МЕЖОТРАСЛЕВОЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
ИНСТИТУЦИОНАЛЬНОГО КОНСАЛТИНГА
Виноградов А.Ю.
Численные методы решения жестких и нежестких краевых
задач
Монография
Москва 2017
УДК 51(075.8)
ББК 22.311я73
В 49
Рекомендовано к публикации ученым советом Межотраслевого
научно-исследовательского института институционального консалтинга.
Рецензенты:
Гамонов Евгений Викторович – доктор физико-математических
наук, профессор, старший научный сотрудник SITU IBC
Варламов Антон Олегович – кандидат технических наук, доцент,
старший научный сотрудник АНОО ДПФО "НИПИ"
В 49 Виноградов А.Ю.
Численные методы решения жестких и нежестких краевых задач:
монография / А.Ю. Виноградов. – Москва: National Research, 2017. 112с.
ISBN 978-5-9908927-1-2
Предлагаются: Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К.
Годунова, 3 метода для нежестких случаев краевых задач, 2 метода для жестких
случаев краевых задач, 1 метод расчета оболочек составных и со шпангоутами. По
сравнению с монографией «Методы решения жестких и нежестких краевых задач»
добавлен материал усовершенствования метода С.К.Годунова, добавлено
усовершенствование метода дифференциальной прогонки А.А.Абрамова, добавлен
метод для краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с
четными производными, добавлено графическое предложение метода численного
решения дифференциальных уравнений. Сохранены 3 программы на С++, которые
реализуют 2 лучших метода из изложенных.
Публикуется в авторской редакции.
Оглавление
Введение ........................................................................................................... 5
Глава 1. Известные формулы теории матриц для обыкновенных
дифференциальных уравнений ................................................................... 10
Глава 2. Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К.
Годунова для решения краевых задач с жесткими обыкновенными
дифференциальными уравнениями ........................................................... 12
2.1. Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова ......... 12
2.2. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
...................................................................................................................... 15
2.3. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутты в методе
прогонки С.К.Годунова .............................................................................. 16
2.4. Матрично-блочные выводы и реализация алгоритмов начала
вычислений для метода С.К. Годунова .................................................... 16
2.5. Сопряжение частей интервала интегрирования для метода С.К.
Годунова ...................................................................................................... 18
2.6. Свойства переноса краевых условий в методе С.К. Годунова ......... 19
2.7. Модификация метода С.К. Годунова ................................................ 20
Глава 3. Метод «переноса краевых условий» (прямой вариант метода) для
решения
краевых
задач
с
нежесткими
обыкновенными
дифференциальными уравнениями ...........................................................22
Глава 4. Метод «дополнительных краевых условий» для решения
краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными
уравнениями ..................................................................................................23
Глава 5. Метод «половины констант» для решения краевых задач с
нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями ........ 25
Глава 6. Метод «переноса краевых условий» (пошаговый вариант метода)
для
решения краевых
задач
с
жесткими
обыкновенными
дифференциальными уравнениями ...........................................................26
6.1. Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку
интервала интегрирования .......................................................................26
6.2. Случай «жестких» дифференциальных уравнений ........................ 27
6.3. Формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной
системы дифференциальных уравнений.................................................29
6.4. Применяемые формулы ортонормирования ...................................32
Глава 7. Простейший метод решения краевых задач с жесткими
обыкновенными
дифференциальными
уравнениями
без
ортонормирования – метод «сопряжения участков интервала
интегрирования», которые выражены матричными экспонентами .......34
Глава 8. Расчет оболочек составных и со шпангоутами простейшим
методом «сопряжения участков интервала интегрирования» .................36
8.1. Вариант записи метода решения жестких краевых задач без
ортонормирования – метода «сопряжения участков, выраженных
матричными экспонентами» - через положительные направления
формул матричного интегрирования дифференциальных уравнений 36
8.2. Составные оболочки вращения ......................................................... 37
8.3.
Шпангоут,
выражаемый
не
дифференциальными,
а
алгебраическими уравнениями ................................................................39
8.4. Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не
через абстрактные вектора, а через вектора, состоящие из конкретных
физических параметров ............................................................................42
Глава 9. Анализ и упрощение метода А.А. Абрамова ................................ 45
Глава 10. Метод решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений только с четными производными ........ 48
10.1. Разрешающие уравнения задач только с четными производными
..................................................................................................................... 48
10.2. Основы метода ...................................................................................49
Приложение 1. Постановка задачи, результаты расчетов и программа на
С++ расчета цилиндрической оболочки - для метода из главы 6 ............ 53
Приложение 2. Программа на С++ расчета сферической оболочки
(переменные коэффициенты) - для метода из главы 6 ............................. 67
Приложение 3. Постановка задачи, результаты расчетов и программа на
С++ расчета цилиндра – для метода из главы 7 ....................................... 80
Приложение 4. Метод главы 7 и программа для этого метода на С++ на
английском языке ........................................................................................ 89
Приложение 5. Графическое предложение метода численного решения
дифференциальных уравнений ................................................................. 105
Список опубликованных работ .................................................................. 107
Введение
Актуальность проблемы:
Решение проблемы снижения веса конструкций связано с их
усложнением и использованием тонкостенных элементов. Даже
простейший вариантный способ конструктивной оптимизации требует
параметрических исследований на ЭВМ с использованием численных
методов решения краевых задач. Самыми известными среди них
являются:
‒
конечно-разностные методы построения приближенных
решений дифференциальных уравнений с использованием конечноразностных аппроксимаций производных;
‒
различные модификации метода конечных элементов, метод
Бубнова-Галеркина, метод Релея-Ритца, основу которых составляют
аппроксимации решений дифференциальных уравнений конечными
линейными
комбинациями
заданных
функций:
полиномов,
тригонометрических функций и т.п.;
‒
методы численного определения интегралов обыкновенных
дифференциальных уравнений Рунге-Кутты, Вольтерра, Пикара и т.п.
Главным успехом методов конечных разностей и конечных
элементов является то, что на их основе построены универсальные
алгоритмы и созданы пакеты прикладных программ расчета сложных
пространственных силовых конструкций. Построенные вычислительные
средства способны выявить поток сил в конструкции и, следовательно,
самые напряженные ее элементы. Тем не менее, они требуют
неоправданно высоких затрат усилий программиста и мощнейших
вычислительных средств, когда ставится задача определения
напряжений в местах их концентрации.
Наиболее очевидная эффективность методов численного
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в
расчете отдельных частей сложных пространственных конструкций и их
отдельных тонкостенных элементов с уточнением напряженнодеформированного состояния в местах его быстрого изменения.
Эффективность определяется малыми затратами труда программиста,
малыми затратами машинного времени и оперативной памяти ЭВМ.
Таким образом, повышение эффективности известных численных
методов, построение их модификаций и построение новых методов,
является актуальной задачей исследований.
Предлагаемая научная новизна состоит в следующем:
5
1.
Усовершенствован метод ортогональной прогонки С.К.
Годунова,
2.
Предложен метод «переноса краевых условий» (прямой
вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими
обыкновенными дифференциальными уравнениями,
3.
Предложен метод «дополнительных краевых условий» для
решения
краевых
задач
с
нежесткими
обыкновенными
дифференциальными уравнениями,
4.
Предложен метод «половины констант» для решения краевых
задач
с
нежесткими
обыкновенными
дифференциальными
уравнениями,
5.
Предложен метод «переноса краевых условий» (пошаговый
вариант метода) для решения краевых задач с жесткими
обыкновенными дифференциальными уравнениями,
6.
Предложен простейший метод решения краевых задач с
жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями без
ортонормирования – метод «сопряжения участков интервала
интегрирования», которые выражены матричными экспонентами,
7.
Предложен простейший метод расчета оболочек составных и
со шпангоутами.
8.
Усовершенствован метод дифференциальной прогонки А.А.
Абрамова.
9.
Предложен метод решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений только с четными производными.
10. Графически
предложен
метод
численного
решения
дифференциальных уравнений.
Некоторые работы, на которых основывается изложение методов,
опубликованы совместно с д.ф.-м.н. профессором Ю.И.Виноградовым.
Вклад д.ф.-м.н. профессора Ю.И. Виноградова в эти совместные
публикации заключался либо 1) в обсуждении результатов проверочных
расчетов тех формул и методов, которые предложил А.Ю. Виноградов,
либо в том, что 2) в дополнение к методам А.Ю. Виноградова было
предложено Ю.И. Виноградовым указание, что матрицы Коши можно
вычисять не только в виде матричных экспонент, а дополнительно есть
возможность их вычислять в смысле функций Коши-Крылова, используя
для этого полученные кем-либо аналитические решения систем
дифференциальных уравнений строительной механики пластин и
оболочек, либо в том, что 3) Ю.И. Виноградов предложил свою, отличную
от формулы А.Ю. Виноградова, формулу вычисления вектора частного
6
решения неоднородной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, которая выглядит, однако, гораздо более сложной по
сравнению с простой формулой А.Ю. Виноградова.
Так же в соавторах отдельных статей указаны еще Ю.А. Гусев и Ю.И.
Клюев. Их вклад в материал публикаций состоял в выполнении
многовариантных проверочных расчетов в соответствии с формулами,
алгоритмами и методами, которые предложил А.Ю Виноградов в своей
кандидатской диссертации. Кандидатская физ-мат диссертация А.Ю.
Виноградова была защищена в 1996 году.
Дополнительно можно сказать, что на основе материла из
кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова были выполнены еще 2
кандидатских физико-математических диссертации под руководством
Ю.И. Виноградова, материал которых состоит в основном в
многовариантном применении и в проверке рассчетами того, что было
предложено А.Ю. Виноградовым в его кандидатской диссертации. В
применении к различным конкретным задачам строительной механики
тонкостенных оболочек с выявлением и анализом свойств формул,
алгоритмов и методов из кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова.
Вот данные этих 2 диссертаций:
Год: 2008 Петров, Виталий Игоревич «Приведение краевых задач к
начальным и исследование концентрации напряжений в тонкостенных
конструкциях мультипликативным методом» Ученая cтепень: кандидат
физико-математических наук Код cпециальности ВАК: 05.13.18
Специальность: Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ.
