
18 36 " | 2п+г - 2 "
g2n+2 2 ^ п
2 • 2П
(x2yz2f (-2угz8f
2. Представьте выражение ------- -— ---------V в виде одночлена.
y3xz3 ( - 5 y W )
Определите его степень.
3. Запишите выражение (Зхуп} ■Зх ■(х3пуп+6} в виде куба одночле
на (п - натуральное число).
4. Сравните значения числовых выражений А = 936 и В = 454.
5. Сколько слагаемых находится в правой части равенства
8500 = 8 + 8 + ... + 8 ?
4. Многочлены
Вариант 1
1. Преобразуйте выражение
( 3 i * 2y) ( n v
) - Зх2у2(х у 2 + х у ) + 2х3у3
в многочлен стандартного вида и определите его степень.
2. Разложите на множители выражение 6ху(2х - у) + 5у(у - 2х).
3. Решите уравнение ^х - ^ - ----- - —х ~
*
4
12
3
4. Если одну сторону квадрата увеличить на б см, а другую сторону
уменьшить на 2 см, то площадь получившегося прямоугольника будет
на 28 см2 больше площади квадрата. Найдите периметр квадрата.
х3 + 2х2 1.
5. Постройте график функции у = ----------х+2
Вариант 2
1. Преобразуйте выражение
( 5 з ;ч/) ( | х3у2) ” 2х 2у 2 ( х 2у ~
ху )
+
*V
в многочлен стандартного вида и определите его степень.
2. Разложите на множители выражение Зху(х - 2у) + 2л:(2у - х).
3. Решите уравнение
50
- х + * = 2х +1
4
3
12
4. Если одну сторону квадрата увеличить на 7 см, а другую сторону
уменьшить на 3 см, то площадь получившегося прямоугольника будет
на 27 см2 больше площади квадрата. Найдите периметр квадрата.
V3 __ Од:2
5. Постройте график функции у = --------- + 1.
х- 2
Вариант 3
1. Преобразуйте выражение
27 х у 2 • ^ х у j - 3х 2у ( х у ъ - х у 2) - 2 ( x y f
в многочлен стандартного вида, определите его степень и найдите зна
чение при х у = 5.
2. Разложите на множители выражение 8агЪ + 3аЪ - 12а262 - 2а2.
3. Решите уравнение (х 2 - З х ) + 2( jc2 - Зл;) = 0.
4. Знаменатель данной дроби на 5 больше ее числителя. Если ее
2
числитель увеличить на 3, а знаменатель - на 1, то получится дробь —.
о
Найдите данную дробь.
5. Найдите все целые значения х н у , удовлетворяющие уравнению
у(х - 2) = 13 - 5х.
Вариант 4
1. Преобразуйте выражение
64х2у ■{ ^ х у j - 4 х у 2[xzy - х 2у ) - 5 ( x y f
в многочлен стандартного вида, определите его степень и найдите зна
чение при х у = 3.
2. Разложите на множители выражение 12а262 - 20ай - Заб3 + 562.
3. Решите уравнение (х2 + 5*) + б(х2 + 5л:) = 0.
4. Знаменатель данной дроби на 4 больше ее числителя. Если ее
числитель и знаменатель увеличить на 1, то получится дробь —. Най
дите данную дробь.
5. Найдите все целые значения х н у , удовлетворяющие уравнению
х{у + 4) = Зу + 15.
5. Формулы сокращенного умножения
Вариант
1
1. В ы раж ение (2а - ЗЬ2)(4а2 + 6аЪ2 + 9Ь4) - 7а 3 + 26&б запиш ите
в виде многочлена и определите его степень.
2. Разложите на множители выражение
(а - Ь - 1)2 + 2(а - Ъ - 1)(а + 4) + (а + 4)2.
3. Решите уравнение (2х + 1)(4л:2 - 2х + 1) - 4х[2хг
4. Найдите наименьшее значение многочлена
Р = х 2 + у 2 - 6х + 2у + 17 .
При каких значениях переменных оно достигается?
5. Докажите, что значение числового выражения
144 - 1652 + 138 2- 1072
без остатка делится на 31.
-
1) = 5х - 2.
51
Вариант 2
1. Выражение (За2 + &)(9а4 - 3а2Ь + Ь2) - 26а 6 запишите в виде мно
гочлена и определите его степень.
