ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ПРАКТИКУМ
С .М .А П О Л Л О Н С К И И
А .Л . В И Н О Г Р А Д О В
• Расчет стационарных процессов в линейных электрических цепях
• Расчет несинусоидальных и переходных процессов.
Расчет нелинейных цепей
КНОРУС
• Расчет электромагнитных полей
ВООК.ги
ОЫШЕ МАТЕРИАЛЫ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Б
А
К
А
Л
А
В
Р
И
А
Т
С.М. Аполлонский
А.Л. Виноградов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ПРАКТИКУМ
Р еком е нд ова но
Ф Г Б О У ВО « М о с к о в с к и й го суд ар ствен н ы й техн о л о ги ч еск и й у н иве р ситет «СТАНК1/1Н>
в качестве у ч е б н о го пособия для студентов в ы с ш и х учебны х заведений,
обучаю щ и хся по нап равлениям п о д го товки « Э л ектро энергетика и электротехника»,
«Эл ектро ника и м икр оэл ектр он и ка »
Министерство образования и науки Росси йско й Федерации
Ф ГАУ «Ф едеральны й институт развития образования»
Регистрационны й номер рецензии № 081 от 07.03.2014
ВООК.ги
ЭЛЕКТРО ННО -БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА
К Н О Р УС • М О С К В А * 2020
У ДК 6 2 1 .3 (0 7 5 .8 )
Б Б К 3 1 .2 я 7 3
А76
Рецензенты:
В. В. Ф ёдоров, п р о ф . каф ед ры « Т еорети чески е о сн о вы эл ектр о тех н ики » С а н к тП етер б у р гско го го су д ар ствен н о го э л е к тр о те х н и ч еск о г о у н и в ер си тет а (Л Э Т И ),
д -р техн. н аук, п р о ф .,
М .А . Ш аки ров, п р оф . каф едры «Т еорети чески е осн о вы эл ектротехн ики » С а н к тП ете р б у р гск о го го с у д ар ствен н о го п о л и тех н и ч ес к о го у н и в ер си тет а (Л П И ), д -р
техн. н аук, проф .
А п ол л он ск и й , С тан исл ав М и хай л ов и ч .
А76
Теоретические основы электротехники. Практикум: учебное пособие /
С.М. Аполлонский, А.Л. Виноградов. — Москва: КНОРУС, 2020. —290с. —
(Бакалавриат).
181Ш 9 7 8 - 5 -4 0 6 -0 0 0 7 8 -6
Р ассм о тр ен ы классы задач с р еш ен и я м и п о теорети чески м о сн о вам эл ек тр о
тех н и к и , а такж е л аб о р ато р н ы й п ракти кум п о технологии МиШвипе. У чтен ы как
о бщ и е тр еб о ван и я к очном у обучен ию студентов в вы сш и х учебны х заведени ях, так
и о со б ен н о сти п ол учен и я вы сш его о б р азо ван и я в усл ови ях об уч ен и я без отры ва
от трудовой деятельности. Д л я пособия отобран м иним ум задач по разн ы м разделам,
н о с п о др о бн ы м и р еш ен и я м и , которы е п озво л я т студенту в д ал ь н ей ш ем усп еш н ее
осваи вать сп ец и ал ь н ы е эл ектротехн ич ески е д и сц и п л и н ы .
С оответствует Ф Г О С ВО п осл едн его п окол ен и я.
Д л я студент ов направлений «Электроэнергетика и элект рот ехника» и *Э лект ро
ника и наноэлект роника». М ож ет быть полезно для студентов других направлений,
изучаю щ их элект рот ехнические дисциплины.
У Д К 6 2 1 .3 (0 7 5 .8 )
Б Б К 31.2 я 7 3
А п о л л о н ск и й С тан и сл ав М и хайлович
В ин оградов А лександ р Л еон и д ови ч
Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О ВЫ Э Л Е К Т Р О Т Е Х Н И К И . П РА К Т И К У М
Изд. № 523255. Ф ормат 60x90/16. Гарнитура « № м о п С » .
Уел. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 8,0.
ООО «Издательство «КноРус».
117218, г. М осква, ул. Кедрова, д. 14, корп. 2.
Тел.: +7 (495)741-46-28.
Е-шаП: \уе1соте@кпоги$.ги \у\у\у.кпош8.ги
Отпечатано в АО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. М осква, Волгоградский проспект, д. 42, корп. 5.
Тел.: +7 (495)221-89-80.
Предисловие............................................................................................................6
ЧАСТЬ I.
РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В Л И Н ЕЙ Н Ы Х
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Ешва 1. Расчет линейных электрических ц еп ей ...........................................8
1.1. Пассивные элементы.............................................................................8
1.2. Источники электрической энергии...................................................... 9
Глава 2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Расчет линейных электрических цепей постоянного тока . . . . 12
Основные законы электрических цепей............................................ 12
Групповое соединение приемников.....................................................12
Расчет простых цепей........................................................................... 16
Методы расчета сложных цепей постоянного тока........................... 19
Глава 3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Однофазные электрические цепи синусоидального тока . . . . 28
Основные положения и соотношения...............................................28
Символический метод расчета.............................................................33
Резонанс в цепях синусоидального тока............................................36
Цепи с индуктивно связанными катуш ками................................... 37
Глава 4. Трехфазные электрические ц е п и .................................................... 45
4.1. Основные положения и соотношения...............................................45
4.2. Расчет трехфазных цепей..................................................................... 47
ЧАСТЬ II.
РАСЧЕТ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
РАСЧЕТ НЕЛ И Н ЕЙ Н Ы Х Ц ЕПЕЙ
Глава 5. Несинусоидальные периодические процессы в линейных
ц е п я х ................................................................
64
5.1. Основные положения и соотношения...............................................64
5.2. Расчет линейных цепей с несинусоидальными ЭДС........................68
Глава 6.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Переходные процессы в электрических цепях..............................74
Основные положения и соотношения...............................................74
Классический метод расчета переходных процессов........................75
Операторный метод расчета переходных процессов........................ 87
Расчет переходных процессов методом наложения (интеграл
Дюамеля)...............................................................................................93
Глава 7. Нелинейные электрические и магнитные цепи при
постоянном т о к е .................................................................................97
7.1. Нелинейные электрические цепи при постоянном т о к е ................97
7.2. Магнитные цепи при постоянном т о к е .......................................... 102
Глава 8. Нелинейные цепи при переменном то ке........................................107
8.1. Расчет установившихся процессов в нелинейных цепях при
переменном токе............................................................................... 107
8.2. Электромагнитные процессы в катушке с ферромагнитным
сердечником........................................................................................110
ЧАСТЬ III.
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Х ПОЛЕЙ
Введение. Общие сведения об электромагнитном п о л е ............................ 118
Глава 9.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
Расчет электростатических п о л е й ................................................121
Основные аналитические зависимости.......................................... 121
Расчет симметричных полей.............................................................. 124
Расчет напряженностей полей наложением.....................................134
Решение уравнений Лапласа и П уассона....................................... 137
Глава 10. Расчет электрических полей от постоянных т о к о в .................144
10.1. Основные аналитические зависимости.......................................... 144
10.2. Электрическое поле в проводящей среде....................................... 146
Глава 11.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
Расчет магнитных полей постоянных т о к о в ............................ 158
Основные аналитические зависимости.......................................... 158
Закон полного тока. Скалярный магнитный потенциал
160
Векторный магнитный потенциал...................................................167
Метод налож ения............................................................................ 172
Магнитное поле в присутствии ферромагнетиков...................... 174
Гчава 12.
12.1.
12.2.
12.3.
Квазистатическое электромагнитное поле . . . ....................177
Основные аналитические зависимости.......................................... 177
ЭДС, наводимые в телах и контурах................................................179
Особенности распространения электромагнитного поля
в проводящей с р е д е ......................................................................... 188
Ответы на задачи................................................................................................ 191
Тестовые задания по теории электромагнитного п оля............................... 192
Тесты к главе 9 ............................................................................................. 192
Тесты к главе 1 0 .......................................................................................... 196
Тесты к главе 1 1 ..........................................................................................201
Тесты к главе 1 2 ..........................................................................................206
Лабораторные работы на основе компьютерного моделирования
(виртуальные лабораторные работы )........................................................... 214
Общие указания.......................................................................................... 214
Работа 1. Исследование сложной электрической цепи
постоянного т о к а ...............................................................................215
Работа 2. Исследование линейных элементов электрических
цепей..................................................................................................... 220
Работа 3. Исследование разветвленной цепи синусоидального
тока с одним источником эн ерги и .................................................. 229
Работа 4. Исследование частотных свойств цепи
с последовательным соединением активного сопротивления,
индуктивности и ем ко сти ................................................................ 238
Работа 5. Исследование трехфазных цепей, соединенных
по схеме «звезда»..................................................................................244
Работа 6. Исследование полупроводниковых диодов............................250
Работа 7. Исследование переходных процессов в цепи
с последовательным соединением активного сопротивления
с катушкой индуктивности и активного сопротивления
с конденсатором..................................................................................257
Работа 8. Исследование переходных процессов в цепи
с последовательным соединением активного сопротивления,
катушки индуктивности и конденсатора..........................................268
Работа 9. Методика применения программы МиШвт для
выполнения лабораторных работ..................................................... 275
Ответы на вопросы теста................................................................................. 289
Литература........................................................................................................... 290
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое читателям пособие является практическим руковод
ством по дисциплине «Теоретические основы электротехники», со
держащим набор задач с реш ениями, тесты по теории электромагнит
ного поля и лабораторный практикум, базирующийся на технологии
М иКЫ те.
Данное пособие является практическим руководством к ранее напи
санному авторами учебному пособию по дисциплине «Теоретические
основы электротехники», опубликованному в издательстве «КноРус».
На наш взгляд, это первое учебное пособие, которое охватывает все
стороны учебной дисциплины ТОЭ с учетом особенностей подготовки
студентов бакалавриата.
Авторы использовали ранее опубликованные источники (отме
ченные в библиографии) и собственные разработки, которые были
накоплены в течение длительного преподавания данной дисциплины
в разных вузах России.
Содержание учебного пособия составлено с учетом Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессио
нального образованию по направлениям подготовки бакалавриата:
13.03.02 — электроэнергетика и электротехника; 11.03.04 — электро
ника и наноэлектроника.
Пособие может быть полезно для магистров и технических работ
ников, встречающихся в своей деятельности с расчетами электротех
нических устройств. При разработке пособия учтены особенности
получения образования без отрыва от трудовой деятельности и при
ограниченном бюджете времени для очных форм занятий.