Год: 2003 Гусев, Юрий Алексеевич «Мультипликативные
алгоритмы переноса краевых условий в задачах механики
деформирования
оболочек»
Ученая
степень:
кандидат
физико-математических
наук
Код cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика
деформируемого твердого тела.
Кроме того, в соответствии с современными возможностями
интернета и при наличии новых диссертаций в открытом доступе было
выявлено применение материалов из кандидатской диссертации А.Ю.
Виноградова с соответствующими ссылками на соответствующие статьи
А.Ю. Виноградова в следующих кандидатских и докторских диссертациях
технических и физико-математических наук:
Год: 2005 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ
ОТДЕЛЕНИЕ Институт вычислительных технологий Юрченко Андрей
7
Васильевич ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УПРУГОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук Новосибирск.
Год: 2003 "Методы и алгоритмы определения напряженнодеформированного
состояния
тонкостенных
подкрепленных
конструкций вращения из нелинейно-упругого материала" Автор
научной работы: Кочетов, Сергей Николаевич Ученая cтепень: кандидат
технических наук Место защиты диссертации: Москва Код cпециальности
ВАК: 05.23.17 Специальность: Строительная механика.
Год: 1998 «Развитие метода суперэлементов применительно к
задачам статики и динамики тонкостенных пространственных систем»
Автор научной работы: Чеканин, Александр Васильевич Ученая cтепень:
доктор технических наук Место защиты диссертации: Москва Код
cпециальности ВАК: 05.23.17 Специальность: Строительная механика.
Год: 2005 Автор научной работы: Голушко, Сергей Кузьмич
«Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и
оболочек вращения» Ученая cтепень: доктор физико-математических
наук Место защиты диссертации: Новосибирск Код cпециальности ВАК:
01.02.04 Специальность: Механика деформируемого твердого тела.
Год: 2003 Автор научной работы: Газизов, Хатиб Шарифзянович
«Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и
устойчивости составных оболочек вращения» Ученая cтепень: доктор
технических наук Место защиты диссертации: Уфа Код cпециальности
ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика деформируемого твердого тела.
Год: 2001 Автор научной работы: Шленов, Алексей Юрьевич
«Динамика структурно-неоднородных оболочечных конструкций с
учетом упруго-пластических свойств материала» Ученая cтепень:
кандидат физико-математических наук Место защиты диссертации:
Москва Код cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика
деформируемого твердого тела.
Год: 1996 Автор научной работы: Рогов, Анатолий Алексеевич
«Динамика трубопровода после разрыва» Ученая cтепень: кандидат
физико-математических наук Место защиты диссертации: Москва Код
cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика деформируемого
твердого тела.
Статьи кандидата физико-математических наук А.Ю. Виноградова
опубликованы в таких журналах ВАК как:
8
1.
Доклады Академии наук РФ – 2 статьи
2.
Механика твердого тела РАН – 2 статьи
3.
Журнал вычислительной математики и математической
физики РАН – 1 статья
4.
Математическое моделирование РАН – 2 статьи
5.
Фундаментальные исследования – 1 статья
6.
Современные проблемы науки и образования – 1 статья
7.
Современные наукоемкие технологии – 1 статья.
Всего заимствованные в этой работе формулы решения краевых
задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений были
взяты только из 4 источников:
1.
Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем
линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)//
Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961. T.I. -N3. -С.542-545.
2.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.
М.:Физматгиз, 1962. -Т.2. - 635 с.
3.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М,:Наука, 1988. - 548 с,
4.
Годунов С,К. О численном решении краевых задач для систем
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи
математических наук, 1961. -Т. 16, вып. 3, (99). – с.171-174.
Следует сказать, что объем заимствованных и приведенных в
работе формул других авторов составляет 5 страниц, а объем
предложенных А.Ю.Виноградовым собственных формул составляет 46
страниц. Плюс написанные А.Ю. Виноградовым программы (коды)
на современном и наиболее популярном языке программирования С++
составляют 34 страницы. Часть материалов переведена на английский
язык.
9
Глава 1. Известные формулы теории матриц для
обыкновенных дифференциальных уравнений
Изложение всех методов ведется на примере системы
дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты –
системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка
(после разделения частных производных методом Фурье).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
имеет вид:
Y ( x) AY ( x) F ( x) ,
где Y (x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y (x) –
производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A – квадратная
матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности
8х8, F (x ) – вектор-функция внешнего воздействия на систему
размерности 8х1.
Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо
черточек над буквами
Краевые условия имеют вид:
UY (0) u,
VY (1) v,
где Y (0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0
размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица
коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u –
вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
Y (1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1
размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица
коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v –
вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет
матрицу с постоянными коэффициентами A =const, решение задачи
Коши имеет вид [Гантмахер]:
x
Y ( x) e A( x x 0)Y ( x0 ) e Ax e At F (t )dt ,
x0
где
e
A( x x 0)
E A( x x0 ) A ( x x0 ) / 2! A ( x x0 ) 3 / 3!...,
2
2
3
где
E-
это
единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или
матрициантом и может обозначаться в виде:
K ( x x0 ) K ( x x0 ) e A( x x0) .
10
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
Y ( x) K ( x x0 )Y ( x0 ) Y ( x x0 ) ,
где
x
Y ( x x0 ) e Ax e At F (t )dt
это
вектор
частного
решения
x0
неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости
матричных экспонент (матриц Коши):
K ( xi x0 ) K ( xi xi 1 ) K ( xi1 xi 2 ) ... K ( x2 x1 ) K ( x1 x0 )
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет
матрицу с переменными коэффициентами A A(x) , решение задачи Коши
предлагается, как это известно, искать при помощи свойства
перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования
разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши
приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в
экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках,
перемножаются:
K ( xi x0 ) K ( xi xi 1 ) K ( xi1 xi 2 ) ... K ( x2 x1 ) K ( x1 x0 ) ,
где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:
K ( xi 1 xi ) e A( xi) xi exp( A( xi ) xi ) , где xi xi 1 xi .
11
Глава 2. Усовершенствование метода ортогональной
прогонки С.К. Годунова для решения краевых задач с
жесткими обыкновенными дифференциальными
уравнениями
2.1. Формула для начала счета методом прогонки С.К.
Годунова
Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.
Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это
тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A
коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция
Y (x) будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут
прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.
Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение
ищется в следующем виде [Годунов]:
Y ( x) Y1 ( x)c1 Y2 ( x)c2 Y3 ( x)c3 Y4 ( x)c4 Y ( x) ,
или можно записать в матричном виде:
Y ( x) Yматрица ( x)c Y ( x) ,
где векторы Y1 ( x),Y2 ( x),Y3 ( x),Y4 ( x) - это линейно независимые векторарешения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор
Y (x) - это вектор частного решения неоднородной системы
дифференциальных уравнений.
Здесь Yматрица ( x) Y1 ( x),Y2 ( x),Y3 ( x),Y4 ( x) это матрица размерности 8х4, а
c это соответствующий вектор размерности 4х1 из искомых констант
c1 , c2 , c3 , c4 .
Но вообще-то решение для такой краевой задачи с размерностью 8
(вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4
линейно независимых векторов Y1 ( x),Y2 ( x),Y3 ( x),Y4 ( x) , а полностью из всех 8
линейно независимых векторов-решений
дифференциальных уравнений:
И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и
состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных
векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной
констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для
12
прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти
эти константы из условий на правом крае.
То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения
таких
начальных
значений
векторов
Y1 (0),Y2 (0),Y3 (0),Y4 (0),Y (0)
Y1 ( x),Y2 ( x),Y3 ( x),Y4 ( x),Y ( x) , чтобы можно было начать прогонку с левого
края x =0, то есть чтобы удовлетворялись условия UY (0) u на левом крае
при любых значениях констант c1 , c2 , c3 , c4 .
Обычно
эта
трудность
«преодолевается»
тем,
что
дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а
через физические параметры и рассматриваются самые простейшие
условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные
значения Y1 (0),Y2 (0),Y3 (0),Y4 (0),Y (0) можно было угадать. То есть задачи со
сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с
упругими условиями на краях.
Ниже предлагается формула для начала вычислений методом
прогонки С.К.Годунова.
Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения
краевых условий на левом крае:
UY (0) u ,
где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.
В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на
левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U орто
размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:
U ортоY (0) uорто ,
где в результате ортонормирования матрицы
преобразован в вектор uорто .
U
вектор
u
Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных
алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].
Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U орто до
квадратной невырожденной матрицы W :
W
U орто
M
,
где матрица M размерности 4х8 должна достраивать матрицу U орто
до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.
В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то
есть выражения тех физических параметров, которые не входят в
параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне
13
возможно, так как у краевых задач столько линейно независимых
физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном
случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с
правого края.
Завершим ортонормирование построенной матрицы W , то есть
выполним построчное ортонормирование и получим матрицу Wорто
размерности 8х8 с ортонормированными строками:
Wорто
U орто
M орто
.
Можем записать, что
T
Yматрица (0) (M орто ) транспонированная M орто
.
Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова,
получим:
Y (0) Yматрица (0)c Y (0)
или
T
Y (0) M орто
c Y (0) .
Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U ортоY (0) uорто
и получим:
T
U орто [M орто
c Y (0)] uорто .
Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не
влияют, так как
T
U орто M орто
0 и остается только найти вектор Y (0) из выражения:
U ортоY (0) uорто .
Но матрица U орто имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до
квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y (0) из решения
соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:
U орто
M орто
Y (0)
uорто
,
0
где 0 - любой вектор, в том числе вектор из нулей.
Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:
U орто
Y (0)
1
uорто
M орто
0
.
Тогда формула для начала вычислений методом прогонки
С.К.Годунова имеет вид:
Y (0) M
T
орто
c
14
U орто
M орто
1
uорто
0
.
Из теории матриц [Гантмахер] известно, что если матрица
ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная
матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:
T
Y (0) M орто
c
U орто
T
uорто
M орто
T
T
Y (0) M орто
c U орто
,
0
T
M орто
uорто
0
,
T
T
T
Y (0) M орто
c U орто
uорто M орто
0,
T
T
Y (0) M орто
c U орто
uорто .