2. Разложите на множители выражение
(о + Ъ + 2)2 - 2(а + 6 + 2)(1 - 2Ъ) + (1 - 2Ь)2.
3. Решите уравнение (2х - 1)(4jc2 + 2х + 1) - 8х(х2 - 1) = Зх + 4.
4. Найдите наименьшее значение многочлена
Р = х 2 + у 2 + 4х - 6у + 19.
При каких значениях переменных оно достигается?
5. Докажите, что значение числового выражения
154 - 1862 + 1732 - 1342
без остатка делится на 39.
Вариант 3
1. Выражение(х + 2)3 + (2х - 1)(4х2 + 2х + 1) - 6(х - 1)(х +1) - 9х3 запишите в виде многочлена и найдите его значение при х = —1 .
4
2. Разложите на множители выражение 4 (а + 2Ь)2 - 9(2а + b f .
3. Решите уравнение (х + I )3 = х 2(х + 1).
4. Найдите наименьшее значение многочлена
Р = о2 + баб + 1062 - 2Ь + 3.
При каких значениях переменных оно достигается?
е Найдите
тт 532=-------------------- 312 - 432 + 412
0.
значение числового выражения —
5-.
732 - 2 73 63 + 632
Вариант 4
1. Выражение (х - I )3 + (2х + 3)(4х2 - бх + 9) + 3(х + 1)(х - 1 ) - 9х3
запишите в виде многочлена и найдите его значение при х =
.
3
2. Разложите на множители выражение 9 (2а + 3by - 4 ( a - b f .
3. Решите уравнение (х - I )3 = х2(х - 1).
4. Найдите наименьшее значение многочлена
Р = а2 - Sab + 17Ь2 + 26 + 4.
При каких значениях переменных оно достигается?
5. Найдите значение числового выражения 672 - 3 5 2 - 5 7 2 + 4 5 2
842 - 2 •84 • 74 + 742
6. Преобразование выражений
Вариант 1
52
1. При любом значении переменной сравните значения выражений
А = (Зх - 1)(4х + 1) и В = (2х + 1)(5х - 3).
2. Найдите значение выражения
2379 23 782 378 - 2378 23 792 379.
3. Разложите на множители многочлен 4 х 2 + 9у 2 - г2 - 12ху.
4. При каком значении параметра а уравнение 2х - 5а = а2 - ах + 6
имеет бесконечно много решений?
5. Стоимость покупки, состоящей из одинаковых двух блокнотов,
трех тетрадей и пяти ручек, составляет а руб. Покупка из пяти блокнотов, четырех тетрадей и двух ручек стоит 2а руб. Сколько стоят
блокнот, тетрадь и ручка вместе?
Вариант 2
1. При любом значении переменной сравните значения выражений
А = (2х - 3)(3х + 4) и В = (5х + 1)(4х - 1).
2. Найдите значение выражения
3786 37 853 785 - 3785 37 863 786.
3. Разложите на множители многочлен 9х 2 + 16у2 - г2 - 24ху.
4. При каком значении параметра а уравнение 2а - Зх = а2 - ах - 3
имеет бесконечно много решений?
5. Стоимость покупки, состоящей из одинаковых трех блокнотов,
двух тетрадей и пяти ручек, составляет а руб. Покупка из пяти блок
нотов, шести тетрадей и трех ручек стоит За руб. Сколько стоят блок
нот, тетрадь и ручка вместе?
Вариант 3
1. При любом натуральном значении п найдите остаток от деления
значения выражения (п + 1)(п + 5) - (п - 2)(п + 2) на число 6.
2. Какой цифрой оканчивается число, которое является значением
выражения 21 + 22 + 23 + ... + 251 + 252?
3. Разложите многочлен х 4 + 5л;2 + 9 на произведение двух трех
членов.
4. При каком значении параметра а равенство
(х + 5)2 - 4(х + 7) + 11 = (х + 2)(л; + а)
является тождеством?
5. Игорь и Миша могут покрасить забор за 3 ч. Миша и Олег могут
покрасить этот же забор за 6 ч, а Олег и Игорь - за 4 ч. За какое время
мальчики покрасят забор, работая вместе?
Вариант 4
1. При любом натуральном значении п найдите остаток от деления
значения выражения (п + 2)(п + 7) - (п - 3)(п + 3) на число 9.
2. Какой цифрой оканчивается число, которое является значением
выражения З1 + З2 + З3 + ... + З47 + З48?
