Непостижимая эффективность математики в естественных науках
Доклад прочитан 11 мая 1959 г. в Нью-Йоркском университете на Курантовских математических лекциях.
Опубликован в журнале: Comm. Pure and Appl. Math., 13, 1 (1960).
«...по-видимому, здесь есть какая-то тайна, которую нам ещё предстоит раскрыть».
Ч. С. Пирс
Рассказывают такую историю. Встретились как-то раз два приятеля, знавшие друг друга
ещё со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается. Один из
приятелей стал статистиком и работал в области прогнозирования изменения численности
народонаселения. Оттиск одной из своих работ статистик показал бывшему соученику.
Начиналась работа, как обычно, с гауссова распределения. Статистик растолковал своему
приятелю смысл используемых в работе обозначений для истинных показателей
народонаселения, для средних и т.д. Приятель был немного недоверчив и отнюдь не был
уверен в том, что статистик его не разыгрывает.
— Откуда тебе известно, что всё обстоит именно так, а не иначе? — спросил он. — А это что за символ?
— Ах, это, — ответил статистик. — Это число π.
— А что оно означает?
— Отношение длины окружности к её диаметру.
— Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, — обиделся приятель статистика. — Какое отношение имеет численность народонаселения к длине окружности?
Наивность восприятия друга нашего статистика вызывает у нас улыбку. Тем не менее,
когда я слушал эту историю, меня не покидало смутное беспокойство, ибо реакция
приятеля была не чем иным, как проявлением здравого смысла. Ещё большее
замешательство я испытал через несколько дней, когда один из моих студентов выразил
удивление по поводу того, что для проверки своих теорий мы отбираем лишь крайне
незначительное число данных_1_.
«Представим себе, — сказал студент, — что мы хотим создать теорию, пригодную для описания явлений, которыми мы до сих пор пренебрегали, и непригодную для описания явлений, которые казались нам имеющими первостепенное значение. Можем ли мы заранее утверждать, что построить такую теорию, имеющую мало общего с существующей ныне, но тем не менее позволяющую объяснять столь же широкий круг явлений, нельзя?» Я вынужден был признать, что особенно убедительных доводов, исключающих возможность существования такой теории, нет.
Две рассказанные истории служат иллюстрациями двух главных тем моего доклада. Первой — о том, что между математическими понятиями подчас возникают совершенно неожиданные связи и что именно эти связи позволяют нам удивительно точно и адекватно описывать различные явления природы. Второй — о том, что в силу последнего обстоятельства (поскольку мы не понимаем причин, делающих математические понятия столь эффективными) мы не можем утверждать, является ли теория, сформулированная на языке этих понятий, единственно возможной. Мы находимся в положении, несколько аналогичном положению человека, держащего в руках связку ключей и пытающегося открыть одну за другой несколько дверей. Рано или поздно ему всегда удаётся подобрать ключ к очередной двери, но сомнения относительно взаимно однозначного соответствия между ключами и дверями у него остаются.
Большая часть того, что будет здесь сказано, не отличается новизной; в той или иной форме аналогичные идеи, по-видимому, приходили в голову многим учёным. Моя основная цель заключается в том, чтобы рассмотреть эти идеи с нескольких сторон. Во-первых, обратить внимание на чрезвычайную эффективность математики в естественных науках как на нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению. Во-вторых, показать, что именно эта сверхъестественная эффективность математических понятий поднимает вопрос о единственности физических теорий. Для обоснования тезиса о непостижимо важной роли, которую математика играет в физике, я постараюсь кратко ответить на вопросы: что такое математика и что такое физика? Затем мы рассмотрим, каким образом математика входит в физические теории и, наконец, — почему успехи математики в физике кажутся нам столь непостижимыми. Гораздо меньше будет сказано по второму тезису о единственности физических теорий. Обстоятельный ответ на этот вопрос потребовал бы огромной работы как в области теории, так и в области эксперимента; к этой работе мы по существу до сих пор ещё и не приступали.
Что такое математика?
Кто-то сказал, что философия — это злоупотребление специально разработанной терминологией_2_. Следуя духу этого высказывания, я мог бы определить математику как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Особенно важная роль при этом, разумеется, отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в математике быстро иссяк бы, если бы их приходилось формулировать лишь с помощью тех
Последние комментарии
1 час 6 минут назад
1 час 8 минут назад
7 часов 50 минут назад
7 часов 59 минут назад
14 часов 11 минут назад
14 часов 15 минут назад