T
Вектора-столбцы из матрицы M орто
и вертикальный вектор-свертка
T
U орто
uорто являются линейно независимыми и удовлетворяют краевому
условию UY (0) u .
2.2. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки
С.К.Годунова
Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до
квадратной невырожденной:
U
.
M
Начальные значения Y1 (0),Y2 (0),Y3 (0),Y4 (0),Y (0) находятся из решения
следующих систем линейных алгебраических уравнений:
U
u
,
Y (0)
M
0
1
0
U
0
Yi (0) , где i ,
0
M
i
0
0
1
,
0
0
0
0
,
1
0
0
0
,
0
1
где 0 - вектор из нулей размерности 4х1.
Вектора-столбцы Yi (0) и вектор-столбец Y (0) являются линейно
независимыми и участвуя в формировании вектора Y (0) удовлетворяют
краевому условию UY (0) u .
15
2.3. Замена метода численного интегрирования РунгеКутты в методе прогонки С.К.Годунова
В методе С.К.Годунова, как показано выше, решение ищется в виде:
Y ( x) Yматрица ( x)c Y ( x) .
На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова
между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутты
пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:
Yматрица ( x j ) K ( x j xi )Yматрица ( xi ) .
Так
выполнять
вычисления
быстрее,
особенно
для
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как
в случае постоянных коэффициентов достаточно вычислить один раз
матрицу Коши на малом участке и в последующем лишь умножать на эту
однажды вычисленную матрицу Коши.
И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y (x)
частного решения неоднородной системы дифференциальных
уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод
Рунге-Кутты, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод
Рунге-Кутты.
2.4. Матрично-блочные выводы и реализация алгоритмов
начала вычислений для метода С.К. Годунова
Рассмотрим систему линейных
выражающую краевые условия при х=0
алгебраических
уравнений,
UY (0) u
Пусть имеется построенная квадратная невырожденная матрица
G
U
.
U*
Аналогично запишем вектор g
u
, где введенный вектор u*
*
u
является неизвестным.
Запишем систему линейных алгебраических уравнений
GY (0) g
или в блочном виде
U
u
Y (0) * .
*
U
u
Отсюда следует, что
16
Y (0)
U
U*
1
u
G 1 g Ng .
*
u
Представим N T T * .
Тогда
U
Y (0) *
U
1
u
u
G 1 g Ng T T * * Tu T * u* .
*
u
u
В тоже время помним, что решение краевой задачи ищется в виде
Y ( x) Yматрица ( x)c Y ( x)
.
Сравнивая
Y (0) T *u* Tu и Y (0) Yматрица (0)c Y (0)
при том, что здесь вектор неизвестных констант это u* c , то
получаем начальные значения векторов для начала интегрирования в
методе С.К. Годунова:
Yматрица (0) T и Y (0) Tu .
Другой матричный вывод можно изложить в следующем виде.
Преобразуем систему
U
u
Y (0) *
*
U
u
путем построчного ортонормирования к эквивалентной системе с
ортонормированными строками
W
w
Y (0) * .
*
W
w
Тогда можно записать
W
Y (0) *
W
1
w
W
*
*
w
W
T
w
WT
*
w
W *T
w
W T w W *T w * .
*
w
Делая сравнение двух выражений:
Y (0) Yматрица (0)c Y (0)
Y (0) W *T w* W T w
и из того, что c w * - вектор неизвестных констант, получаем:
Yматрица (0) W T и Y (0) W T w .
Заметим, что возможен еще один матрично-блочный вывод
формул.
Переход от системы
U
u
Y (0) *
*
U
u
к системе
17
W
w
Y (0) *
*
W
w
можно осуществить еще одним способом, заменив построчное
GY (0) g
ортонормирование
на следующее ортонормированное
разложение матрицы G
G T JL
где матрица J имеет ортонормированные столбцы, а матрица L
верхнетреугольная.
Тогда, учитывая правило транспонирования произведения матриц,
можем записать
G LT J T .
В результате получим
GY (0) g , LT J T Y (0) g , J T Y (0) ( LT ) 1 g .
Здесь строки матрицы J T ортонормированные.
Сравнивая
W
w
Y (0) *
*
W
w
и
J T Y (0) (LT ) 1 g
получаем
w
W
u
JT ,
( LT ) 1 g ( LT ) 1 * .
*
*
W
w
u
Таким образом, опять получаем ортонормированные начальные
значения искомых вектор-функций решения.
2.5. Сопряжение частей интервала интегрирования для
метода С.К. Годунова
Для автоматизации вычислительного процесса на всем интервале
интегрирования, который составлен для сопряженных оболочек с
различными
физическими
и
геометрическими
параметрами,
деформирование которых описывается различными функциями,
необходимо иметь процедуры сопряжения соответствующих функций.
В общем случае разрешающие функции различных частей
интервала интегрирования задачи не имеют физического смысла, а
физические параметры задачи выражаются различным образом через
эти функции и их производные. Вместе с этим сопряжение смежных
18
участков должно удовлетворять кинематическим и силовым условиям в
точке сопряжения.
Решить задачу сопряжения частей интервала интегрирования
можно следующим образом. Вектор Р, содержащий физические
параметры задачи формируется при помощи матрицы М коэффициентов
и искомой вектор-функции Y(x):
P MY (x)
где М - квадратная невырожденная матрица.
Тогда в точке сопряжения х=х* можем записать выражение
M Y- ( x* ) P M Y ( x* ) ,
где P - вектор, соответствующий дискретному изменению
физических параметров при переходе через точку сопряжения от левого
участка к правому; индекс "-" означает "слева от точки сопряжения", а
индекс "+" означает "справа от точки сопряжения".
В методе прогонки Годунова вектор-функция Y (x) задачи на каждом
участке ищется в виде
Y ( x) Yматрица ( x)c Y ( x)
Предположим, что точка сопряжения не совпадает с точкой
ортогонального преобразования. Тогда выражение условий сопряжения
смежных участков
M Y- ( x* ) P M Y ( x* )
примет вид
M ( Y- матрица ( x)c - Y ( x)) P M ( Y матрица ( x)c Y ( x)) .
Если теперь потребовать
c - c
то при прямом ходе метода прогонки продолжить интегрирование
при переходе точки сопряжения слева направо можно по следующим
выражениям:
1
Y матрица ( x) M M Y- матрица ( x) ,
1
Y* ( x) M (M Y-* ( x) P ) .
2.6. Свойства переноса краевых условий в методе С.К.
Годунова
При решении краевой задачи для системы "жестких" линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений методом С.К. Годунова
говорят, что осуществляется дискретная ортогонализация по методу
19
Грамма-Шмидта применительно к вектор-функциям, образующим
многообразие решений данной задачи, с целью преодоления тенденции
вырождения этих вектор-функций в линейно зависимые.
Вместе с тем, при реализации метода Годунова одновременно
происходит и перенос краевых условий от начального для
интегрирования края к другому. Покажем свойства этого переноса.
Ранее было записано
Y (0) Yматрица (0)c Y (0)
Y (0) W *T w* W T w
Yматрица (0) W T и Y (0) W T w .
Тогда можно сказать, что:
‒
вектор w*, который неизвестен, является вектором констант с,
‒
в тоже время вектор w* имеет физический смысл неизвестного
на краю х=0 внешнего воздействия на деформируемую систему,
‒
матрица W* является матрицей краевых условий, неизвестных
на краю х=0.
Из сформулированных положений следует, что перенос граничных
условий в методе С.К. Годунова имеет следующий смысл.
Продолжение интегрирования, начиная с вектора Y (0) W T w ,
означает перенос "свертки" W T w матричного уравнения краевых условий
при х=0 к правому краю х=1.
Продолжение интегрирования, начиная с векторов в матрице
Yматрица (0) означает, что матрица краевых условий W*, которые неизвестны
на краю х=0, переносится на край х= 1.
Интегрирование дифференциальных уравнений ведется с целью
переноса на край х=1 вектора с, а значит вектора w*, который выражает
условия неизвестные на краю х=0.
Перенос матрицы W* и вектора w* означает, что матричное
уравнение W *Y (0) w* краевых условий, которые неизвестны на краю х=0,
переносится на край х=1.
2.7. Модификация метода С.К. Годунова
Решение в методе С.К. Годунова ищется, как это записано выше, в
виде формулы
Y ( x) Yматрица ( x)c Y ( x) .
20
Можем записать эту формулу в двух вариантах – в одном случае
формула удовлетворяет краевым условиям левого края (индекс L), а в
другом – условиям на правом крае (индекс R):
YL ( x) Yматрица L ( x)c L Y L ( x)
,
YR ( x) Y матрица R ( x)c R Y R ( x)
.
В произвольной точке имеем
YL ( x) YR ( x)
.
Тогда получаем
Yматрица L ( x)c L Y L ( x) Yматрица R ( x)c R Y R ( x)
,
Yматрица L ( x)c L Y матрица R ( x)c R Y R ( x) Y L ( x)
,
Yматрица L ( x)
Yматрица R ( x)
cL
Y R ( x) Y L ( x )
.
cR
То есть получена система линейных алгебраических уравнений
традиционного вида с квадратной матрицей коэффициентов
Yматрица L ( x)
Yматрица R ( x) для встречного вычисления векторов констант
cL
.
cR
21
Глава 3. Метод «переноса краевых условий» (прямой
вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими
обыкновенными дифференциальными уравнениями
Предлагается выполнять интегрирование по формулам теории
матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала
интегрирования к краям:
Y (0) K (0 x)Y ( x) Y (0 x) ,
Y (1) K (1 x)Y ( x) Y (1 x) .
Подставим формулу для Y (0) в краевые условия левого края и
получим:
UY (0) u ,
U[K (0 x)Y ( x) Y (0 x)] u ,
UK (0 x)Y ( x) u - UY (0 x) .
Аналогично для правых краевых условий получаем:
VY (1) v ,
V [K (1 x)Y ( x) Y (1 x)] v ,
VK(1 x)Y ( x) v VY (1 x) .
То есть получаем два матричных уравнения краевых условий,
перенесенные в рассматриваемую точку x :
[UK (0 x)] Y ( x) u - UY (0 x) ,
[VK(1 x)] Y ( x) v VY (1 x) .
Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных
алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для
нахождения решения Y (x) в любой рассматриваемой точке x :
UK (0 x)
u UY (0 x)
Y ( x)
.
VK(1 x)
v VY (1 x)
22
Глава 4. Метод «дополнительных краевых условий» для
решения краевых задач с нежесткими обыкновенными
дифференциальными уравнениями
Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:
MY (0) m .
В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то
есть выражения тех физических параметров, которые не входят в
параметры краевых условий левого края U или линейно независимы с
ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько
независимых физических параметров какова размерность задачи, а в
параметры краевых условий входит только половина физических
параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об
оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения.
Тогда для матрицы M можно взять параметры сил и моментов, которых
тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой
части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая
задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y (0)
из выражения:
U
u
,
Y (0)
M
m
то есть вектор Y (0) находится из решения системы линейных
алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей
коэффициентов, состоящей из блоков U и M .
Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых
условий:
NY (1) n ,
где матрица N
записывается из тех же соображений
дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а
вектор n неизвестен.
Для правого края тоже справедлива соответствующая система
уравнений:
V
v
.
Y (1)
N
n
Запишем Y (1) K (1 0)Y (0) Y (1 0) и подставим в последнюю
систему линейных алгебраических уравнений:
V
v
[K (1 0)Y (0) Y (1 0)]
,
N
n
23
V
v
V
K (1 0)Y (0)
Y (1 0) ,
N
n
N
V
v V Y (1 0)
K (1 0)Y (0)
,
N
n N Y (1 0)
V
s
.
K (1 0)Y (0)
N
t
Запишем вектор Y (0) через обратную матрицу:
U
Y (0)
M
1
u
m
и подставим в предыдущую формулу:
V
U
K (1 0)
N
M
1
u
s
m
t
Таким образом, мы получили систему уравнений вида:
B
u
s
,
m
t
где матрица B известна, векторы u и s известны, а векторы m и t
неизвестны.
Разобьем матрицу B на естественные для нашего случая 4 блока и
получим:
B11
B21
B12
u
s
,
B22 m
t
откуда можем записать, что
B11u B12 m s,
B21u B22 m t.
Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:
m B121 ( s B11u)
А искомый вектор n вычисляется через вектор t :
t B21u B22 m ,
n t N Y (1 0) .
24
Глава 5. Метод «половины констант» для решения
краевых задач с нежесткими обыкновенными
дифференциальными уравнениями
В данном методе используется предложенная С.К. Годуновым идея
искать решение в виде только с половиной возможных искомых констант,
однако и формула для возможности начала такого расчета и дальнейшее
применение матричных экспонент (матриц Коши) предложены А.Ю.
Виноградовым.
Формула для начала счета с левого края только с половиной
возможных констант:
T
T
Y (0) U орто
uорто M орто
c,
T
Y (0) U орто
uорто
T
M орто
c
.
Таким образом, записана в матричном виде формула для начала
счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.
Далее запишем VY (1) v и Y (1) K (1 0)Y (0) Y (1 0) совместно:
V [K (1 0)Y (0) Y (1 0)] v ,
VK(1 0)Y (0) v VY (1 0)
и подставим в эту формулу выражение для Y(0):
T
VK(1 0) U орто
uорто
T
M орто
v VY (1 0)
c
или
T
VK(1 0) U орто
T
M орто
uорто
c
p.
Таким образом, мы получили выражение вида:
D
uорто
c
p,
где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно
представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:
D1
D2
uорто
c
p.
Тогда можем записать:
D1uорто D2 c p .
Отсюда получаем, что:
c D21 ( p D1uорто ) .
Таким образом, искомые константы найдены.
25
Глава 6. Метод «переноса краевых условий» (пошаговый
вариант метода) для решения краевых задач с жесткими
обыкновенными дифференциальными уравнениями
6.1. Метод «переноса краевых условий» в произвольную
точку интервала интегрирования
Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид
Y ( x) K ( x x0 )Y ( x0 ) Y ( x x0 ) .
Или можно записать:
Y (0) K (0 x1 )Y ( x1 ) Y (0 x1 ) .
Подставляем это выражение для Y (0) в краевые условия левого края
и получаем:
UY (0) u ,
U[K (0 x1 )Y ( x1 ) Y (0 x1 )] u ,
UK (0 x1 )Y ( x1 ) u UY (0 x1 ) .
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x1 :
U1Y ( x1 ) u1 ,
где U1 UK(0 x1 ) и u1 u UY (0 x1 ) .
Далее запишем аналогично
Y ( x1 ) K ( x1 x2 )Y ( x2 ) Y ( x1 x2 )
И подставим это выражение для Y ( x1 ) в перенесенные краевые
условия точки x1 :
U1Y ( x1 ) u1 ,
U1[K ( x1 x2 )Y ( x2 ) Y ( x1 x2 )] u1 ,
U1 K ( x1 x2 )Y ( x2 ) u1 U1Y ( x1 x2 ) .
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x2 :
U 2Y ( x2 ) u2 ,
где U 2 U1 K ( x1 x2 ) и u2 u1 U1Y ( x1 x2 ) .
И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края
и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого
края.
Покажем шаги переноса краевых условий правого края.
Можем записать:
Y (1) K (1 xn1 )Y ( xn1 ) Y (1 xn1 )
Подставляем это выражение для Y (1) в краевые условия правого
края и получаем:
26
VY (1) v ,
V [ K (1 xn1 )Y ( xn1 ) Y (1 xn1 )] v ,
VK(1 xn1 )Y ( xn1 ) v VY (1 xn1 )
Или получаем краевые условия правого края, перенесенные в точку
xn1 :
Vn1Y ( xn1 ) v n1 ,
где Vn1 VK(1 xn1 ) и v n1 v VY (1 xn1 ) .
Далее запишем аналогично
Y ( xn1 ) K ( xn1 xn2 )Y ( xn2 ) Y ( xn1 xn2 )
И подставим это выражение для Y ( xn1 ) в перенесенные краевые
условия точки xn1 :
Vn1Y ( xn1 ) v n1 ,
Vn1[ K ( xn1 xn2 )Y ( xn2 ) Y ( xn1 xn2 )] v n1 ,
Vn1 K ( xn1 xn2 )Y ( xn2 ) v n1 Vn1Y ( xn1 xn2 ) .
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку xn2 :
Vn2Y ( xn2 ) v n2 ,
где Vn2 Vn1 K ( xn1 xn2 ) и v n2 v n1 Vn1Y ( xn1 xn2 ) .
И так во внутреннюю точку x интервала интегрирования
переносим матричное краевое условие, как показано, и с левого края и
таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края
и получаем:
U Y (x ) u ,
V Y (x ) v .
Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными
горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну
систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей
коэффициентов:
U
u
Y
(x
)
.
V
v
6.2. Случай «жестких» дифференциальных уравнений
В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается
применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в
процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этогоформулы
27
ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно
взять в [Березин, Жидков].
То есть, получив
U1Y ( x1 ) u1
применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений
построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное
краевое условие:
U1ортоY ( x1 ) u1орто .
И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение
подставляем
Y ( x1 ) K ( x1 x2 )Y ( x2 ) Y ( x1 x2 ) .
И получаем
U1орто [ K ( x1 x2 )Y ( x2 ) Y ( x1 x2 )] u1орто ,
U1орто K ( x1 x2 )Y ( x2 ) u1орто U1ортоY ( x1 x2 ) .
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x2 :
U 2Y ( x2 ) u2 ,
где U 2 U1орто K ( x1 x2 ) и u2 u1орто U1ортоY ( x1 x2 ) .
Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений
применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное
матричное краевое условие:
U 2ортоY ( x2 ) u2орто
И так далее.
И аналогично поступаем с промежуточными матричными
краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую
точку.
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с
квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо
друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых
условий, которая решается методом Гаусса с выделением главного
элемента для получения решения Y ( x ) в рассматриваемой точке x :
U орто
Vорто
Y (x )
28
uорто
v орто
.
6.3. Формулы для вычисления вектора частного решения
неоднородной системы дифференциальных уравнений
Вместо формулы для вычисления вектора частного решения
неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде
[Гантмахер]:
Y ( x x0 ) e
x
Ax
e
At
F (t )dt
x0
предлагается использовать следующую формулу для каждого
отдельного участка интервала интегрирования:
xj
Y ( x j xi ) Y ( x j xi ) K ( x j xi ) K ( xi t ) F (t )dt .
xi
Y ( x j xi ) exp( A( x j xi )) exp( A( xi t ))F (t )dt ,
xi
xj
Y ( x j xi )
exp( A( x
j
xi )) exp( A( xi t ))F (t )dt ,
xi
xj
Y ( x j xi )
exp( A( x
j
xi xi t ))F (t )dt ,
xi
xj
Y ( x j xi )
exp( A( x
j
t ))F (t )dt ,
xi
xj
Y ( x j xi ) exp( Ax j ) exp( At) F (t )dt ,
xi
x
Y ( x xi ) exp( Ax) exp( At)F (t )dt ,
xi
что и требовалось подтвердить.
Вычисление
вектора
частного
решения
системы
дифференциальных
уравнений
производиться
при
помощи
представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и
интегрирования этого ряда поэлементно:
29
xj
Y ( x j xi ) Y ( x j xi ) K ( x j xi ) K ( xi t ) F (t )dt
xi
xj
K ( x j xi ) ( E A( xi t ) A 2 ( xi t ) 2 / 2!...)F (t )dt
xi
xj
xj
xj
2
K ( x j xi )(E F (t )dt A ( xi t ) F (t )dt A / 2! ( xi t ) 2 F (t )dt ...).
xi
xi
xi
Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных
уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A =const.
Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования
выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор
F (t ) на участке ( x j xi ) приближенно в виде постоянной величины
F ( xi ) constant, что позволяет вынести этот вектор из под знаков
интегралов:
xj
xj
xj
Y ( x j xi ) K ( x j xi )(E dt A ( xi t )dt A 2 / 2! ( xi t ) 2 dt ...)F (t ).
xi
xi
xi
Известно, что при T=(at+b) имеем T n dt
В нашем случае имеем (b - t) n dt
xj
Тогда получаем
(x
xi
i
t ) n dt
1
T n 1 const (при n -1).
a(n 1)
1
(b - t) n 1 const (при n -1).