3. Разложите многочлен л:4 + Зл:2 + 4 на произведение двух трех
членов.
4. При каком значении параметра а равенство
(х + 7)2 - 9(jc + 5) + 2 = (л: + 2)(л: + а)
является тождеством?
5. Игорь и Миша могут покрасить забор за 2 ч. Миша и Олег могут
покрасить этот же забор за 4 ч, а Олег и Игорь - за 3 ч. За какое время
мальчики покрасят забор, работая вместе?
7. Решение систем уравнений
Вариант 1
1. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворя
ют равенству (у - 2)2 = (2х + I)2.
2. Найдите решение уравнения (х - Зу + 1)2 + \2х - 5у + 1| = О.
3. При каких значениях параметров а и &решением системы уравПах - 4 у = 10,
нений <
является пара чисел (2; -1)?
|бх + &у = 12
[Зх2 - у = 7,
4. Решите систему уравнений <
[5у - Зх2 = -23.
5. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если к данному числу
прибавить 18, то получится двузначное число, записанное теми же ци
фрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.
Вариант 2
1. Постройте множество точек, координаты которых удовлетвори
ют равенству (у + I)2 = (2х - З)2.
2. Найдите решение уравнения (х + 2у - 7)2 + |2х - Зу - 7| = 0.
3. При каких значениях параметров а и Ь решением системы урав\ах + 2у = 1,
нений <
является пара чисел (1; -3)?
бдс + by = 15
[б*2 - 4у = 17,
4. Решите систему уравнений <
[бу - 5х2 = -23.
5. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к данному чис
лу прибавить 27, то получится двузначное число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.
Вариант 3
1. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворя
ют равенству |у + 2х + 1| = |у - 4х + 3|.
2. Найдите решение уравнения
х 2 + 9у2 = 6ху - 1* + у - 4|.
54
3. При каких значениях параметров а и b система уравнений
[Зх + ау = 4,
имеет бесконечно много решений?
[Ьх - 21у = -12
2х + у + г = 2,
4. Решите систему уравнений х + 2у + г = 1,
х + у + 2г = 5.
5. Разность между двузначным числом и числом, записанным теми
же цифрами, но в обратном порядке, равна 27. Разность между ква
дратами таких чисел равна 1485. Найдите данное число.
Вариант 4
1. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворя
ют равенству \у + х - 2| = \у - Зх + 4|.
2. Найдите решение уравнения
х2 + 4у2 = 4ху - \х + у - 3|.
3. При каких значенияхпараметров а и & система уравнений
[5х + ау = 7,
<
имеет бесконечно много решений?
(6* + 9у = -21
2х - у + г 2,
4. Решите систему уравнений х - 2 у + 2 - 1,
х - у + 2z -5.
5. Разность между двузначным числом и числом, записанным теми
же цифрами, но в обратном порядке, равна 45. Разность между ква
дратами таких чисел равна 5445. Найдите данное число.
8. Итоговая работа
Вариант 1
1. Упростите выражение (а + 2bf - (а - b)(b + а) и найдите его зна
чение при а = 1 и Ъ= —.
5
2. Решите уравнение —-+ ^ + ——- = 5.
(з4)2 • 211
3. Найдите значение числового выражения
3 364
4. График линейной функции проходит через точки А(-8; -30)
и £(22; 60). Напишите уравнение этой функции и постройте ее график.
5. Сумма двух натуральных чисел равна 80, а сумма 50% первого
числа и 25% второго числа равна 26. Найдите эти числа.
Вариант 2
1. Упростите выражение (2а + Ь)2 - (2а - 36) (35 + 2а) и найдите его
значение при а = 2 и 6 = —.
5
2. Решите уравнение ^ + ^ + ——- = 3.
(б 3)5 • З16
3. Найдите значение числового выражения
9-225'
4. График линейной функции проходит через точки А(-13; -30)
и £(32; 60). Напишите уравнение этой функции и постройте ее график.
55
5. Сумма двух натуральных чисел равна 90, а сумма 75% первого
числа и 50% второго числа равна 61. Найдите эти числа.
Вариант 3
1. Упростите выражение (2а + &)(4а2 - 2ab +
- 8а(а + Ь)(а - Ь)
и найдите его значение при о = - | и & = 1 .
2. Решите уравнение (х - 1)3(дг + 3) = (х - 1)(д: + З)3.
„ Найдите
„ «
417 +12 •--------------167 + 80 • 644•
3.
