Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер [Хоакин Наварро] (fb2) читать онлайн

Хоакин Наварро «Мир математики» № 37 «Женщины-математики От Гипатии до Эмми Нётер»

Предисловие

События в этой книге изложены в хронологическом порядке — обычная практика для биографической литературы. В главе 1 мы расскажем о приключениях (вернее, злоключениях) Гипатии и Лукреции Пископии. Темой главы 2 станут выдающиеся личности эпохи Просвещения. Чтобы придать главе 3 некоторую цельность, на роль ее главных героинь мы выбрали двух женщин-астрономов, Каролину Гершель и Мэри Сомервилль. За этой главой логичным образом следует рассказ о викторианской эпохе. Главными его героинями станут Ада Лавлейс, Флоренс Найтингейл и, конечно же, Софья Ковалевская, большой талант и предшественница некоронованной королевы математики — именно так точнее всего можно охарактеризовать великую Эмми Нётер, которой посвящена вся пятая глава. Нам хотелось бы уделить Нётер намного больше внимания, но ее труды касались довольно сложных математических понятий и их можно сравнить разве что с гробом Магомета, который, по преданию, висит между небом и землей. Чтобы объяснить доступным для всех языком удивительные работы Эмми Нётер, потребовалась бы отдельная книга. К счастью, об этой женщине-математике написано множество монографий, к которым заинтересованный читатель может обратиться.

В главе 6 мы поговорим о первых компьютерах, с которыми связана личность Грейс Хоппер — американской женщины-математика, ставшей контр-адмиралом флота. Заканчивается книга историей Джулии Робинсон — талантливой женщины, остановившейся буквально в шаге от решения десятой проблемы Гильберта. На этом мы решили закончить рассказ: во-первых, потому, что объем этой книги ограничен, а во-вторых, как бы мы ни старались, широкому кругу читателей довольно сложно вникнуть в математику XXI века. Некоторые понятия, особенно те, с которыми работала Нётер, обладают одной особенностью: если излагать их точно, они останутся неясными для большинства, а если они очевидны для большинства, значит, переданы неточно. Донести их смысл до широкого круга читателей можно лишь в том случае, если автор намеренно пожертвует строгостью изложения. Женщины-математики, по сути, столь же непостижимы, как и мужчины, посвятившие себя этой науке.

На страницах книги фоном звучит еще один вопрос, который рассматривается лишь мимоходом: не потому ли женщинам сложнее стать выдающимися математиками, что их интеллект обладает какими-то особенностями? Верно ли, что абстрактные рассуждения даются женщинам труднее, чем мужчинам? По всей видимости, нет. Исследования большого числа школьников показали, что мальчики и девочки обладают одинаковыми способностями к математике. Следовательно, можно почти со стопроцентной уверенностью утверждать: женщины преуспели в математике меньше мужчин исключительно по социальным причинам.

Хотя и считается, что мужчины и женщины равны, но исторически сложилось так, что мужчины были «равнее» женщин, считавшихся существами второго сорта. Именно поэтому героини нашей книги достойны еще большего восхищения: они не только стали великими математиками, но и смогли преодолеть самые стойкие предрассудки.

Глава 1 Дальние горизонты

Есть и другое, еще более опасное искушение: склонность к любопытству.

Аврелий Августин, епископ, причисленный к лику святых

О математиках древности достоверно известно немногое, поскольку большинство их рукописей утеряны либо установить их авторство очень сложно. Отделить реальность от вымысла нелегко, в особенности потому, что люди склонны возвеличивать исторических личностей, так что сохранить объективность изложения будет непросто. Как бы то ни было, истории известны математики, чей вклад в науку и чья слава, подобно жене Цезаря, выше всяких подозрений.

Гипатия Александрийская (ок. 370 — ок. 415)

Посетители музеев Ватикана, жаждущие увидеть их сокровища, в изумлении замирают перед огромной фреской размером 5 x 7,7 м под названием «Афинская школа» работы Рафаэля Санти, больше известного как Рафаэль. «Афинская школа» — один из главных его шедевров, и от размеров и красоты этой работы захватывает дух. В числе героев фрески, посвященной величайшим представителям древнегреческой мысли, можно узнать Платона, Евклида, Архимеда, Аристотеля, Сократа… Среди этих титанов выделяется единственная женская фигура со светлыми волосами, стоящая вполоборота, словно извиняясь за свою дерзость находиться в одном ряду с лучшими, стоять рядом с гигантами. Эта женщина — Гипатия Александрийская. Она стоит посреди величественного, внушающего трепет собрания философов, математиков и астрономов и смотрит прямо на зрителя.

Истинному масштабу ее личности соответствуют лишь немногие из почестей, которыми была удостоена эта женщина. Астрономы особо отметили Гипатию: ее именем назван кратер на Луне, борозда в 180 километрах от него и астероид.

И все же вершиной признания остается картина Рафаэля — чтобы прикоснуться к ней, не нужна карта звездного неба, ведь каждый из нас может свободно попасть в этот огромный мир — мир искусства.

«Афинская школа» Рафаэля. Рядом приведено увеличенное изображение Гипатии Александрийской, какой ее изобразил этот художник Возрождения.

Проследив за жизненным путем Гипатии, мы сможем лучше понять, как ученые обретают бессмертие на страницах энциклопедий и на киноэкране — признаем, кино дарует славу и бессмертие намного лучше книг.

Гипатия родилась в очень знатной семье: ее отец, Теон (ок. 335 — ок. 405), был управителем Александрийского музея, этот храм муз назывался мусейоном и ему подчинялась великая библиотека Серапеума, обедневшая наследница Александрийской библиотеки — жемчужины эллинистического мира. Александрийская библиотека была разрушена несколькими веками ранее, в результате чего были утеряны ценнейшие рукописи, а прогресс человечества, несомненно, надолго замедлился.

В 391 году патриарх Феофил приказал сжечь и Серапеум. Теон также был видным математиком и работал вместе с дочерью над разработкой и совершенствованием астрономии (однако Теон не был основоположником этой науки). Именно рукой Гипатии записаны комментарии Теона к важнейшему труду Птолемея (ок. 100 — ок. 170), «Альмагесту». Этот авторитетный трактат изначально назывался «Мэгистэ» от греческого «мэгистос» — «Величайший». Отец считал, что в математике дочь значительно превзошла его.

Гипатия чувствовала себя среди мужчин как рыба в воде, что подтверждало ее исключительный характер. В точности неизвестно, как она выглядела, однако близкие друзья отмечали ее привлекательную внешность. Гипатия также была превосходным оратором и занималась преподаванием. После разрушения Серапеума она вела занятия только у себя дома. Ее слава привлекла в Александрию учеников из многих городов. Весьма вероятно, что в свое время она считалась первым математиком мира.

Если говорить о философских взглядах Гипатии, то она придерживалась собственного направления неоплатонизма, что, впрочем, для нас не столь важно. Гораздо важнее то, что Гипатия была язычницей в преимущественно христианском мире, и хотя она почти не проявляла своих верований, именно они в конечном итоге стали причиной ее ужасной смерти.

Трагическая гибель Гипатии

Если говорить коротко, события в те годы развивались следующим образом: по всей видимости, римский префект Орест, принявший христианство, чтобы избежать трений с местным населением, и недавно назначенный патриарх Кирилл повздорили. Гипатия и Орест раньше были единоверцами и остались хорошими друзьями (Гипатия когда-то была учителем префекта), поэтому христиане питали к ней неприязнь. Впрочем, это не мешало им уважать Гипатию как астронома и математика — на астрономов в те времена смотрели как на астрологов, посвящавших жизнь составлению гороскопов. В то время маятник истории качнулся в обратную сторону, и христиане, ранее преследуемые и составлявшие меньшинство, превратились в большинство и сами стали преследователями.

Кирилл решил изгнать евреев из Александрии, но Орест воспротивился этому: он не хотел по прихоти патриарха лишаться податей от четверти населения! В те времена религиозная нетерпимость и жестокая борьба за власть были обычным делом, так что Кирилл решил устранить соперника. Он спланировал покушение на Ореста, но тот выжил. Тогда Кирилл выбрал новую жертву. Выбор казался очевидным: знаменитая женщина, которая была явно ненормальной, поскольку осмеливалась философствовать, ведьма, которая занималась гороскопами и имела привычку рассуждать, язычница и, наконец, подруга Ореста, которая наверняка оказывала на него дурное влияние. И Кирилл решил направить гнев христиан на Гипатию.

* * *

АСТРОЛЯБИЯ

В древнегреческом языке слово «астро» означает «звезда», «лябия» переводится как «ищущая», таким образом, «астролябия» — «ищущая звезды». Этот прибор воспроизводит на первый взгляд очень сложное движение небесных тел. Принцип действия астролябии основан на стереографической проекции небесной сферы, с той разницей, что в качестве центра проекции выбран не полюс (такая проекция является конформной и сегодня используется повсеместно), а точка, в которой находится наблюдатель.

Разумеется, астролябия описывает положение и движение звезд только в том полушарии, в котором расположен наблюдатель. Траектории движения звезд, наблюдаемые в трех измерениях, проецируются на двумерную плоскость астролябии. Если нам требуется трехмерная модель, следует воспользоваться армиллярной сферой и похожими приборами, которые представляют собой настоящие копии небесной сферы.

Мы не будем подробно рассказывать об устройстве и принципе действия астролябии — на это ушло бы несколько часов, при этом для читателя, который не обладает достаточными знаниями астрономии, наш рассказ будет абсолютно бесполезным. Имя конструктора астролябии достоверно неизвестно, но считается, что теоретические основы для создания этого прибора заложил Птолемей. Астролябия постепенно усложнялась, пока, наконец, достаточно усовершенствованный ее вариант не попал в руки к Теону. Синезий, ученик Гипатии, в одном из писем указывает, что она помогла отцу изготовить астролябию и понять принцип ее действия.

К астролябии было приделано кольцо, за которое прибор подвешивался вертикально для проведения измерений. Если упростить, то астролябия представляет собой диск с проградуированным краем. С одной стороны диска находится линейка, или алидада, с помощью которой проводятся измерения углов над горизонтом. С другой, лицевой, стороны, закреплены два диска с особыми шкалами и отметками: это тимпан (размеченный для разных широт по-разному) и вращающийся «паук». На этой стороне астролябии также часто крепится линейка. По результатам измерений и ранее сделанным отметкам возможно (хотя и непросто) определять солнечное время, время восхода звезд над горизонтом, положение небесных тел, а также проводить другие расчеты (например, измерять расстояния).

* * *

Христиане, подстрекаемые Кириллом, стащили Гипатию с колесницы, избили ее, раздели и четвертовали под сводами храма, отделив плоть от костей. Затем останки Гипатии были сожжены.

Толпа нападает на колесницу Гипатии.

Гипатия считается автором следующих высказываний: «Сохраняй право мыслить; лучше рисковать ошибиться, чем совершить грех — не мыслить вовсе» или «Ужасно учить предрассудкам, словно истинам». Возможно, эти слова только приписывают Гипатии, однако, как указано в Британской энциклопедии, в свое время они немало разозлили святого Кирилла. Мы говорим «святого», поскольку в завершение этой кровавой истории о религиозной нетерпимости следует отметить: патриарх Кирилл в 444 году был причислен к лику святых, а также получил почетное звание учителя церкви. Впоследствии служители церкви и историки христианства заявили, что вина за произошедшее лежит на ведьме Гипатии, действия же Кирилла совершенно справедливы. В противовес Гипатии церковь даже выдумала святую Каталину Александрийскую, чтобы сбить с толку верующих. Эта святая якобы претерпела те же мучения, что и Гипатия, но уже не от христиан, разумеется, а от еретиков, чуждых христианству, — они вначале пытали Каталину, а затем четвертовали.

История святой Каталины так гротескна, что сама церковь позднее опровергла ее существование и, разумеется, ее предполагаемую святость.

Напоследок приведем еще один штрих к биографии Гипатии: сегодня считается, что на момент смерти ей было около 60 лет.

Гипатия стала иконой феминизма и толерантности, ее именем назван один из видов бабочек-медведиц, ей посвящены памфлеты, эпиграммы, романы, комиксы, шрифты, картины, конгрессы, театральные пьесы, фотографии Джулии Маргарет Кэмерон (в 1887 году), комментарии Марселя Пруста, статьи, биографические книги и, что самое важное, фильмы. Последний из фильмов о Гипатии, вышедший на экраны в 2009 году, — «Агора» Алехандро Аменабара. Хотя сценарий не лишен некоторых художественных вольностей, этот фильм был даже показан в Ватикане и не вызвал критики высших церковных сановников. В фильме Гипатия умирает по собственной воле сравнительно безболезненной смертью от рук раба, и лишь затем ее забрасывают камнями и четвертуют. Авторы фильма весьма вольно обращались с фактами, поэтому мы никогда не узнаем не только о том, как на самом деле умерла Гипатия, но и о том, действительно ли увлечение коническими сечениями и системой Аристарха навели ее на мысль, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, а в центре мира находится не Земля, а Солнце. По крайней мере, именно об этом идет речь в фильме Аменабара.

Модель Солнечной системы Аристарха Самосского (он. 310 до н. э. — ок. 230 до н. э.) была гелиоцентрической, иными словами, Аристарх предполагал, что Солнце находилось в центре небесной сферы, а Земля вращалась вокруг него. Описать траектории небесных тел в этой модели было непросто — для этого использовались достаточно странные конструкции, включая эпициклы. Гипатия была сторонницей системы Аристарха, и весьма вероятно, что ее критика в адрес Птолемея (в «Альмагесте» он описал геоцентрическую систему мира) спустя много веков повлияла и на Николая Коперника.

* * *

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Это название в древности объединяло три всем известные кривые: эллипс, гиперболу и параболу — все они образуются сечением конуса вращения плоскостью. Если плоскость сечения параллельна образующей конуса, сечением будет парабола, в противном случае — гипербола или эллипс. Предельный случай эллипса — окружность, которая представляет собой эллипс без эксцентриситета и образуется при сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

Хотя конические сечения первым описал Менехм (ок. 380 г. до н. э. — ок. 320 г. до н. э.), их автором считается Аполлоний Пергский, давший сечениям название и подробно рассмотревший их в своих восьми книгах, которые Гипатия снабдила частичными комментариями. Важность конических сечений заключается в том, что, как показал Кеплер и доказал Ньютон, они представляют собой траектории движения небесных тел.

* * *

Труды Гипатии, упоминаемые практически во всех источниках, представляют собой комментарии к более ранним текстам. Под комментариями здесь следует понимать неотделимые от исходного текста короткие заметки, подобные тем, что оставлял Ферма на полях прочитанных книг. В частности, Гипатия прокомментировала «Альмагест» Птолемея, «Конические сечения» Аполлония Пергского (ок. 262 г. до н. э. — ок. 190 г. до н. э.), «Арифметику» Диофанта Александрийского (между 200 и 214 — между 284 и 298) и «Астрономический канон», который предположительно представлял собой сборник таблиц движения небесных тел. Вместе с отцом Гипатия усовершенствовала астролябию и подготовила комментарии к «Альмагесту» Птолемея и «Началам» Евклида. Между прочим, арабский первоисточник, который был переведен на латынь в XII веке и на основе которого был подготовлен современный текст этого монументального труда, по удивительному стечению обстоятельств представляет собой текст Евклида с комментариями Теона и Гипатии.

Гипатия самостоятельно сконструировала ареометр — прибор для измерения плотности и веса жидкостей.

Заметим, что не известно ни одного труда, который бы однозначно принадлежал Гипатии. Ее комментарии либо утеряны, либо неотделимы от исходных текстов. Однако современники считали эту женщину величайшим математиком.

Диофантовы уравнения

Как мы уже говорили, Гипатия потратила много сил на составление комментариев к трактатам Диофанта. В своих 13 книгах (до нас дошли только шесть из них) Диофант рассматривает уравнения, весьма схожие с теми, которые сегодня по праву называются диофантовыми. Это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами и целыми решениями; если говорить сухим языком современной математики, это уравнения, определенные на кольцах [x₁, x₂… x_n].

Разумеется, об этих уравнениях можно долго рассказывать, но, как говорится, один хороший пример лучше тысячи объяснений, поэтому обратимся к известной и довольно занимательной истории, впервые рассказанной писателем Беном Эймсом Уильямсом, автором бестселлеров «Бог ей судья» (Leave Her to Heaven) и «Все братья были храбрецами» (All the Brothers Were Valiant). Эта история об обезьяне, моряках и кокосах звучит так.

Потерпев кораблекрушение, на пустынный тропический остров выбрались пять изголодавшихся моряков. На острове, казалось, не было никакой пищи, кроме кокосов, и моряки собирали их, пока не стемнело. Ночь была столь темной, что моряки решили устраиваться на ночлег и поделить кокосы на следующий день. Они шутливо пожелали спокойной ночи обезьяне — по всей видимости, единственному человекообразному жителю острова — и улеглись на песке. Вскоре моряки дружно захрапели.

Однако ночью один из моряков проснулся от голода. Он подошел к горе кокосов, разделил ее на пять частей (допустим, что в каждой части было а кокосов) и съел свою долю. Один кокос оказался лишним, и моряк отдал его обезьяне. После этого моряк отправился спать. Вскоре проснулся второй моряк и поступил точно так же, как и первый. Он разделил оставшиеся кокосы, не заметив, что их стало меньше, и съел свою долю (допустим, b кокосов). Один кокос вновь оказался лишним, и моряк отдал его обезьяне. Так поступили все моряки, и у каждого оставался лишним один кокос, который доставался обезьяне. Сколько кокосов было вначале?

Если мы обозначим это число через N, то задача сводится к системе диофантовых уравнений (а это уже совсем не очевидно), описывающих манипуляции с кокосами, которые, подобно матрешкам, делились на все более мелкие части:

N = 5a +1

N — а — 1 = 5Ь + 1

N — а — b — 2 = 5с + 1

N — a — b — c — 3 = 5d + 1

N — a — b — c — d — 4 = 5е +1.

Здесь а, Ь, с, d и е — число кокосов, съеденных каждым моряком. Последовательно выполнив замены переменных, получим уравнение

1024·N = 15 625·е + 11 529.

Оно имеет бесконечно много решений, которые можно найти несложными алгебраическими методами (мы не будем приводить подробное решение, чтобы читатель тоже мог продемонстрировать математические способности). Решение таково:

Чтобы найти решения, достаточно подставить вместо λ различные целые числа. Разумеется, наименьшее число кокосов, которые можно съесть, обязательно должно быть положительным. Приняв λ = 1, получим решение, которое будет наименьшим: N = 15621. Простые подсчеты показывают, что моряки съели 3124, 2499, 1999, 1599 и 1279 кокосов соответственно. Да уж, у них был отменный аппетит!

Елена Лукреция Корнаро Пископия (1646–1684)

В одной из опер Доницетти рассказывается о приключениях — точнее сказать, злоключениях — благородной венецианки Катерины Корнаро, которая правила Кипром и Арменией в 1500 году. Эта опера осталась бы практически незамеченной, если бы в 1972 году главную роль в ней не исполнила Монсеррат Кабалье, а ее партнером не был Хосе Каррерас. Фамилия Корнаро всегда славилась в Венеции — ее носили члены самых знатных семейств, которые становились кардиналами, папами и даже художниками.

Нас интересует Елена Лукреция Корнаро Пископия, которая, несмотря на свою яркую фамилию, не была царицей и выделялась разве что умом; ее вполне можно назвать царицей математики своего времени. Лукреция Пископия (под этим именем она упоминается в большинстве энциклопедий) стала первой женщиной в западном мире, получившей степень доктора. Если учесть, какой была жизнь в те годы и какую роль в обществе играли женщины, становится понятным, что это очень и очень высокое достижение.

Портрет Лукреции Пископии кисти безымянного художника, хранящийся в Амброзианской библиотеке Милана.

Лукреция родилась в Венеции, в палаццо Лоредан, в благородной семье: ее отец Джованни Батиста Корнаро-Пископия был прокуратором Святого Марка, мать, Дзанетта Бони, происходила из скромного семейства. Благодаря знатному происхождению и богатству Лукреция получила прекрасное всестороннее образование.

Возможно, она не достигла бы больших успехов, если бы не обладала поистине удивительными способностями. Лукреции с легкостью давались иностранные языки: она начала изучать их в возрасте семи лет и вскоре заслужила звание oraculum septilingue («семиязыкий оракул»). Помимо родного языка, она свободно изъяснялась на латыни, греческом, арабском, французском, иврите и испанском. Также девушка увлекалась музыкой: она сочиняла музыкальные композиции и играла на арфе, клавесине, клавикорде и скрипке, то есть почти на всех основных инструментах той эпохи. Кроме этого, ей принадлежат значительные достижения в философии, литературе, риторике и логике, богословии и, конечно, математике и даже астрономии. Однако главной страстью Лукреции стали философия и богословие.

Единственным, что не привлекало ее, была мирская суета: хотя к ней сватались завидные женихи, Лукреция отвергала их одного за другим, так как втайне мечтала постричься в монахини. В 1665 году она стала послушницей, но намного раньше, еще в 14 лет, дала обет безбрачия.

Отец страстно желал, чтобы его дочь получила крайне почетную в то время степень доктора, и Лукреция решила подготовить диссертацию на соискание степени в Падуанском университете. «Богословы, — непочтительно говорил Спиноза, — подобны свиньям: стоит накрутить одному хвост, как все принимаются хрюкать».

Прославленные итальянские богословы повели себя в точности так, как говорил Спиноза: они все как один воспротивились тому, чтобы присвоить Лукреции степень доктора богословия. Подобная честь была излишней для женщины, пусть даже такой умной, как Лукреция. Как гласит пословица, к серьезному следует относиться серьезно. К священному — тоже, добавляли богословы. Однако благодаря давлению со всех сторон богословскому сообществу пришлось пойти на уступки, пусть и не в полной мере. Лукреции было разрешено претендовать на получение докторской степени по философии — науки менее «опасной», чем богословие.

25 июня 1678 года в Падуе 32-летняя Лукреция предстала перед ученым советом. С этим экзаменом связывалось столько ожиданий, что на него прибыли слушатели из Болоньи, Перуджи, Рима и Неаполя, не говоря уже о многочисленных венецианских друзьях Лукреции. Летописцы указывают, что женщина представила на латыни диссертацию, посвященную непростым вопросам, связанным с трудами Аристотеля. Ученые экзаменаторы лишились дара речи: они очевидно уступали Лукреции в знаниях. В конце концов богословы признали ее способности и присудили Лукреции степень доктора со знаками отличия: кольцом, накидкой из горностаевого меха и лавровым венком, которым в древности награждали поэтов.

Позднее она была избрана членом многих европейских академий наук. Семь оставшихся лет жизни Лукреция посвятила преподаванию математики в Падуанском университете и благотворительности, в чем немало преуспела.

Лукреция умерла от туберкулеза, не дожив до 40 лет, и была похоронена в своем одеянии монахини-бенедиктинки в Падуе. В этом же городе в честь женщины-математика установлена статуя. Спустя четыре года после смерти Лукреции ее труды были изданы в Парме. Сегодня ученые могут ознакомиться с ними и убедиться, что она не написала ничего особенно значимого или революционного.

На этом витраже в Колледже Вассара (Нью-Йорк, США) изображен финал экзамена Лукреции Пископии. Она уже облачена в накидку из горностаевого меха и ждет, когда на нее возложат лавровый венок.

Потомки отнеслись к Лукреции по-разному: феминистки считали ее легендарной личностью, математики — заметной фигурой той эпохи, а люди попроще обращают внимание разве что на ее не совсем благозвучное имя. Компания Schaefer Yarn назвала в честь Лукреции Пископии один из цветов искусственной шерсти и шелка.

Другие цвета названы в честь Мэй Уэст, Жозефин Бейкер и Бедовой Джейн — согласитесь, неплохая компания для женщины-математика, которая хотела стать монахиней.

Глава 2 Эпоха Просвещения

Разум: познай себя, прими себя, превзойди себя.

Аврелий Августин, епископ, причисленный к лику святых

Так называемая эпоха Просвещения получила свое название не в честь городской иллюминации, хотя именно в то время города перестали наконец погружаться в кромешную тьму по ночам. Просвещение коснулось человеческого духа: на смену темноте и невежеству под влиянием науки и культуры пришла свобода. В то время принимать ее были готовы немногие, но как только число сторонников свободы превысило критическую отметку (это произошло в США и Франции), мир начал меняться все быстрее.

В первые годы этого блестящего века особенно громко звучали имена двух женщин, о которых мы сейчас расскажем.

Габриэль Эмили Ле Тоннелье де Бретеиль, маркиза дю Шатле (1706–1749)

Если благодаря Гипатии женщины-математики оставили свой след в истории, то благодаря Эмили дю Шатле математика попала в Голливуд. В жизни немногих ученых содержится столько ингредиентов для увлекательного киносценария: интерес общества, феминизм (хотя при жизни дю Шатле этого понятия еще не существовало), водоворот страстей, игромания, попытки самоубийства, знатное происхождение, незаконнорожденные дети, знакомство с Вольтером и перевод книги Ньютона — поистине взрывоопасная смесь. Подробная история Эмили, возможно, будет слишком длинной для этой книги, а ее приключения в мире математики — слишком сложными, чтобы стать частью увлекательной биографии. Об Эмили дю Шатле написано множество книг, а некоторые из них даже были выпущены в виде комиксов.

Эмили де Бретеиль (позднее она иногда подписывалась именем Бретеиль дю Шатле или маркиза дю Шатле) родилась в 1706 году, во времена «короля-солнца» Людовика XIV, в знатной семье, и почти ни в чем не нуждалась. Она принадлежала к так называемому noblesse de robe, дворянству мантии — ее предки получили дворянский чин за гражданскую службу. Народ в те годы, особенно к концу жизни маркизы, в отличие от нее, нуждался во многом. Больше всего ему недоставало свободы, но это уже совсем другая история.

Отец Эмили, Луи Николя, вопреки написанному в хрониках, вовсе не был простолюдином. В брак он вступил уже в зрелом возрасте, и король назначил его на должность представителя послов королевской особе. Позже отец Эмили добился больших успехов на ниве образования — вопреки обычаям той эпохи (и мнению жены), он дал дочери возможность учиться наравне с сыновьями. Эмили обучалась даже фехтованию, не говоря уже о верховой езде и гимнастике. Тогда было принято давать образование только мальчикам, а девочек по достижении семи лет отправляли в монастырь, где их обучали тому, чем должны были заниматься женщины: в те годы считалось, что жене и матери необязательно уметь читать и писать, гораздо важнее танцы, пение, шитье и знание катехизиса. Выйдя из монастыря и получив приданое, девушки должны были исполнить свое предназначение в этом мире — выйти замуж и рожать детей. И эта участь была еще не самой печальной — учитывая, какую тяжелую жизнь вели простые горожане и крестьяне в эпоху, не вполне уместно названную эпохой Просвещения.

Эмили не только была любознательна, но и отличалась быстрым умом. Она проявила способности к языкам (как и другие наши героини) и в 12 лет уже знала испанский, немецкий, итальянский и английский, не говоря уже о том, что свободно переводила с латыни и греческого. В своем мировоззрении Эмили склонялась к рационализму, прочла — вернее, проглотила — всю домашнюю библиотеку и спорила об астрономии с самим Фонтенелем, посещавшим многолюдный салон, который ее родители устраивали по четвергам. В числе других посетителей бывал юный писатель, поэт и полемист по имени Вольтер. Несмотря на любовь к наукам и даже зачатки математической гениальности, маркизе хватало времени на светскую жизнь, верховую езду, оперу и театр — об этих увлечениях она не забывала никогда.