Отобранный для пособия учебный материал дает студенту возмож
ность в дальнейшем успешно осваивать специальные электротехниче
ские дисциплины. Каждая группа задач предваряется краткими тео
ретическими выкладками, которые упрощают, как полагают авторы,
осмысление подходов к решению задач.
Авторы приносят глубокую благодарность д. т. н., профессору
В.В. Фёдорову и д. т. н., профессору М.А. Ш акирову за внимательное
прочтение рукописи и ряд полезных замечаний, способствовавших ее
улучшению.
Авторы будут благодарны всем замечаниям по настоящему посо
бию, так как авторы впервые взялись за написание пособия для ба
калавров. Замечания можно направлять в адрес издательства, которое
обязуется передать их авторам.
ЧАСТЬ I
РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
ГЛАВА
РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. Пассивные элементы
Электрическое сопротивление — Я, Ом. Величина, обратная сопро
тивлению, есть проводимость — С, См.
/
К
^аЬ
Закон Ома
и=Ш
или
1 = Ои.
(1.1)
Количество тепловой энергии \УГ, выделяющееся в сопротивле
нии Я при протекании тока / в течение времени (, определяется соот
ношением
Г
1УТ = \ ? М .
о
(1.2)
—Г'ГУЛ— Индуктивность Ь характеризует способность цепи нака
пливать энергию магнитного поля. Количество этой энергии
на
копленной в цепи, зависит от величины тока /:
Ц2
=— ■
(1.3)
Величина индуктивности определяется как отношение потокосцепления цепи Ч* к току /':
(1.4)
I
Потокосцеплением называется сумма магнитных потоков всех вит
ков катушки. В простейшем случае для катушки на стальном сердеч
нике можно считать, что ее потокосцепление есть магнитный поток Ф,
умноженный на число витков »:Ч 1= Ф » .
Соотношения между током и напряжением в индуктивном элементе
(1.5)
—II— Емкость С характеризует способность цепи накапливать энер
гию электрического поля. Количество энергии электрического поля
\УЭ, накопленной в цепи с емкостью С, зависит от величины напряже
ния между проводами:
Величина емкости С определяется как отношение электрического
заряда ^ одного из проводов к напряжению и между ними:
Соотношения между током и напряжением в индуктивном элементе
( 1.8 )
1.2. Источники электрической энергии
Источники электрической энергии, называемые также генера
торами, характеризуются определенным направлением действия,
то есть направлением, в котором каждый источник стремится послать
электрический ток в присоединенную к нему цепь. Это направление
на электрических схемах указывают стрелкой.
Источник напряжения (идеальный) — напряжение 11аЬ не зависит
от величины его тока и характеризуется электродвижущей силой Е
(ЭДС). Внутреннее сопротивление этого источника напряжения рав
но нулю.
Источник тока — ток У источника не зависит от величины прило
женного к нему напряжения. Внутреннее сопротивление источника
тока равно бесконечности.
Реальный источник ЭДС можно изобразить в виде последователь
ной схемы, содержащей внутреннее сопротивление Ли и идеальный
источник напряжения с ЭДС ЕИ, численно равной напряжению источ
ника в режиме холостого хода (рис. 1.1, а), а также в виде параллельной
схемы, содержащей проводимость генератора СИи идеальный источ-
Дан график напряжения и(1). Укажите график тока 1(1).
Д
.
и$А - Л
1.
1.10.
“
2.
I
3.
4.
Дан график тока /(г). Укажите график напряжения и(1).
"Ь
_П
: о|Ь 1_1т
П.' "И
-И
о'
т
о
т
1.
2.
3.
;
П .р Г и
от Ц т
4.
ГЛАВА
РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫ Х ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. Основные законы электрических цепей
Законы Кирхгофа. 1-й закон Кирхгофа гласит, что для любого узла
электрической цепи алгебраическая сумма токов в расходящихся
из узла ветвях равна нулю:
N
Х /* = 0 ,
(2.1)
к=\
причем токи, направленные к узлу, в этой алгебраической сумме при
нято считать положительными, а токи, направленные от узла, — от
рицательными.
2-й закон Кирхгофа утверждает, что в любом контуре электрической
цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напря
жений на элементах, входящих в этот контур:
к
о
Х Д * = Х 'Л .
к=\
(2-2)
9=1
причем напряжения и ЭДС, у которых направление совпадает с вы
бранным направлением обхода, принимаются положительными,
а у которых противоположно — отрицательными.
Баланс мощностей. Алгебраическая сумма всех мощностей источни
ков энергии равна сумме всех мощностей приемников энергии '.
^ Е к1к ^ 1 2п Яп.
к
(2.3)
п-\
Если ток ветви направлен противоположно действию ЭДС источ
ника энергии, то тогда произведение Е1 получается отрицательным.
2.2. Групповое соединение приемников
1.
Последовательное соединение. При последовательном соедине
нии по всем приемникам протекает один и тот же ток. При этом эк-
Бивалентное сопротивление группы последовательно соединенных
приемников равно сумме сопротивлений отдельных приемников этой
группы
Я — К\ + /?2 + Я$ + ... + Я„.
(2.4)
2.
Параллельное соединение. При параллельном соединении на всех
приемниках действует одно и то же напряжение (рис. 2.1), ток всей
группы равен сумме токов отдельных приемни
/
ков. Например, для трех параллельных прием
ников (рис. 2.1) / = /, + / 2 + / 3.
Эквивалентная проводимость группы па
раллельно соединенных приемников равна
I X
сумме проводимостей отдельных приемников
Р ис. 2.1
этой группы
О — С\ + Ст + С-* +
(2.5)
... + о „.
В частном случае эквивалентное сопротивление цепи из двух па
раллельных сопротивлений Я х и Я2 определяется формулой:
( 2 '6 )
3.
Смешанное соединение. Смешанное соединение приемников
представляет сочетание последовательного и параллельного соедине
ния, при котором эквивалентное сопротивление группы в целом мо
жет быть найдено по изложенным выше правилам.
Например, приемники 2 и 3 (рис. 2.2) _
ч=>
5
соединены между собой последовательно,
а приемники 6 и 7 образуют параллельное
й4 *й70
соединение. Общее эквивалентное сопро
з\
тивление Яэ равно:
^234 ' Ку
^234 + ^567
где Я234 =
(Я2 + /?3) ^
л3 т+«^4
4
^2 + ^3
Р ис. 2 .2
^567 - ^5 +
^6 ' ^7
Я6 + Я7
(2.7)
4. Преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную
звезду сопротивлений и наоборот. Звезда и треугольник (рис. 2.3) счита
ются эквивалентными, если они по отношению к своим выводам об
ладают одинаковыми электрическими свойствами, в частности, име
ют между соответствующими выводами одинаковые сопротивления.
Р ис. 2 .3
Л,
•12л31
+
Л.2 Л23 + Яз,
М .
л,
/?23/?12
Л.2 + Л23 + *3.
Л3 =
л 2з = /г2 + л 3+ ^ - ;
К
^31 - Л3 +Л, +
Л31^23
^12+ ^23 +^31
( 2 .8 )
М
л,
2.1.
Найти эквивалентное сопротивление /? 12345 цепи, представлен
ной на рис. 2.4, а.
Решение. Заменив параллельное соединение сопротивлений Кх и К2
одним эквивалентным — К12, получим цепь на рис. 2.5, б. Заменив
параллельное соединение сопротивлений К4 и Л5 одним эквивалент
ным — Л45 и последовательное соединение сопротивлений К 12 и /?3 од
ним эквивалентным — Л|23, получим цепь на рис. 2.4, в.
2.2. Определить сопротивление цепи й экв (рис. 2.5) между заж и
мами 1 и 2: а) при разомкнутых точках 3 и 4; б) при замкнутых точ
ках 3 и 4.
«4
Решение. При разомкнутых точках 3
и 4 звезду из сопротивлений преобразуем
в треугольник (рис. 2.6) по соотношениям
( 2 . 8 ).
л2
Тогда получим:
^ 1 2 '( ^ 1 3 4
Я.„
л _ _
+ ^32)
Л, + Я2 + /?|34 + К:2
Р ис. 2.5
где
^1^2 о _ о , о , ^2^3
, /?2 3 - ^ 2 + ^ 3 +
Я,
я,
К\ 2 —К-\ + -/?2
„
/?13 • Я4
—К->+ /?| ■+■ М'М > ^134 Я,з
+ Л4
л,
При замкнутых точках 3 и 4 (рис. 2.6)
сопротивление Лэкв равно:
^экв
(/?! + Я2} )ЯА
/?, + я 23 + я 4
где
г 1-
Л ,3
гЦ
Д ц
I
I
Р ис. 2 .6
п
К2 ■Я3
Я23 = Яу + Я,
2.3.
Найти эквивалентное сопротивление Л 123456 цепи, представ
ленной на рис. 2.7.
Я123456
(^1234)' ^56
Я\ + Я2 + У?з + Я\ + Я$ + Я^
где
л4
■^1234
-
( ^123 ) '^4
/?1 + Я2 + Я• + Я4
Я \ 23 =
/?1 +
/?2 +
« 3.
Р и с. 2.7
2.3. Расчет простых цепей
2.4.
цепи /, А.
Дано: Е = 50 В; 1\ = 5 А; Я{ = Я2 = 20 Ом. Определить ток
Решение. 1. Определим напряжение {/
2.4. Методы расчета сложных
цепей постоянного тока
Применение законов Кирхгофа. Для расчета, т.е. для определения
токов во всех ветвях цепи, необходимо составить систему уравнений
по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соот
ветствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.
По 1-му зак о н у К ирхгоф а составляется число уравн ен и й ,
на ед и н и ц у м еньш ее ч исла узлов цепи. По 2-м у зак он у К ирхгоф а
составляю тся все н едостаю щ ие уравн ен и я для лю бы х п р о и зв о л ь
но вы бранны х н езави си м ы х контуров цепи (н езави си м ы й к о н
тур долж ен отли чаться от других контуров как м и н им ум одной
ветвью ).
2.17. Составить систему уравнений для схемы (рис. 2.9).
Рис. 2.9
Приняв для нашей цепи направление токов в ветвях и направление
обхода трех выбранных контуров, как показано на рис. 2.9, составляем
следующую систему уравнений:
узел 1
узел 2
контур 1
контур 11
контур 111
Метод контурных токов. В целях упрощения расчета сложных
цепей (уменьшения количества уравнений) вместо действительных
токов в ветвях вводят фиктивные, так называемые контурные токи,
искусственно наделенные свойством не разветвляться в цепи, а замы
каться в ней по определенным контурам. Если замкнуть контурные
токи по независимым контурам цепи, выбрав, таким образом, их чис
ло равным числу независимых контуров, то все действительные токи
в ветвях однозначно определятся через контурные токи.