(-1)(n 1)
1
( xi x j ) n1 .
n 1
Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения
неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке
( x j xi ) :
Y ( x j xi ) K ( x j xi ) ( E A( xi x j ) / 2! A2 ( xi x j ) 2 / 3!...) ( x j xi ) F ( xi ).
Для случая дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами для каждого участка может использоваться
осредненная
матрица
коэффициентов
системы
Ai A( xi )
дифференциальных уравнений.
Если рассматриваемый участок интервала интегрирования не мал,
то предлагаются следующие итерационные (рекуррентные) формулы.
Приведем формулы вычисления вектора частного решения,
например, Y ( x3 x0 ) на рассматриваемом участке ( x3 x0 ) через вектора
30
частного решения Y ( x1 x0 ) , Y ( x2 x1 ) , Y ( x3 x2 ) соответствующих
подучастков ( x1 x0 ) , ( x2 x1 ) , ( x3 x2 ) .
Имеем Y ( x) K ( x x0 )Y ( x0 ) Y ( x x0 ) .
Также имеем формулу для отдельного подучастка:
xj
Y ( x j xi ) Y ( x j xi ) K ( x j xi ) K ( xi t ) F (t )dt .
xi
Можем записать:
Y ( x1 ) K ( x1 x0 )Y ( x0 ) Y ( x1 x0 ) ,
Y ( x2 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 ) Y ( x2 x1 ) .
Подставим Y ( x1 ) в Y ( x2 ) и получим:
Y ( x2 ) K ( x2 x1 )[K ( x1 x0 )Y ( x0 ) Y ( x1 x0 )] Y ( x2 x1 )
K ( x2 x1 ) K ( x1 x0 )Y ( x0 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 x0 ) Y ( x2 x1 ) .
Сравним полученное выражение с формулой:
Y ( x2 ) K ( x2 x0 )Y ( x0 ) Y ( x2 x0 )
и получим, очевидно, что:
K ( x2 x0 ) K ( x2 x1 )K ( x1 x0 )
и для частного вектора получаем формулу:
Y ( x2 x0 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 x0 ) Y ( x2 x1 ) .
То есть вектора подучастков
Y ( x1 x0 ),Y ( x2 x1 )
не просто
складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.
Аналогично запишем Y ( x3 ) K ( x3 x2 )Y ( x2 ) Y ( x3 x2 ) и подставим
сюда формулу для Y ( x2 ) и получим:
Y ( x3 ) K ( x3 x2 )[K ( x2 x1 ) K ( x1 x0 )Y ( x0 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 x0 ) Y ( x2 x1 )]
Y ( x3 x2 ) K ( x3 x2 ) K ( x2 x1 ) K ( x1 x0 )Y ( x0 )
K ( x3 x2 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 x0 ) K ( x3 x2 )Y ( x2 x1 ) Y ( x3 x2 ).
Сравнив полученное выражение с формулой:
Y ( x3 ) K ( x3 x0 )Y ( x0 ) Y ( x3 x0 )
очевидно, получаем, что:
K ( x3 x0 ) K ( x3 x2 )K ( x2 x1 )K ( x1 x0 )
и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:
Y ( x3 x0 ) K ( x3 x2 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 x0 ) K ( x3 x2 )Y ( x2 x1 ) Y ( x3 x2 ).
То есть именно так и вычисляется частный вектор – вектор частного
решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть
так вычисляется, например, частный вектор
на
Y ( x3 x0 )
рассматриваемом участке ( x3 x0 ) через вычисленные частные вектора
31
Y ( x1 x0 ) , Y ( x2 x1 ) , Y ( x3 x2 ) соответствующих подучастков ( x1 x0 ) ,
( x2 x1 ) , ( x3 x2 ) .
6.4. Применяемые формулы ортонормирования
Взято из [Березин, Жидков]. Пусть дана система линейных
алгебраических уравнений порядка n:
A x =b .
Здесь над векторами поставим черточки вместо их обозначения
жирным шрифтом.
Будем рассматривать строки матрицы A системы как векторы:
ai =( a i1 , a i2 ,…, a in ).
Ортонормируем эту систему векторов.
Первое уравнение системы A x = b делим на
n
a12k .
k 1
При этом получим:
с11 x1 + с12 x 2 +…+ с1n x n = d 1 , c1 =( c11 , c12 ,…, c1n ),
где c1k =
a1k
n
,
a12k
k 1
d1 =
b1
n
c12k =1.
,
n
k 1
a12k
k 1
Второе уравнение системы заменяется на:
с 21 x1 + с 22 x 2 +…+ с 2n x n = d 2 , c2 =( c 21, c 22 ,…, c 2n ),
/
где c 2k =
/
c 2k
,
n
c 2/ 2k
d 2=
d2
,
n
c 2/ 2k
k 1
k 1
/
/
c 2k = a 2k -( a 2 , c1 ) c1k , d 2 = b2 -( a 2 , c1 ) d 1 .
Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид:
с i1 x1 + с i2 x 2 +…+ с in x n = d i , ci =( c i1 , c i2 ,…, c in ),
/
/
где c ik =
cik
n
cik/ 2
k 1
,
di=
di
n
,
cik/ 2
k 1
32
/
c ik = a ik -( ai , c1 ) c1k -( ai , c2 ) c 2k -…-( ai , ci 1 ) ci 1, k ,
/
d i = bi -( ai , c1 ) d 1 -( ai , c2 ) d 2 -…-( ai , ci 1 ) d i 1.
Здесь ( ai , c ) – скалярное произведение векторов.
j
Процесс будет осуществим, если система линейных алгебраических
уравнений линейно независима.
В результате мы придем к новой системе C x d , где матрица C будет
с ортонормированными строками, то есть обладает свойством C C T E ,
где E - это единичная матрица.
33
Глава 7. Простейший метод решения краевых задач с
жесткими обыкновенными дифференциальными
уравнениями без ортонормирования – метод «сопряжения
участков интервала интегрирования», которые выражены
матричными экспонентами
Идея преодоления трудностей вычислений путем разделения
интервала интегрирования на сопрягаемые участки принадлежит д.ф.м.н. профессору Ю.И.Виноградову (в том числе на этой идее защищена
его докторская физ-мат диссертация), а простейшая реализация этой
идеи через формулы теории матриц принадлежит к.ф.-м.н.
А.Ю.Виноградову.
Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3
участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:
x0 , x1 , x2 , x3 .
Имеем краевые условия в виде:
UY ( x0 ) u,
VY ( x3 ) v.
Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:
Y ( x0 ) K ( x0 x1 )Y ( x1 ) Y ( x0 x1 ) ,
Y ( x1 ) K ( x1 x2 )Y ( x2 ) Y ( x1 x2 ) ,
Y ( x2 ) K ( x2 x3 )Y ( x3 ) Y ( x2 x3 ) .
Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:
EY ( x0 ) K ( x0 x1 )Y ( x1 ) Y ( x0 x1 ) ,
EY ( x1 ) K ( x1 x2 )Y ( x2 ) Y ( x1 x2 ) ,
EY ( x2 ) K ( x2 x3 )Y ( x3 ) Y ( x2 x3 ) .
где E - единичная матрица.
Тогда в объединенном матричном виде получаем систему линейных
алгебраических уравнений в следующей форме:
U
0
0
0
E K ( x0 x1 )
0
0
0
E
K ( x1 x2 )
0
0
0
E
K ( x 2 x3 )
0
0
0
V
u
Y ( x0 )
Y ( x0 x1 )
Y ( x1 )
Y ( x1 x2 ) .
Y ( x2 )
Y ( x 2 x3 )
Y ( x3 )
v
Эта система решается методом Гаусса с выделением главного
элемента.
В точках, расположенных между узлами, решение находиться при
помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:
34
Y ( x) K ( x xi )Y ( xi ) Y ( x xi ) .
Применять ортонормирование для краевых задач для жестких
обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо, так
как на каждом участке интервала интегрирования вычисление каждой
матричной экспоненты выполняется независимо и от начальной
единичной (ортонормированной) матрицы, что делает ненужным
применение ортонормирования в отличие от метода Годунова, что
значительно упрощает программирование по сравнению с методом
Годунова.
Вычислять матрицы Коши можно не в виде матричных экспонент, а
при помощи методов типа Рунге-Кутты от стартовой единичной матрицы,
а вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных
уравнений вычислять на каждом участке методами типа Рунге-Кутты
следует от стартового нулевого вектора. В случае применения методов
типа Рунге-Кутты оценки погрешностей хорошо известны, что означает,
что вычисления можно выполнять с заранее известной точностью.
35
Глава 8. Расчет оболочек составных и со шпангоутами
простейшим методом «сопряжения участков интервала
интегрирования»
8.1. Вариант записи метода решения жестких краевых
задач без ортонормирования – метода «сопряжения участков,
выраженных матричными экспонентами» - через
положительные направления формул матричного
интегрирования дифференциальных уравнений
Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3
участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:
x0 , x1 , x2 , x3 .
Имеем краевые условия в виде:
UY ( x0 ) u,
VY ( x3 ) v.
Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:
Y ( x1 ) K ( x1 x0 )Y ( x0 ) Y ( x1 x0 ) ,
Y ( x2 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 ) Y ( x2 x1 ) ,
Y ( x3 ) K ( x3 x2 )Y ( x2 ) Y ( x3 x2 ) .
Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:
EY ( x1 ) K ( x1 x0 )Y ( x0 ) Y ( x1 x0 ) ,
EY ( x2 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 ) Y ( x2 x1 ) ,
EY ( x3 ) K ( x3 x2 )Y ( x2 ) Y ( x3 x2 ) .
где E - единичная матрица.
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений:
U
0
0
0
u
Y ( x0 )
K ( x1 x0 )
E
0
0
Y ( x1 x0 )
Y ( x1 )
Y ( x2 x1 ) .
0
K ( x2 x1 )
E
0
Y ( x2 )
0
0
K ( x3 x 2 ) E
Y ( x3 x 2 )
Y ( x3 )
0
0
0
V
v
Эта система решается методом Гаусса с выделением главного
элемента. Оказывается, что применять ортонормирование не нужно, так
как участки интервала интегрирования выбираются такой длинны, что
счет на них является устойчивым.