В 16 лет Эмили официально представили при дворе, и она окунулась в мир роскоши — нарядов, туфель, румян и украшений. А когда Эмили исполнилось 19, родители выдали ее замуж за маркиза Флорена Клоде дю Шателле-Ламоне. Она с радостью играла роль богатой и знатной замужней дамы, не забывая, впрочем, о науке, которая была отрадой для молодой маркизы. Эмили родила мальчика и девочку и в 27 лет, исполнив свой долг перед миром и перед мужем, сообщила последнему, что далее намерена жить самостоятельно. Она желала остаться в браке и по-прежнему вести привычную жизнь на семейные средства, но просила избавить ее от супружеского долга. Проще говоря, это означало, что муж должен разрешить ей иметь любовников, путешествовать, посещать Версаль, когда ей захочется, ходить в оперу и театры, играть в карты (знания математики помогали ей выигрывать, а все выигрыши она тратила на книги), читать и учиться, писать, словом, делать что ей заблагорассудится. Маркиз не возражал. Следует понимать, что эта ситуация не была чем-то особенным — в те годы подобные договоренности нередко встречались среди прогрессивных представителей знати. К тому же сам маркиз не так уж и часто бывал дома — он командовал лотарингским полком и также не имел ничего против холостой жизни. Если говорить о детях, то госпожа маркиза считала их источником крайнего беспокойства, но и в этом она не отличалась от знатных дам своей эпохи.

Маркиза дю Шатле на портрете кисти французского художника Никола де Ларжильера.

Свобода принесла Эмили не только радости: она увлеклась неким легкомысленным графом и в порыве чувств даже пыталась покончить с собой, когда графу наскучила ее любовь и она сама. После этого горького опыта Эмили решила уделять больше времени наукам, а не мужчинам. В работе ей помогал заслуженный математик Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698–1759), который также был ее любовником. Это сотрудничество было прервано ради экспедиции Мопертюи к Северному полюсу, во время которой на основании необходимых измерений он показал, что дуга меридиана в приполярных областях короче, чем вблизи экватора (математик использовал результаты, полученные в Перу испанцами Хорхе Хуаном, Антонио де Ульоа и другими учеными). Это означало, что земной шар сплюснут у полюсов.

Результаты, полученные Мопертюи, имели важные последствия: оказалось, что, вопреки признанным в то время концепциям Кассини, Реомюра и их сторонников, прав оказался англичанин Ньютон. Пока математик был в отъезде, Эмили нашла ему замену — во всех смыслах: и за рабочим столом, и в постели — в лице Алекси Клода Клеро (1713–1765), который, как и Мопертюи, позднее стал родоначальником прославленной французской математической школы.

Во многих источниках приводится исторический анекдот о Мопертюи, который заслуживает того, чтобы быть рассказанным. На заседания Академии наук допускались только мужчины, и если Эмили хотела узнать, что на них происходило, то должна была довольствоваться рассказами Мопертюи. Она даже не могла встретиться с ним возле Академии, например, в ближайшем кафе — абсурдные законы того времени запрещали женщинам посещать кафе. Однако маркиза привыкла поступать по-своему, поэтому встретилась с Мопертюи в кафе «Градо»… нарядившись в мужское платье. Ошарашенные служители, конечно же, заметили, что Эмили была женщиной, но разрешили ей войти, и маркиза беспрепятственно присоединилась к собранию мудрецов. Позже она повторила эту проделку еще раз.

Вольтер и Эмили

«Вольтер и Эмили» звучит как «Поль и Виржини», «Абеляр и Элоиза», «Ромео и Джульетта», и эта аналогия не лишена оснований. В 1734 году Вольтер в очередной раз был осужден за свои слова, которые показались нелицеприятными суду и отечеству, и возмущенная Эмили обратилась за помощью к мужу. Супруги укрыли Вольтера в заброшенном фамильном поместье в Сире, в глуши Лотарингии. Вскоре к мыслителю присоединилась Эмили. Они полюбили друг друга и вместе начали одиссею разума, которая, несмотря на превратности судьбы, окончилась лишь со смертью Эмили.

Сире стал одним из интеллектуальных центров Европы, куда приезжали многие друзья Вольтера и маркизы. С ней переписывался сам просвещенный монарх Фридрих Великий, а также Бернулли и Джонатан Свифт. Библиотека Сире насчитывала 21 тысячу томов — огромная цифра по тем временам — и могла бы составить гордость любого университета. Вольтер не оставил литературу, но стал посвящать больше времени и сил наукам, стремясь понять, как устроен мир. Его и маркизу интересовало буквально все: метафизика, моральная философия, физика, естественные науки, история и деизм.

В Сире сложился своеобразный любовный треугольник: в поместье время от времени появлялся и законный муж Эмили, маркиз Флорен дю Шателле. Однажды Вольтер попросил у маркиза взаймы 40 тысяч франков, чтобы привести поместье в порядок. Маркиз пошел навстречу великому французу: так он получал и поместье, и богатого должника. Одним из первых подарков Вольтера Эмили стала роскошная ванна. В 1741–1755 годах в Европе был опубликован справочник Decade de Augsburg, отчасти напоминавший современные издания «Кто есть кто». В этом справочнике среди знатных, важных и эрудированных людей была упомянута и маркиза дю Шатле.

Время от времени Эмили бывала при дворе, где играла привычную роль светской львицы. Ироничный Вольтер замечал: вряд ли дамы, игравшие в карты с королевой, представляли, что рядом с ними сидит женщина, которая дома комментирует труды Ньютона. И как правило, эта женщина оставалась в выигрыше, поскольку думала намного быстрее и лучше, чем ее партнеры по карточному столику.

Эмили писала и занималась наукой. Все обсуждения они с Вольтером вели на английском языке, чтобы слуги не знали, о чем идет речь. Далее мы подробно расскажем о ее размышлениях, которые часто прерывались театральными и оперными постановками. На эти представления в Сире всегда приезжала и дочь маркизы, которая в это время училась в монастыре.

В 1744 году в отношениях Вольтера и Эмили наступил неизбежный кризис, вызванный особенно болезненной изменой мыслителя. Эмили и Вольтер перестали жить как муж и жена, под одной крышей, но остались друзьями и коллегами. Маркиза всецело посвятила себя титаническому труду по переводу «Математических начал натуральной философии» Ньютона на французский (некоторые недоброжелатели даже называли ее «миледи Ньютон»). Она также посвятила себя устройству жизни дочери, то есть занялась поисками богатого и знатного зятя. В одном из путешествий маркиза дю Шатле познакомилась с маркизом Сен-Ламбером и влюбилась в него. В 1748 году она поняла, что беременна. Маркизе в это время было уже за 40, она была все так же хороша собой. Эмили спешила закончить перевод книги Ньютона и подготовиться к родам. Казалось, все шло хорошо. Вольтер, отец девочки и Флорен дю Шателле присутствовали при родах и окружили Эмили вниманием.

Однако она не спаслась от родильной горячки, которая была в те годы настоящим проклятием: жертвой болезни стала сначала сама маркиза, а затем и ее новорожденная дочь.

Вольтер за работой над книгой «Основы философии Ньютона в доступном для всех изложении» (1738), в действительности принадлежавшей перу Вольтера и маркизы. Книгу с небес освещает сверхъестественный свет (кто знает, возможно, светилом был сам Ньютон), отражающийся в зеркале, которое держит в руках нимфа — Эмили дю Шатле. Вольтер называл ее «мадам Помпон Ньютон дю Шатле» за ее любовь к Ньютону и пышным нарядам.

* * *

ЖИЗНЕННАЯ СИЛА

Сам Ньютон придавал большое значение закону сохранения импульса, определяемого как произведение массы на скорость, m·v, и понимал импульс как энергию, доступную телу в движении. Ученый покончил с неудобными декартовыми понятиями, в частности с «внутренней силой». Тем не менее Эмили последовала вслед за Лейбницем и его vis viva (эту идею Лейбниц позаимствовал у Гюйгенса), идеей «жизненной силы», которая обозначается m·v² и имеет тот же показатель степени, равный 2, что и применяемая в современной физике величина под названием кинетическая энергия.

Эксперименты голландского ученого Вильгельма Якоба Гравезанда (1688–1742) помогли Эмили убедиться в существовании этой силы. Гравезанд бросал металлические шары на затвердевший гипс и заметил, что шар, запущенный со скоростью 2v, оставляет вмятину не в два, а в четыре раза глубже, чем шар, запущенный со скоростью v. Шар, брошенный со скоростью 3v, оставлял вмятину в З²  = 9 раз большую. Следовательно, энергия должна быть пропорциональна не v, a v².

Маркиза была права — именно в этом «квадрате» и заключена энергия движущегося тела. Как видите, Эмили отличалась удивительной проницательностью и независимостью суждений: она предпочла идеи Лейбница концепциям обожаемого ею Ньютона.

* * *

Впечатляющий труд

В 1737 году французская Академия наук объявила о начале открытого конкурса работ о природе огня, и Вольтер и Эмили решили принять в нем участие. Они начали эксперименты с огнем: занялись измерением температур, подогревом различных веществ, взвешиванием продуктов горения и постепенно зашли в тупик, по-разному трактуя результаты своих опытов. Эмили решила провести собственные эксперименты и представить на конкурс независимую работу. Главный приз достался одному из светил той эпохи, Эйлеру, однако работы Эмили и Вольтера также были отмечены премиями. Статья Эмили называлась «Сочинение о природе и распространении огня». В ней излагались концепции Лейбница и выводы самой Эмили: к примеру, она отмечала, что светящимся лучам разного цвета соответствуют разные температуры, что совершенно верно. Один из выводов статьи заключался в том, что истинная природа огня неизвестна. Объяснить феномен горения химики смогли лишь спустя несколько десятилетий.

Мы могли бы подробно рассмотреть «Рассуждение о счастье» — несомненно, достойную работу дю Шатле (в ней содержится знаменитая сентенция «Кто говорит «мудрый», тот говорит «счастливый», по крайней мере, согласно моему словарю»), но так как эта работа имеет весьма слабое отношение к математике, оставим ее без комментариев. Мы также не будем рассматривать полемику Эмили с бедным Жан-Жаком Дорту де Мераном, пожизненным секретарем Французской академии наук, которого маркиза выставила на посмешище. Мы не будем говорить и о ее работах по богословию («О существовании Бога»), так как они всего лишь вновь докажут: ничто, даже религия, не ускользало от пытливого ума исследовательницы.

В 1740 году свет увидели 450-страничные «Основы физики» — интересно, что это была научно-популярная книга, которая предназначалась для сына дю Шатле — и для других юношей.

Страница из книги «Основы физики».

«Основы физики» представляют собой блестящий и оригинальный синтез работ Декарта, Лейбница и Ньютона, которые придерживались отчасти противоположных взглядов. Как мы уже говорили, Эмили не разделяла теорию вихрей Декарта, теорию монад Лейбница и излишний детерминизм Ньютона, согласно которому Бог время от времени действует подобно часовщику, — она взяла только лучшее из трудов каждого. Книга была написана столь удачно, что маркиза дю Шатле была избрана членом Академии наук Болоньи. Обширное цитирование Ньютона в этой книге стало причиной полемики дю Шатле с Мераном, которому пришелся не по душе непатриотичный поступок маркизы, и он не придумал ничего лучше, чем обвинить Эмили в том, что она, цитируя Ньютона, не особенно понимала, о чем идет речь. Бедный Меран осмелился заявить маркизе, что она не читала Ньютона!

Не будем упоминать другие ее работы, не вполне относящиеся к математике, и отметим, что маркиза дю Шатле заслужила всеобщее признание, особенно во Франции, за полный комментированный перевод главного труда Ньютона (и, возможно, главного труда в науке вообще) — трехтомника «Математические начала натуральной философии». Этот труд был опубликован на латыни в 1687 году, позднее вышло еще три дополненных издания, последнее из которых и перевела маркиза.

За исключением Библии и некоторых других книг (которые, как считается, не созданы человеком, а имеют божественную природу), «Математические начала натуральной философии», по мнению многих, представляют собой важнейший труд из всех дошедших до нас. Другие книги могли похвастаться безудержным полетом воображения автора или красотами стиля, однако именно «Начала» Ньютона открыли двери современной науки и техники. Посвященные относятся к этому труду с огромным почтением, хотя почти никто из них не может похвастаться тем, что прочиталработу Ньютона, тем более в оригинале.

Не знаем, сможет ли читатель оценить, насколько колоссальным был труд Эмили. Это был настоящий подвиг, требовавший, прежде всего, обширнейших знаний математики, так как труд Ньютона полон иллюстраций и формул, которые весьма непросто понять. Перевод «Начал» на французский язык, выполненный маркизой, остался единственным: во-первых, его было очень сложно улучшить, во-вторых, этот труд стал бы настоящим кошмаром для любого, кто осмелился бы взяться за него. Возможно, в один прекрасный день появится новый перевод в электронном виде, но крайне маловероятно, что кто-то переведет «Начала» от руки, на бумаге. Дю Шатле не просто изложила труд Ньютона на французском, но и снабдила его комментариями и пояснениями (когда маркиза сталкивалась с чем-то непонятным для нее, то обращалась за помощью к Бюффону), а также дополнила работу особым разделом, в котором рассмотрела методы нового исчисления на примере наиболее сложных утверждений, выдвинутых самим Ньютоном. Этому переводу она всецело посвятила последние месяцы жизни: в те времена роды в 43 года были весьма рискованными, и Эмили, должно быть, предчувствовала беду. Она закончила работу за несколько дней до родов, но на подготовку к публикации перевода с предисловием Вольтера потребовалось почти десять лет. Когда Эмили поняла, что ей, возможно, не суждено выздороветь, она велела принести ей рукопись перевода и записала на ней дату: 10 сентября 1749 года. Это был последний шаг маркизы в науке.

После смерти Эмили Вольтер написал такие строки: «Я потерял не возлюбленную, но половину себя, душу, для которой, казалось, была предназначена моя душа».

Фридрих Великий, в свою очередь, высказался более официально: «Я потерял друга (sic), которого знал 25 лет, великого человека, единственный недостаток которого заключался в том, что она была женщиной, человека, которого чтит весь Париж».

Писатель Дэвид Бодание отмечает: Кант не мог поверить, что женщина может быть столь умна, как маркиза дю Шатле; он считал это столь же нелепым, как и то, что женщина может носить бороду. Тем не менее маркиза действительно была так умна, как о ней говорили. История оказалась щедрой к Эмили: о ней было написано множество книг, а ее трудам было посвящено множество выставок. В ее честь был назван кратер на Венере — великая почесть, но настолько привычная для видных деятелей науки, что кажется едва ли не обязательной. Если говорить о более земных почестях, известный современный композитор Кайя Саариахо посвятила маркизе дю Шатле оперу «Эмили». Премьера состоялась в 2010 году в Лионской опере, главную роль исполнила Карита Маттила. Такая дань уважения наверняка пришлась бы Эмили по душе.

* * *

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ»

«Начала» посвящены математике и физике. В этой книге приводятся предшествующие результаты, ранее неупорядоченные и разрозненные, а теперь упорядоченные и доказанные, а также новые теории, которые не сразу получили признание (например, закон всемирного тяготения), и революционные методы математического анализа. Объяснить содержание всех трех книг — весьма непростая и не самая увлекательная задача. Ограничимся тем, что укажем: первая книга «Начал» посвящена преимущественно механике (в ней Ньютон последовал путем Кеплера и Галилея и вкратце описал методы анализа бесконечно малых); вторая книга посвящена, прежде всего, опровержению декартовой теории вихрей и связанных с ней концепций, а также движению тел в сопротивляющейся среде; третья носит название «О системе мира» и представляет собой глубокий и подробный трактат об астрономии. Со временем было выпущено три издания «Начал», в каждое из которых Ньютон вносил существенные дополнения. Дифференциальное и интегральное исчисления излагались на примере физических явлений, однако в объяснениях использовались скорее геометрические методы и не самая удачная нотация (система обозначений Лейбница была явно лучше).

«Начала» появились на свет благодаря Эдмунду Галлею (1656–1742), который как-то раз в беседе с неразговорчивым Ньютоном упомянул закон обратных квадратов. Поняв, что Ньютон отличается обширными знаниями и владеет множеством методов, неизвестных научному сообществу, Галлей убедил его изложить все свои знания в виде книги. Ньютон принялся за дело, и вскоре работа поглотила его целиком: на какое-то время он даже оставил свои алхимические эксперименты, которые очень ценил. В 1686 году знаменитый Сэмюзл Пипс, глава Лондонского королевского общества, одобрил публикацию книги. Издание целиком было оплачено за счет средств Галлея, так как все средства общества в то время были потрачены на публикацию труда «История рыб».

Экземпляр первого издания «Математических начал натуральной философии» Ньютона.

* * *

Мария Гаэтана Аньези (1718–1799)

В отличие от других женщин-математиков, Мария Аньези не отличалась бурной биографией. Она родилась и умерла в Милане, была скромной и тихой, как голубка, возможно, стала монахиней, жила в бедности и вела благочестивую жизнь — хотя, как вы узнаете, из-под ее пера все же вышло нечто неслыханное, — и умерла, как птица, или, как поется в одном танго, одинокая, увядшая и, возможно, уставшая от жизни.

Спокойная жизнь

Добродетели Марии Аньези были воспеты лишь после ее смерти. Если вы развернете атлас Венеры, то увидите кратер, названный ее именем, — это общепринятая дань уважения великим ученым, которые, по мнению потомков, достигли вершин славы.

Отец Марии, Пьетро Аньези, был не университетским преподавателем, как считалось ранее, а разбогатевшим торговцем шелками. Он оставил после себя 21 ребенка, что сегодня кажется совершенно неслыханным. До зрелого возраста дожили лишь немногие из его детей, что в те времена было обычным делом. Мария была старшей дочерью, и забота о братьях и сестрах легла на ее плечи.

Миланская виа Аньези совершенно случайно проходит близ виа Бах, и семьи Аньези и Бахов действительно были похожи: их объединяло обильное потомство и любовь к музыке. Одна из сестер Марии Гаэтаны по имени Мария Тереза Аньези обожала музыку и стала известным композитором. Ей принадлежат семь опер и множество инструментальных пьес для клавесина — вы можете ознакомиться с ними в записи. А если читатель захочет узнать, как выглядела Мария Тереза, он может отправиться в музей миланской оперы Ла Скала, где висит ее портрет.

Мария Гаэтана Аньези.

Жизнь Марии была посвящена братьям и сестрам, музыке и многочисленным приемам в доме отца, на которых тот хвастался талантами старшей дочери-полиглота: в девять лет она уже говорила на латыни, иврите и греческом, а также на четырех современных языках — так, французским Мария в совершенстве овладела уже в пятилетием возрасте. Она была вундеркиндом во всех смыслах и могла поддержать беседу на любую научную или философскую тему. В девять лет Мария уже делала переводы на латынь и выступила с речью, доказывающей ценность качественного образования для женщин (текст речи, предположительно, написали ее учителя). Неудивительно, что отец гордился такой дочерью и выставлял ее на всеобщее обозрение, словно фамильную драгоценность. Следует отметить, что в Италии XVIII века подобное вовсе не порицалось: на родине Возрождения женщины не считались людьми второго сорта, уделом которых было хранить домашний очаг и рожать детей, — общество с радостью встречало талантливых женщин. В других, менее просвещенных странах, в те годы грехом для женщины считалось даже умение читать и писать, ибо возможность рождает опасность, и женщин, знавших грамоту, подстерегали искушения и соблазны. Так что эта привилегия дозволялась только женщинам, жившим в монастырях или постриженным в монахини.

Мария, однако, характер имела необщительный и довольно замкнутый, поэтому быть в центре внимания не доставляло ей удовольствия. Итогом встреч в салонах стала публикация книги «Философские суждения» в 1738 году, где Мария изложила свои идеи обо всем земном и божественном, представив их в виде 171 тезиса. Уже в те годы она проявляла свою набожность, поэтому книга также имела религиозный уклон. В «Философских суждениях» девушка, среди прочего, рассмотрела теорию приливов, выразила поддержку идей Ньютона, описала природу света и свойства определенных геометрических кривых.

21 ребенок отца Марии родился не от одной женщины — чтобы произвести на свет столь многочисленное потомство, Пьетро Аньези потребовалась помощь трех жен. Когда умерла его первая жена, у Марии, которой в то время было 20 лет, состоялся серьезный разговор с отцом. Девушка пообещала и впредь заботиться о многочисленном семействе, но в обмен на это потребовала не выставлять ее на приемах на всеобщее обозрение. Она также отказалась уходить в монастырь, но, к счастью для науки, не оставила математику. Среди ее многочисленных друзей-математиков был Якопо Франческо Риккати (1676–1754), блестящий специалист по дифференциальным уравнениям, который даже высылал Марии отредактированные рукописи, чтобы она включила их в будущую книгу «Основы анализа для итальянской молодежи».

Скоро мы расскажем о том, какой вклад Мария Аньези сделала в математику, а пока что завершим повествование о ее жизненном пути. Единственным, но объемным математическим трактатом, принадлежащим ее перу, были «Основы анализа для итальянской молодежи». Казалось, все шло своим чередом: книга была закончена и опубликована. Мария получила широкую известность как математик, о ней услышал даже папа римский Бенедикт XIV. Узнав об удивительных способностях девушки и преисполнившись гордости за достижения итальянки, в 1750 году он присвоил ей звание профессора университета Болоньи — и имел на то полное право, так как Болонья в те годы относилась к папской области. Бенедикт получил книгу Марии Гаэтаны и остался впечатлен ею, хотя, скорее всего, ничего не понял из прочитанного. Можно только сожалеть, что Мария не занялась преподаванием — она была избрана членом Академии наук Болоньи, но стремилась к покою и духовной жизни, и ее желание со временем исполнилось.

Императрица Мария Терезия Австрийская, которой была посвящена книга, пожаловала Марии кольцо с бриллиантами и хрустальную шкатулку, крышка которой была украшена драгоценными камнями.

Обложка «Основ анализа для итальянской молодежи».

Посвящение «Основ анализа для итальянской молодежи» Марии Терезии Австрийской.

Отец семейства Аньези скончался в 1752 году, и Мария, получив полную свободу, посвятила себя богословию. Она возглавила миланский «Пио Альберго Тривульцио» — учреждение призрения для нищих и обездоленных. Само учреждение и все его служащие также были ужасно бедны. Весьма вероятно, что Мария постриглась в монахини и отказалась от искушений материального мира, чтобы посвятить себя исключительно миру духовному и служению беднякам. Ей не хотелось быть знаменитым математиком, поэтому Мария оставила и науку. Как-то раз, уже в «Пио Альберго», ее попросили прокомментировать книгу о вариационном исчислении юного и талантливого туринского ученого Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813). Мария отказалась, объяснив это тем, что больше не уделяет внимания подобным вещам.

В 1799 году Мария Аньези умерла, по всей видимости, в нищете, как того и хотела, — считается, что она продала все имущество и передала вырученные деньги приюту. Шел десятый год со дня взятия Бастилии.

Доступная книга

Первой математической работой Аньези было составление аннотаций и комментариев к труду маркиза Лопиталя о конических сечениях. Эта юношеская работа никогда не была опубликована. Печатное математическое наследие Марии сводится к единственной книге — «Основам анализа для итальянской молодежи», — в которой рассматриваются, главным образом, дифференциальное и интегральное исчисление. Мария написала эту книгу на тосканском диалекте итальянского языка (на этом же диалекте писал Данте), когда ей было около 20 лет, но труд был опубликован лишь в 1748 году. Возможно, Мария изначально представляла себе эту книгу как учебник для младших братьев и сестер, но затем умерила свой пыл. Хотя больше она не написала ни одного труда, «Основ анализа» по многим причинам оказалось достаточно. Во-первых, это настоящий учебник по математике, самый ранний из всех дошедших до наших дней. Во-вторых, книга отличалась ясностью изложения: она написана настолько понятно, а разрозненные результаты представлены столь логично, что чтение этого двухтомного труда доставляет истинное удовольствие. Создается впечатление, что автор хотела сделать «Основы анализа для итальянской молодежи» в самом деле доступными для самого широкого круга читателей. Использованные обозначения столь тщательно отобраны и современны, что, по мнению многих, труд Марии будет понятен даже современному читателю. Аньези в работе над книгой применила обозначения, введенные таким видным математиком, как Леонард Эйлер.

Третья причина, по которой труд Аньези стоит особняком, носит более глубокий характер. Европа в те годы была разделена на два лагеря: островной, то есть радикальных сторонников теорий и обозначений британского ученого Исаака Ньютона, и континентальный — лагерь сторонников Лейбница. Каждый принадлежал к тому или иному лагерю, подобно тирийцам и троянцам, магометанам и христианам или современным футбольным фанатам. Марии удалось решить очень сложную на тот момент задачу: объединить в своей книге обе точки зрения (по сути, эквивалентные), взяв лучшее из каждой. С другой стороны, Мария сделала упор на том, что две основные операции в математическом анализе — дифференцирование и интегрирование — являются взаимно обратными, и это очень современный подход.

Книга Аньези считалась наиболее понятной и полной со времен публикации труда маркиза Лопиталя, изданного более чем 50 годами ранее. Важно и то, что труд Марии иллюстрирован гравюрами, которые делают изложение куда более доходчивым. В те времена, когда искусство книгопечатания еще только развивалось, использование гравюр в учебнике было настоящей роскошью. Публикацию оплатила семья Аньези. Мария перевезла печатные машины к себе домой, чтобы полностью контролировать процесс. Книга имела широкие поля, была отпечатана большим и легко читаемым шрифтом.

«Основы анализа для итальянской молодежи» сразу после публикации не приобрели особую известность — математический анализ в те годы не был популярен, а кроме того, научным работам, в которых не излагались новые открытия, в те годы не придавалось большого значения. Следует понимать, что Мария не ставила целью написать целый трактат, а хотела создать учебник по анализу, тщательно отобрав множество примеров. Но со временем ее книга стала известной и была переведена на английский и французский языки. Французский перевод был выпущен достаточно поздно, так как редакторы дополнили оригинал рядом тригонометрических понятий, которых, по их мнению, не хватало в тексте, и оказались правы.

История английского перевода заслуживает особого рассказа. Его автором стал кембриджский преподаватель Джон Колсон, искренний ценитель труда Марии, к сожалению, плохо знавший итальянский язык. В конце первого тома была изображена и подробно рассмотрена особая кривая, которую первым описал геометр Гвидо Гранди (1671–1742). Гранди назвал свою кривую curva versoria, применив морской термин, обозначавший веревку, которая позволяла поворачивать парус.

Слово versoria происходит от латинского vertere, и Гранди провел аналогию между этим латинским словом и выражением sinus versus (синус-верзус, или обращенный синус). Все это стало причиной ошибки в переводе. Сегодня считается, что Колсон при переводе перепутал словосочетание la versiera di Agnesi со словами la awersiera di Agnesi. Эта ошибка также была бы не слишком заметной, если бы слово awersiera не означало «ведьма» или «колдунья». В результате во всех англоязычных книгах по математике эта кривая называется «ведьма Аньези» (The witch of Agnesi). Это дьявольское название произвело фурор, и Мария Аньези (которая, как мы уже говорили, постриглась в монахини) стала известна в мире математики не только как автор «Основ анализа», но и по этому яркому и не вполне богоугодному названию кривой. Ошибка распространялась все шире, и ход событий было уже не остановить. Одна женщина-композитор даже написала музыкальную пьесу для семи инструментов под названием The witch of Agnesi.

Несмотря на эти досадные неточности, труд Колсона, который умер много лет спустя, так и не дожив до публикации этого перевода, был крайне важен. Он взялся за работу, движимый искренним восхищением красотой книги Аньези, и даже потрудился (и совершенно напрасно) заменить обозначения Лейбница сумбурной нотацией Ньютона. Впрочем, чего еще можно было ожидать от островного математика?