Уравнения для контуров, в которых неизвестными являются кон
турные токи /,, 1\\, ..., /,„ образуют систему:
Яц/1 + Л|2/„ + ^1зЛн + ••• + Л]п1п - Е и \
К2\1\ + к 221\\ + ^23^111 + ...+ /?2п1п ~ Е22,
(2.9)
где Л„„ — собственное сопротивление контура п (сумма сопротивлений, входя
щих в контур п)\Кт — взаимные сопротивления входят в уравнение для каждого
независимого контура со знаком «+», если контурные токи смежных контуров
направлены в них в одну сторону (согласно), и со знаком «—» — если в разные
стороны (встречно); Е„„ — алгебраическая сумма ЭДС независимого контура я.
Если схема содержит источники тока, которые являются заданными,
то рекомендуется выбирать К контурных токов так, что бы один из них
проходил через один источник тока. Примеры приведены в задачах.
Метод узловых напряжений (узловых потенциалов). Метод основан
на положении о том, что токи во всех ветвях сложной цепи можно рас
считать, если известны напряжения на всех ее ветвях, которые легко
определить, если первоначально определить узловые напряжения 1/ю,
\]2о , 1] п0. Система уравнений относительно неизвестных узловых на
пряжений цепи имеет вид:
^10^11 ~ ^20^12 ~ ^30^13 -
~ ^10^21 +^20^22 ~^30^23 -
^ 10^ 31 _ ^ 2 0^ 32 -
^ 30^ 33 ~
(2.10)
•••
пО ^ пп ~ ^ п т .
где Оц, 022, ..., Опп — собственные проводимости узлов, т.е. сумма проводимости
всех ветвей, подходящих к данному узлу цепи (в уравнения (2.10) они всегда входят
со знаком «+»); 0\2 = С2\,
= Оъь •••> б ь = (’нк ~ взаимные проводимости узлов,
т.е. сумма проводимости всех ветвей цепи, находящихся между узлами 1—2, 1—3,
..., к—п; их численные значения всегда входят в уравнения (2.10) со знаком «—».
Если разветвленная цепь имеет только два узла (например, трех
фазная цепь, соединенная звездой), то система (2.10) превращается
в одно уравнение следующего вида:
(2.10, а)
Решение уравнений с действительными числами
с помощью электронной таблицы Ехсе!
Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных
на основе выше указанных методов, целесообразно решать численны
ми методами на ЭВМ.
Если дано уравнение
А • X = В,
(2.11)
где А — квадратная матрица, X, В — вектора; причем В — известный вектор
(т.е. столбец чисел), X — неизвестный вектор, то решение X можно записать
в виде:
Х = А ‘ В,
(2.12)
где А-1 — обратная от А матрица.
Достаточно просто решить уравнение (2.11) с использованием
электронных таблиц Ехсе1.
В Ехсе1обратная матрица вычисляется
функцией М ОБР(),
а перемножаются матрицы (или матрица на вектор) — функцией
МУМНОЖ().
Чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, необходимо
выполнить следующие операции.
1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет разме
щена обратная матрица.
2. Начать вписывать формулу =М О БР().
3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишет
ся соответствующий диапазон клеток.
4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш С1г1-8Ый-Еп1ег.
5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназна
ченную для нее область.
Чтобы умножить матрицу на вектор, — следующие:
1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещен результат
умножения.
2. Начать вписывать формулу =М УМ НОЖ ().
3. Выделить мышкой матрицу — первый сомножитель. При этом
правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток.
4. С клавиатуры ввести разделитель (;) (точка с запятой).
5. Выделить мышкой вектор — второй сомножитель. При этом
правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток.
6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш С1г1-5Ый-ЕШег.
7. Вычислить произведение и заполнить предназначенную для
него область.
2.18.
Дано: сложная схема (рис. 2.10). Все сопротивления
равны 2 Ом, Е\ = Е2 =
= 10 В. Требуется определить контурные токи
/п ,
1гъ-
К5
Система уравнений, составленная согласно методу контурных то
ков, будет иметь вид:
^11Л + ^12^11 + ^13Ли - Е\\,
(2.13)
Подставив заданные числовые значения в систему (2.13), получим:
4 /, - 2 / п + 0 = 10;
—2/] + 6/ц —2/щ = 10; •
(2.14)
0 - 2 / ц + 4 /„ ш = -Ю .
Запишем систему уравнений (2.15) в матричной форме
А1 = Е,
(2.15)
где А — квадратная матрица коэффициентов при контурных токах, размером
3 х 3; I и Е — матрицы — столбцы неизвестных контурных токов и заданных
контурных ЭДС.
Решение системы (2.15):
1 = А 'Е .
(2.16)
В таблице 2.1 представлен фрагмент таблицы Ехсе1, где размещены
матрица А; обратная матрица А-1; матрица-столбец Е; матрица-столбец искомых контурных токов I.
Таблица 2.1
4
-2
0
-2
6
-2
0
-2
4
10
10
-10
0,3125
0,125
0,0625
0,125
0,25
0,125
0,0625
0,125
0,3125
3,75
2,5
-1,25
Таким образом, 1п = 3,75 А; / 22 = 2,5 А; / 33 = —1,25 А.
Отрицательный знак у тока / 33 означает, что этот ток направлен
в противоположную сторону направлению, указанному на схеме.
Метод эквивалентного источника. Метод эквивалентного источни
ка применяется для расчета тока в какой-либо одной выделенной вет
ви сложной цепи (рис. 2.10, а).
Р и с. 2 .1 0
Любую сложную цепь по отношению к одному из ее приемников
всегда можно условно представить как некоторый эквивалентный ис
точник с параметрами Ег и Яг (рис. 2.10, б).
Неизвестные величины Ег и Яг можно найти из опыта холостого
хода (XX) и короткого замыкания (КЗ). При проведении опыта XX
ветвь с сопротивлением Я размыкается и на ее зажимах возникает на
пряжение (7хх, равное ЭДС эквивалентного генератора: бхх = Ег. При
проведении опыта КЗ исключаются все источники (источники напря
жения заменяются перемычками, а ветви с источником тока отключа
ются). Тогда входное сопротивление цепи становится равным сопро
тивлению эквивалентного генератора: Яш = Яг.
Ток / в упомянутом приемнике можно рассчитать по формуле
/ = - Ег
К + Я^
XX
Я+
(2.17)
Метод наложения. П ринцип наложения позволяет при расчете це
пей с несколькими источниками расчленить исходную задачу на ряд
частичных задач, в каждой из которых предполагаются поочеред
но действующими лиш ь по одному из всех источников цепи. Решая
каждую из частичных задач, т.е. находя частичные токи, получаем
возможность путем их соответствующего суммирования вычислить
действительные токи в цепи. Если во всех частичных задачах, число
которых должно равняться числу источников в исходной цепи, будем
получать упрощение цепи, то решение даже нескольких частичных
задач может представить меньшие затруднения, чем расчет исходной
сложной цепи. Практически метод наложения целесообразно приме
нять при небольшом количестве источников (два, три) и преимуще
ственно в тех случаях, когда частичные цепи оказываются простыми
цепями.
Метод замены нескольких параллельных источников напряжения од
ним эквивалентным. Если имеется несколько источников напряжения
с ЭДС Е\, Е2, ..., Е„ с внутренними сопротивлениями (рис. 2.11, а), ра
ботающих параллельно на общую нагрузку Я, то они могут быть за
менены одним эквивалентным источником Еэ с внутренним эквива
лентным сопротивлением Яэ (рис. 2.11, б).
Р и с. 2.11
При этом
к =1
1
Ок = \ / Я к-
п
1
— = У— •
(2.18)
к= \
Ток в сопротивлении Я
/ = -
2.19.
Определить ток /1 в цепи (рис. 2.12) методом эквивалентного
источника. Известно Е х = 24 В, /Г2 = 12 В, /?и = 2 Ом, Я{ = 10 Ом,
Л = 20 Ом, Я2 = 4 Ом.
Решение. Рассмотрим определение тока пер
вого источника в схеме параллельной работы
двух источников Е\ и Е2 через линии передачи
/?л1 и Л 2 на общ ий приемник Л (рис. 2.12, а). Как
в аналогичной задаче предыдущего параграфа,
будем считать внутреннее сопротивление вто
рого источника равным нулю. Все величины,
Е2
помеченные на схеме, принимаем заданными.
Хотя формально в задаче предлагается опреде
лить ток первого источника, будем его искать
как ток линии /?ль которую сейчас условно
примем за приемник. Это позволит последова
тельно применить изложенную выше методику
расчета.
Выбрав произвольно направление искомого тока / ь отключаем Л,
(рис. 2.12, б) и определяем напряжение 1/оэ, возникающее между кон
цами образованной ветви. При этом подчеркиваем, что направление
напряжения должно быть выбрано совпадающим с выбранным ранее
направлением тока 1\ в рассматриваемой ветви.
Нетрудно видеть (рис. 2.12, б), что образовавшаяся после отключе
ния первой линии цепь является простейшей неразветвленной цепью,
единственный ток которой, замыкающийся по правому контуру цепи,
будет равен
Г = ——— = — -— = 0,5 А.
Я2 + Я 4 + 20
Для определения напряжения холостого хода (/оэ составим уравне
ние по 2-му закону Кирхгофа в развернутой форме вдоль левого кон
тура цепи, включающего оборванную ветвь,
Я / + {/оэ = Е\.
Из последнего уравнения с учетом ранее найденного значения тока
/'получим
иоэ = Е] ~ Я Г= 24 - 20 ■0,5 = 14 В.
Эквивалентное сопротивление цепи с оборванной ветвью относи
тельно ее концов А и В при отсутствующих источниках легко опреде
лить, ориентируясь по вспомогательной схеме (рис. 2.12. в):
Я2Я
„ 4-20
Яы^ —ЯыI н
= 2н
—3,33Ом.
иэ
И1 Я2 + Я
4+ 20
Таким образом, искомый ток будет равен
/ , = Ц°э = — —— = 1,05 А.
1 Я] + /?иэ Ю+ 3,33
2.20. Условия задачи 2.19. Определить ток 1{ методом наложения.
Решение. Для частичного тока Ц, протекающего по первой ветви
под действием первого источника (второй источник замкнут), будем
иметь:
Е\
1
Я2Я
Я2 + Д
24
_______ 4-20
4 + 20
’
Для определения тока I " в той же ветви под действием второго ис
точника (первый источник замкнут) будем иметь:
] " - ------------ § 2 ________ = _______
71
| (/?, + /?и)/?