В точках вблизи узлов решение находится путем решения
соответствующих задач Коши с началом в i-ом узле:
Y ( x) K ( x xi )Y ( xi ) Y ( x xi ) .
36
8.2. Составные оболочки вращения
Рассмотрим сопряжения участков составной оболочки вращения.
Пусть имеем 3 участка, где каждый участок может выражаться
своими дифференциальными уравнениями и физические параметры
могут выражаться по-разному – разными формулами на разных участках:
В общем случае (на примере участка 12) физические параметры
участка (вектор P12 ( x) ) выражаются через искомые параметры системы
обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через
вектор Y12 ( x) ) следующим образом:
P12 ( x) M12Y12 ( x) ,
где матрица M12 - квадратная невырожденная.
При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но
на примере точки сопряжения x1 ):
P01 ( x1 ) P0112 L0112 P12 ( x1 ) ,
где P0112 - дискретное приращение физических параметров (сил,
моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица L0112
квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус
единиц на главной диагонали для установления правильного
соответствия принятых положительных направлений сил, моментов,
перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12»,
которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях
разных сопрягаемых участков) – в уравнениях слева от точки сопряжения
и в уравнениях справа от точки сопряжения.
Два последних уравнения при объединении образуют уравнение:
M 01Y01 ( x1 ) P0112 L0112 M12Y12 ( x1 ) .
В точке сопряжения x2 аналогично получим уравнение:
M12Y12 ( x2 ) P1223 L1223 M 23Y23 ( x2 ) .
Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли
бы записать в объединенном матричном виде систему линейных
алгебраических уравнений в следующей форме:
37
U
0
0
0
u
Y ( x0 )
K ( x1 x0 )
E
0
0
Y ( x1 x0 )
Y ( x1 )
Y ( x2 x1 ) .
0
K ( x2 x1 )
E
0
Y ( x2 )
0
0
K ( x3 x 2 ) E
Y ( x3 x 2 )
Y ( x3 )
0
0
0
V
v
Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний
участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои
дифференциальные уравнения.
Тогда вместо векторов Y ( x0 ) , Y ( x1 ) , Y ( x2 ) , Y ( x3 ) мы должны
рассмотреть вектора:
Y01 ( x0 ),Y01 ( x1 ),Y12 ( x1 ),Y12 ( x2 ),Y23 ( x2 ),Y23 ( x3 ) .
Тогда матричные уравнения
UY ( x0 ) u,
VY ( x3 ) v.
EY ( x1 ) K ( x1 x0 )Y ( x0 ) Y ( x1 x0 ) ,
EY ( x2 ) K ( x2 x1 )Y ( x1 ) Y ( x2 x1 ) ,
EY ( x3 ) K ( x3 x2 )Y ( x2 ) Y ( x3 x2 )
Эта система решается методом Гаусса с выделением главного
элемента.
В точках, расположенных между узлами, решение находиться при
помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:
Y ( x) K ( x xi )Y ( xi ) Y ( x xi ) .
Применять ортонормирование для краевых задач для жестких
обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо.
8.3. Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а
алгебраическими уравнениями
Рассмотрим случай, когда шпангоут (в точке x1 ) выражается не через
дифференциальные уравнения, а через алгебраические уравнения.
Выше мы записывали, что:
P01 ( x1 ) P0112 L0112 P12 ( x1 )
Можем представить вектор P01 ( x1 ) силовых факторов и перемещений
в виде:
P01 ( x1 )
R01 ( x1 )
,
S01 ( x1 )
где R01 ( x1 ) - вектор перемещений, S01 ( x1 ) - вектор сил и моментов.
Алгебраическое уравнение для шпангоута:
GR S ,
где G – матрица жесткости шпангоута, R – вектор перемещений
шпангоута, S – вектор силовых факторов, которые действуют на
шпангоут.
39
В точке шпангоута имеем:
R 0, S GR ,
то есть нет разрыва в перемещениях R 0 , но есть результирующий
вектор силовых факторов S GR , который складывается из сил и
моментов слева плюс сил и моментов справа от точки шпангоута.
P01 ( x1 )
R
L0112 P12 ( x1 ) ,
S
P01 ( x1 )
0
L0112 P12 ( x1 ) ,
GR
R01 ( x1 )
R (x )
0
L0112 12 1 ,
S 01 ( x1 ) GR
S12 ( x1 )
M 01Y01 ( x1 )
0
L0112 M12Y12 ( x1 ) ,
GR
M 01Y01 ( x1 ) g * L0112 M12Y12 ( x1 ) , где g *
0
,
GR
что справедливо, если мы не забываем, что в данном случае имеем:
P01 ( x1 )
R01 ( x1 )
,
S 01 ( x1 )
то есть вектор перемещений и силовых факторов составляется
сначала из перемещений (выше) R01 ( x1 ) , а потом из силовых факторов
(ниже) S01 ( x1 ) .
Здесь необходимо вспомнить, что вектор перемещений R01 ( x1 )
выражается через искомый вектор состояния Y01 ( x1 ) :
g*
0
0
,
GR GR01 ( x1 )
R01 ( x1 )
M 11p
p
P01 ( x1 )
M 01Y01 ( x1 ) M Y01 ( x1 )
S 01 ( x1 )
M 21p
M 12p
Y01 ( x1 ) ,
M 22p
где для удобства было введено переобозначение M 01 M p .
Тогда можем записать:
R01 ( x1 ) M 11p
g*
0
GR01 ( x1 )
GM
p
11
M 12p Y01 ( x1 ) ,
0
0...0
0
Y01 ( x1 )
p
p
p Y01 ( x1 )
p
M 12 Y01 ( x1 )
G M 11 M 12
G M 11 M 12p
0
0
0
следует переписать в виде g *
, тогда:
p
GR01 ( x1 ) g p
GR g
GR
41
g*
GM
p
11
0
0...0
0
.
p
p
p Y01 ( x1 )
M Y01 ( x1 ) g
G M 11 M 12
gp
p
12
Тогда матричное уравнение
M 01Y01 ( x1 )
0
GM
p
11
M 12p
Y01 ( x1 ) L0112 M 12Y12 ( x1 )
примет вид:
M 01Y01 ( x1 )
0
GM
p
11
M
Y01 ( x1 )
p
12
0
L0112 M 12Y12 ( x1 ) ,
gp
M *Y01 ( x1 ) L0112 M 12Y12 ( x1 )
0
.
gp
Итоговая система линейных алгебраических уравнений примет вид:
U
0
K 01 ( x1 x0 ) E
0
M*
0
0
0
0
u
0
*
Y01 ( x0 ) Y01 ( x1 x0 )
0
0
Y (x )
p
.
L0112 M 12
0 01 1
g
Y12 ( x1 )
K12 ( x2 x1 ) E
*
Y12 ( x2 ) Y12 ( x2 x1 )
0
V
v
0
0
8.4. Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута)
выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора,
состоящие из конкретных физических параметров
Рассмотрим случай, когда части оболочечной конструкции и
шпангоут выражаются через вектора состояния (типа Y12 ( x) ), которые (в
частном случае) совпадают с векторами физических параметров (типа
P12 ( x) - перемещения, угол, силы, момент). Тогда матрицы типа M12 будут
единичными: M12 E . И пусть положительные направления физических
параметров одинаковы для всех частей оболочки и шпангоута ( L0112 E ).
Тогда будем иметь уравнения:
P12 ( x) M12Y12 ( x) ,
P01 ( x1 ) P0112 L0112 P12 ( x1 ) ,
M 01Y01 ( x1 ) P0112 L0112 M12Y12 ( x1 ) ,
где E – единичная матрица.
Уравнения
M 01Y01 ( x1 ) g * L0112 M12Y12 ( x1 ) ,
0
L0112 P12 ( x1 ) ,
GR01 ( x1 ) g p
P01 ( x1 )
R01 ( x1 )
M 11p
p
P01 ( x1 )
M 01Y01 ( x1 ) M Y01 ( x1 )
S 01 ( x1 )
M 21p
R01 ( x1 ) M 11p
g*
GM
p
11
M 12p
Y01 ( x1 ) ,
M 22p
M 12p Y01 ( x1 ) ,
0
0
0
0
,
p
p
p
p Y01 ( x1 )
M 12 Y01 ( x1 )
G M 11 M 12
g
gp
примут вид:
EY01 ( x1 ) g * EY12 ( x1 ) ,
EY01 ( x1 )
P01 ( x1 )
0
EY12 ( x1 ) ,
GR01 ( x1 ) g p
R01 ( x1 )
E 0
EY01 ( x1 ) M pY01 ( x1 )
Y01 ( x1 ) ,
S 01 ( x1 )
0 E
R01 ( x1 ) E 0 Y01 ( x1 ) ,
g*
0
GR01 ( x1 )
0
0
0
0
0
p
Y01 ( x1 ) p .
p
G E 0 Y01 ( x1 ) g
GE 0
g
g
А уравнения
M 01Y01 ( x1 )
0
GM
p
11
M
Y01 ( x1 )
p
12
0
L0112 M 12Y12 ( x1 ) ,
gp
M *Y01 ( x1 ) L0112 M 12Y12 ( x1 )
0
.
gp
примут вид:
EY01 ( x1 )
0
0
Y01 ( x1 ) p EY12 ( x1 ) ,
GE 0
g
M *Y01 ( x1 ) EY12 ( x1 )
0
0
) M*
, где ( E
p
GE 0
g
Итоговая система линейных алгебраических уравнений
U
0
K 01 ( x1 x0 ) E
0
M*
0
0
0
0
u
0
*
Y01 ( x0 ) Y01 ( x1 x0 )
0
0
Y (x )
p
L0112 M 12
0 01 1
g
Y12 ( x1 )
K12 ( x2 x1 ) E
*
Y12 ( x2 ) Y12 ( x2 x1 )
0
V
v
0
0
43
примет вид:
U
0
K 01 ( x1 x0 ) E
0
M*
0
0
0
0
где M (8Ex8
0
4 x8
*
G E
4x4 4x4
0
u
0
0
Y01 ( x0 ) Y01* ( x1 x0 )
0
0
0
Y (x )
p
,
E
0 01 1
g
Y12 ( x1 )
K12 ( x2 x1 ) E
*
Y12 ( x2 ) Y12 ( x2 x1 )
0
V
v
) (E
8 x8
4x4
0
4 x8
G
4x4
0
)
4x4
E
G
0
.