История оказалась жестокой и несправедливой. Труд Аньези занимает более 20 томов в Амброзианской библиотеке Милана, но если сегодня мы спросим какого-нибудь ученого, знакома ли ему фамилия Аньези, он если и ответит положительно, то наверняка упомянет «ведьму Аньези», а не женщину-математика и ее удивительный вклад в науку.

Верзьера Аньези

Верзьеру Аньези рассматривали еще Пьер Ферма (1601–1665) в 1630 году и Гвидо Гранди — в 1703-м. Эта кривая определяется как геометрическое место точек, обладающих общим свойством, которое формулируется не самым простым образом.

Рассмотрим декартову систему координат и построим в ней окружность диаметра а с центром в точке С, расположенной на вертикальной оси. Обозначим через О и Т соответственно нижнюю и верхнюю точки окружности, лежащие на оси у.

Верньера Аньези определяется следующим образом: выберем точку окружности А и проведем прямую ОА, которая пересечет в точке В прямую, образованную точками с ординатой а (эта прямая параллельна горизонтальной оси координат и проходит через точку Т).

Соответствующей точкой верзьеры Аньези будет точка Р, отмеченная на иллюстрации: ее ордината равна ординате точки А, абсцисса — абсциссе точки В. Объяснить построение верзьеры Аньези сложнее, чем понять его основной принцип. Полученная кривая по своей форме в самом деле напоминает веревку, с помощью которой поворачивается парус.

Уравнение этой кривой в декартовых координатах выводится совершенно иначе, но также без особых сложностей: проведя некоторые расчеты, любой способный старшеклассник покажет, что искомое уравнение выглядит следующим образом:

Верзьера Аньези — кубическая кривая. Если диаметр исходной окружности равен единице, то уравнение верзьеры Аньези будет особенно простым:

Определить параметрическое представление этой кривой сложнее, и с этой задачей справится уже не каждый. Но тот же самый способный старшеклассник, приложив определенные усилия, получит выражения

Это параметрическое представление кривой с параметром t. В завершение нашего рассмотрения верзьеры Аньези укажем, что симметричные точки с абсциссами

являются точками перегиба, в которых кривая «дьявольски» меняет направление и «смотрит» уже не вниз, а вверх. Вычислив площадь S фигуры, ограниченной этой кривой и горизонтальной осью, с помощью интегрального исчисления, получим

Эта площадь в четыре раза больше площади окружности, на основе которой определяется кривая. Отсюда следует вывод, который может показаться парадоксальным: кривая бесконечной длины ограничивает фигуру конечной площади. Если мы будем вращать кривую вокруг оси абсцисс, то объем полученного тела вращения будет равен

Центр тяжести кривой расположен на оси у (это ось симметрии кривой) в точке (О, а/4).

Верзьера Аньези известна прежде всего благодаря своему названию, но сегодня она редко используется в высшей математике (вместе с коноидом Плюкера и зонтиком Картана). Возможно, наиболее примечательной областью ее применения является анализ излучения света и статистических феноменов, связанных с так называемым распределением Коши — распределением вероятностей, функция плотности для которого в простейшем случае выглядит так:

* * *

ВСЕ ЕДИНО, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — ТО ЖЕ, ЧТО ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если мы посмотрим на внушительное здание математического анализа под определенным углом, то сразу же станет понятно: если нам известны все мельчайшие мгновенные изменения переменной, то при помощи некоторой суммы мы сможем вычислить ее общее изменение. Этот интуитивно понятный вывод естественным образом приводит к определению дифференцирования и интегрирования.

Тысячи страниц «Основ анализа для итальянской молодежи» посвящены общей теме — дифференциальному и интегральному исчислению. Кроме того, в этой книге делается упор на том, что дифференцирование и интегрирование — обратные операции. Сегодня это утверждение кажется очевидным и рассматривается в школьном курсе анализа одним из первых, но в 1748 году все было не так просто.

Если использовать современные термины — более точные, но, к сожалению, более пространные, — то утверждение «интегрирование и дифференцирование — взаимно обратные операции» будет звучать так: если f — функция, непрерывная на отрезке [а, Ь], и задано следующее соотношение

то функция F является дифференцируемой на отрезке [а, Ь] (она называется первообразной функции f) и F(х) = f(x). Кроме того, если функция F дифференцируема на отрезке [а, Ь] и F'(х) = f(x), то

Это двойное утверждение получило название основной теоремы анализа. Ее практически полностью сформулировал Исаак Барроу (1630–1677), щедро уступивший Ньютону должность лукасовского профессора Кембриджа.

* * *

Верзьера Аньези на заключительных страницах первого тома «Основ анализа».

Софи Жермен (1776–1831)

Предлагаем вам провести небольшой эксперимент с карманным калькулятором — лучше слегка устаревшим. Этот эксперимент не нов, и если он уже знаком вам, пропустите следующий абзац. Может быть, вы его видели в одной из серий «Симпсонов». Как вы, наверное, знаете, все происшествия, которые случаются с Гомером Симпсоном, обычно оканчиваются неудачей, поэтому не говорите, что мы вас не предупреждали!

В руки Гомеру попало следующее предполагаемое равенство

1782¹² + 1841¹² = 1922¹².

Гомер, который по определению не знает математики, решает проверить это равенство: он берет старый калькулятор, который позволяет выполнять только элементарные действия и показывает 10 цифр результата, и находит сумму

1782¹² + 1841¹².

Затем он вычисляет 1922¹² и — сюрприз! — на экране высвечиваются те же 10 цифр. Прощай, знаменитая теорема Ферма — мы нашли контрпример:

1782¹² + 1841¹² = 1922¹².

Или нет? Истина восторжествует, если мы возьмем современный калькулятор — станет очевидно, что разность этих чисел не равна нулю. Если этот калькулятор способен работать с достаточным числом десятичных знаков, то мы получим, что разность этих чисел равна 700212234530608691501223040959 — это очень малое, ничтожное число, практически равное нулю по сравнению с исходными числами (они имеют по 40 знаков), но его достаточно для того, чтобы гипотеза Ферма — сегодня она носит статус теоремы — устояла. Однако в XIX веке теорема Ферма еще не была доказана, и математики лишь предполагали ее истинность. Согласен с ними был и господин Антуан Огюст Леблан, точнее говоря, Софи Жермен — женщина, взявшая себе этот псевдоним. Господин Леблан в действительности существовал и был настоящим мужчиной с усами. Софи Жермен всего лишь подписывала письма его именем. Похоже, настало время разъяснить все вышесказанное. Итак, кто такая Софи Жермен?

Неженская целеустремленность

Софи Жермен родилась в Париже и была средней из трех сестер в семье, которую можно назвать богатой, но не знатной. Ее отцом, как считает большинство историков, был преуспевающий торговец шелками, который в итоге возглавил Банк Франции. Софи спокойно пережила сложные времена Великой французской революции, в ходе которой по той или иной причине или вовсе без причин множество людей лишилось своих постов и даже жизни. Софи провела годы Террора, сражаясь не с Робеспьером, а с устройством мира, в котором, казалось, не было места женщине, желавшей заниматься математикой. Как мы уже не раз отмечали, в знатных семьях считалось хорошим тоном, если женщина немного разбиралась в науке, чтобы просто поддержать беседу. Но для женщины из буржуазной семьи стремление разбираться в науке считалось глупостью: она не должна была покидать священный мир ниток, иголок, пианино, акварелей и детей. Доказательством этому послужит книга той эпохи под названием «Ньютонизм для дам». В одной из глав аристократическая пара обсуждает закон всемирного тяготения Ньютона. В диалоге, который можно назвать сюрреалистичным, маркиза проводит аналогию, которая привела бы самого Ньютона в ужас: «Этот закон тяготения верен и для любви — после восьми дней разлуки любовь становится в шестьдесят четыре раза сильнее». Но довольно об этой книге.

Софи начала интересоваться математикой, когда прочла в книге Монтукля, взятой из отцовской библиотеки, о гибели Архимеда от рук римского солдата: «Оставь меня в покое и не трогай моих чертежей», — сказал Архимед солдату, который предложил мудрецу пройти с ним. Возмущенный непочтительностью Архимеда, солдат зарубил его мечом. Софи задумалась: если ученый пожертвовал жизнью ради чертежей, в них, наверное, было сокрыто нечто очень ценное. В чем же заключается ценность геометрии, сравнимая с ценностью самой жизни?

Бюст Софи Жермен.

Далее мы расскажем историю, которую пересказали и приукрасили многие биографы: Софи решила пойти в изучении математики дальше, чем того дозволяли ее пол и происхождение. Она осмеливалась читать Эйлера и Ньютона! Ее близкие родственники были очень недовольны подобной экстравагантностью. Эти поступки считались недостойными женщины, которая замахнулась на то, чтобы изучать науки, предназначенные исключительно для стойкого мужского ума. Считалось, что знание математики могло ввергнуть женщину в сумасшествие, так как ее скудный ум не в состоянии уместить подобные излишества. Родственники Софи перепробовали все: так как девушка занималась математикой по ночам, они прятали ее одежду, чтобы она не могла выйти из комнаты, отбирали у нее свечи, канделябры и светильники. Все было напрасно — Софи не боялась холода, одевалась в лохмотья и тайком проносила в комнату огарки свечей. Как и в любой долгой битве, верх одержал тот, кто был упорнее и решительнее, — думаем, вам уже понятно, кто это был. Так Софи Жермен стала прекрасным математиком-любителем. Мы назвали ее любителем не случайно: если бы ей попался опытный наставник, который занялся бы ее образованием и подсказал, какие книги следует прочесть, она вошла бы в число избранных. Софи всегда отличалась превосходным воображением, интуицией и стратегическим мышлением, и хотя порой ее рассуждениям недоставало четкости, она была способна проникнуть в суть вопросов.

В 1794 году открылись двери образцовой Политехнической школы, созданной практически с той же целью, что и военная академия США в Вест-Пойнте: ее выпускниками должны были стать высококлассные специалисты, которые применили бы свои высочайшие знания математики в военных целях. Очевидно, что сколь похвальными ни были цели учреждения Политехнической школы, в их число не входило обучение женщин. Но это препятствие не казалось Софи непреодолимым. Один из ее друзей по имени Антуан Огюст Леблан посещал занятия в Политехнической школе, и Софи, заручившись его согласием, читала все конспекты и учебники и могла подписывать работы его именем. Так Софи начала обучение.

Когда Леблан покинул Париж, администрация школы не заметила его отсутствия и по-прежнему высылала ему все материалы и упражнения. Софи решала домашние задания и высылала их обратно. Курс вел Лагранж, один из самых блестящих математиков, который не переставал удивляться перемене, произошедшей с Лебланом: совершенно не способный к математике студент вдруг проявил блестящие способности, оригинальность и творческий подход. Лагранж захотел встретиться с ним, и представьте, каково было удивление преподавателя, когда он обнаружил подлог: то был не «он», а «она». К счастью, Лагранж всегда с уважением относился к женщинам, так что он стал наставником и учителем Софи.

Софи-математик

Итак, Софи Жермен всецело посвятила себя математике. Она так и не вышла замуж и направила всю энергию на занятия любимым делом. В частности, девушка занялась теорией чисел и теоремой Ферма, которая привлекла ее внимание простой формулировкой и загадочным доказательством — хотя сам Ферма, по-видимому, его нашел, отыскать его вновь не удавалось никому. Софи начала свой путь в математике, можно сказать, встав под знамена Лежандра и еще одного известного ученого. Еще в молодости, в 1804 году, Софи написала ни много ни мало лучшему математику мира, Гауссу, объяснив ему свои идеи и рассказав об открытиях, связанных с теоремой Ферма. Гаусс после публикации «Арифметических исследований» считался ведущим специалистом по теории чисел, поэтому Софи обращалась к нему в письме с особым почтением. Она подписала письмо псевдонимом Леблан — в противном случае адресат мог не принять ее всерьез. К удивлению Софи, Гаусс довольно дружелюбно ответил ей, хоть и не привел ответов на все ее вопросы. Вероятно, этих вопросов было слишком много, и прославленный ученый не нашел достаточно времени для этого. Однако то, что показалось Гауссу интересным, он прочел.

Софи Жермен переписывалась с Гауссом под псевдонимом Леблан. В жизни они никогда не встречались.

Обман раскрылся спустя несколько лет, когда Наполеон отправил свои армии в Германию. Софи, опасаясь, что с Гауссом что-то случится, обратилась к одному из своих друзей, генералу Пернети, который волей случая командовал войсками, расположившимися вблизи поместья Гаусса. Пернети галантно исполнил поручение и обеспечил безопасность ученого и его имущества, однако во время одного из визитов допустил оплошность, раскрыв Гауссу истинное лицо господина Леблана. Изумленный Гаусс написал Софи: он никогда не подумал бы, что автором столь глубокомысленных математических утверждений может быть женщина.

Софи Жермен всегда ассоциируется с доказательством знаменитой теоремы Ферма. Математики сразу же поняли, что Ферма в своем «чудесном доказательстве» допустил ошибку (скорее всего, он ошибся на одном весьма непростом этапе доказательства, когда используется определенный круговой многочлен — но не будем вдаваться в детали), но исправить эту ошибку и найти доказательство никак не удавалось. Привлекательность теоремы Ферма неоспорима: ее может понять любой; с ней, по словам самого Ферма, связана отдельная загадка; она записывается с помощью всего нескольких математических символов; за ее доказательство предлагались внушительные денежные премии и так далее. Профессиональные математики почти всегда относились к теореме Ферма с меньшим энтузиазмом, чем простые смертные. Нельзя отрицать, что эта теорема — самая известная в математике, но такие звезды, как Гаусс или, позднее, Гильберт, не уделяли ей особого внимания.

Можно сказать, что именитые ученые вели себя, словно лисица из басни «Лиса и виноград», хотя в разговоре о подобных гигантах мысли следует воздерживаться от подобных обобщений. Гаусс указывал, что доказательство теоремы Ферма не вызвало бы особого прогресса в науке, а его предполагаемые следствия были, скорее всего, не слишком важными. Кроме того, — ив этом Гаусс был совершенно прав — он сам мог сформулировать множество похожих теорем.

Как бы то ни было, доказать теорему Ферма было совсем не просто. Софи Жермен, к примеру, доказала, что при п = 5 если и существует контрпример, то он выражается колоссальной величиной — по ее подсчетам, превосходящей 691053006763356095514121490614455078525. В поисках доказательства требовалось двигаться медленно и рассматривать сначала отдельные показатели степени, затем — семейства показателей.

Сделаем небольшое отступление и расскажем о принципиально новом подходе к доказательству теоремы Ферма, который применила Софи Жермен. Ранее (и позднее) предпринимались попытки доказать теорему одним и тем же способом: показать, что не существует х, у z таких, что хⁿ  + уⁿ = zⁿ для какого-то конкретного n. Так, Ферма доказал свою теорему для n = 4, Эйлер — для n = 3, Лежандр — для n = 5, Ламе — для n = 7 и так далее. Софи выбрала иную стратегию и попыталась определить, при каких условиях определенные значения n можно будет исключить из рассмотрения. Для этого она описала особый класс простых чисел р (сегодня они называются простыми числами Жермен). Простое число р называется простым числом Жермен, если 2р + 1 также является простым. Приведем в качестве примера простые числа Жермен, меньшие 200: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179 и 191. Еще один любопытный факт: наибольшее известное (на 2011 год) простое число Жермен равно 183027·2²⁶⁵⁴⁴⁰ — 1 и содержит 79911 цифр.

Частичное доказательство теоремы Ферма, полученное Софи Жермен, понять непросто даже сейчас, по прошествии более 200 лет, поэтому мы предлагаем заинтересованным читателям ознакомиться со статьей по ссылке http://sofia.nmsu.edu/~davidp/germain06-ed.pdf. В этой статье на более чем 70 страницах содержится увлекательный, наглядный и подробный рассказ, слишком объемный для этой книги. Между прочим, результаты, полученные Софи Жермен, были приняты широкой публикой лишь в 1830 году, с публикацией «Теории чисел» Лежандра.

После наполеоновской кампании Гаусс был назначен директором Геттингенской обсерватории и перестал уделять особое внимание теории чисел. Он занялся другими темами и прекратил переписку с Софи и другими корреспондентами. Софи лишилась поддержки ученого в поисках доказательства теоремы Ферма и, к большому ее сожалению, была вынуждена заняться другими задачами. Метод Софи Жермен позднее использовали Лагранж и другие специалисты. Как бы то ни было, ее вклад в доказательство теоремы оказался наиболее важным из всех сделанных в период с 1738 по 1840 год, когда были опубликованы труды Эрнста Куммера (1810–1893).

Наибольшую славу Софи принесла тема колебаний тонких пластинок, находившаяся на стыке физики и математики. После того как она представила в Академии наук два доклада, ее труд «О теории упругих поверхностей» наконец был удостоен премии (а также золотой медали весом в один килограмм) за полноту и глубину содержания. Однако Софи не явилась на церемонию вручения премии в знак несогласия с позицией некоторых академиков, в числе которых был Симеон Пуассон.

Заслуги Софи Жермен были оценены по достоинству, только когда она достигла зрелого возраста: Институт Франции удостоил ее особой медали за научные труды, и она стала первой женщиной, посетившей заседание Академии наук, не будучи при этом женой академика. Софи пришла на заседание спустя семь лет после награждения. Ее вел под руку великий Жозеф Фурье (1768–1830), секретарь Академии.

Последние работы Софи были посвящены дифференциальной геометрии, в частности кривизне поверхностей. В статье «О кривизне поверхностей» она впервые применила понятие средней кривизны, позднее ставшее классическим. Если c₁ и с₂ — наибольшая и наименьшая кривизна, то средняя кривизна, или кривизна Жермен, определяется по формуле:

* * *

ЧЕТЫРЕХСОТЛЕТНЯЯ ТЕОРЕМА

Известно, что существует бесконечное число пифагоровых троек, то есть троек целых чисел х, у, z, удовлетворяющих соотношению

x² + y² = z².

Не нужно далеко ходить за примером:

3² + 4²= 5².

Это соотношение, по мнению некоторых специалистов, знали и применяли еще древние египтяне. Ферма в 1630 году прочел книгу Диофанта и отметил на полях, что подобные выражения для всех остальных показателей степени, то есть

x³ + y³  = z³

x⁴ + y⁴ = z⁴

x⁵ + y⁵ = z⁵,

и так далее не имеют целых решений. Куб нельзя представить в виде суммы двух кубов, похожим образом нельзя представить ни четвертую, ни пятую, ни какую-либо другую степень. Ферма нашел этому поистине чудесное доказательство, но, к сожалению, поля книги оказались слишком узки для него (Ферма имел привычку делать пометки на полях прочитанных книг). Его знаменитая теорема на языке алгебры звучит так:

«Если х, у, z и не равны нулю, то уравнение хⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений при n > 2».

На протяжении почти 400 лет никто не мог ответить на вопрос, верна ли гипотеза Ферма? Является ли она теоремой — иными словами, существует ли ее доказательство? Более того, если это в самом деле теорема, то где ошибся Ферма в своем предполагаемом «чудесном доказательстве», так как он, несомненно, ошибся? Крайне маловероятно, что гипотезу, над которой столько лет бились лучшие умы человечества, доказал сам Ферма.

Многовековое ожидание завершилось в 1995 году усилиями Эндрю Уайлса, которому удалось найти доказательство лишь со второй попытки, спустя несколько лет работы, при этом он использовал сложнейшие и новейшие методы теории чисел. Вопреки ожиданиям, найденная им связь между модулярными формами и эллиптическими кривыми, которую он применил в доказательстве, отличалась новизной. Таким образом, теорема Ферма наконец была доказана, и ее доказательство имело важные последствия для науки.

Гипотеза Ферма стала теоремой лишь в 1995 году. Пьер Ферма заявил, что доказал ее, но не привел доказательства.

* * *

УПРУГИЕ ПЛАСТИНКИ

Софи Жермен занялась изучением упругости пластин, узнав о результатах экспериментов немецкого инженера и физика Эрнста Хладни (1756–1827) — любопытных фигурах Хладни. Фигуры Хладни, подобно цирковым фокусам, были продемонстрированы ученым из Института Франции и даже Наполеону. Эти неожиданные узоры образуются при вибрации покрытых песком стеклянных пластинок под действием скрипичного смычка. Многие из них отличаются красотой и симметрией. Фигуры Хладни стали первым известным проявлением физического явления, позднее названного двумерными гармоническими колебаниями.

Академия наук организовала открытый конкурс, целью которого было найти законы, описывающие колебания упругих пластинок. В 1813 году поданная на конкурс статья Софи Жермен «О колебаниях упругих пластинок» была удостоена первой премии. Для Софи, которую часто обвиняли в том, что ее доказательства содержат пробелы и неясные моменты, присуждение премии было равносильно ритуалу посвящения в ученые.

Образование фигуры Хладни.

* * *

Софи возобновила переписку с необщительным Гауссом, и тот порекомендовал руководству своего Геттингенского университета присвоить Жермен степень почетного доктора. Решение было принято лишь в 1830 году, и Софи умерла, так и не получив степень.

К несчастью, она умерла вовсе не той смертью, которую заслуживала: после двух лет страданий Софи скончалась от рака груди, который в то время считался неизлечимым. В свидетельстве о ее смерти родом занятий значится «рантье». Жермен в самом деле была рантье, но куда лучше было бы написать «математик».

В мире науки Софи Жермен почитают за ее талант, а для женщин всего мира она стала примером для подражания. В Париже именем Софи Жермен названа улица.

Упоминается эта женщина-математик и в научно-фантастических романах — еще один шаг на пути к бессмертию. Имя Софи Жермен также носит и кратер на Венере. Однако высшей данью уважения ее труду стали школы и институты, названные в ее честь.

Глава 3 Небесная интермедия

Аристотель утверждал, что у женщин меньше зубов, чем у мужчин. Хотя он был женат дважды, ему так и не пришло в голову проверить правильность этого утверждения, заглянув в рот собственной жене.

Бертран Рассел, математик, философ, политический активист и писатель

Все женщины, о которых мы расскажем в этой главе, были астрономами. Также все они одновременно были избраны членами Британского королевского астрономического общества — авторитетного учреждения, созданного в 1820 году английскими астрономами. Наши героини стали не полноправными, а лишь почетными членами общества — прославленные звездочеты, находившиеся во власти предрассудков, не допустили большего.

Астрономическое общество полностью открыло двери для женщин лишь в 1915 году. Из всех препятствий, которые чинили мужчины женщинам в науке, это выглядит особенно гротескным: по какой таинственной причине право смотреть на звезды имеют лишь мужчины? Мы никогда не найдем этому объяснений, как не сможем мы понять и самого Аристотеля, о котором писал Бертран Рассел.

Каролина Лукреция Гершель (1750–1848)

Доступная нам картина звездного неба не вполне соответствует реальности: мы наблюдаем небосвод лишь ночью и, как правило, невооруженным глазом. Между тем на небесахразворачивается восхитительный спектакль: взрываются сверхновые, черные дыры поглощают материю, и перед нами появляются прекрасные и величественные картины, например крупные галактики удивительных форм и цветов.

Но все это живописное разнообразие доступно лишь обладателям хороших телескопов, невооруженным же глазом разглядеть можно очень немногое.

Первый орбитальный телескоп «Хаббл», запущенный NASA, расположен за пределами атмосферы, и ему не мешают ни световое загрязнение, ни загрязнение воздуха. «Хаббл» сделал доступными для всех удивительные изображения Вселенной — от их красоты и обилия деталей захватывает дух. В 2009 году Европейский союз запустил в космос свой телескоп под названием «Гершель». Он намного больше «Хаббла» (диаметр его зеркала составляет 3,5 метра), а наблюдения с его помощью производятся в инфракрасной части спектра. Если «Хаббл» заставил нас раскрыть рты от удивления, то «Гершель» покажется настоящим чудом.

Но обо всем по порядку. «Гершель» назван в честь величайшего астронома XVIII века Вильгельма Гершеля (1738–1822) — англичанина, который родился в Германии и при переезде на зеленые поля Британии сменил имя на Уильям. Он стал невероятно известен благодаря открытию планеты Уран: хотя астрономы наблюдали ее и ранее, они не идентифицировали Уран как планету. Разумеется, Гершель назвал новую планету Георг III, несколько по-лакейски отблагодарив английского короля — своего работодателя. Но кто мы такие, чтобы требовать от великого астронома полного равнодушия к мирским соблазнам. Достаточно сказать, что Уран с середины XIX века стал называться Ураном, а у Уильяма Гершеля была сестра, которая, как и он, занималась астрономией. О ней и пойдет наш рассказ.

Жизнь крохотной служанки

Семья Гершелей, как и основатель английской правящей династии, происходила из немецкого города Ганновера. Глава семейства, Исаак, был военным музыкантом. Своего первенца он готовил к той же судьбе, и действительно, Вильгельм умел играть на гобое и даже принял участие в сражении. В каталогах музыкальных издательств сегодня можно найти записи концертов и симфоний Гершеля. Его мелодии говорят, что будущий астроном отличался определенной чувствительностью, а эти черты характера в то время не были присущи военным. Неудивительно, что Гершель после боевого крещения пропел «Ах, не зря даны мне ноги» и в 1766 году уехал в братскую Англию (в те времена Ганновером и Англией правил один король) в поисках мира и работы.

Его сестра Каролина, которая была на 12 лет моложе, осталась в Ганновере: ее матери была нужна помощь по дому, да и старшее поколение Гершелей твердо верило, что удел женщины — домашнее хозяйство. При этом Каролина по своему положению в доме практически приравнивалась к прислуге. В десять лет она переболела тифом и перестала расти. Она была просто крохотной, особенно по сегодняшним меркам — ее рост составлял всего 130 сантиметров, и вдобавок не отличалась приятной внешностью. Мать была уверена в том, что Каролина никогда не выйдет замуж (и в этом она оказалась права) и что ее единственным предназначением была работа по дому (а вот здесь, как вы увидите, она ошибалась).

Каролина помнила, как ее отец, когда она была еще совсем маленькой, показывал ей звезды и созвездия, а между ними — хвост кометы, которая была тогда видна на небе. Возможно, именно в тот момент в землю упало первое зернышко, из которого впоследствии выросло пышное дерево.

Портрет Уильяма Гершеля в возрасте 47 лет кисти английского художника Лемюэля Фрэнсиса Эбботта.

Каролина, должно быть, устала жить в заточении вместе с матерью и в 1772 году сбежала в Англию — ее брату тоже был нужен кто-то, кто взял бы на себя домашние хлопоты. Уильям недурно устроился на английской земле. Он зарабатывал на жизнь музыкой — давал концерты, играл на органе, дирижировал хорами. У Каролины оказался прекрасный голос, и, взяв несколько уроков пения, она стала солировать на концертах. Именно тогда с Уильямом произошло одно событие, которое, подобно падению апостола Павла с лошади, круто изменило его судьбу, а вместе с ней и судьбы многих других людей. В руки юноше попала книга по астрономии — по мнению многих историков, то была «Астрономия» Фергюсона (Astronomy explained upon sir Isaac Newton’s principles, 1750). Уильям полюбил науку о звездном небе, и любовь оказалась взаимной. Он сразу же понял, что будущее — за зеркальными телескопами-рефлекторами, и принялся как одержимый полировать зеркала, изготавливать и продавать все более совершенные телескопы. Со временем Каролина начала ему помогать — ее умелые руки, казалось, были созданы для этой работы.