2
Л, + Л
И _______
- ] 044 а
1 , (10 + 2) 20
10+2+20
Окончательно получаем искомый ток I,
/, = / ; - / " = 1,56-1,044 = 0,51 А.
3.1. Основные положения и соотношения
Синусоидальные токи и напряжения выражаются аналитически
следующим образом:
/ = / т 8т(ю / + у,-);
и = {/т §т(со? + у„),
(3.1)
где / и и — мгновенные значения тока и напряжения; 1ти 11т— амплитуды тока
и напряжения; ю — угловая частота тока и напряжения; I — время; (со/ + \|/,)
и (со/ + ч/„) — фазы тока и напряжении, ц/, и
— начальные фазы тока и на
пряжения.
Угловая частота со связана с частотой / и периодом Т соотношением:
со = 2я/,
1/с, / = 1/7', Гц.
(3.2)
Действующие значения синусоидального тока и напряжения:
1 = 1т/у[2,
II = 1/т/у!2.
(3.3)
2-й закон Кирхгофа. Уравнение для мгновенных значений на
пряжений для последовательной цепи одноконтурной, состоящей
из элементов Я, Ь, С,
и = ик + иь + ис,
ик = Я1,
с11
^ = 1-у ,
1^
ис = -\Ш 1 + ис (0).
(3.4)
Л
Векторное изображение синусоидальных токов и напряжений
На рисунке 3.1 показано изображение тока в виде вектора длиной
/т , вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой ско
ростью со (соответствующей угловой частоте тока) относительно по
люса 0 полярной системы координат. Его положение на этом рисунке
зафиксировано в момент времени ? = О, при котором угол его наклона
к полярной оси Р составляет величину, равную начальной фазе + ц/,.
Законы Кирхгофа в векторной форме записи
При расчете цепей можно использовать законы Кирхгофа в вектор
ной форме записи.
1-й закон Кирхгофа:
(3.5)
5 > = ° к=\
Геометрическая сумма векторов всех токов, подходящих к любому
узлу цепи, равна нулю.
2-й закон Кирхгофа:
к
I
к =1
(3.6)
п=\
Элементы в цепи синусоидального тока
Сопротивление К
1 = и /я = и о ,
о = \/я .
Начальная фаза тока \\1( = \\)и или ср =
Индуктивность Ь
—у,- = 0.
/= и /х ^ и ъ ,,
— индуктивное сопротивление;
Хь
со!
(3.7)
индуктивная проводимость.
Начальная фаза тока \\)( = \уи —90° или ср = \у„ —у,- = +90°
(3.8)
(3.8, а)
Емкость С
/ = и / х с = ш с,
Хс = 1/со С — емкостное сопротивление;
Ьс = -г|—= - ■■- = соС — емкостная проводимость.
.л ^ 1/ соО
(3.9)
(3.9, а)
Цепь с последовательным соединением К, Ь, С
2-й закон Кирхгофа в векторной форме записи для цепи рис. 3.2, а
и
(3.10)
, + ис-
Векторная диаграмма в соответствии (3.10) показана на рис. 3.2, 6
для случая,
к
их =иь - и с
х = х 1_ - х с
%
С
Р ис. 3.2
когда VI > 1]с. Применяя правило сложения векторов, получен треу
гольник напряжений рисунке 3.2, в, на основании которого получено
выражение (3.11):
{/ = ^
2 + ( ^ - { / с )2 = ^ + ^ >
и = 1 ^ К 2+ (Х ,_ -Х с )2 = 1 ^ Я 2 + Х 2
или
(3.11)
и =11.
(3.12)
Здесь
I = у Л2 + (Х Ь - Х с )2 =у/Я2 + X 2 — полное сопротивление; (3.13)
Хь —Хс = X — реактивное сопротивление;
и ,-и с
х —х г
Ф = агс(§—
- = агс1§— ----- Уя
к
-90° < ф < +90°.
(3.14)
(3.15)
Цепь с параллельным соединением К, Ь, С
На основании 1-го закона Кирхгофа в векторной форме получена
векторная диаграмма для случая //. > /с.
На рисунке 3.3 представлена схема и векторные диаграммы. Все по
яснения указаны на этом рисунке:
Р и с. 3 .3
где
1Х= {Iь
1С).
(3.16)
При этом 1ц = 110; 1Ь = 1Л>1,1С — 11ЪС.
Подставляя эти значения токов в формулу (3.16), находим
/ =
+ (Ьь - Ьс )2 = и 7 о 2 + ь2
//
1п
или
1 = \]у.
Ьг —Ъп
Ф = агс1в-кт——= агс1§-
(3.17)
(3.18)
Iк
Мощность в цепи переменного тока
Активная, реактивная и полная мощности определяются по ф ор
мулам
Р = Ш сохф, Вт,
(2 = [Лып ф = 12х = 112Ъ, вар,
(3.19)
(3.20)
5 = Ш = 121 = Ц 2у=:у[рГ7 о 2, В -А.
(3.21)
3.1.
Для схемы (рис. 3.3) дано: Хь = 3 Ом, Хс = 6 Ом, К = 4 Ом,
11 = 24 В. Требуется определить напряжение на емкости и индуктив
ности.
Решение. Ток в цепи равен:
/= { /Д ,
г = ф 2+ ( * 1 ~ * с ) 2 =>А2 + (3 - 6 )2 =5 А.
Напряжение на емкости (/с =
= 5 • 6 = 30 В. Напряжение на ин
дуктивности VI = 1ХЬ = 5 • 3 = 15 В.
В задачах 3.2—3.7 указать правильное решение.
3.2.
Дано: и = 1205т(628/ + 130°) В; /'= 10$т(628/ + 40°) А. Укажите
векторную диаграмму цепи.
,г о
1.
3.3.
ви
2.
и"
3.
4.
Дана векторная диаграмма цепи. Она соответствует цепи.
ф
3.7. Даны показания амперметров: А - 10 А;
Определите показание А* А.
-
12 А; А с - 4 А.
1 .6 .
2.4.
3 .8 .
4.
10.
3.2. Символический метод расчета
Комплексные токи и напряжения. Положения векторов токов и на
пряжений на комплексной плоскости показаны на рис. 3.4. Здесь 0 —
комплексное действующее значение напряжения (сокращ енно — ком
плексное напряжение); 1 — комплексное действующее значение тока
(сокращенно — комплексный ток).
/
+1
Р ис. 3 .4 .
Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости
Аналитическая запись V и / имеет вид
й = а, + }Ъх=и со§\|/„ + V 8Ш\)>„ = 1/е^ “;
(3.22)
/ = а2 + ]Ь2 = I со8\у, + / 8Шу,- = 1е^ ' .
(3.23)
Комплексное сопротивление 7.
П Пр^ “ II
г = 1 ^ 7 — = - е^
) = ^ е ;ф = г с 08ф + /гзш ф = (/? + /А").
(3.24)
где I — полное сопротивление цепи, а ф — угол сдвига между напряжением
и током.
Комплексная проводимость У
у е '1^ = ^со8ф - у>81п ф = (С - }Ъ).
СУ
(3.25)
Соответствия между мгновенными и комплексными значениями
напряжений и токов:
ик = 1 Я ^ Я 1 ;
иь =
юС
= -г~р;\ (3.26)
усоС
5 = 111 = 5еУч>= 5со$ф + /5 'з т ф = Р + у'0,
(3.27)
ш
^ усо!/;
1с =Ои
СО;
ис
Г/Л *
С •'
/с = Сс1и/с1( ^
где 0=0 — принятый здесь знак соответствия.
Комплексная мощность
*
где I = 1е~1'*‘ — комплексный ток, сопряженный заданному комплексному
току / = /е+уу' .
Законы Кирхгофа в комплексной форме записи
1-ый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов
в узле равна нулю:
к
Х /* = 0 .
(3.28)
к =1
2-ой закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС кон
тура равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех
комплексных сопротивлениях этого контура:
I К =
т
(3.29)
п= 1
Аналогия с цепями постоянного тока
Все методы расчета цепей постоянного тока можно применять для
расчета комплексных токов, на основании которых находятся дей
ствующие и мгновенные значения искомых токов.
В задачах 3.8—3.14 указать правильное решение.
3.8.
равна:
Дано: 2 = (4 + у'З) Ом. Показательная форма записи при этом
1. \^42 + З2еуагс18(4/3).
2 ^/42Т з ^ ' ' уагс^е/42 + З2е“уагс(8(4/3).
л/42 + 3 2вуагс,8(3/4>.
3.9. Дан комплексный ток / = 10еу6° А. Найдите соответствующую
ему синусоиду тока.
1. 10 81п(со/ + 60°).
2. 10л/251п (ю? + 60°).
3. 10725Ш(60°).
4. 10л/2$т(юГ-60°).
3.10. Дано комплексное сопротивление цепи I = 4е~90' Ом. Оно со
ответствует цепи...
Н=нн
1.
2.
НИ
3.
чин
4.
3.11. Дано: О = 0,4 См; Ь = 0,6 См. Укажите комплексную прово
димость цепи У См.
•1. 0,4 -уО ,6.
2. 0,6 —у'0,4.
]
3. 0 ,4 -7 0 ,6 .
4. 0,6 —у'0,4.
3.12. Дано:
перметра, А.
1. 60.
2. 40.
3 . 20 .
3.14.
Дано: й = (100 + у'200) В; / = 10 А. Определите активную
мощность цепи, Вт.
1. 1000.
Л2. 2 0 0 0 .
й |
3. 3000.
4. 4000.
3.3. Резонанс в цепях синусоидального тока
Существует резонанс напряжений и резонанс токов.
Резонанс в последовательной цепи из элементов
Я , I. , С (резонанс напряжений)
Резонансом в цепи, содержащей сопротивления индуктивности
и емкости, называется такой режим, при котором ток и напряжение
на входе цепи совпадают по фазе, т.е. ср = 0 или х = 0.
При последовательном соединении условию соответствуют соот
ношения
х = ш Ь— —= 0,
соС
т.е.
=
юс
.
(3.30)
Отношение
определяет кратность превышения напряжения на индуктивности
и на емкости над напряжением на зажимах всей цепи. Величину (? на
зывают добротностью контура.
Затухание контура
(1= 1/0.
(3.32)
Резонанс в параллельной цепи из элементов
Я,
С (резонанс токов)
Условием резонанса при параллельном соединении активного ин
дуктивного и емкостного сопротивлений является также отсутствие
сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи.