E
4x4
4x4
4x4
4x4
Это означает, что уравнение
M *Y01 ( x1 ) EY12 ( x1 )
0
gp
принимает вид:
E
G
4x4
4x4
E
G
4x4
4x4
0
0
Y01 ( x1 ) EY12 ( x1 ) p
E
g
4x4
4x4
0 R01 ( x1 )
E
4x4
E S 01 ( x1 )
0
4x4
4x4
4x4
0 R12 ( x1 )
0
p
E S12 ( x1 )
g
4x4
4x4
R01 ( x1 ) R12 ( x1 ) 0 , (нет скачка в перемещениях и угле) и
GR01 ( x1 ) S01 ( x1 ) S12 ( x1 ) g p - равновесие шпангоута,
то есть:
R01 ( x1 ) R12 ( x1 ) (перемещения и угол: нет разрыва)
S 01 ( x1 ) S g p S12 ( x1 ) , где S GR01 ( x1 ) (силы и момент: равновесие).
44
Глава 9. Анализ и упрощение метода А.А. Абрамова
Метод Абрамова является вариантом метода переноса краевых
условий краевой задачи для системы "жестких" обыкновенных
дифференциальных
уравнений,
который
также
получил
распространение на практике. Рассмотрим его.
Введем переобозначения для краевых условий, чтобы записать
уравнения в том виде, в котором они записаны А.А. Абрамовым:
H (0)Y (0) r (0)
где Н(0) - прямоугольная матрица условий на крае x=0, r(0) –
вектор внешнего воздействия на край x=0.
В методе А.А. Абрамова задача сводится к решению задачи Коши
для прогоночных матрицы Н(х) и вектора r(х). Дифференциальные
уравнения переноса краевых условий имеют вид:
H / ( x) H ( x) A( x) K ( x)H ( x) ,
r / ( x) H ( x)F ( x) K ( x)r ( x) .
Начальные условия для интегрирования этих уравнений имеют вид
H (0), r (0)
.
В эти уравнения входит получаемая при их выводе произвольная
матрица К(х), и, следовательно, задача не имеет единственного решения.
Произвол в выборе матрицы К(х) позволяет наложить на прогоночную
матрицу Н(х) дополнительные требования с тем, чтобы численное
решение задачи Коши было устойчивым.
В методе А.А. Абрамова элементы прогоночной матрицы Н(х)
гарантированы от неограниченного роста, так как на эту матрицу
накладывается требование
HH T H (0)H (0)T const .
где H T - транспонированная матрица.
Матрица HH T - квадратная невырожденная.
Из постоянства матрицы HH T следует постоянство всех ее элементов
и их ограниченность.
В методе А.А. Абрамова матрица К(х) имеет вид
K ( x) HAHT (HH T ) 1 .
Из этого следует, что уравнения переноса краевых условий в методе
А.А.Абрамова имеют вид
H / HAH TH HA ,
r / HAHTr HF .
45
Значения вектора состояния в любой точке определяются встречной
прогонкой, то есть путем переноса в эту точку граничных условий как
слева, так и справа.
Предлагается путем тождественных преобразований краевых
условий матрицу
HH T H (0)H (0)T const
сделать единичной.
Для этого следует применить к краевым условиям на левом крае
предлагавшуюся в усовершенствовании метода С.К. Годунова процедуру
построчного ортонормирования матричного уравнения краевых условий.
Тогда строки матрицы Н(х), вычисляемой по дифференциальным
уравнениям метода А.А. Абрамова, всегда будут оставаться
ортонормированными.
Это означает, что при изменении аргумента х векторы-строки
матрицы Н(х) поворачиваются в пространстве не меняя своей длины и
взаимонаправленности.
Следовательно,
в
методе
Абрамова
осуществляется естественное, то есть следующее из самих
дифференциальных уравнений метода, ортонормирование прогоночной
матрицы Н(х).
Таким образом, правая часть уравнений А.А. Абрамова, может быть
упрощена.
Можем
выполнить
преобразование
–
построчное
ортонормирование уравнения
H (0)Y (0) r (0)
для получения эквивалентного краевого условия в виде
W (0)Y (0) w (0)
,
где строки матрицы W(0) ортонормированы.
В результате уравнения прогонки метода А.А. Абрамова принимают
более простой вид в правой части
H / HA(H T H E) ,
r / ( x) HAHT r HF ,
так как
HH T H (0)H (0)T const E единичнаяматрица .
Первое из уравнений метода А.А. Абрамова является независимым,
так как не содержит искомого вектора r(х) и может быть
проинтегрировано отдельно от второго. Второе из этих уравнений
зависит от результатов интегрирования первого уравнения, так как
содержит искомую матрицу Н(х).
46
Независимое уравнение включает в себя матрицу А(х),
характеризующую свойства рассматриваемой деформируемой системы.
Таким образом, результаты его интегрирования зависят только от
матрицы А(х), а также от вида условий на краю х=0, то есть от значения
матрицы Н(0).
Таким образом, независимое уравнение описывает только свойства
рассматриваемой системы и не включает в себя информацию о внешнем
воздействии на систему. Это означает, что результаты его
интегрирования не зависят ни от внешнего воздействия на систему, то
есть от вектора F(x), ни от величины воздействия на краю х=0, то есть от
значения вектора r(0).
От внешнего воздействия F(x) и величины воздействия r(0) на краю
х=0 зависят результаты интегрирования только второго уравнения.
Таким образом, второе уравнение отражает все имеющееся внешнее
воздействие на рассматриваемую систему, за исключением внешнего
воздействия на правом краю, которое учитывается при встречной
прогонке с этого правого края.
В случаях многовариантных расчетов, то есть таких расчетов, когда
для одной и той же рассматриваемой деформируемой системы
необходимо получить решения для многих вариантов внешнего
воздействия на эту деформируемую систему, простейшим способом
могло бы быть решение большого числа отдельных задач - для каждого
варианта внешнего воздействия. Однако этот простейший способ требует
слишком больших затрат на вычисления.
Для решения таких многовариантных задач следует организовать
вычисления следующим образом. Первое из уравнений А.А. Абрамова
интегрируется только однажды и используется для всех вариантов
внешнего воздействия. Для каждого варианта внешнего воздействия
второе уравнение интегрируется с использованием результатов
интегрирования первого уравнения. Первое из уравнений потребуется
заново проинтегрировать только в том случае, если измениться вид
краевых условий. Что значительно сокращает время решения
многовариантных по внешнему воздействию задач.
47
Глава 10. Метод решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений только с
четными производными
10.1. Разрешающие уравнения задач только с четными
производными
Многие прикладные задачи теории пластин, оболочек и
конструкций из них математически моделируются с помощью линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только
четные производные.
Приведем примеры некоторых из задач, разрешающие уравнения
которых содержат только четные производные.
Уравнение изгиба балки постоянной жесткости EJ x имеет вид
EJ x d 4 y( x) / dx 4 q( x) ,
где q(x) - поверхностная распределенная нагрузка, у(х) - искомый
прогиб балки.
Задача о перемещениях мембраны имеет разрешающее уравнение
( 2 / x 2 2 / y 2 )w( x, y) q / N ,
где q, N - внешнее поперечное давление и внутреннее нормальное
усилие, w(x,y) - искомая функция прогибов.
Плоское напряженное состояние пластины, нагруженной
контурными силами, лежащими в ее срединной плоскости, описывается
уравнением
( 4 / x 4 2 4 / x 2 y 2 4 / y 4 )( x, y) 0 ,
где ( x, y ) - функция напряжений Эри.
Изгиб изотропных пластин определяется уравнением
( 4 / x 4 2 4 / x 2 y 2 4 / y 4 )w( x, y) q / D ,
где q - нормальная к поверхности пластины распределенная
внешняя нагрузка, D - цилиндрическая жесткость пластины; w(x,y) искомая функция прогибов.
Состояние трехслойной изгибаемой панели, состоящей из тонких
несущих слоев и среднего слоя-заполнителя из сот или пенопласта,
описывается уравнением
2 2 [1 ( K (1 v) / 2) 2 ]F ( x, y) q / D,
2 (*) ( 2 / 2 2 / 2 )(*),
D 0.5BH 2 , B Eh /(1 v 2 ), K D / C , C G0 H
48
где D - изгибная жесткость трехслойной панели; E,v,h - модуль
Юнга, коэффициент Пуассона и толщина крайних слоев; В - жесткость
крайних слоев при растяжении и сжатии; Н - толщина заполнителя, С жесткость заполнителя при поперечном сдвиге; F(x,y) - искомая
разрешающая функция.
Задача поперечного изгиба ортотропной пластинки сводится к
уравнению только с четными производными.
В настоящее время для расчетов используются различные варианты
уравнений цилиндрических оболочек. Известно, что для круговых
цилиндрических оболочек разрешающие уравнения разных авторов Власова, Гольденвейзера, Новожилова, Флюгге, Бейларда, Даревского,
Тимошенко - Лява, Доннелла - Власова - Лурье содержат только четные
производные.
Уравнения в форме Власова содержат только четные производные
для изотропных и ортотропных круговых цилиндрических оболочек,
нагружаемых силовым воздействием:
1)
Полубезмоментная теория,
2)
Моментная техническая теория,
3)
Общая моментная теория,
4)
Общая моментная теория для ортотропной оболочки.
Только четные производные содержатся и в разрешающих
уравнениях, описывающих деформацию круговых цилиндрических
оболочек при воздействии на оболочку температурного поля,
постоянного по ее толщине, или поля, характеризующегося перепадом
температуры по толщине оболочки:
1)
Полубезмоментиая теория,
2)
Моментная техническая теория,
3)
Общая моментная теория.
Дифференциальные уравнения с частными производными
сводятся, например, методом Фурье, методом прямых или другими
методами разделения переменных к обыкновенным дифференциальным
уравнениям, содержащим только четные производные.