значение числового выражения---------4. Напишите уравнение прямой, перпендикулярной биссектрисе
первого координатного угла и проходящей через точку А(-17; 20). По
стройте график этой прямой.
5. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если это число разде
лить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке,
то в частном получится 4, в остатке 3. Найдите данное число.
Вариант 4
1. Упростите выражение (a - 2 b ){a 2 + 2аЬ + 4Ь2} - а (а - Ь)(а + Ь)
и найдите его значение при а = 8 и Ъ =
2. Решите уравнение (х - 3)3(jc + 5) = (х - 3)(дс + 5)3.
3. Найдите значение числового выражения З17 + 15 97 + 63 274
З6 1892
4. Напишите уравнение прямой, перпендикулярной биссектрисе
второго координатного угла и проходящей через точку А(24; 20). По
стройте график этой прямой.
5. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разде
лить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке,
то в частном получится 2, в остатке 7. Найдите данное число.
ОТВЕТЫ
Ответы к самостоятельным работам
СР Задание
2
0,2
2
(32 - 27)(32 +
+ 27) = 295
(47 - 42)(47 +
+ 42) = 445
3
4
5
12 см; 8,51 см2 14 см; 11,04 см2
1
1
2
3
4
5
6
Вариант
1
од
3
600
13 + 17 оо1
1
1 _^ 1
13 17
4
700
\ 1 + 1i =209
11 + 19
55 + 5- 5
5050
На 72,8%
55-5-5
15 050
На 48,8%
Да
Да
На 8%
На 4%
1
3600*
1440*
*°х
3
5
2
3
9
7/1 + 3; —4
46
8п + 5; -3
47
3
4
-6
-4
* = -2 и * = 3
* = -3 и * = 4
х = 3 и у = -2
* = -3 и у = 2
5
7 (2* + 3у) км/ч
о
у (3 * + 4р)км/ч
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
А > В
А < В
« О * * “ S 'к м /,
X + J/
А> В
4 °х + 60«/ км/ч
х+у
А В
3
2
13 < * < 15
Плюс
а -25
0
А=В
18
206
А = В = 6,15
-2 а > 5
0
А=В
22
219
А = 5 = 0,25
3 * - 2; 5,5
132*
5 а + 40
-1 и 5
- 6* + 13у
7 * - 6; 2,4
515*
6а - 35
-2 и 1
- 5 * + 12i/
- И х + 6 ; 9,3
500*
8а + 45
-1 и 2
* = -7
Зх2 - 4х - 2 = 0
2х2 + Зх - 4 = 0
3
4
5
1
2
3
А = В = 11,4
Ну
3 - 2* ; 8
121*
4 а -60
-4 и 2
5 * = -3
* = 1 и * = -3
-6
8
500
А < В
1
3
А = В = 7,5
6*
Зх = -3 и х = 2
V
- 1
V -
1
* - 3 И* - “ 2
57
CP
Вариант
Задание
1
2
4
-
-
6
е
О
10
*-*!
3
3
x = -1 4
2
а=3
3
1
6
a = -2
7
з
* - любое,
кроме * = 1
* - любое,
кроме * = -2
а = -1
7
4
4 блока по 5 м
и 10 блоков
по 8 м
4
36 км
48 км
5
37, 49
и 172 книги
31, 23
и 162 книги
l>j +У 2
66
68
а - 1
а +3
46
47
11
20
3
44
41
4
72,5
68,5
5
2в + 3
За + 1
9,25
1
2
Нет
За + 2
Нет
2а - 3
2а - 25
8,75
s = 50 + 40*
s = 70 + 50f
6
3
S = х (8 - х)
S = *(12 - х)
4
i/ = 8 - 11*
у= 3-7*
5
* = 3j/ + 1,5; да
1
х * 1; x * Z
* Ф 2; * * -3
2
7
26
3
3
=
§2
-
у; да
4
Да
s = 180 + n o t
у - 2 - 3 ,5 *
Зу 4- 2
* = * . ;д а
у -1
* Ф 1, * Ф-2 ,
х Ф3
у = -3 ,5 - 3 ,5 *
Зу + 2
х = ~ г — ;д а
1- у
X Ф 1, * Ф- 1 ,
х ф -2
Последние комментарии
2 часов 59 минут назад
3 часов 20 минут назад
4 часов 14 минут назад
7 часов 13 минут назад
7 часов 14 минут назад
7 часов 22 минут назад