Теоретическая физика в 10т. Т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) [Лев Давидович Ландау] (pdf) читать постранично, страница - 9

выражения есть
J J 4>(q)^{q')v{q,q')dqdq[,

(2.1)

где функция (f(q,qf) зависит от рода и результата измерения, а
интегрирования производятся по всему конфигурационному про­
странству. Сама вероятность ФФ* различных значений коорди­
нат тоже является выражением такого ти п а2) .
С течением времени состояние системы, а с ним и волновая
функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую
функцию можно рассматривать как функцию также и от вре­
мени. Если волновая функция известна в некоторый начальный
момент времени, то по самому смыслу понятия полного описа­
ния состояния она тем самым в принципе определена и во все
будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой
функции от времени определяется уравнениями, которые будут
выведены в дальнейшем.
Сумма вероятностей всех возможных значений координат си­
стемы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому
нужно, чтобы результат интегрирования | Ф|2 по всему конфигу­
рационному пространству был равен единице:

j m 2d q =l .

(2 .2 )

Это равенство представляет собой так называемое условие нор­
мировки волновых функций. Если интеграл от | Ф |2 сходится,
то выбором соответствующего постоянного коэффициента функ­
ция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы уви­
дим, однако, в дальнейшем, что интеграл от | Ф|2 может рас­
ходится и тогда Ф не может быть нормирована условием (2.2).
г ) Она была впервые введена в квантовую механику Шредингером
(Е. Schrodinger, 1926).
2) Оно получается из (2.1) при tp(q,q') = S(q —qo)S(q' —go), где S обозначает
так называемую ^-функцию, определяем ую ниж е, в § 5; через qo обозначено
значение координаты, вероятность которого мы ищем.

§2

П РИ Н Ц И П С У П Е РП О ЗИ Ц И И

21

В таких случаях |Ф|2 не определяет, конечно, абсолютные значе­
ния вероятности координат, но отношение квадратов |Ф|2 в двух
различных точках конфигурационного пространства определяет
относительную вероятность значений координат.
Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции
величины с непосредственным физическим смыслом имеют
вид (2.1), в котором Ф входит умноженной на Ф*, то ясно, что
нормированная волновая функция определена лишь с точностью
до постоянного фазового множителя вида ега, где а — любое ве­
щественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не
может быть устранена; однако она несущественна, так как не
отражается ни на каких физических результатах.
В основе положительного содержания квантовой механики
лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функ­
ции, заключающихся в следующем.
Пусть в состоянии с волновой функцией Фх(^) некоторое из­
мерение приводит с достоверностью к определенному результа­
т у -р е зу л ь т а т у 1, а в состоянии Ф2 (д) — к результату 2. Тогда
принимается, что всякая линейная комбинация Фх и Ф2 , т. е. вся­
кая функция вида с\Фх + С2 Ф2 (сх, С2 — постоянные), описывает
состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1,
либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам
известна зависимость состояний от времени, которая для одного
случая дается функцией Ф
а для другого — Ф2 (/) = ^ ( / ' - / ) .
Используя выражение (5.10), можно написать1)
% ( / ' ) - ? (/)] =

- /)•

I5-13)

Сравнение (5.13) с (5.4) показывает теперь, что функции Ф^ и Фу
связаны друг с другом соотношением
= VI М / ) / # Ф /'
Существуют такие физические величины, которые обладают
в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в
другой—непрерывным. Д ля собственных функций такой вели­
чины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые
были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только
отметить, что полную систему функций образует совокупность
собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложе­
ние произвольной волновой функции по собственным функциям
такой величины имеет вид
( 5 ' 1 4 )

ф 0?) = ^ а пЯ>п {ч) + f af ^ f (q)df,

(5.15)

п

где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непре­
рывному спектру.
Примером величины, обладающей непрерывным спектром,
является сама координата q. Легко видеть, что соответствующим
ей оператором является простое умножение на q. Действительно,
х) Вообщ е, если («01

где OLi — корни уравнения (р(х) = 0.

(5 .1 3 а )

§6

ПРЕДЕЛЬНЫ Й ПЕРЕХОД

37

поскольку вероятность различных значений координаты опреде­
ляется квадратом |Ф(д)|2, то среднее значение координаты

Сравнив это выражение с определением операторов соглас­
но (3.8), мы видим, ч т о 1)
q = q.
(5.16)
Собственные функции этого оператора должны определяться,
согласно общему правилу, уравнением q^ q0 = qo'&qo, где посред­
ством qo временно обозначены конкретные значения координа­
ты в отличие от переменной q. Поскольку это равенство может
удовлетворяться либо при Фдо = 0, либо при q = q$, то ясно,
что удовлетворяющие условию нормировки собственные функ­
ции есть2)
Ф90 = % -