Резонанс имеет место, как указано выше, при ср = 0, что равносиль
но при параллельном соединении условию:
Ъ= Ъ[^- Ъс ~ 0
Резонансная частота
Добротность контура
или
—--с о С = 0.
со/,
(3.33)
определяет кратность превышения тока в индуктивности и тока в ем
кости над суммарным током всей цепи.
В задачах 3.15—3.19 указать правильное решение.
3.15.
Цепь находится в режиме резонанса. Если уменьшить ем
костное сопротивление, ток / в цепи...
/
1. Уменьшится.
----- 1—
2. Увеличится.
I
3. Не изменится.
3.16.
Цепь находится в режиме резонанса. Если уменьшить индук
тивное сопротивление, ток / в цепи...
г
1. Увеличится.
Т*~1— 3
2. Уменьшится.
I
3. Не изменится.
I
3.17.
Для последовательной цепи построена векторная диаграмма для
режима резонанса. Укажите направление вектора входного напряжения.
1. По направлению тока.
2. Вправо перпендикулярно
току.
I
т
3. Влево перпендикулярно току.
4. В противоположную сторону тока.
3.18.
Последовательная цепь находится в режиме резонанса. Усло
вие, при котором напряжение на индуктивности превышает напряже
ние на входе цепи, равно...
1.
2 .Х 1< Я ; З.л^ = /?; 4. хс< К .
3.19. Какое условие необходимо выполнить, чтобы в параллельной
ш в о зн и к резонанс токов?
1. Ь = Ьь —Ьс ~ 0; 1.Ъ1>Ъс. 3. Ь = Ьь —Ьс > 0', 4. Ь = Ь[.— Ьс ,Ф,
(3.36)
гд е щ — ч и с л о в и т к о в п е р в о й к а т у ш к и ; Ф — м а г н и т н ы й п о т о к , п р о х о д я щ и й
ч ерез оди н ви ток катуш ки.
ЭДС самоиндукции:
Ч
-
—
-
(3 -3 7 )
ЭДС взаимной индукции
(3 38)
где М — взаимная индуктивность катушек.
Напряжения и 1 и и2 каждой индуктивно связанной катушки имеют
две составляющие: одна из них (иС) вызвана действием ЭДС самоин
дукции, а другая (им) вызвана действием ЭДС взаимной индукции:
и -- ии ц х+ииМ12-- —— х+ Л У—
мп _
Л 2 ,.
и\
- ц, — х+ мм —
(3 39)
„
- и
~
+ и
- ^ О
—
Л
+
±
^ Л /2 1
Л
_ ,
Д2+
- Ь Л ±М Л '
Знак «+» берется в том случае, когда потоки самоиндукции и вза
имной индукции совпадают по направлению (согласное включение
катушек), «—* — когда потоки не совпадают по направлению (встреч
ное включение катушек).
Комплексная форма записи уравнений (3.39) имеет вид
= у ш ^ / ,± у а ) Л / / 2;
\ и 2 = М Ь 212 ± М М 1[.
При последовательном соединении двух индуктивно связанных ка
тушек эквивалентное сопротивление определяется по формуле
+ ]Х\ + К2 + ]х2 ± 2)хм ,
(3.41)
где Хм = юМ — сопротивление взаимной индукции.
В электротехнической литературе для характеристики магнитной
связи двух любых катушек используется коэффициент магнитной связи
К = М /у [ ц Ц < \.
(3.42)
3.19.
Для цепи с последовательным соединением двух индуктивно
связанных катушек известны их параметры
Ь ь К2, Ь2, взаимная ин
дуктивность М, частота со сети и комплексное напряжение 0 . Требует
ся определить комплексный ток цепи / при согласном и встречном
включении катушек.
Решение. В соответствии со 2-м законом Кирхгофа имеем
й = й х+ й 2, где 0 \ = (Я] + у0)1 , ) / ±усоЛ/7; 0 2 = (Я2 + у ю ^ ) / ±уооЛ//.
Тогда й = й 1+ й 2 =[(К1+Я2) + М Ц + 1 2± 2М )]1 = г э 1. Здесь 2 Э=
= ( /?1 + Я2) + У0)( А + Ц ± 2 М ) = + УСО/д.
Анализ 2э показывает, что его величина зависит от способа вклю
чения катушек. При согласном включении 2 Ъ = (Я] + Я2) + 700( ! +
+ Ь2 + 2М), а при встречном включении 2 э = № + Я2) + у с о ^ + Ь2 - 2М). Таким образом, при согласном включении 2 э больше, чем при
встречном, за счет изменения реактивного сопротивления цепи:
Л^согл ~ Х [л + Х / 2 + 2Х М\
А'/ цс-ф = Х ц + Х 12 — 2Х М.
Заметим, что при всех условиях Х [Л + Хп - 2ХМ > 0, т.е. Х ц + Х п > 2М, так как Хэ всегда положительно и является индуктивным сопро
тивлением. Отрицательное значение Хэ означало бы превращение это
го сопротивления в емкостное, чего не может быть физически.
3.20.
Для цепи с последовательным соединением двух индуктивно
связанных катушек (рис. 3.5) известны их сопротивления и действую
щее значение
Н
ж
*
&
Р и с. 3 .5
приложенного напряжения: Х\ = 20 Ом; Х2 = 30 Ом, Хм = 5 Ом,
Я\ — Я2 = 0, 1} = 120 В. Требуется определить ток цепи, а также дей
ствующие значения напряжений на каждой из катушек при согласном
и встречном их включении.
Решение. При отсутствии в цепи активных сопротивлений задачу
можно решить, пользуясь только модулями комплексных токов, на
пряжений и сопротивлений.
При согласном включении (указано на схеме знаками): а) полное со
противление цепи ^эсогл = Х 1 + Х2 + 2ХМ= 20 + 30 + 10 = 60 Ом; б) дей
ствующее значение тока /согл = ^Дэсогл = 120/60 = 2 А; в) действующее
значение напряжения на 1-й катушке: II\ = / СОГл^1согл = Л от№ + Хм) =
= 2 • 25 = 50 В, где 2|С0ГЛ = (Х\ + Хм); г) действующее значение напря
жения на 2-й катушке: \}2 = / согаг2согЛ= 4>гл№ + Хм) = 2 ■35 = 70 В, где
ФсОГЛ (Х2 “Ь XМ).
При встречном включении: а) гэвстр = Х\ + Х2 — 2ХМ = 20 + 30 — 10 =
40 Ом, б) /встр ^//^Эвстр 120/40 3 А, в) 11\ ^встр^1встр -^встрС^Л
- Хм) = з ■ 15 = 45 В; д) */2 = / ^ в с т р = Лстр № - Хи ) = 3 • 25 = 75 В.
ЗдеСЬ ^1встр С^1 * * ), фвстр (^2 Хм).
3.21.
В цепи с последовательным соединением двух идеальных
(Л, = К2 = 0) индуктивно связанных катушек (рис. 3.5) при неизмен
ном действующем значении приложенного напряжения 11= 120 В из
мерили действующее значение тока при согласном (/согл = 2 А) и при
встречном (/встр = 6 А) включении этих катушек. Требуется определить
величину сопротивления взаимной индуктивности М этих катушек.
Решение. 1. Сопротивление цепи при согласном включении кату
шек
^согл
•СОГЛ= —— = ~ ^ - = ЬО = (Х { + Х 2 + 2 Х м ) О м .
*С
г.пгп
^
ОГЛ
2. Сопротивление цепи при встречном включении катушек
^встр = - —- = - ^ - = 20 = (^Г1+ Х2- 2 Агм )О м .
* встр
^
3. Разность этих сопротивлений ^согл —^встр = 4ХМ= 60 - 20 = 40 Ом.
4. Величина взаимной индуктивности катушек Хм = 40/4 = 10 Ом.
Цепь с параллельным соединением
индуктивно связанных катушек
Для цепи (рис. 3.6) с параллельным соединением двух индуктивно
связанных катушек, у которых известны их параметры Кх, Къ Ь и Ь2,
взаимная индуктивность М, частота со и комплексное напряжение О,
уравнения имеют вид
I
.
.
Н = ± 2 и 1, + 2 11ъ \
Л,
(3.43)
где / \ = (Л, + 7Ы 1); 2.1 = (К2+^аЬ2У, 2м=лаМ.
Решение уравнений (3.43) имеет вид:
(3.44)
Р и с. 3 .6
2
—1—2 ——Л/
3.22.
Известны (рис. 3.6) сопротивления двух параллельно вклю
ченных катушек и действующее значение приложенного напряжения:
Х х = Ъ Ом; Х2 = 2 О м ; Хм = 1 Ом,
= К2 = 0; 11= 10 В. Определить дей
ствующие значения токов /, / ь /2 во всех ветвях цепи при встречном
включении катушек.
Решение. При встречном включении в уравнениях (3.43) у слагае
мых видау'юЛ//должен стоять знак ( - ) . Кроме того, при отсутствии
активных сопротивлений катушек уравнения можно составить только
для модулей напряжений токов и сопротивлений, не применяя симво
лического метода. При этих условиях получаем
*/ = * , / , - • а д
[
V
+ ^2^2
Подставляя численные значения известных величин, находим
Ю = 3 /,- /2
10
- /,+ 2 /2
=
Решаем эту систему с помощью теории определителей.
1. Главный определитель системы
3
-1
= 6 -1 = 5.
Первый дополнительный определитель
Д ,=
3.
10
-1
10
2
=20+10 = 30.
Второй дополнительный определитель
Д2
3
10
-1
10
-
= 30 + 10 = 40.
4. Действующие значения искомых токов
/
_ з о . =6 А;
/ 2 = — = — = 8 А;
/ = /, + / 2 = 14А.
1 А
5
Аналогичный результат расчета получим, воспользовавшись мето
дикой расчета с использованием электронной таблицы Ехсе1. Подроб
но этот метод расчета представлен в параграфе 2.4.
В таблице 3.1 представлен фрагмент таблицы Ехсе1, где размещена
матрица А; обратная матрица А-1; матрица-столбец Е; матрица-столбец искомых токов ( / : = 6 А, / 2 = 8 А).
Т аблица 3.
-1
3
10
2
10
0 ,4
0,2
6
0,2
0,6
8
-1
Результаты расчетов обоими методами совпали.
Цепь с трансформаторной связью между катушками. Такая цепь пред
ставлена на рис 3.7.
Л
А
м
Щ = 2 н1г
Р и с. 3.7
Уравнения для левого и правого контуров цепи имеют вид:
\й х=(Л, + д о А )/, ± у'соЛ/ / 2;
[0 = ±усоЛ//1+(У?2 +УсоХ2) / 2 + ^ я / 2.