Уильям, потративший немало времени на математику и астрономию, рассказал сестре все необходимое для того, чтобы она могла помогать ему в астрономических исследованиях. Следует отметить, что Каролина никогда не знала математики в совершенстве, да и не стремилась к этому. Она ограничилась тем, что взяла из обширного и богатого сада математики лишь самые необходимые плоды. Каролина стала управлять делами брата и проводила все трудоемкие тригонометрические расчеты до и после наблюдений.

Портрет Каролины Гершель в возрасте 79 лет.

По всей видимости, девушка попала в родную стихию, и ей одна за другой покорялись тайны небес и глубины тригонометрии. Настойчивость и правильная организация труда дали удивительные результаты, и постепенно Каролина овладевала астрономией все лучше. Она блестяще усвоила уроки, данные братом, и в 1782 году проводила наблюдения самостоятельно. Уильям выделил сестре отдельный телескоп, и Каролина с энтузиазмом принялась за наблюдения, в частности, занявшись «охотой» на кометы. Не будем забывать, что в 1781 году Уильям Гершель открыл планету Уран и стал известен на весь мир.

Славный момент первого открытия наступил 1 августа 1786 года. В 1786–1797 годах Каролина обнаружила восемь новых комет. Это было выдающимся достижением для любого астронома, и некоторые стали называть ее «первой леди комет». В ту эпоху было совершенно неслыханным, чтобы подобное совершила женщина, да еще и ростом всего 130 см. Каролина стала считаться самостоятельным астрономом, и за ее заслуги, а также за помощь первому астроному королевства в 1787 году Его Величество назначил ей жалованье, и весьма неплохое — 50 фунтов ежегодно. Каролина Гершель стала первой женщиной в мире, получавшей жалованье за научную работу. Как можно догадаться, она не ограничивалась кометами, а также открыла и внесла в каталоги несколько туманностей и звездных скоплений.

В 1788 году Уильям женился, и его отношения с сестрой, по всей видимости, заметно ухудшились. Но работать они продолжали вместе, и десять лет спустя Каролина завершила работу над собственным каталогом звезд, где описала все свои открытия и уточнила знаменитые результаты, полученные Джоном Флемстидом — королевским астрономом и современником Ньютона. Каролина внесла в каталог целых 560 новых звезд. К тому времени она стала уважаемым астрономом и даже трижды была приглашена к королевскому двору.

После смерти Уильяма Каролина решила вернуться в Ганновер. Шел 1822 год. Она продолжала работать, теперь чтобы помочь племяннику, Джону Гершелю, сыну и наследнику Уильяма и также великому астроному. Результатом многолетнего труда Джона стал каталог туманностей (некоторые из них впоследствии оказались галактиками), куда он включил все собственные открытия и открытия отца.

В подобных случаях обычно говорят, что Каролина, окончив труд всей своей жизни, испустила последний вздох, но это не так: она прожила еще долго и умерла в 98 лет, сохранив ясный ум и сравнительно неплохое здоровье. Дружба с ней считалась своеобразным знаком отличия в обществе. Ей даже нанес визит лучший математик и астроном эпохи, глава Гёттингенской обсерватории Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Последние годы жизни Каролины стали для нее самыми счастливыми, так как принесли немало наград и почестей: Ирландская королевская академия избрала ее своим членом, Британское королевское астрономическое общество наградило ее золотой медалью в знак признания заслуг, а прусский король пожаловал ей еще одну медаль, когда Каролине исполнилось 96. Когда на следующий год прославленного астронома посетил с визитом наследный принц, ей хватило оптимизма и энергии, чтобы своим поставленным сопрано спеть несколько отрывков из музыкальных произведений покойного Уильяма. Вместе с Мэри Сомервилль, еще одной блестящей женщиной-математиком, Каролина Гершель была избрана почетным членом авторитетного Британского королевского астрономического общества — Каролина была женщиной, а согласно уставу общества, женщины не могли быть его полноправными членами.

Крупнейший телескоп, сконструированный Гершелем, под названием «Чудовище» имел зеркало диаметром 1,2 м — чуть меньше роста Каролины. Как-то раз во время наблюдений исследовательница повисла на крюке в опоре телескопа и серьезно поранилась.

Интерес представляют и почести, которые воздал Каролине Гершель мир науки после ее смерти. В Новом общем каталоге приведены объекты под номерами NGC 205, 225, 253, 381, 659, 891, 2349, 2360, 2548, 6633, 7380 и 7789. Все они открыты Каролиной Гершель. В ее честь назван астероид под № 281 «Лукреция». Также имя Каролины Гершель носит лунный кратер диаметром 13 километров. Не будем забывать и дань уважения, которую мы отдали этой исследовательнице на страницах нашей книги — возможно, довольно скромную, но, без сомнения, очень искреннюю.

* * *

ВОВСЕ НЕ АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

В одном эссе Мелиссы Найсуондер рассказывается забавный случай, заслуживающий упоминания: некоторые люди смогли стать профессиональными астрономами, не умея умножать числа! Для этого нужно всего лишь запомнить таблицу умножения — все мы зубрили ее в младших классах вместе с одноклассниками.

Для умножения чисел требуется элементарный алгоритм, а также небольшое упражнение на запоминание. Кажется странным и даже невероятным, что ученые могут открыть тайны сферической геометрии и вместе с тем не знать алгоритма умножения чисел. Однако именно это произошло с Каролиной Гершель: она умела читать звездные таблицы, но — вот незадача! — не умела перемножать большие числа. Она впервые увидела таблицу умножения уже в зрелом возрасте и не потрудилась запомнить ее. Когда Каролине нужно было перемножить два числа, она доставала из кармана шпаргалку с таблицей умножения и находила в ней нужный результат. Вот так профессиональный астроном может получить взбучку от возмущенного учителя.

* * *

Мэри Фэрфекс Сомервилль (1780–1872)

В один и тот же день почетными членами Британского королевского астрономического общества были избраны сразу две женщины. Это было исключительное событие, так как мир астрономии ранее принадлежал исключительно мужчинам. Одной из этих женщин была Каролина Гершель — астроном с многолетним опытом, настоящий ветеран, закаленный многими тысячами ночей, проведенных у телескопа. Она была сестрой Уильяма Гершеля, который прославился, среди прочего, как первооткрыватель планеты Уран.

Другой женщиной была дама шотландского происхождения, на 30 лет моложе Каролины. Она была не столько астрономом, сколько математиком и носила еще не столь громкое в то время имя Мэри Сомервилль. О ней мы сейчас и расскажем.

Женщина, которая поняла Лапласа

Мэри Сомервилль родилась в шотландском графстве Файф. То немногое, что нам известно о ее детстве, изложено в воспоминаниях Мэри, написанных в соавторстве с ее дочерью. В девичестве Мэри носила фамилию Фэрфекс. Ее отец был высокопоставленным офицером флота и дослужился до вице-адмирала. Не следует думать, что уже в раннем детстве Мэри овладела иностранными языками или проявила какую-либо другую одаренность. Умственные способности Мэри, удивительные для любого ребенка ее лет, прошли мимо внимания ее родителей. Сама Мэри вспоминала об одиночестве и не слишком приятных годах в школе-пансионе. Талант девочки заметил лишь ее дядя и будущий свекор, преподобный Томас Сомервилль. Он единственный оценил способности Мэри по достоинству и счел, что их следует развивать, несмотря на то что женщины считались существами второго сорта. Вы уже знаете, что женщины в те годы в лучшем случае умели читать (умение писать считалось не столь важным), ткать, возможно, рисовать, играть на пианино и вести хозяйство, а все остальное было излишним либо предосудительным.

Когда Мэри было 13, ее родители переехали в Эдинбург. Девочка правильно, пусть и нарушая существовавшие правила приличия, отвечала на вопросы, которые гувернеры задавали ее брату, и ей разрешили присутствовать на его занятиях — в качестве слушательницы. Как-то раз на уроке рисования учитель, знаменитый пейзажист Нейсмит, рассказал брату Мэри о том, каких высот геометрии достиг древний мудрец по имени Евклид. Мэри попросила учителя раздобыть для нее «Начала» Евклида, быстро прочла книгу — самостоятельно, поскольку Нейсмит не был математиком, — и попросила учителя, которому потомки должны быть благодарны, раздобыть другие книги в том же стиле, в том числе труды Леонарда Эйлера. Ее страсть к алгебре была так сильна, что родители начали беспокоиться о здоровье Мэри: они боялись, что увлечение математикой в столь нежном возрасте плохо скажется на умственном развитии девочки.

Шотландия в ту пору была отсталым районом Великобритании, поэтому Мэри самостоятельно постигала науки, особенно математику, и в 24 года вышла замуж за некоего Сэмюэла Грейга, который, как и ее отец, был моряком, но вскоре овдовела. Как объясняла Марта, дочь Мэри, господин Грейг был человеком своего времени: он не проявлял ни малейшего интереса к увлечениям жены и был твердо убежден, что женщины должны исполнять роль служанок при мужчинах. После смерти Грейга Мэри осталась юной вдовой, получила некоторую свободу и смогла продолжить обучение.

Мэри Сомервилль.

Свободой Мэри воспользовалась сполна: мир науки открылся ей совершенно неожиданным способом — благодаря развлекательным женским журналам, в частности The Ladies' Diary. Она щелкала головоломки и задачи словно орешки и завела себе друзей в мире науки, которые открыли молодой женщине путь к профессиональной математике и помогли подобрать учебники. Мэри прочла «Астрономию» Джеймса Фергюсона (Astronomy explained upon sir Isaac Newton's principles) — английскую астрономическую Библию, а также другие довольно трудные тексты, например «Математические начала натуральной философии» Ньютона и «Небесную механику» Лапласа. Кроме того, Мэри подробно изучила сферическую тригонометрию. В те времена английская математика страдала от десятилетий изоляции, препятствовавшей притоку свежих идей с континента, поэтому знакомство с трудами Лапласа оказалось для Мэри весьма плодотворным.

В 1812 году она вновь вышла замуж. Вторым мужем Мэри стал ее двоюродный брат Уильям Сомервилль, который в то время работал инспектором больниц. Он относился к таланту жены и ее стремлению к знаниям совершенно иначе, нежели господин Грейг: Уильям не только был сторонником обучения женщин, но и вскоре понял, что жена намного умнее его самого (и не замедлил открыто сказать ей об этом). Уильям всегда был лучшим помощником Мэри и при необходимости даже переписывал ее рукописи.

Супруги в итоге переехали в Лондон, так как Уильям получил повышение и спустя некоторое время даже был избран членом Лондонского королевского общества. Теперь Мэри интересовалась всем, начиная от ботаники и заканчивая геологией, и познакомилась со многими учеными, главным образом в поездках по континентальной Европе вместе с мужем. Среди новых знакомых были Био, Лаплас, Пуассон, Араго и многие другие. Затем Уильяма вновь повысили по службе, и Сомервилли обзавелись домом в лондонском Челси — районе, который, можно сказать, в то время был центром мира.

В Англии Мэри познакомилась с Бэббиджем и Гершелями, а также посоветовала продолжить занятия математикой некой леди Лавлейс, дочери лорда Байрона (у нас еще будет возможность сказать несколько слов и о ней). Наконец Мэри Сомервилль оценили по достоинству, и она была избрана членом многих научных обществ — часто лишь почетным членом, ведь бородатые академики не забывали, что Мэри была всего лишь женщиной. Премьер-министр лорд Мельбурн от имени правительства Ее Величества назначил ей жалованье в размере 300 фунтов в год.

* * *

«НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА»

«Небесная механика» — важный труд Пьера Симона Лапласа (1749–1827), в котором сведены воедино все его астрономические работы. Изначально книга была издана в пяти томах, вышедших в период с 1799 по 1825 год. Работа заслуженно обрела популярность — научный мир не знал столь объемного труда со времен публикации ньютоновских «Начал». Ее можно назвать более подробной версией «Начал», в которой применялись мощные методы математического анализа — достаточно развитой к тому времени дисциплины. «Небесная механика» обрела печальную известность среди отчаявшихся читателей из-за постоянного повторения в ней слов: il est aise de voir…» («нетрудно видеть…»). Эта фраза однозначно указывала: все, что последует дальше, увидеть вовсе не просто, и тому, кто попробует это сделать, придется пролить семь потов.

Переводчик «Небесной механики» Нафанаил Боудич (1773–1838) впадал в отчаяние всякий раз, когда видел эти пугающие слова: «il est aise de voir». Как правило, автор был прав, но чтобы убедиться в его правоте, приходилось прикладывать немало усилий. В «Небесной механике» несколько тяжеловесно описывалось необозримое множество тем: отклонения планет от идеальных орбит, движение спутников Юпитера, неидеальная форма земного шара, либрация, или «раскачивание», Луны, приливы и отливы, эволюция Солнечной системы и многое другое. Хорошо известен анекдот о «Небесной механике» и Наполеоне, который был прекрасным математиком-любителем и старым другом Лапласа. Наполеон пролистал книги и сказал Лапласу: «Любопытно, но я не нашел в них ни единого упоминания Бога», на что Лаплас ответил: «Это потому, что я в этой гипотезе не нуждался».

Слева — разворот «Небесной механики» в английском, точнее американском, переводе. Автором перевода, лишенного каких бы то ни было комментариев и упрощений, был американский математик Нафанаил Боудич. Его труд оказался титаническим: взглянув на иллюстрацию, вы оцените сложность оригинала. В 1831 году Мэри Сомервилль подготовила популярный перевод этой книги — точный, но в то же время понятный, — который носил название «Небесная механика» (Mechanism of the Heavens). Одна из страниц этого перевода изображена справа.

* * *

Семья Сомервиллей из-за слабого здоровья мужа переехала во Флоренцию. Здесь они остались на много лет, за это время Мэри написала «Физическую географию» — самую успешную свою книгу: подобно бестселлерам Элизе Реклю (1830–1905) по геофизике, даже несколько десятков лет спустя книга Сомервилль по-прежнему не теряла популярности у широкой публики.

Даже в 90 лет, незадолго до смерти, Мэри все еще ежедневно посвящала математике 4–5 часов в день. Многие хотели бы отличаться подобной ясностью ума в таком возрасте. Умерла Мэри Сомервилль во сне. Разумеется, ее именем назван лунный кратер (на видимой стороне Луны) — как посмертное признание заслуг со стороны коллег-астрономов.

* * *

НЕПОНЯТЫЙ МАРКИЗ

Рассказывают, что во Франции Мэри познакомилась с маркизом Лапласом, прославленным математиком и автором колоссальной «Небесной механики». Как-то раз в Париже в разговоре с Мзри Сомервилль Лаплас пожаловался на недостаток внимания к его сложнейшему труду со стороны англичан. По словам Лапласа, его книгу прочитали и поняли лишь немногие. Он заметил, что несмотря на все его усилия, понять книгу смогли всего три англичанки: «По-настоящему «Небесную механику» поняли только вы, Каролина Гершель и госпожа Грейг», — пожаловался Лаплас. Он не знал, как выглядит госпожа Грейг, так как был знаком с ней лишь по переписке. Между тем госпожой Грейг была сама Мэри Сомервилль, ведь Грейг — это фамилия ее первого мужа. Получается, что труд Лапласа поняли всего две англичанки… Иногда в этом анекдоте не упоминают Каролину Гершель. Выберите версию, которая вам нравится больше.

Пьер-Симон Лаплас.

* * *

Доступным языком

Мэри Сомервилль можно назвать первым в истории автором научно-популярных книг. Иными словами, сначала она подробно изучала различные темы, а затем излагала их так, чтобы их могли понять менее одаренные читатели. В некрологе, напечатанном в газете «Таймс», эта сторона ее творчества отмечена особо: так, указывается, что хотя первые попытки Мэри экспериментально связать ультрафиолетовые лучи и магнетизм оказались безуспешными, при этом особого упоминания заслуживают книги, вышедшие из-под ее пера.

Логично, что первым среди ее трудов упоминается титанический перевод «Небесной механики». Лорд Генри Брум, который в то время председательствовал в палате лордов, бывший студент-математик и филантроп, предложил перевести этот памятник математической и астрономической мысли и включить его в число публикаций Общества распространения полезных знаний Великобритании, которое он в то время возглавлял. Однако этот проект, утвержденный после длительных обсуждений, требовал поистине колоссального труда. Мэри попыталась сделать доступной для всех книгу, которая изначально предназначалась для немногих. Когда Мэри завершила свой труд, он оказался столь велик, что у почтенного общества не хватило бы средств на публикацию. Сэр Джон Гершель, прочитав книгу, предложил подготовить ее популярное издание (его опубликовал Джон Мюррей в 1831 году), и, ко всеобщему удивлению, оно имело успех. Это издание носило название Mechanism of the Heavens, или «Небесная механика».

В 1834 году была опубликована книга Мэри под названием «Взаимосвязь физических наук» (The Connexion of the Physical Sciences) — общее описание природы, получившее крайне благосклонные отзывы критиков за точность и полноту. В книге была изложена настоящая «космология», достойная самого Александра фон Гумбольдта, автора «Космоса» и человека, который знал о мире все. В издании от 1842 года привлекает внимание описание предполагаемых отклонений Урана от орбиты. Прочитав книгу, астроном Джон Куч Адамс (1819–1892) заинтересовался вопросом и в итоге… открыл планету Нептун. Во «Взаимосвязи физических наук» обсуждаются самые разные темы, начиная от поляризации света и заканчивая задачей трех тел.

Следующей книгой Мэри Сомервилль стала «Физическая география» — история Земли, изложенная с позиций тогдашней науки. Обе эти книги принесли Мэри известность, и в 1869 году Королевское географическое общество наградило ее медалью королевы Виктории. В том же году была опубликована ее последняя книга — «Молекулярная и микроскопическая наука», в которой были изложены все простые и сложные знания, известные в то время о микромире.

Александр фон Гумбольдт писал: «Госпожа Сомервилль сильна в чистой математике». В этом он оказался совершенно прав. Также она была феминисткой и с годами все больше сил посвящала борьбе за права женщин.

В вестибюле Сомерсет-хауса, где расположено уважаемое и влиятельное Лондонское королевское общество, установлен бюст Мэри Сомервилль работы скульптора Френсиса Чантри. Рассказывают, что однажды скульптор уступил просьбам своей подруги, которая хотела познакомиться с известным астрономом — госпожой Сомервилль. Через несколько дней Чантри пригласил Мэри и свою подругу на дружеский обед и с удовольствием увидел, что дамы прекрасно поладили. Однако он не сказал подруге, что ее обаятельной и приятной собеседницей, сведущей в опере и других «фривольностях», была госпожа Сомервилль. Когда его подруга узнала об этом, то очень удивилась: она никогда бы не подумала, что эта удивительно «нормальная» дама была прославленным ученым.

Глава 4 XIX ВЕК

Можно с уверенностью сказать, что аналитическая машина вышивает алгебраические узоры так же, как станок Жаккара вышивает цветы и листья.

Ада Лавлейс

Флоренс Найтингейл была убеждена, что любой администратор может добиться успеха только тогда, когда использует в работе статистические данные (и всегда поступала в соответствии со своими убеждениями).

Карл Пирсон, статистик и мыслитель

Эта женщина заставила меня отказаться от моих собственных слов. Ей не нужно снимать шляпу — без нее эта женщина очень опасна.

Физик и химик Роберт Бунзен о Софье Ковалевской

Если XX век можно считать временем пробуждения надежд, то XIX век был, несомненно, веком угнетения женщин. Перед самыми выдающимися представительницами прекрасного пола лежал долгий путь, общество чинило им множество препятствий, но они преодолевали их одно за другим. Три женщины-математика, о которых мы сейчас расскажем, жили в XIX веке и оставили в нем свой заметный след. Их жизнь не была спокойной, хотя они и происходили из богатых семейств. Все эти дамы боролись с общепринятыми нормами и отличались нетрадиционным мышлением и высочайшим интеллектом. Мы расскажем о них в хронологическом порядке.

Августа Ада Кинг, графиня Лавлейс (1815–1852)

Августа Ада в девичестве носила фамилию Байрон приходилась дочерью тому самому лорду Байрону — поэту, аристократу, искателю приключений и писателю. Это был идеальный романтический герой, автор «Паломничества Чайльд-Гарольда» и других произведений. Ада родилась в браке Байрона с Анной Изабель Милбэнк, баронессой Вентворт, но никогда не знала отца: когда девочке исполнился месяц, мать выкрала ее из колыбели и сбежала. Это произошло на следующий год после битвы при Ватерлоо. Подлинная причина столь смелого поступка неизвестна, ведь лорд Байрон беспрекословно согласился на развод в эпоху, когда при разводах все судьи без исключения передавали родительские права отцам, а не матерям.

На этом портрете кисти Томаса Филиппса, написанном в 1813 году, за два года до рождения дочери Ады, лорд Байрон изображен в традиционном албанском костюме.

Ада Лавлейс в возрасте 21 года. Портрет кисти британской художницы Маргарет Карпентер.

Аристократическая жизнь

Ада выросла под крылом матери, а лорд Байрон покинул Англию. Спустя девять лет он погиб, сражаясь за независимость Греции. Ада на всю жизнь сохранила неприязнь ко всему, что напоминало об отце, — возможно, под влиянием матери. Впрочем, известно, что лорд Байрон часто писал бабушке Ады и следил за ее успехами.

Мать Ады интересовалась математикой — именно так писал о ней в своих красочных мемуарах Джордж Тикнор, считавший Анну Изабель «очаровательной». Сам Байрон любя называл жену «принцессой параллелограммов». Мать навязчиво контролировала Аду и не хотела, чтобы в девочке хоть как-то проявился романтический характер отца. Ей показалось, что лучше всего можно отдалить девочку от поэзии, если дать ей хорошее математическое образование и держать ее в ежовых рукавицах. Аду с детства окружала железная дисциплина. В детстве она часто болела, перенесла в том числе и корь, после которой на несколько лет осталась парализованной. Во взрослом возрасте Ада также не отличалась сильным здоровьем.

Сначала девочка склонялась к географии, но постепенно ее предпочтения изменились: сменив нескольких учителей, она в итоге проявила большие способности к математике и получила математическое образование. Ее последний учитель, великий Огастес де Морган (1806–1871), блестящий писатель и первый профессор математики в Лондонском университете, очень высоко отзывался о способностях Ады.

В 1834 году она познакомилась с Мэри Сомервилль, которая с удовольствием исполнила роль ее проводника в науке. Незадолго до этого, в 1833 году, в 17 лет, Ада также познакомилась с Чарльзом Бэббиджем. Он продемонстрировал девушке и ее матери машину, над которой в то время работал, и объяснил принцип ее действия.

Ада осталась впечатлена работой Бэббиджа, и он стал другом их семьи. Ада к тому времени уже называла себя «аналитиком и метафизиком»; слово «ученый» вошло в язык лишь в 1836 году с легкой руки Уильяма Уэвелла. Возможно, Бэббидж и Ада были любовниками, но убедительных доказательств этому нет.

Влияние Бэббиджа

Решающее влияние на труды Ады Лавлейс оказали идеи математика Чарльза Бэббиджа (1791–1871). Его оригинальный темперамент начал проявляться уже в юности, когда он возглавил настоящий крестовый поход против нотации Ньютона в математическом анализе и подготовил перевод одного французского труда, где использовалась гораздо более удачная «континентальная» нотация Лейбница. В эпоху наполеоновских войн подобный шаг был настоящим посягательством на святое.

Вскоре Бэббидж был избран членом Лондонского королевского общества и Лукасовским профессором Кембриджа — это же звание когда-то носил и Ньютон. Бэббидж был видным членом парламента и, вопреки стереотипу, отличался экстравагантностью. Так, он яростно ненавидел уличных шарманщиков, а однажды даже осмелился написать известному поэту лорду Теннисону и указать ему на несколько строк, которые, по мнению Бэббиджа, были некорректны с точки зрения статистики.

Что касается Ады, то она была представлена при дворе, познакомилась с Уильямом Кингом, вышла за него замуж, родила троих детей, ее муж унаследовал фамильный титул, и Ада стала графиней Лавлейс.

В 1841 году Бэббидж, который переехал в Турин, чтобы найти средства на разработку своей «аналитической машины», как он сам ее называл, счел, что следует перевести об этой машине статью. Итальянский математик и офицер инженерных войск Луиджи Менабреа, который со временем стал премьер-министром своей страны, перевел на французский язык несколько заметок об аналитической машине под общим названием «Схема аналитической машины, изобретенной Чарльзом Бэббиджем». Заметки показались Бэббиджу интересными, и Ада потратила почти год на их перевод на английский и составление комментариев. Статья Ады была еще более подробной, чем превосходные заметки Менабреа: она была в том числе посвящена описанию сложных расчетов с помощью машины Бэббиджа, в частности вычислению чисел Бернулли. Новизна машины Бэббиджа заключалась в том, что вычисления задавались с помощью последовательности инструкций, или машинного алгоритма. Если говорить современным языком, эта последовательность инструкций была аналогична компьютерной программе. Заметки Ады, по объему в три раза превышавшие статью Менабреа, были подписаны лишь ее инициалами А. А. Л., но не полным именем — Ада Августа Лавлейс, ведь многие брадатые мудрецы, узнав, что заметки написаны женщиной, не восприняли бы их всерьез. Кроме того, использовать фамилию мужа при публикации каких бы то ни было книг, как правило, не разрешалось.

Ада не ограничилась простыми вычислениями: при правильной последовательности инструкций машина Бэббиджа могла, например, сочинять музыку. Более того, по словам Ады, «аналитическая машина вышивала алгебраические узоры так же, как станок Жаккара вышивает цветы и листья».

В станке Жаккара с помощью отверстий, проделанных в плоских перфокартах по определенной схеме, указывалось, как именно должны проходить нити, и в итоге на ткани появлялись цветные рисунки. Аналогичным образом можно было хранить инструкции, описывающие вычисления. Один набор перфокарт определял элементарные операции, другой указывал, в каком порядке и когда именно следует эти операции выполнять. Ада даже придумала остроумный способ, который позволял повторно использовать перфокарты, описывающие простые и повторяющиеся операции (говоря современным языком, Ада описала циклы программы). Так родилось понятие подпрограммы.

Ада поняла очень важный момент: машина Бэббиджа может работать не только с простыми конкретными числами, но и с символами. Теперь речь шла о настоящих вычислениях в современном смысле этого слова.

Ада всегда утверждала, что аналитическая машина не способна чудесным образом создать что-либо самостоятельно. Да, она могла поразить воображение, но ее «творческие способности» были ограничены творческими способностями ее создателей. Как гласит пословица, «из пустого ничего нельзя взять», что есть не более чем изложение второго начала термодинамики популярным языком. Ни «Я, робот», ни «Терминатор» в нашей Вселенной существовать не могут.

Станок Жаккара, работающий на перфокартах.

* * *

ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ

К сожалению, здесь нам не хватит места, чтобы рассказать о числах Бернулли настолько подробно, как они того заслуживают. Эти числа названы в честь Якоба Бернулли (1654–1705), который ввел их при изучении сумм n-х степеней m первых чисел:

Эта сумма в сокращенном виде записывается так:

Числа В_к, которые всегда будут рациональными, называются числами Бернулли. Первые числа Бернулли таковы:

Их можно вычислить по рекурсивному алгоритму, например с помощью формулы:

Эту формулу можно описать конечной последовательностью действий, или алгоритмом. Именно так поступила Ада Лавлейс: она определила упорядоченную последовательность действий, позволяющих вычислить любое число Бернулли на машине Бэббиджа. Ее беспокоила не эффективность алгоритма, а лишь возможность его выполнения.

Логично, что последовательность чисел Бернулли бесконечна. Нечетные числа Бернулли для n > 2 равны нулю; значения остальных чисел Бернулли хаотичны, и сегодня не существует метода, позволяющего предсказывать их значения. Они тесно связаны с дзета-функцией Римана и считается, что в будущем эти числа сыграют крайне важную роль в теории чисел.

