Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 частях. Часть 1 [Александр Григорьевич Мордкович] (pdf) читать постранично, страница - 3

половина успе­
ха!), приступим к его реализации.
1) С = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд,
или, как иногда говорят, «в лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу

прибавить 3,27, затем вычесть 2,81. Но красивее сделать так, вспом­
нив переместительный и сочетательный законы сложения:
(2,73 + 3,27) + (4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.
Итак, с = 8.
2) D — ^

Здесь нам придётся вспомнить, как действовать с

обыкновенными дробями. Сначала надо привести дроби к общему
знаменателю. Наименьшим общим кратным чисел 5 и 15 является
2

число 15, оно и будет общим знаменателем. Для дроби - получаем:
2

2-3

5

„

6

5 = б Г з = 1 5 ' ЗНЗЧИТ’

2 _ 14 = А
5

Итак, d =

15

15

14
15

6 -1 4
15

8

_

"1 5 '

15

3) Разделим с на d:
г5 -

15-

Итак, а = -15.
4) В = 25 • 37 ■ 0,4. Конечно, можно проводить вычисления
«в лоб», т. е. вычислить 25 • 37, затем то, что получится, умножить
на 0,4. Но рациональнее воспользоваться переместительным и соче­
тательным законами умножения:
25 • 37 • 0,4 = (25 • 0,4) • 37 = 10 • 37 = 370.
Итак, Ь = 370.
5) Осталось разделить числитель а на знаменатель Ъ. Получим
=

(разделили числитель и знаменатель дроби на 5, т. е. со­

кратили дробь).
Ответ

А теперь вместе проанализируем, какие сведения из математики
нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причём не
просто вспомнить, но и использовать).
1. Порядок арифметических действий.
2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.
3. Переместительный закон умножения: аЪ = 6а.
4. Сочетательный закон сложения:
а + Ь + с = (а + Ь) + с = а + (Ь + с).

ГЛ А В А 1. М А ТЕ М А ТИ Ч ЕС К И Й ЯЗЫ К. М А Т Е М А Т И Ч ЕС К А Я М О Д ЕЛ Ь

5. Сочетательный закон умножения: abc = (аЪ) ■с — а ■(Ъс).
6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицатель­
ного числа.
7. Арифметические операции с десятичными дробями.
8. Арифметические операции с обыкновенными дробями.
9. Основное свойство обыкновенной дроби: т =
(значение дроо
ос
би не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно ум­
ножить на одно и то же число или разделить на одно и то же число,
отличное от нуля). Это свойство позволило нам преобразовать дробь
\ к виду
(числитель и знаменатель дроби f одновременно умно5

15

5

жили на одно и то же число 3). Оно же позволило нам сократить
дробь
(числитель и знаменатель дроби
одновременно раздеo7U

о (U

лили на одно и то же число 5).
10. Правила действий с положительными и отрицательными чис­
лами.
Всё это вы знаете, но ведь всё это — алгебраические факты. Та­
ким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось
в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1,
заключается в том, что таких фактов довольно много, причём их
надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нуж­
ное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться.
И последнее, чтобы закончить обсуждение примера 1. То число,
которое получается в результате упрощений числового выражения
О
(в данном примере это было число - — ), называют значением число­
вого выражения.
Алгебраические выражения
Если дано алгебраическое выражение, то можно говорить о значении
алгебраического выражения, но только при конкретных значениях
входящих в него букв. Например, алгебраическое выражение а + Ь
при а = 5, Ъ — 7 имеет значение 12 (поскольку а + Ь =
= 5 + 7 = 12); при а = -16, Ь = -14 оно имеет значение
значение
-3 0 (так как а + Ь = -16 + (-14) = -16 - 14 = -30). Алге­
алгебраического
выражения
браическое выражение а2 - 36 при а = -2 , Ь = 0,4 прини­
мает вид числового выражения (—2)2 - 3 • 0,4; упрощая,
получаем 4 - 1,2 = 2,8 — это и есть значение алгебраического выра­
жения а2 - 3Ь при а = -2 , Ъ = 0,4.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выраже­
ния, можно придавать различные числовые значения (т. е. можно
менять значения букв), эти буквы называют переменными.

J ^ - ^ у л о в ы е и а л ге б р аи ч е с к и е в ы р а ж е н и я

ПРИМ ЕР 2

Н айти значение алгебраического выражения
а 2 + 2ab + Ъ2
(а + Ь) (а - Ь )’

если: а) а = 1, Ъ = 2; б) а = 3,7, Ъ = -1 ,7 ; в) а = - , b = - .
5

Реш ение

5

а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим:
1) а2 + 2аЬ + Ъ2 = I 2 + 2 ■1 • 2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9;
2) а + Ь = 1 + 2 = 3;
3) а - 6 = 1 - 2 = -1 ;
4) (а + 6) (а - Ь) = 3 ■(-1 ) = -3 ;
5)

а 2 + 2аЬ + Ь2
9
=
= -3.
(а + 6) (а - Ь)
-3

б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно на­
ходим:
1) а 2 + 2аЪ + Ъ2 = 3,72 + 2 • 3,7 • (-1 ,7 ) + (-1 ,7 )2 = 13,69 - 12,58 +
+ 2,89 = 4;
2) а + Ь = 3 , 7 + (-1 ,7 ) = 2;
3) а - Ь = 3,7 - (-1 ,7 ) = 5,4;
4) (а + Ь) (а - 6) = 2 • 5,4 = 10,8;
о2 + 2аЬ + ft2
5) (о + Ъ) (а - Ь)

4

4 • 10

10,8

10,8 - 1 0

40
108

10
27

(разделили числитель и знаменатель дроби
на 4, т. е. сократили
10о
дробь).
в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно находим:

+2 | | +

1) а 2 + 2аЬ + 62 =

= А + !8 + _?_ = зб25

25

25

25’

оч

...
3 , 3 _ 6.
2) а + Ь - g + 5 - д>
3) а - Ь =

= 0;

4) (а + &) (а - Ъ) = д

0-0.

А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и