4.1. Основные положения и соотношения
Расположив ЭДС ЕА вдоль оси вещественных чисел комплексной
плоскости, получаем запись ЭДС в следующем виде:
Ёа = Е а -
Ё в = Е Ае}Ж’ = ЕАе~11Ж\
Ёс = ЕАе*т ',
(4.1)
или
Ёа = Е а -
Ёв = а 2ЕА,
Ёс = аЕ А,
(4.2)
где е+у'120‘ = а — фазовый множитель.
Соотношения в симметричной трехфазной цепи
Для трехфазной цепи, соединенной звездой (рис. 4.1),
{/л = л /ш ф;
/ ф = / л.
(4.3)
Р ис. 4.1
Ток в нейтральном проводе / дг
^ а + Iв + 1с = 1N ■
(4.4)
При отсутствии нейтрального провода, а также при симметричной
нагрузке
1 л+ 1 в + 1с~®-
(4.5)
При отсутствии нейтрального провода напряжение между нулевы
ми точками генератора и приемника равно:
*/|0 ~ ^\ \ / —11’
где Л 1 = - ( Ё а У а + Ё в У в + Ё с У с ) и
Для
(4.6)
У _ п = ( У _ л + У_в + У . с ) -
трехфазной цепи, соединенной треугольником (рис. 4.2),
0 л =0ф,
/ л = 7 з / ф.
(4.7)
Сумма комплексных линейных напряжений всех трех фаз (в соот
ветствии со 2-м законом Кирхгофа) равна нулю:
и а в + йвс + йсл = о.
(4.8)
Сумма комплексных токов всех трех линейных проводов равна
нулю:
I а + 1в + 1с~®-
(4.9)
Трехфазные цепи могут работать в двух основных режимах — сим
метричном и несимметричном.
Мощность трехфазной цепи
Комплексная мощность трехфазной цепи равна сумме комплекс
ных мощностей всех трех ее фаз:
5 3ф= 5 А + 5 в + 5с .
(4.10)
С учетом формулы (4.10) для комплексной мощности трехфазной
цепи получаем:
=
где
'^Рф = РА + Рв + Рс
+
и
у'Х
^ О ф = О л +Ов + Ос-
(4.11)
В частном случае при симметричном режиме работы трехфазной
цепи имеем:
Л*, =ЗРФ;
Сзф-30ф;
~Уф!ф = ^Рф + Оф■
(4.12)
Для соединения приемников как звездой, так и треугольником:
Рзф =
/ л созф;
0зф = Т з ^ ,/., а п
^Зф =>/31/л/ л = л](Рзф)2 + (Сзф)2 •
ф
;
(4.13)
Симметричный режим работы трехфазной цепи имеет место при
следующих двух условиях: генератор вырабатывает симметричную си
стему ЭДС и, кроме того, комплексные сопротивления всех трех фаз
приемника одинаковы (симметричный приемник). Очевидно, что
при симметричном режиме достаточно произвести расчет только од
ной фазы трехфазной цепи (например, фазы А). Токи других фаз будут
иметь с фазой А одинаковые амплитуды (а также и действующие зна
чения) и сдвинуты по фазе относительно своих фазных напряжений
на один и тот же угол (ф). При этом друг относительно друга токи всех
трех фаз будут сдвинуты по фазе на ±120°.
4.2. Расчет трехфазных цепей
4.1.
Трехфазная цепь (рис. 4.1, а) состоит из генератора, выраба
тывающего симметричную систему ЭДС с действующим значением
^ = 2 2 0 В, и симметричного приемника, соединенного звездой, сопро
тивление каждой фазы которого составляет 2а = 2в = 2 с =
= Р =
= 22 Ом. Требуется определить токи и напряжения всех трех фаз при
емника, напряжение между нейтральными точками генератора (0)
и приемника (0'), ток в нейтральном проводе, а также построить век
торную диаграмму цепи на комплексной плоскости.
Решение. 1. Принимаем направление действия ЭДС, токов и напря
жений в данной цепи в соответствии с рис. АЛ, а.
2.
Определяем комплексные фазные ЭДС генератора. Для этого
совмещаем ЭДС фазы А с осью вещественных чисел (рис. 4.1, а) и по
лучаем
Ё А = 220 В;
Ёв = 220е~у120 = ( - 1 1 0 - у!90) В;
Ёс = 220е+у|20° = (-1 1 0 + у 190) В.
3. Определяем комплексные линейные напряжения приемника.
Для этого воспользуемся 2-м законом Кирхгофа для контуров цепи,
образованных фазными ЭДС генератора и линейными напряжениями
трехфазного приемника:
й лв = ЁА- Ё в =[ 220 - (-110 - у190)] = (330+ у190) =
_______________
йсл = Ёс - Ё А = [(-110 + у1 90°) -2 2 0 ] = -330 + у190 = 380е+Л5(Г В.
Действующие значения всех трех линейных напряжений одинако
вы и составляют Ил = 380 В.
4. Определяем комплексные фазные напряжения приемника.
В соответствии со 2-м законом Кирхгофа непосредственно из схемы
цепи находим, что при наличии нейтрального провода они равны фаз
ным ЭДС генератора:
0 А = ЁА = 220 В;
0 В = ЁВ = 220е”;|20‘ В;
0 С = ЁС = 220е+у1Ж В.
Действующие значения всех трех фазных напряжений одинаковы
( (/ф = 220 В) и в %/3 раз меньше линейных напряжений ( Ця = 380 В).
5. Определяем комплексное напряжение Сц между нейтральны
ми точками приемника и генератора. Для этого используем метод уз
ловых напряжений, согласно которому в нашем примере для двух уз
лов это напряжение равно
^= Л ,/Г п -
6.
Определяем комплексные фазные (они же линейные) токи при
емника, используя формулу закона Ома:
Ув
2 2 0 е ~ -л ж
22
= 10е'у|Ж = (-5 -у 8 ,7 ) А;
/ с = | = - 2-(к22-12П = 10е+у|Ж = 10 (-0 , 5 + 78 , 7 ) = ( - 5 + у 8,7) А.
Действующее значение токов во всех трех фазах цепи одинаково
и составляет / ф = 10 А. Векторы этих токов образуют симметричную
систему и их сумма, определяющая ток в нейтральном проводе / Л
в соответствии с формулой (4.5), равна нулю.
Р ис. 4 .3
Следовательно, при симметричном режиме работы нейтральный
провод для нормальной работы цепи не нужен.
7.
Векторная диаграмма токов и напряжений исследуемой цепи
представлена в двух вариантах. В первом варианте (рис. 4.3, а) все век
торы исходят из начала координат комплексной плоскости. Во втором
варианте (рис. 4.3, 6) векторы линейных напряжений перенесены па
раллельно самим себе так, чтобы они расположились между концами
соответствующих векторов фазных напряжений и образовали равно
сторонний треугольник.
Из этой диаграммы видно, что при симметричном режиме работы
достаточно рассчитать токи и напряжения только одной из фаз цепи,
например фазы А. Токи и напряжения остальных двух фаз будут таки
ми же по действующему значению, но сдвинуты относительно фазы
А по фазе на ±120°. Кроме того, из геометрии равностороннего треу
гольника следует, что IIл =у/31/ф.
4.2.
Три одинаковых сопротивления Т^п — %вс = 2сл = 2ф = (30 + /40)
Ом соединены треугольником и подключены к трехфазному генерато
ру, фазные обмотки которого объединены в звезду (рис. 4.4). Генератор
вырабатывает симметричную систему фазных ЭДС с действующим
значением Еф = 380 В. Требуется определить показания электромаг
нитных амперметра и вольтметра, включенных в цепь.
Р ис. 4 .4
Решение. 1. Данная трехфазная цепь работает в симметричном ре
жиме, поэтому для реш ения задачи достаточно рассчитать только одну
ее фазу (например, фазу АВ приемника). Принятые направления на
пряжений и токов соответствуют рис. 4.4.
2. Действующие значения линейных ЭДС трехфазного генератора
в 73 больше действующих значений его фазных ЭДС и составляют
Е „ = ^ Е ф = 6в0 В.
Провода линии электропередачи в нашем примере не обладают со
противлением, поэтому действующие значения фазных напряжений
приемника, соединенного треугольником {/ф = Ел = 660 В. Таким обра
зом, показание вольтметра электромагнитной системы, включенного
в фазу АВ приемника, составляет 660 В.
3. Действующие значения тока в фазе АВ приемника
1ф = ^ - = — = 13 А,
гФ
50
где
гФ =^1к2 + Х 2 = >/302 + 402 = 500м .
4. Угол сдвига фаз ср между напряжением и током фазы АВ: ф =
= агс1%Х/К = агс1§40/30 = 53°. На этот угол (цепь имеет индуктивный
характер) ток /АВ в фазе АВ отстает от приложенного напряжения 11АВ.
5. Действующие значения напряжений и токов в фазах ВС и СА
приемника такие же, как и в фазе АВ, но их векторы сдвинуты отно
сительно векторов фазы АВ на 120°: в фазе ВС — на 120° по часовой
стрелке, а в фазе СА — на 120° против часовой стрелки.
6. При симметричном режиме работы трехфазной цепи действую
щие значения линейных токов в
раз больше действующих значе
ний фазных токов, поэтому / л = 7 з / ф = >/3 13 = 25 А. Следовательно,
показание амперметра, включенного в любой линейный провод, со
ставляет 25 А.
4.3.
Обмотки трехфазного электродвигателя (рис. 4.5, а) рассчита
ны на фазное напряжение 11= 380 В.
~Щ, = 660 в
Щ = 380 1
Р ис. 4 .5
В цепи с какими линейными напряжениями может нормально ра
ботать такой электродвигатель?
Решение. В электроэнергетике линейные напряжения низковольт
ных трехфазных цепей имеют стандартные величины действующих
значений, составляющие 220, 380 или 660 В. Они отличаются друг
от друга в л/3 раз, что позволяет один и тот же трехфазный приемник
эксплуатировать на двух смежных линейных напряжениях.
В нашей задаче трехфазный электродвигатель будет нормально ра
ботать от трехфазной сети с линейным напряжением [1Л = 380 В при
включении его обмоток треугольником (рис. 4.5, б) и от сети с линей
ным напряжением 11л = 660 В при включении его обмоток звездой
(рис. 4.5, в). В обоих этих случаях на каждую его фазу придется напря
жение (/ф = 380 В.
4.4.