В интернете существуют прекрасные сайты, посвященные числам Бернулли, с помощью которых можно узнать совершенно непостижимые вещи: так, знаменатель несократимой дробной части числа В_10000000  содержит 394815332706046542049668428841497001870 цифр. Это знание может показаться бесполезным, но никогда не знаешь, что и когда может пригодиться.

* * *

ЯЗЫКИ, ПРОГРАММЫ И ПОДПРОГРАММЫ

Первое, что необходимо вычислительной машине, чтобы начать работу, — это понять, чего хочет пользователь. Эта задача решается с помощью языков программирования, которые, разумеется, изобрела не Ада Лавлейс. Далее необходимо схематично описать и упорядочить инструкции так, чтобы считывающие устройства машины могли последовательно считать их. После того как мы зададим начальные условия с помощью набора переменных, машина сможет работать самостоятельно. Если мы изменим начальные значения переменных, то, в общем случае, результат работы машины также изменится. Вычисления будут отличаться, однако описывающие их инструкции останутся неизменными. Одно и то же множество инструкций позволяет выполнить множество вычислений. Эти инструкции представляют собой элементарную программу. Именно программы почти что изобрела Ада (другие считают, что Бэббидж опередил ее на несколько лет) и применила свое изобретение для вычисления чисел Бернулли.

В рамках программы могут быть выделены подпрограммы — фрагменты, которые описывают повторно выполняемые операции и используются множество раз. Они могут храниться в ячейках памяти, и к ним можно обращаться по мере необходимости.

Если гипотетическая вычислительная машина выполняет умножение, то полный алгоритм умножения будет программой, а таблица умножения, например, на 3 — подпрограммой.

Неполный фрагмент аналитической машины Бэббиджа.

* * *

Возможно, пришло время разрушить не слишком реалистичный образ романтичной графини, увлекавшейся математикой. Личная жизнь Ады была достаточно типичной для графини викторианской эпохи: она любила спектакли и танцы, была несколько равнодушна к детям, а порой и к супружескому долгу, коллекционировала украшения и держала множество собак. Ада наверняка страдала какой-то разновидностью биполярного расстройства, так как периоды маниакальной гиперактивности чередовались у нее с приступами депрессии.

Среди друзей графини и тех, с кем она состояла в переписке, были Чарльз Диккенс, Чарльз Уитстон (известный специалист по электричеству), Дэвид Брюстер (изобретатель калейдоскопа) и Майкл Фарадей. С годами она познала искусство кокетства и наверняка имела нескольких поклонников: ее муж позднее уничтожил свыше ста писем, которые счел неподобающими. Вместе с Бэббиджем она открыла для себя очарование ставок на бегах и даже, отчасти сама того не осознавая, связалась с профессиональными игроками, в частности с неким Джоном Кроссом. Они впутали графиню в свои темные дела, и Ада оказалась в долгах. Ее можно по праву вслед за Бэббиджем назвать повелительницей чисел, но стоит заметить, что после смерти она оставила долгов по ставкам на 2 тысячи фунтов.

Финал долгой истории

В возрасте 36 лет у Ады Лавлейс обнаружили рак. Ада пыталась заглушить боль с помощью опиума, алкоголя и даже спиритических сеансов, но в какой-то момент в дело вмешалась ее строгая мать, и жизнь Ады стала совсем трудной. Мать лишила Аду обезболивающих, так как считала, что сильные страдания могут искупить совершенные в прошлом грехи прелюбодеяния и азартных игр. Ада скончалась в расцвете лет, пройдя чистилище еще при жизни. Ее могила находится рядом с могилой лорда Байрона. Отношения Ады с матерью со временем остыли: она нашла доказательства того, что ее отец, лорд Байрон, был вовсе не таким плохим человеком, как внушила ей мать. После смерти Ады мать попросила у Бэббиджа все ее бумаги, чтобы уничтожить их, но тот решительно оказался выполнить эту просьбу. За год до трагического финала жизни Ады Лавлейс королева Виктория открыла первую всемирную выставку. Начинался расцвет викторианской эпохи.

Со временем личность Ады обросла легендами. Сегодня о ней написано множество книг и снято несколько фильмов. Ежегодно в честь научных и технических достижений, совершенных женщинами, отмечается День Ады Лавлейс.

В 1980-е годы заслуги Ады были оценены по достоинству: язык программирования, значившийся в каталогах американского Министерства обороны под кодом MIL-STD-1815, получил название «Ада». Обратите внимание на число 1815 — это год рождения Ады Лавлейс. В 1984 году «Ада» стала бессмертной: название было зарегистрировано как торговая марка.

* * *

ЧАРЛЬЗ БЭББИДЖ И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАШИНЫ

В 1822 году Бэббидж уже описал теоретические основы механической машины, которая, учитывая скудные технические возможности той эпохи, могла работать только от мощного парового двигателя и позволяла автоматически рассчитывать астрономические таблицы с помощью разностного метода, применимого для всех многочленов. Функциональность машины была очень ограниченной: она могла выполнять только операции сложения (правда, очень быстро) и автоматически печатала результаты вычислений, а также использовала результаты предыдущих операций для выполнения последующих. Любой, кто хоть раз видел таблицы астрономических логарифмов, насчитывающих 15 и более знаков, может представить, насколько передовой была машина Бэббиджа. Британское правительство выделило средства на создание аналогичной разностной машины. В 1834 году, после того как в проект было вложено 23 тысячи фунтов, финансирование было прекращено. К тому времени Бэббидж уже оставил проект разностной машины и переключился на новый, еще более передовой проект: аналитическую машину.

Бэббидж придумал автоматическую вычислительную машину (разумеется, механическую), по своей структуре схожую с современными компьютерами: одна часть машины (Бэббидж назвал ее «мельницей») выполняла вычисления, другая контролировала вычисления и определяла, какие действия следует выполнять, третья предназначалась для хранения чисел, их ввода и вывода. Управление машиной осуществлялось с помощью перфокарт, которые использовались еще для автоматизации ткацких станков, сконструированных в начале XIX века французским инженером Жаккаром. Если говорить о хранении данных, то машина могла сохранять тысячу 50-значных чисел для повторного использования.

Ум и воображение английского математика шли намного дальше, чем позволяли тогдашние технологии, так что концептуально аналитическая машина Бэббиджа не слишком отличается от современных компьютеров. Проект второй машины Бэббиджа, намного опередившей свое время, так и не был реализован. С нашей точки зрения, функциональные возможности изобретения Бэббиджа были весьма ограниченными, так как его машина отличалась малым объемом памяти. Экспериментальная машина Бэббиджа была изготовлена в 1990-е годы и успешно работала.

Был ли Бэббидж в самом деле такой важной фигурой, как считается? В этом нет никаких сомнений, хотя его вклад в развитие науки оценивается по-разному. К примеру, в книге «1000 years, 1000 people» («1000 лет, 1000 людей») Ада Лавлейс упоминается под номером 960. Джон фон Нейман, возможно, сыгравший самую важную роль в создании современной вычислительной техники, занимает 959-е место, а Бэббидж — 351-е.

Потрет Чарльза Бэббиджа кисти Сэмюэля Лоренса.

* * *

Флоренс Найтингейл (1820–1910)

В массовом сознании такие личности, как Альберт Швейцер или Александр Флеминг, считаются воплощением доброты. Среди женщин сложно будет вспомнить кого-либо, кто подходил бы на эту роль, за исключением матери Терезы — мы просто не привыклирассматривать женщин в подобном качестве. Но в англоговорящих странах известна еще одна женщина, которая способна составить конкуренцию матери Терезе. Речь о Флоренс Найтингейл, которая в некоторых энциклопедиях названа медсестрой и статистиком — согласитесь, любопытное сочетание профессий.

В Лондоне, в двух шагах от парламента, в районе, который можно назвать самым центром города, установлена статуя Флоренс. В характерной одежде викторианской эпохи она похожа на монахиню. Никто не мог бы и подумать, что эта суровая женщина — икона гей-движения (хотя сама Флоренс никогда не позволяла себе никаких вольностей), видный общественный реформатор, ярый сторонник права женщин на образование, а также… превосходный математик.

Статуя Флоренс Найтингейл на площади Ватерлоо в Лондоне.

Из колыбели — в Крым

Если бы Флоренс родилась в скромной английской семье, то не смогла бы получить никакого образования. Но судьба проявила к ней благосклонность: Флоренс была второй дочерью в обеспеченной семье. Ее отец окончил Кембридж, и ему был пожалован один из известных в то время титулов. Он сменил фамилию с Шор на Найтингейл, получил наследство как продолжатель рода и разбогател. Его отношение к образованию осталось прежним, и он сам занялся обучением собственных детей. Когда его вторая дочь, прочитав Евклида, захотела узнать о математике побольше, он не поверил своим ушам: ведь математика для женщины бесполезна!

Его жена считала так же: «Зачем математика замужней женщине?» — недоумевала она. Но победу в споре с родителями одержала Флоренс, и ей разрешили обучаться математике. Девочка особенно интересовалась статистической интерпретацией данных, описанной Адольфом Кетле (1796–1874), с которым поддерживала переписку. В 17 лет Флоренс было ниспослано божественное откровение (по крайней мере, так утверждала она сама), которое, возможно, стало всего лишь логичным результатом ее экзальтированного характера и воздействия окружающих. Девушка решила посвятить себя служению Богу и людям и дала обет безбрачия, хотя ее круг предоставлял ей немало возможностей для выгодного брака: Флоренс была богата, умна и миловидна.

Во время поездки в Германию она познакомилась с членами лютеранской общины Теодора Фидлера, позднее оказавшей на нее большое влияние. Уже в 1844 году Флоренс решила направить все свои силы на достижение одной цели — улучшение условий жизни (точнее было бы сказать, смерти) в больницах, настоящих братских могилах того времени. Она была безгранично трудолюбивой и самоотверженной, и эти качества очень пригодились ей для достижения поставленной цели.

Чтобы читатель смог лучше понять события, о которых мы расскажем далее, совершим небольшой экскурс в историю. В 1853 году началась Крымская война между Россией и объединенными силами Турции, Франции и Англии. Поводом к войне стал раздел пирога — находившейся в упадке Османской империи. Боевые действия запомнились любителям военной истории и кино знаменитой и ужасающей по своим последствиям атакой легкой бригады англичан при Балаклаве, когда английские кавалеристы, по всей видимости, перепутали войну с охотой на лис. В итоге об этой атаке смогли рассказать лишь немногие выжившие. Война закончилась в 1856 году фактическим, но непризнанным поражением русских войск.

Леди со светильником

В 1854 году Флоренс попросила своего близкого друга Сидни Герберта, ставшего военным министром, отправить ее на Крымскую войну, чтобы она могла помочь в обустройстве госпиталей. Следует пояснить, что число умерших в военных госпиталях в годы Крымской кампании было пугающим даже для того времени. Более того, число умерших в госпиталях оказалось выше числа погибших на поле боя. Жестокая реальность доказывала: в случае серьезного ранения для солдата было бы лучше попросить пристрелить его на месте.

Флоренс отправилась в Крым во главе группы из 38 медсестер. Правительство ее величества поставило перед ними задачу: попытаться помочь раненым. И Флоренс справилась — использовав свой здравый смысл, обычное сострадание и научные методы. С самого начала она дала понять, что не будет мешать работе врачей и, напротив, отнесется с уважением к их методам и знаниям. Она не внедрила меры гигиены для защиты от микробов — в то время работы Пастера еще не были написаны, кампания Земмельвайса по борьбе с инфекцией еще не началась, а о микробах было мало что известно. Однако Флоренс применяла индивидуальный и гуманный подход к больным и поддерживала чистоту, не обращая внимания на возражения неквалифицированных медсестер и общую небрежность работников госпиталей.

До Флоренс обычным считалось, когда легкораненые помогали тяжелораненым, а у многих пациентов не было даже нормальной постели.

Армейский госпиталь находился в Ускюдари, вдали от фронта, и представлял собой огромное скопление грязных бараков, операционные столы были установлены прямо посреди палат для раненых, здесь не было ни кухонь, ни прачечных. Все медикаменты и оборудование проходили через руки неторопливой военной бюрократии — сперва они тщательно осматривались, после чего, неизменно с опозданием, отправлялись на фронт. Разумеется, медсестер в госпиталях не было, врачей не хватало. В столь ужасных условиях пышным цветом цвели холера, тиф и дизентерия, а немытые больные, у которых не было даже простыней, лежали в военной форме, пропитанной кровью и нечистотами.

Там, в госпитале Ускюдари, родилась легенда о леди со светильником: представьте, какой виделась раненым, лежавшим в полубессознательном состоянии, женщина с простым светильником в руках, которая среди ночи совершала обход, успокаивала больных и дарила им тепло, в котором они так нуждались. У леди со светильником не было пенициллина, но теплоты и сострадания ко всем было в избытке. Флоренс вернулась из Турции, больная бруцеллезом (так называемой мальтийской лихорадкой), и, вооруженная неопровержимой статистикой, начала борьбу за улучшение полевых госпиталей. Военные чиновники, возмущенные тем, что кто-то осмелился сунуть нос в их дела, прозвали Флоренс Найтингейл «женщиной с молотком», но она продолжала свои реформы.

В результате предпринятых мер смертность снизилась. Однозначных цифр по этому поводу не приводится, но снижение смертности было заметным: в некоторых источниках приводится цифра в 40 %, возможно, преувеличенная. Флоренс вернулась на родину, и ей удалось добиться создания комиссии по реформе военных госпиталей. С одной стороны, Флоренс пользовалась мощной политической поддержкой: вопросом заинтересовались сама королева Виктория, ее муж, принц Альберт, и премьер-министр лорд Палмерстон. Интерес монарших особ к этой теме не столь необычен, как может показаться: королева, не обращая внимания на советы приближенных, сама впервые воспользовалась анестезией при родах, сочтя бессмысленной религиозную болтовню о том, что женщина обречена в муках рожать детей.

На этой литографии 1856 года изображен зал военного госпиталя в Ускюдари, где Флоренс работала медсестрой.

Вторым подспорьем Флоренс была статистика. Она с безукоризненной тщательностью рассмотрела и классифицировала собранные данные, после чего представила их в виде четких и простых рисунков и графиков — разновидности современных круговых диаграмм. Опираясь на эти графики, Флоренс доказала необходимость реформ даже самым упрямым своим противникам. Ее способности анализировать данные, собирать их, составлять таблицы, наглядно представлять и интерпретировать стали притчей во языцех. Со временем Флоренс даже разработала таблицы для сбора данных, которые сотрудники госпиталей должны были заполнять для последующего расчета статистических показателей и принятия практических решений.

В 1858 году Флоренс Найтингейл была избрана членом Королевского статистического общества (и стала первой женщиной, удостоенной подобной чести), в 1874 году — членом Американской статистической ассоциации.

Основное внимание она уделяла созданию современного сестринского дела (Флоренс считала, что медсестры должны обладать особой подготовкой и дополнять врачей в лечении пациентов), реформе учреждений по поддержке бедных, статистическому изучению рождаемости и смертности, а в долгосрочной перспективе — борьбе с периодическим голодом в Индии.

В 1883 году королева Виктория удостоила Флоренс Найтингейл Королевского красного креста. В 1901 году исследовательница ослепла. В 1907 году король Эдуард VII наградил ее Орденом Заслуг — особой наградой, важной еще и потому, что Флоренс стала первой женщиной, получившей этот орден. Позднее его были удостоены Маргарет Тэтчер, Джоан Сазерленд, мать Тереза и еще несколько женщин.

Ко дню своей смерти в 1910 году Флоренс считалась подлинным воплощением добродетели. Ей был посвящен огромный некролог в газете «Таймс», занявший больше половины полосы. На похоронах шесть сержантов несли гроб. Согласно завещанию, она не была похоронена в Вестминстерском аббатстве. Об увлекательной и благородной жизни Флоренс Найтингейл к 2011 году было снято четыре фильма и множество телесериалов. Литтон Стрейчи посвятил ей часть сборника «Выдающиеся викторианцы», что можно назвать высшим признанием ее заслуг со стороны литературного мира. Она упоминается и в других книгах и стихотворениях, в частности в поэме Генри Лонгфелло, где леди со светильником описывается в следующих строках, известных каждому англичанину:

* * *

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГРАФИКИ

Сегодня эти графики называются гистограммами, но во времена Флоренс они еще не имели названия. Найтингейл использовала круговые диаграммы (они назывались «петушиными гребнями» (англ, coxcomb diagram), или полярными диаграммами), которые отличались наглядностью и не требовали подробных пояснений. Первым подобные диаграммы применила не Флоренс Найтингейл, а Джон Плейфэр (1748–1819). При необходимости Флоренс использовала и другие разновидности диаграмм, к примеру, столбиковые. Следует подчеркнуть, как умно действовала исследовательница: с помощью простых рисунков, понятных каждому и почти не требовавших пояснений, ей удалось убедить в своей правоте даже самых упрямых своих противников. Как удачно заметил Пол Леви, Флоренс Найтингейл возглавляла лобби — пусть и в поддержку реформ, но, тем не менее, лобби. Впрочем, ее знания статистики были ограниченными — в те времена, к примеру, были неизвестны дисперсионный и ковариационный анализ, и рассмотреть вклад отдельных переменных в общую картину было невозможно. Флоренс Найтингейл считается одним из пионеров медицинской статистики. Именно она ввела термин «прикладная статистика» и оказала большое влияние на таких ученых, как Фрэнсис Гальтон и Карл Пирсон.

Диаграммы Флоренс Найтингейл, взятые из ее книги A Contribution to the Sanitary History of the British Army during the Late War with Russia («История здравоохранения в Британской армии во время последней войны с Россией»), показывающие уровень смертности во время Крымской войны. Круговые сектора соответствуют отдельным месяцам: области, выделенные светло-серым цветом, обозначают смертность от инфекционных заболеваний, темно-серым — смертность от ран, черным — смертность от остальных причин.

* * *

Софья Ковалевская (1850–1891)

Математики нечасто бывают политиками и писателями, подобно Софье Ковалевской, однако история знает несколько подобных примеров разносторонности. Теодор Каминский (р. 1942), известный как Унабомбер, был математиком и террористом, а Андре Блох (1893–1948) удостоился чести быть одновременно математиком и заключенным: он убил собственного брата и признал свою вину. Существуют и другие подобные примеры, но не будем на них останавливаться подробнее. Наш рассказ пойдет о Софье Ковалевской — вне всяких сомнений, она того заслуживает.

Софья Ковалевская.

Из огромной России — в соседнюю Европу

Во многих городах центральной Европы до сих пор помнят венгерского короля Матьяша I Корвина (1443–1490), прозванного Справедливым. Легенда гласит, что Матьяш имел обыкновение одеваться в простую одежду, сливаться с толпой и беседовать с первым встречным. Одной из его потомков по имени Софья — или, как ее называли, Соня — суждено было стать знаменитой. Софья Корвин-Круковская родилась в 1850 году в семье генерала, который, выйдя в отставку, поселился возле литовской границы, в поместье Полибино. Генерал и его жена по фамилии Шуберт, происходившая из семьи известных астрономов, жили отдельно от остальных членов семьи, в частности от дочерей, так как им часто приходилось посещать далекий императорский двор в Петербурге. Образованием Софьи занималась гувернантка.

Первым интерес девочки к математике пробудил ее дед, который с великим почтением относился к этой науке.

В те годы в богатых домах стены было принято оклеивать обоями, но в далекое поместье Корвин-Круковских обои доставлялись с задержкой в несколько месяцев. Поэтому детскую решили на время оклеить не обоями, а простой бумагой, даже исписанной. В дело пошли давние заметки генерала по курсу дифференциального и интегрального исчисления Остроградского (1801–1861), прекрасного математика, который также служил инспектором военных школ. Формулы этого курса (это были интегралы и частные производные) описывали непонятные, но прекрасные кривые, и Софья завороженно водила пальцем по формулам, не понимая их смысла. Эти формулы, которые Софья каждый день видела на стенах своей комнаты, непреодолимо манили ее.

Девочка росла весьма смышленой. Как-то раз профессор физики Тыртов, частый гость в доме Ковалевских, принес в подарок Софье свою недавно законченную книгу по физике. Часть работы, посвященная оптике, изобиловала тригонометрическими формулами. К удивлению гостя, Софья поняла их смысл и сумела разгадать тайны тригонометрии, которые даже не упоминались в книге. Она изучила элементарную тригонометрию совершенно самостоятельно. Дивленный Тыртов поговорил с отцом Софьи, однако тот был старомодным человеком, который решительно протестовал против того, чтобы женщина чему-то училась, тем более математике: во-первых, в России к обучению женщин традиционно относились с недоверием, во-вторых, отец Софьи был военным, в-третьих, на дворе стоял XIX век. Но в конце концов отец уступил уговорам и отпустил дочь учиться в Санкт-Петербург, хотя очень хотел, чтобы она стала такой, какой должна быть воспитанная барышня.

Софья с изумлением начала понимать смысл символов из курса Остроградского, записанных на стенах детской, и с упоением впитывала все новые и новые знания. Она была не только хорошим математиком, но и прекрасно писала. Софья очень хотела путешествовать и продолжать образование, но семья запретила ей покидать Санкт- Петербург.

Здесь в судьбу девушки вмешался Федор Михайлович Достоевский — известный писатель, к которому была вхожа сестра Софьи, Анюта. В те годы интеллигенция в России отличалась активной жизненной позицией. Среди прочих прогрессивных идей в моде был нигилизм, и одним из руководителей кружка нигилистов был и Достоевский. Молодежь в те годы нашла способ открыть путь к свободе — с помощью фиктивных браков. Молодые люди выбирали себе прогрессивного и терпимого партнера, после чего вступали с ним в брак, но клялись сохранять целомудрие. В результате жена автоматически получала все права замужней женщины. В частности, если муж давал свое согласие, то жену не могли лишить паспорта, а с ним и права выехать за границу, особенно в сопровождении супруга. Божественный союз не мог расторгнуть ни один человек, даже возмущенный отец.

Говорят, что супруг Софьи достался ей по жребию. Ее второй половинкой был юноша по имени Владимир Ковалевский, многообещающий студент-геолог, знакомый с англичанином по фамилии Дарвин и готовый путешествовать, учиться и связать жизнь с Софьей, но не разделить с ней супружеское ложе — это было исключено. Возможно, Ковалевскому подобное обязательство далось непросто, ведь Софья, как свидетельствуют фотографии, была очень привлекательна.

Поборница прогресса

Ковалевские переехали в Гейдельберг, но спустя несколько лет Софья убедилась: для занятий математикой на самом высоком уровне этот город был слишком тесен. То, чего она не знала, можно было изучить лишь в столице, в Берлине, в непосредственном общении с великими. В области дифференциальных уравнений и математического анализа не было равных Карлу Вейерштрассу. Софья отправилась в Берлин, где столкнулась с первым проявлением сексизма за свою научную карьеру: женщинам запрещалось даже посещать занятия, не говоря уже о том, чтобы получать ученые степени, а в научных кругах господствовало представление о женщинах как о существах второго сорта.

В математическом мире Берлина царствовал Карл Вейерштрасс — немолодой атлет и великий математик, практически самоучка, отличавшийся невероятной строгостью. Так как Софья не могла посещать его лекций, она попросила дать ей частные уроки. Вейерштрасс нехотя, из вежливости, согласился. Чтобы избавиться от прекрасной, но назойливой русской девушки, он дал ей несколько очень сложных упражнений, которые любого заставили бы поломать голову. Но Софья не просто нашла верные ответы — ее решения были свежи и остроумны. Вейерштрасс сразу же изменил отношение к Софье. Возможно, эта женщина намного умнее, чем он считал? Профессор решил дать ей частные уроки и ни разу не пожалел об этом.

После нескольких лет подготовки Софья решила написать докторскую диссертацию и, разумеется, посвятила ее дифференциальным уравнениям. После этого она опубликовала несколько важных статей, в том числе статью о кольцах Сатурна. Статья Ковалевской, написанная по собственной инициативе и без помощи Вейерштрасса, носила пугающее название Zusätze und Bemerkungen zu Laplace’s Untersuchungen ūiber die Gestalt der Saturnringe («Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме колец Сатурна»). В этой статье рассматривается форма и устойчивость колец Сатурна, однако она не содержит каких-либо идей, которые сегодня можно было бы назвать революционными. Сегодня мы знаем, что кольца Сатурна — это не твердые образования (мы даже отправили к ним несколько космических аппаратов), но во времена Ковалевской о кольцах Сатурна было почти ничего не известно, и оставалось лишь строить гипотезы.

* * *

КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС (1815–1897)

Вейерштрасс с его стремлением к строгости и точности и вездесущими ε и δ считается создателем современного анализа. Его определения предела и непрерывности несколько тяжеловесны, но применяются повсеместно и преподаются в школах и университетах. Но это не вся правда об ученом. А вся правда заключается в том, что Вейерштрасс был математиком, исключительным во всех отношениях. Он всегда демонстрировал особые способности к этой науке и отличался неистощимой тягой к знаниям. Его отец настаивал на том, чтобы Карл изучал юриспруденцию, экономику и финансы. Вейерштрасс никак не мог решить, каким путем стоит последовать, и тратил все свободное время на фехтование и выпивку, в чем изрядно преуспел. В итоге он стал простым учителем гимназии и преподавал не только математику, но и каллиграфию. К счастью, юноша никогда не прекращал заниматься математикой (в то время его интересовали эллиптические функции), и в конце концов ему выпала возможность опубликовать в Журнале Крелля статью, посвященную абелевым функциям, которая быстро принесла ему известность в научных кругах.

Вейерштрасс в итоге стал профессором Берлинского университета, где пользовался невиданным авторитетом. Там же в 1870 году он познакомился с Софьей Ковалевской. Вейерштрасс всегда восхищался талантом и красотой этой девушки. По всей видимости, узнав, что Софья была замужем за Владимиром Ковалевским, он испытал некоторое разочарование, так как связывал с ней определенные ожидания. Вейерштрасс был превосходным преподавателем: среди его многочисленных учеников были Кантор, Фробениус, Гурвиц, Клейн, Ли, Минковский, Миттаг-Леффлер и Шварц, а полное собрание сочинений ученого насчитывает шесть томов.

* * *

Первая статья Софьи была удостоена невиданной (для женщины) чести — публикации в Журнале Крелля. Приняв во внимание это, а также другие ее заслуги, Гёттингенский университет, самый авторитетный университет в мире математики, в 1874 году присвоил Ковалевской степень доктора.

И все же сексизм оставался непреодолимой преградой. София, закончив обучение у Вейерштрасса, знала математику намного лучше, чем некоторые из окружавших ее мужчин, однако научное сообщество не разрешало ей преподавать. Найти должность преподавателя было невозможно: казалось, что способность передавать знания представляла собой некий божественный дар, доступный только мужчинам.

Софья вернулась в Россию в поисках работы, но и здесь ей сопутствовали неудачи. Она считалась нигилисткой и феминисткой, что не способствовало социальному успеху. Ее муж Владимир неудачно распорядился наследством Софьи, и семейные сбережения пропали. Женщина решила оставить математику и посвятить себя литературе.

Говорят, что при трении возникает тепло, и перед этим законом физики не устояла и чета Ковалевских: они так притерлись друг к другу в фиктивном браке, что влюбились друг в друга. В 1878 году у них родилась дочь, тоже Софья. Со временем Владимир, к тому времени ставший преподавателем палеонтологии в Московском университете, отошел от научной работы и занялся спекуляциями, которые оказались не особенно успешными. Он впал в депрессию и покончил жизнь самоубийством.

