Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.) [Хоакин Наварро] (fb2) читать постранично, страница - 3

число раз. Проиллюстрируем это простым примером. В сказке французского писателя и авиатора Антуана де Сент-Экзюпери (1900–1944) «Маленький принц» главный герой обходит свою планету и чистит вулканы. Допустим, что он обходит всю планету по меридиану. Рост принца ровно 1 метр. Если он пройдет 1000 метров, какое расстояние пройдет его голова? Будем производить все расчеты в метрах. Так как Маленький принц проходит 1000 метров и

длина окружности = 2π∙r,

очевидно, что

пройденное расстояние = 1000 = 2π∙r.

Рост принца равен 1 метру. Приняв за С расстояние, пройденное его головой, получим

C = 2π∙(r + 1).

Вычтем первое равенство из второго. Имеем:

расстояние в метрах, пройденное головой — расстояние в метрах, пройденное ногами

С = 1000 — 2π∙(r + 1) — 2πr = 2π∙(r + 1 — r) = 2π ~ 6,28.

Разница составляет 6,28 м. Любопытно, что радиус планеты никак не влияет на это значение.

Фактически, если мы прибавим к радиусу исходной окружности 1 метр, ее длина увеличится на 6,28 м. Если бы радиус астероида составлял 1000 километров, то дополнительное расстояние, пройденное головой Маленького принца, осталось бы таким же: 6,28 м.

Обложка «Маленького принца» Антуана де Сент-Экзюпери.

Многовековая задача

Число π — не только соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Удвоенное отношение между площадью круга и площадью вписанного в него квадрата также равно π. Как нам известно из школы, площадь круга радиуса г равняется

S = πr².

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, по теореме Пифагора получим

S/Площадь вписанного квадрата = πг²/2r² = π/2

Но откуда мы знаем, что число π, используемое для расчета площади, — это то же самое π, с помощью которого рассчитывается длина окружности? Несомненно, это одно и то же число, однако доказать это не так просто. Строгое доказательство появилось только благодаря усилиям Архимеда.

Умы древних математиков волновала задача о построении квадрата, по площади равного данному кругу. Задача имела чисто практическое применение: площадь квадрата вычисляется элементарно, тогда как расчет площади круга был сложен и результатом являлось лишь приближенное значение. Во времена расцвета Древней Греции к этой задаче добавилось еще одно ограничение: искомый квадрат нужно было построить только с помощью циркуля и линейки. Этот метод считался «чистым», «божественным» и соответствовал духу греческой философии. В этом и заключается задача о квадратуре круга: необходимо построить искомый квадрат, используя только циркуль и линейку конечное число раз. Математики бились над задачей, решение которой всякий раз казалось столь близким и неизменно ускользало от них.

На протяжении веков все геометры пытались решить задачу о квадратуре круга, что равносильно построению отрезка длиной π с помощью циркуля и линейки, и всякий раз им удавалось найти лишь более точное приближенное значение и добавить еще один знак к десятичной записи π. Алгебраически задача о квадратуре круга площадью πr² равносильна нахождению квадрата со стороной l такого, что

πr² = l².

Иными словами, необходимо найти такое l, что

l = √(πr²) = r√π,

что тождественно нахождению √π с помощью циркуля и линейки. Если значение √π найдено, то найти π с помощью циркуля и линейки элементарно, построив прямоугольный треугольник с катетами 1 и √π, а затем продлив перпендикуляр к гипотенузе полученного треугольника до пересечения с продолжением единичного отрезка.

В силу подобия треугольников ABD и ADC выполняется соотношение АВ/AD = AD/АС, откуда AD² = АВ∙АС.

Подставляя известное значение АВ = 1 и найденное AD = √(1 + π), получаем: 1 + π = АС, то есть ВС = π.

Если бы значение π было определено, было бы возможным найти √π и решить задачу о квадратуре круга. Но за этой простой формулировкой кроется длинная история, герои которой безуспешно пытались достичь заветной цели, всякий раз все ближе подходя к ней. Очередной талантливый геометр находил следующий знак π и тем самым неявно продвигал всю математику в целом на шаг вперед.

РАДИАН И π

В математике для измерения углов не используются градусы, минуты и секунды. Также не применяются грады и метрические минуты и секунды. Появление математического анализа (производных, интегралов и пр.) привело к тому, что начала использоваться более естественная единица измерения, пусть на первый взгляд она и кажется сложнее. Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна ее радиусу.