Два симметричных трехфазных приемника, каждый из ко
торых соединен звездой, включены в трехфазную цепь с действую
щим значением линейного напряжения 11л — 415 В, как это показано
на рис. 4.6, а. Параметры приемников известны: Я = 6 Ом; Хс = 8 Ом.
Требуется определить показание электромагнитного амперметра,
включенного в один из линейных проводов цепи.
Решение. 1. Между нейтральными точками симметричных прием
ников нет напряжения, поэтому можно считать, что эти приемники
включены между собой параллельно, и объединить их в один эквива
лентный приемник, показанный на рис. 4.6, б.
а
б
Р ис. 4 .6
2. Фазные напряжения этого трехфазного приемника составляют
{/ф ={/л/ 7 з = 415/73 = 240 В.
3. Ток в каждой фазе эквивалентного приемника состоит из суммы
токов в его активном (1К) и реактивном (1Х) сопротивлениях, включен
ных параллельно между собой. В соответствии с законом Ома для цепи
,
240
240
синусоидального тока имеем / л = „ = _ т_ = 40 А; 1х = —— = 30 А.
К
о
8
4. Действующее значение общего тока в каждой фазе трехфазного
приемника составляет:
=
+
= \4 0 2+ 302 =50 А. Это значение
тока и является показанием амперметра, включенного в любой линей
ный провод, так как при соединении приемника звездой / ф = /л.
4.5.
Два симметричных трехфазных приемника, соединенные тре
угольником, включены в трехфазную цепь с действующим значением
линейного напряжения 1?л = 360 В (рис. 4.7, а). Сопротивления фаз
этих приемников известны: Я = 40 Ом, Х = 30 Ом. Требуется опреде
лить показание электромагнитного амперметра, включенного в один
из линейных проводов цепи.
Р ис. 4 .7
Решение. 1. Каждая из фаз обоих приемников (АВ, ВС и СА) на
ходится под одинаковым линейным напряжением. Поэтому можно
считать, что эти приемники включены между собой параллельно,
и заменить их одним эквивалентным приемником, как это показано
на рис. 4.7, б. Действующее значение напряжения на каждой фазе это
го приемника равно линейному напряжению цепи С1Ф= Цл = 360 В.
2.
Проводимость каждой фазы такого приемника определяется
в соответствии с формулой (3.17)
= 7(0,025)2 + (0,033)2 = ^/0,000625 + 0,001109 = л/о, 001734 = 0,04160м.
3. Ток в каждой фазе эквивалентного приемника соответствует
формуле (3.17):
/ ф = 6^ = 360 -0 ,0 4 1 6 = 15.
4. Действующее значение тока в линейном проводе симметричной
трехфазной цепи составляет / л = 7 з / ф =1,73 15 = 26 А, что и является
показанием амперметра, включенного в этот провод.
4.6.
чены в
Два симметричных трехфазных приемника (рис. 4.8, а) вклю
Р ис. 4 .8
трехфазную цепь с действующим значением линейного напряжения
[/„ = 660 В. Индуктивный приемник соединен треугольником, а ем
костной приемник — звездой. Сопротивления этих приемников из
вестны: Х[А = 228 Ом, Хс — 76 Ом. Требуется определить показание
электромагнитного амперметра, включенного в один из линейных
проводов цепи.
Решение. 1. Преобразуем (для удобства вычислений) индуктивный
треугольник в эквивалентную звезду, воспользовавшись формулой
(4.8, а), и получим:
* и =
Чд
228
3
3
= 76 Ом.
2.
Два симметричных трехфазных приемника, соединенные
звездой, включены между собой параллельно, и их можно объ
единить в один эквивалентный трехфазный приемник, показанный
на рис. 4.8, б. Общая проводимость каждой фазы такого приемника
равна нулю:
1
У:
\2
=
X ,
0.
\ ЛС ]
Таким образом, в цепи имеет место резонанс токов, и ток в линей
ном проводе равен нулю. Следовательно, показание амперметра в лю
бом линейном проводе этой цепи равно нулю.
4.7.
Три однофазных приемника (рис. 4.9) с сопротивлениями
К = 55 Ом,
X \ = 44 Ом и Хс = 36,6 Ом о б ъ ед и н е н ы в звезду и п од к лю ч ен ы
к си м м е т р и ч н о м у тр ех ф а зн о м у ген ератору, так ж е с о е д и н е н н о
му зв езд о й с д ей ств у ю щ и м зн а ч е н и е м ф а зн о й Э Д С Еф =
= 220 В. И сходны еданны е: ЁА = 220 В; Ё в = 220еу240 = ( —1 10 —у'1 90) В;
=220еу120' = ( - 1 10 + у'190) В; ^
= 55 Ом; 2 В = у44 Ом; 2 С =
= -у'36,6 Ом.
Решение. 1. Применяем метод узловых напряжений, в соответствии
с которым промежуточной неизвестной величиной является узловое
Ёс
напряжение 11\0- Приняв нейтраль генератора за узел (1), а нейтраль
приемника за опорный узел (0 ) и направив й ю от узла 1 к узлу 0 , в со
ответствии
с
формулой
(4.6)
получаем
У\о = ^и/У_и,
где
= ~ ( Ё АУА + ЁВУ_В + ЁСУС) и Уп =( УА + У В + УС)2. Находим численные значения указанных выше величин:
у А = -7 - = 7 т = 0,0182 См;
2 а 55
Ув =
Ус = — = —
= + у0,0273 См;
2 с -у 36,6
= - 1 - = - у 0,0227 См;
2_в
ЁАУ А =220 0,0182 = 4 А;
Модуль этого напряжения {/10 = 234 В определяет показание вольт
метра V.
4. Определяем токи в линейных проводах:
>А = Ул ( ЁА + й ю) = Ш 82[220 + (289- у46)] = (9,3- уО,8) = 9,3/2 8т(5ю/ -17°),
« = 10 + 20>/2 8т(со? + 35°)+14%/2 8т(Зсо/ + 63°)+8%/2 8т(5со/ + 37°).
Требуется определить: активную, реактивную, полную мощности
и коэффициент мощности.
Решение. Действующие значения тока и напряжения равны:
/ = VI82 +122 + 42 =22 А,
^/ = л/ю2 + 202 + 142 + 82 =27,6 В.
Полная мощность:
5 = VI = 22 ■27,6 = 607 В • А.
Активная мощность:
Р = и 010 + Ц\1\ С08 ф[ + 1/313со8ф3 + 11515совф5 =
= 10-0+20 ■18 соз 15° +14 12 соз 50° + 8 •4 соз 54° = 488,7В.
Реактивная мощность:
=
8 т ф ] + Ь Гз / 3 8т ф з + 6Г5/ 5 8т ф 5 =
= 20 •18яп 15° +14 ■12яп50*+8 ■4 8 т 54° = 247 вар.
Коэффициент мощности: X. = Р /8 = 487,7/607 = 0,8.
Характеристики формы периодических
несинусоидальных кривых
Коэффициент амплитуды — отношение максимального значе
ния Ут к действующему значению функции V
ка = У т/У.
(5.9)
Коэффициент формы — отношение действующего значения V
к среднему значению функции Кср
*Ф= К /К ср.
(5.10)
Коэффициент гармоник — отношение действующего значения выс
ших гармоник к действующему значению основной гармоники. Слу
жит для оценки относительного содержания высших гармоник в не
синусоидальной функции по сравнению с основной
кГ =
Коэффициент искажения — отношение действующего значения ос
новной гармоники к действующему значению всей функции. Служит
также для оценки содержания высших гармоник в разложении данной
величины в ряд Фурье и отличается от коэффициента гармоник только
тем, что оценка эта делается не по отношению к первой гармонике,
а по отношению к действующему значению V всей величины в целом:
г2
«и = т
у ~ •
(5.12)
Коэффициент синусоидальности оценивает степень приближения
формы кривой к синусоиде и определяется отношением действующего
значения У{ первой гармоники разложения к действующему значению
V всей величины в целом:
\ = У 1/У .
(5.13)
5.3.
Вычислить коэффициенты амплитуды, гармоник, искажения,
синусоидальности кривой напряжения, уравнение которой
и = 20л/2 зш(ю/°) + 14у/2 §ш(3а>?).
Решение. Сначала вычислим действующее значение напряжения
по формуле (5.4)
II = у1202 + 142 =24,4 В.
Затем найдем среднее значение:
1"
IIср = —\(У \т51Птг + 1/2т§т2со/)Лог =
и ХтС 0 8 Ю / +
—22. С 08
2ш
= 18 В.
-
Ш=0
л
Определим максимальное значение напряжения и:
Ли
,,
Л
„
= 111ШС 0 8 Ю / + 112тСО&2Ш = 0.
с1(юг)
Опуская промежуточные вычисления, получим:
(4шх= 43 В.
Теперь по формулам (5.9)—(5.13) вычислим искомые коэффициенты:
5.2. Расчет линейных цепей
с несинусоидальными Э Д С
Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи мож
но представить в виде ряда Фурье, который в общем виде содержит по
стоянную составляющую, основную или первую гармонику, имеющую
период, равен периоду самой функции, и высшие гармоники, частота
которых в целое число раз больше частоты первой гармоники.
Расчет основан на принципе наложения, а именно: мгновенное
значение несинусоидального тока в любой ветви в данный момент вре
мени равно алгебраической сумме мгновенных значений отдельных
гармоник тока в данный момент времени. В результате этого расчет
можно свести к решению п задач с синусоидальными ЭДС (п — число
гармоник) и одной задачи с постоянной ЭДС.
Весь расчет можно разделить на следующие этапы.
1. Разложение несинусоидальных источников ЭДС в ряд Фурье,
т.е. на постоянную и гармонические составляющие. При этом в зави
симости от симметрии кривой ЭДС в ней может отсутствовать посто
янная составляющая.
2. Расчет постоянной составляющей тока, если в разложении при
сутствует постоянная составляющая ЭДС.
3. Расчет мгновенных значений гармоник тока комплексным ме
тодом.
4. Суммирование мгновенных значений тока отдельных гармоник
и постоянной составляющей
/ = / 0 + /1+/2 + ••■+4 •
При расчете постоянной составляющей тока необходимо учесть,
что индуктивное и емкостное сопротивления соответственно равны:
Хю = 0,
Асо = оо,
(5.14)
так как постоянную составляющую можно представить процессом,
у которого частота со —
> 0 или со = 0.
При расчете гармонических составляющих тока необходимо учесть,
что индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты, т.е.
от номера гармоники:
Хц; =
= кХ п , Х Ск = 1ДсоС = Х С1/к.
Активное сопротивление резистора в диапазоне низких частот
не зависит от частоты и всегда равно его электрическому сопротивле
нию К.