Софья с ребенком вернулась в Германию, под крыло Вейерштрасса, и попыталась получить должность преподавателя, но безуспешно. Ковалевская — доктор математики, блестящий специалист по анализу — не имела никакой возможности преподавать.

К счастью, в Швеции в то время господствовали более лояльные настроения. Софья познакомилась с Магнусом Гёстой Миттаг-Леффлером (1846–1927), который в то время был первым математиком Швеции и высоко ценил ее образованность и ум. С его помощью Ковалевская получила должность в Стокгольмском университете и начала преподавать, успевая находить время и для математики, и для литературы. Спустя полгода она получила звание профессора, став первой женщиной-профессором современности. С сестрой Миттаг-Леффлера Анной ее связывала крепкая дружба. Они обе занимались литературой и пообещали друг другу, что после смерти одной из них другая напишет ее биографию. Софья умерла первой, и Анна сдержала свое обещание.

Софья Ковалевская вместе с сестрой Миттаг-Леффера Анной Шарлоттой Леффлер. Их связала любовь к литературе, и они дружили до самой смерти Софьи.

В 1888 году в Париже при участии Академии наук была учреждена престижная математическая премия Prix Bordin, к которой прилагался денежный приз в 3000 франков. Все близкие друзья Софьи знали, что она представит свою работу на конкурс. Его тема была неизменной: изучение движения твердого тела вокруг точки под действием силы тяготения. Неизменной была и схема проведения конкурса: все работы подавались в запечатанных конвертах, и члены жюри при рассмотрении учитывали только содержание работ. До церемонии награждения имена авторов держались в тайне и заменялись девизами. Софья выбрала для себя девиз «Говори что знаешь, делай что должен, и будь что будет». На конкурс 1888 года свои работы представили 15 соискателей. Премии была удостоена блестящая работа с длинным и непонятным названием «О частном случае задачи вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, в которой интегрирование выполняется при помощи гиперэллиптических интегралов». Когда было объявлено имя победителя, почтенная аудитория, должно быть, испытала потрясение: победу одержала женщина — Софья Ковалевская. Все друзья Софьи знали, что она претендовала на Prix Bordin, поэтому ее триумф оказался вдвойне ярким. Когда сама Софья незадолго до Рождества узнала о своей победе, она, должно быть, тоже испытала потрясение: победа в конкурсе означала всемирное признание. Учитывая высокий уровень работы, жюри увеличило денежную премию до 5 тысяч франков. Позднее было показано, что решения, найденные Софьей, охватывали весь спектр, если можно так выразиться, нормальных случаев, следовательно, с публикацией ее статьи тема была закрыта окончательно.

Вейерштрасс писал ей из Германии: «Нет нужды говорить, как ваш успех обрадовал меня и моих сестер, а также всех ваших друзей, находящихся здесь. Лично я испытал настоящее удовлетворение. Компетентное жюри вынесло свой вердикт: моя верная ученица, моя слабость, перестала быть фривольной марионеткой». Софья приобрела собственные заслуги и не находилась ни в чьей тени.

В 1891 году Ковалевская вновь влюбилась. Мы не будем упоминать о порывах страсти, охватывавших ее в разные годы — их было довольно много и они не особенно влияли на ее карьеру. На этот раз Софья полюбила своего дальнего родственника.

Проведя с ним каникулы во Франции, она вернулась в Швецию. На обратном пути женщина подхватила простуду, которая переросла в пневмонию. В конце XIX века, когда антибиотиков еще не существовало, пневмония часто грозила больному смертью. Софья умерла вскоре после того, как ей исполнился 41 год, в самом расцвете сил. Комментарий русского министра внутренних дел во многом объясняет, почему Софья Ковалевская стремилась уехать из России: «Переживать, в общем, не о чем. В конце концов, умерла всего лишь нигилистка».

Наследие Ковалевской

Софья оставила значительное наследие. Она внесла важный вклад в математику и стала автором весьма достойных работ по анализу. Ее именем названа теорема Коши — Ковалевской, формулировка которой слишком сложна, чтобы привести ее здесь, и содержит частные производные и аналитические функции. Короче говоря, она достаточно непонятна для непосвященных. В теореме рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые удовлетворяют определенным граничным условиям и условиям существования аналитических решений подобных систем. Эта теорема была впервые опубликована в 1880 году в Журнале Крелля под названием Zur Theorie der Partiellen Differentialgleichung («О теории уравнений в частных производных») и получила всеобщее признание. Внимание привлекает фамилия автора статьи — Софья фон Ковалевская. Эта работа отняла у нее даже больше времени, чем та, что была представлена на конкурс Prix Bordin.

Интересы Софьи Ковалевской не ограничивались исключительно математикой. Одна из самых популярных ее фраз, почти афоризм, гласит: «Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе». В ее случае это была не просто красивая фраза: Софья достаточно много писала и стала автором ряда повестей. Ее «Воспоминания детства» представляют собой блестящий образец самоанализа и погружения во внутренний мир ребенка. Несколько романов Ковалевской были опубликованы в Швеции и имели определенный успех; если бы она приложила больше усилий, то, несомненно, прославилась бы и на литературном поприще.

Софья Ковалевская была знакома со многими великими: с кем-то она познакомилась самостоятельно, с кем-то — через мужа. В одном кругу с ней находились такие математики, как Вейерштрасс, Миттаг-Леффлер, Эрмит, Пикар, Пуанкаре, Чебышев и другие, а также Достоевский, Тургенев, Дарвин (Софья перевела для мужа несколько его трудов), Томас Гекели, Роберт Вильгельм Бунзен, писательница Джордж Элиот, исследователь и нобелевский лауреат Фритьоф Нансен, сам Альфред Нобель, химик Юлия Лермонтова, Герберт Спенсер, Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц, Генрик Ибсен, Густав Кирхгоф и Дмитрий Менделеев.

Многочисленные друзья Ковалевской всегда отмечали ее ум, скромность и внешность — Софья была красивой женщиной. Дань уважения ей отдали и астрономы: именем Ковалевской назван лунный кратер, и он будет носить это название, пока Луна вращается вокруг центра Земли. Совсем как в задаче на премию Prix Bordin.

Глава 5 Амалия (Эмми) Нётер, королева без короны

По мнению наиболее выдающихся из числа ныне здравствующих математиков, Эмми Нётер была величайшим творческим математическим гением, явившимся миру с тех пор, как для женщин открылось высшее образование.

Альберт Эйнштейн

Эйнштейн был прав, и Эмми Нётер (1882–1935), с которой ему так и не довелось вместе поработать в Институте перспективных исследований в Принстоне (хотя она этого заслуживала как никто), была удивительным математиком — возможно, величайшей женщиной-математиком всех времен. И Эйнштейн не единственный придерживался такой точки зрения: Норберт Винер поместил Нётер в один ряд с лауреатом двух нобелевских премий Марией Кюри, которая тоже была превосходным математиком.

Также Эмми Нётер стала объектом ряда дурных шуток — вспомним хотя бы бессмертную фразу невоздержанного на язык Эдмунда Ландау: «Я могу поверить в ее математический гений, но не могу поклясться, что это женщина». Эмми в самом деле отличалась мужеподобной внешностью, а кроме этого, совершенно не задумывалась о том, как она выглядит, особенно во время занятий или научных дебатов.

По воспоминаниям очевидцев, она забывала уложить волосы, почистить платье, тщательно пережевывать пищу и отличалась многими другими чертами, которые делали ее не слишком женственной в глазах благопристойных соотечественников-немцев. Также Эмми страдала сильной близорукостью, из-за чего носила некрасивые очки с толстыми стеклами и была похожа на сову. Сюда же следует добавить и привычку носить (из соображений удобства) мужскую шляпу и набитый бумагами кожаный чемодан, как у страхового агента. Сам Герман Вейль, ученик Эмми и почитатель ее математического таланта, достаточно взвешенно выразил общее мнение о наставнице словами: «Грации не стояли у ее колыбели».

Портрет Эмми Нётер в юности.

Превращение в прекрасного лебедя

Эмми Нётер родилась в обществе, где женщины, можно сказать, были скованы по рукам и ногам. В то время в Германии правил всесильный кайзер Вильгельм II, любитель торжественных приемов и церемоний. Он приезжал в город, чинно спускался с поезда, а затем местный градоначальник произносил речь. Всей грязной работой занимался Железный Канцлер Бисмарк. Он и был истинным главой государства и общества, вдохновителем его консервативной структуры, которая препятствовала обучению женщин (всеобщее образование считалось признаком ненавистного социализма). Образцом женщины была супруга кайзера, императрица Августа Виктория. Ее жизненным кредо были четыре К: кайзер, Kinder (дети), Kirche (церковь), Küche (кухня) — дополненная версия трех К из народной трилогии «Kinder, Kirche, Küche». В такой среде женщинам отводилась четко выписанная роль: на социальной лестнице они находились ниже мужчин и на ступеньку выше домашних животных. Так, женщины не могли получить образование. Собственно, обучение женщин не было запрещено полностью — для родины Гёте и Бетховена это было бы слишком. Преодолев множество препятствий, женщины могли учиться, но не имели права занимать должностей. Итог был тем же самым, но игра — более тонкой. Некоторые преподаватели, демонстрируя особое идеологическое рвение, отказывались начинать занятия, если в аудитории присутствовала хотя бы одна женщина. Совершенно иначе дело обстояло, например, во Франции, где господствовали свобода и либерализм.

Эмми родилась в небольшом городе Эрлангене, в семье преподавателей, принадлежавшей к верхушке среднего класса. Эрланген занимал необычное место в истории математики — он был малой родиной создателя так называемой синтетической геометрии Христиана фон Штаудта (1798–1867), кроме того, именно в Эрлангене юный гений Феликс Клейн (1849–1925) обнародовал свою знаменитую Эрлангенскую программу, в которой классифицировал геометрии с точки зрения теории групп.

Отец Эмми, Макс Нётер, преподавал математику в Эрлангенском университете. Его интеллект унаследовали сын Фриц, посвятивший жизнь прикладной математике, и дочь Эмми, которая напоминала гадкого утенка из сказки Андерсена — никто не мог и предположить, каких научных высот она достигнет. В детстве и юности Эмми ничем не отличалась от сверстников: ей очень нравилось танцевать, поэтому она охотно посещала все торжества. При этом девушка не проявляла особого интереса к музыке, что отличает ее от других математиков, которые часто любят музыку и даже играют на разных инструментах. Эмми исповедовала иудаизм — в то время это обстоятельство было неважным, но сказалось на ее дальнейшей судьбе. За исключением редких проблесков гениальности обучение Эмми ничем не отличалось от обучения ее сверстниц: она умела готовить и вести домашнее хозяйство, проявляла успехи в изучении французского и английского, и ей пророчили карьеру преподавателя языков. Ко всеобщему удивлению, Эмми выбрала математику.

Фасад Kollegienhaus — одного из старейших корпусов Эрлангенского университета.

Бесконечная гонка

Эмми имела все необходимое для того, чтобы посвятить себя выбранному занятию: она знала математику, семья могла выделять ей средства на жизнь (пусть и весьма скудные), а личное знакомство с коллегами отца позволяло ей рассчитывать на то, что учеба в университете не станет невыносимой. Чтобы продолжить обучение, Эмми пришлось стать слушательницей — посещать занятия в качестве полноправного студента ей запрещалось. Она успешно окончила обучение и сдала экзамен, дававший право на получение докторской степени. В качестве темы диссертации Эмми выбрала алгебраические инварианты тернарных квадратичных форм. Преподавателем этой дисциплины был Пауль Гордан (1837–1912), которого современники называли королем теории инвариантов; он был давним другом отца Нётер и сторонником конструктивной математики. В поисках алгебраических инвариантов Гордан превращался в настоящего бульдога: он вцеплялся в инвариант и не разжимал челюстей до тех пор, пока не выделял его среди хитросплетения расчетов, порой казавшихся бесконечными. Объяснить, что такое алгебраический инвариант и форма, не слишком сложно, но эти понятия не представляют интереса для современной алгебры, поэтому не будем останавливаться на них подробнее.

В докторской диссертации под названием «Об определении формальных систем тернарных биквадратичных форм» приведен 331 инвариант тернарных биквадратичных форм, найденный Эмми. Работа принесла ей степень доктора и дала возможность вдоволь попрактиковаться в математической гимнастике. Этот тяжкий труд сама Эмми позднее в порыве самокритики назвала чепухой. Она стала второй женщиной — доктором наук в Германии после Софьи Ковалевской.

Эмми получила должность преподавателя в Эрлангене, где проработала восемь долгих лет, не получая никакого жалования. Порой ей выпадала честь замещать собственного отца — его здоровье к тому времени ослабело. Пауль Гордан вышел в отставку, и его сменил Эрнст Фишер, который придерживался более современных взглядов и прекрасно ладил с Эмми. Именно Фишер познакомил ее с трудами Гильберта.

К счастью, проницательность Нётер, ее ум и знания заметили два светила Гёттингенского университета, «самого математического университета мира». Этими светилами были Феликс Клейн и Давид Гильберт (1862–1943). Шел 1915 год, Первая мировая война была в самом разгаре. И Клейн, и Гильберт отличались крайним либерализмом в вопросах обучения женщин (и их участия в исследовательской работе) и были специалистами высочайшего уровня. Они убедили Эмми покинуть Эрланген и переехать к ним в Гёттинген для совместной работы. В то время гремели революционные физические идеи Альберта Эйнштейна, а Эмми была экспертом по алгебраическим и прочим инвариантам, составлявшим крайне полезный математический аппарат теории Эйнштейна (к разговору об инвариантах мы вернемся чуть позже).

Все это было бы смешно, если бы не было так грустно — даже поддержка таких авторитетов не помогла Эмми преодолеть сопротивление ученого совета Гёттингенского университета, от членов которого можно было услышать заявления в духе: «Что скажут наши героические солдаты, когда вернутся на родину, и в аудиториях им придется сидеть перед женщиной, которая будет обращаться к ним с кафедры?». Гильберт, присутствовавший при подобном разговоре, возмущенно возразил: «Не понимаю, как пол кандидата мешает избрать ее приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!»

Но Эмми так и не была избрана приват-доцентом. Ученый совет объявил ей настоящую войну. Конфликт вскоре прекратился, была провозглашена Веймарская республика, и положение женщин улучшилось: они получили право голосовать, Эмми смогла занять должность профессора (но без жалования), однако лишь в 1922 году, приложив огромные усилия, она наконец начала получать деньги за свой труд. Эмми раздражало, что ее работа на посту редактора журнала «Анналы математики», отнимавшая немало времени, не была оценена по достоинству.

В 1918 году была опубликована сенсационная теорема Нётер. Многие называли ее именно так, хотя Эмми доказала немало и других теорем, в том числе очень важных. Нётер заслужила бы бессмертие, даже если бы умерла на следующий день после публикации теоремы в 1918 году, хотя на самом деле она нашла доказательство тремя годами ранее. Эта теорема не относится к абстрактной алгебре и находится на стыке между физикой и математикой, точнее говоря, принадлежит к механике. К сожалению, чтобы объяснить ее понятным для читателя языком, пусть даже в упрощенном виде, мы не сможем обойтись без высшей математики и физики.

Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит: «Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют свои значения с течением времени».

Понятие непрерывной симметрии в высшей физике объясняется с помощью групп Ли. Не будем углубляться в детали и скажем, что в физике под симметрией понимается любое изменение физической системы, относительно которого физические величины в системе инвариантны. Это изменение посредством математически непрерывного преобразования должно затрагивать координаты системы, а рассматриваемая величина до и после преобразования должна оставаться неизменной.

Откуда же взялся термин «симметрия»? Он принадлежит к чисто физическому языку и применяется потому, что по смыслу схож с термином «симметрия» в математике. Представьте себе повороты пространства, образующие группу симметрии. Если мы применим один из таких поворотов к системе координат, то получим другую систему координат. Изменение координат будет описываться непрерывными уравнениями. Согласно теореме Нётер, если система инвариантна относительно подобной непрерывной симметрии (в данном случае — поворота), то в ней автоматически существует закон сохранения той или иной физической величины. В нашем случае, проведя необходимые вычисления, можно убедиться, что этой величиной будет момент импульса.

Не будем останавливаться на этой теме и приведем некоторые разновидности симметрии, группы симметрии и соответствующие физические величины, которые будут сохраняться.

Эта теорема вызвала множество хвалебных отзывов, в том числе от Эйнштейна, который писал Гильберту:

«Вчера я получил очень интересную статью госпожи Нётер о построении инвариантов. На меня производит впечатление то, что такие вещи можно рассматривать со столь общей точки зрения. Старой гвардии в Гёттингене не повредило бы, если бы ее послали на обучение к госпоже Нётер. Похоже, она хорошо знает свое ремесло».

Похвала была заслуженной: теорема Нётер сыграла нетривиальную роль в решении задач общей теории относительности. Эта теорема, по мнению многих специалистов, является фундаментальной, а некоторые даже ставят ее в один ряд с известной всем теоремой Пифагора.

Перенесемся в простой и понятный мир экспериментов, описанный Карлом Поппером (1902–1994), и предположим, что мы создали новую теорию, описывающую некое физическое явление. По теореме Нётер, если в рамках нашей теории присутствует некая разновидность симметрии (предполагать подобное вполне разумно), то в системе будет сохраняться некоторая величина, которую можно измерить. Таким образом можно определить, верна наша теория или нет.

* * *

ТЕОРЕМА НЁТЕР

Физическая система в механике определяется с помощью достаточно сложных терминов, в том числе такого понятия, как действие, которое можно рассматривать как произведение выделенной энергии на время, затраченное на ее поглощение. Поведение физической системы на языке математики описывается ее лагранжианом L, который представляет собой функционал (функцию от функций) вида

где q — положение, q^· — скорость (точка вверху в нотации Ньютона обозначает производную от q), t- время. Обратите внимание, что q — положение в системе координат общего вида, которая необязательно является декартовой.

Действие А на языке математики выражается интегралом вдоль пути, выбранного системой:

Принцип наименьшего действия, сыгравший столь важную роль в физике XIX века, гласит: физическая система движется согласно закону наименьших усилий, следовательно, если использовать язык математического анализа, действие А должно представлять собой экстремальное значение, то есть минимум или максимум, поэтому его первая производнаядолжна равняться нулю.

Хорошая иллюстрация лучше тысячи слов, поэтому приведем пример, который прекрасно объясняется во множестве книг и в интернете. Теорема Нётер в этом примере выражена в следующем виде: «Допустим, что система частиц обладает некой симметрией, то есть ее лагранжиан L инвариантен относительно изменений некоторой переменной s таким образом, что dL/ds = 0. Тогда существует свойство системы С, которое будет сохраняться: dC/dt = 0

Рассмотрим физическую систему, состоящую из двух пружин с коэффициентами упругости к₁₂ и к₂₃ Введем обозначения:

Здесь общие координаты q совпадают с декартовыми координатами х_i. Применив методы математического анализа, в частности уравнение Эйлера — Лагранжа, получим:

Теперь рассмотрим симметрию (в формулировке теоремы она обозначена через s). Так как закон упругости выполняется всегда, мы вполне можем предположить, что s = t, то есть время, и симметрия лагранжиана, о которой говорится в исходной формулировке, проявляется так:

Проведем некоторые алгебраические преобразования:

Изменим порядок членов:

Мы получили сохраняющуюся величину С — она приведена в скобках. Так как q˙ = х˙, имеем

Сумма (со знаком «минус») кинетической и потенциальной энергии, то есть общая энергия системы, постоянна. Мы получили закон сохранения энергии.

* * *

Алгебра и еще раз алгебра. И какая алгебра!

Мы прервали наш рассказ об Эмми на том, что она обосновалась в Гёттингене, рядом с Клейном и Гильбертом — двумя математиками мировой величины. Остроумный Гильберт нашел способ преодолеть препятствия со стороны наиболее косных и консервативных преподавателей: он организовал курсы под своим именем, но на занятиях его всякий раз замещала Эмми, а недоброжелателям оставалось лишь скрежетать зубами.

Эмми отличалась невероятной работоспособностью — ее можно было сравнить с автомобилем, у которого отказали тормоза. В 1920 году она решила последовать новым путем. Постепенно, но неуклонно Эмми стала уделять все больше внимания вопросам чистой алгебры: сначала кольцам и идеалам на кольцах, затем — более сложным структурам, в частности различным алгебрам. Она настолько овладела темой, что вполне заслужила титул «властительницы колец». К этой эпохе относятся столь важные для развития алгебры результаты, как теорема Ласкера — Нетер (1921) и лемма о нормализации (1926). К 1927 году относятся ее теоремы об изоморфизме.

Затем практически сразу же Эмми перешла к более сложным темам, в частности к алгебрам. В 1931 году была сформулирована теорема Альберта — Брауэра — Хассе — Нётер об алгебрах конечной размерности. В 1933 году Эмми Нётер вновь получила важный результат, связанный с алгебрами, — так называемую теорему Сколема — Нётер. Мы не приводим подробные формулировки этих теорем, так как в них упоминаются очень абстрактные математические термины и объекты, доступные исключительно специалистам.

За Эмми повсюду следовала настоящая толпа учеников — шумных, недисциплинированных, но очень умных. То были «дети Нётер», которые внимали ее словам. Они сопровождали ее во время длинных прогулок и частых купаний в муниципальном бассейне, где Эмми плавала и ныряла, словно дельфин. Многие «дети Нётер» впоследствии стали великими математиками благодаря идеям, которые они почерпнули от своей наставницы, хотя ее педагогический дар был, если можно так выразиться, нестандартным: она относилась к ученикам как курица-наседка к цыплятам — была неизменно строгой и требовательной и не отходила от них ни на шаг. Многим она напоминала скорее петуха, чем курицу, и они называли ее, проявляя уважение к ее уму и некоторую робость, в мужском роде — Der Noether.

«Дети Нётер».

Понять, сколь любопытной была свита «детей Нётер», поможет анекдотичный случай времен нацистской Германии. Наташа Артин-Брауншвейг, супруга Эмиля Артина (1898–1962), рассказывала, как они однажды спустились в гамбургское метро: ученики ни на шаг не отставали от Нётер и шли за ней, словно дети за Гамельнским крысоловом. Едва они зашли в поезд, Эмми начала обсуждать математические темы с Эмилем Артином, все больше повышая голос и не обращая внимания на остальных пассажиров. В речи Нётер постоянно звучали слова «фюрер» и «идеал» — к великому ужасу Наташи, которая боялась, что их вот-вот задержит гестапо.

Однако любой из «детей» без труда объяснил бы внушавшим ужас гестаповцам, что эти слова были всего лишь невинными алгебраическими терминами из теории колец. В то время нацисты установили повальную слежку, они вмешивались в частную жизнь людей и буквально осаждали университеты. Один из учеников Эмми, который был евреем и поэтому не мог посещать университет, приходил заниматься к ней домой в форме члена штурмового отряда, чтобы избежать подозрений. Пацифистка Эмми воспринимала происходящее со смирением.

Она занималась наиболее современными разделами алгебры. Время от времени Эмми обращалась к топологии, в частности в совместных работах с Павлом Сергеевичем Александровым (1896–1982). Специализацией Нётер было подробное изучение алгебраических структур, цель которого — отбросить их частные свойства и рассмотреть их в максимально общем виде. Эмми пользовалась безграничным авторитетом, и к ней приезжали ученики со всех уголков Европы. Один из них, Бартель ван дер Варден (1903–1996), впоследствии прославившийся как автор «Современной алгебры», книги, ставшей каноном для нескольких поколений (по этой самой книге, страницы которой были испещрены непонятными символами готического шрифта, учился и я), писал в некрологе Эмми Нётер:

«Для Эмми Нётер связи между числами, функциями и операциями становились ясными, доступными для обобщения и полезными только после того, как они были отделены от конкретных объектов и сведены к концептуальным связям общего вида».

А вот что писал Эйнштейн:

«Теоретическая математика — своего рода поэзия логичных идей. Ее цель — поиск наиболее общих идей, которые в простом, логичном и общем виде описывают максимально возможный спектр формальных взаимосвязей. На этом пути к логической красоте мы и открываем формулы, позволяющие глубже постичь законы природы».

Основные алгебраические структуры

Внимательно прочтите этот раздел, посвященный азам абстрактной алгебры, — в противном случае вы не поймете ничего из того, о чем говорится в следующих разделах. Этот раздел обширен, но прост, так как содержит исключительно определения.

Основных алгебраических структур, которые рассматриваются как множества с одной или несколькими операциями, много. Мы ограничимся тем, что рассмотрим структуры, на которых определены две операции, o и •. Этими операциями часто оказываются + и •. Порой требуется так называемый третий закон внешней композиции (а иногда и больше), но мы рассмотрим только простейшие случаи. Вместо того чтобы постоянно использовать слова «является элементом», заменим их символом .

Группой называется множество элементов А с определенной на нем операцией o, которая удовлетворяет трем следующим условиям:

1) существует нейтральный элемент n такой, что n о а = а о n = а для любого a  А;

2) для каждого а  А существует обратный элемент а^-1 такой, что а о а^-1 = а^-1 о а = n;

3) для любых a, b, с  А выполняется свойство ассоциативности, согласно которому (а о Ь) о с = а о (Ь о с).

Группа называется коммутативной, или абелевой (в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля), если для любых a, b  А определенная нами операция обладает коммутативностью, то есть выполняется соотношение а о Ь = b о а.

Если на группе определена операция сложения (+), то элемент, обратный а, обозначается — а и называется противоположным. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 0.

Если на группе определена операция умножения (), то элемент, обратный а, обозначается 1/а. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 1.

4) для любых а, Ь, с  А справедливо (а Ь) с = а (Ь с).

Операции о и связаны друг с другом свойством дистрибутивности относительно:

5) а (Ь о с) = (а b) о (а с).

Кольцо — это коммутативная группа, на которой определена еще одна операция обладающая свойством ассоциативности:

Примерами колец являются натуральные числа , целые числа , рациональные числа , вещественные числа  и комплексные числа  (вне зависимости от определенной для них модальной арифметики). Многочлены также образуют кольца.

В мире колец операция о обладает коммутативностью аналогично операции сложения, поэтому она обозначается знаком +. Операция (для простоты будем предполагать, что она также обладает коммутативностью) обозначается знаком ·, подобно умножению.

Подгруппой или подкольцом А будет любое подмножество, которое будет оставаться группой или кольцом, если ограничить операции о или этим подмножеством. Идеал — особое подкольцо: это подкольцо В  А такое, что любое произведение b  В и любого другого элемента, принадлежащего В или нет, будет принадлежать В. Идеалы можно складывать и перемножать. Результатами сложения и умножения идеалов также будут идеалы. Понятие идеала возникло как обобщение понятия числа. Для двух данных идеалов I и J имеем:

Определить идеал IJ несколько сложнее. Это идеал, порожденный всеми произведениями ху, где х  I, у  J. Пересечение всех идеалов, содержащих подобные произведения, называется порожденным идеалом.

Областью целостности называется кольцо А, на котором для операции · не существует так называемых делителей нуля. Иными словами, на этом кольце не существует элементов а и b таких, что аb = bа = 0.

В этом случае кольцо А является коммутативным и содержит единичный элемент, то есть для операции определен нейтральный элемент, играющий роль единицы:

а 1 = а.

Теперь рассмотрим область целостности А без 0. Обозначим ее через А* = А|(0). Если операция · определяет на А* коммутативную группу, то А называется полем. Если А* не является коммутативной, то А называется телом. Не стоит пугаться подобных сложностей: если кольцо А конечно, то оно коммутативно согласно знаменитой теореме Веддербёрна. Если кольцо А бесконечно, то наступает раздолье для алгебраистов.