10.2. Основы метода
Пусть задача описывается следующей системой линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений в матричном виде
y // ( x) By( x) f ( x) ,
49
где y // ( x) d 2 y( x) / dx 2 .
Здесь B=const, то есть рассмотрим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Если в качестве начальных выбираются условия при произвольном
значении x x0 то общее решение задачи Коши (задачи с начальными, а
не краевыми условиями) при условии B=const имеет вид [Гантмахер]
y( x) COS ( B1 / 2 ( x x0 )) y( x0 ) B 1 / 2 SIN( B1 / 2 ( x x0 )) y / ( x0 )
B
1 / 2
x
SIN(B
1/ 2
( x t )) f (t )dt
x0
В сокращенных обозначениях:
y( x) C( x x0 ) y( x0 ) S ( x x0 ) y / ( x0 ) y0S ( x x0 ) .
Вычисления выполняются по формулам [Гантмахер]:
C( x x0 ) E (1/ 2!) B( x x0 ) 2 (1/ 4!) B 2 ( x x0 ) 4 ...
S ( x x0 ) E( x x0 ) (1/ 3!) B( x x0 ) 3 (1/ 5!) B 2 ( x x0 ) 5 ...
x
y0S ( x) B 1 / 2 SIN( B1 / 2 ( x t )) f (t )dt
x0
Из данной формы записи общего решения задачи Коши можно
видеть, что для определенных начальных условии конкретное решение
задачи зависит от значения двух векторов y( x0 ), y / ( x0 ) .
Может быть сформулирована краевая задача. Краевые условия
должны быть заданы на значения векторов y(0), y / (0) - на левом крае и
y(1), y / (1) - на правом крае.
Часто элементы искомой вектор-функции у(х) уравнения не
являются искомыми физическими параметрами краевой задачи. В
общем случае физические параметры задачи формируются линейными
комбинациями элементов вектор-функций y( x), y / ( x) . функции
Тогда краевые условия, задаваемые на отдельные физические
параметры задачи или на линейные зависимости физических параметров
на краях, могут быть представлены в виде:
L
y(0)
l,
y / (0)
R
y(0)
r.
y / (0)
Выражение
для
вектор-функции
дифференцированием выражения для y(x) .
50
y / (x) можно
получить
Пользуясь представлением матрицы C( x x0 ) и матрицы S ( x x0 ) в
виде
матричных
рядов
и
выполняя
дифференцирование нетрудно показать, что
непосредственное
их
dCOS( B1 / 2 ( x x0 )) / dx BB1 / 2 SIN( B1 / 2 ( x x0 )) ,
dB 1 / 2 SIN( B1 / 2 ( x x0 )) / dx COS ( B1 / 2 ( x x0 )) .
Интеграл
x
y0S ( x) B 1 / 2 SIN( B1 / 2 ( x t )) f (t )dt
x0
относится к интегралам, зависящим от параметра, причем с
переменными
пределами
интегрирования
и
может
быть
продифференцированным.
Собрав полученные производные, запишем здесь искомое
выражение для вектор-функции
y / ( x) BS( x x0 ) y( x0 ) C( x x0 ) y / ( x0 ) y0C ( x x0 ) ,
где
y0C ( x x0 ) B
1 / 2
x
COS (B
1/ 2
( x t )) f (t )dt
x0
Объединим формулы для y( x0 ), y / ( x0 ) в одну
C ( x x0 )
S ( x x 0 ) y ( x0 )
y ( x x0 )
y ( x)
0S
/
/
BS( x x0 ) C ( x x0 ) y ( x0 )
y0C ( x x0 ) .
y ( x)
Можем тогда записать
C (0 x0 )
S (0 x0 ) y( x0 )
y (0 x0 )
y(0)
0S
/
/
BS(0 x0 ) C (0 x0 ) y ( x0 )
y0C (0 x0 ) ,
y (0)
C (1 x0 )
S (1 x0 ) y( x0 )
y (1 x0 )
y(1)
0S
/
/
BS(1 x0 ) C (1 x0 ) y ( x0 )
y0C (1 x0 ) .
y (1)
Можем записать в совокупности с краевыми условиями по аналогии
с методом из главы 3:
L
C (0 x0 )
S (0 x0 ) y( x0 )
y0S (0 x0 )
y(0)
L
(
)l,
BS(0 x0 ) C (0 x0 ) y / ( x0 )
y0C (0 x0 )
y / (0)
R
C (1 x0 )
S (1 x0 ) y( x0 )
y0S (1 x0 )
y(1)
R
(
)r.
BS(1 x0 ) C (1 x0 ) y / ( x0 )
y0C (1 x0 )
y / (1)
Тогда получаем одну итоговую систему линейных алгебраических
уравнений:
51
L
R
C (0 x0 )
S (0 x0 )
BS(0 x0 ) C (0 x0 )
C (1 x0 )
S (1 x0 )
BS(1 x0 ) C (1 x0 )
y ( x0 )
y / ( x0 )
lL
y0S (0 x0 )
y0C (0 x0 )
rR
y0S (1 x0 )
y0C (1 x0 )
Таким образом, записана разрешающая система линейных
алгебраических уравнений в смысле и по аналогии с методом из Главы 3,
но для дифференциальных уравнений, которые содержат только четные
производные.
В случае жестких дифференциальных уравнений, содержащих
только четные производные, может применяться
1)
либо построчное ортонормирование переносимых краевых
условий по аналогии с Главой 6, либо
2)
может выстраиваться ленточная матрица сопрягаемых
участков интервала интегрирования по аналогии с Главой 7; с той
разницей, что использовать следует полученные здесь формулы для
случая только четных производных в разрешающих дифференциальных
уравнениях краевых задач.
52
Приложение 1. Постановка задачи, результаты расчетов и
программа на С++ расчета цилиндрической оболочки - для
метода из главы 6
В качестве проверочных задач использовалась схема консольно
закрепленных цилиндрической и сферической оболочек с параметрами
R/h=50, 100, 200. Длина цилиндрической оболочки рассматривалась
L/R=2, а угловые координаты сферической оболочки рассматривались от
/4 до 3/4. На свободном крае рассматривалось нормальное к
поверхности оболочек погонное усилие, равномерно распределенное в
интервале [-/4, /4]. В качестве среды программирования
использовалась система Microsoft Visual Studio 2010 (Visual C++).
Первоначально метод был предложен и обсчитывался в
кандидатской диссертации А.Ю.Виноградова в 1993-1995 годах. Тогда
оказалось, что без использования ортонормирования в рамках метода
успешно решаются задачи осесимметрично нагруженных оболочек
вращения. Расчеты тогда выполнялись на компьютере поколения 286.
Задачи же неосесимметричного нагружения оболочек вращения можно
было решать на компьютерах поколения 286 только с применением
процедур построчного ортонормирования - как это и предлагалось в
рамках метода. Без процедур ортонормирования в неосесимметричных
случаях выдавались только ошибочные графики, представлявшие собой
хаотично скачущие большие отрицательные и большие положительные
значения, например, изгибающего обезразмеренного момента М1.
Современные компьютеры имеют значительно более совершенное
внутреннее устройство и более точные внутренние операции с числами,
чем это было в 1993-1995 годах. Поэтому было интересно рассмотреть
возможность расчета неосесимметрично нагруженных оболочек,
например, цилиндров, на современном аппаратном и программном
обеспечении в рамках предложенного метода «переноса краевых
условий»
совсем
без
использования
процедур
построчного
ортонормирования.
Оказалось, что неосесимметрично нагруженные цилиндры при
некоторых параметрах на современных компьютерах уже можно решать
в рамках предложенного метода «переноса краевых условий» совсем без
применения операций построчного ортонормирования. Это, например,
при параметрах цилиндра L/R=2 и R/h=100.
При параметрах цилиндра L/R=2 и R/h=200 все же оказываются
необходимыми процедуры ортонормирования. Но на современных
53
персональных компьютерах уже не наблюдаются сплошные скачки
значений от больших отрицательных до больших положительных по
всему интервалу между краями цилиндра - как это было на компьютерах
поколения 286. В частном случае L/R=2 и R/h=200 наблюдаются лишь
незначительные
скачки
в
районе
максимума
изгибающего
обезразмеренного момента М1 на левом крае и небольшой скачек
обезразмеренного момента М1 на правом крае.
Приводятся графики изгибающего обезразмеренного момента М1:
‒
слева приводятся графики, полученные при использовании
операций построчного ортонормирования на каждом из 100 шагов, на
которые разделялся участок между краями цилиндра,
‒
справа приводятся графики, полученные совсем без
применения операций построчного ортонормирования.
Следует сказать, что в качестве расчетной среды использовалась 32х битная операционная система Windows XP и среда программирования
Microsoft Visual Studio 2010 (Visual C++) использовалась в тех же рамках
32-х битной организации операций с числами. Параметры компьютера
такие: ноутбук ASUS M51V (CPU Duo T5800).
Компьютеры будут и дальше развиваться такими же темпами как
сейчас и это означает, что в самое ближайшее время для подобных
расчетов типа расчета неосесимметрично нагруженных оболочек
вращения совсем не потребуется применять ортонормирование в рамках
предложенного метода «переноса краевых условий», что существенно
упрощает программирование метода и увеличивает скорость расчетов не
только по сравнению с другими известными методами, но и по сравнению
с собственными характеристиками метода «переноса краевых условий»
предыдущих лет.
54
ПРОГРАММА НА С++ (РАСЧЕТ ЦИЛИНДРА):
//from_A_Yu_Vinogradov.cpp: главный файл проекта.
//Решение краевой задачи - цилиндрической оболочки.
//Интервал интегрирования разбит на 100 участков: левый край - точка 0 и правый край - точка 100
#include "stdafx.h"
#include
#include
using namespace std;
//Скалярное произведение векторов - i-й строки матрицы А и j-й строки матрицы С.
double mult(double A[8][8], int i, double C[8][8], int j){
double result=0.0;
for(int k=0;k
Последние комментарии
2 часов 55 минут назад
2 часов 57 минут назад
9 часов 39 минут назад
9 часов 47 минут назад
16 часов 8 секунд назад
16 часов 3 минут назад