5.4.
Для цепи (рис. 5.1) дано: Х ц = со! = 3 Ом, К = ХС\ = 1/со С =
= 4 Ом; и = 10 + 5л/28тсог + 2\/2$тЗсо?.
Р и с. 5.1
Требуется определить действующее и мгновенное значения тока
на входе цепи и активную мощность.
Решение 1. Постоянная составляющая тока равна
/ 0 = г/0/ Л = 10/4 = 2,5 А.
2.
Действующее и мгновенное значения тока первой гармоники
найдем комплексным методом:
-64 + у'64
716
1 =7'3 - т 11тг = 73 — ^
' =2+у;
Я - ] Х С1
4 -7 4
4 +4
т = 2 -7 ;
2+ 7
■■\122 + \2 = 7 5 А;
^ = %/К)8т(со/-0,46) А.
3.
Определим действующее и мгновенное значения тока третьей
гармоники
II
/ 3= - Ь
{/3 = 2;
ш Хсх
•! -2
=]ЪХьъ-----------
- 3
] 9 - ^ Ц г = 0 , 3 9 + Д2,1-,
Л - 7 '^ г 1
4 -у 4
- = 0,005-у'0,16; / 3 = 0 ,1 6 А ; /3 = >/0,32 81п(Зсо/ —1,57)А.
0,39 + 712,1
4. Действующее значение тока на входе цепи
/ = %//0 + /, + / 3 = -у/6,25 +5+0,0256 =3,3 А.
5. Мгновенное значение тока на входе цепи
/ = / 0 +/, + /3 = 2,5 + \/Го 8т(со/ - 0,46)+^0,32 §т(Зсо/ -1,57) А.
6. Активная мощность
Р = {У0/ 0 + 11х1\ созф! + {/3/ 3 со8ф3 =
= 10-2,5 + 5-2,23со80,46 + 2-0,16со81,57 = 36,2 Вт.
5.5.
К цепи, изображенной на рис. 5.2, приложено периодиче
ское несинусоидальное напряжение и, частота напряж ения/ = 5 0 Гц,
максимальное напряжение 1/т = 314 В. Параметры цепи Я = 5 Ом,
Ь = 5,34 мГн, С — 212 мкФ.
6/
21/
2V
и - —^ н----—з т со/ н------ —з т Зсо/ = 157 + 200 з т со/ + 66,7 з т Зсо/ В.
2
л
Зл
Требуется рассчитать ток / цепи, ограничившись первыми тремя
членами ряда Фурье.
Решение. 1. Рассчитаем ток от воздействия постоянной составляю
щей напряжения (/= 0). В этом случае 1/0 = 157 В, Я — 5 Ом, Х^О) = 0,
Л'с(О) = оо. Ветвь с емкостью не пропускает постоянного тока (обрыв
цепи), а через ветвь с индуктивностью постоян
ный ток проходит без сопротивления (короткое
замыкание). Поэтому постоянная составляющая
тока проходит только через ветвь с сопротивле
нием Я и сразу замыкается на индуктивность Ь.
Тока в сопротивлении Я, включенном паралРис 5 2
лельно I и С, нет. Таким образом,
10 Л о = ^ = 31,4А .
0 Я
5
2.
Определим комплексные токи первой и третьей гармоник.
2.1. Первая гармоника (/= 50 Гц), и, = 200 § т со/ В, Я = 5 Ом.
Реактивные сопротивления для первой гармоники:
(со) = со/, = 2л//. = 2л •50 •3,34 ■10~3 = 1,67 Ом,
Х с (со) = — = ------- = ------------------ -- = 15 Ом.
соС 2п/С 2 л -50-212 -10
Комплексное сопротивление цепи ^ ( и ) = 2[л (со) + ^ Л1С(ю), где
2 к ((а) = Я;
Жл1с(а)) = 'р
7~7'
В свою очередь, проводимость параллельного участка цепи
V
/ ч
1
1
Ил1с(С0) '_ „ + ,т
Я ^X ^ (о^)
1
= ! + - ! - + —^— = 0,2-у0,544С м .
5 у 1,67 -у 15
Тогда сопротивление параллельного участка цепи
^ я /с ( ю) = ------= 0,62 + Д 6 4 0м .
яьс V
0 ,2 -/0 ,5 4 4
Комплексное сопротивление цепи
Я(ш) = ^ л (с о )+ ^ и с (а>) = 5+0,62 + Д 6 4 = 5,85е/|6’3‘ Ом.
Комплексный ток определяется как отношение комплексного на
пряжения к комплексному сопротивлению. Расчет будем вести в ам
плитудных значениях тока и напряжения:
Цт\ _ 200е-/
' 2 ( а ) ~ 5,85ел6
2.2. Третья гармоника { / - 150 Гц).
м3 = 66,7 8Ш Зсо1 В;
Х 1 = (Зсо) = ЗЛ^(ю) = 3 ■1,67 = 5 Ом;
Л = 5 0м ;
Хс( Зсо)= ^ А с (ю) = у = 5 Ом.
Расчет мож но производить аналогично предыдущему с учетом
изменивш ихся величин реактивны х сопротивлений. О днако в д ан
ном конкретном случае расчет будет упрощ ен, если заметить, что
на параллельном участке I , С имеет место резонанс токов (индук
тивное и ем костное сопротивления одинаковы ). С опротивление
этого участка имеет бесконечно больш ое значение и тока на этом
участке не будет. Он протекает только через два следующих друг
за другом активных сопротивления. Сдвиг ф аз между напряж ением
и током при этом отсутствует, как в чисто реактивной цепи. П о
этому
1
га3
^
6
2К
6
^
,.
10
3.
Для найденных комплексных амплитуд Iт\ и / га3 запишем соот
ветствующие мгновенные значения:
ц = 17,1 § т (с о /-16,3°) А;
/3 = 6,6751ПЗсо/ А.
Методом наложения определим несинусоидальный ток в цепи
/ = / 0 + /, + /3 = 31,4 +17,15т(ю Г -16,3°)+ 6,6751п Зсо/ А.
В задачах 5.6—5.15 укажите правильный ответ.
5.6. Мгновенное значение несинусоидального напряжения пред
ставлено в виде ряда м = 4 + 3л/2зт(ау + л /3) + 1,415т(2й)? + л /4 ). Чему
равнодействующее значение напряжения?
1 .5 ,1 В . 2 .3 В. 3 .1,41В . 4 .8 В.
5.7. Известны несинусоидальные ток / и напряжение и на входе
цепи:
1 = 2 + 4л/2 зш(соГ + 20°) + 2>/2 §т(2ео/ +13°) + л/2 зт(3ю / -17°),
и = 2 + 8\/2 $т(ю (+ 35°)+4\/2 зт(2юГ + 63°) + 2\[2 зт(ЗсоГ + 37°).
Чему равна полная мощность?
1.23 В А. 2. 46 В А. 3. 0 В • А.
5.8. Для цепи дано
4. 4 В • А.
= со/, = 3 Ом, К = 4, Хс = 1/юС = 4 Ом;
и = 10 + 5-У2зтсш‘+ 272зтЗсо/. Определите постоянную составляющую
тока на входе цепи.
1. 2,5 А.
2. 0,9 А.
3. 1,4 А.
4. 0 А.
5.9. Для цепи дано Л'д = со! = 3 Ом, Л = 4 Ом, Хс = 1/соС = 4 Ом,
и = 10 + 5-ч/2 81Псог + 2\/2$\пЗ(я(. Определите постоянную составляющую
тока на входе цепи.
1. 2,5 А.
2. 0,9 А.
3. 1,4 А.
4. 0 А.
5.10. М гновенное значение несинусоидального напряжения пред
ставлено в виде ряда и = 8 + Зл/2зт(а)Г + я /3 ) + 1,41зт(2ю/ + л /4 ). Чему
равнодействующее значение напряжения?
1 .5 ,1 В . 2 .3 В. 3. 1,41В. 4.8,6 В.
5.11. Чему равна активная мощность в цепи при несинусоидаль
ных токе и напряжении?
1. Сумме постоянной мощности и активных мощностей всех гар
моник.
2. Активной мощности первой гармоники.
3. Сумме активных мощностей всех гармоник.
4. Постоянной мощности.
5.12. Известны несинусоидальные ток / и напряжение и на входе
цепи:
/ = >/2 81п(со/ + 20°)+2л/2 зт(2а>? + 13°) + 2\/2 §т(Зсо/ -17°),
« = 2 + 72 зт(4сш‘+ 35°)+2\/2 8т(5со? + 63°)+2л/2 зт(6шг + 37°).
Чему равна полная мощность?
1.15 В А. 2 .9 В А. 3. 0 В • А.
4. 8 В ■А.
5.13. Если ток емкости 1 = 2 з т со? + 2 з т 2ш , то амплитуда первой
гармоники напряжения будет больше амплитуды второй гармоники
напряжения в...
1.2 раза. 2. 8 раз. 3 .4 раза. 4. 1,5 раза.
5.14. Чему равно комплексное сопротивление цепи на частоте вто
рой гармоники, если на частоте первой гармоники К = 10 Ом,
Л'л(со) = 5 Ом, Лс(е>) = 20 Ом?
1. Юеу90‘;
2 . ;
3. 10е'45';
4. 35еу45".
5.15.
Если ток индуктивности I = 0,1 Гн / = 5зт(100? + 60°) +
+ 1 зт(200г + 30°), то напряжение на индуктивности и равно...
1. и = 50 81п( 100? + 150°) + 2 0 з т (2 0 0 /+ 120°);
2. и = 50 з т ( 100/ + 150°) + 10 зт(200/ + 60°);
3. м = 1 0 зт (1 0 0 г-3 0 °) + 10зт(200/ + 30°);
4. и = 50 з т ( 100? - 30°) + 20 зт(200? - 60°).
ГЛАВА
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
6.1. Основные положения и соотношения
Д ля учета влияния энергетического состояния цепи на момент
коммутации и для записи законов коммутации введем понятие
тока /х(—0) в индуктивности и напряж ения ис(—0) на емкости в по
следний момент перед коммутацией, а также понятие тока /х(+ 0)
в индуктивности и напряж ения Ис(+0) на емкости в первый момент
после коммутации. Н апом ним , что за момент коммутации принято
время I = 0. В соответствии с этим законы коммутации можно за
писать в виде:
• первый закон коммутации
М - 0 ) = М +0)
Последние комментарии
6 часов 4 минут назад
6 часов 40 минут назад
7 часов 32 минут назад
7 часов 37 минут назад
7 часов 49 минут назад
8 часов 2 минут назад