Рассмотрим А-модули — редчайший вид современного алгебраического мира. Чтобы определить левый А-модуль, нам потребуются кольцо с единицей А и коммутативная группа М. Действия с элементами a, b  А и элементами М (m, n  М) определяются следующим, вполне обычным образом:

1. (ab)m= а(Ьm)

2. (а + b) n = am + bm

3. а(m + n) = am + аn

4. 1m = m.

Аналогично определяется правый А-модуль; коммутативный модуль (или просто A-модуль) — это модуль, который является правым и левым одновременно. Если А — поле, то A-модуль называется векторным пространством. Если для векторов векторного пространства определена операция умножения, имеем «алгебру». На этом мы остановимся. Хотя приведенные нами определения элементарны, вполне возможно, что читатель не назовет элементарным этот раздел.

Несколько слов об алгебре, идеалах и нётеровых кольцах

Большая часть научной работы Эмми Нётер была посвящена кольцам и идеалам — алгебраическим структурам, над которыми она работала многие годы. Почему же Нётер уделяла им такое внимание?

Многие объекты, с которыми работают математики, представляют собой кольца: так, кольцами являются множество целых чисел  и его последовательные расширения — ,  и . Кольцами также являются многочлены одной переменной с коэффициентами из вышеуказанных колец [X], [X], [X] и [X]. Аналогично кольцами являются многочлены нескольких переменных [X₁, Х₂…., X_n], [X₁, Х₂…., X_n], [X₁, Х₂…., X_n], и [X₁, Х₂…., X_n]. А также сходящиеся ряды — короче говоря, много чего еще.

Но что такое идеалы и почему они получили столь романтичное название? Совершим небольшой экскурс в историю математики. Рассмотрим в качестве примера квадратичное целое [√-5] или [i√5], что аналогично. Это множество чисел вида а + Ь√-5, где а и Ь — целые числа. Иными словами,

[√-5] — кольцо (убедитесь в этом), но здесь, говоря математическим языком, мы вступаем в запретную зону. Мы привыкли к стандартным свойствам делимости и к тому, что разложение числа на простые множители всегда является единственным. К примеру, рассмотрим число 21. Имеем 21 = 3·7 и на этом разложение на множители заканчивается: 21 можно разложить на простые множители единственным способом, и этими множителями будут 3 и 7. Это утверждение следует из основной теоремы арифметики: на множестве  разложение любого числа на простые множители является единственным. На множестве [√-5] это утверждение уже не будет выполняться: здесь мы можем разложить 21 на простые множители двумя способами:

3·7 = (4 + √-5)(4 — √-5) = 21.

На этом множестве разложение на простые множители уже не будет единственным, что, к своему величайшему неудовольствию, заметил еще Эрнст Куммер (1810–1893). Это утверждение, которое кажется не особенно важным и записывается всего одной строкой, помешало алгебраистам XIX доказать теорему Ферма и доставило им немало хлопот.

Чтобы как-то исправить ситуацию и обойти проблему стороной, сам Куммер ввел идеальные числа. Они оказались не слишком полезны, так как принадлежали уже не к [√-5], а к другому, большему кольцу. Это были даже не числа — сегодня мы бы назвали их множествами чисел, эквивалентных между собой. Тогдашним математикам были неизвестны общепринятые на сегодняшний день понятия фактор множества и гомоморфизма, и какой-то порядок и логику в мир идеалов внес лишь Рихард Дедекинд (1831–1916). За ним последовали другие алгебраисты, которые расчистили территорию и приступили к раскопкам. Важное место среди них занимала Эмми Нётер.

Идеалы обладают еще одной примечательной особенностью — речь идет о цепочке идеалов. Не будем следовать за Нётер и пытаться объяснить абстрактное понятие, а ограничимся тем, что приведем один очень простой пример — идеалы кольца целых чисел .

В этом мире (он представляет собой область целостности, то есть «хорошее» кольцо) правит бал основная теорема арифметики: для всех чисел разложение на простые множители является единственным, и ничто не нарушает гармонию. Идеалами в этом мире будут множества n, состоящие из целых чисел, кратных n. Количество таких идеалов, как и самих чисел, будет бесконечно велико. Сумма и произведение идеалов определяются очень просто:

Идеалы, которые представляют собой множества чисел, и обычные числа ведут себя одинаково, одинаково раскладываются на множители, и с точки зрения арифметики эквивалентны. Они эквивалентны даже в таком непростом аспекте, как делимость. В самом деле, «Ь делится на а» для идеалов можно выразить как ba. Гениальность Нётер заключается в том, что она выстроила цепочку идеалов, объединенных функцией принадлежности , которая отражает их делимость друг на друга.

Так как любое отношение делимости рано или поздно заканчивается некоторым числом, то рано или поздно закончится и любая цепочка идеалов. «Хорошие» цепочки идеалов обязательно заканчиваются, то есть являются конечными. Кольца, на которых не существует бесконечных цепочек идеалов, называются нётеровыми кольцами. Именно этим кольцам Эмми уделяла особое внимание в своих исследованиях.

Позднее алгебраисты доказали эквивалентность следующих утверждений.

1. Кольцо А является нётеровым (иными словами, возрастающие цепочки идеалов на нем конечны).

2. Любой идеал на А является конечнопорожденным.

3. Любое множество идеалов на А содержит наибольший идеал.

В 1999 году Австралийский математический фонд выпустил футболки, на которых были изображены все возрастающие цепи для идеала 18 на множестве . Использовать другой пример помешали ограниченные размеры футболок. На футболках были изображены следующие цепи идеалов:

Как и следовало ожидать, эти цепочки конечны, а кольцо  является нётеровым. Между прочим, Гильберт доказал, что если кольцо А является нётеровым, то нётеровым будет и кольцо многочленов А[Х].

* * *

ТЕОРЕМА ЭММИ И ШАХМАТИСТА

Алгебраист Эмануэль Ласкер (1868–1941) был выдающимся математиком и чемпионом мира по шахматам. Он подробно рассмотрел обычные, простые и примарные идеалы. Не будем слишком углубляться в абстрактную алгебру и рассмотрим кольца А, которые также представляют собой области целостности. Примерным идеалом на этих кольцах называется идеал I, отличный от исходного кольца А, на котором при ab  I и а  I существует n такое, что bⁿ  I. (При n = 1 этот идеал называется простым.) Ласкер описал очень широкий класс колец (сегодня они называются кольцами Ласкера) на основе одного интересного свойства их идеалов. Любой идеал можно представить в виде пересечения конечного числа примарных идеалов.

Эмми Нётер доказала теорему, сегодня известную как теорема Нётер — Ласкера, которая звучит следующим образом:

«Любая нётерова область целостности является кольцом Ласкера».

Эта теорема, относящаяся к абстрактной алгебре, связывает между собой два, казалось бы, очень далеких понятия — конечные цепочки идеалов и пересечения примарных идеалов. Возможно, вы не заметили (и, по правде говоря, извиняться за это вовсе не стоит), что если мы применим теорему Ласкера — Нётер к кольцу , то получим основную теорему арифметики: любое целое число можно представить в виде произведения простых множителей единственным способом. Термин «нётерово кольцо», который сегодня используется повсеместно, ввел великий французский математик Клод Шевалле (1909–1984), один из основателей группы Бурбаки.

* * *

Конец истории

Не стоит и говорить, что уже в 1930-е годы Эмми Нётер пользовалась среди математиков невероятным уважением. Пример тому — ее участие в Международном конгрессе 1932 года. На следующий год к власти в Германии пришли нацисты, и с огромной решительностью, которая могла сравниться только с их же глупостью, принялись изгонять из университетов всех преподавателей-евреев. От антисемитизма пострадала и Эмми. Напрасно протестовали ее друзья и знакомые — она и многие ее коллеги (Томас Манн, Альберт Эйнштейн, Стефан Цвейг, Зигмунд Фрейд, Макс Борн и другие) были вынуждены прекратить преподавание в Германии и покинуть страну (как стало ясно позднее, такая возможность выпала не всем), чтобы распространять свои зловредные идеи среди представителей других, неарийских рас. Что именно зловредного увидели нацисты в современной алгебре, мы никогда не узнаем. Вероятнее всего, нацисты сами не знали ответа на этот вопрос.

Брат Эмми, Фриц, переехал в Томск, а сама Эмми, которая некоторое время склонялась то к Оксфорду, то к Москве (она испытывала определенную симпатию к социалистической революции в СССР), усилиями Фонда Рокфеллера оказалась в США.

Об антисемитизме и его распространении написано множество книг. Будет нелишним сказать, что до вступления США во Вторую мировую войну в некоторых университетах, которые считались храмами знания и оплотами либерализма, в частности, в Принстонском университете в Нью-Джерси, набирал обороты антисемитизм. Именно по этой причине еврейская семья миллионеров и филантропов Бамбергеров пожертвовала несколько миллионов долларов Институту перспективных исследований в том же Принстоне — абсолютно нейтральному учреждению, свободному от подобных предрассудков. Это пожертвование в итоге помогло институту стать образцовым исследовательским учреждением. В Принстоне ученые вынашивали идеи, получали зарплату исключительно за научную работу и были освобождены от преподавания. Институт стал убежищем для многих европейских эмигрантов — полностью или наполовину евреев. Среди них были Эйнштейн, Вейль, фон Нейман и Гёдель. Хотя Эмми Нётер читала в институте лекции и проводила семинары, да и ее заслуг в математике было более чем достаточно, она так и не стала полноправным сотрудником Принстона — только потому, что была женщиной. Основным местом работы Нётер стал расположенный недалеко от Нью-Джерси Брин-Мор-колледж в штате Пенсильвания — лучший женский колледж мира. Иногда Эмми забывала, что находится в Америке, и в разгар спора о математике разражалась тирадами на немецком.

Спустя всего два года после приезда в Америку врачи обнаружили у Эмми рак матки. Она прекрасно перенесла операцию, но умерла от эмболии. Интересно, что среди лавины некрологов один, за подписью ван дер Вардена, был без особых проблем опубликован в Германии — должно быть, нацистские цензоры не слишком хорошо разбирались в алгебре.

Именем Эмми Нётер также названы кратер на обратной стороне Луны и астероид под номером 7001.

Глава 6 Ближние горизонты

Проще просить прощения, нем разрешения.

Приписывается Грейс Хоппер, женщине-математику и военному моряку.

Подобное внимание приятно, но вызывает неловкость. Мне бы хотелось, чтобы меня запомнили как математика, по теоремам, которые я доказала, и по задачам, которые я решила.

Джулия Робинсон

Грейс Мюррей Хоппер (1906–1992)

Кто же главный герой этой главы? Контр-адмирал, получивший это звание в 1983 году, в возрасте 77 лет, или миноносец «Хоппер»? Конечно же, сам контр-адмирал — миноносец был назван в его честь. Но есть одна небольшая деталь: этот контр-адмирал был женщиной… Если мы добавим, что эта женщина была математиком, большим специалистом по компьютерам, а также, среди прочего, придумала язык программирования COBOL, то читатель посмотрит на нее совершенно другими глазами. Да, все эти и многие другие качества сочетала в себе Грейс Хоппер по прозвищу Изумительная Грейс (от англ. Amazing Grace — название одного из христианских гимнов).

Пушки и компьютеры

При рождении Грейс Хоппер получила имя Грейс Брюстер Мюррей. Она была правнучкой адмирала Джорджа Мюррея, который стал ее кумиром на всю жизнь. Сильный и независимый характер Грейс, должно быть, сформировался под влиянием родителей. Мать, Мэри Кэмпбелл ван Хорн, в юности также получила образование, но не справилась с давлением общества. Она бы с удовольствием занималась математикой, но это считалось неподходящим занятием для девушки. Отец, Уолтер Флетчер Мюррей, был страховым брокером, но когда его дети были еще совсем маленькими, из-за болезни кровеносной системы ему ампутировали одну за другой обе ноги. Несмотря на невзгоды, семья не сдавалась: Грейс получила образование, а ее отец дожил до семидесяти лет. Уолтер Мюррей воспитывал в детях уверенность в том, что усилием воли можно достичь всего. Кроме того, он не проводил различия между обучением девочек и мальчиков.

Грейс родилась в эпоху зарождения технологий: в воздух поднялся самолет братьев Райт, с конвейера сошел «Форд Т» Генри Форда. Когда Грейс было всего семь лет, она из любопытства разобрала домашние часы, чтобы узнать, как они работают. По всей видимости, ей не удалось сразу понять принцип действия часов, и она продолжила свои исследования. И только после того, как Грейс разобрала семь часов, мать заподозрила неладное и прекратила эти жертвоприношения. Возможно, именно поэтому на часах в офисе Грейс часовая стрелка двигалась в обратную сторону: это было еще одним проявлением инновационности и оригинальности мышления, которые Грейс так высоко ценила. Одно из ее изречений гласит: «Кораблю в порту ничто не угрожает, но он был построен не для этого. Выходите в открытое море и совершайте открытия».

Поступить с первой попытки в престижный Колледж Вассара Грейс не удалось, так как она не сдала экзамен по латыни (сегодня подобное невозможно). Она поступила со второй попытки и во время учебы получала высшие отметки по математике и физике. Позднее Грейс была присвоена степень доктора в Йельском университете, и она стала первой женщиной в истории, удостоенной такой чести. Ее научным руководителем был знаменитый алгебраист Ойстин Оре. Затем Колледж Вассара предложил девушке место преподавателя, а впоследствии и доцента. В 1941 году Грейс получила стипендию на обучение в Курантовском институте математических наук в Нью-Йорке — об этом заведении все отзывались с почтением и трепетом.

К тому времени Грейс уже вышла замуж за Винсента Хоппера, преподавателя иностранных языков Нью-Йоркского университета, и прожила в браке до конца войны. Когда в 1945 году супруги развелись, она сохранила фамилию мужа. В том же году ее уже бывший муж погиб на поле боя.

Подобно героям романов, которые слышат зов предков, в 1943 году Грейс услышала зов отечества. После бомбардировки Пёрл-Харбора Соединенные Штаты вступили в войну, и Грейс записалась добровольцем на флот, в знаменитые Военно-морские силы США. Это было непросто: ее вес был меньше минимально допустимого на целых семь килограммов, и ей пришлось добиваться исключения из правил. В итоге Грейс была принята в ряды ВМС и стала лучшей в своем выпуске. По окончании занятий в учебной части она получила звание младшего лейтенанта. Вышестоящие офицеры поступили весьма благоразумно, отправив Грейс исполнять приказы математика Говарда Эйкена (1900–1973) и его компьютера Mark I. О первом появлении Хоппер в лаборатории позднее ходили легенды. «Где, черт возьми, вы были? Коэффициенты для функции arctg х должны быть готовы к четвергу!» — закричал Эйкен, едва увидев ее. Впоследствии Хоппер и Эйкен написали множество совместных статей, посвященных не только Mark I, но и его следующим версиям — Mark II и Mark III. Чтобы подготовить любителей вычислений к работе с новым инструментом — компьютером, Грейс составила руководство объемом в 500 страниц.

Mark I, который, по мнению многих, был первым суперкомпьютером в истории, насчитывал свыше 15 метров в длину и 2,5 метра в ширину и высоту. Этот мастодонт, несмотря на свои размеры, обладал смехотворно малым объемом памяти и мог выполнять всего три операции сложения в секунду. Любой современный персональный компьютер посмотрел бы на него свысока! Такими были первые робкие шаги информатики.

Однако в те годы подобная скорость вычислений была невероятной, и передовые инструменты, способные ее обеспечить, предназначались исключительно для военных нужд, прежде всего для артиллерии. В бизнесе компьютеры начали использоваться позже. Компьютеры были тайной для всех, за исключением избранной касты специалистов. Как-то раз во время визита комиссии, состоявшей из нескольких адмиралов, проклятый компьютер то включался, то выключался, и Грейс спасла положение, небрежно положив палец на кнопку питания. Никто ничего не заметил.

Вверху — миноносец ВМС США «Хоппер». Внизу — контр-адмирал Грейс Хоппер в январе 1984 года. Грейс Хоппер — единственная женщина-математик, именем которой назван корабль.

* * *

В ВАШЕМ КОМПЬЮТЕРЕ ЗАВЕЛСЯ «БАГ»

Однажды, давным-давно, один компьютер постоянно совершал ошибки, и некоторые сомневались, что его программа правильно написана. Этим компьютером был Mark II, на дворе стоял 1947 год. После тщательного анализа оказалось, что причиной ошибок было обычное насекомое, застрявшее между контактами. Оно было обнаружено и «заархивировано», то есть вклеено в журнал происшествий. Так окончилась жизнь бедного насекомого — «бага» (по-английски bug означает «жук»). Хотя жука обнаружила не Г рейс, считается, что именно с ее легкой руки это слово вошло в обиход. С тех пор «баг» в программе обозначает уже не настоящего жука (сегодня это совершенно немыслимо), а ошибку в аппаратном или программном обеспечении. Ранее слово «баг» уже использовалось для обозначения неполадок в аппаратном обеспечении, и вот этот «жук» навсегда занял свое место в языке.

К компьютерным багам следует относиться со всей серьезностью. Они встречаются достаточно часто, обнаружить их порой очень сложно, и они могут нанести моральный и материальный ущерб на миллионы евро. Чтобы вы могли понять, как сложно бывает обнаружить баги, приведем всего один пример. Может случиться так, что несколько программ конфликтуют при выполнении единственной операции (это случается постоянно). Хотя по отдельности обе функционируют корректно, при одновременной работе обеих в неподходящий момент всегда возникает ошибка.

Некоторые происшествия, вызванные багами, весьма известны: в 1980-е годы баг в компьютерной программе медицинского оборудования привел к изменению дозы облучения при радиотерапии, что стало причиной смерти множества пациентов. Меньший резонанс среди широкой публики вызвал баг в управляющей программе прототипа ракеты «Ариан-5», ставший причиной падения ракеты. Цена этой ошибки составила 1 млрд долларов. По официальным оценкам американской комиссии, ежегодно в результате багов теряется 0,6 % валового национального продукта. Объявим же войну багам: эти мелкие ошибки могут нанести огромный ущерб.

Первый «баг» в истории, хранящийся в Национальном музее американской истории. В отличие от современных, этот «баг» был настоящим.

* * *

Взгляд в будущее

По окончании войны Грейс была зачислена в резерв ВМС. В течение всей жизни она постоянно занимала сразу несколько должностей. В 1949 году она также занялась делами частной компании, которая меняла названия: Remington, Sperry, Sperry-Rand и в конечном итоге получила название UNIVAC. Когда Грейс была принята на должность ведущего математика, компания называлась Eckert-Mauchly Corporation. Отметим, что Джон Преспер Экерт (1919–1995) и Джон Уильям Мокли (1907–1980), чьи имена носила компания, были создателями первого электронного многоцелевого компьютера, также имевшего огромные размеры, — легендарного ENIAC. Теперь они занимались не только военными задачами, связанными с баллистикой и взломом шифров, но и вопросами бизнеса. Информатика стала обычной наукой, и ее бурное развитие было уже не остановить.

В развитие информатики немалый вклад внесла Грейс Хоппер: она работала над компилятором, который со временем получил название FLOW-MATIC. 1952 год повсеместно считается годом рождения первого компилятора. Но сделаем небольшое отступление, чтобы объяснить, что это такое.

В информатике различают машинный язык, который, если можно так выразиться, понятен компьютеру, и язык программирования, который используют программисты. Машинный язык проще, чем языки программирования, так как машина «глупа», но выполняет действия быстро, а программист намного «умнее», но выполняет действия медленнее. Компиляция — крайне трудоемкий этап: его смысл заключается в том, чтобы изложить процесс, придуманный человеком, так, чтобы компьютер его понял. В 1950 году Грейс Хоппер предвидела, что программы в будущем станут дороже аппаратного обеспечения. Она отстаивала свою точку зрения вопреки всеобщему скепсису, и время подтвердило ее правоту.

Работа Грейс Хоппер над компиляторами имела неожиданный результат: так как в информатике правят бал байты, состоящие из восьми бит, ей пришлось научиться проводить расчеты в восьмеричной системе счисления. Грейс овладела этой наукой в совершенстве и часто выполняла в ней обычные расчеты, например стоимости покупок в магазине. Она забыла десятичную систему счисления, рискуя при этом личными финансами.

Любой другой удовольствовался бы тем, что создал столь ценную программу, как компилятор, позволяющий компьютерам выплачивать зарплату и формировать счета, но не такова была Грейс Хоппер. Компьютеры стали не просто машинами, способными быстро выполнять арифметические действия, — они умели «мыслить» на языке математики и понимать пользователей. Грейс совершила еще один шаг вперед: рассказывают, что ей было неудобно работать с чековой книжкой и банковским счетом, и она попыталась сделать так, чтобы машина «понимала» английский язык — язык самой Грейс, язык бизнеса и большинства пользователей. В 1956 году ей удалось добиться того, что UNIVAC при помощи ее компилятора «понял» два десятка команд на английском языке. Так началось развитие языка COBOL. Чтобы четко определить его стандарты, в 1959 году был создан специальный комитет.

В 1966 году в силу возраста Грейс Хоппер была вынуждена уйти в отставку из военно-морских сил. Но не стоит думать, что ее история на этом заканчивается. ВМС предприняли бесчисленное множество попыток внедрить электронную систему выплат по огромной и запутанной системе расчетных листов. После неудачной попытки под номером 823 руководство выбросило белый флаг и попросило Грейс вернуться на службу — всего на шесть месяцев, чтобы покончить с этим кошмаром. Грейс вернулась на флот, решила проблему и больше не оставляла ВМС. Она еще много лет служила на флоте и выступала с лекциями. В 1973 году Грейс вышла в отставку в чине капитана.

В то время Хоппер направила все усилия на выработку дополнительных неофициальных стандартов для языков программирования FORTRAN и COBOL, которые позднее были утверждены в качестве образцов Национальным бюро стандартов. Смысл этих норм сводился к следующему: системы должны строиться с учетом их фактического использования и административных возможностей. Такие системы обходятся очень дешево и не нарушают работу уже имеющегося оборудования.

В 1983 году Грейс присвоили звание командующего эскадрой. В 1985 году это звание было упразднено и ему на смену пришло звание контр-адмирала. В 1986 году, когда Грейс окончательно оставила ВМС — только ВМС, но не работу, — ей исполнилось 80 лет. Хоппер была старейшим действующим офицером, и к ней относились как к живой легенде. Тогдашний президент США Джордж Буш-старший наградил ее медалью Министерства обороны «За выдающуюся службу» (к тому времени Грейс уже имела множество наград, но ни одна из них не могла сравниться с этой). Грейс Хоппер умерла 1 января 1992 года. Она была похоронена с воинскими почестями на Арлингтонском национальном кладбище.

В числе самых необычных почестей, которых она удостоилась, стал запуск в 1996 году миноносца, названного в ее честь. Менее масштабным, но столь же необычным стало присвоение ей премии «Человек года»: в 1969 году она стала первой женщиной — лауреатом премии «Человек года» (дословно «Man of the year», что также можно перевести как «Мужчина года»), присуждаемой Ассоциацией профессионалов индустрии информационных технологий. В 1991 году, незадолго до смерти, Хоппер получила высшую американскую награду в своей области — Национальную технологическую медаль.

О любви Грейс к инновациям слагались легенды: одна из ее передовых идей, впоследствии успешно реализованная, заключалась в том, что все суда должны управляться с помощью компьютеров. Также именно Хоппер принадлежит блестящее объяснение, что такое наносекунда. Как-то ее спросили, почему передача сигнала на дальние расстояния происходит не мгновенно. В ответ Грейс разрезала старый телефонный кабель на куски длиной 30 см и вуаля — именно такое расстояние проходит свет в вакууме за одну наносекунду. Сложно придумать более наглядное объяснение.

Афиша ежегодной конференции The Grace Hopper Celebration of Women in Computing («Женщины в информационных технологиях»). Роль женщин в информационных технологиях в США до сих пор остается непростой.

* * *

COBOL

COBOL — универсальный язык программирования, позволяющий давать компьютеру инструкции непосредственно на английском (или «почти» английском) языке. COBOL, созданный в 1960 году и предназначенный для использования преимущественно в сфере бизнеса, задумывался как универсальный язык для всех компьютеров (это означает, что программу на языке COBOL можно выполнить на любой ЭВМ, и автор программы уже не является единоличным владельцем своей идеи). Название языка, по американской традиции, представляет собой акроним: COBOL означает COmmon Business-Oriented Language — общий бизнес-ориентированный язык. Впрочем, историки утверждают, что слово COBOL происходит от названия двух его основных компонентов — компилятора FLOW-MATIC Грейс Хоппер и, скорее, второстепенной программы COMTRAN компании IBM. Некоторые называют Г рейс Хоппер бабушкой COBOL.

COBOL — настолько старый, широко применяемый и, прежде всего, надежный язык, проверенный не одну тысячу раз, что улучшенные его версии используются и сегодня, спустя более чем полвека. Он по-прежнему распространен в бизнес-приложениях, хотя порой используется неявно. Доказательства популярности COBOL можно найти и в кино: робот Терминатор, сыгранный Арнольдом Шварценеггером, «разговаривает» именно на COBOL.

Интерфейс Терминатора, на котором видно, как робот «разговаривает» сам с собой на языке COBOL.

* * *

Джулия Боумен Робинсон (1919–1985)

Многие простые граждане США гордятся своей страной. Конечно, они не имеют в виду, что другие страны не заслуживают этой гордости, и все же часто испытывают перед их жителями некоторое чувство превосходства. Впрочем, некоторые американцы никак не могут смириться с тем, что решение десятой проблемы Гильберта — чисто математической задачи, лишенной какой бы то ни было патриотической подоплеки — принадлежит не Джулии Робинсон, блестящей американской женщине-математику, посвятившей этой проблеме несколько десятилетий. Взяв за основу крайне важные ее работы и остроумно применив известные всем числа Фибоначчи, решение проблемы нашел молодой 22-летний советский математик Юрий Матиясевич, которого отделяли от Джулии Робинсон тысячи километров. Джулия подошла к решению задачи очень близко, но первой финишную черту переступила не она. Несмотря на это в ряде книг, статей и газетных заметок безапелляционно заявляется, что именно Джулия разгадала эту математическую загадку. Помимо национальной гордости, есть и другие причины приписать ей достижение, которое она сама, с присущей ей скромностью, никогда своим не считала. Джулия была не просто женщиной, но лучшей и самой известной женщиной-математиком США и, возможно, — теперь мы не погрешим против истины — всей Америки. Ей вполне по силам было разгадать загадку.

Джулия Робинсон в мае 1941 года.

Хроника предначертанного пути

Джулии Боумен при рождении было суждено стать математиком. Ее старшая сестра, которая после замужества стала именоваться Констанс Рид, прославилась не как математик, а как автор биографий математиков. Ее книгу о Гильберте специалисты считают образцовой. По счастливой случайности, сестра Констанс также стала знаменитой. Она достойна отдельной биографии.

Когда Джулии было два года, ее мать умерла, и отец, Ральф, на время отправил Джулию и Констанс к бабушке, в Аризонскую пустыню, а сам начал жизнь с чистого листа. Он женился второй раз, оставил свой машиностроительный бизнес, вложил солидные сбережения, переехал в Калифорнию по желанию второй жены, которая хотела дать девочкам хорошее образование, и посвятил себя семье.

В то время Джулия не отличалась быстрым умом. В девять лет она целый год проболела скарлатиной. После того как вся семья прошла карантин, они отпраздновали выздоровление дочери походом в кино напервый звуковой фильм. Но радость была преждевременной — одним из осложнений этого страшного в те годы заболевания стала острая ревматическая лихорадка. Из-за болезни Джулии пришлось провести в постели много месяцев, а затем еще два года она не могла регулярно ходить в школу. Ревматическая лихорадка обычно поражает сердечные клапаны, и у Джулии развилась хроническая болезнь сердца.

Наконец девочка оправилась от болезней, и родители наняли ей репетитора, чтобы наверстать упущенное. Джулия справилась блестяще — четырехлетнюю программу она освоила за год. Похоже, именно в те годы в ней начала просыпаться тяга к математике. Репетитор показала, что десятичные знаки √2 ведут себя непредсказуемым образом, что характерно для так называемых иррациональных чисел: если знаки периодических дробей с определенной позиции повторяются, то в записи √2 никаких повторов не наблюдается. Это показалось Джулии столь удивительным, что она провела остаток дня за вычислением все новых и новых знаков этого числа. С того дня числа стали друзьями Джулии.

Вернувшись в класс, она устремилась к знаниям и вскоре оказалась лучшей ученицей по точным наукам. К окончанию школы родители преподнесли ей царский для тех времен подарок — ее первую логарифмическую линейку, которую Джулия шутливо называла Slippy («скользкая»). Все были согласны с тем, что девочке следовало стать преподавателем математики, а для этого требовалось окончить колледж в Сан-Диего (в те времена он еще не назывался Калифорнийским университетом в Сан-Диего). Но Джулия не хотела ограничиться преподаванием и решила сделать математику своим призванием. По всей видимости, на ее решение повлияла биографическая книга под названием «Творцы математики» Эрика Темпла Белла. Следует отметить, что эта книга действительно написана очень увлекательно и способна вдохновить любого.

В судьбу Джулии вмешался кризис 1929 года, ставший причиной трагедии: отцовские сбережения растаяли, и Ральф Боумен, не в силах пережить потрясение, покончил с собой. Положение семьи пошатнулось, но, благодаря помощи тети, семья осталась на плаву, и Джулия продолжила учебу. На все личные расходы она получала ровно 12 долларов в семестр.

Благодаря тяге к знаниям и трудолюбию, а также финансовой поддержке сестры Констанс, которая к тому времени уже преподавала, Джулия прослушала несколько курсов в Калифорнийском университете в Беркли. Дальнейшая учеба не особенно помогала в поисках работы: работодатели спрашивали Джулию не о математике, а о том, как быстро она печатает на машинке. В Беркли Джулия влюбилась одновременно в красоту высшей математики и в очаровательный голос одного из преподавателей — юного Рафаэля Робинсона (1911–1955). В университете девушка узнала, что была прекрасным лебедем среди гадких утят. Именно там она впервые почувствовала себя по-настоящему счастливой. Незадолго до того как мир содрогнулся от нападения на Пёрл-Харбор, Джулия и Рафаэль поженились.

Джулия Боумен выходит замуж

Согласно университетским правилам, Джулия не могла преподавать математику на той же кафедре, что и ее муж. К счастью, Ежи Нейман (1894–1981) пригласил ее заняться статистикой в лабораторию секретных военных проектов. Джулию всегда привлекала эта сфера, особенно после того как она познакомилась с впечатляющей бейсбольной статистикой. И все же статистика не была истинной страстью Джулии — ее больше привлекала рискованная жизнь профессионального математика. Впрочем, к новой работе она отнеслась со всей серьезностью. Как-то раз Джулию попросили описать, как проходит ее обычная неделя. Она ответила: «Понедельник: попытаться доказать теорему. Вторник: попытаться доказать теорему. Среда: попытаться доказать теорему. Четверг: попытаться доказать теорему. Пятница: теорема оказалась неверной».

Джулия с мужем Рафаэлем Робинсоном.

Джулия и Рафаэль хотели завести ребенка, и Джулия стала уделять математике меньше времени, готовясь стать матерью. Она забеременела, но, к несчастью, потеряла плод. Возможно, тем самым она спасла себе жизнь: врач обнаружил в митральном клапане Джулии рубцовую ткань и сообщил супругам, что ее слабое сердце не выдержит еще одной беременности. Более того, доктор признался мачехе Джулии, что если ее падчерица доживет до 40 лет, это будет чудом. Молодая пара была вынуждена остаться бездетной. Чтобы справиться с депрессией, Джулия при поддержке Рафаэля с головой ушла в математику.

В 1946 году она получила степень доктора под руководством выдающегося математика Альфреда Тарского (1902–1983), защитив диссертацию о проблемах разрешимости в арифметике рациональных чисел (Definability and Decision Problems in Arithmetic). Джулия столкнулась с подобными проблемами впервые, и, по всей видимости, они произвели на нее неизгладимое впечатление. Именно Тарский первым заговорил с подопечной о диофантовых уравнениях.

За исключением всего двух важных статей, все математические труды Джулии Робинсон касались десятой проблемы Гильберта (о ней мы более подробно поговорим далее) и проблем разрешимости. Первая из этих двух статей (A Note on Exact Sequential Analysis) была посвящена аналитико-статистической задаче и написана в период совместной работы с Нейманом. Во второй статье, опубликованной в 1951 году, во время короткого периода работы в корпорации RAND (ведущем американском мозговом центре), рассматривалось решение проблемы равновесия Нэша в теории игр, в то время находившейся на пике популярности, называлась эта работа «Итеративный метод решения игр» (An Iterative Method of Solving a Game).

Как видите, Джулия Робинсон и диофантовы уравнения были словно созданы друг для друга.

Диофантово уравнение — это уравнение с одной или несколькими неизвестными с целыми коэффициентами, решения которого принадлежат множеству целых чисел . Эти уравнения названы в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского (ок. 200–214 — ок. 284–298), который посвятил им целый трактат — «Арифметику». Примером диофантового уравнения является уравнение с тремя неизвестными

х² + у² = z².

Как вы знаете, это уравнение выражает теорему Пифагора, и еще с глубокой древности известно, что оно имеет бесконечно много решений. В параметрическом виде решениями этого уравнения являются тройки чисел вида:

х = m² — n²,

у = 2mn,

z = m² + n²,

где m и n — целые числа. Такие тройки чисел называются пифагоровыми и известны уже много веков. Намного интереснее выглядят тройки ненулевых чисел х, у, z, когда выполняется условие

хⁿ + уⁿ = zⁿ, n > 2.

В этом случае указанное диофантово уравнение не имеет решений. Так формулируется знаменитая теорема Ферма, доказанная в 1995 году. Десятая проблема Гильберта была не столь «простой» и звучала принципиально иначе: в ней требовалось найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли решения произвольное диофантово уравнение. К счастью, сегодня мы знаем, что такого алгоритма не существует. Для решения десятой проблемы Гильберта потребовалось не 300 лет, как на доказательство теоремы Ферма, но целых 70, а также ряд блестящих идей.

В 1961 году, когда Джулии было чуть за 40, прогнозы врачей подтвердились: ей потребовалась операция на сердце. К счастью, кардиохирургия в те годы была уже достаточно развитой, и лечение прошло успешно. Однако сердце Джулии было слишком слабым, и ей нельзя было перенапрягаться. В результате, когда в 1976 году она стала профессором Калифорнийского университета в Беркли, руководству пришлось согласиться с тем, что преподавать Джулия будет всего на четверть ставки. После операции Джулии порекомендовали езду на велосипеде, и она отдалась этому занятию с такой страстью, что стала покупать велосипеды один за другим, стремясь найти самый легкий и управляемый. Ее муж жаловался: «Другие жены покупают пальто или бриллиантовые браслеты, а моя жена покупает велосипеды».

В 1984 году у Джулии Робинсон обнаружили лейкемию. Благодаря лечению болезнь отступила, но ненадолго: исследовательница умерла в 1985 году.

Десятая проблема Гильберта

На математическом конгрессе 1900 года Давид Гильберт, ведущий математик мира, представил список из 23 нерешенных задач. Решение этих задач, по его мнению, означало бы существенное развитие математики. Гильберт предполагал (для тех времен такая точка зрения была вполне логичной), что любая проблема имеет решение, и рано или поздно все 23 его проблемы будут решены. Сегодня нам известно, что Гильберт ошибался: спустя много лет Курт Гёдель доказал, что существуют задачи, парадоксальным образом не имеющие решения. Между прочим, одной из подобных неразрешимых проблем оказалась континуум-гипотеза — первая же проблема в списке Гильберта. Вне зависимости от того, будем мы считать континуум-гипотезу истинной или ложной, в рамках формальной логики мы никогда не придем к какому-либо противоречию.

Диофантовыми называются полиномиальные уравнения вида

Р(х₁, х₂, …, х_n) = 0

с решениями и коэффициентами на множестве . Проблема Гильберта под номером 10 звучала так: существует ли алгоритм или метод, позволяющий определить, имеет ли решения произвольное диофантово уравнение? В конце концов в 1970 году было доказано, что такого алгоритма не существует. Десятая проблема Гильберта допускает бесконечное множество случаев. Известны подмножества случаев, для которых искомый спасительный алгоритм существует, однако в задаче требуется найти универсальный алгоритм для всех возможных случаев. К примеру, алгоритм Евклида позволяет решить диофантовы уравнения вида

ax ± by = с,

но не уравнения произвольного вида (указанные уравнения имеют решения тогда и только тогда, когда НОД (а, Ь) является делителем с). Путь к решению десятой проблемы Гильберта непрост, и многие не сразу поймут его. Но мы все же попытаемся описать ее решение, пусть и очень поверхностно.

В 1950 году Джулия Робинсон, применив некоторые свойства уравнения Пелля, не смогла доказать, что определенное числовое множество, которое мы обозначим JR в честь Джулии Робинсон (его нельзя построить, но можно определить в терминах общей арифметики), является диофантовым (см. врезку, посвященную Алану Тьюрингу), но не вычислимым. Множество JR обладало некоторыми интересными свойствами — в частности, его элементы возрастали по экспоненциальному закону.

Доказать указанное свойство не удалось, однако эта гипотеза с высокой вероятностью считалась истинной. Далее будем называть эту гипотезу гипотезой JR. В 1959 году Мартин Дэвис и Хилари Патнем доказали, что при определенных условиях из гипотезы JR следует очень важный результат: любое рекурсивно перечислимое множество является диофантовым. Если выполняются начальные условия и гипотеза JR, то десятую проблему Гильберта можно считать решенной, и ответ на нее будет отрицательным.

* * *

НЕМНОГО ТЬЮРИНГА

При решении проблем разрешимости и вычислимости, а также логических задач обычно используются машины Тьюринга. Эти машины, придуманные английским ученым Аланом Тьюрингом (1912–1954), в действительности представляют собой идеальные математические абстракции вычислительных машин с бесконечной памятью. Представьте себе ящик с входным и выходным отверстиями, через которые проходит бумажная лента, разделенная на прямоугольные ячейки. В каждой ячейке записана цифра — 0 или 1. В крышке ящика есть смотровое отверстие, через которое в любой момент можно увидеть, какая цифра записана в ячейку. На каждом шаге цифру в ячейке можно заменить на 0 или 1. Аналогично, можно определить, куда следует переместить считывающее устройство на следующем шаге: влево или вправо. Новая записанная цифра и новое состояние машины зависят от текущего состояния машины, а следующий шаг (и следующее состояние) указаны в программе, записанной в управляющем устройстве. Программы различных машин Тьюринга отличаются. Прекратит ли машина работу, зависит оттого, что указано в программе. Может показаться, что от столь простого устройства не стоит ждать многого, однако потенциал машины Тьюринга огромен.

Простейшая схема работы машины Тьюринга.

Далее приведены три определения, тесно связанные с работами Джулии Робинсон и диофантовыми уравнениями. Они приводятся отдельно, так как используются в рассуждениях, самих по себе достаточно сложных.

— Перечислимое множество (по историческим причинам также называется рекурсивно перечислимым): множество целых чисел L называется перечислимым, если существует машина Тьюринга такая, что если ввести в нее целое число, она остановится на 1, если указанное число принадлежит L Если указанное целое число не принадлежит L, машина может остановиться на 0 или не остановиться никогда.

— Вычислимое множество: множество С называется вычислимым, если существует программа машины Тьюринга такая, что для любого введенного целого числа машина останавливается на 1, если это число принадлежит С, в противном случае — на 0. Чуть менее понятное, но эквивалентное определение вычислимого множества таково: множество С называется вычислимым тогда и только тогда, когда С и его дополнение С^― являются перечислимыми. Очевидно, что любое вычислимое множество является перечислимым, но не наоборот.

— Диофантово множество: множество целых чисел D называется диофантовым, если его можно определить с помощью многочлена Р (x₁, x₂, x_t) от переменных d, t, x₁, x₂…., x_t >= 1 с целыми коэффициентами такого, что Р обращается в ноль при присвоении целых значений x₁, x₂…., x_t тогда и только тогда, когда d равно одному из элементов множества D.

Алан Тьюринг.

* * *

Всего годом позже в игру вступила Джулия Робинсон: ей удалось упростить задачу и устранить неудобные начальные условия, описанные Дэвис и Патнем. Ситуация была такова: если возможно множество вида JR, то десятая проблема Гильберта будет решена. Достаточно найти диофантово уравнение с определенными решениями, возрастающими экспоненциально, но это уравнение ускользало от математиков. Открытие было совершено в 1970 году, спустя почти 30 лет поисков. Юный математик Юрий Матиясевич из Советского Союза представил колоссальную систему диофантовых уравнений:

Если мы возведем обе части всех этих уравнений в квадрат и сложим их почленно, то получим одно уравнение, которое будет иметь те же решения на множестве натуральных чисел, что и вся система. Полученное уравнение будет удовлетворять необходимым начальным условиям.

Матиясевич получил приведенные выше десять уравнений не случайно: он использовал в работе весьма остроумные методы. Ключевую идею математик заимствовал из теоремы, доказанной в 1942 году и затерянной на страницах третьего издания старенькой книжечки под названием «Числа Фибоначчи» советского математика Николая Воробьева. Для десяти приведенных выше уравнений выполняется равенство v = F_2 м, где F_i — i-e число Фибоначчи. Интересно, что эта теорема приводится только в третьем издании книги Воробьева и отсутствует в первых двух.

Условия, которым удовлетворяют решения уравнения Матиясевича, согласуются с условиями гипотезы JR. Следовательно, мы можем говорить уже не о гипотезе, а о доказанной теореме. Неуловимое множество JR было найдено, следовательно, десятая проблема Гильберта решена: искомого чудесного алгоритма не существует.

Таким образом, путем невероятных умственных усилий удалось доказать: не существует алгоритма, позволяющего определить, имеет ли решение произвольное диофантово уравнение. Всегда найдется уравнение, перед которым спасует любой алгоритм.

Решение десятой проблемы Гильберта основано на тонком различии между перечислимым и вычислимым множеством. Матиясевич, Робинсон, Дэвис и Патнем доказали прекрасный и удивительный результат:

Множество является перечислимым (рекурсивно перечислимым) тогда и только тогда, когда оно является диофантовым.

Однако суть проблемы Гильберта заключается в том, что не все перечислимые множества являются вычислимыми. Достаточно найти одно-единственное перечислимое, но не вычислимое множество, чтобы дело приняло совершенно иной оборот. Это множество будет диофантовым, но соответствующее диофантово уравнение нельзя будет решить никаким алгоритмом.

* * *

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ

Английский математик Джон Пелль (1611–1685) вошел в историю благодаря уравнению, носящему его имя:

x² — d(y + 1)² = 1.

Это уравнение имеет целые решения тогда и только тогда, когда d не является квадратом. Согласно определениям, приведенным во врезке, посвященной машине Тьюринга, множество чисел, которые не являются квадратами, D = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10…}, является диофантовым.

* * *

Жизнь после десятой проблемы

На день рождения Джулия получила торт с зажженными свечками, задула их и загадала свое обычное желание: дожить до того дня, когда будет найдено решение проклятой проблемы под номером 10, и не важно, кто его найдет и каким будет ответ — положительным или отрицательным. Пока Джулия Робинсон ожидала решения десятой проблемы Гильберта, она успела получить множество почетных наград. Крупнейшей в денежном выражении стала стипендия фонда МакАртура, присужденная ей в 1983 году сроком на пять лет и составлявшая 60 тысяч долларов.

Джулия Робинсон, среди прочего, стала первой женщиной-математиком, принятой в члены Национальной академии наук США (1975), и первой женщиной — президентом Американского математического общества (1978). Для любого американского математика подобный пост является вершиной карьеры, однако он подразумевает определенные обязанности. Прежде чем принять назначение, Джулия посоветовалась с друзьями и родственниками и пришла к выводу, что не имеет морального права отказаться. По крайней мере, эта должность позволила ей лично встретиться на Западе, в Калгари (1982), с Юрием Матиясевичем (они познакомились еще в Советском Союзе) — советские бюрократы ревностно контролировали все заграничные командировки и выпускали советских граждан за границу очень редко и только туда, куда разрешала непредсказуемая логика партии. Во время визита Джулии в СССР математик Юрий Линник (1915–1972) заметил, что она — второй по популярности Робинсон в Советском Союзе; первым был Робинзон Крузо. Разумеется, Юрий Матиясевич и Джулия Робинсон могли переписываться и публиковать совместные статьи, ведь, как известно, в единстве сила, а расстояние во много тысяч километров не было для них преградой.

* * *

«ЗОЛОТОЙ РЕБЕНОК» ЮРИЙ МАТИЯСЕВИЧ (Р. 1947 Г.)

Нет никаких сомнений, что Юрий Матиясевич был одаренным ребенком. В 17 лет он стал победителем математической олимпиады, проходившей не где-нибудь, а в Москве. Он является почетным доктором многих университетов и членом различных академий наук, однако для математиков все эти регалии не имеют особого значения. Для них важно, что Матиясевич внес основной вклад в решение десятой проблемы Гильберта, в теории графов его именем назван полином, а его число Эрдёша равно 2. Матиясевич заинтересовался десятой проблемой Гильберта в 1965 году, в 18 лет, спустя всего год после поступления в университет.

В 22 года он нашел ее решение, что стало большим событием в мире математики. Джулия Робинсон писала в письме Матиясевичу: «Теперь, когда я знаю, что это правда, все это кажется мне прекрасным и удивительным. Если тебе в самом деле всего 22 года, мне доставляет особое удовольствие думать, что когда я сформулировала свою гипотезу, ты был еще ребенком, и мне следовало лишь дождаться, пока ты подрастешь».

Юрий Матиясевич в 1969 году, когда он нашел решение десятой проблемы Гильберта.

Представить себе ход мыслей Матиясевича непросто. Приведем всего один элементарный пример, который Юрий Матиясевич предложил в юности, когда ему было всего 24 года, вместе с Сергеем Стечкиным (1920–1995). Постройте параболу так, как показано на иллюстрации. Сделать это очень просто, но на всякий случай укажем, что эта парабола описывается уравнением у = х². Обозначьте на ней точки с ординатами 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Соедините верхние точки с нижними.

Что общего будет у всех точек, отмеченных на горизонтальной оси? Их координатами будут простые числа. Через эти точки не проходит ни одна прямая. Это построение, которое можно назвать математической игрой, называется решетом Матиясевича — Стечкина и доступно любому старшекласснику, но у всякого любителя математики при его виде перехватит дыхание. Таков Юрий Матиясевич.

* * *

Скажем несколько слов о менее известной грани личности Джулии Робинсон — о Джулии Робинсон как о политике. Она была дальней родственницей Эдлая Стивенсона (он был двоюродным братом ее мужа). Их взгляды во многом совпадали, и в 1950 году Джулия вышла на политическую сцену: она оставила математику и присоединилась к избирательной кампании Стивенсона. Когда Эйзенхауэр одержал над ним победу (причем дважды), Джулия, должно быть, испытала разочарование, а математики, занимавшиеся десятой проблемой Гильберта, напротив, вздохнули с облегчением. Как бы то ни было, Джулия Робинсон много лет была членом демократической партии.

Напоследок заметим: Джулия Робинсон всегда была сторонницей свободного доступа к знаниям и равных возможностей для всех — и мужчин, и женщин.

Эпилог

Мир математики знал много прославленных женщин. Почти ни одной из них не удалось достичь такой известности, как Эйлеру, Гауссу или Гильберту, однако на протяжении большей части истории человечества занятия математикой по причинам, отмеченным во введении к этой книге, были доступны далеко не всем женщинам, и биографии героинь этой книги стали еще одним тому доказательством. Как однажды сказал Иисус, проще верблюду пройти сквозь игольное ушко, чем богатому войти в царство небесное. Если мы заменим «богатого» на «женщину», а «царство небесное» — на «царство математики», то получим столь же верное высказывание.

Эта книга, которая заканчивается рассказом о Джулии Робинсон, могла быть более объемной и современной, ведь, к счастью, в последние годы появилось множество выдающихся женщин-математиков. Вот лишь некоторые имена, зазвучавшие в недавнем прошлом: Алисия Буль Стотт, Мария Кюри, Хильда фон Мисес, Грейс Чисхольм Янг, Ольга Таусски-Тодд и другие. Среди последних известных имен на страницах истории остались Фань Чунь, Мэри Рис, Сунь-Юнь Чан, Ингрид Добеши, Ирен Фонсека, Нэнси Копелл, Дуса МакДафф, Раман Паримала, Джин Тейлор, Абигайл Томпсон, Карен Уленбек и другие.

Заметьте, что мы ограничились перечислением лишь по-настоящему известных ученых, в противном случае этот список был бы намного длиннее. К примеру, знаете ли вы, что знаменитая актриса Хеди Ламарр также занимает место на математическом Олимпе, так как она была превосходным специалистом по системам дистанционного управления? К сожалению, если мы захотим подробно рассказать о современной математике, нам потребуется еще одна книга, иначе читатель не поймет смысл непростых понятий, с которыми работают математики сегодня.

Как бы то ни было, если наш короткий рассказ о подвигах великих женщин-математиков, которые совершались в непростых обстоятельствах и требовали порой личного героизма, пробудит интерес какой-нибудь студентки к этой науке, то автор будет считать поставленную задачу перевыполненной. Настало время покончить с долгим патриархатом в математике. От этого выиграют и математика, и общество в целом.

Библиография

BADINTER, Е., DUHÊME, J., Las pasiones de Émilie, Madrid, Nivola, 2006.

BELL, E.T., Men of Mathematics, Nueva York, Simon and Schuster, 1937.

CORRY, L., Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Basilea, Birkhäuser Verlag, 2004.

GUIRADO, J., Infinitum, Madrid, Eneida, 2007.

HENRION, C., Women in Mathematics: the Addition of Difference, Indiana University Press, 1997.

LENZNER, A., Women in Mathematics, Berlín, Waxmann Verlag, 2006.

MATIYASEVICH, Y., Hilbert 10th Problem, Cambridge, The MIT Press, 1993.

NEUENSCHWANDER, D.E., Emmy Noether s Wonderful Theorem, Baltimore, The John Hopkins University, 2010.

NOMDEDEU, X., Mujeres у matemáticas entretejidas, Madrid, Nivola, 2007.

OSEN, L., Women in Mathematics, Cambridge, The MIT Press, 1974.

* * *

_{Научно-популярное  издание}

_{Выходит  в  свет  отдельными  томами  с  2014  года}

_{Мир  математики}

_{Том  37}

_{Хоакин  Наварро}

_{Женщины  -  математики. От  Гипатии  до  Эмми  Нётер}

_РОССИЯ

_{Издатель,  учредитель,  редакция:}

_{ООО  «Де  Агостини»,  Россия}

_{Юридический  адрес:  Россия,  105066, г.  Москва,  ул.  Александра  Лукьянова,  д.  3,  стр.  1}

_{Письма  читателей  по  данному  адресу  не  принимаются.}

_{Генеральный  директор:  Николаос  Скилакис}

_{Главный  редактор:  Анастасия  Жаркова}

_{Выпускающий  редактор:  Людмила  Виноградова}

_{Финансовый  директор:  Полина  Быстрова}

_{Коммерческий  директор:  Александр  Якутов}

_{Менеджер  по  маркетингу:  Михаил  Ткачук}

_{Менеджер  по  продукту:  Яна  Чухиль}

_{Для  заказа  пропущенных  книг  и  по  всем  вопросам,  касающимся  информации  о  коллекции,  заходите  на  сайт  www.deagostini.ru,  по  остальным вопросам  обращайтесь  по  телефону  бесплатной горячей  линии  в  России:}

 _{8-800-200-02-01}

_{Телефон  горячей  линии для  читателей  Москвы:}

_{8-495-660-02-02}

_{Адрес  для  писем  читателей:  Россия,  600001,  г.  Владимир,  а/я  30, «Де  Агостини»,  «Мир  математики»}

_{Пожалуйста,  указывайте  в  письмах  свои  контактные  данные  для  обратной  связи  (телефон или  e-mail).}

_{Распространение:}

_{ООО  «Бурда  Дистрибьюшен  Сервисиз»}

_{УКРАИНА}

_{Издатель  и  учредитель:}

_{ООО  «Де  Агостини  Паблишинг»  Украина}

_{Юридический  адрес:  01032,  Украина, г.  Киев,  ул.  Саксаганского,  119}

_{Генеральный  директор:  Екатерина  Клименко}

_{Для  заказа  пропущенных  книг  и  по  всем  вопросам,  касающимся  информации  о  коллекции,  заходите  на  сайт  www.deagostini.ua,  по  остальным вопросам  обращайтесь  по  телефону  бесплатной горячей  линии  в  Украине:}

_{0-800-500-8-40}

_{Адрес  для  писем  читателей:}

_{Украина,  01033,  г.  Киев,  a/я  «Де  Агостини»,  «Мир  математики»}

_{Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»}

_{БЕЛАРУСЬ}

_{Импортер  и  дистрибьютор  в  РБ:}

_{ООО  «Росчерк»,  220037,  г.  Минск, ул.  Авангардная,  48а,  литер  8/к, тел./факс:  (+375  17)  331-94-41}

_{Телефон  «горячей  линии»  в  РБ:}

_{+  375  17  279-87-87  (пн-пт,  9.00-21.00)}

_{Адрес  для  писем  читателей:} 

_{Республика  Беларусь,  220040,  г.  Минск, а/я  224,  ООО  «Росчерк»,  «Де  Агостини», «Мир  математики»}

_{КАЗАХСТАН}

_{Распространение:}

_{ТОО  «КГП  «Бурда-Алатау  Пресс»}

_{Издатель  оставляет  за  собой  право  увеличить  рекомендуемую  розничную  цену  книг.  Издатель  оставляет  за  собой  право  изменять  последовательность заявленных  тем  томов  издания  и  их  содержание.}

_{Отпечатано  в  соответствии  с  предоставленными материалами  в  типографии:}

_{Grafica  Veneta  S.p.A  Via  Malcanton  2}

_{35010  Trebaseleghe  (PD)  Italy}

_{Подписано  в  печать:  13.08.2014}

_{Дата  поступления  в  продажу  на  территории России:  30.09.2014}

_{Формат  70  х  100  /  16.  Гарнитура  «Academy».}

_{Печать  офсетная.  Бумага  офсетная.  Печ.  л.  4,5.}

_{Уcл.  печ.  л.  5,832.}

_{Тираж:  28  900  экз.}

_{©  Joaquin  Navarro,  2011  (текст)}

_{©  RBA  Collecionables  S.A.,  2011}

_{©  ООО  «Де  Агостини»,  2014}

_{ISBN  978-5-9774-0682-6}

_{ISBN  978-5-9774-0732-8  (т.  37)} 

Оглавление

Предисловие

Глава 1 Дальние горизонты

Глава 2 Эпоха Просвещения

Глава 3 Небесная интермедия

Глава 4 XIX ВЕК

Глава 5 Амалия (Эмми) Нётер, королева без короны

Глава 6 Ближние горизонты

Эпилог

Библиография